Генератор случайных чисел рф. Генератор случайных чисел онлайн

Очевидный факт, что удача играет немаловажную роль в любой затее. Но, играя в лотерею, необходимо понимать, что фортуна является единственным фактором, от которого зависит исполнение ваших мечтаний. В основной массе лотерей, чтобы получить джекпот необходимо всего лишь угадать определенные числа в неком диапазоне. В этом случае помочь способен , представленный на нашем сайте.

Мы предлагаем бесплатно попробовать простой генератор, который способен полностью исключить влияние человеческого фактора и увеличить шанс на выигрыш . Также приводим лучшие и наиболее функциональные, но простые генераторы, а также сервисы, способные спрогнозировать выигрышные комбинации цифр , основываясь на особые алгоритмы анализа.

Если вы хотите попытать свою удачу в одной из популярных лотерей (4 из 20, 5 из 36, 6 из 45), но не знаете, какие цифры способны повысить вероятность выигрыша, то мы способны помочь. Далее предлагаем вашему вниманию обзор ТОП 5 наиболее функциональных , но одновременно простых в использовании генераторов чисел для лотереи, имеющих множество дополнительных функций и возможностей.

Для начала разберем основные критерии приведенного списка :

ТОП 1 — Генератор чисел GSgen.RU

Описание : Встроенное программное обеспечение реализовано на языке программирования Javascript и является генератором псевдослучайных чисел. Равномерно распределяет случайные цифры, за счет чего исключается субъективное восприятие игроков, которое оказывает влияние на ручной выбор.

Достоинства : Скрипт ГСЧ позволяет подобрать счастливые числа для Гослото (и не только) различных вариаций из предустановленных режимов. Существует возможность индивидуальной настройки для иных видов лотерей. Доступен к бесплатному использованию.

Недостатки : Нет возможности вводить цифры исключения, которые не желательно видеть, нельзя получить сразу несколько комбинаций и получить ссылку на готовый результат.

ТОП 2 — Генератор Soft-Arhiv

Описание : Еще один сервис для генерации СЧ для российских лотерей. Достаточно выбрать необходимую комбинацию и получить готовый результат. Для использования не потребуется дополнительного софта, так как прекрасно работает в онлайн режиме.

Достоинства : Обладает простой, наглядной формой для заполнения и получения результатов. Возможность выбора готового типа лотереи, настройки генерации позволяет включить исключения и количества необходимых комбинаций делают сервис очень удобным для использования. Также полностью бесплатный функционал.

ТОП 3 — ГСЧ: Calculator888

Описание : Calculator888 находится на почетном третьем месте рассматриваемых сервисов. Как и предыдущие варианты позволяет получить требуемое количество чисел без особых усилий. Пользоваться генератором случайных чисел сможет даже начинающий пользователь сети, так как все интуитивно понятно.

Достоинства : Широкие настройки позволят сформировать необходимое количество чисел, задавать их диапазон, а также определить варианты ввода. К тому же, в отличие от предыдущих сервисов, позволяет получить ссылку на результат. Полностью бесплатен.

Недостатки : К минусам относится отсутствие выбора готовых типов лотереи, что вынуждает самостоятельно формировать задачу. Нельзя ввести исключения и сразу получить несколько комбинаций. Учет прошлых тиражей также не производится.

Генераторы чисел с учетом прошлых тиражей

Стоит обратить ваше внимание на то, что существуют особые сервисы, способные прогнозировать счастливые числа на которые необходимо делать ставки. Их создатели уверяют пользователей в том, что анализ и выдача итогов осуществляется на основе результатов проведенных тиражей, использовании теории вероятности и прочих математических расчетов.

Однако не стоит в это безоговорочно верить. Мы в это точно не верим и считаем, что любой из подобных сервисов – это , которые рандомным образом выдают результат аналогично любым другим ГСЧ.

Однако вы можете самостоятельно это проверить. Далее мы приводим еще два сервиса, предоставляющие возможность подбора результатов для гослото, викинг лото, кено, спорт лото и т.п. с учетом их прошлых тиражей. Функционал отдельных из них платный.

Обратим ваше внимание на том, что не стоит платить деньги за платный прогноз, так как это просто деньги на ветер за комбинации, которые способен выдать любой другой бесплатный сервис. Итак, продолжение лучших сервисов для генерации с учетом анализа прошлых тиражей:

ТОП 4 — ГСЧ с учетом тиражей: Fortunablog

Описание : По словам разработчика скрипт способен не просто выдавать цифровые комбинации наугад, но и анализирует ранее выпадающие шары на основе ряда алгоритмов и теории вероятности. Также заявляется, что целью генератора является подбор комбинации для джек-пота.

Достоинства : Есть два предустановленных типа лотереи, из которых можно попытать счастья в подборе. Однако основное достоинство позиционируется как учет результатов прошедших тиражей и, что немаловажно, бесплатное использование.

ТОП 5 — Генератор для лотереи с учетом тиражей: Igraivloto

Описание : Представленный сервис позволяет получить комбинации наиболее вероятных выигрышных комбинаций. Принцип действия аналогичен предыдущим рассматриваемым вариантам за исключением отдельных пунктов функциональности.

Достоинства : Представляет собой готовый скрипт выдачи прогноза для лотереи «Гослото 6 из 45», что исключает необходимость выбора необходимого розыгрыша. Позиционирует себя как сайт, работающий на специальных алгоритмах и фильтрах, создающих наиболее вероятные прогнозы на основе проведенных тиражей. Позволяет получать сразу несколько результатов и делиться ссылкой на результат.

Недостатки : Нет возможности ввода диапазона цифр и необходимых исключений. Однако наибольшим минусом является предоставление платных прогнозов, что явно выделяет его из бесплатных предыдущих аналогов.

Заключение

Использовать рассмотренные сервисы или нет, конечно, решать вам. С одной стороны применение подобных сайтов может помочь подобрать определенные комбинации, освободив от сложного выбора, так как, например для розыгрыша 5 из 36, абсолютно любая генерированная или подобранная самим игроком вручную комбинация обладает вероятностью выигрыша 1 к 376 992.

Таблица, отображающая какова вероятность выиграть в лотерею:

В сравнении с иными стратегиями игры в лотерею этот вариант имеет неплохие шансы на выигрыш. Однако стоит понимать, что использовать платные прогнозы в этом случае не является целесообразным и не соответствует вероятности на выигрыш.

И т. д., и используется владельцами аккаунтов для привлечения новой аудитории в сообщество.

Результат таких розыгрышей часто зависит от удачи пользователя, так как получатель приза определяется случайным образом.

Для такого определения организаторы розыгрышей почти всегда используют генератор случайных чисел онлайн или предустановленный, распространяющийся бесплатно.

Выбор

Довольно часто выбрать такой генератор может быть сложно, так как их функционал достаточно различен – у некоторых он существенно ограничен, у других – довольно широк.

Реализуется достаточно большое количество таких сервисов, но сложность в том, что они отличаются по сфере действия.

Многие, например, привязаны своим функционалом к определенной социальной сети (например, многие приложения-генераторы во работают только со ссылками этой ).

Наиболее простые генераторы просто определяют случайно число в заданном диапазоне.

Это удобно потому, что не связывает результат с определенным постом, а значит, могут применяться при розыгрышах вне социальной сети и в различных иных ситуациях.

Иного применения у них, по сути, нет.

Совет! При выборе наиболее подходящего генератора важно учитывать то, для каких целей он будет использоваться.

Технические характеристики

Для наиболее быстрого процесса выбора оптимального онлайн-сервиса генерации случайных чисел в таблице, представленной ниже, приведены основные технические характеристики и функционал таких приложений.

Таблица 1. Особенности функционирования онлайн приложений для генерации случайного числа

Название	Социальная сеть	Несколько результатов	Выбор из списка чисел	Онлайн-виджет для сайта	Выбор из диапазона	Отключение повторений
RandStuff		Да	Да	Нет	Да	Нет
Cast Lots	Официальный сайт или ВКонтакте	Нет	Нет	Да	Да	Да
Случайное число	Официальный сайт	Нет	Нет	Нет	Да	Да
Рандомус	Официальный сайт	Да	Нет	Нет	Да	Нет
Случайные числа	Официальный сайт	Да	Нет	Нет	Нет	Нет

Подробнее все приложения, рассмотренные в таблице, описаны ниже.

RandStuff

Воспользоваться данным приложением в режиме онлайн можно по ссылке на его официальный сайт http://randstuff.ru/number/ .

Это простой генератор случайных чисел, отличающийся быстрой и стабильной работой.

Он успешно реализуется как в формате отдельного самостоятельного приложения на официальном сайте, так и в виде приложения в .

Особенность данного сервиса в том, что он может выбрать случайное число как из указанного диапазона, так и из определенного списка чисел, которые можно указать на сайте.

• Стабильная и быстрая работа;
• Отсутствие непосредственной привязки к социальной сети;
• Выбрать можно как одно, так и несколько чисел;
• Можно выбрать только среди указанных чисел.

Отзывы пользователей о данном приложении таковы: «Определяем через этот сервис победителей в группах В Контакте. Спасибо», «Вы лучшие», «Пользуюсь только этим сервисом».

Cast Lots

Данное приложение представляет из себя простой функциональный генератор, реализующийся на официальном сайте, в виде приложения ВКонтакте.

Также существует виджет генератора для вставки на свой сайт.

Основным отличием от предыдущего описанного приложения является то, что это позволяет отключить повторение результата.

• Tutorial

Вы когда-нибудь задумывались, как работает Math.random()? Что такое случайное число и как оно получается? А представьте вопрос на собеседовании - напишите свой генератор случайных чисел в пару строк кода. И так, что же это такое, случайность и возможно ли ее предсказать?

Меня очень увлекают различные IT головоломки и задачки и генератор случайных чисел - одна из таких задачек. Обычно в своем телеграм канале я разбираю всякие головоломки и разные задачи с собеседований. Задача про генератор случайных чисел набрала большую популярность и мне захотелось увековечить ее в недрах одного из авторитетных источников информации - то бишь здесь, на Хабре.

Данный материал будет полезен всем тем фронтендерам и Node.js разработчикам, кто на острие технологий и хочет попасть в блокчейн проект/стартап, где вопросы про безопасность и криптографию, хотя бы на базовом уровне, спрашивают даже у фронтендеров.

Генератор псевдослучайных чисел и генератор случайных чисел

Для того, чтобы получить что-то случайное, нам нужен источник энтропии, источник некого хаоса из который мы будем использовать для генерации случайности.

Этот источник используется для накопления энтропии с последующим получением из неё начального значения (initial value, seed), которое необходимо генераторам случайных чисел (ГСЧ) для формирования случайных чисел.

Генератор ПсевдоСлучайных Чисел использует единственное начальное значение, откуда и следует его псевдослучайность, в то время как Генератор Случайных Чисел всегда формирует случайное число, имея в начале высококачественную случайную величину, которая берется из различных источников энтропии.

Энтропия - это мера беспорядка. Информационная энтропия - мера неопределённости или непредсказуемости информации.

Выходит, что чтобы создать псевдослучайную последовательность нам нужен алгоритм, который будет генерить некоторую последовательность на основании определенной формулы. Но такую последовательность можно будет предсказать. Тем не менее, давайте пофантазируем, как бы могли написать свой генератор случайных чисел, если бы у нас не было Math.random()

ГПСЧ имеет некоторый алгоритм, который можно воспроизвести.
ГСЧ - это получение чисел полностью из какого либо шума, возможность просчитать который стремится к нулю. При этом в ГСЧ есть определенные алгоритмы для выравнивания распределения.

Придумываем свой алгоритм ГПСЧ

Генератор псевдослучайных чисел (ГПСЧ, англ. pseudorandom number generator, PRNG) - алгоритм, порождающий последовательность чисел, элементы которой почти независимы друг от друга и подчиняются заданному распределению (обычно равномерному).

Мы можем взять последовательность каких-то чисел и брать от них модуль числа. Самый простой пример, который приходит в голову. Нам нужно подумать, какую последовательность взять и модуль от чего. Если просто в лоб от 0 до N и модуль 2, то получится генератор 1 и 0:

Function* rand() { const n = 100; const mod = 2; let i = 0; while (true) { yield i % mod; if (i++ > n) i = 0; } } let i = 0; for (let x of rand()) { if (i++ > 100) break; console.log(x); }
Эта функция генерит нам последовательность 01010101010101… и назвать ее даже псевдослучайной никак нельзя. Чтобы генератор был случайным, он должен проходить тест на следующий бит. Но у нас не стоит такой задачи. Тем не менее даже без всяких тестов мы можем предсказать следующую последовательность, значит такой алгоритм в лоб не подходит, но мы в нужном направлении.

А что если взять какую-то известную, но нелинейную последовательность, например число PI. А в качестве значения для модуля будем брать не 2, а что-то другое. Можно даже подумать на тему меняющегося значения модуля. Последовательность цифр в числе Pi считается случайной. Генератор может работать, используя числа Пи, начиная с какой-то неизвестной точки. Пример такого алгоритма, с последовательностью на базе PI и с изменяемым модулем:

Const vector = [...Math.PI.toFixed(48).replace(".","")]; function* rand() { for (let i=3; i<1000; i++) { if (i > 99) i = 2; for (let n=0; n Но в JS число PI можно вывести только до 48 знака и не более. Поэтому предсказать такую последовательность все так же легко и каждый запуск такого генератора будет выдавать всегда одни и те же числа. Но наш генератор уже стал показывать числа от 0 до 9.

Мы получили генератор чисел от 0 до 9, но распределение очень неравномерное и каждый раз он будет генерировать одну и ту же последовательность.

Мы можем взять не число Pi, а время в числовом представлении и это число рассматривать как последовательность цифр, причем для того, чтобы каждый раз последовательность не повторялась, мы будем считывать ее с конца. Итого наш алгоритм нашего ГПСЧ будет выглядеть так:

Function* rand() { let newNumVector = () => [...(+new Date)+""].reverse(); let vector = newNumVector(); let i=2; while (true) { if (i++ > 99) i = 2; let n=-1; while (++n < vector.length) yield (vector[n] % i); vector = newNumVector(); } } // TEST: let i = 0; for (let x of rand()) { if (i++ > 100) break; console.log(x) }
Вот это уже похоже на генератор псевдослучайных чисел. И тот же Math.random() - это ГПСЧ, про него мы поговорим чуть позже. При этом у нас каждый раз первое число получается разным.

Собственно на этих простых примерах можно понять как работают более сложные генераторы случайных числе. И есть даже готовые алгоритмы. Для примера разберем один из них - это Линейный конгруэнтный ГПСЧ(LCPRNG).

Линейный конгруэнтный ГПСЧ

Линейный конгруэнтный ГПСЧ(LCPRNG) - это распространённый метод для генерации псевдослучайных чисел. Он не обладает криптографической стойкостью. Этот метод заключается в вычислении членов линейной рекуррентной последовательности по модулю некоторого натурального числа m, задаваемой формулой. Получаемая последовательность зависит от выбора стартового числа - т.е. seed. При разных значениях seed получаются различные последовательности случайных чисел. Пример реализации такого алгоритма на JavaScript:

Const a = 45; const c = 21; const m = 67; var seed = 2; const rand = () => seed = (a * seed + c) % m; for(let i=0; i<30; i++) console.log(rand())
Многие языки программирования используют LСPRNG (но не именно такой алгоритм(!)).

Как говорилось выше, такую последовательность можно предсказать. Так зачем нам ГПСЧ? Если говорить про безопасность, то ГПСЧ - это проблема. Если говорить про другие задачи, то эти свойства - могут сыграть в плюс. Например для различных спец эффектов и анимаций графики может понадобиться частый вызов random. И вот тут важны распределение значений и перформанс! Секурные алгоритмы не могут похвастать скоростью работы.

Еще одно свойство - воспроизводимость. Некоторые реализации позволяют задать seed, и это очень полезно, если последовательность должна повторяться. Воспроизведение нужно в тестах, например. И еще много других вещей существует, для которых не нужен безопасный ГСЧ.

Как устроен Math.random()

Метод Math.random() возвращает псевдослучайное число с плавающей запятой из диапазона = crypto.getRandomValues(new Uint8Array(1)); console.log(rvalue)
Но, в отличие от ГПСЧ Math.random(), этот метод очень ресурсоемкий. Дело в том, что данный генератор использует системные вызовы в ОС, чтобы получить доступ к источникам энтропии (мак адрес, цпу, температуре, etc…).

Что такое случайность в компьютере? Как происходит генерация случайных чисел? В этой статье мы постарались дать простые ответы на эти вопросы.

В программном обеспечении, да и в технике в целом существует необходимость в воспроизводимой случайности: числа и картинки, которые кажутся случайными, на самом деле сгенерированы определённым алгоритмом. Это называется псевдослучайностью, и мы рассмотрим простые способы создания псевдослучайных чисел. В конце статьи мы сформулируем простую теорему для создания этих, казалось бы, случайных чисел.

Определение того, что именно является случайностью, может быть довольно сложной задачей. Существуют тесты (например, колмогоровская сложность), которые могут дать вам точное значение того, насколько случайна та или иная последовательность. Но мы не будем заморачиваться, а просто попробуем создать последовательность чисел, которые будут казаться несвязанными между собой.

Часто требуется не просто одно число, а несколько случайных чисел, генерируюемых непрерывно. Следовательно, учитывая начальное значение, нам нужно создать другие случайные числа. Это начальное значение называется семенем , и позже мы увидим, как его получить. А пока давайте сконцентрируемся на создании других случайных значений.

Создание случайных чисел из семени

Один из подходов может заключаться в том, чтобы применить какую-то безумную математическую формулу к семени, а затем исказить её настолько, что число на выходе будет казаться непредсказуемым, а после взять его как семя для следующей итерации. Вопрос только в том, как должна выглядеть эта функция искажения.

Давайте поэкспериментируем с этой идеей и посмотрим, куда она нас приведёт.

Функция искажения будет принимать одно значение, а возвращать другое. Назовём её R.

R(Input) -> Output

Если значение нашего семени 1, то R создаст ряд 1, 2, 3, 4, … Выглядит совсем не случайно, но мы дойдём до этого. Пусть теперь R добавляет константу вместо 1.

R (x ) = x + c

Если с равняется, например, 7, то мы получим ряд 1, 8, 15, 22, … Всё ещё не то. Очевидно, что мы упускаем то, что числа не должны только увеличиваться, они должны быть разбросаны по какому-то диапазону. Нам нужно, чтобы наша последовательность возвращалась в начало — круг из чисел!

Числовой круг

Посмотрим на циферблат часов: наш ряд начинается с 1 и идёт по кругу до 12. Но поскольку мы работаем с компьютером, пусть вместо 12 будет 0.

Теперь начиная с 1 снова будем прибавлять 7. Прогресс! Мы видим, что после 12 наш ряд начинает повторяться, независимо от того, с какого числа начать.

Здесь мы получаем очень важно свойство: если наш цикл состоит из n элементов, то максимальное число элементов, которые мы можем получить перед тем, как они начнут повторяться это n.

Теперь давайте переделаем функцию R так, чтобы она соответствовала нашей логике. Ограничить длину цикла можно с помощью оператора модуля или оператора остатка от деления.

R(x) = (x + c) % m

R (x ) = (x + c ) % m

На этом этапе вы можете заметить, что некоторые числа не подходят для c. Если c = 4, и мы начали с 1, наша последовательность была бы 1, 5, 9, 1, 5, 9, 1, 5, 9, … что нам конечно же не подходит, потому что эта последовательность абсолютно не случайная. Становится понятно, что числа, которые мы выбираем для длины цикла и длины прыжка должны быть связаны особым образом.

Если вы попробуете несколько разных значений, то сможете увидеть одно свойство: m и с должны быть взаимно простыми.

До сих пор мы делали «прыжки» за счёт добавления, но что если использовать умножение? Умножим х на константу a .

R(x) = (ax + c) % m

R (x ) = (ax + c ) % m

Свойства, которым должно подчиняться а, чтобы образовался полный цикл, немного более специфичны. Чтобы создать верный цикл:

1. (а — 1) должно делиться на все простые множители m
2. (а — 1) должно делиться на 4, если m делится на 4

Эти свойства вместе с правилом, что m и с должны быть взаимно простыми составляют теорему Халла-Добелла. Мы не будем рассматривать её доказательство, но если бы вы взяли кучу разных значений для разных констант, то могли бы прийти к тому же выводу.

Выбор семени

Настало время поговорить о самом интересном: выборе первоначального семени. Мы могли бы сделать его константой. Это может пригодиться в тех случаях, когда вам нужны случайные числа, но при этом нужно, чтобы при каждом запуске программы они были одинаковые. Например, создание одинаковой карты для каждой игры.

Еще один способ — это получать семя из нового источника каждый раз при запуске программы, как в системных часах. Это пригодится в случае, когда нужно общее рандомное число, как в программе с бросанием кубика.

Конечный результат

Когда мы применяем функцию к её результату несколько раз, мы получаем рекуррентное соотношение. Давайте запишем нашу формулу с использованием рекурсии.

Заметим, что в идеале кривая плотности распределения случайных чисел выглядела бы так, как показано на рис. 22.3 . То есть в идеальном случае в каждый интервал попадает одинаковое число точек: N i = N /k , где N — общее число точек, k — количество интервалов, i = 1, …, k .

Рис. 22.3. Частотная диаграмма выпадения случайных чисел,
порождаемых идеальным генератором теоретически

Следует помнить, что генерация произвольного случайного числа состоит из двух этапов:

• генерация нормализованного случайного числа (то есть равномерно распределенного от 0 до 1);
• преобразование нормализованных случайных чисел r i в случайные числа x i , которые распределены по необходимому пользователю (произвольному) закону распределения или в необходимом интервале.

Генераторы случайных чисел по способу получения чисел делятся на:

• физические;
• табличные;
• алгоритмические.

Физические ГСЧ

Примером физических ГСЧ могут служить: монета («орел» — 1, «решка» — 0); игральные кости; поделенный на секторы с цифрами барабан со стрелкой; аппаратурный генератор шума (ГШ), в качестве которого используют шумящее тепловое устройство, например, транзистор (рис. 22.4–22.5 ).

Рис. 22.4. Схема аппаратного метода генерации случайных чисел
Рис. 22.5. Диаграмма получения случайных чисел аппаратным методом

Задача «Генерация случайных чисел при помощи монеты»

Сгенерируйте случайное трехразрядное число, распределенное по равномерному закону в интервале от 0 до 1, с помощью монеты. Точность — три знака после запятой.

Первый способ решения задачи Подбросьте монету 9 раз, и если монета упала решкой, то запишите «0», если орлом, то «1». Итак, допустим, что в результате эксперимента получили случайную последовательность 100110100. Начертите интервал от 0 до 1. Считывая числа в последовательности слева направо, разбивайте интервал пополам и выбирайте каждый раз одну из частей очередного интервала (если выпал 0, то левую, если выпала 1, то правую). Таким образом, можно добраться до любой точки интервала, сколь угодно точно. Итак, 1 : интервал делится пополам — и , — выбирается правая половина, интервал сужается: . Следующее число, 0 : интервал делится пополам — и , — выбирается левая половина , интервал сужается: . Следующее число, 0 : интервал делится пополам — и , — выбирается левая половина , интервал сужается: . Следующее число, 1 : интервал делится пополам — и , — выбирается правая половина , интервал сужается: . По условию точности задачи решение найдено: им является любое число из интервала , например, 0.625. В принципе, если подходить строго, то деление интервалов нужно продолжить до тех пор, пока левая и правая границы найденного интервала не СОВПАДУТ между собой с точностью до третьего знака после запятой. То есть с позиций точности сгенерированное число уже не будет отличимо от любого числа из интервала, в котором оно находится. Второй способ решения задачи Разобьем полученную двоичную последовательность 100110100 на триады: 100, 110, 100. После перевода этих двоичных чисел в десятичные получаем: 4, 6, 4. Подставив спереди «0.», получим: 0.464. Таким методом могут получаться только числа от 0.000 до 0.777 (так как максимум, что можно «выжать» из трех двоичных разрядов — это 111 2 = 7 8) — то есть, по сути, эти числа представлены в восьмеричной системе счисления. Для перевода восьмеричного числа в десятичное представление выполним: 0.464 8 = 4 · 8 –1 + 6 · 8 –2 + 4 · 8 –3 = 0.6015625 10 = 0.602 10 . Итак, искомое число равно: 0.602.

Табличные ГСЧ

Табличные ГСЧ в качестве источника случайных чисел используют специальным образом составленные таблицы, содержащие проверенные некоррелированные, то есть никак не зависящие друг от друга, цифры. В табл. 22.1 приведен небольшой фрагмент такой таблицы. Обходя таблицу слева направо сверху вниз, можно получать равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа с нужным числом знаков после запятой (в нашем примере мы используем для каждого числа по три знака). Так как цифры в таблице не зависят друг от друга, то таблицу можно обходить разными способами, например, сверху вниз, или справа налево, или, скажем, можно выбирать цифры, находящиеся на четных позициях.

Таблица 22.1. Случайные цифры. Равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа

Случайные цифры								Равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа
9	2	9	2	0	4	2	6	0.929
9	5	7	3	4	9	0	3	0.204
5	9	1	6	6	5	7	6	0.269

Достоинство данного метода в том, что он дает действительно случайные числа, так как таблица содержит проверенные некоррелированные цифры. Недостатки метода: для хранения большого количества цифр требуется много памяти; большие трудности порождения и проверки такого рода таблиц, повторы при использовании таблицы уже не гарантируют случайности числовой последовательности, а значит, и надежности результата.

Находится таблица, содержащая 500 абсолютно случайных проверенных чисел (взято из книги И. Г. Венецкого, В. И. Венецкой «Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе»).

Алгоритмические ГСЧ

Числа, генерируемые с помощью этих ГСЧ, всегда являются псевдослучайными (или квазислучайными), то есть каждое последующее сгенерированное число зависит от предыдущего:

r i + 1 = f (r i ) .

Последовательности, составленные из таких чисел, образуют петли, то есть обязательно существует цикл, повторяющийся бесконечное число раз. Повторяющиеся циклы называются периодами .

Достоинством данных ГСЧ является быстродействие; генераторы практически не требуют ресурсов памяти, компактны. Недостатки: числа нельзя в полной мере назвать случайными, поскольку между ними имеется зависимость, а также наличие периодов в последовательности квазислучайных чисел.

Рассмотрим несколько алгоритмических методов получения ГСЧ:

• метод серединных квадратов;
• метод серединных произведений;
• метод перемешивания;
• линейный конгруэнтный метод.

Метод серединных квадратов

Имеется некоторое четырехзначное число R 0 . Это число возводится в квадрат и заносится в R 1 . Далее из R 1 берется середина (четыре средних цифры) — новое случайное число — и записывается в R 0 . Затем процедура повторяется (см. рис. 22.6 ). Отметим, что на самом деле в качестве случайного числа необходимо брать не ghij , а 0.ghij — с приписанным слева нулем и десятичной точкой. Этот факт отражен как на рис. 22.6 , так и на последующих подобных рисунках.

Рис. 22.6. Схема метода серединных квадратов

Недостатки метода: 1) если на некоторой итерации число R 0 станет равным нулю, то генератор вырождается, поэтому важен правильный выбор начального значения R 0 ; 2) генератор будет повторять последовательность через M n шагов (в лучшем случае), где n — разрядность числа R 0 , M — основание системы счисления.

Для примера на рис. 22.6 : если число R 0 будет представлено в двоичной системе счисления, то последовательность псевдослучайных чисел повторится через 2 4 = 16 шагов. Заметим, что повторение последовательности может произойти и раньше, если начальное число будет выбрано неудачно.

Описанный выше способ был предложен Джоном фон Нейманом и относится к 1946 году. Поскольку этот способ оказался ненадежным, от него очень быстро отказались.

Метод серединных произведений

Число R 0 умножается на R 1 , из полученного результата R 2 извлекается середина R 2 * (это очередное случайное число) и умножается на R 1 . По этой схеме вычисляются все последующие случайные числа (см. рис. 22.7 ).

Рис. 22.7. Схема метода серединных произведений

Метод перемешивания

В методе перемешивания используются операции циклического сдвига содержимого ячейки влево и вправо. Идея метода состоит в следующем. Пусть в ячейке хранится начальное число R 0 . Циклически сдвигая содержимое ячейки влево на 1/4 длины ячейки, получаем новое число R 0 * . Точно так же, циклически сдвигая содержимое ячейки R 0 вправо на 1/4 длины ячейки, получаем второе число R 0 ** . Сумма чисел R 0 * и R 0 ** дает новое случайное число R 1 . Далее R 1 заносится в R 0 , и вся последовательность операций повторяется (см. рис. 22.8 ).

Рис. 22.8. Схема метода перемешивания

Обратите внимание, что число, полученное в результате суммирования R 0 * и R 0 ** , может не уместиться полностью в ячейке R 1 . В этом случае от полученного числа должны быть отброшены лишние разряды. Поясним это для рис. 22.8 , где все ячейки представлены восемью двоичными разрядами. Пусть R 0 * = 10010001 2 = 145 10 , R 0 ** = 10100001 2 = 161 10 , тогда R 0 * + R 0 ** = 100110010 2 = 306 10 . Как видим, число 306 занимает 9 разрядов (в двоичной системе счисления), а ячейка R 1 (как и R 0 ) может вместить в себя максимум 8 разрядов. Поэтому перед занесением значения в R 1 необходимо убрать один «лишний», крайний левый бит из числа 306, в результате чего в R 1 пойдет уже не 306, а 00110010 2 = 50 10 . Также заметим, что в таких языках, как Паскаль, «урезание» лишних битов при переполнении ячейки производится автоматически в соответствии с заданным типом переменной.

Линейный конгруэнтный метод

Линейный конгруэнтный метод является одной из простейших и наиболее употребительных в настоящее время процедур, имитирующих случайные числа. В этом методе используется операция mod(x , y ) , возвращающая остаток от деления первого аргумента на второй. Каждое последующее случайное число рассчитывается на основе предыдущего случайного числа по следующей формуле:

r i + 1 = mod(k · r i + b , M ) .

Последовательность случайных чисел, полученных с помощью данной формулы, называется линейной конгруэнтной последовательностью . Многие авторы называют линейную конгруэнтную последовательность при b = 0 мультипликативным конгруэнтным методом , а при b ≠ 0 — смешанным конгруэнтным методом .

Для качественного генератора требуется подобрать подходящие коэффициенты. Необходимо, чтобы число M было довольно большим, так как период не может иметь больше M элементов. С другой стороны, деление, использующееся в этом методе, является довольно медленной операцией, поэтому для двоичной вычислительной машины логичным будет выбор M = 2 N , поскольку в этом случае нахождение остатка от деления сводится внутри ЭВМ к двоичной логической операции «AND». Также широко распространен выбор наибольшего простого числа M , меньшего, чем 2 N : в специальной литературе доказывается, что в этом случае младшие разряды получаемого случайного числа r i + 1 ведут себя так же случайно, как и старшие, что положительно сказывается на всей последовательности случайных чисел в целом. В качестве примера можно привести одно из чисел Мерсенна , равное 2 31 – 1 , и таким образом, M = 2 31 – 1 .

Одним из требований к линейным конгруэнтным последовательностям является как можно большая длина периода. Длина периода зависит от значений M , k и b . Теорема, которую мы приведем ниже, позволяет определить, возможно ли достижение периода максимальной длины для конкретных значений M , k и b .

Теорема . Линейная конгруэнтная последовательность, определенная числами M , k , b и r 0 , имеет период длиной M тогда и только тогда, когда:

• числа b и M взаимно простые;
• k – 1 кратно p для каждого простого p , являющегося делителем M ;
• k – 1 кратно 4, если M кратно 4.

Наконец, в заключение рассмотрим пару примеров использования линейного конгруэнтного метода для генерации случайных чисел.

Было установлено, что ряд псевдослучайных чисел, генерируемых на основе данных из примера 1, будет повторяться через каждые M /4 чисел. Число q задается произвольно перед началом вычислений, однако при этом следует иметь в виду, что ряд производит впечатление случайного при больших k (а значит, и q ). Результат можно несколько улучшить, если b нечетно и k = 1 + 4 · q — в этом случае ряд будет повторяться через каждые M чисел. После долгих поисков k исследователи остановились на значениях 69069 и 71365 .

Генератор случайных чисел, использующий данные из примера 2, будет выдавать случайные неповторяющиеся числа с периодом, равным 7 миллионам.

Мультипликативный метод генерации псевдослучайных чисел был предложен Д. Г. Лехмером (D. H. Lehmer) в 1949 году.

Проверка качества работы генератора

От качества работы ГСЧ зависит качество работы всей системы и точность результатов. Поэтому случайная последовательность, порождаемая ГСЧ, должна удовлетворять целому ряду критериев.

Осуществляемые проверки бывают двух типов:

• проверки на равномерность распределения;
• проверки на статистическую независимость.

Проверки на равномерность распределения

1) ГСЧ должен выдавать близкие к следующим значения статистических параметров, характерных для равномерного случайного закона:

2) Частотный тест

Частотный тест позволяет выяснить, сколько чисел попало в интервал (m r – σ r ; m r + σ r ) , то есть (0.5 – 0.2887; 0.5 + 0.2887) или, в конечном итоге, (0.2113; 0.7887) . Так как 0.7887 – 0.2113 = 0.5774 , заключаем, что в хорошем ГСЧ в этот интервал должно попадать около 57.7% из всех выпавших случайных чисел (см. рис. 22.9 ).

Рис. 22.9. Частотная диаграмма идеального ГСЧ
в случае проверки его на частотный тест

Также необходимо учитывать, что количество чисел, попавших в интервал (0; 0.5) , должно быть примерно равно количеству чисел, попавших в интервал (0.5; 1) .

3) Проверка по критерию «хи-квадрат»

Критерий «хи-квадрат» (χ 2 -критерий) — это один из самых известных статистических критериев; он является основным методом, используемым в сочетании с другими критериями. Критерий «хи-квадрат» был предложен в 1900 году Карлом Пирсоном. Его замечательная работа рассматривается как фундамент современной математической статистики.

Для нашего случая проверка по критерию «хи-квадрат» позволит узнать, насколько созданный нами реальный ГСЧ близок к эталону ГСЧ , то есть удовлетворяет ли он требованию равномерного распределения или нет.

Частотная диаграмма эталонного ГСЧ представлена на рис. 22.10 . Так как закон распределения эталонного ГСЧ равномерный, то (теоретическая) вероятность p i попадания чисел в i -ый интервал (всего этих интервалов k ) равна p i = 1/k . И, таким образом, в каждый из k интервалов попадет ровно по p i · N чисел (N — общее количество сгенерированных чисел).

Рис. 22.10. Частотная диаграмма эталонного ГСЧ

Реальный ГСЧ будет выдавать числа, распределенные (причем, не обязательно равномерно!) по k интервалам и в каждый интервал попадет по n i чисел (в сумме n 1 + n 2 + … + n k = N ). Как же нам определить, насколько испытываемый ГСЧ хорош и близок к эталонному? Вполне логично рассмотреть квадраты разностей между полученным количеством чисел n i и «эталонным» p i · N . Сложим их, и в результате получим:

χ 2 эксп. = (n 1 – p 1 · N ) 2 + (n 2 – p 2 · N ) 2 + … + (n k – p k · N ) 2 .

Из этой формулы следует, что чем меньше разность в каждом из слагаемых (а значит, и чем меньше значение χ 2 эксп. ), тем сильнее закон распределения случайных чисел, генерируемых реальным ГСЧ, тяготеет к равномерному.

В предыдущем выражении каждому из слагаемых приписывается одинаковый вес (равный 1), что на самом деле может не соответствовать действительности; поэтому для статистики «хи-квадрат» необходимо провести нормировку каждого i -го слагаемого, поделив его на p i · N :

Наконец, запишем полученное выражение более компактно и упростим его:

Мы получили значение критерия «хи-квадрат» для экспериментальных данных.

В табл. 22.2 приведены теоретические значения «хи-квадрат» (χ 2 теор. ), где ν = N – 1 — это число степеней свободы, p — это доверительная вероятность, задаваемая пользователем, который указывает, насколько ГСЧ должен удовлетворять требованиям равномерного распределения, или p — это вероятность того, что экспериментальное значение χ 2 эксп. будет меньше табулированного (теоретического) χ 2 теор. или равно ему .

Таблица 22.2. Некоторые процентные точки χ 2 -распределения

	p = 1%	p = 5%	p = 25%	p = 50%	p = 75%	p = 95%	p = 99%
ν = 1	0.00016	0.00393	0.1015	0.4549	1.323	3.841	6.635
ν = 2	0.02010	0.1026	0.5754	1.386	2.773	5.991	9.210
ν = 3	0.1148	0.3518	1.213	2.366	4.108	7.815	11.34
ν = 4	0.2971	0.7107	1.923	3.357	5.385	9.488	13.28
ν = 5	0.5543	1.1455	2.675	4.351	6.626	11.07	15.09
ν = 6	0.8721	1.635	3.455	5.348	7.841	12.59	16.81
ν = 7	1.239	2.167	4.255	6.346	9.037	14.07	18.48
ν = 8	1.646	2.733	5.071	7.344	10.22	15.51	20.09
ν = 9	2.088	3.325	5.899	8.343	11.39	16.92	21.67
ν = 10	2.558	3.940	6.737	9.342	12.55	18.31	23.21
ν = 11	3.053	4.575	7.584	10.34	13.70	19.68	24.72
ν = 12	3.571	5.226	8.438	11.34	14.85	21.03	26.22
ν = 15	5.229	7.261	11.04	14.34	18.25	25.00	30.58
ν = 20	8.260	10.85	15.45	19.34	23.83	31.41	37.57
ν = 30	14.95	18.49	24.48	29.34	34.80	43.77	50.89
ν = 50	29.71	34.76	42.94	49.33	56.33	67.50	76.15
ν > 30	ν + sqrt(2ν ) · x p + 2/3 · x 2 p – 2/3 + O (1/sqrt(ν ))
x p =	–2.33	–1.64	–0.674	0.00	0.674	1.64	2.33

Приемлемым считают p от 10% до 90% .

Если χ 2 эксп. много больше χ 2 теор. (то есть p — велико), то генератор не удовлетворяет требованию равномерного распределения, так как наблюдаемые значения n i слишком далеко уходят от теоретических p i · N и не могут рассматриваться как случайные. Другими словами, устанавливается такой большой доверительный интервал, что ограничения на числа становятся очень нежесткими, требования к числам — слабыми. При этом будет наблюдаться очень большая абсолютная погрешность.

Еще Д. Кнут в своей книге «Искусство программирования» заметил, что иметь χ 2 эксп. маленьким тоже, в общем-то, нехорошо, хотя это и кажется, на первый взгляд, замечательно с точки зрения равномерности. Действительно, возьмите ряд чисел 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, … — они идеальны с точки зрения равномерности, и χ 2 эксп. будет практически нулевым, но вряд ли вы их признаете случайными.

Если χ 2 эксп. много меньше χ 2 теор. (то есть p — мало), то генератор не удовлетворяет требованию случайного равномерного распределения, так как наблюдаемые значения n i слишком близки к теоретическим p i · N и не могут рассматриваться как случайные.

А вот если χ 2 эксп. лежит в некотором диапазоне, между двумя значениями χ 2 теор. , которые соответствуют, например, p = 25% и p = 50%, то можно считать, что значения случайных чисел, порождаемые датчиком, вполне являются случайными.

При этом дополнительно надо иметь в виду, что все значения p i · N должны быть достаточно большими, например больше 5 (выяснено эмпирическим путем). Только тогда (при достаточно большой статистической выборке) условия проведения эксперимента можно считать удовлетворительными.

Итак, процедура проверки имеет следующий вид.

Проверки на статистическую независимость

1) Проверка на частоту появления цифры в последовательности

Рассмотрим пример. Случайное число 0.2463389991 состоит из цифр 2463389991, а число 0.5467766618 состоит из цифр 5467766618. Соединяя последовательности цифр, имеем: 24633899915467766618.

Понятно, что теоретическая вероятность p i выпадения i -ой цифры (от 0 до 9) равна 0.1.

2) Проверка появления серий из одинаковых цифр

Обозначим через n L число серий одинаковых подряд цифр длины L . Проверять надо все L от 1 до m , где m — это заданное пользователем число: максимально встречающееся число одинаковых цифр в серии.

В примере «24633899915467766618» обнаружены 2 серии длиной в 2 (33 и 77), то есть n 2 = 2 и 2 серии длиной в 3 (999 и 666), то есть n 3 = 2 .

Вероятность появления серии длиной в L равна: p L = 9 · 10 –L (теоретическая). То есть вероятность появления серии длиной в один символ равна: p 1 = 0.9 (теоретическая). Вероятность появления серии длиной в два символа равна: p 2 = 0.09 (теоретическая). Вероятность появления серии длиной в три символа равна: p 3 = 0.009 (теоретическая).

Например, вероятность появления серии длиной в один символ равна p L = 0.9 , так как всего может встретиться один символ из 10, а всего символов 9 (ноль не считается). А вероятность того, что подряд встретится два одинаковых символа «XX» равна 0.1 · 0.1 · 9, то есть вероятность 0.1 того, что в первой позиции появится символ «X», умножается на вероятность 0.1 того, что во второй позиции появится такой же символ «X» и умножается на количество таких комбинаций 9.

Частость появления серий подсчитывается по ранее разобранной нами формуле «хи-квадрат» с использованием значений p L .

Примечание: генератор может быть проверен многократно, однако проверки не обладают свойством полноты и не гарантируют, что генератор выдает случайные числа. Например, генератор, выдающий последовательность 12345678912345…, при проверках будет считаться идеальным, что, очевидно, не совсем так.

В заключение отметим, что третья глава книги Дональда Э. Кнута «Искусство программирования» (том 2) полностью посвящена изучению случайных чисел. В ней изучаются различные методы генерирования случайных чисел, статистические критерии случайности, а также преобразование равномерно распределенных случайных чисел в другие типы случайных величин. Изложению этого материала уделено более двухсот страниц.