Что такое дискретный ряд. Интервальный ряд распределения

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАДАЧА 1

Имеются следующие данные о заработной плате работников на предприятии:

Таблица 1.1

	Размер заработной платы в усл. ден. ед.

Требуется построить интервальный ряд распределения, по которому найти;

1) среднюю заработную плату;

2) среднее линейное отклонение;

4) среднее квадратическое отклонение;

5) размах вариации;

6) коэффициент осцилляции;

7) линейный коэффициент вариации;

8) простой коэффициент вариации;

10) медиану;

11) коэффициент асимметрии;

12) показатель асимметрии Пирсона;

13) коэффициент эксцесса.

Решение

Как известно, варианты (значения признано) расположены в порядке возрастания образуют дискретный вариационный ряд. При большом числе вариант (больше 10) даже в случае дискретной вариации строятся интервальные ряды.

Если составляется интервальный ряд с ровными интервалами, то размах вариации делится на указанное число интервалов. При этом, если полученное значение целое и однозначное (что бывает редко), то длина интервала принимается равной этому числу. В остальных случаях производится округление обязательно в сторону увеличения, так чтобы последняя оставляемая цифра была чётной. Очевидно, с увеличением длины интервала расширяется размах вариации на величину, равной произведению числа интервалов: на разность расчетной и первоначальной длины интервала

а) Если величина расширения размаха вариации незначительна, то ее либо прибавляют к наибольшему либо вычитают из наименьшего значения признака;

б) Если величина расширения размаха вариации ощутима, то, чтобы не произошло смешения центра размаха, ее примерно делят пополам одновременно прибавляя к наибольшему и вычитая из наименьшего значений признака.

Если составляется интервальный ряд с неравными интервалами, то процесс упрощается, но по-прежнему длина интервалов должна выражаться числом с последней чётной цифрой, что значительно упрощает последующие расчёты числовых характеристик.

30 - объем выборки.

Составим интервальный ряд распределения, используя формулу Стерджеса:

K = 1 + 3.32*lg n,

K - число групп;

K = 1 + 3.32*lg 30 = 5,91=6

Находим размах признака - заработная плата работников на предприятии - (х) по формуле

R= xmaх - xmin и делим на 6; R= 195-112=83

Тогда длина интервала будет l пер=83:6=13.83

Началом первого интервала будет 112. Прибавляя к 112 l рас=13,83, получим его конечное значение 125,83, которое одновременно является началом второго интервала и т.д. конец пятого интервала - 195.

При нахождении частот следует руководствоваться правилом: «если значение признака совпадает с границей внутреннего интервала, то его следует относить к предыдущему интервалу».

Получим интервальный ряд частот и накопительных частот.

Таблица 1.2

Следовательно, 3 работника имеют зар. плату от 112 до 125,83 усл.ден.ед. Наибольшая зар. плата от 181,15 до 195 усл.ден.ед. только у 6-ті работников.

Для расчёта числовых характеристик интервальный ряд преобразуем в дискретный, взяв в качестве вариант середины интервалов:

Таблица 1.3

							14131,83

По формуле взвешенного среднего арифметического

усл.ден.ед.

Среднее линейное отклонение:

где xi - значение изучаемого признака у i-той единицы совокупности,

Средняя величина изучаемого признака.

Размещено на http://www.allbest.ru/

LРазмещено на http://www.allbest.ru/

Усл.ден.ед.

Среднее квадратическое отклонение:

Дисперсия:

Относительный размах вариации (коэффициент осцилляции): с= R:,

Относительное линейное отклонение: q = L:

Коэффициент вариации: V = у:

Коэффициент осцилляции показывает относительную колеблемость крайних значений признака около среднего арифметического, а коэффициент вариации характеризует степень и однородности совокупности.

с= R: = 83 / 159,485*100% = 52,043%

Таким образом, разница между крайними значениями на 5,16% (=94,84%-100%) меньше среднего значения заработной платы работников на предприятии.

q = L: = 17,765/ 159,485*100% =11,139 %

V = у: = 21,704/ 159,485*100% = 13,609%

Коэффициент вариации меньше 33%, что говорит о слабой вариации заработной платы работников на предприятии, т.е. о том, что средняя величина является типической характеристикой заработной плате работников (совокупность однородная).

В интервальных рядах распределения мода определяется по формуле -

Частота модального интервала, т. е. интервала, содержащего наибольшее число вариант;

Частота интервала, предшествующего модальному;

Частота интервала, следующего за модальным;

Длина модального интервала;

Нижняя граница модального интервала.

Для определения медианы в интервальном ряду воспользуемся формулой

где - кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному;

Нижняя граница медианного интервала;

Частота медианного интервала;

Длина медианного интервала.

Медианный интервал - интервал, накопленная частота которого (=3+3+5+7) превышает половину суммы частот - (153,49; 167,32).

Рассчитаем асимметрию и эксцесс для чего составим новую рабочую таблицу:

Таблица 1.4

Фактические данные	Расчетные данные

Рассчитаем момент третьего порядка

Следовательно, асимметрия равна

Так как 0,3553 0,25, то асимметрия признается значительной.

Рассчитаем момент четвертого порядка

Следовательно, эксцесс равен

Так как < 0, то эксцесс является плосковершинным.

Степень асимметрии может быть определена с помощью коэффициента асимметрии Пирсона (Аs): осцилляция выборка стоимость товарооборот

где -- средняя арифметическая ряда распределения; -- мода; -- среднее квадратическое отклонение.

При симметричном (нормальном) распределении = Мо, следовательно, коэффициент асимметрии равен нулю. Если Аs > 0, то больше моды, следовательно, имеется правосторонняя асимметрия.

Если As < 0, то меньше моды, следовательно, имеется левосторонняя асимметрия. Коэффициент асимметрии может изменяться от -3 до +3.

Распределение не является симметричным, а имеет левостороннюю асимметрию.

ЗАДАЧА 2

Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,04, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,24?

Решение

Объем выборки при бесповторном отборе рассчитывается по формуле:

t - коэффициент доверия (при вероятности 0,954 он равен 2,0; определяется по таблицам интегралов вероятности),

у2=0,24 - среднее квадратическое отклонение;

10000 чел. - численность выборки;

Дх =0,04 - предельная ошибка выборочной средней.

С вероятностью 95,4% можно утверждать, что численность выборки, обеспечивающая относительную погрешность не более 0,04, должна составлять не менее 566 семей.

ЗАДАЧА 3

Имеются следующие данные о доходах от основной деятельности предприятия, млн. руб.

Для анализа ряда динамики определите следующие показатели:

1) цепные и базисные:

Абсолютные приросты;

Темпы роста;

Темпы прироста;

2) средний

Уровень ряда динамики;

Абсолютный прирост;

Темп роста;

Темп прироста;

3) абсолютное значение 1% прироста.

Решение

1. Абсолютный прирост (Д у) - это разность между последующим уровнем ряда и предыдущим (или базисным):

цепной: Ду = уi - yi-1,

базисный: Ду = уi - y0,

уi - уровень ряда,

i - номер уровня ряда,

y0 - уровень базисного года.

2. Темп роста (Ту) - это отношение последующего уровня ряда и предыдущего (или базисного 2001 г.):

цепной: Ту = ;

базисный: Ту =

3. Темп прироста (Т Д ) - это отношение абсолютного прироста к предыдущему уровню, выраженное в %.

цепной: Ту = ;

базисный: Ту =

4. Абсолютное значение 1% прироста (А) - это отношение цепного абсолютного прироста к темпу прироста, выраженному в %.

А =

Средний уровень ряда рассчитывается по формуле средней арифметической.

Средний уровень доходов от основной деятельности за 4 года:

Средний абсолютный прирост рассчитывается по формуле:

где n - число уровней ряда.

В среднем за год доходы от основной деятельности выросли на 3,333 млн. руб.

Среднегодовой темп роста рассчитывается по формуле средней геометрической:

уn - конечный уровень ряда,

у0 - начальный уровень ряда.

Ту = 100% = 102,174 %

Среднегодовой темп прироста рассчитывается по формуле:

Т? = Ту - 100% = 102,74% - 100% = 2,74%.

Таким образом, в среднем за год доходы от основной деятельности предприятия увеличивались на 2,74%.

ЗАДАЧ А 4

Вычислить:

1. Индивидуальные индексы цен;

2. Общий индекс товарооборота;

3. Агрегатный индекс цен;

4. Агрегатный индекс физического объема продажи товаров;

5. Абсолютный прирост стоимости товарооборота и разложите по факторам (за счет изменения цен и количества проданных товаров);

6. Сделать краткие выводы по всем полученным показателям.

Решение

1. По условию, индивидуальные индексы цен по изделиям А, Б, В составили -

iрA=1.20; iрБ=1,15; iрВ=1.00.

2. Общий индекс товарооборота рассчитаем по формуле:

I w = = 1470/1045*100% = 140,67 %

Товарооборот вырос на 40,67 % (140,67%-100%).

В среднем цены на товары выросли на 10,24%.

Сумма дополнительных расходов покупателей от роста цен:

w(p) = ? p1q1 - ? p0q1 = 1470 - 1333,478= 136,522 млн. руб.

В результате роста цен покупателям пришлось дополнительно израсходовать 136,522 млн. руб.

4. Общий индекс физического объема товарооборота:

Физический объем товарооборота вырос на 27,61 %.

5. Определим общее изменение товарооборота во втором периоде по сравнению с первым периодом:

w = 1470- 1045 = 425 млн.руб.

за счет изменения цен:

W(р) = 1470 - 1333,478 = 136,522 млн. руб.

за счет изменения физического объема:

w(q) = 1333,478 - 1045= 288,478 млн. руб.

Товарооборот товаров увеличился на 40,67%. Цены в среднем по 3-м товарам выросли на 10,24%. Физический объем товарооборота увеличился на 27,61%.

В целом объем реализации увеличился на 425 млн.руб., в том числе за счет роста цен он вырос на 136,522 млн. руб., а за счет увеличения объемов продаж - на 288,478 млн. руб.

ЗАДАЧА 5

По 10 заводам одной отрасли имеются следующие данные.

№ завода	Выпуск продукции, тыс. шт. (Х)

На основе приведенных данных:

I) для подтверждения положений логического анализа о наличии корреляционной прямолинейной зависимости между факторным признаком (объемом выпуска продукции) и результативным признаком (расходом электроэнергии) нанесите исходные данные на график корреляционного поля и сделайте выводы о форме связи, укажите ее формулу;

2) определите параметры уравнения связи и нанесите полученную при этом теоретическую линию на график корреляционного поля;

3) исчислите линейный коэффициент корреляции,

4) поясните значения показателей, полученных в пунктах 2) и 3);

5) используя полученную модель, сделайте прогноз о возможном расходе электроэнергии на заводе с объемом производства 4,5 тыс. шт.

Решение

Данные признака - объем выпуска продукции (фактор), обозначим через хi; признака - расход электроэнергии (результат) через уi; точки с координатами (х, у) наносим на корреляционное поле ОХУ.

Точки корреляционного поля расположены вдоль некоторой прямой. Следовательно, связь - линейная, будем искать уравнение регрессии в виде прямой Уx=ax+b. Для его нахождения воспользуемся системой нормальных уравнений:

Составим расчетную таблицу.

По найденным средним составляем систему и решаем её относительно параметров а и b:

Итак, получим уравнение регрессии у на х: = 3,57692 х + 3,19231

Строим линию регрессии на корреляционном поле.

Подставляя в уравнение регрессии значения х из столбца 2, получим расчетные (столбец 7) и сравниваем их с данными у, что отражено в столбце 8. Кстати, правильность расчетов подтверждается и совпадением средних значений у и.

Коэффициент линейной корреляции оценивает тесноту зависимости между признаками х и у и рассчитывается по формуле

Угловой коэффициент прямой регрессии а (при х) характеризует направление выявленной зависимости признаков: при а>0 одинаковы, при а<0- противоположны. Его абсолютная величина - мера изменения результативного признака при изменении факторного на единицу измерения.

Свободный член прямой регрессии выявляет направление, а его абсолютное значение - количественную меру влияния на результативный признак всех прочих факторов.

Если < 0, то ресурс факторного признака отдельного объекта используется с меньшей, а при >0 с большей результативностью, чем в среднем по всему множеству объектов.

Проведём послерегрессионный анализ.

Коэффициент при х прямой регрессии равен 3,57692 >0, следовательно, с увеличением (уменьшением) выпуска продукции растёт (падает) расход электроэнергии. Увеличение выпуска продукции на 1 тыс. шт. даёт в среднем рост расход электроэнергии на 3,57692 тыс. кВт.ч.

2. Свободный член прямой регрессии равен 3,19231,следовательно, влияние прочих факторов увеличивает силу воздействия выпуска продукции на расход электроэнергии в абсолютном измерении на 3,19231 тыс. кВт.ч.

3. Коэффициент корреляции 0,8235 выявляет весьма тесную зависимость расхода электроэнергии от выпуска продукции.

По уравнению регрессионной модели легко делать прогнозы. Для этого в уравнение регрессии подставляют значения х - объем выпуска продукции и прогнозируют расход электроэнергии. При этом значения х можно брать не только в пределах заданного размаха, но и вне его.

Сделаем прогноз о возможном расходе электроэнергии на заводе с объемом производства 4,5 тыс. шт.

3,57692*4,5 + 3,19231= 19,288 45 тыс. кВт.ч.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Захаренков С.Н. Социально-экономическая статистика: Учеб.-практ пособие. -Мн.: БГЭУ, 2002.

2. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. - М.: ИНФРА - М., 2000.

3. Елисеева И.И. Статистика. - М.: Проспект, 2002.

4. Общая теория статистики / Под общ. ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина. - М.: Финансы и статистика, 2000.

5. Социально-экономическая статистика: Учеб.-практ. пособие / Захаренков С.Н. и др. - Мн.: ЕГУ, 2004.

6. Социально-экономическая статистика: Учеб. пособие. / Под ред. Нестерович С.Р. - Мн.: БГЭУ, 2003.

7. Теслюк И.Е., Тарловская В.А., Терлиженко Н. Статистика.- Минск, 2000.

8. Харченко Л.П. Статистика. - М.: ИНФРА - М, 2002.

9. Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. Статистика. - М.: ИНФРА - М, 1999.

10. Экономическая статистика / Под ред. Ю.Н. Иванова - М., 2000.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Расчет средней арифметической для интервального ряда распределения. Определение общего индекса физического объема товарооборота. Анализ абсолютного изменения общей стоимости продукции за счет изменения физического объема. Расчет коэффициента вариации.

контрольная работа , добавлен 19.07.2010


Сущность оптового, розничного и общественного товарооборота. Формулы расчета индивидуальных, агрегатных индексов товарооборота. Расчет характеристик интервального ряда распределения - среднего арифметического, моды и медианы, коэффициента вариации.

курсовая работа , добавлен 10.05.2013


Расчет планового и фактического объема продаж, процента выполнения плана, абсолютного изменения товарооборота. Определение абсолютного прироста, средних темпов роста и прироста денежных доходов. Расчет структурных средних: моды, медианы, квартиля.

контрольная работа , добавлен 24.02.2012


Интервальный ряд распределения банков по объему прибыли. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов. Расчет характеристик интервального ряда распределения. Вычисление средней арифметической.

контрольная работа , добавлен 15.12.2010


Формулы определения средних величин интервального ряда - моды, медианы, дисперсии. Расчет аналитических показателей рядов динамики по цепной и базисной схемам, темпов роста и прироста. Понятие сводного индекса себестоимости, цен, затрат и товарооборота.

курсовая работа , добавлен 27.02.2011


Понятие и назначение, порядок и правила построения вариационного ряда. Анализ однородности данных в группах. Показатели вариации (колеблемости) признака. Определение среднего линейного и квадратического отклонения, коэффициента осцилляции и вариации.

контрольная работа , добавлен 26.04.2010


Понятие моды и медианы как типичных характеристик, порядок и критерии их определения. Нахождение моды и медианы в дискретном и интервальном вариационном ряду. Квартили и децили как дополнительные характеристики вариационного статистического ряда.

контрольная работа , добавлен 11.09.2010


Построение интервального ряда распределения по группировочному признаку. Характеристика отклонения распределения частот от симметричной формы, расчет показателей эксцесса и ассиметрии. Анализ показателей бухгалтерского баланса или отчёта о прибылях.

контрольная работа , добавлен 19.10.2014


Преобразование эмпирического ряда в дискретный и интервальный. Определение средней величины по дискретному ряду с использованием ее свойств. Расчет по дискретному ряду моды, медианы, показателей вариации (дисперсия, отклонение, коэффициент осцилляции).

контрольная работа , добавлен 17.04.2011


Построение статистического ряда распределения организаций. Графическое определение значения моды и медианы. Теснота корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации. Определение ошибки выборки среднесписочной численности работников.

Высшего профессионального образования

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И

ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

(Калужский филиал)

Кафедра естественнонаучных и математических дисциплин

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине «Статистика»

Студент___Майборода Галина Юрьевна______

Заочного отделения факультет Государственное и муниципальное управление группа Г-12-В

Преподаватель ____________________ Хамер Г.В.

К.п.н., доцент

Калуга-2013 г.

Задача 1.

Задача 1.1. 4

Задача 1.2. 16

Задача 1.3. 24

Задача 1.4. 33

Задача 2.

Задача 2.1. 43

Задача 2.2. 48

Задача 2.3. 53

Задача 2.4. 58

Задача 3.

Задача 3.1. 63

Задача 3.2. 68

Задача 3.3. 73

Задача 3.4. 79

Задача 4.

Задача 4.1. 85

Задача 4.2. 88

Задача 4.3. 90

Задача 4.4. 93

Список использованных источников. 96

Задача 1.

Задача 1.1.

Имеются следующие данные о выпуске продукции и сумме прибыли предприятиями области (таблица 1).

Таблица 1

Данные о выпуске продукции и сумме прибыли предприятиями

№ предприятия	Выпуск продукции, млн. руб.	Прибыль, млн. руб.	№ предприятия	Выпуск продукции, млн. руб.	Прибыль, млн. руб.
	63,0	6,7		56,0	7,2
	48,0	6,2		81,0	9,6
	39,0	6,5		55,0	6,3
	28,0	3,0		76,0	9,1
	72,0	8,2		54,0	6,0
	61,0	7,6		53,0	6,4
	47,0	5,9		68,0	8,5
	37,0	4,2		52,0	6,5
	25,0	2,8		44,0	5,0
	60,0	7,9		51,0	6,4
	46,0	5,5		50,0	5,8
	34,0	3,8		65,0	6,7
	21,0	2,1		49,0	6,1
	58,0	8,0		42,0	4,8
	45,0	5,7		32,0	4,6

По исходным данным:

1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по выпуску продукции, образовав пять групп с равными интервалами.

Постройте графики ряда распределения: полигон, гистограмму, кумуляту. Графически определите значение моды и медианы.

2. Рассчитайте характеристики ряда распределения предприятий по выпуску продукции: среднюю арифметическую, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Сделайте вывод.

3. Методом аналитической группировки установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли на одно предприятие.

4. Измерьте тесноту корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли эмпирическим корреляционным отношением.

Сделайте общие выводы.

Решение:

Построим статистический ряд распределения

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение предприятий по объему выпуска продукции, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле:

х max и х min – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности предприятий;

k - число групп интервального ряда.

Число групп k задано в условии задания. k = 5.

х max = 81 млн. руб., х min = 21 млн. руб.

Расчет величины интервала:

млн. руб.

Путем последовательного прибавления величины интервала h = 12 млн. руб. к нижней границе интервала, получаем следующие группы:

1 группа: 21 – 33 млн. руб.

2 группа: 33 – 45 млн. руб.;

3 группа: 45 – 57 млн. руб.

4 группа: 57 – 69 млн. руб.

5 группа: 69 – 81 млн. руб.

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать количество предприятий, входящих в каждую группу (частоты групп ).

Процесс группировки предприятий по объему выпуска продукции представлен во вспомогательной таблице 2. Графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки (пункт 3 задания).

Таблица 2

Таблица для построения интервального ряда распределения и

аналитической группировки

Группы предприятий по объему выпуска продукции, млн. руб.	№ предприятия	Выпуск продукции, млн. руб.	Прибыль, млн. руб.
21-33		21,0	2,1
	25,0	2,8
	28,0	3,0
	32,0	4,6
Всего		106,0	12,5
33-45		34,0	3,8
	37,0	4,2
	39,0	6,5
	42,0	4,8
	44,0	5,0
Всего		196,0	24,3
45-57		45,0	5,7
	46,0	5,5
	47,0	5,9
	48,0	6,2
	49,0	6,1
	50,0	5,8
	51,0	6,4
	52,0	6,5
	53,0	6,4
	54,0	6,0
	55,0	6,3
	56,0	7,2
Всего		606,0	74,0
57-69		58,0	8,0
	60,0	7,9
	61,0	7,6
	63,0	6,7
	65,0	6,7
	68,0	8,5
Всего		375,0	45,4
69-81		72,0	8,2
	76,0	9,1
	81,0	9,6
Всего		229,0	26,9
Итого			183,1

На основе групповых итоговых строк «Всего» таблицы 3 формируется итоговая таблица 3, представляющая интервальный ряд распределения предприятий по объему выпуска продукции.

Таблица 3

Ряд распределения предприятий по объему выпуска продукции

Вывод. Построенная группировка показывает, что распределение предприятий по объему выпуска продукции не является равномерным. Наиболее часто встречаются предприятии с объемом выпуска продукции от 45 до 57 млн. руб. (12 предприятий). Наименее часто встречаются предприятий с объемом выпуска продукции от 69 до 81 млн. руб. (3 предприятия).

Построим графики ряда распределения.

Полигон чаще используют для изображения дискретных рядов. Для построения полигона в прямоугольной системе координат на оси абсцисс откладывают значения аргумента, т. е. варианты (для интервальных вариационных рядов в качестве аргумента принимают середину интервала) а на оси ординат - значения частот . Далее в этой системе координат строят точки, координатами которых являются пары соответствующих чисел из вариационного ряда. Полученные точки последовательно соединяют отрезками прямой. Полигон представлен на рисунке 1.

Гистограмма – столбиковая диаграмма. Она позволяет оценить симметричность распределения. Гистограмма представлена на рисунке 2.

Рисунок 1 – Полигон распределения предприятий по объему

выпуска продукции

Мода

Рисунок 2 – Гистограмма распределения предприятий по объему

выпуска продукции

Мода – значение признака, которое встречается наиболее часто в исследуемой совокупности.

Для интервального ряда графически моду можно определить по гистограмме (рисунок 2). Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным (45 – 57 млн. руб.). Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Млн. руб.

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий наиболее часто встречаются предприятия с выпуском продукции в 52 млн. руб.

Кумулята – ломаная кривая. Она строится по накопленным частотам (рассчитаны в таблице 4). Кумулята начинается с нижней границы первого интервала (21 млн. руб.), накопленная частота откладывается в верхней границе интервала. Кумулята представлена на рисунке 3.

Медиана

Рисунок 3 - Кумулята распределения предприятий по объему

выпуска продукции

Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

В интервальном ряду медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой. Для определения медианы из точки на шкале накопленных частот, соответствующей 50% (30:2 = 15), проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Млн. руб.

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий имеют объем выпуска продукции не более 52 млн. руб., а другая половина – не менее 52 млн. руб.

Похожая информация.

Располагая данные статистического наблюдения, характеризующих то или иное явление, прежде всего необходимо их упорядочить, т.е. придать характер системности

Английский статистик. УДжРейхман по поводу неупорядоченных совокупностей образно сказал, что столкнуться с массой необобщенных данных равнозначно ситуации, когда человека бросают в лесной чаще без компаса. Что же собой представляет систематизация статистических данных в виде рядов распределениялу?

Статистический ряд распределения - это упорядоченные статистические совокупности (табл. 17). Простейшим видом статистического ряда распределения ранжированном ряд, т.е. ряд чисел, находящейся в порядке возрастания ч или падения варьируя признаки. Такой ряд не позволяет судить о закономерности, заложенные в распределенных данных: у какой величины группируется большинство показателей, какие есть отклонения от этой величины; как а общая картина распределения. С этой целью группируют данные, показывая, как часто встречаются отдельные наблюдения в общем их числе (Схема 1а 1).

. Таблица 17

. Общий вид статистических рядов распределения

. Схема 1. Схемастатистичних рядов распределения

Распределение единиц совокупности по признакам, не имеют количественного выражения, называется атрибутивным рядом (например, распределение предприятий по их производственным направлением)

Ряды распределения единиц совокупности по признакам, имеют количественное выражение, называются вариационными рядами . В таких рядах значение признака (варианты) находятся в порядке возрастания или убывания

В вариационном ряде распределения различают два элемента: варианта и частота. Варианта - это отдельное значение группировочного признаки частота - число, которое показывает, сколько раз встречается каждый варианта

В математической статистике исчисляется еще один элемент вариационного ряда - частисть . Последняя определяется как отношение частоты случаев данного интервала к общей сумме частот частисть определяется в долях единицы, процентах (%) в промилле (% о)

Таким образом, вариационный ряд распределения - это такой ряд, в котором варианты расположены в порядке возрастания или убывания, указаны их частоты или частости. Вариационные ряды бывают дискретные (переривни) и др. нтервальни (непрерывного).

. Дискретные вариационные ряды - это такие ряды распределения, в которых варианта как величина количественного признака может принимать только определенное значение. Варианты различаются между собой на одну или несколько единиц

Так, количество произведенных деталей за смену конкретным рабочим может выражаться только одним определенным числом (6, 10, 12 и тд). Примером дискретного вариационного ряда может быть распределение работников по к количеством произведенных деталей (табл 18 18).

. Таблица 18

. Дискретный ряд распределения _

. Интервальные (непрерывного) вариационные ряды - такие ряды распределения, в которых значение варианты даны в виде интервалов, т.е. значения признаков могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину. При построении вариационного ряда нэп переривнои признаки невозможно указать каждое значение варианты, поэтому совокупность распределяется по интервалам. Последние могут быть равны и неравны. Для каждого из них указываются частоты или частости (табл. 1 9 19).

В интервальных рядах распределения с неравными интервалами вычисляют такие математические характеристики, как плотность распределения и относительная плотность распределения на данном интервале. Первая характеристика определи ся отношением частоты до величины того же интервала, вторая - отношением частости к величине того же интервала. Для приведенного выше примера плотность распределения на первом интервале составит 3: 5 = 0,6, а относительная плотность на этом интервале - 7,5:5 = 1,55%.

. Таблица 19

. Интервальный ряд распределения _

Что такое группировка статистических данных, и как она связана с рядами распределения, было рассмотрено этой лекции, там же можно узнать, о том что такое дискретный и вариационный ряд распределения.

Ряды распределения одна из разновидностей статистических рядов (кроме них в статистике используются ряды динамики), используются для анализа данных о явлениях общественной жизни. Построение вариационных рядов вполне посильная задача для каждого. Однако есть правила, которые необходимо помнить.

Как построить дискретный вариационный ряд распределения

Пример 1. Имеются данные о количестве детей в 20 обследованных семьях. Построить дискретный вариационный ряд распределения семей по числу детей .

0 1 2 3 1
2 1 2 1 0
4 3 2 1 1
1 0 1 0 2

Решение:

1. Начнем с макета таблицы, в которую затем мы внесем данные. Так как ряды распределения имеют два элемента, то таблица состоять будет из двух колонок. Первая колонка это всегда варианта – то, что мы изучаем – ее название берем из задания (конец предложения с заданием в условиях) — по числу детей – значит наша варианта это число детей.

Вторая колонка это частота – как часто встречается наша варианта в исследуемом явление – название колонки так же берем из задания — распределения семей – значит наша частота это число семей с соответствующим количеством детей.

1. Теперь из исходных данных выберем те значения, которые встречаются хотя бы один раз. В нашем случае это

И расставим эти данные в первой колонке нашей таблицы в логическом порядке, в данном случае возрастающем от 0 до 4. Получаем

И в заключение подсчитаем, сколько же раз встречается каждое значение варианты.

0 1 2 3 1

2 1 2 1 0

4 3 2 1 1

1 0 1 0 2

В результате получаем законченную табличку или требуемый ряд распределения семей по количеству детей.

Задание . Имеются данные о тарифных разрядах 30 рабочих предприятия. Построить дискретный вариационный ряд распределения рабочих по тарифному разряду. 2 3 2 4 4 5 5 4 6 3

1 4 4 5 5 6 4 3 2 3

4 5 4 5 5 6 6 3 3 4

Как построить интервальный вариационный ряд распределения

Построим интервальный ряд распределения, и посмотрим чем же его построение отличается от дискретного ряда.

Пример 2. Имеются данные о величине полученной прибыли 16 предприятий, млн. руб. — 23 48 57 12 118 9 16 22 27 48 56 87 45 98 88 63. Построить интервальный вариационный ряд распределения предприятий по объему прибыли, выделив 3 группы с равными интервалами.

Общий принцип построения ряда, конечно же, сохраниться, те же две колонки, те же варианта и частота, но в здесь варианта будет располагаться в интервале и подсчет частот будет вестись иначе.

Решение:

1. Начнем аналогично предыдущей задачи с построения макета таблицы, в которую затем мы внесем данные. Так как ряды распределения имеют два элемента, то таблица состоять будет из двух колонок. Первая колонка это всегда варианта – то, что мы изучаем – ее название берем из задания (конец предложения с заданием в условиях) — по объему прибыли – значит, наша варианта это объем полученной прибыли.

Вторая колонка это частота – как часто встречается наша варианта в исследуемом явление – название колонки так же берем из задания — распределения предприятий – значит наша частота это число предприятий с соответствующей прибылью, в данном случае попадающие в интервал.

В итоге макет нашей таблицы будет выглядеть так:

где i – величина или длинна интервала,

Хmax и Xmin – максимальное и минимальное значение признака,

n – требуемое число групп по условию задачи.

Рассчитаем величину интервала для нашего примера. Для этого среди исходных данных найдем самое большое и самое маленькое

23 48 57 12 118 9 16 22 27 48 56 87 45 98 88 63 – максимальное значение 118 млн. руб., и минимальное 9 млн. руб. Проведем расчет по формуле.

В расчете получили число 36,(3) три в периоде, в таких ситуациях величину интервала нужно округлить до большего, чтобы после подсчетов не потерялось максимальное данное, именно поэтому в расчете величина интервала 36,4 млн. руб.

1. Теперь построим интервалы – наши варианты в данной задаче. Первый интервал начинают строить от минимального значения к нему добавляется величина интервала и получается верхняя граница первого интервала. Затем верхняя граница первого интервала становится нижней границей второго интервала, к ней добавляется величина интервала и получается второй интервал. И так далее столько раз сколько требуется построить интервалов по условию.

Обратим внимание если бы мы не округлили величину интервала до 36,4, а оставили бы ее 36,3, то последнее значение у нас бы получилось 117,9. Именно для того чтобы не было потери данных необходимо округлять величину интервала до большего значения.

1. Проведем подсчет количества предприятий попавших в каждый конкретный интервал. При обработке данных необходимо помнить, что верхнее значение интервала в данном интервале не учитывается (не включается в этот интервал), а учитывается в следующем интервале (нижняя граница интервала включается в данный интервал, а верхняя не включается), за исключением последнего интервала.

При проведении обработки данных лучше всего отобранные данные обозначить условными значками или цветом, для упрощения обработки.

23 48 57 12 118 9 16 22

27 48 56 87 45 98 88 63

Первый интервал обозначим желтым цветом – и определим сколько данных попадает в интервал от 9 до 45,4, при этом данное 45,4 будет учитываться во втором интервале (при условии что оно есть в данных) – в итоге получаем 7 предприятий в первом интервале. И так дальше по всем интервалам.

1. (дополнительное действие ) Проведем подсчет общего объема прибыли полученного предприятиями по каждому интервалу и в целом. Для этого сложим данные отмеченные разными цветами и получим суммарное значение прибыли.

По первому интервалу — 23 + 12 + 9 + 16 + 22 + 27 + 45 = 154 млн. руб.

По второму интервалу — 48 + 57 + 48 + 56 + 63 = 272 млн. руб.

По третьему интервалу — 118 + 87 + 98 + 88 = 391 млн. руб.

Задание . Имеются данные о величине вклада в банке 30 вкладчиков, тыс. руб. 150, 120, 300, 650, 1500, 900, 450, 500, 380, 440,

600, 80, 150, 180, 250, 350, 90, 470, 1100, 800,

500, 520, 480, 630, 650, 670, 220, 140, 680, 320

Построить интервальный вариационный ряд распределения вкладчиков, по размеру вклада выделив 4 группы с равными интервалами. По каждой группе подсчитать общий размер вкладов.

Если изучаемая случайная величина является непрерывной, то ранжирование и группировка наблюдаемых значений зачастую не позволяют выделить характерные черты варьирования ее значений. Это объясняется тем, что отдельные значения случайной величины могут как угодно мало отличаться друг от друга и поэтому в совокупности наблюдаемых данных одинаковые значения величины могут встречаться редко, а частоты вариантов мало отличаются друг от друга.

Нецелесообразно также построение дискретного ряда для дискретной случайной величины, число возможных значений которой велико. В подобных случаях следует строить интервальный вариационный ряд распределения.

Для построения такого ряда весь интервал варьирования наблюдаемых значений случайной величины разбивают на ряд частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый частичный интервал.

Интервальным вариационным рядом называют упорядоченную совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений величины.

Для построения интервального ряда необходимо:

1. определить величину частичных интервалов;
2. определить ширину интервалов;
3. установить для каждого интервала его верхнюю и нижнюю границы ;
4. сгруппировать результаты наблюдении.

1 . Вопрос о выборе числа и ширины интервалов группировки приходится решать в каждом конкретном случае исходя из целей исследования, объема выборки и степени варьирования признака в выборке.

Приблизительно число интервалов k можно оценить исходя только из объема выборки n одним из следующих способов:

• по формуле Стержеса : k = 1 + 3,32·lg n ;
• с помощью таблицы 1.

Таблица 1

2 . Обычно предпочтительны интервалы одинаковой ширины. Для определения ширины интервалов h вычисляют:

• размах варьирования R - значений выборки: R = x max - x min ,

где x max и x min - максимальная и минимальная варианты выборки;

• ширину каждого из интервалов h определяют по следующей формуле: h = R/k .

3 . Нижняя граница первого интервала x h1 выбирается так, чтобы минимальная варианта выборки x min попадала примерно в середину этого интервала: x h1 = x min - 0,5·h .

Промежуточные интервалы получают прибавляя к концу предыдущего интервала длину частичного интервала h :

x hi = x hi-1 +h .

Построение шкалы интервалов на основе вычисления границ интервалов продолжается до тех пор, пока величина x hi удовлетворяет соотношению:

x hi < x max + 0,5·h .

4 . В соответствии со шкалой интервалов производится группирование значений признака - для каждого частичного интервала вычисляется сумма частот n i вариант, попавших в i -й интервал. При этом в интервал включают значения случайной величины, большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы интервала.

Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения.

По данным дискретного вариационного ряда строят полигон частот или относительных частот.

Полигоном частот x 1 ; n 1 ), (x 2 ; n 2 ), ..., (x k ; n k ). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат - соответствующие им частоты n i . Точки (x i ; n i ) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот (Рис. 1).

Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x 1 ; W 1 ), (x 2 ; W 2 ), ..., (x k ; W k ). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат - соответствующие им относительные частоты W i . Точки (x i ; W i ) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму .

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h , а высоты равны отношению n i / h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n i / h .