Что такое фрактал в искусстве. Фракталы – математика в искусстве ▲

Метки: 7 285 просм.

Статья Николаевой Е.В . кандидата культурологии, доцента Московского государственного университета дизайна и технологии «ИССЛЕДОВАНИЯ ФРАКТАЛОВ В ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОМ ИСКУССТВЕ» , опубликованная на сайте Российского Государственного института искусствознания , пожалуй, одно из многих научных исследований фракталов (см. список литературы), посредством, которого автор разъясняет природу фракталов в переложении на изобразительное искусство .

Не искушённому читателю с первого раза будет трудно вникнуть в суть повествования. Хочется отметить, что наряду с великими мирового изобразительного искусства Леонардо да Винчи, Кацусика Хокусая, Маурица Эшера и других современных, зарубежных художников автор упоминает нашего соотечественника известного концептуального художника . Приведу лишь несколько фрагментов данной статьи и покажу произведения, упомянутые в статье.

«Фрактал» как концепт

По мере того, как идеи фрактальной геометрии французского математика Бенуа Мандельброта , изложенные в ряде его работ, среди которых наиболее известна «Фрактальная геометрия природы» , постепенно вышли за рамки естественно-научного дискурса, «фрактал» стал одним из наиболее популярных понятий в пост-постмодернистском исследовательском поле. Фрактальный анализ оказался полезным методологическим инструментом в гуманитарной математике: в экономике фондовых рынков, социологии, урбанистике, в т.н. математической истории, синергетических концепциях культуры, искусствометрии …

Эстетика фракталов

В качестве примеров классического «фрактального» искусства Б. Мандельброт приводил фронтиспис «Бог-геометр» французского «Библейского нравоучения в картинках» XIII века, рисунок Леонардо да Винчи «Всемирный потоп» , гравюры японского художника конца XVIII – начала XIX веков. Кацусики Хокусая «Сто видов горы Фудзияма» и работы М. Эшера (XX века) . Особое место в своем кратком искусствоведческом экскурсе, посвященном долгой предыстории фракталов, Б. Мандельброт отводит творчеству К. Хокусая, отмечая его потрясающее «чутье на фракталы» и смелость обращения к формам, которые были осознаны наукой гораздо позже. Творчество Хокусая, по мнению Мандельброта, может являться «лучшим доказательством того, что фрактальные структуры были известны человечеству с незапамятных времен, но описывались они только посредством искусства» . Знаменитая «Большая волна» (The Great Wave или The Breaking Wave off Kanagawa) (Рис.5)… С тех пор выявление и подражание фрактальности классической живописи (Рис.6) стало увлекательной научной и художественной практикой ( и др.)…

Постепенно понятие «фрактальное искусство» вышло далеко за рамки математического, алгоритмического, цифрового искусства. Концепции фрактальности обязаны своим возникновением такие новые формы живописи и медийного искусства, как фрактальный экспрессионизм или fractalage («фракталаж», аналоговая фрактальная живопись) Дерека Нильсена (Derek K. Nielsen) , фрактальные монотипии Леа Лившиц , фрактальная абстракция Виктора Рибаса , фрактальный реализм Вячеслава Усеинова (Рис. 7) и Алексея Сундукова , фрактальный супрематизм (В. Рибас, С. Головач, А. Работнов, А. Петтай и др .) (Рис. 8). . Фрактальные картины самого разного композиционного и семантического типа, созданные разными медийными и программными инструментами с разной степенью мастерства выставляются ныне на многочисленных выставочных площадках – виртуальных и реальных.

Тень несуществующего дома. В.Усеинов. 2003., х.м.

Фрактальность как количественная и качественная характеристика в изобразительном искусстве

Первым методологическим инструментом, заимствованным гуманитарными науками из фрактальной геометрии, стала фрактальная размерность. В отличие от урбанистики, в которой вычисленное значение фрактальной размерности городских территорий пока никак не конвертируется в категории художественного описания пространства, в искусствознании был найден способ создания корреляционных связей между произведением изобразительного искусства и его фрактальной размерностью. Так, согласно данным специальных экспериментов, эстетическим предпочтениям зрителей может соответствовать определенная величина фрактальной размерности живописного образа (возможно, 1,5 ). Или изменения величины фрактальной размерности могут соотноситься с разными периодами творчества художника, возрастая, к примеру, у Джексона Поллока (Рис. 9) от значения, близкого к 1 в 1943 году до 1,72 в 1954 году, что предлагается в качестве объективного основания для датировки и подтверждения подлинности его работ . Или же фрактальная размерность и ее динамика во времени может служить характеристикой целой художественной эпохи, например, раннекитайской пейзажной живописи .

Джаксон Поллак. Конвергенция -1952-1024×621

…В целом фрактальная образность анализируется с одной из двух инверсивных позиций: 1) приводятся характеристики, позволяющие отнести фрактальную компьютерную графику к категории искусства или 2) выявляются фрактальные структуры в произведениях традиционного искусства разных эпох и направлений (Д. Веласкеса, Дж. Поллока, М. Эшера, Х. Гриса, Дзж. Балла, С. Дали, Л. Уэйна, Г. Климта, Ван Гога, П. Филонова, А. Родченко и др.).

Морозные узоры на окне, замысловатая и неповторимая форма снежинок, сверкающие молнии в ночном небе завораживают и пленяют своей необыкновенной красотой. Однако мало кто знает, что все это является сложными фрактальными структурами.

Бесконечно самоподобные фигуры, каждый фрагмент которых повторяется при уменьшении масштаба, называются фракталами . Сосудистая система человека, система альвеол животного, извилины морских берегов, облака в небе, контуры деревьев, антенны на крышах домов, клеточная мембрана и звездные галактики - все это удивительное порождение хаотического движения мира есть фракталы.

Первые образцы самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке. Термин «фракталы», который происходит от латинского слова «fractus» - дробный, ломанный, был введен Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Таким образом, фрактал представляет собой структуру, состоящую из частей, подобных целому. Именно свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии.

Одновременно с выходом в свет книги «Фрактальная геометрия природы» (1977 год) фракталы получили всемирную известность и популярность.

Т ермин «фрактал» не является математическим понятием и в связи с этим не имеет строгого общепринятого математического определения. Более того, термин фрактал употребляется относительно любых фигур, обладающих какими-либо из нижеперечисленных свойств:

Нетривиальная структура на всех шкалах. Это свойство отличает фракталы таких регулярных фигур, как окружность, эллипс, график гладкой функции и т.п.


У величени е масштаба фрактала не приводит к упрощению его структуры, то есть на всех шкалах мы видим одинаково сложную картину, в то время, как при рассмотрении регулярной фигуры в крупном масштабе, она становится подобна фрагменту прямой.


Самоподобие или приближенное самоподобие.


Метрическая или дробная метрическая размеренность, значительно превосходящая топологическую .


Построение возможно лишь с помощью рекурсивной процедуры, то есть определение объекта или действия через себя.

Таким образом, фракталы можно разделить на регулярные и нерегулярные. Первые являются математической абстракции, то есть плодом воображения. К примеру, снежинка Коха или треугольник Серпинского. Вторая разновидность фракталов является результатом природных сил или деятельности человека. Н ерегулярные фракталы, в отличие от регулярных сохраняют способность к самоподобию в ограниченных пределах.

С каждым днем фракталы находят все большее и большее применение в науке и технике - они как нельзя лучше описывают реальный мир. Приводить примеры фрактальных объектов можно бесконечно долго, они повсюду окружают нас. Фрактал как природный объект представляет собой яркий пример вечного непрерывного движения, становления и развития.

Фракталы нашли широкое применение в компьютерной графи ке для построения изображения природных объектов, например, деревьев, кустов, горных массивов, поверхностей морей и прочее. Эффективным и успешным стало использование фракталов в децентрализованных сетях. К примеру, система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Благодаря чему, каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, более того любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, активно применяется в сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации обеспечивает максимально устойчивую работу всей сети.

Весьма перспективным является использование фрактальной геометрии при проектировании «фрактальных антенн».
В настоящее время фракталы стали активно использоваться в нанотехнологиях. Особенно популярны фракталы стали у трейдеров. С их помощью экономисты производят анализ курса фондовых бирж, вальных и торговых рынков. В нефтехимии фракталы применяются для создания пористых материалов. В биологии фракталы используются для моделирования развития популяций, а также для описания систем внтренних органов. Даже в литературе фракталы нашли свою нишу. Среди художественных произведений были найдены произведения с текстуальной, структурной и семантической фрактальной природой.

/БДЭ математика/

Множество Жюлиа (в честь французского математика Гастона Жюлиа (1893-1978), который вместе с Пьером Фату первым занаялся изучением фракталов. В 1970-х годах его работы популяризировал Бенуа Мандельброт )

Геометрические фракталы

История фракталов в XIX веке началось именно с изучения геометрических фракталов. Фракталы ярко отражают свойство самоподобия. Наиболее наглядными примерами геометрических фракталов являются:

Кривая Коха - несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины. Эта кривая не имеет касательной ни в одной точке.
Множество Кантора - неплотное несчётное совершенное множество.
Губка Менгера - это аналог множества Кантора с тем лишь отличием, что построен этот фрактал в трехмерном пространстве.
Треугольник или ковер Серпинского также является аналогом множества Кантора на плоскоти.
Фракталы Вейерштрасса и Ван дер Вардена представляют собой недифференцируемую непрерывную функцию.
Траектория броуновский частицы также не дифференцируема.
Кривая Пеано - это непрерывная кривая, которая проходит через все точки квадрата.
Дерево Пифагора.

Рассмотрим триадную кривую Коха.
Для построение кривой существует простая рекурсивная процедура образования фракта кривых на плоскости. В первую очередь необходимо задать произвольную ломаную с конечным числом звеньев, так называемым генератором. Далее каждое звено заменяется образующим элементом, точнее ломаной, подобной генератору. В результате такой замены образуется новое поколение кривой Коха. В первом поколении кривая состоит из четырех прямолинейных звеньев, длина каждого из которых равна 1/3. Чтобы получить третье поколение кривой выполняют тот же алгоритм - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Таким образом, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего заменяются уменьшенным образующим элементов. Тогда, кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. В случае, когда n стремится к бесконечности кривая Коха становится фрактальным объектом.

Обратимся к другому способу построения фрактального объекта. Для его создания необходимо изменить правила построение: пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменяем единичный отрезок на образующий элемент таким образом, чтобы угол был сверху. То есть, при такой замене происходит смещение середины звена. Последующие поколения строятся по правилу: первое слева звено заменяется на образующий элемент тким образом, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения. Далее замена звеньев чередуется. Предельная фрактальная кривая, построенная по такому правилу, называется драконом Хартера-Хейтуэя.

В компьютерной графике геометрические фраткалы используются для моделирования изображений деревьев, кустов, горных массивов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы широко используются для создания объемных текстур.

Окончив университет, Мандельброт переехал в США, где окончил Калифорнийский технологический институт. По возвращении во Францию, он получил докторскую степень в Университете Парижа в 1952 году. В 1958 году Мандельброт окончательно поселился в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне . Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики.

Фракта́л (лат. fractus - дроблёный) - термин, введённый Бенуа Мандельбротом в 1975 году. До сих пор нет строгого математического определения фрактальных множеств. О н смог обобщить и систематезировать «неприятные» множества и построить красивую и интуитивно понятную теорию. Он открыл удивительный мир фракталов, красота и глубина которых порой поражают воображение, вызывают восторг у ученых, хужожников, философов… Работа Мандельброта была стимулирована передовыми компьютерными технологиями, которые позволили генерировать, визуализировать и исследовать различные множества.

Японский физик Ясунари Ватанаба создал компьютерную программу, рисующую прекрасные фрактальные орнаменты. Календарь из 12 месяцев был представлен на международной конферении "Математика и искусство" в Суздале.

Давно не секрет, что объекты, обладающие признаками фракталов, воспринимаются человеческим глазом как высшее проявление гармонии и красоты. Кроны деревьев и горные хребты, уникальные узоры снежинок и «золотые» спирали морских раковин и волн, кристаллы и кораллы — мы готовы бесконечно созерцать их и в живой природе, и на полотнах художников.

Кацусика Хокусай. Большая волна в Канагаве.

Упрощенное научное определение фрактала (от латинского fractus — «дробленый, сломанный, разбитый») — множество, обладающее свойством самоподобия. Этим понятием также обозначают самоподобную геометрическую фигуру, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении его масштаба. Фрактальными характеристиками обладают многие системы человеческого организма: строение кровеносной системы, бронхиального дерева, нейронных сетей.

Лечение Поллоком

Ричард Тейлор из Орегонского университета занимается изучением фрактальных структур в целом и конкретно в живописи начиная с 1999. В частности, на примере полотен его соотечественникаДжексона Поллока. При помощи компьютерного анализа узоров, из которых сотканы картины, ученый установил, что они обладают качествами, присущими природным фрактальным явлениям — таким, как береговые линии, например. Именно этому фактору исследователь склонен приписывать непостижимую для многих популярность работ американского абстракциониста.

Со свойственной ученым дотошностью Ричард Тейлор принялся вычислять фрактальную размерность картин Поллока. Так он установил, что эта величина менялась от значения, близкого к единице, в 1943 году до коэффициента 1,72 в 1954-м. Физик предлагает использовать этот показатель для датировки и подтверждения подлинности работ, ведь, согласно его данным,а также исследованиям других ученых, фрактальный анализ может помочь определить подделку с гарантией до 93 процентов.

Для более точного изучения влияния фрактального искусства на человека Тэйлор использовал метод электроэнцефалографии (ЭЭГ), позволяющий фиксировать малейшие изменения функции коры головного мозга и глубинных мозговых систем. Он показал, что созерцание фрактальных паттернов сопровождается значительным снижением уровня стресса и даже ускоряет восстановление организма после хирургического вмешательства.

Эволюция фракталов

Фракталы давно и прочно обосновались в изобразительном искусстве, начиная с канувших в лету цивилизаций ацтеков,инков и майя, древнеегипетской и древнеримской. Во-первых, их достаточно сложно избежать при изображении живой природы, где фракталоподобные формы встречаются сплошь и рядом.

Одни из наиболее ранних и ярко выраженных образцов фрактальной живописи — пейзажные традиции древнего и средневекового Китая.

В 20 веке фрактальные структуры получили наибольшее распространение в направлениях оп-арт (оптическое искусство) и имп--арт (от слова impossible — невозможный). Первое из них выросло в 1950-е годы из абстракционизма, точнее говоря, отпочковалось от геометрической абстракции. Одним из первопроходцев оп-арта был Виктор Вазарели — французский художник с венгерскими корнями.

А вот на поприще имп-арта, которое выделяют как самостоятельное течение внутри оптического искусства,прославился нидерландский художник Мауриц Корнелис Эшер. Он применял в создании работ приемы, основанные на математических принципах.

Эшер набил руку в изображении «невозможных фигур»: создании оптических иллюзий, вводящих зрителей в заблуждение и заставляющих напрягаться вестибулярный аппарат.

Фрактальная сложность и мозг художника

Итак, рассматривание фракталов оставляет заметный след в мозговой деятельности человека, который даже фиксирует специальная аппаратура. Но существует и обратная взаимосвязь: психическое и ментальное здоровье художника может повлиять на количество и качество фрактальных композиций в его работах.

Один из хрестоматийных примеров — биография англичанина Луиса Уэйна, который после смерти жены от рака всего через три года после свадьбы увлекся рисованием антропоморфных котов, и сделал на этом неплохую карьеру. Он продолжал изображать кошачьих, даже когда попал в психиатрическую лечебницу с прогрессирующей шизофренией.

Здесь с его картинами начало происходить что-то невероятное: они расцвели кислотными психоделическими красками, а коты постепенно эволюционировали в дивные фрактальные структуры. И если бы открытие психотропных свойств ЛСД не было случайно обнаружено химиком Альбертом Хофманом спустя 4 года после смерти Луиса Уэйна, можно было бы предположить, что трансформация стиля художника — результат экспериментального лечения шизофрении, в котором действительно применялось это вещество, но только парой десятилетий позже.

Что касается заболеваний, приводящих к угасанию когнитивных функций и слабоумию, то здесь наблюдается обратная связь. Так было в случае с Виллемом де Кунингом, у которого в 1982 диагностировали болезнь Альцгеймера. Как отмечает в своей научной публикации Ричард Тейлор, о котором шла речь выше, фрактальная сложность его абстрактных картин стремительно уменьшалась пропорционально тому, как прогрессировала деменция художника. Анализ работ семи художников с различными неврологическими проблемами показал потенциал исследования предметов искусства в качестве нового инструмента для изучения таких заболеваний.

Так выглядели сложные фрактальные нагромождения на ранних картинах Виллема де Кунинга 1940-х годов.

А так — поздние работы, написанные в период болезни. По замечанию Тейлора, в них присутствует умиротворение, которого не хватало на полотнах художника в пору его творческого расцвета.

Фрактальная живопись нового времени

Сегодня создание фрактальных паттернов не составляет особого труда. Существует множество компьютерных программ,позволяющих синтезировать их в несметном количестве при соответствующей художественной ценности. Но все еще есть авторы, трудящиеся на этом поприще по старинке, используя не цифровые, а вполне осязаемые средства. Один из достойных внимания — доктор нейробиологии Пенсильванского университета Грег Данн.

Грег Данн. Гиппокамп II, 2010

Во-первых, для вдохновения он использует образцы из сферы своего непосредственного предмета изучения — различные клетки,отделы и процессы головного мозга, терминологические обозначения которых совпадают с названиями картин.

Грег Данн. Колонки кортекса, 2014

Во-вторых, ученый применяет нетривиальные материалы и технику: алюминиевые пластины, металлический порошок, золото, эмаль, слюду, чернила и так далее. На своей странице он признается: «Я восхищаюсь японскими, китайскими и корейскими мастерами живописи,их самодостаточностью и простотой. Я пытаюсь следовать их примеру».

Грег Данн. Синаптогенез, 2001

Если пока не получается заказать одну из работ американского нейробиолога, чтобы постоянно иметь перед глазами картину-антистресс, просто добавьте в закладки эту статью и возвращайтесь к ней всякий раз, когда уровень кортизола («гормона стресса») в крови начинает зашкаливать и доставлять дискомфорт.

Топ-10 художников фрактальной живописи от Артхива

Винсент Ван Гог

Пит Мондриан

Микалоюс Константинас Чюрлёнис

Пауль Клее

Сальвадор Дали

Эволюция фракталов

Упрощенное научное определение фрактала (от латинского fractus — «дробленый,
сломанный,разбитый») — множество, обладающее свойством самоподобия.
Этим понятием также обозначают самоподобную геометрическую фигуру,
каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении его масштаба.

Без названия Ван Фу XIV век

Фракталы давно и прочно обосновались в изобразительном искусстве, начиная с канувших
в лету цивилизаций ацтеков, инков и майя, древнеегипетской и древнеримской.
Во-первых, их достаточно сложно избежать при изображении живой природы, где
фракталоподобные формы встречаются сплошь и рядом.

Прощание на реке Шен Чжоу XV век

Одни из наиболее ранних и ярко выраженных образцов фрактальной живописи
— пейзажные традиции древнего и средневекового Китая.

Ван Мэн, Без названия

Шен Чжоу, Без названия

В 20 веке фрактальные структуры получили наибольшее распространение в направлениях
оп-арт (оптическое искусство) и имп¬-арт (от слова impossible — невозможный).
Первое из них выросло в 1950-е годы из абстракционизма, точнее говоря, отпочковалось
от геометрической абстракции. Одним из первопроходцев оп-арта был Виктор Вазарели —
французский художник с венгерскими корнями.

Клонопин

Гуива

А вот на поприще имп-арта, которое выделяют как самостоятельное течение внутри
оптического искусства,прославился нидерландский художник Мауриц Корнелис Эшер.
Он применял в создании работ приемы, основанные на математических принципах.

Бабочки

Все меньше и меньше

Эшер набил руку в изображении «невозможных фигур»: создании оптических иллюзий,
вводящих зрителей в заблуждение и заставляющих напрягаться вестибулярный аппарат.

В век цифровых технологий компьютерной графикой никого не удивишь. Однако, про такое направление как фрактальная графика слышали далеко не все. Что же такое фрактальная графика? Что такое фрактал и как его нарисовать?

Принцип фрактала

Прежде чем ответить на эти вопросы, давайте немного заглянем в историю. Термин «фрактал» появился в 1975 году благодаря математику, создателю фрактальной геометрии Бенуа Мандельброту. Он внёс огромный вклад в понимание этого явления в природе и жизни. Много интересной информации на эту тему можно найти в его известной книге «Фрактальная геометрия природы».

А теперь рассмотрим что же такое фрактал? Если вкратце, то фрактал — это повторяющееся самоподобие. Происходит это слово от латинского fractus - что значит дроблёный, разбитый. То есть фигура, состоящая из частей, которые похожи на неё — и есть фрактал.

Если брать примеры из природы, то фракталами являются снежинки, извилистая линия побережья, кроны деревьев. Свойства фрактала очень хорошо демонстрирует снежинка. Мельчайшие кристаллики из которых она состоит, повторяются и образуют такие же кристаллы, но уже большего размера. То же самое можно увидеть и в деревьях. Из ветки крупного размера вырастает такая же ветка, но уже меньшего размера, а из этой ветки растет ещё меньшая веточка и т. д. То есть одинаковые по форме ветви повторяются, уменьшаясь в размерах. А это и есть фрактал — повторяющееся самоподобие.

Кстати, если мы захотим увеличить картинку с фрактальной структурой, то это будет «бегом по кругу», так как фрактал станет увеличиваться бесконечно. Мы будем видеть ту же самую картинку, несмотря на увеличение. Бесконечность при увеличении или уменьшении является удивительным свойством фракталов.

Как строится фрактал?

Чтобы нарисовать фрактал, воспользуемся треугольником Серпинского. Предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским ещё в 1915 году, этот фрактал стал широко известен и замечательно иллюстрирует принцип построения фракталов. Вот схема его построения:

В качестве основной фигуры здесь используется равносторонний треугольник. Отмечаем середину на каждой из его сторон. Затем соединяем линиями эти три точки. В результате, внутри нашего треугольника образуются ещё три треугольника, но уже меньшего размера. Далее повторяем дробление каждого из этих трёх треугольников. Получаем уже девять новых фигур, затем — двадцать семь… И так до бесконечности. И всё это множество находится внутри первоначального треугольника. Поэтому при приближении картинки в электронном виде возникает ощущение бесконечности.

Фрактальная графика

Итак, что же из себя представляет фрактальная графика? Мы неслучайно рассмотрели суть фрактала и принцип его построения, потому что на этом и основывается фрактальная графика. Чтобы создать такое графическое изображение художники используют специальные редакторы. Фрактальное изображение в них формируется из объектов-родителей и объектов-наследников и рассчитывается посредством математических формул. Поэтому графические файлы в этих программах весят немного (в отличие от растровой графики). В качестве примера редактора фрактальной графики, можно назвать ChaosPro. Это бесплатный генератор фракталов, работающий в режиме реального времени. Вот ряд интересных изображений сгенерированных в ChaosPro:

Посредством фрактальной геометрии можно генерировать поверхность воды, облака, горы. Можно с помощью нескольких коэффициентов рассчитать поверхности сложной формы. Таким способом создаются удивительные абстрактные картины, похожие на фантастический инопланетный мир. Свойства фракталов можно использовать и в технической компьютерной графике. Но если отвлечься от практического применения и сосредоточиться на красоте фрактальной графики, то разве это не фантастическое творчество, достойное быть самостоятельным направлением в изобразительном искусстве и просто радовать глаз?