Четность и нечетность функции примеры решения. Исследование функции
Функция - это одно из важнейших математических понятий. Функция - зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у . Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x ) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y ), образуют область значений функции.
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x , а по оси ординат откладываются значения переменной y . Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!
Для построения графика функции советуем использовать нашу программу - Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!
Основные свойства функций.
1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x
(переменной x
), при которых функция y = f(x)
определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y
, которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Значения х , при которых y=0 , называется нулями функции . Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x , на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Четная функция
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a
принадлежит области определения, то точка -a
также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x
f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.
Нечетная функция
обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x
, принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).
Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции .
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
Функция f называется периодической, если существует такое число, что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T) . T - это период функции.
Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.
Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.
четной
, если при всех \(x\)
из ее области определения верно: \(f(-x)=f(x)\)
.
График четной функции симметричен относительно оси \(y\) :
Пример: функция \(f(x)=x^2+\cos x\) является четной, т.к. \(f(-x)=(-x)^2+\cos{(-x)}=x^2+\cos x=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\)
Функция \(f(x)\)
называется нечетной
, если при всех \(x\)
из ее области определения верно: \(f(-x)=-f(x)\)
.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат:
Пример: функция \(f(x)=x^3+x\) является нечетной, т.к. \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .
\(\blacktriangleright\)
Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.
Например, функция \(f(x)=x^2-x\) является суммой четной функции \(f_1=x^2\) и нечетной \(f_2=-x\) .
\(\blacktriangleright\) Некоторые свойства:
1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности - четная функция.
2) Произведение и частное двух функций разной четности - нечетная функция.
3) Сумма и разность четных функций - четная функция.
4) Сумма и разность нечетных функций - нечетная функция.
5) Если \(f(x)\)
- четная функция, то уравнение \(f(x)=c \ (c\in
\mathbb{R}\)
) имеет единственный корень тогда и только когда, когда \(x=0\)
.
6) Если \(f(x)\) - четная или нечетная функция, и уравнение \(f(x)=0\) имеет корень \(x=b\) , то это уравнение обязательно будет иметь второй корень \(x=-b\) .
\(\blacktriangleright\)
Функция \(f(x)\)
называется периодической на \(X\)
, если для некоторого числа \(T\ne 0\)
выполнено \(f(x)=f(x+T)\)
, где \(x,
x+T\in X\)
. Наименьшее \(T\)
, для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции.
У периодической функции любое число вида \(nT\) , где \(n\in \mathbb{Z}\) также будет являться периодом.
Пример: любая тригонометрическая функция является периодической;
у функций \(f(x)=\sin x\)
и \(f(x)=\cos x\)
главный период равен \(2\pi\)
, у функций \(f(x)=\mathrm{tg}\,x\)
и \(f(x)=\mathrm{ctg}\,x\)
главный период равен \(\pi\)
.
Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной \(T\) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:
\(\blacktriangleright\)
Область определения \(D(f)\)
функции \(f(x)\)
- это множество, состоящее из всех значений аргумента \(x\)
, при которых функция имеет смысл (определена).
Пример: у функции \(f(x)=\sqrt x+1\) область определения: \(x\in
Задание 1 #6364
Уровень задания: Равен ЕГЭ
При каких значениях параметра \(a\) уравнение
имеет единственное решение?
Заметим, что так как \(x^2\)
и \(\cos x\)
- четные функции, то если уравнение будет иметь корень \(x_0\)
, оно также будет иметь и корень \(-x_0\)
.
Действительно, пусть \(x_0\)
– корень, то есть равенство \(2x_0^2+a\mathrm{tg}\,(\cos x_0)+a^2=0\)
верно. Подставим \(-x_0\)
: \(2
(-x_0)^2+a\mathrm{tg}\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm{tg}\,(\cos
x_0)+a^2=0\)
.
Таким образом, если \(x_0\ne 0\) , то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, \(x_0=0\) . Тогда:
Мы получили два значения параметра \(a\) . Заметим, что мы использовали то, что \(x=0\) точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра \(a\) в исходное уравнение и проверить, при каких именно \(a\) корень \(x=0\) действительно будет единственным.
1) Если \(a=0\) , то уравнение примет вид \(2x^2=0\) . Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень \(x=0\) . Следовательно, значение \(a=0\) нам подходит.
2) Если \(a=-\mathrm{tg}\,1\) , то уравнение примет вид \ Перепишем уравнение в виде \ Так как \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , то \(-\mathrm{tg}\,1\leqslant \mathrm{tg}\,(\cos x)\leqslant \mathrm{tg}\,1\) . Следовательно, значения правой части уравнения (*) принадлежат отрезку \([-\mathrm{tg}^2\,1; \mathrm{tg}^2\,1]\) .
Так как \(x^2\geqslant 0\) , то левая часть уравнения (*) больше или равна \(0+ \mathrm{tg}^2\,1\) .
Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны \(\mathrm{tg}^2\,1\) . А это значит, что \[\begin{cases} 2x^2+\mathrm{tg}^2\,1=\mathrm{tg}^2\,1 \\ \mathrm{tg}\,1\cdot \mathrm{tg}\,(\cos x)=\mathrm{tg}^2\,1 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x=0\\ \mathrm{tg}\,(\cos x)=\mathrm{tg}\,1 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Следовательно, значение \(a=-\mathrm{tg}\,1\) нам подходит.
Ответ:
\(a\in \{-\mathrm{tg}\,1;0\}\)
Задание 2 #3923
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых график функции \
симметричен относительно начала координат.
Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin{aligned} &3\mathrm{tg}\,\left(-\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a+3x}4= -\left(3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm{tg}\,\dfrac{ax}5+2\sin \dfrac{8\pi a+3x}4= -\left(3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac{8\pi a+3x}4+\sin \dfrac{8\pi a-3x}4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac{8\pi a+3x}4+\dfrac{8\pi a-3x}4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac{8\pi a+3x}4-\dfrac{8\pi a-3x}4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \frac34 x=0 \end{aligned}\]
Последнее уравнение должно быть выполнено для всех \(x\) из области определения \(f(x)\) , следовательно, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb{Z}\) .
Ответ:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb{Z}\)
Задание 3 #3069
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \ имеет 4 решения, где \(f\) – четная периодическая с периодом \(T=\dfrac{16}3\) функция, определенная на всей числовой прямой, причем \(f(x)=ax^2\) при \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Задача от подписчиков)
Так как \(f(x)\) – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^2\) . Таким образом, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , а это отрезок длиной \(\dfrac{16}3\) , функция \(f(x)=ax^2\) .
1) Пусть \(a>0\)
. Тогда график функции \(f(x)\)
будет выглядеть следующим образом:
Тогда для того, чтобы уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы график \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\)
проходил через точку \(A\)
:
Следовательно, \[\dfrac{64}9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &9(a+2)=32a\\
&9(a+2)=-32a \end{aligned} \end{gathered}\right.
\quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &a=\dfrac{18}{23}\\
&a=-\dfrac{18}{41} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]
Так как \(a>0\)
, то подходит \(a=\dfrac{18}{23}\)
.
2) Пусть \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Нужно, чтобы график \(g(x)\)
прошел через точку \(B\)
: \[\dfrac{64}9a=|a+2|\cdot \sqrt{-8} \quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &a=\dfrac{18}{23}\\
&a=-\dfrac{18}{41} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]
Так как \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Случай, когда \(a=0\) , не подходит, так как тогда \(f(x)=0\) при всех \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) и уравнение будет иметь только 1 корень.
Ответ:
\(a\in \left\{-\dfrac{18}{41};\dfrac{18}{23}\right\}\)
Задание 4 #3072
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых уравнение \
имеет хотя бы один корень.
(Задача от подписчиков)
Перепишем уравнение в виде \
и рассмотрим две функции: \(g(x)=7\sqrt{2x^2+49}\)
и \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\)
.
Функция \(g(x)\)
является четной, имеет точку минимума \(x=0\)
(причем \(g(0)=49\)
).
Функция \(f(x)\)
при \(x>0\)
является убывающей, а при \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Действительно, при \(x>0\)
второй модуль раскроется положительно (\(|x|=x\)
), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется первый модуль, \(f(x)\)
будет равно \(kx+A\)
, где \(A\)
– выражение от \(a\)
, а \(k\)
равно либо \(-9\)
, либо \(-3\)
. При \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Найдем значение \(f\)
в точке максимума: \
Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций \(f\) и \(g\) имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно: \ \\]
Ответ:
\(a\in \{-7\}\cup\)
Задание 5 #3912
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \
имеет шесть различных решений.
Сделаем замену \((\sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t\)
, \(t>0\)
. Тогда уравнение примет вид \
Будем постепенно выписывать условия, при которых исходное уравнение будет иметь шесть решений.
Заметим, что квадратное уравнение \((*)\)
может максимум иметь два решения. Любое кубическое уравнение \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\)
может иметь не более трех решений. Следовательно, если уравнение \((*)\)
имеет два различных решения (положительных!, так как \(t\)
должно быть больше нуля) \(t_1\)
и \(t_2\)
, то, сделав обратную замену, мы получим: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&(\sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t_1\\
&(\sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t_2\end{aligned}\end{gathered}\right.\]
Так как любое положительное число можно представить как \(\sqrt2\)
в какой-то степени, например, \(t_1=(\sqrt2)^{\log_{\sqrt2} t_1}\)
, то первое уравнение совокупности перепишется в виде \
Как мы уже говорили, любое кубическое уравнение имеет не более трех решений, следовательно, каждое уравнение из совокупности будет иметь не более трех решений. А значит и вся совокупность будет иметь не более шести решений.
Значит, чтобы исходное уравнение имело шесть решений, квадратное уравнение \((*)\)
должно иметь два различных решения, а каждое полученное кубическое уравнение (из совокупности) должно иметь три различных решения (причем ни одно решение одного уравнения не должно совпадать с каким-либо решением второго!)
Очевидно, что если квадратное уравнение \((*)\)
будет иметь одно решение, то мы никак не получим шесть решений у исходного уравнения.
Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.
1) Чтобы уравнение \((*)\) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: \
2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как \(t>0\) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: \[\begin{cases} 12-a>0\\-(a-10)>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Таким образом, мы уже обеспечили себе два различных положительных корня \(t_1\) и \(t_2\) .
3)
Давайте посмотрим на такое уравнение \
При каких \(t\)
оно будет иметь три различных решения? Таким образом, мы определили, что оба корня уравнения \((*)\)
должны лежать в интервале \((1;4)\)
. Как записать это условие? имело четыре различных корня, отличных от нуля, представляющих вместе с \(x=0\)
арифметическую прогрессию. Заметим, что функция \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\)
является четной, значит, если \(x_0\)
является корнем уравнения \((*)\)
, то и \(-x_0\)
будет являться его корнем. Тогда необходимо, чтобы корнями этого уравнения были упорядоченные по возрастанию числа: \(-2d, -d, d, 2d\)
(тогда \(d>0\)
). Именно тогда данные пять чисел будут образовывать арифметическую прогрессию (с разностью \(d\)
). Чтобы этими корнями являлись числа \(-2d, -d, d, 2d\)
, нужно, чтобы числа \(d^{\,2}, 4d^{\,2}\)
являлись корнями уравнения \(25t^2+25(a-1)t-4(a-7)=0\)
. Тогда по теореме Виета: Перепишем уравнение в виде \
и рассмотрим две функции: \(g(x)=20a-a^2-2^{x^2+2}\)
и \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\)
. Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций \(f\)
и \(g\)
имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно: \
Решая данную совокупность систем, получим ответ: \\]
Ответ:
\(a\in \{-2\}\cup\)
Исследование
функции. 1) D(y)
– Область опрделения: множество всех
тех значений переменной х. при которых
алгебраические выражения f(x)
и g(x)
имеют смысл. Если функция задана формулой,
то область определения состоит из всех
значений независимой переменной, при
которых формула имеет смысл. 2) Свойства функции:
четность/нечетность, периодичность: Нечётными
и
чётными
называются
функции,
графики которых обладают
симметрией
относительно
изменения знака аргумента. Нечётная
функция
-
функция, меняющая значение на
противоположное при изменении знака
независимой переменной
(симметричная относительно
центра координат). Чётная
функция
-
функция, не изменяющая своего значения
при изменении знака независимой
переменной (симметричная относительно
оси ординат). Ни
чётная ни нечётная функция
(функция
общего вида)
-
функция, не обладающая симметрией. В
эту категорию относят функции, не
подпадающие под предыдущие 2 категории. Функции,
не принадлежащие ни одной из категорий
выше, называются ни
чётными ни нечётными
(или
функциями общего вида). Нечётные
функции
Нечётная степень где -
произвольное целое
число. Чётные
функции
Чётная
степень где -
произвольное целое
число. Периоди́ческая
фу́нкция
― функция,
повторяющая свои значения через некоторый
регулярный интервал аргумента, то есть
не меняющая своего значения при добавлении
к аргументу некоторого фиксированного
ненулевого числа (пери́ода
функции)
на всей области определения. 3)
Нули
(корни) функции - точки, где она
обращается в ноль. Нахождение
точки пересечения графика с осью Oy
. Для
этого нужно вычислить значение f
(0).
Найти также точки пересечения графика
с осью Ox
,
для чего найти корни уравнения f
(x
)
= 0 (или
убедиться в отсутствии корней). Точки, в
которых график пересекает
ось ,
называют нулями
функции
.
Чтобы найти нули функции нужно решить
уравнение ,
то есть найти те
значения «икс»
,
при которых функция обращается в ноль. 4)
Промежутки
постоянства знаков, знаки в них. Промежутки,
где функция f(x) сохраняет знак. Интервал
знакопостоянства – это интервал, в
каждой точке которого
функция
положительна либо отрицательна. ВЫШЕ
оси абсцисс. НИЖЕ
оси . 5)
Непрерывность (точки разрыва, характер
разрыва, ассимптоты). Непрерывная
функция
-
функция без «скачков», то есть такая, у
которой малые изменения аргумента приводят
к малым изменениям значения функции. Если
предел функции существует
,
но функция не определена в этой точке,
либо предел не совпадает со значением
функции в данной точке: то
точка называется точкой
устранимого разрыва
функции (в комплексном
анализе -устранимая
особая точка). Если
«поправить» функцию в
точке устранимого разрыва и положить Точки
разрыва первого и второго рода
Если
функция имеет разрыв в данной точке (то
есть предел функции в данной точке
отсутствует или не совпадает со значением
функции в данной точке), то для числовых
функций возникает два возможных варианта,
связанных с существованием у числовых
функций односторонних
пределов
: если
оба односторонних предела существуют
и конечны, то такую точку называют точкой
разрыва первого рода
.
Точки устранимого разрыва являются
точками разрыва первого рода; если
хотя бы один из односторонних пределов
не существует или не является конечной
величиной, то такую точку называют точкой
разрыва второго рода
. Аси́мпто́та
- прямая
,
обладающая тем свойством, что расстояние
от точки кривой до этой прямой
стремится
к нулю при удалении точки вдоль ветви
вбесконечность. Вертикальная
Вертикальная
асимптота - прямая предела Как
правило, при определении вертикальной
асимптоты ищут не один предел, а два
односторонних (левый и правый). Это
делается с целью определить, как функция
ведёт себя по мере приближения к
вертикальной асимптоте с разных сторон.
Например: Горизонтальная
асимптота - прямая
вида при
условии существования предела
Наклонная
асимптота - прямая
вида при
условии существования пределов
Замечание:
функция может иметь не более двух
наклонных (горизонтальных) асимптот. Замечание:
если хотя бы один из двух упомянутых
выше пределов не существует (или равен ),
то наклонной асимптоты при (или )
не существует. если в
п. 2.), то ,
и предел находится
по формуле горизонтальной асимптоты, 6)
Нахождение
промежутков монотонности.
Найти
интервалы монотонности функции f
(x
)(то
есть интервалы возрастания и убывания).
Это делается с помощью исследования
знака производной f
(x
).
Для этого находят производную f
(x
) и
решают неравенство f
(x
)0.
На промежутках, где это неравенство
выполнено, функция f
(x
)возрастает.
Там, где выполнено обратное неравенство
f
(x
)0,
функция f
(x
)убывает. Нахождение
локального экстремума.
Найдя
интервалы монотонности, мы можем сразу
определить точки локального экстремума
там, где возрастание сменяется убыванием,
располагаются локальные максимумы, а
там, где убывание сменяется возрастанием
- локальные минимумы. Вычислить значение
функции в этих точках. Если функция
имеет критические точки, не являющиеся
точками локального экстремума, то
полезно вычислить значение функции и
в этих точках. Нахождение
наибольшего и наименьшего значений
функции y = f(x) на отрезке
(продолжение) 1.
Найти
производную функции: f
(x
). 2.
Найти
точки, в которых производная равна
нулю: f
(x
)=0x
1, x
2 ,... 3.
Определить
принадлежность точек х
1 , х
2 , …
отрезку
[a
; b
]:
пусть x
1a
;b
,
а x
2a
;b
. Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию. Цели:
Оборудование:
мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал. Формы работы:
фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности. Информационные источники:
ХОД УРОКА 1. Организационный момент
Постановка целей и задач урока. 2.
Проверка домашнего задания
№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович). а) у
= f
(х
), f
(х
) = б) f
(–2) = –3; f
(0) = –1; f
(5) = 69; в) 1. D(f
) = [– 2; + ∞) (Вы использовали алгоритм исследования
функции?) Слайд.
2. Таблицу, которую вам задавалась, проверим
по слайду. Область определения Нули функции Промежутки знакопостоянства х = –5, х € (–5;3) U х € (–∞;–5) U х ∞ –5, х € (–5;3) U х € (–∞;–5) U х ≠ –5, х € (–∞; –5) U х € (–5; 2) 3.
Актуализация знаний
– Даны функции. х
≠ 0 и не
опред. 4. Новый материал
– Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё
одно свойство функции, незнакомое вам, но не
менее важное, чем остальные – это чётность и
нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные
и нечётные функции», наша задача – научиться
определять чётность и нечётность функции,
выяснить значимость этого свойства в
исследовании функций и построении графиков. Опр. 1
Функция у
= f
(х
),
заданная на множестве Х называется чётной
,
если для любого значения х
Є Х выполняется равенство
f(–х)= f(х).
Приведите примеры.
Опр. 2
Функция у = f (х)
, заданная на
множестве Х называется нечётной
, если для
любого значения х
Є Х выполняется
равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.
Где мы встречались с терминами «четные» и
«нечётные»? Изучение вопроса о том, является ли функция
чётной или нечётной называют исследованием
функции на чётность.
Слайд В определениях 1 и 2 шла речь о значениях
функции при х и – х, тем самым предполагается, что
функция определена и при значении х
, и при – х
. Опр 3.
Если числовое множество вместе с
каждым своим элементом х содержит и
противоположный элемент –х, то множество Х
называют
симметричным множеством. Примеры:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а , [–5;4] – несимметричные. – У чётных функций область определения –
симметричное множество? У нечётных? Слайд
Алгоритм исследования функции на
чётность
1. Установить, симметрична ли область
определения функции. Если нет, то функция не
является ни чётной, ни нечётной. Если да, то
перейти к шагу 2 алгоритма. 2. Составить выражение для f
(– х
). 3. Сравнить f
(– х
).и f
(х
): Примеры:
Исследовать на чётность функцию а) у
= х 5
+; б) у
= ; в) у
= . Решение.
а) h(х) = х 5 +, 1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество. 2) h (– х) = (–х) 5 + –
х5 –= – (х 5 +), 3) h(– х) = – h (х) => функция h(х)
= х 5 + нечётная. б) у =, у
= f
(х
), D(f) = (–∞; –9)?
(–9; +∞), несимметричное множество, значит
функция ни чётная, ни нечётная. в) f
(х
) = , у = f (х), 1) D(f
) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]? Вариант 2
1. Является ли симметричным заданное множество:
а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ? а) у =
х 2 · (2х – х 3), б) у = Взаимопроверка по слайду.
6. Задание на дом:
№11.11, 11.21,11.22; Доказательство геометрического смысла
свойства чётности. ***(Задание варианта ЕГЭ).
1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей
числовой прямой. Для всякого неотрицательного
значения переменной х значение этой функции
совпадает со значением функции g(х
)
= х
(х
+ 1)(х
+ 3)(х
– 7). Найдите
значение функции h(х
) = при х
= 3. 7. Подведение итогов
Скрыть
Показать
Рассмотрим функцию \(f(x)=x^3-3x^2+4\)
.
Можно разложить на множители: \
Следовательно, ее нули: \(x=-1;2\)
.
Если найти производную \(f"(x)=3x^2-6x\)
, то мы получим две точки экстремума \(x_{max}=0, x_{min}=2\)
.
Следовательно, график выглядит так:
Мы видим, что любая горизонтальная прямая \(y=k\)
, где \(0
Таким образом, нужно: \[\begin{cases} 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Давайте также сразу заметим, что если числа \(t_1\)
и \(t_2\)
различны, то и числа \(\log_{\sqrt2}t_1\)
и \(\log_{\sqrt2}t_2\)
будут различны, значит, и уравнения \(x^3-3x^2+4=\log_{\sqrt2} t_1\)
и \(x^3-3x^2+4=\log_{\sqrt2} t_2\)
будут иметь несовпадающие между собой корни.
Систему \((**)\)
можно переписать так: \[\begin{cases} 1
В явном виде выписывать корни мы не будем.
Рассмотрим функцию \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\)
. Ее график – парабола с ветвями вверх, которая имеет две точки пересечения с осью абсцисс (это условие мы записали в пункте 1)). Как должен выглядеть ее график, чтобы точки пересечения с осью абсцисс были в интервале \((1;4)\)
? Так:
Во-первых, значения \(g(1)\)
и \(g(4)\)
функции в точках \(1\)
и \(4\)
должны быть положительными, во-вторых, вершина параболы \(t_0\)
должна также находиться в интервале \((1;4)\)
. Следовательно, можно записать систему: \[\begin{cases}
1+a-10+12-a>0\\
4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\
1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Функция \(g(x)\)
имеет точку максимума \(x=0\)
(причем \(g_{\text{верш}}=g(0)=-a^2+20a-4\)
):
\(g"(x)=-2^{x^2+2}\cdot \ln 2\cdot 2x\)
. Ноль производной: \(x=0\)
. При \(x<0\)
имеем: \(g">0\)
, при \(x>0\)
: \(g"<0\)
.
Функция \(f(x)\)
при \(x>0\)
является возрастающей, а при \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Действительно, при \(x>0\)
первый модуль раскроется положительно (\(|x|=x\)
), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется второй модуль, \(f(x)\)
будет равно \(kx+A\)
, где \(A\)
– выражение от \(a\)
, а \(k\)
равно либо \(13-10=3\)
, либо \(13+10=23\)
. При \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Найдем значение \(f\)
в точке минимума: \
Устранимые
точки разрыва
,
,
то получится функция, непрерывная в
данной точке. Такая операция над функцией
называется доопределением
функции до непрерывной
или доопределением
функции по непрерывности
,
что и обосновывает название точки, как
точки устранимого
разрыва.
.Горизонтальная
.Наклонная
.
Назад
Вперёд
1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник.
2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник.
3.Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А
2. Е(f
) = [– 3; + ∞)
3. f
(х
) = 0 при х
~ 0,4
4. f
(х
) >0 при х
> 0,4 ; f
(х
)
< 0 при – 2 <
х
<
0,4.
5. Функция возрастает при х
€ [– 2; + ∞)
6. Функция ограничена снизу.
7. у
наим = – 3, у
наиб не
существует
8. Функция непрерывна.Заполните таблицу
Координаты точек пересечения графика с
Оу
х = 2
U (2; ∞)
U (–3;2)
х ≠ 2
U (2; ∞)
U (–3;2)
х ≠ 2
U (2; ∞)
– Указать область определения для каждой
функции.
– Сравнить значение каждой функции для каждой
пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2.
– Для каких из данных функций в области
определения выполняются равенства f
(– х
)
= f
(х
), f
(– х
) = – f
(х
)? (полученные
данные занести в таблицу) Слайд
f
(1) и f
(– 1)
f
(2) и f
(– 2)
графики
f
(– х
) = –f
(х
)
f
(– х
) = f
(х
)
1. f
(х
) =
2. f
(х
) = х
3
3. f
(х
) = | х
|
4. f
(х
) = 2х
– 3
5. f
(х
) =
6. f
(х
)=
х
>
–1
Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем
(стр. 110). Слайд
Какие из данных функций будут чётными, как вы
думаете? Почему? Какие нечётными? Почему?
Для любой функции вида у
= х n
, где n
– целое число можно утверждать, что функция
нечётна при n
– нечётном и функция чётна при n
– чётном.
– Функции вида у
= и у
= 2х
– 3 не являются ни
чётным, ни нечётными, т.к. не выполняются
равенства f
(– х
) = – f
(х
), f
(–
х
) = f
(х
)
– Если же D(f
) – несимметричное множество, то
функция какая?
– Таким образом, если функция у
= f
(х
)
– чётная или нечётная, то её область определения
D(f
) – симметричное множество. А верно ли
обратное утверждение, если область определения
функции симметричное множество, то она чётна,
либо нечётна?
– Значит наличие симметричного множества
области определения – это необходимое условие,
но недостаточное.
– Так как же исследовать функцию на четность?
Давайте попробуем составить алгоритм.
а); б) у = х· (5 –
х 2).
2. Исследуйте на чётность функцию:
3. На рис. построен график у
= f
(х
),
для всех х
, удовлетворяющих условию х
?
0.
Постройте график функции у
= f
(х
),
если у
= f
(х
) – чётная функция.
3. На рис. построен график у
= f
(х
),
для всех х, удовлетворяющих условию х? 0.
Постройте график функции у
= f
(х
),
если у
= f
(х
) – нечётная функция.
Способы задания функции
Пусть функция задается формулой: y=2x^{2}-3 . Назначая любые значения независимой переменной x , можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y . Например, если x=-0,5 , то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y равно y=2 \cdot (-0,5)^{2}-3=-2,5 .
Взяв любое значение, принимаемое аргументом x в формуле y=2x^{2}-3 , можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3 ; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.
Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x . Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.
Четная и нечетная функция
Функция является четной функцией , когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy .
Функция является нечетной функцией , когда f(-x)=-f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0) .
Функция является ни четной , ни нечетной и называется функцией общего вида , когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.
Исследуем на четность нижеприведенную функцию:
f(x)=3x^{3}-7x^{7}
D(f)=(-\infty ; +\infty) с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)= 3 \cdot (-x)^{3}-7 \cdot (-x)^{7}= -3x^{3}+7x^{7}= -(3x^{3}-7x^{7})= -f(x) .
Значит, функция f(x)=3x^{3}-7x^{7} является нечетной.
Периодическая функция
Функция y=f(x) , в области определения которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x) , называется периодической функцией с периодом T \neq 0 .
Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T .
Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс.
f(x) > 0 на (x_{1}; x_{2}) \cup (x_{3}; +\infty)
Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) < 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x) < 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})
Ограниченность функции
Ограниченной снизу принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число A , для которого выполняется неравенство f(x) \geq A для любого x \in X .
Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1+x^{2}} так как y=\sqrt{1+x^{2}} \geq 1 для любого x .
Ограниченной сверху называется функция y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число B , для которого выполняется неравенство f(x) \neq B для любого x \in X .
Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1-x^{2}}, x \in [-1;1] так как y=\sqrt{1+x^{2}} \neq 1 для любого x \in [-1;1] .
Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0 , для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X .
Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1 .
Возрастающая и убывающая функция
О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) > y(x_{2}) .
Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) < y(x_{2}) .
Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0 ).
а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x < 0
б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x < 0
.png)
в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x < 0
г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0 , то она будет убывать и при x < 0
.png)
Экстремумы функции
Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}) . y_{min} - обозначение функции в точке min.
Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x) < f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Необходимое условие
Согласно теореме Ферма: f"(x)=0 тогда, когда у функции f(x) , что дифференцируема в точке x_{0} , появится экстремум в этой точке.
Достаточное условие
- Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
- x_{0} - будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0} .
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Шаги вычислений:
- Ищется производная f"(x) ;
- Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку ;
- Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим .
