Главная › Здоровье › Художник и ученый м эшер. Волшебные картины мориса эшера, которыми иллюстрируют учебники кристаллографии

Художник и ученый м эшер. Волшебные картины мориса эшера, которыми иллюстрируют учебники кристаллографии

11 декабря в главном здании ММСИ на Петровке, 25, в рамках Года Нидерландов в России - 2013 открылась масштабная (более 100 работ) выставка Маурица Корнелиуса Эшера

11 декабря в главном здании ММСИ на Петровке, 25, в рамках Года Нидерландов в России - 2013 открылась масштабная (более 100 работ) выставка Маурица Корнелиуса Эшера. Творчество этого художника вдохновило многие идеи современного дизайна и анимации и, как следствие, повлияло на окружающую нас действительность, во многом этими дизайнерами и созданную.

Мауриц Корнелиус Эшер родился 17 июня 1898 года в Леевардене, административном центре провинции Фрисландия в Голландии. Третий, младший сын инженера-гидравлика Г. А. Эшера и его второй жены, Сары Гличман (у отца Эшера было еще 2 сына от первого брака, так что для него Мауриц был пятым ребенком), Мауриц с самого раннего детства имел возможность развивать свои природные таланты. И хотя учеба не давалась Маурицу совсем, заниматься тем, что ему было интересно, ему никто не запрещал. Так, с 1907 года Мауриц учился плотницкому делу и игре на пианино в небольших мастерских города Арнема, куда его семья переехала из Леевардена в 1903-м.

Общее образование, по-видимому, не числилось в списке приоритетов будущего художника, раз он так и не смог нормально сдать выпускные экзамены средней школы (в которой проучился с 1912 по 1918) и даже, если верить некоторым источникам, завалил рисование. Хотя вне школы искусство, очевидно, занимало его вполне серьезно: известна, например, линогравюра 1916 года «Портрет отца художника», которую 18-летний Эшер исполнил самостоятельно и на вполне достойном уровне. В 1917 году Эшер посещал мастерскую художника Герта Стигемана, в которой он впервые встал за станок, конечно, не догадываясь, что так или иначе простоит за ним всю жизнь.

Следуя воле отца, желавшего, чтобы его сын имел диплом о высшем образовании и приличную профессию, созвучную, впрочем, талантам сына, Мауриц Эшер в 1919 году поступил на отделение архитектуры Школы архитектуры и орнамента в Харлеме. Однако натура взяла свое, и уже спустя несколько месяцев он перевелся в класс графического дизайна под руководством Самюэля Джесерана де Месквита. Впоследствии Эшер вспоминал, что, «как и большинство его учеников, я долго находился под влиянием могучей индивидуальности художника». Можно даже сказать, что на раннем этапе творчества Эшера это влияние было определяющим для формирования его художественного стиля.

Однако искусство Эшера формировалось не только и не столько под влиянием академической школы и творчества де Месквита. Лето1921 года семья Эшера провела на побережье итальянской Ривьеры, и неожиданно для себя молодой художник нашел источники вдохновения в южной природе: итальянские виды заворожили Маурица - и он бесконечно рисовал все что видел вокруг.

Тогда же, в 1921 году, окрыленный новыми эмоциями и впечатлениями, Эшер начал экспериментировать с новой для себя ксилографией - гравюрой по дереву. Одна из серий таких гравюр, «Цветы Пасхи», даже была опубликована в журнале.

Италия настолько поразила художника, что он уже самостоятельно вернулся туда после окончания колледжа в 1922 году. А в сентябре того же года Эшер впервые посетил испанскую Альгамбру - шедевр мавританской архитектуры. Пораженной красотой декора Альгамбры, он отмечал его «колоссальную сложность и математическо-художественный смысл».

1920-е - начало 1930-х годов в творчестве Эшера - время многочисленных экспериментов. Он много и продуктивно работает в тиражной графике, экспериментируя как со стилем, так и с техниками: «…с 1922 года приблизительно до 1935…я выполнил около семидесяти ксилографий (продольных и торцовых) и более сорока литографий». Позже Эшер писал: «…многолетнее изучение техники графических искусств пошло мне на пользу; ремесло стало не только второй моей натурой, но и крайней необходимостью при переходе к репродукционной технике, открыв мне возможность одновременно общаться с широкой публикой, чего, собственно, я и добивался».

Уже в 1923 году состоялась его первая персональная выставка в Сиене, а в 1924 году - в Гааге. В том же 1924-м Эшер женился на Джетте (Jetta Umiker), которую встретил годом ранее в Италии. Вообще, Италия с ее мягким климатом, живописными видами и разнообразной и сложной архитектурой на долгое время стала домом для художника. Здесь он жил и работал, здесь родились его старшие сыновья. В 1926 году родился Георг, в 1928 году появился Артур. Мотивы итальянского пейзажа и архитектуры раз за разом возникали на листах его работ. Эшер работал над орнаментикой, выполнял иллюстрации для различных изданий, занимался разными видами коммерческой графики. Однако его настоящий творческий интерес лежал совсем в другой области. Еще со времен учебы и чем дальше, тем больше Эшера захватывала идея выхода за границы: за границы жизни - тема смерти, за границы привычных понятий - мистические и сюрреалистические мотивы, за границы реального пространства - различные оптические и пространственные эффекты.

Его работы, наполненные оптическими иллюзиями, такие завораживающе необычные и явно опередившие свое время (термин оп-арт - от opticalart - появился лет через тридцать), быстро набирали огромную популярность. Одна за другой проходили выставки в Италии, только в 1929 году в Голландии и Швейцарии прошло сразу пять его персональных выставок; открылась постоянная экспозиция в одном из музеев Голландии.

До 1935 года он много путешествовал: проехал по Европе, в очередной раз побывал в Испании, совершил поездку в Тунис; в основном его интересовали арабески, местные традиционные орнаменты и узоры, архитектура. В 1935 году, несмотря на былое благоволение Муссолини, жить в Италии, где фашисты все больше набирали силу, стало опасно; Эшер был вынужден переехать в нейтральную Швейцарию, где жизнь и благополучие семьи были практически гарантированы. Это событие не только оказалось важным для Эшера - отца семейства, но и стало поворотным моментоv в развитии Эшера-художника.

После залитой солнцем Италии природа и архитектура северных стран его совсем не вдохновляли, и он вновь обратился к идеям, почерпнутым еще во время изучения итальянской архитектуры и мавританских орнаментов. Изначально довольно простые, в новых работах Эшера они, продуманные и просчитанные, воплощались в сложных композициях, детально разработанных схемах. Таким образом, от оп-арта Эшер перешел к имп-арту (от impossibleart - изображению невозможных с точки зрения геометрии пространственных фигур и объектов, оптических иллюзий) и от конкретного сюжета - к часто абстрактным или сюрреалистичным мотивам.

Существует легенда, что однажды он показал одну из своих абстрактных работ своему брату Биру, профессору геологии, занимавшемуся проблемой конструирования и выращивания кристаллов. Брат был настолько впечатлен сложностью конструкции, композиции и совершенством симметрии рисунка, что решил использовать его идеи в кристаллографии. (На этом, к слову, связь творчества М. Эшера с миром науки не оборвалась: в 1959 году художник выступал на международном конгрессе кристаллографии в Англии с докладом на тему симметрии, а в 1965-м вышла книга «Аспекты симметрии в творчестве М. К. Эшера».)

Переезд в Швейцарию и близость войны не сделали Эшера домоседом. Уже в 1936 году он снова отправился в Испанию. Сложность орнаментики и узоров Альгамбры не отпускала художника долгое время, и он снова погрузился в изучение и копирование мавританских изразцов. Прием правильного периодического деления плоскостей на пропорциональные части, веками используемый в прикладных целях - для построения орнаментов, узоров, - Эшер одним из первых перенес в графику и создал самостоятельные изображения, напоминающие сложные мозаичные симметричные картинки калейдоскопа, практически предвосхищая в них идею фракталов.

К 1938 году, когда на свет появился третий сын, Ян, Эшер практически полностью сосредоточился на решении сложных композиционных задач. Более того, он усложнял свои композиции, используя в качестве элементов орнамента максимально упрощенные фигуры реального мира. Так возник мотив двух летящих навстречу друг другу птиц - черной и белой (вообще, они могли быть двух любых контрастных цветов). Этот сюжет лег в основу его знаменитой работы «День и ночь», а позже птицы трансформировались в рыб в работе «Небо и вода» (1938).

В 1941 году Эшер с семьей переехал на родину, в Голландию, и с этого времени жизнь художника обрела видимую оседлость. Погруженный в решение пространственных задач и логические построения, он больше не нуждался во вдохновляющей натуре в такой степени, как раньше.

В 1940-х годах в творчестве Эшера возник объем. Двухмерное пространство, изученное и покоренное, стало ему уже не так интересно, куда больше его стало занимать противоречие между плоскостью и пространством. Эшер снова выходит за границы. Теперь это границы плоскости листа. Его рисунки теперь объемно вторгаются в наш мир, споря в своей реалистичности с предметами реального пространства. Симметричность его работ теперь дополнена и усложнена сферичностью пространства. Сфера как геометрическая фигура и сферичность пространства как прием становятся важнейшими элементами его композиций; именно в этот период появляется одна из самых известных его работ, «Рисующие руки» (1948).

В 1948 году Эшер начал читать лекции о симметрии и сложном пространстве своих работ, и к 1950 году его выступления вполне серьезно воспринимала не только публика, но и научное сообщество. В том же 1950-м с успехом прошла первая персональная выставка Эшера в США.

В творчестве 1950-е - время, когда трехмерные элементы его работ обретают перспективу. Художник использует перспективное сокращение фигур, достигая эффекта «ухода в бесконечность» - уменьшения до точки. Первая работа, в которой был использован этот прием, получила название «Меньше и меньше» (1956). Интересно, что до 1958 года объекты в работах Эшера уменьшаются по мере приближения к центру картины, а после 1958 - наоборот, по мере удаления от него. Начиная с 1956 года Эшер применяет этот прием практически в каждой своей работе, включая листы из последней серии «Змеи», над которой он работал в 1969 году.

Эшер работал до самого конца жизни, хотя ее последнее десятилетие потребовало от него мужества и напряжения всех сил. В 1964 году он решил навестить сына, живущего в США, однако в поездке заболел и вынужден был вернуться с дороги. В следующие 8 лет Эшер с переменным успехом перенес несколько серьезных операций; в периоды улучшений он работал. Однако в марте 1972 года состояние 73-летнего художника резко ухудшилось, и 27 марта 1972 года Маурица Корнелиуса Эшера не стало.

Эшер - редкий пример художника, имевшего при жизни профессиональное признание как среди «физиков» - научного математического сообщества, так и среди «лириков» - в мире искусства. А наше время, когда дизайнерские решения все реже обходятся без цифровых технологий, по-видимому, создало идеальные условия для восприятия, понимания и оценки творчества этого незаурядного художника.

Его работы неизменно завораживают и интересуют и публику, и специалистов - искусствоведов, галеристов и т.п. А количество графики Эшера на выставках, в музеях и галереях вполне соизмеримо с ее количеством на арт-рынке. Работы Эшера немногим более тысячи раз выставлялись на открытые торги, а самые высокие результаты были показаны в последние десять лет, с 2002 по 2012 год.

Наибольшим успехом на рынке пользуются серии «Метаморфоза» (1939–1940). Каждый лист в них представляет собой гравюру размером 20–30 на 400 см (есть даже почти семиметровые работы), на которой изображен единый, неразрывный ряд изменяющихся, перетекающих друг в друга органических и геометрических (живых и неживых) форм, расположенных в определенном четком ритме.

Все три самые дорогие работы Эшера принадлежат к одной и той же серии «Метаморфоза II». Рекордная продажа отмечена 2 октября 2008 года, когда на торгах Sotheby’s (Лондон) лист 1940 года был продан за 115 000 фунтов (при эстимейте 40 000–60 000 фунтов). Следующие результаты скромнее: 100 000 евро за лист, датированный периодом с октября 1939 по март 1940 года, на Sotheby’s (Амстердам) 13 декабря 2010 года и 90 000 за лист 1939 года на торгах аукционного дома Ketterer Kunst (Мюнхен) 4 июня 2008 года.

В соответствии со ст. 1274 ГК РФ. Использование в коммерческих целях или с нарушением правил, установленных ГК РФ, не допускается. сайт не отвечает за содержание материалов, представленных третьими лицами. В случае нарушения прав третьих лиц, администрация сайта оставляет за собой право удалить их с сайта и из базы данных на основании обращения уполномоченного органа.

Морис Эшер родился в городе Лёвардене, административном центре нидерландской провинции Фрисландия, в семье инженера. В 1903 году семья переехала в Арнхем, где мальчик некоторое время учился столярному делу и музыке. С 1912 по 1918 годы Морис учился в средней школе. Хотя с раннего возраста он проявлял способности к рисованию, его успехи в школе были весьма посредственными.

В 1919 году Эшер поступает в Школу архитектуры и декоративных искусств в городе Гарлеме. Его учителем там был художник Самуэль де Мескита, оказавший на молодого человека огромное влияние (Эшер поддерживал дружеские отношения с Мескитой вплоть до 1944 года, когда Мескита, еврей по происхождению, был вместе с семьёй уничтожен нацистами).

В начале 1920-х Эшер часто путешествует в Италию. Именно там он впервые встречается с Йеттой Умикер, которая в 1924 году становится его женой. Чета жила в Риме до 1935 года, когда пребывание в Италии, под контролем режима Муссолини, стало для них трудновыносимым. Затем Эшеры перехали в Шато-д’О (Швейцария).

В январе 1941 года, после начала Второй мировой войны, Эшеры возвращаются в Нидерланды. С 1940-х по 1970-е они жили в голландском городе Барн (Baarn). В июле 1969 года Эшер создает свою последнюю гравюру на дереве - «Змеи».

Творчество

Для сюжетов «классических» произведений Эшера («Рисующие руки», «Метаморфозы», «День и ночь», «Рептилии», «Встреча», «Дом с лестницей» и т. д.) характерно остроумное осмысление логических и пластических парадоксов. В сочетании с виртуозной техникой это производит сильнейшее впечатление. Многие графические и концептуальные находки Эшера вошли в число символов XX века и впоследствии неоднократно воспроизводились или «цитировались» другими художниками.

Лучшие дня

Одним из самых выдающихся аспектов творчества Эшера является изображение «метаморфоз», фигурирующих в разных формах во множестве работ. Художник подробно исследует постепенность перехода от одной геометрической фигуры к другой, посредством незначительных изменений в очертаниях. Кроме того, Эшер неоднократно рисовал метаморфозы, происходящие с живыми существами (птицы превращаются у него в рыб и проч.) и даже «одушевлял» в ходе метаморфоз неодушевлённые предметы, превращая их в живых существ.

Морис Эшер одним из первых стал изображать в своих мозаичных картинах фракталы. Только спустя десятилетия учёные стали изучать свойста этих фигур и с помощью ЭВМ создавать то, что Эшер рисовал вручную.

Математическая составляющая в работах Эшера

При взгляде на любую из «мозаик» мастера у любого человека возникает подозрение на математическую закономерность. Однако из биографии художника и его собственных воспоминаний нам известно, что он не мог похвастаться законченным математическим образованием. Естественно, предложенное ниже предположение о математически выверенном способе создания гравюр не требует глубоких познаний в математике. Стоит упомянуть следующий замечательный факт из жизни художника. Однажды известный геометр Г. Кокстер пригласил художника на свою лекцию, посвященную математическому содержанию его гравюр и литографий. К взаимному разочарованию, Морис Эшер не понял почти ни слова из того, о чем рассказывал Кокстер. Вот что писал об этом сам художник: «Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. Представьте себе, эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и вновь обретенного брата! Они, кажется, не подозревают, что математически я абсолютно безграмотен».

В этих словах, наверное, есть доля преувеличения. Все же нам кажется, что творчество Эшера интересно математикам не только потому, что в его работах можно обнаружить отголоски конкретных математических результатов. Скорее они вызывают ассоциации с общими математическими идеями.

Именно на помощь в изучении математики и будет сделан упор практического применения нашей работы. С помощью работ Мориса Эшера можно объяснить такие математические понятия и термины, изучаемые в школе, как: параллельный перенос, подобие фигур, равновеликие фигуры, периодичность. А так же некоторые понятия не входящие в школьный курс математики. В этот список можно включить следующие термины: квазипериодичность, инфляция, дефляция, треугольники Робинсона, преобразование дуальности. Во всём вышеописанном нам помогает разобраться искусство, искусство замечательного и интересного голландского художника Мориса Корнелиуса Эшера.

В предыдущей главе мы выделили основные направления в работах художника. Однако самым интересным с точки зрения математики являются «мозаики». Эта глава будет полностью построена на анализе гравюр именно этой категории. Нам удалось найти большинство таких работ. Однако большинство из них не получили названия. В главе будет приведено множество ссылок на пронумерованные работы и чертежи. Все они приведены в приложении.

В предыдущей главе мы коснулись такого аспекта творчества Мориса Эшера, как замощение плоскости или мозаики. В этой же главе мы более подробно остановимся на этом вопросе. Прежде всего, хотелось бы разобраться с простым вопросом: «что же такое замощение плоскости?»

Замощение - это покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами. Вероятно, впервые интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров. Известно много орнаментов, составленных из повторяющихся мотивов. Одно из простейших замощений можно описать так. Плоскость покрыта параллелограммами, причем все параллелограммы одинаковы. Любой параллелограмм этого замощения можно получить из первоначального параллелограмма, сдвигая его на вектор пU--тV (векторы U и V определяются ребрами выделенного параллелограмма, n и m - целые числа). Следует отметить, что все замощение как целое переходит в себя при сдвиге на вектор U (или V). Это свойство можно взять в качестве определения: именно, периодическим замощением с периодами U и V назовем такое замощение, которое переходит в себя при сдвиге на вектор U и на вектор V. Периодические замощения могут быть и весьма замысловатыми, некоторые из них очень красивы. Примером может служить периодическое замощение, придуманное Морисом Эшером («Всадники»).

Существуют и интересные непериодические замощения плоскости. В 1974 г. английский математик Роджер Пенроуз открыл квазипериодические замощения плоскости. Свойства этих замощений естественным образом обобщают свойства периодических. Пример такого замощения можно описать следующим образом. Вся плоскость покрыта ромбами. Между ромбами нет промежутков. Любой ромб замощения с помощью сдвигов и поворотов можно получить всего из двух. Это узкий ромб (36°, 144°) и широкий ромб (72°, 108°), показанные отдельно на рисунке 3. Длина сторон каждого из ромбов равна 1. Это замощение не является периодическим - оно, очевидно, не переходит в себя ни при каких сдвигах. Однако оно обладает неким важным свойством, которое приближает его к периодическим замощениям и заставляет называть его квазипериодическим. Дело в том, что любая конечная часть квазипериодического замощения встречается во всем замощении бесчисленное множество раз.

Стоит отметить, что это замощение обладает осью пятого порядка (переходит в себя при повороте на угол 72° вокруг некоторой точки), в то время как таких осей у периодических замощений не существует. Другое квазипериодическое замощение плоскости, построенное Пенроузом, приведено описывается далее. Вся плоскость покрыта четырьмя многоугольниками специального вида. Это звезда, ромб, правильный пятиугольник и «бумажный кораблик».

Для полного понимания природы квазипериодического замощения плоскости необходимо ввести понятия инфляции и дефляции. Каждый из показанных выше трех примеров квазипериодического замощения - это покрытие плоскости с помощью сдвигов и поворотов конечного количества фигур. Это покрытие не переходит в себя ни при каких сдвигах, любая конечная часть покрытия встречается во всем покрытии бесчисленное множество раз, притом, «одинаково часто» по всей плоскости.

Замощения, описанные выше, обладают некоторым специальным свойством, которое Пенроуз назвал инфляцией. Изучение этого свойства позволяет разобраться в структуре этих покрытий. Более того, инфляцию можно использовать для построения узоров Пенроуза.

Наиболее наглядным образом молено проиллюстрировать инфляцию на примере треугольников Робинсона. Треугольники Робинсона - это два равнобедренных треугольника P и Q с углами (36°, 72°, 72°) и (108°, 36°, 36°) соответственно. Эти треугольники можно разрезать на меньшие, так, чтобы каждый из новых (меньших) треугольников был подобен одному из исходных. Получается, что с помощью этого свойства можно замостить сколь угодно большую или малую площадь. Это свойство называется дефляцией. Обратное преобразование - склеивание - называется инфляцией.

Исследуем более подробно работы Мориса Эшера на предмет описанных выше математических закономерностей. Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными (периодическими и квазипериодическими) - а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость. Этот вид мозаик был описан в предыдущей главе.

Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него «богатейшим источником вдохновения». Позже в своем эссе о мозаиках Эшер написал:

«В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически… Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.»

После того, как мы разобрались в способах создания периодических и квазипериодических замощений мы можем предположить, каким образом Морис Эшер создавал свои мозаики.

При подробном рассмотрении и изучении мозаик Эшера можно предположить, что художник пользовался следующим очень интересным, но в то же время простым способом. Для примера рассмотрим мозаику № 35См. Приложение, симметрия. Нетрудно заметить, что шесть животных образуют какую- то измененную, но очень знакомую нам фигуру - правильный шестиугольник. Мы предполагаем, что Эшер при создании этой гравюры делал следующие. Намечал правильный шестиугольник (известно, что эту фигуру можно использовать при создании периодической мозаики). После этого он искривлял три смежные стороны шестиугольника, придавая им необходимый контур и, с помощью параллельного переноса, отображал эти стороны на противолежащие. Таким образом, мастер добивался того, что мозаику всё ещё можно было составить из полученной фигуры. После этого он изменял фигуру изнутри. Художник разбивал на шесть равных треугольников. В каждом треугольнике были изменены боковые ребра таким образом, что в сочетании с измененной стороной шестиугольника (основанием треугольника), они образовывали контур необходимого животного. В нашем случае получились «рыбки». Применив способ, описанный выше, он получал готовое к печати изображение. В доказательство справедливости вышеописанного способа можно привести нечеткие линии предварительной разметки, сохранившиеся на некоторых отпечатках гравюр мастера. Эти линии в точности повторяют рисунок, который должен получиться при выполнении первых этапов предполагаемого нами способа.

Руководствуясь вышеизложенными соображениями, мы можем разделить весь массив «мозаичных» работ на два фундаментальных класса. Первый - периодические работы и второй - квазипериодические. Все отличительные особенности периодической работы изложены выше. Обобщая их можно выделить следующие основные отличия: симметрия, возможность инфляции, возможность рассмотреть первичную геометрическую фигуру. Для более подробной классификации таких работ мы предлагаем разделить их по признаку первичной геометрической фигуры. Например, гравюры № 15, 2, 31, 33 имеют в своей основе ромб. В тоже время гравюры № 1, 10, 15, 18 имеют в своей основе параллелограмм. И третья основная фигура, выделенная нами, в гравюрах Мориса Эшера - правильный шестиугольник. Яркими представителями этого подкласса являются гравюры № 12, 13, 16, 17. Для каждой гравюры из описанных подклассов существует своя отличительная черта. Эта черта- наличие осей симметрии. Для каждой фигуры существует свой вид симметрии. Этот вид определяется количеством осей симметрии. Например, в гравюре № 22 явно просматриваются три оси симметрии.

Вторая часть этой главы будет посвящена исключительно квазипериодическим замощениям плоскости в работах М. К. Эшера. В начале главы были описаны основные отличия квазипериодического замощения от периодического. Основная сложность в классификации таких гравюр заключается в том, что не всегда возможно определить первоначальную геометрическую структуру мозаики. Однако все основные признаки квазипериодического замощения видны с первого взгляда. Можно предположить, что эти гравюры не являются в полной мере примерами квазипериодического замощения плоскости. Нередко мастер добавляет к математическим закономерностям авторские, логические и эстетические.

В категорию "квазипериодических мозаик" нами были включены всего две работы: "Мозаика I"(1951)"(34)- меццо-тинто и "Мозаика II"(1957) (48) - литография. Интересным кажется тот факт, что первая из работ – это последняя гравюра меццо-тинто, которую выполнил автор. Два вышеназванных отпечатка изображают стилизованные фигуры, ни в коей мере не тождественные друг другу. Тем не менее, фактически не принадлежа к группе квазипериодического замощения плоскости, они включены в нее потому, что их поверхности заполнены сплошь, без пробелов. Более того, такие гравюры невозможно выполнить без долгих лет упражнений в периодическом замощении плоскости. Узнавание в компонентах реальных объектов играет здесь более важную роль. Единственным оправданием существования гравюр является бескорыстное наслаждение художника этой трудной игрой.

В гравюре "Мозаика I"(34) упорядоченность построения состоит в том, что по любой горизонтальной и вертикальной оси прямоугольника в шахматном порядке чередуются три светлые и три темные фигуры. За исключением бордюрных форм, каждая белая фигура окружена четырьмя черными и каждая черная - четырьмя белыми. Итого: 36 фигур - 18 белых и 18 черных. Ни один из изображенных на гравюре объектов не повторяется. Этот факт в несколько раз усложняет процесс создания такой работы.

В гравюре «Мозаика II»(48) единственную черту упорядоченности, которую можно отметить, представляет сплошь заполненная структура прямоугольной поверхности. Всего несколько фигур внутри прямоугольника окружены четырьмя другими, две примыкают к лягушке, три - к гитаре, пять- к петуху и шесть- к страусу (если это страус). Подведение итога потребует тщательного подсчета.

Изучив значительную часть работ Мориса Эшера, мы сделали соответствующие выводы о природе его таланта и предположили способ, с помощью которого можно было создавать такие гравюры. Увы, но сам художник никогда не раскрывал секреты своего мастерства. Однако в его творчестве есть целый массив гравюр, названный им «Симметрия». Гравюры, входящие в состав этого массива и легли в основу нашего исследования. Сам Морис Эшер, как многие гении и до и после него, утверждал: «Все мои произведения - это игры. Серьезные игры». Однако в этих играх математики всего мира вот уже несколько десятилетий рассматривают абсолютно серьёзные, материальные доказательства идей, созданных с помощью исключительно математического аппарата.

Кроме художественной одаренности, Мауриц Эшер обладал уникальным даром, который развивал всю свою жизнь, а именно - умением смотреть на мир и видеть его под необычным углом зрения. Это большая редкость - увидеть за привычным неожиданное, никем прежде не замеченное.

Творчество Маурица Эшера

В семье инженера Джорджа Эшера и его жены Сары в 1898 году в Нидерландах родился пятый сын, которой был назван Маурицем. Они жили в здании Леуварден, где сейчас находится музей «Принцессехоф». Семья состояла из интеллектуалов и художников в широком смысле этого слова. Младший кузен Эшера был композитором, то есть человеком, чутким к высокой гармонии, построенной на точных математических началах.

Серьезно Мауриц Эшер учился у С. де Мескита и сознательно выбрал работу гравера, а не художника. В качестве основы он пробовал различные материалы - линолеум, камень (уточним, что этот материал рассматривают только для получения эстампов, а не гравюр), дерево. Если первоначально М. Эшер создавал свои работы на контрастах черного и белого, то позднее он будет вводить в свои работы цвет.

Ранние работы (1916-1922)

Традиционные гравюры выполнены либо на линолеуме, либо на дереве. Это еще не тот Эшер, картины которого узнаются сразу.

Итальянский период (1922-1935)

Одной из любимых книг Эшера была «Алиса в Зазеркалье». В то же время он продолжает изучать искусство XV века северных европейских стран. Результатом этого стала литография 1935 года «Рука с зеркальной сферой». Она известна также как автопортрет. Рука, которая держит сферический шар, нарисована крайне реалистично, так что видны все линии жизни и ума и каждая складочка на пальцах. Внутри шара изображена студия Эшера в Риме: искаженная шаром мебель, искривленные им же окна и потолок. На стенах просматриваются книжные полки, картины в рамах. Одна из них изображает куклу индонезийского кукольного театра. Сам гравер смотрит на зрителя прямо, держа сферу изнутри так, что большой палец внутри соприкасается с большим пальцем снаружи. Аналогично изображен и мизинец.

Предпосылкой этой работы Эшера был «Натюрморт со сферическим зеркалом» 1934 года. В этой литографии гравер изобразил себя за работой. Он находится внутри округлой бутылки с зеркальными стенками. Она лежит на газетах, которые, как и все предметы, размещены на закрытой книге. Рядом стоит металлическая птица с человеческой головой. И она, и газеты частично отражены внутри бутыли.

В этой работе изучаются все градации черного цвета: глубокий черный фон, черный блеск металла птицы, оттенки черного и серого внутри бутыли. Портрет отца с лупой в руках исполнен со скрупулезной точностью, очень реалистично и с сыновней любовью. В итальянский период Эшер, картины которого точно следуют натуре, еще не подошел к исследованию

Зеркальная симметрия предметов

На мастера очень повлияло знакомство с арабскими мозаиками, которые он видел в Альгамбре и Кордобе, а также с некоторыми геометрическими правилами. Все это взял на вооружение Эшер, картины которого погружают нас в мир симметрии. Он берет фигуры и составляет из них мозаику. Одна из самых показательных - «Рептилии» (март 1943 года).

На литографии зритель видит стол. На нем лежит чертеж с мозаичным узором из пресмыкающихся. В правом краю рисунка видно, как одна из них начинает оживать и выползать из листа бумаги. Она только-только начинает познавать не плоский, а трехмерный мир. Другие, ожившие и обретшие объем, активно ползут по книге, треугольнику, заползают на додекаэдр, выпускают на нем пар из ноздрей, переползают на бумагу и, замыкая круг, становятся вновь плоской мозаикой.

Это изображение парадоксально и с оттенком юмора. Имеет ли оно философский подтекст? Возможно. Ведь на столе представлены четыре элемента, из которых состоит мир. Это земля в горшке, огонь, заключенный в коробок от спичек, вода, которая налита в стакан, и воздух, который выдыхает ящерица. На столе лежит маленькая книжечка с латинскими буквами, которая сбивает с толку. Некоторые ее принимали за книгу Иова. На самом деле это только бренд сигаретной бумаги. В скобках надо сказать, что Эшер был завзятым курильщиком.

Конечно, хороша работа «День и ночь» (1938). Эта вещь тоже относится к теме симметрии. Эшер, картины которого к этому времени еще не стали популярными, очень увлечен геометрией. В этой гравюре на дереве первоначально замечается движение светлых птиц слева направо из света к зеркально отраженной ночи. И лишь потом проявляется их «негатив», как на фотографии: черные птицы летят на белом небе в противоположную сторону. И если рассматривать в обратном направлении, то кажется, что темная ночь подступает к белому дню. Хаотичность оборачивается упорядоченностью, и наоборот. Такая вот двойственность восприятия этой гравюры.

Зеркальный пейзаж

В декабре 1955 года была напечатана новая работа графика. До этого пейзажи Эшера были вполне реалистичными, обычными и привычными.

Они были очень яркими, как, например, «Снег», созданный в Альпах. «Три мира», как и все, что делает Эшер, удивляют. Это большой бассейн или озеро (кто как себе представит) осенью. На поверхности воды плавают опавшие с деревьев листья. Поверхность воды - это первый мир. Второй - в глубине озера, где мы видим большую рыбу. Она там не одинока, как могло бы показаться. Кроны деревьев, отразившись в воде, как в зеркале, кажутся корнями невидимых зрителю деревьев. То, что надо домыслить, и есть третий мир.

Парадоксальные миры

И картины, и гравюры Эшера ведут в мир парадокса. В них зрителя удивляет и даже ошеломляет симметрия, и не оставляют равнодушными перспективы, уводящие взгляд в бесконечность. Мастер не проводит границ между искусством, математикой и философией. Они гармонично перетекают друг в друга.

в творчестве Эшера

Еще одна литография, которую в декабре 1953 года напечатал Эшер, - «Относительность». Она исполнена в стиле сюрреализма. Здесь изображен мир, в котором не действуют нормальные законы гравитации. Все архитектурное сооружение находится в центре идиллического сообщества. В нем есть окна, дверные проемы, ведущие к парковой надстройке. Большинство жителей абсолютно случайно идет по своим хозяйственным надобностям. Все фигуры одеты в одинаковую одежду. Их безликие головы уподоблены луковицам. Структура здания состоит из семи лестниц. Каждая из них может быть использована людьми, которые находятся в разных гравитационных мирах. На картине действует три источника гравитации. Упрощенно говоря, все они перпендикулярны друг другу. Внутри каждого гравитационного колодца действуют обычные физические законы.

Это создает интересные эффекты. На верхней лестнице два жителя, принадлежащих к разным источникам гравитации, идут в одном направлении по одной стороне лестницы, но один из них спускается, а другой поднимается. На остальных двух лестницах жители используют один и тот же пролет, но с разных сторон. Они идут в одном направлении, но придут в разные места. На картине также изображено три парка, которые принадлежат к разным гравитационным колодцам. Все двери, кроме одной, ведут к подвалам ниже парков. Это добавляет сюрреалистический эффект картине. Она ценна и с художественной, и с научной точек зрения.

Художник Мауриц Эшер

В математике и философии, искусно владея резцом и рисунком, умело обыгрывая черный цвет со всеми его градациями, черпал вдохновение нидерландский мастер. Поэт в душе, он в работе гармонию поверял, перефразируя Пушкина, алгеброй. М. Эшер блестяще объединил искусство и науку. Законы физики, в особенности оптические эффекты, были им изучены очень глубоко. Его иллюзии созданы в основном игрой света и тени. Особенно это проявляется при создании объемных геометрических форм, например «Куба». Игра пространства у Эшера проявляется в литографии «Водопад». Очень романтичны тройные вращательные симметрии со змеями, образующими круг (1969).

Вообще, применительно к творениям Эшера, скорее, надо использовать словосочетание «логические загадки». Фантазии и знаний ему было не занимать, и каждой картиной он мог поставить человека в тупик. Но, вглядываясь в его произведения, находишь железную логику, гармонию и законы, по которым они построены.

Голландский художник Морис Корнелиус Эшер (Maurits Cornelis Escher) родился 17 июня 1898 года в Леевардене, административном центре голландской провинции Фрисландия. Он был третьим сыном инженера Г. А. Эшера и его второй жены, дочери министра. В доме, котором родился Эшер, сейчас находится музей. В 1903 году семья Г.А. Эшера переезжает в город А рнем, административный центр голландской провинции Ге лдерланд.

С 1907 года Морис учится плотницкому делу и игре на пианино. В 1912-1918 годах он обучается в средней школе. Оценки по всем предметам у Мориса были плохими за исключением рисования. Учитель рисования заметил талант у мальчика и научил его делать гравюры по дереву. В 1913 году Эшер в школе религии знакомится с парнем, по имени Бас Кист (он пошел туда по стопам родителей, хотя никогда не был особенно религиозен), который станет его лучшим другом. Оба интересовались технологией печати. В 1916 году Эшер выполняет свою первую графическую работу, гравюру на фиолетовом линолеуме - портрет своего отца Г. А. Эшера. В 1917 году Эшер посещает мастерскую художника Герта Стигемана, имевшего печатный станок. На этом станке были отпечатаны первые гравюры Эшера. В этом году семья Эшера переезжает в голландский городок Остербек, расположенный в окрестностях Арнема. В 1918-1919 годах Эшер посещает Технический колледж в голландском городке Дельфт. Он получает отсрочку от службы в армии для продолжения учебы, но из-за плохого здоровья Морис не справился с учебным планом, и был отчислен. В результате, Эшер он так и не получил высшее образование.

Все еще в надежде получить диплом архитектора в 1919-1922 годах юный Эшер учится в Школе архитектуры и орнамента в городе Гаарлеме, административном центре провинции Северная Голландия. Там он берет уроки рисования у Самюэля Дже серена де Ме сквита, оказавшего формирующее влияние на жизнь и творчество Эшера.

В 1921 году семья Эшера посетила Ривьеру и Италию. Очарованный растительностью и цветами средиземноморского климата, Морис сделал детальные рисунки кактусов и оливковых деревьев. Он зарисовал много эскизов горных пейзажей, которые позже легли в основу его работ.

Эшер начинает экспериментировать в новом для себя направлении и его гравюры по дереву издаются в юмористическом буклете "Easter Flowers", уже тогда в его работах встречаются зеркальные отображения, кристаллические фигуры и сферы. Первая печатная работа Эшера, продавшаяся большим тиражом, была "Святой Франциск (проповедь птицам)". В поисках новых идей Морис Эшер снова решает отправиться в Италию

Италия и Испания

В апреле 1922 года Эшер с двумя друзьями покидает Арнем. Двое друзей после двухнедельного пребывания во Флоренции, вернулись Голландию, а Эшер отправился в Сан-Джиминано с сестрой одного из них. Там, а также в городах Вольтере и Сиене, он сделал серию зарисовок. Всю весну 1922 года он провел, странствуя по Италии, зарисовывая пейзажи, растения и даже насекомых. В Ассисси он встречает собрата по перу - голландского художника Герретсена, с которым периодически видится на протяжении нескольких следующих лет.

Вернувшись домой в июне, Эшер понимает, что уже не может работать в прежних условиях, и решает при первой же возможности вернуться в южную Европу. Он отправляется со своими друзьями на яхте, сэкономив деньги, ухаживая за маленькими детьми друзей. В этом путешествии Морис впервые видит феномен фосфоресцентного моря, который он позже продемонстрирует в картине с одноименным названием. В Испании Эшер присутсвует на корриде и посещает знаменитый мадридский музей "Прадо". Опоздав на экспресс, Эшер проводит 24 часа в поезде местного сообщения, чтобы добораться до Гранады. В Гранаде Эшер посещает Альгамбру, где знакомится с арабскими декоративными стилями и копирует один из них.

На корабле Эшер добирается из Испании в Италию. После небольшого путешествия по Италии, он несколько месяцев проводит в Сиене. В это время он очень интенсивно работает, в чем помогла "благословенная", по его же словам, атмосфера города.

В марте 1923 года Эшер продолжает работать и путешествовать. В конце месяца в пансион, где остановился Морис, приезжает семья швейцарского промышленника Умикера. Через несколько месяцев Эшер рисует портрет дочери - Джетты Умикер. Немного позже он понял, что влюблен, но не был уверен в ответных чувствах. В самый последний момент, когда Умикеры собрались уезжать, он решился признаться в любви и молодые были помолвлены.

В августе 1923 года в Сиене состоялась первая персональная выставка Мориса Эшера, но он уделил этому поворотному для любого художника событию совсем мало внимания. Он был увлечен Джеттой и в середине августа сделал ей предложение, а 28 августа прибыл в Цюрих для формальной встречи с семьей. Морис решил жениться и жить в Италии.

1924 год был очень насыщеным на события. В феврале прошла его персональная выставка в Голландии. 12 июня состоялась его свадьба в Виареджи в Италии. Молодожены посетили Геную, Аннеки и Брюссель. В октябре они отправлились во Францию, а затем вернулись в Италию. В путешествии Эшер изучал различные архитектурные стили Европы. В конце 1924 года молодожены купили строящийся дом в городке Фраскати недалеко от Рима. И хотя строительство дома было закончено в марте 1925 года, они поселились там только в октябре.

Чуть позже переезда в новый дом происходит несчастный случай с братом Мориса, который занимался альпинизмом. Брат погиб и Эшер отправился на опознание тела. После этой трагедии он создал знаменитую гравюру по дереву "Дни творения" (Days of Creation).

В июне 1926 года Эшер покупает новый строящийся дом бо льших размеров, чем предыдущий, в связи с прибавлением в семье. В конце июля рождился Джордж Эшер. О растущей известности Мориса Эшера говорит тот факт, что на крестинах сына присутствовали король Эммануэль и Муссолини.

Счастливая жизнь с женой и ребенком в Риме в конце двадцатых годов оказалась очень плодотворным периодом для Мориса. Его работы демонстрировались на многих выставках Голландии, а к 1929 году его популярность достигла такого уровня, что за один год прошли пять персональных выставок в Голландии и Швейцарии. Именно в этот период картины Эшера впервые были названы механическими и "логическими". На картинах изображались горные ландшафты, но встречались и коммерческие иллюстрации. Самая известная картина того периода - гравюра горной деревушки Кастровальвы, законченная в феврале 1930 года. Тогда же в 1930 году родился второй сын - Артур.

В конце 1930 и в 1931 году Морис много болеет и в работе происходит перерыв. Такие перерывы периодически возникают в течение всей жизни художника. Этот перерыв закончился его встречей в Риме с директором Голландского Исторического Института Г. Дж. Хугеверфом, который предложил написать статью о творчестве Эшера и опубликовать в ней несколько его работ. Отобранные работы издаются в виде книги Emblemata в 1932 году. В конце 1933 года Эшер пишет несколько литографий для книги ужасов The Terrible Adventures of Scholastica.

В 1934 году Морис Эшер получил третью премию за картину "Нонза, Корсика" (Nonza ) на выставке в Чикаго. Институт искусств в Чикаго купил эту картину. Это была первая картина, проданная в Америке.

В этом году Эшер с семьей отправляется к берегу моря, а затем плывет в Бельгию.

Назад на север.

Летом 1935 года Эшер по делам прибывает в Гаагу в дом к родителям. Во время визита Эшер делает одно важное дело - рисует детальный портрет отца. Гравюра была закончена в августе и отпечатана только для членов семьи.

В августе 1935 года Морис с семьей переезжает в новый дом в Шато д"Э в Швейцарии. Джетта возобновляет свои занятия на пианино, а Эшер поступает в местный шахматный клуб. Дети наслаждаются снегом. В декабре Морис делает литографию фермерского дома на заснеженном склоне горы, но разочаровывается результатом. Его сын Джордж позже скажет, что отец тосковал по теплу Италии.

В начале 1936 года Эшер решает отправиться обратно в южную Европу. Он обращается в корабельные компании с предложением сделать картины кораблей и портов, обслуживаемых компаниями, в обмен на бесплатное путешествие. К его удивлению компания "Адрия" согласилась на его предложение, и в апреле Эшер отправляется в Триест, где в офисе "Адрии" был встречен с большим уважением и учтивостью.

На кораблях компании Эшер посещает Венецию, Анкону, Бари, Катанию, Палермо, Геную и несколько других итальянских и сицилийских городов. Джетта присоединяется к нему в середине мая. Во время путешествия Эшер делает большое количество зарисовок. В итоге были сделаны девять гравюр по дереву. Это было последнее большое путешествие по любимой Морисом средиземноморской Италии.

В июне после возвращения из путешествия по Средиземному морю семья Эшера посещает несколько швейцарских озер, а затем отправляется в Гаагу к родителям. Путешествие было очень удачным, и это было удачное завершение первой фазы карьеры художника. 1 сентября Эшеры возвращаются домой в Шато д"Э, и графические работы Эшера начинают постепенно приобретать другое направление.

Метаморфозы

К концу 1936 года Эшер заканчивает большинство гравюр для компании "Адрия". Также на основе эскизов путешествия он создает свою первую картину невозможной реальности Still Life with Street.

Тогда же в 1936 году он вторично посещает Альгамбру для детального изучения мавританских мозаик. Эта поездка и переселение из Италии усиливают изменения в творчестве художника.

В середине 1937 года семья Эшера снова переезжает на новое место жительства, на этот раз в Уккель - пригород Брюсселя. В октябре Эшер показывает своему брату Биру картину-мозаику, над которой он в тот момент работал. Бир, профессор геологии, был впечатлен работой и увидел в ней возможности применения идей Эшера в кристаллографии.

В 1938 году Эшер продолжает эксперименты с мозаиками и трансформациями. Он создает мозаику в виде двух птиц, летящих навстречу друг другу, которая легла в основу картины "День и ночь".

Несколькими месяцами позже Эшер начал работу над одной из самых важных своих картин. В 1937 году он создал гравюру "Метаморфозы", где показано, как один из блоков города превращается в человека. На новой картине "Метаморфозы-2" представлена последовательность 10 трансформаций. Это самая большая картина Эшера размерами 19 см на 3.9 м.

В мае 1940 года нацисты оккупируют Голландию и Бельгию, а 17 мая в зону оккупации попадает и Брюссель. В конце мая умирает мать Эшера. Из-за военных действий Морис опаздывает на ее похороны. Конец 1940 года уходит у Мориса на то, чтобы завершить дела матери, а также на оформление ратуши в Лейдене. Он и Джетта находят дом в Барне (Голландия) и переезжают туда в феврале 1941 года. До конца своих дней Эшер будет жить в этом городе.

Голландия, война, слава

1 февраля 1944 нацисты, преследовавшие евреев, арестовывают учителя Эшера - Самюэля де Месквита. Больше его никто не видел. Эшер помогает переправить работы де Месквита в амстердамский музей "Стеделик". Он оставляет у себя лишь один эскиз де Месквита, на котором остался отпечаток немецкого сапога. Этот эскиз Эшер хранит до конца своих дней. После войны в 1946 году Эшер устраивает мемориальную выставку, посвященную творчеству де Месквита в музее "Стеделик".

В 1946 году Эшер начинает интересоваться технологией глубокой печати. И хотя эта технология была намного сложнее той, которой пользовался Эшер до этого и требовала больше времени для создания картины, но результаты были впечатляющими - тонкие линии и точная передача теней. Одна из самых известный работ в технике глубокой печати "Капля росы" была закончена в 1948 году.

В 1949 году Эшер с двумя другими художниками устраивает большую выставку своих картин. В дополнение к выставке художники рассказывают и демонстрируют свою технику создания изображений. В ходе выставки были проданы некоторые работы Мориса Эшера, включая одну из огромных "Метаморфоз".

После публикации статей в двух журналах Эшер приобретает известность в Америке. Корреспондент журнала The Studio Израэль Шенкер берет интервью у художника в его доме в Барне. Интервью было сделано в конце 1950 года и опубликовано в начале 1951 года в журнале Time , а позже в журнале Life .

Эшер иногда создает модели некоторых объектов для своих картин из глины, дерева, проволоки и других материалов. Например, как рассказывает Джордж Эшер, при работе над знаменитой картиной "Рептилии" 1943 года, где маленькие крокодилы выползают из мозаики, проходят по книгам на столе и опять превращаются в мозаику, он вылепил фигурку крокодила из пластилина и располагал ее последовательно на столе среди других предметов, чтобы нарисовать всю картину. Также с использованием моделей создавалась картина "Дом лестниц" , законченная в 1951 году.

Последние годы

Математические и кристаллографические аспекты творчества Эшера становятся очень популярными. В 1965 году профессор Каролина МакГиллаври опубликовала книгу "Аспекты симметрии в творчестве М. К. Эшера".

В 1964 году Эшер снова отправляется в Америку, чтобы повидать сына и прочитать несколько лекций. Но он неожиданно заболел и после операции в Торонто они с женой вернулись в Голландию. Лекции, которые были полностью написаны Эшером, были изданы спустя 20 лет в книге "Эшер об Эшере".

Жена Эшера никогда не была счастлива в Барне и в 1968 году вернулась в Швейцарию, где и провела остаток жизни. Эшер остался в Барне и погрузился в работу. И, хотя здоровье его ухудшалось, он продолжал создавать гравюры по дереву.

В 1970 году после новой серии операций Эшер переехал в новый дом в Ларене (Нидерланды), в котором была студия, но плохое здоровье не давало возможности много работать. Он продолжает переписываться со многими друзьями по всему миру, включая школьного друга Баса Киста. Была издана исчерпывающая книга о жизни и творчестве художника. Эшер прожил достаточно долго, чтобы увидеть книгу "Мир М. К. Эшера" (The World of M. K. Escher ) переведенную на английский язык и остался ею очень доволен.

Последняя работа, законченная Эшером - "Змеи".

В марте 1972 года самочувствие художника сильно ухудшилось. Вся семья собралась возле постели больного. 27 марта в возрасте 73 лет Морис Эшер скончался.

Изогнутые белые линии, пересекаясь, делят друг друга на секции; каждая равна длине рыб - от бесконечны малых до самых крупных, и снова - от самых крупных до бесконечно малых. Каждый ряд монохромен. Необходимо использовать по крайней мере четыре цвета, чтобы добиться тональных контрастов этих рядов. С технологической точки зрения, потребуется пять досок: одна - для черных элементов и четыре - для цветных. Для заполнения круга каждую доску в форме прямоугольного круга следует оттянуть четырежды. таким образом, законченный отпечаток потребует 4х5=20 оттисков. Здесь представлен один из двух видов "неевклидового" пространства, описанных французским математиком Пуанкаре. Чтобы понять особенности этого пространства, представьте, что вы находитесь внутри самой картины. По мере вашего перемещения от центра круга к его границе ваш рост будет уменьшаться также, как уменьшаются рыбы на данной картине. Таким образом, путь, который вам надо будет пройти до границы круга будет казаться вам бесконечным. На самом деле, находясь в таком пространстве, вы на первый взгляд не заметите ничего необычного в нем по сравнению с обычным евклидовым пространством. Например, чтобы достичь границ евклидового пространства вам также необходимо пройти бесконечный путь. Однако, если внимательно присмотреться, то можно будет заметить некоторые отличия, например, все подобные треугольники имеют в этом пространстве одинаковый размер, и вы не сможете там нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединенными прямыми линиями.