Энергия магнитного поля определение и формула кратко. Магнитная энергия контура с током

B {\displaystyle \mathbf {B} } (вектор индукции магнитного поля) . С математической точки зрения B = B (x , y , z) {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B} (x,y,z)} - векторное поле , определяющее и конкретизирующее физическое понятие магнитного поля.

Ещё одной фундаментальной характеристикой магнитного поля (альтернативной магнитной индукции и тесно с ней взаимосвязанной, практически равной ей по физическому значению) является векторный потенциал .

Нередко в литературе в качестве основной характеристики магнитного поля в вакууме (то есть в отсутствие магнитной среды) выбирают не вектор магнитной индукции B , {\displaystyle \mathbf {B} ,} а вектор напряжённости магнитного поля , что формально можно сделать, так как в вакууме эти два вектора совпадают ; однако в магнитной среде вектор H {\displaystyle \mathbf {H} } не несёт уже того же физического смысла , являясь важной, но всё же вспомогательной величиной. Поэтому при формальной эквивалентности обоих подходов для вакуума, с систематической точки зрения следует считать основной характеристикой магнитного поля именно B . {\displaystyle \mathbf {B} .}

Магнитное поле можно назвать особым видом материи , посредством которой осуществляется взаимодействие между движущимися заряженными частицами или телами, обладающими магнитным моментом .

Магнитные поля являются необходимым (в контексте специальной теории относительности) следствием существования электрических полей.

• С точки зрения квантовой теории поля магнитное взаимодействие - как частный случай электромагнитного взаимодействия переносится фундаментальным безмассовым бозоном - фотоном (частицей, которую можно представить как квантовое возбуждение электромагнитного поля), часто (например, во всех случаях статических полей) - виртуальным.

Источники магнитного поля

Магнитное поле создаётся (порождается) током заряженных частиц , или изменяющимся во времени электрическим полем , или собственными магнитными моментами частиц (последние для единообразия картины могут быть формальным образом сведены к электрическим токам).

Вычисление

В простых случаях магнитное поле проводника с током (в том числе и для случая тока, распределённого произвольным образом по объёму или пространству) может быть найдено из закона Био - Савара - Лапласа или теоремы о циркуляции (она же - закон Ампера). Этот способ ограничивается случаем (приближением) магнитостатики - то есть случаем постоянных (если речь идёт о строгой применимости) или достаточно медленно меняющихся (если речь идёт о приближенном применении) магнитных и электрических полей.

В более сложных ситуациях ищется как решение уравнений Максвелла .

Проявление магнитного поля

Магнитное поле проявляется в воздействии на магнитные моменты частиц и тел, на движущиеся заряженные частицы (или проводники с током). Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле электрически заряженную частицу, называется силой Лоренца , которая всегда направлена перпендикулярно к векторам v и B . Она пропорциональна заряду частицы q , составляющей скорости v , перпендикулярной направлению вектора магнитного поля B , и величине индукции магнитного поля B . В Международной системе единиц (СИ) сила Лоренца выражается так:

F = q [ v , B ] , {\displaystyle \mathbf {F} =q[\mathbf {v} ,\mathbf {B} ],} F = q c [ v , B ] , {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q}{c}}[\mathbf {v} ,\mathbf {B} ],}

где квадратными скобками обозначено векторное произведение .

Также (вследствие действия силы Лоренца на движущиеся по проводнику заряженные частицы) магнитное поле действует на проводник с током . Сила, действующая на проводник с током называется силой Ампера . Эта сила складывается из сил, действующих на отдельные движущиеся внутри проводника заряды.

Взаимодействие двух магнитов

Одно из наиболее часто встречающихся в обычной жизни проявлений магнитного поля - взаимодействие двух магнитов : одинаковые полюса отталкиваются, противоположные притягиваются. Представляется заманчивым описать взаимодействие между магнитами как взаимодействие между двумя монополями , и с формальной точки зрения эта идея вполне реализуема и часто весьма удобна, а значит практически полезна (в расчётах); однако детальный анализ показывает, что на самом деле это не полностью правильное описание явления (наиболее очевидным вопросом, не получающим объяснения в рамках такой модели, является вопрос о том, почему монополи никогда не могут быть разделены, то есть почему эксперимент показывает, что никакое изолированное тело на самом деле не обладает магнитным зарядом; кроме того, слабостью модели является то, что она неприменима к магнитному полю, создаваемому макроскопическим током, а значит, если не рассматривать её как чисто формальный приём, приводит лишь к усложнению теории в фундаментальном смысле).

Правильнее будет сказать, что на магнитный диполь , помещённый в неоднородное поле, действует сила, которая стремится повернуть его так, чтобы магнитный момент диполя был сонаправлен с магнитным полем. Но никакой магнит не испытывает действия (суммарной) силы со стороны однородного магнитного поля. Сила, действующая на магнитный диполь с магнитным моментом m выражается по формуле :

F = (m ⋅ ∇) B . {\displaystyle \mathbf {F} =\left(\mathbf {m} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} .}

Сила, действующая на магнит (не являющийся одиночным точечным диполем) со стороны неоднородного магнитного поля, может быть определена суммированием всех сил (определяемых данной формулой), действующих на элементарные диполи, составляющие магнит.

Впрочем, возможен подход, сводящий взаимодействие магнитов к силе Ампера, а сама формула выше для силы, действующей на магнитный диполь, тоже может быть получена, исходя из силы Ампера.

Явление электромагнитной индукции

История развития представлений о магнитном поле

Хотя магниты и магнетизм были известны гораздо раньше, изучение магнитного поля началось в 1269 году, когда французский учёный Пётр Перегрин (рыцарь Пьер из Мерикура) отметил магнитное поле на поверхности сферического магнита, применяя стальные иглы, и определил, что получающиеся линии магнитного поля пересекались в двух точках, которые он назвал «полюсами » по аналогии с полюсами Земли. Почти три столетия спустя, Уильям Гильберт Колчестер использовал труд Петра Перегрина и впервые определённо заявил, что сама Земля является магнитом. Опубликованная в 1600 году, работа Гилберта «De Magnete » , заложила основы магнетизма как науки.

Три открытия подряд бросили вызов этой «основе магнетизма». Во-первых, в 1819 году Ханс Кристиан Эрстед обнаружил, что электрический ток создаёт магнитное поле вокруг себя. Затем, в 1820 году, Андре-Мари Ампер показал, что параллельные провода, по которым идёт ток в одном и том же направлении, притягиваются друг к другу. Наконец, Жан-Батист Био и Феликс Савар в 1820 году открыли закон, названный законом Био-Савара-Лапласа , который правильно предсказывал магнитное поле вокруг любого провода, находящегося под напряжением.

Расширив эти эксперименты, Ампер издал свою собственную успешную модель магнетизма в 1825 году. В ней он показал эквивалентность электрического тока в магнитах, и вместо диполей магнитных зарядов модели Пуассона, предложил идею, что магнетизм связан с постоянно текущими петлями тока. Эта идея объясняла, почему магнитный заряд не может быть изолирован. Кроме того, Ампер вывел закон, названный его именем , который, как и закон Био-Савара-Лапласа, правильно описал магнитное поле, создаваемое постоянным током, а также была введена теорема о циркуляции магнитного поля . Кроме того, в этой работе, Ампер ввёл термин «электродинамика » для описания взаимосвязи между электричеством и магнетизмом.

Между 1861 и 1865 годами Джеймс Клерк Максвелл разработал и опубликовал уравнения Максвелла , которые объяснили и объединили электричество и магнетизм в классической физике . Первая подборка этих уравнений была опубликована в статье в 1861 году, озаглавленной «On Physical Lines of Force » . Эти уравнения были признаны действительными, хотя и неполными. Максвелл завершил свои уравнения в своей более поздней работе 1865 года

Энергия катушки индуктивности (W) - это энергия магнитного поля, порождаемого электрическим током I, текущим по проводу данной катушки. Главная характеристика катушки - ее индуктивность L, то есть способность создавать магнитное поле при похождении по ее проводу электрического тока. У каждой катушки индуктивность и форма свои, поэтому и магнитное поле для каждой катушки будет отличаться величиной и направлением, хотя ток может быть абсолютно одинаковым.

В зависимости от геометрии конкретной катушки, от магнитных свойств среды внутри и около нее, - создаваемое пропускаемым током магнитное поле в каждой рассматриваемой точке будет обладать определенной индукцией B, как и величина магнитного потока Ф - тоже будет определенной на каждой из рассматриваемых площадок S.

Если попытаться объяснить совсем просто, то индукция показывает интенсивность магнитного действия (связанного ), которое способно оказать данное магнитное поле на проводник с током, в это поле помещенный, а магнитный поток обозначает то, как распределена магнитная индукция по рассматриваемой поверхности. Таким образом, энергия магнитного поля катушки с током локализована не непосредственно в витках катушки, а в том объеме пространства, в котором существует магнитное поле, c током катушки связанное.

То, что магнитное поле катушки с током обладает реальной энергией, можно обнаружить экспериментально. Соберем схему, в которой параллельно катушке с железным сердечником подключим лампу накаливания. Подадим на катушку с лампочкой постоянное напряжение от источника питания. В цепи нагрузки тут же установится ток, он потечет через лампочку и через катушку. Ток через лампочку будет обратно пропорционален сопротивлению ее нити накала, а ток через катушку - обратно пропорционален сопротивлению провода, которым она намотана.

Ежели сейчас резко разомкнуть тумблер между источником питания и цепью нагрузки, то лампочка кратковременно но довольно заметно вспыхнет. Это значит, что когда мы отключили источник питания, ток из катушки устремился в лампу, а значит данный ток в катушке был, он имел вокруг себя магнитное поле, и в момент исчезновения магнитного поля в катушке возникла ЭДС.

Данная индуцированная ЭДС называется ЭДС самоиндукции, поскольку навелась она собственным магнитным полем катушки с током на саму эту катушку. Тепловое действие Q тока в данном случае можно выразить через произведение величин тока, который был установлен в катушке на момент размыкания тумблера, сопротивления R цепи (провода катушки и лампы) и продолжительности времени исчезновения тока t. Напряжение, которое возникло на сопротивлении цепи, можно выразить через индуктивность L, полное сопротивление цепи R, а также с учетом времени исчезновения тока dt.

Применим теперь выражение для энергии катушки W к частному случаю - к соленоиду с сердечником, обладающим определенной магнитной проницаемостью, отличной от магнитной проницаемости вакуума.

Для начала выразим магнитный поток Ф через площадь сечения S соленоида, количество витков N и магнитную индукцию B по всей его длине l. Распишем сначала индукцию B через ток витка I, число витков на единицу длины n, и магнитную проницаемость вакуума.

Подставим затем сюда объем соленоида V. Мы нашли формулу для магнитной энергии W, и имеем право взять отсюда величину w – объемную плотность магнитной энергии внутри соленоида.

Джеймс Клерк Максвелл в свое время показал, что выражение объемной плотности магнитной энергии справедливо , но и для магнитных полей вообще.

Магнитная энергия катушки.

При размыкании ключа K лампа ярко вспыхивает

Что собой представляет энергия катушки с током? В начальный момент времени по катушке идет ток , который создает магнитное поле. Исчезновение тока в катушке означает исчезновение магнитного поля. Значит, энергия катушки с током – это энергия её магнитного поля, она может быть найдена как работа убывающего тока

(8)

Для катушки
,
,


,

Объемная плотность энергии

, . (9)

Суммарная плотность энергии электрического и магнитного (электромагнитного) поля

(10)

Глава 1. Электродинамика Магнитное поле

1.21. Самоиндукция. Энергия магнитного поля

Самоиндукция является важным частным случаем электромагнитной индукции, когда изменяющийся магнитный поток, вызывающий ЭДС индукции, создается током в самом контуре. Если ток в рассматриваемом контуре по каким-то причинам изменяется, то изменяется и магнитное поле этого тока, а, следовательно, и собственный магнитный поток, пронизывающий контур. В контуре возникает ЭДС самоиндукции, которая согласно правилу Ленца препятствует изменению тока в контуре.

Собственный магнитный поток Φ, пронизывающий контур или катушку с током, пропорционален силе тока I :

В качестве примера рассчитаем индуктивность длинного соленоида, имеющего N витков, площадь сечения S и длину l . Магнитное поле соленоида определяется формулой (см. § 1.17 )

Следовательно, индуктивность соленоида равна

L = μ 0 n 2 Sl = μ 0 n 2 V ,

где V = Sl – объем соленоида, в котором сосредоточено магнитное поле. Полученный результат не учитывает краевых эффектов, поэтому он приближенно справедлив только для достаточно длинных катушек. Если соленоид заполнен веществом с магнитной проницаемостью μ, то при заданном токе I индукция магнитного поля возрастает по модулю в μ раз (см. § 1.17 ); поэтому индуктивность катушки с сердечником также увеличивается в μ раз:

ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна индуктивности катушки и скорости изменения силы тока в ней.

Магнитное поле обладает энергией. Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии. Если включить электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, то при размыкании ключа наблюдается кратковременная вспышка лампы (рис. 1.21.1). Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки.

Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, запасенная в катушке, выделится в виде джоулева тепла. Если обозначить через R полное сопротивление цепи, то за время Δt выделится количество теплоты ΔQ = I 2 R Δt .

Ток в цепи равен

В этом выражении ΔI < 0; ток в цепи постепенно убывает от первоначального значения I 0 до нуля. Полное количество теплоты, выделившейся в цепи, можно получить, выполнив операцию интегрирования в пределах от I 0 до 0. Это дает

Таким образом, энергия W м магнитного поля катушки с индуктивностью L , создаваемого током I , равна

где V – объем соленоида. Это выражение показывает, что магнитная энергия локализована не в витках катушки, по которым протекает ток, а рассредоточена по всему объему, в котором создано магнитное поле. Физическая величина

равная энергии магнитного поля в единице объема, называется объемной плотностью магнитной энергии . Дж. Максвелл показал, что выражение для объемной плотности магнитной энергии, выведенное здесь для случая длинного соленоида, справедливо для любых магнитных полей.

И на тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения, магнитная составляющая электромагнитного поля .

Магнитное поле может создаваться током заряженных частиц и/или магнитными моментами электронов в атомах (и магнитными моментами других частиц, хотя в заметно меньшей степени) (постоянные магниты).

Энергия магнитного поля , создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L, равна где I — сила тока в контуре.

Энергия магнитного поля катушки с индуктивностью L, создаваемого током I, равна

Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.

Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I . С данным контуром сцеплен магнитный поток (см. (126.1)) Ф = LI, причем при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ = L dI . Однако для изменения магнитного потока на величину dФ (см. § 121) необходимо совершить работу dА = I dФ = LI dI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна

Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром,

Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представлениям теории поля.

Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризу-ющих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный слу-чай — однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (130.1) выражение (126.2), получим

Так как I = Bl/ (m 0 mN ) (см. (119.2)) и В = m 0 mH (см. (109.3)), то

(130.2)

где Sl = V — объем соленоида.

Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия (см. (130.2)) заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью

(130.3)

Выражение (130.3) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный формуле (95.8) для объемной плотности энергии электростатического поля, с той разницей, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (130.3) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднород-ных полей. Выражение (130.3) справедливо только для сред, для которых зависимость В от Н линейная, т.е. оно относится только к

Энергия магнитного поля при наличии магнетиков

Пусть все рассматриваемое пространство заполняет однородный магнетик. В нем индукция магнитного поля, которое создают токи, изменяется в $\mu $ раз в сравнении с индукцией в вакууме. Во столько же изменяются магнитные потоки $Ф$ и $dФ.$ Элементарная работа, выполняемая внешним источником против электродвижущей силы индукции, будет равна:

Допустим, что магнитное поле создается двумя контурами. Если $L_{11}$ - индуктивность первого контура, $L_{22}$ - индуктивность второго контура, то можно записать, что:

Поток ${\Phi }_{12}$, который пересекает контур (1), создаваемый током во втором контуре равен:

где $L_{12}$- постоянная, взаимная индуктивность первого и второго контуров. Для второго контура имеем:

Из формул (2) - (4) следует, что если изменяются магнитные потоки в магнетике, то индукции контура и взаимные индукции увеличиваются в $\mu $ раз. Это значит, что взаимные индукции контуров равны:

При этом магнитные потоки в магнитике могут быть выражены как:

где $r_{21}=r_{12}$ - расстояния между элементами контуров с током $d\overrightarrow{l_1}и\ d\overrightarrow{l_2}$.

Формула же записанная для энергии магнитного поля , которое создано двумя контурами с токами для вакуума и магнетика (при отсутствии ферромагнетика) по форме не изменяется:

Если магнитное поле образуется $N$ контурами, то его энергию можно вычислить как:

Рисунок 1.

при $i=k$ коэффициент $L_{ik}$ называется индуктивностью контура ${\rm I}$, при $i\ne k$, этот же коэффициент называют взаимной индуктивностью ${\rm I}$-го и k-го контуров. Эти коэффициенты определяются формулами при $i\ne k$:

где $d\overrightarrow{l_i},d\overrightarrow{l_k}$ - элементы длины контуров ${\rm I}$-го и $k$-го. $r_{ik}-$расстояние между ними. При этом $L_{ik}=L_{ki}$. В результате получается, что энергия магнитного поля токов, которые текут в неограниченном однородном магнетике, изменяется в $\mu $ раз в сравнении с энергией этих же токов в вакууме.

Объемная плотность энергии магнитного поля

Магнитное поле, которое создают токи, распределено по всему пространству. Допустим, что магнитное поле создается одиночным контуром с током. Магнитная энергия поля в таком случае может быть представлена как:

где поток магнитной индукции можно выразить как:

где $L$ контур тока, $S$ - поверхность, которая натянута на контур $L$, $\overrightarrow{A}\ $- векторный потенциал, магнитного поля, которое создается током $I$. Замкнутый ток взаимодействует со своим магнитным полем. Каждый элемент тока $Id\overrightarrow{l}$ создает в пространстве собственное магнитное поле, с которым взаимодействуют другие элементы тока.

Подставим (11) в формулу (10), получим:

Проведем переход от линейных токов к объемным токам с помощью соотношения:

Из выражения (10) получим:

Используем известные формулы:

Преобразуем выражение (12), получим:

По теореме Остроградского - Гаусса имеем:

В том случае, если точки рассматриваются в конечной области пространства, на больших расстояниях от этой области $A\sim \frac{1}{r}$, $H\sim \frac{1}{r^2}$, то есть подынтегральное выражение убывает пропорционально $\frac{1}{r^3}$. Поверхность при этом растет пропорционально $r^2$, получаем, что интеграл уменьшается $\sim \frac{1}{r}.$ Получается, что при $r\to \infty $, второй интеграл в выражении (15) равен нулю, тогда полная энергия выражается формулой:

Тогда, можно сказать, что объемная плотность энергии магнитного поля в пространстве равна:

Энергия магнетика во внешнем поле

Если имеется фиксированное распределение токов в пространстве, то энергия магнетика в магнитном поле равна:

где $\overrightarrow{J}$ - намагниченность магнетика, $\overrightarrow{B_0}$ - магнитное поле в свободном пространстве.

Пример 1

Задание: Вычислите магнитную проницаемость железа, если в поле с индукцией $B=1Тл$ плотность энергии магнитного поля в веществе $200 \frac{Дж}{м^3}$.

Решение:

Из формулы (1.1) выразим магнитную проницаемость, получим:

\[\mu =\frac{1}{2}\frac{B^2}{w_m{\mu }_0}\left(1.2\right).\]

Проведем вычисления:

\[\mu =\frac{1}{2}\cdot \frac{1^2}{200\cdot 1,26\cdot {10}^{-6}}=2\cdot {10}^3.\]

Ответ: $\mu =2\cdot {10}^3.$

Пример 2

Задание: Определите, как изменится объемная плотность энергии магнитного поля, если индукция магнитного поля тороида, который имеет ферромагнитный сердечник, увеличилась от $B_1=0,9\ Тл\ до\ B_2=1,2\ Тл$. Зависимость $B(H)$ представлена графиком на рис.2.

Рисунок 2.

Решение:

В качестве основания для решения задачи используем формулу

Запишем формулу (2.1) для двух состояний магнитного поля и найдем отношение $\frac{w_{2m}}{w_{1m}}$:

\[\frac{w_{2m}}{w_{1m}}=\frac{1}{2}H_2B_2\cdot 2\frac{1}{H_1B_1}=\frac{H_2B_2}{H_1B_1}\left(2.2\right).\]

По графику находим, что при $B_1=1\ Тл\ H_1=400\frac{A}{м}\ до\ B_2=1,2\ Тл\ H_2=800\frac{A}{м}\ $.

Следовательно, искомое отношение равно:

\[\frac{w_{2m}}{w_{1m}}=\frac{1,2\cdot 800}{1\cdot 400}=2,4.\]

Ответ: $\frac{w_{2m}}{w_{1m}}=2,4.\ $