Доверительный интервал для математического ожидания. Доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии, вероятности

Пусть случайная величина (можно говорить о генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия D = 2 (> 0). Из генеральной совокупности (на множестве объектов которой определена случайная величина) делается выборка объема n. Выборка x 1 , x 2 ,..., x n рассматривается как совокупность n независимых случайных величин, распределенных так же как (подход, которому дано объяснение выше по тексту).

Ранее также обсуждались и доказаны следующие равенства:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Достаточно просто доказать (мы доказательство опускаем), что случайная величина в данном случае также распределена по нормальному закону.

Обозначим неизвестную величину M через a и подберем по заданной надежности число d > 0 так, чтобы выполнялось условие:

P(- a < d) = (1)

Так как случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием M = M = a и дисперсией D = D /n = 2 /n, получаем:

P(- a < d) =P(a - d < < a + d) =

Осталось подобрать d таким, чтобы выполнялось равенство

Для любого можно по таблице найти такое число t, что(t)= / 2. Это число t иногда называют квантилем .

Теперь из равенства

определим значение d:

Окончательный результат получим, представив формулу (1) в виде:

Смысл последней формулы состоит в следующем: с надежностью доверительный интервал

покрывает неизвестный параметр a = M генеральной совокупности. Можно сказать иначе: точечная оценка определяет значение параметра M с точностью d= t / и надежностью.

Задача. Пусть имеется генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной 6,25. Произведена выборка объема n = 27 и получено средневыборочное значение характеристики = 12. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью =0,99.

Решение. Сначала по таблице для функции Лапласа найдем значение t из равенства (t) = / 2 = 0,495. По полученному значению t = 2,58 определим точность оценки (или половину длины доверительного интервала) d: d = 2,52,58 / 1,24. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (10,76; 13,24).

статистический гипотеза генеральный вариационный

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии

Пусть - случайная величина, распределенная по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием M, которое обозначим буквой a . Произведем выборку объема n. Определим среднюю выборочную и исправленную выборочную дисперсию s 2 по известным формулам.

Случайная величина

распределена по закону Стьюдента с n - 1 степенями свободы.

Задача заключается в том, чтобы по заданной надежности и по числу степеней свободы n - 1 найти такое число t , чтобы выполнялось равенство

или эквивалентное равенство

Здесь в скобках написано условие того, что значение неизвестного параметра a принадлежит некоторому промежутку, который и является доверительным интервалом. Его границы зависят от надежности, а также от параметров выборки и s.

Чтобы определить значение t по величине, равенство (2) преобразуем к виду:

Теперь по таблице для случайной величины t, распределенной по закону Стьюдента, по вероятности 1 - и числу степеней свободы n - 1 находим t. Формула (3) дает ответ поставленной задачи.

Задача. На контрольных испытаниях 20-ти электроламп средняя продолжительность их работы оказалась равной 2000 часов при среднем квадратическом отклонении (рассчитанном как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии), равном 11-ти часам. Известно, что продолжительность работы лампы является нормально распределенной случайной величиной. Определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для математического ожидания этой случайной величины.

Решение. Величина 1 - в данном случае равна 0,05. По таблице распределения Стьюдента, при числе степеней свободы, равном 19, находим: t = 2,093. Вычислим теперь точность оценки: 2,093121/ = 56,6. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (1943,4; 2056,6).

Пусть произведена выборка из генеральной совокупности, подчиненной закону нормального распределения X N(m ;  ). Это основное предположение математической статистики основано на центральной предельной теореме. Пусть известно генеральное среднее квадратическое отклонение  , но неизвестно математическое ожидание теоретического распределения m (среднее значение ).

В таком случае среднее выборочное , полученное в ходе эксперимента (п.3.4.2), также будет являться случайной величинойm ;
). Тогда «нормализованное» отклонение
N(0;1) – является стандартной нормальной случайной величиной.

Задача состоит в поиске интервальной оценки для m . Построим двусторонний доверительный интервал для m так, чтобы истинное математическое ожидание принадлежало ему с заданной вероятностью (надежностью)  .

Установить такой интервал для величины
– это значит найти максимальное значение этой величины
и минимальное
, которые являются границам критической области:
.

Т.к. такая вероятность равна
, то корень этого уравнения
можно найти с помощью таблиц функции Лапласа (Таблица 3, приложение 1).

Тогда с вероятностью  можно утверждать, что случайная величина
, то есть искомое генеральное среднее принадлежит интервалу
. (3.13)

Величину
(3.14)

называют точностью оценки.

Число
– квантиль нормального распределения – можно найти как аргумент функции Лапласа (Таблица 3, приложение 1), учитывая соотношение 2Ф(u )= , т.е. Ф(u )=
.

Обратно, по заданному значению отклонения  можно найти, с какой вероятностью, неизвестное генеральное среднее принадлежит интервалу
. Для этого нужно вычислить

. (3.15)

Пусть из генеральной совокупности извлечена случайная выборка методом повторного отбора. Из уравнения
можно найти минимальный объем повторной выборки n , необходимый для того, чтобы доверительный интервал с заданной надежностью не превышал наперед заданного значения . Оценку требуемого объема выборки производят по формуле:

. (3.16)

Исследуем точность оценки
:

1) При возрастании объема выборки n величина  уменьшается , и значит, точность оценки увеличивается .

2) С увеличением надежности оценки увеличивается значение аргументаu (т.к. Ф (u ) монотонно возрастает) и значит увеличивается  . В таком случае увеличение надежности уменьшает точность ее оценки  .

Оценку
(3.17)

называют классической (где t - некий параметр, зависящий от и n ), т.к. она характеризует наиболее часто встречающиеся законы распределения.

3.5.3 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении 

Пусть известно, что генеральная совокупность подчинена закону нормального распределения X N(m ; ), где величина среднего квадратического отклонения неизвестна.

Для построения доверительного интервала оценки генерального среднего в этом случае используется статистика
, имеющая распределение Стъюдента с k = n –1 степенями свободы. Это следует из того, что N(0;1) (см. п.3.5.2), а
(см. п.3.5.3) и из определения распределения Стъюдента (ч.1.п.2.11.2).

Найдем точность классической оценки распределения Стъюдента: т.е. найдем t из формулы (3.17). Пусть вероятность выполнения неравенства
задана надежностью  :

. (3.18)

Поскольку T St(n -1), очевидно, что t зависит от  и n , поэтому обычно пишут
.

(3.19)

где
– функция распределения Стъюдента сn -1 степенями свободы.

Решая это уравнение относительно m , получим интервал
который с надежностью  покрывает неизвестный параметр m .

Величина t  , n -1 , служащая для определения доверительного интервала случайной величины T (n -1), распределенной по Стъюденту с n -1 степенями свободы, называется коэффициентом Стъюдента . Его следует находить по заданным значениям n и  из таблиц «Критические точки распределения Стьюдента». (Таблица 6, приложение 1), которые и представляют собой решения уравнения (3.19).

В итоге получаем следующее выражение точности  доверительного интервала для оценки математического ожидания (генерального среднего), если неизвестна дисперсия:

(3.20)

Т.о., существует общая формула построения доверительных интервалов для математического ожидания генеральной совокупности:

где точность доверительного интервала  в зависимости от известной или неизвестной дисперсии находится по формулам соответственно 3.16. и 3.20.

Задача 10. Проведены некоторые испытания, результаты которых занесены в таблицу:

x i

Известно, что они подчиняются закону нормального распределения с
. Найти оценкуm * для математического ожидания m , построить для него 90% доверительный интервал.

Решение:

Итак, m (2.53;5.47).

Задача 11. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна 0, а случайные ошибки распределяются по нормальному закону, со средним квадратическим отклонением  =15м. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину с ошибками не более 5м при доверительной вероятности 90%?

Решение:

По условию задачи имеем X N(m ;  ), где  =15м,  =5м,  =0.9. Найдем объем n .

1) С заданной надежностью = 0.9 найдем по таблицам 3 (Приложение 1) аргумент функции Лапласа u  = 1.65.

2) Зная заданную точность оценки  =u  =5, найдем
. Имеем

. Поэтому число испытаний n 25.

Задача 12. Выборка температуры t за первые 6 дней января представлена в таблице:

Найти доверительный интервал для математического ожидания m генеральной совокупности с доверительной вероятностью
и оценить генеральное стандартное отклонение s .

Решение:

и
.

2) Несмещённую оценку найдем по формуле
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) Поскольку генеральная дисперсия неизвестна, но известна ее оценка, то для оценки математического ожидания m используем распределение Стъюдента (Таблица 6, приложение 1) и формулу (3.20).

Т.к. n 1 =n 2 =6, то ,
, s 1 =6.85 имеем:
, отсюда -29.2-4.1<m 1 < -29.2+4.1.

Поэтому -33.3<m 1 <-25.1.

Аналогично имеем,
, s 2 = 4.8, , поэтому

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33.3;-25.1) и m 2 (-34.9;-29.1).

В прикладных науках, например, в строительных дисциплинах, для оценки точности объектов используются таблицы доверительных интервалов, которые приведены в соответствующей справочной литературе.

Пусть CB X образуют генеральную совокупность и в — неизвестный параметр CB X. Если статистическая оценка в * является состоятельной, то чем больше объем выборки, тем точнее получаем значение в. Однако на практике мы имеем выборки не очень большого объема, поэтому не можем гарантировать большую точность.

Пусть в* — статистическая оценка для в. Величина |в* - в| называется точностью оценки. Ясно, что точность является CB, т. к. в* — случайная величина. Зададим малое положительное число 8 и потребуем, чтобы точность оценки |в* - в| была меньше 8, т. е. | в* - в | < 8.

Надежностью g или доверительной вероятностью оценки в по в * называется вероятность g, с которой осуществляется неравенство |в * - в| < 8, т. е.

Обычно надежность g задают наперед, причем, за g берут число, близкое к 1 (0,9; 0,95; 0,99; ...).

Так как неравенство |в * - в| < S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

Интервал (в * - 8, в* + 5) называется доверительным интервалом, т. е. доверительный интервал покрывает неизвестный параметр в с вероятностью у. Заметим, что концы доверительного интервала являются случайными и изменяются от выборки к выборке, поэтому точнее говорить, что интервал (в * - 8, в * + 8) покрывает неизвестный параметр в, а не в принадлежит этому интервалу.

Пусть генеральная совокупность задана случайной величиной X, распределенной по нормальному закону, причем, среднее квадратическое отклонение а известно. Неизвестным является математическое ожидание а = М (X). Требуется найти доверительный интервал для а при заданной надежности у.

Выборочная средняя

является статистической оценкой для хг = а.

Теорема. Случайная величина хВ имеет нормальное распределение, если X имеет нормальное распределение, и М (ХВ) = а,

А (XВ) = а, где а = у/Б (X), а = М (X). л/и

Доверительный интервал для а имеет вид:

Находим 8.

Пользуясь соотношением

где Ф(г) — функция Лапласа, имеем:

Р { | XВ - а | <8} = 2Ф

таблице значений функции Лапласа находим значение t.

Обозначив

T, получим F(t) = g Так как g задана, то по

Из равенстваНаходим— точность оценки.

Значит, доверительный интервал для а имеет вид:

Если задана выборка из генеральной совокупности X

нГ	к"	X2	Xm
n.	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm, то доверительный интервал будет:

Пример 6.35. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю Xb = 10,43, объем выборки n = 100 и среднее квадратическое отклонение s = 5.

Воспользуемся формулой

В статистике существует два вида оценок: точечные и интервальные. Точечная оценка представляет собой отдельную выборочную статистику, которая используется для оценки параметра генеральной совокупности. Например, выборочное среднее - это точечная оценка математического ожидания генеральной совокупности, а выборочная дисперсия S 2 - точечная оценка дисперсии генеральной совокупности σ 2 . было показано, что выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности. Выборочное среднее называется несмещенным, поскольку среднее значение всех выборочных средних (при одном и том же объеме выборки n ) равно математическому ожиданию генеральной совокупности.

Для того чтобы выборочная дисперсия S 2 стала несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности σ 2 , знаменатель выборочной дисперсии следует положить равным n – 1 , а не n . Иначе говоря, дисперсия генеральной совокупности является средним значением всевозможных выборочных дисперсий.

При оценке параметров генеральной совокупности следует иметь в виду, что выборочные статистики, такие как , зависят от конкретных выборок. Чтобы учесть этот факт, для получения интервальной оценки математического ожидания генеральной совокупности анализируют распределение выборочных средних (подробнее см. ). Построенный интервал характеризуется определенным доверительным уровнем, который представляет собой вероятность того, что истинный параметр генеральной совокупности оценен правильно. Аналогичные доверительные интервалы можно применять для оценки доли признака р и основной распределенной массы генеральной совокупности.

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности при известном стандартном отклонении

Построение доверительного интервала для доли признака в генеральной совокупности

В этом разделе понятие доверительного интервала распространяется на категорийные данные. Это позволяет оценить долю признака в генеральной совокупности р с помощью выборочной доли р S = Х/ n . Как указывалось , если величины n р и n (1 – р) превышают число 5, биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным. Следовательно, для оценки доли признака в генеральной совокупности р можно построить интервал, доверительный уровень которого равен (1 – α)х100% .

где p S - выборочная доля признака, равная Х/ n , т.е. количеству успехов, деленному на объем выборки, р - доля признака в генеральной совокупности, Z - критическое значение стандартизованного нормального распределения, n - объем выборки.

Пример 3. Предположим, что из информационной системы извлечена выборка, состоящая из 100 накладных, заполненных в течение последнего месяца. Допустим, что 10 из этих накладных составлены с ошибками. Таким образом, р = 10/100 = 0,1. Доверительному уровню 95% соответствует критическое значение Z = 1,96.

Таким образом, вероятность того, что от 4,12% до 15,88% накладных содержат ошибки, равна 95%.

Для заданного объема выборки доверительный интервал, содержащий долю признака в генеральной совокупности, кажется более широким, чем для непрерывной случайной величины. Это объясняется тем, что измерения непрерывной случайной величины содержат больше информации, чем измерения категорийных данных. Иначе говоря, категорийные данные, принимающие лишь два значения, содержат недостаточно информации для оценки параметров их распределения.

В ычисление оценок, извлеченных из конечной генеральной совокупности

Оценка математического ожидания. Поправочный коэффициент для конечной генеральной совокупности (fpc ) использовался для уменьшения стандартной ошибки в раз. При вычислении доверительных интервалов для оценок параметров генеральной совокупности поправочный коэффициент применяется в ситуациях, когда выборки извлекаются без возвращения. Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100% , вычисляется по формуле:

Пример 4. Чтобы проиллюстрировать применение поправочного коэффициента для конечной генеральной совокупности, вернемся к задаче о вычислении доверительного интервала для средней суммы накладных, рассмотренной выше в примере 3. Предположим, что за месяц в компании выписываются 5000 накладных, причем X̅ =110,27долл., S = 28,95 долл., N = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. По формуле (6) получаем:

Оценка доли признака. При выборе без возвращения доверительный интервал для доли признака, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100% , вычисляется по формуле:

Доверительные интервалы и этические проблемы

При выборочном исследовании генеральной совокупности и формулировании статистических выводов часто возникают этические проблемы. Основная из них - как согласуются доверительные интервалы и точечные оценки выборочных статистик. Публикация точечных оценок без указания соответствующих доверительных интервалов (как правило, имеющих 95%-ный доверительный уровень) и объема выборки, на основе которых они получены, может породить недоразумения. Это может создать у пользователя впечатление, что точечная оценка - именно то, что ему необходимо, чтобы предсказать свойства всей генеральной совокупности. Таким образом, необходимо понимать, что в любых исследованиях во главу угла должны быть поставлены не точечные, а интервальные оценки. Кроме того, особое внимание следует уделять правильному выбору объемов выборки.

Чаще всего объектами статистических манипуляций становятся результаты социологических опросов населения по тем или иным политическим проблемам. При этом результаты опроса выносят на первые страницы газет, а ошибку выборочного исследования и методологию статистического анализа печатают где-нибудь в середине. Чтобы доказать обоснованность полученных точечных оценок, необходимо указывать объем выборки, на основе которой они получены, границы доверительного интервала и его уровень значимости.

Следующая заметка

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 448–462

Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно большом объеме выборок выборочное распределение средних можно аппроксимировать нормальным распределением. Это свойство не зависит от вида распределения генеральной совокупности.

Вы можете использовать данную форму поиска, чтобы найти нужную задачу. Вводите слово, фразу из задачи или ее номер, если он вам известен.

Искать только в данном разделе

Доверительные интервалы: список решений задач

Доверительные интервалы: теория и задачи

Общие сведения о доверительных интервалах

Введем кратко понятие доверительного интервала, который
1) оценивает некоторый параметр числовой выборки непосредственно по данным самой выборки,
2) накрывает значение этого параметра с вероятностью γ.

Доверительным интервалом для параметра X (при вероятности γ) называется интервал вида , такой что , а значения вычисляются некоторым образом по выборке .

Обычно в прикладных задачах доверительную вероятность берут равной γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Рассмотрим некоторую выборку объема n, сделанную из генеральной совокупности, распределенной предположительно по нормальному закону распределения . Покажем, по каким формулам находятся доверительные интервалы для параметров распределения - математического ожидания и дисперсии (среднего квадратического отклонения).

Доверительный интервал для математического ожидания

Случай 1. Дисперсия распределения известна и равна . Тогда доверительный интервал для параметра a имеет вид:
t определяется из таблицы распределения Лапласа по соотношению

Случай 2. Дисперсия распределения неизвестна, по выборке вычислена точечная оценка дисперсии . Тогда доверительный интервал для параметра a имеет вид:
, где - выборочное среднее, вычисленное по выборке, параметр t определяется из таблицы распределения Стьюдента

Пример. По данным 7 измерений некоторой величины найдены средняя результатов измерений, равная 30 и выборочная дисперсия, равная 36. Найдите границы, в которых с надежностью 0,99 заключено истинное значение измеряемой величины.

Решение. Найдем . Тогда доверительные границы для интервала, заключающего истинное значение измеряемой величины можно найти по формуле:
, где - выборочное среднее, - выборочная дисперсия. Подставляем все величины и получаем:

Доверительный интервал для дисперсии

Считаем, что вообще говоря, математическое ожидание неизвестно, а известна только точечная несмещенная оценка дисперсии . Тогда доверительный интервал имеет вид:
, где - квантили распределения , определяемые из таблиц.

Пример. По данным 7 испытаний найдено значение оценки для среднеквадратического отклонения s=12 . Найти с вероятностью 0,9 ширину доверительного интервала, построенного для оценки дисперсии.

Решение. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии генеральной совокупности можно найти по формуле:

Подставляем и получаем:


Тогда ширина доверительного интервала равна 465,589-71,708=393,881.

Доверительный интервал для вероятности (доли)

Случай 1. Пусть в задаче известен объем выборки и выборочная доля (относительная частота) . Тогда доверительный интервал для генеральной доли (истинной вероятности) имеет вид:
, где параметр t определяется из таблицы распределения Лапласа по соотношению .

Случай 2. Если в задаче дополнительно известен общий объем совокупности , из которой была сделана выборка, доверительный интервал для генеральной доли (истинной вероятности) можно найти по скорректированной формуле:
.

Пример. Известно, что Найти границы, в которых с вероятностью заключена генеральная доля.

Решение. Используем формулу:

Найдем параметр из условия , получим Подставляем в формулу:

Другие примеры задач по математической статистике вы найдете на странице