Что такое коэффициент вариации в статистике. Расчет коэффициента вариации
Полученные из опыта величины неизбежно содержат погрешности, обусловленные самыми разнообразными причинами. Среди них следует различать погрешности систематические и случайные. Систематические ошибки обусловливаются причинами, действующими вполне определенным образом, и могут быть всегда устранены или достаточно точно учтены. Случайные ошибки вызываются весьма большим числом отдельных причин, не поддающихся точному учету и действующих в каждом отдельном измерении различным образом. Эти ошибки невозможно совершенно исключить; учесть же их можно только в среднем, для чего необходимо знать законы, которым подчиняются случайные ошибки.
Будем обозначать измеряемую величину через А, а случайную ошибку при измерении х. Так как ошибка х может принимать любые значения, то она является непрерывной случайной величиной, которая вполне характеризуется своим законом распределения.
Наиболее простым и достаточно точно отображающим действительность (в подавляющем большинстве случаев) является так называемый нормальный закон распределения ошибок :
Этот закон распределения может быть получен из различных теоретических предпосылок, в частности, из требования, чтобы наиболее вероятным значением неизвестной величины, для которой непосредственным измерением получен ряд значений с одинаковой степенью точности, являлось среднее арифметическое этих значений. Величина 2 называется дисперсией данного нормального закона.
Среднее арифметическое
Определение дисперсии по опытным данным. Если для какой-либо величины А непосредственным измерением получено n значений a i с одинаковой степенью точности и если ошибки величины А подчинены нормальному закону распределения, то наиболее вероятным значением А будет среднее арифметическое :
a - среднее арифметическое,
a i - измеренное значение на i-м шаге.
Отклонение наблюдаемого значения (для каждого наблюдения) a i величины А от среднего арифметического : a i - a.
Для определения дисперсии нормального закона распределения ошибок в этом случае пользуются формулой:
2 - дисперсия,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
Среднеквадратическое отклонение
Среднеквадратическое отклонение показывает абсолютное отклонение измеренных значений от среднеарифметического . В соответствии с формулой для меры точности линейной комбинации средняя квадратическая ошибка среднего арифметического определяется по формуле:
, где
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a i - измеренное значение на i-м шаге.
Коэффициент вариации
Коэффициент вариации характеризует относительную меру отклонения измеренных значений от среднеарифметического :
, где
V - коэффициент вариации,
- среднеквадратическое отклонение,
a - среднее арифметическое.
Чем больше значение коэффициента вариации , тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.
Среднее линейное отклонение
Один из показателей размаха и интенсивности вариации - среднее линейное отклонение (средний модуль отклонения) от среднего арифметического. Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле:
, где
_
a - среднее линейное отклонение,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a i - измеренное значение на i-м шаге.
Для проверки соответствия исследуемых значений закону нормального распределения применяют отношение показателя асимметрии к его ошибке и отношение показателя эксцесса к его ошибке.
Показатель асимметрии
Показатель асимметрии (A) и его ошибка (m a) рассчитывается по следующим формулам:
, где
А - показатель асимметрии,
- среднеквадратическое отклонение,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a i - измеренное значение на i-м шаге.
Показатель эксцесса
Показатель эксцесса (E) и его ошибка (m e) рассчитывается по следующим формулам:
, где
Одной из ключевых стадий подготовки закупочной документации становится расчет начальной максимальной цены контракта (НМЦК). Законодательно предусмотрено несколько способов, с помощью которых можно производить расчеты. Чаще всего используется метод сопоставимых рыночных цен. При этом итоговая НМЦК должна определяться с учетом коэффициента вариации. Поэтому всем заказчикам необходимо понять, что включает в себя этот показатель и как его правильно определить.
Что такое коэффициент вариации
Размер НМЦК определяется еще на этапе планирования. Эта сумма должна быть отражена в плане и план-графике. Непосредственно перед подготовкой извещения она корректируется с учетом сложившейся на тот момент экономической обстановки. Вопросы, связанные с НМЦК рассматриваются в статье 22 44-ФЗ. Методики ее расчета описаны в Приказе Министерства экономики и развития № 567 от 02 октября 2013 года. В этом же документе приводятся правила определения коэффициента вариации.
Разработано несколько методик выявления НМЦК: нормативная, тарифная, проектно-сметная, затратная. Самым приоритетным считается метод сопоставимых рыночных цен . Именно его рекомендуется использовать при определении стартовой цены. Он предполагает сравнение коммерческих предложений, предоставляемых потенциальными поставщиками по запросу заказчика. Для проведения такого анализа и применяется коэффициент вариации. Он выражается в процентах.
Под коэффициентом вариации понимается мера относительного разброса предлагаемых цен. Он показывает, какую долю занимает средний разброс цен от среднего значения цены. Этот показатель может принимать следующие значения:
- Меньше 10%. В таком случае разница в ценах признается незначительной.
- От 10% до 20%. Разброс считается средним.
- От 20% до 33%. Разница признается значительной, но допустимой.
- Свыше 33%. Данные неоднородны. При расчете НМЦК не допускается использовать данные с коэффициентом вариации свыше 33%.
Для определения коэффициента разработана специальная формула. По ней легко подсчитать параметр, подставив соответствующие данные. Упростить себе задачу можно, используя калькуляторы, которые сегодня широко представлены в интернете.
Что делать, если коэффициент завышен
Если при расчете коэффициента вариации получилось значение меньше 33%, то выборка признается однородной. Следовательно, полученное значение можно использовать для определения НМЦК.
Если возникла такая ситуация, что значение коэффициента оказывается выше 33 процентов, тогда потребуется внесение корректировок в используемые данные. Для этого проводится дополнительное исследование рынка. Необходимо собрать коммерческие предложения от большего количества поставщиков и повторить расчет на основе новых данных. Если собрать дополнительные предложения не получается, можно воспользоваться сведениями из ранее заключенных договоров, которые хранятся в реестре контрактов.
В крайней ситуации, когда никак не получается добиться нужного коэффициента вариации можно исключить из выборки неподходящие предложения. Вы также можете попросить поставщика указать в своем предложении нужную вам сумму.
Правила расчета
Методика расчета коэффициента вариации прописана в приказе Минэкономразвития № 567. Согласно действующим нормам заказчик должен направить не менее пяти запросов коммерческих предложений потенциальным поставщикам. Для расчета используются не менее трех предложений, полностью соответствующих требованиям заказчика.
Стоит отметить, что приказ № 567 не является нормативным актом, следовательно, его исполнение не обязательно. За его нарушение никаких штрафных санкций не предусматривается. Однако во избежание спорных ситуаций заказчика рекомендуется пользоваться именно этими правилами расчета.
Для определения коэффициента вариации применяется следующая формула:
Среднеквадратичное отклонение позволяет определить разброс данных. Для его определения выбирают среднюю цену и меру разброса. Вычислить среднеквадратичное отклонение удается по следующей формуле:
В ситуациях, когда закупка включает в себя одновременно несколько позиций, расчет ведется по каждой из них. Это позволяет выявить товары с наибольшим разбросом цен.
Пример расчета
Предположим, что государственное учреждение проводит закупку принтеров для собственных нужд. Потенциальным поставщикам были отправлены соответствующие запросы. Было получено четыре коммерческих предложения цен: 2500 рублей, 2800 рублей, 2450 рублей и 2600 рублей.
Следующим шагом становится расчет среднеквадратичного отклонения
Рейтинг 4.87 (15 Голосов)
Квадратный корень из дисперсии носит название среднего квадратического отклонения от средней, которое рассчитывается следующим образом:
Элементарное алгебраическое преобразование формулы среднего квадратического отклонения приводит ее к следующему виду:
Эта формула часто оказывается более удобной в практике расчетов.
Среднее квадратическое отклонение так же, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные значения признака от среднего их значения. Среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. Между ними имеется такое соотношение:
Зная это соотношение, можно по известному показатели определить неизвестный, например, но (I рассчитать а и наоборот. Среднее квадратическое отклонение измеряет абсолютный размер колеблемости признака и выражается в тех же единицах измерения, что и значения признака (рублях, тоннах, годах и т.д.). Оно является абсолютной мерой вариации.
Для альтернативных признаков, например наличия или отсутствия высшего образования, страховки, формулы дисперсии и среднего квадратического отклонения такие:
Покажем расчет среднего квадратического отклонения по данным дискретного ряда, характеризующего распределение студентов одного из факультетов вуза по возрасту (табл. 6.2).
Таблица 6.2.
Результаты вспомогательных расчетов даны в графах 2-5 табл. 6.2.
Средний возраст студента, лет, определен по формуле средней арифметической взвешенной (графа 2):
Квадраты отклонения индивидуального возраста студента от среднего содержатся в графах 3-4, а произведения квадратов отклонений на соответствующие частоты - в графе 5.
Дисперсию возраста студентов, лет, найдем по формуле (6.2):
Тогда о = л/3,43 1,85 *ода, т.е. каждое конкретное значение возраста студента отклоняется от среднего значения на 1,85 года.
Коэффициент вариации
По своему абсолютному значению среднее квадратическое отклонение зависит не только от степени вариации признака, но и от абсолютных уровней вариантов и средней. Поэтому сравнивать средние квадратические отклонения вариационных рядов с различными средними уровнями непосредственно нельзя. Чтобы иметь возможность для такого сравнения, нужно найти удельный вес среднего отклонения (линейного или квадратического) в среднем арифметическом показателе, выраженном в процентах, т.е. рассчитать относительные показатели вариации.
Линейный коэффициент вариации вычисляют по формуле
Коэффициент вариации определяют по следующей формуле:
В коэффициентах вариации устраняется не только несопоставимость, связанная с различными единицами измерения изучаемого признака, но и несопоставимость, возникающая вследствие различий в величине средних арифметических. Кроме того, показатели вариации дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.
По данным табл. 6.2 и полученным выше результатам расчетов определим коэффициент вариации, %, по формуле (6.3):
Если коэффициент вариации превышает 33%, то это свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Полученное в пашем случае значение говорит о том, что совокупность студентов по возрасту однородна по своему составу. Таким образом, важная функция обобщающих показателей вариации - оценка надежности средних. Чем меньше с1, а2 и V, тем однороднее полученная совокупность явлений и надежнее полученная средняя. Согласно рассматриваемому математической статистикой "правилу трех сигм" в нормально распределенных или близких к ним рядах отклонения от средней арифметической, не превосходящие ±3ст, встречаются в 997 случаях из 1000. Таким образом, зная х и а, можно получить общее первоначальное представление о вариационном ряде. Если, например, средняя заработная плата работника по фирме составила 25 000 руб., а а равна 100 руб., то с вероятностью, близкой к достоверности, можно утверждать, что заработная плата работников фирмы колеблется в пределах (25 000 ± ± 3 х 100) т.е. от 24 700 до 25 300 руб.
Вариация измеряется с помощью относительных величин, называемых коэффициентами вариации и определяемых в виде отношения среднего отклонения к средней величине. Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Значения коэффициента вариации изменяются от 0 до 100% и чем ближе он к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности, а значит и качественнее подобраны статистические данные. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации:
Коэффициент вариации:
где - среднее квадратическое отклонение, - средняя арифметическая.
Линейный коэффициент вариации:
где - среднее линейное отклонение.
Коэффициент осцилляции:
где - размах вариации.
Вычислим коэффициенты вариации для группы организаций по грузообороту автомобильного транспорта (таблица 5.1) по формулам 5.9, 5.10, 5.11
Коэффициент вариации будет равен: 
, что превышает 33%, следовательно, совокупность неоднородна.
Вычислим линейный коэффициент вариации: 
. Следовательно, доля усредненного значения абсолютных отклонений организаций от средней величины равна 30,7%
Найдем коэффициент осцилляции: 
. Из этого следует, что разница между максимальным и минимальным значениями организаций превышает среднее значение почти в 1,078 раз.
Определим коэффициенты вариации для группировки площадей жилых помещений (в среднем на одного жителя) (таблица 5.3).
Вычислим коэффициент вариации по формуле (5.9):
. Это значит что коэффициент вариации не превышает 33%, следовательно, совокупность однородна.
Рассчитаем линейный коэффициент вариации по формуле (5.10):
. Это значит, что доля усредненного значения абсолютных отклонений площадей жилых помещений от средней величины равна 5,56%.
Найдем коэффициент осцилляции по формуле (5.11):
. Разница между максимальным и минимальным значениями площадей жилых помещений не превышает среднее значение.
РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВАРИАЦИОННОГО РЯДА
Немного больше по теме
Политическая экономия Д. Рикардо как идеолога промышленного переворота
В последней трети XVIII в. в Англии начался
промышленный переворот (промышленная революция). В течение нескольких
десятилетий в легкой промышленности одно изобретение следовало за другим. Весь
процесс производства в этой отрасли был переведен на машинную основу.
Постепенно переворот распространился на другие отрасли легкой, а затем и
тяжелой промышленности. Начался повсеместный пе...
Одним из основных статистических показателей последовательности чисел является коэффициент вариации. Для его нахождения производятся довольно сложные расчеты. Инструменты Microsoft Excel позволяют значительно облегчить их для пользователя.
Этот показатель представляет собой отношение стандартного отклонения к среднему арифметическому. Полученный результат выражается в процентах.
В Экселе не существует отдельно функции для вычисления этого показателя, но имеются формулы для расчета стандартного отклонения и среднего арифметического ряда чисел, а именно они используются для нахождения коэффициента вариации.
Шаг 1: расчет стандартного отклонения
Стандартное отклонение, или, как его называют по-другому, среднеквадратичное отклонение, представляет собой квадратный корень из . Для расчета стандартного отклонения используется функция СТАНДОТКЛОН . Начиная с версии Excel 2010 она разделена, в зависимости от того, по генеральной совокупности происходит вычисление или по выборке, на два отдельных варианта: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В .
Синтаксис данных функций выглядит соответствующим образом:
СТАНДОТКЛОН(Число1;Число2;…)
= СТАНДОТКЛОН.Г(Число1;Число2;…)
= СТАНДОТКЛОН.В(Число1;Число2;…)
Шаг 2: расчет среднего арифметического
Среднее арифметическое является отношением общей суммы всех значений числового ряда к их количеству. Для расчета этого показателя тоже существует отдельная функция – СРЗНАЧ . Вычислим её значение на конкретном примере.
Шаг 3: нахождение коэффициента вариации
Теперь у нас имеются все необходимые данные для того, чтобы непосредственно рассчитать сам коэффициент вариации.
Таким образом мы произвели вычисление коэффициента вариации, ссылаясь на ячейки, в которых уже были рассчитаны стандартное отклонение и среднее арифметическое. Но можно поступить и несколько по-иному, не рассчитывая отдельно данные значения.
Существует условное разграничение. Считается, что если показатель коэффициента вариации менее 33%, то совокупность чисел однородная. В обратном случае её принято характеризовать, как неоднородную.
Как видим, программа Эксель позволяет значительно упростить расчет такого сложного статистического вычисления, как поиск коэффициента вариации. К сожалению, в приложении пока не существует функции, которая высчитывала бы этот показатель в одно действие, но при помощи операторов СТАНДОТКЛОН и СРЗНАЧ эта задача очень упрощается. Таким образом, в Excel её может выполнить даже человек, который не имеет высокого уровня знаний связанных со статистическими закономерностями.
