Исследовательская работа "задачи на разрезание". Олимпиадные, логические и занимательные задачи по математике

Серия факультативных занятий по теме «Решение задач на разрезание»

Пояснительная записка

Основные цели , которые мы ставим на факультативных занятиях заключаются в следующем:

Изложить материал о видах разрезания многоугольников;

Способствовать формированию умений у учащихся мысленно осуществлять такие преобразования как:

• параллельный перенос,

  поворот,

  центральную симметрию и различные композиции данных преобразований.

И главною целью всех занятий: добиться положительного изменения способностей к пространственному мышлению.

Задачи, предлагаемые на факультативных занятиях носят творческий характер, их решение требует от учащихся следующих умений:

умение совершать такие мысленные преобразования, которые видоизменяют местоположение имеющихся у учащихся в представлении образов, их структуру, строение;

умение изменять образ и по местоположению, и по структуре одновременно и неоднократно совершать композиции отдельных операций.

Тематическое планирование:

1. Анкета № 1 – 1 час.

2. Задачи на разрезание. Разрезание типа R – 1 час.

3. Разрезание типа Р – 1 час.

4. Разрезание типа Q – 1 час.

5. Разрезание типа S – 1 час.

6. Разрезание типа T – 1 час.

7. Анкета № 2 – 1 час.

При составлении серии факультативных занятий были использованы задачи из журналов «Квант», «Математика в школе» и книги Г. Линдгрена.

Методические рекомендации: При знакомстве учащихся с задачами мы рекомендуем данные задачи рассматривать именно по типам разрезания, предложенным Г. Линдгреном, что позволяет, с одной стороны, классифицировать данные задачи, с другой – на занятиях решать задачи на пространственные преобразования различного уровня сложности (на второй и третий типы оперирования образами, по И.С. Якиманской). Задачи факультативных занятий рекомендуем использовать при работе с учащимися 7 – 9 классов.

Занятие № 1

Тема: Задачи на разрезание. Разрезание типа R (рациональное разрезание).

Цель: Познакомить учащихся с понятием задачи на разрезание, изложить суть разрезания типа R , осуществив разбор решения задач на данный тип разрезания, в процессе решения задач способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, перекраивание, поворот, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы, плакат.

Метод: объяснительно – иллюстративный.

Учитель: на доске плакат:

Схема: Задачи на разрезание

Задачи на разрезание

1)Фигуру разрезать на несколько фигур

3)Перекроить одну или несколько фигур в другую фигуру

2) Сложить фигуру из заданных фигур

Среди всех задач на разрезания большую их часть составляют задачи на рациональные разрезания. Это связано с тем, что подобные разрезания легко придумать да и головоломки на них основанные не слишком простые и не слишком сложные.

Задачи на R - разрезание

1) Фигуру разрезать на несколько (в основном равных) фигур

3) Перекроить одну или несколько фигур в заданную фигуру

2) Сложить фигуру из заданных (в основном равных) фигур

3.1. С использованием ступенчатого разрезания

3.2. Без использования ступенчатого разрезания

Познакомимся с решением задач на каждый вид R разрезания.

II этап: Этап решения задач

Методы: частично-поисковый

Задача № 1 (AII ): Разрежьте квадрат со стороной четыре клетки на две равные части. Найдите как можно больше способов разрезания.

Замечание: Разрезать можно только по сторонам клеток.

Решение:

Учащиеся в тетрадях осуществляют поиск таких разрезаний, затем учитель обобщает все способы разрезаний найденные учащимися.

Задача № 2 (АII ): Разрежьте данные фигуры на две равные части.

Замечание: Разрезать можно не только по сторонам клеток, но и по диагонали.

Учащиеся в тетрадях осуществляют поиск таких разрезаний с помощью учителя.

Квадрат имеет много замечательных свойств. Прямые углы, равные стороны, симметричность придает ему простоту и совершенство формы. На складывание квадратов из одинаковых и различных по форме частей существует множество головоломок.

К примеру задача № 3 (БII ): Даны четыре одинаковые детали. Составьте из них мысленно, используя каждый раз все четыре детали квадрат. Все пробы делайте на бумаге. Результаты решения оформите в виде рисунка, сделанного от руки.

Решение:

Разрезанная на части шахматная доска, которую надо правильно сложить – одна из популярных и известных головоломок. От того, на сколько частей доска разделена, зависит сложность сборки.

Предлагаю следующую задачу:

Задача № 4 (БII ): Собрать шахматную доску из частей изображенных на рисунке.

Решение:

Задача №5 (ВII ): Разрежьте «Кораблик» на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Решение:

1) разрезать на две части как на рисунке

одну из частей перевернуть (т. е. осуществить поворот)

Задача № 6 (ВII ): Любую из трех фигур, можно разрезать на две части, из которых нетрудно сложить квадрат. Найдите такие разрезания.

а) б)

в)

Решение:

параллельный перенос части 1 относительно части 2

поворот части 1 относительно части 2

) б) в)

Задача № 7 (ВII ):Прямоугольник со сторонами 4 и 9 единиц разрезать на две равные части, сложив которые надлежащим образом, можно было бы получить квадрат.

разрез делается в виде ступенек, высота и ширина которых одинакова;

фигура разбивается на части и одну часть передвигаем на одну (или несколько) ступеньку вверх, поместив ее на другую часть.

Решение:

параллельный перенос части 1

Задача № 9 (ВII ):Разрезав фигуру, изображенную на рисунке, на две части сложите из них квадрат так, чтобы цветные квадратики были симметричны относительно всех осей симметрии квадрата.

Решение:

параллельный перенос части 1

Задача № 9 (ВIII ):Как нужно разрезать два квадрата 3 х 3 и 4 х 4, чтобы из получившихся частей можно было бы сложить один квадрат? Придумайте несколько способов. Постарайтесь обойтись как можно меньшим числом частей.

Решение:

параллельный перенос частей

Способ:

Способ:

параллельный перенос и поворот

способ:

4 способ:

параллельный перенос и поворот частей

Учащиеся с помощью учителя осуществляют поиск разрезаний.

Задача № 10 (АIII ): Фигуру изображенную на рисунке, требуется разделить на 6 одинаковых частей, делая разрезы только по линиям сетки. Сколькими способами вам удастся это сделать?

Решение: Два возможных решения.

Задача № 11 (БII ):Сложите шахматную доску из заданных частей.

Решение:

Задача № 12 (ВIII ): Преобразуйте прямоугольник размера 3 х 5 в прямоугольник размером 5 х 3, причем соответствующие части не должны поворачиваться.

Примечание: воспользуйтесь ступенчатым разрезанием.

Решение: (параллельный перенос)

Задача № 13 (ВIII ):Разрежьте одним разрезом фигуру на 2 части, чтобы сложить квадрат 8 х 8.

Решение:

поворот части 2 относительно части 1

Методические указания: Задачи на разрезание типа R одни из легких и интересных. Многие задачи на данный тип разрезания подразумевают несколько способов решения и самостоятельное решение учащимися данных задач может способствовать выявлению всех способов решения. Задачи 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 предполагают работу учащихся с изображением фигур, путем осуществления мыслительных преобразований («разрезание», сложение, поворот, параллельный перенос). Задачи 4, 5, 9, 11 предполагают работу учащихся с моделями (из бумаги), путем непосредственного разрезания фигуры ножницами и осуществлением математических преобразований (поворота, параллельного переноса) происходит поиск решения задач. Задачи 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 – на второй тип оперирования образами, задачи 9, 10, 12 – на третий тип оперирования образами.

Занятие № 2

Тема: Разрезание типа P (Р сдвиг параллелограмма).

Цель: Изложить суть разрезания типа Р, в процессе разбора решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, перекраивание, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование:

I этап: Ориентированный этап

Метод: проблемное изложение.

Учитель ставит проблему (решить задачу № 1) и показывает ее решение.

Задача № 1 (ВIII ): Преобразовать параллелограмм со сторонами 3 и 5 см в новый параллелограмм с теми же углами, что и у исходного параллелограмма, одна из сторон которого равна 4 см.

Решение: 1)

4)

АВСD – параллелограмм

АВ = 3, АD = 5

проводим разрез АО ВО = D К = 4;

сдвигаем часть 1 вверх (параллельный перенос) вправо вдоль линии разреза до тех пор, пока точка О не попадет на продолжение стороны DC ;

проводим разрез КА’ так, что КА’ || DC ;

и Δ АА’К вставляем в выемку, расположенную ниже точки О (параллельный перенос Δ АА’К вдоль прямой АО).

КВОD искомый параллелограмм (КD = 4)

KDO =  ADC,  BAD =  1 +  4,

1 =  2 и  4 =  3 – накрест лежащие при параллельных прямых.

Следовательно,  BAD =  2 + 3 =  BOC =  BKD ,  BAD =  BKD и т.д.

У

Задачи на Р сдвиг

Перекроить одну или несколько фигур в другую фигуру

читель:

Суть разрезания типа Р:

делаем разрез данной фигуры, который удовлетворяет требованиям задачи;

осуществляем параллельный перенос отрезанной части вдоль линии разреза до совпадения вершины отрезанной части с продолжением другой стороны исходной фигуры (параллелограмма);

делаем второй разрез параллельный стороне параллелограмма, получаем еще часть;

осуществляем параллельный перенос вновь отрезанной части вдоль линии первого разреза до совпадения вершин (вкладываем часть в выемку).

II этап: Этап решения задач

Методы: объяснительно – иллюстративный

Задача № 2 (ВII ): Преобразуйте квадрат 5 х 5 в прямоугольник с шириной 3.

Решение:

1) 2) – 3) 4)

разрез АО / ВО = D Т = 3

параллельный перенос ΔАВО вдоль прямой АО до тех пор пока точка О  (DC )

разрез ТА’ / ТА’ || СD

ΔAA ’T параллельным переносом вдоль прямой АО.

TBOD искомый прямоугольник (ТВ = 3).

Задача № 3 (ВIII ): Сложить из трех одинаковых квадратов один большой квадрат.

Примечание: из трех квадратов сложите прямоугольник затем примените Р сдвиг.

Решение:

S пр = 1.5 * 4,5 = 6,75

кв = 6,75 =

1) 2) – 3)

4)

Задача № 4 (ВIII ):Перекроите прямоугольник 5 х 1 в квадрат

Римечание: сделайте разрез АВ (АW =
), к прямоугольнику ХУВА примените Р сдвиг.

Решение:

1)

2) – 3) 4) 5)

Задача № 5 (ВIII ): Преобразуйте русское Н в квадрат.

Примечание: сделайте разрез как показано на рисунке, из полученных частей сложите прямоугольник.

Решение:

Задача № 6 (BIII ): Треугольник преобразуйте в трапецию.

Примечание: сделайте разрез как на рисунке.

Решение:

поворот части 1;

разрез АВ;

ΔАВС параллельным переносом вдоль АВ до тех пор пока точка В  (FM )

разрез ОР / ОР || FM ;

ΔАОР параллельным переносом вдоль АВ. Точка Р совпадает с точкой В;

OFBC искомая трапеция.

Задача № 7 (ВIII ):Из трех равных греческих крестов сделать один квадрат.

Решение:

Задача № 8 (ВIII ): Преобразовать букву Т в квадрат.

Примечание: Сначала из буквы т перекроите прямоугольник.

Решение: S т = 6 (ед 2 ), S кв = (
) 2

поворот

композиция параллельных переносов

МВ = КС =

Задача № 9 (ВIII ):Перекроите изображенный на рисунке флаг в квадрат.

Примечание: Сначала флаг преобразуйте в прямоугольник

Решение:

поворот

S фл = 6,75 АВ = С D =
S кв = (
) 2

параллельный перенос

Методические указания: При знакомстве учащихся с задачами на разрезание типа Р, суть данного типа разрезания мы рекомендуем излагать при решении конкретной задачи. Решения задач мы советуем сначала осуществлять на моделях (из бумаги), непосредственным разрезанием фигур ножницами и совершением параллельного переноса, а затем в процесс решения задач от моделей фигур переходить к работе с изображением геометрических фигур, путем осуществления мыслительных преобразований (разрезание, параллельный перенос).

Занятие № 3

Тема: Разрезание типа Q (Q – сдвиг четырехугольника).

Цель: Изложим суть разрезания типа Q , в процессе решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы.

I этап: Ориентированный этап

Метод: проблемное изложение.

Учитель ставит перед учащимися проблему (решить задачу № 1) и показывает решение.

Задача № 1 (BIII ): Данный четырехугольник преобразуйте в новый четырехугольник.

Решение:

проводим разрез НР так, что ВН = МН, PF = DF ;

проводим разрез МЕ / МЕ || ВС;

проводим разрез РТ / РТ || AD ;

Δ 3 и Δ 1 поворачиваем по часовой стрелке относительно части 2;

Часть 1 параллельным переносом по прямой HF до тех пор пока точка Т  АР;

АМСР искомый четырехугольник (со стороной СР и АМ (в условии могут быть заданы)).

Задача № 2 (ВIII ): Преобразовать четырехугольник в новый четырехугольник (длинный четырехугольник).

Решение:

(поворот части 1 относительно точки О пока УО совпадет с АО);

(поворот части (1 – 2) относительно точки Т пока ВТ не совпадет с WT );

XAZW искомый четырехугольник.

В задачах с использованием Q разрезаний делаются разрезы и отрезанные части подвергаются преобразованию поворота.

Задачи на Q разрезание

преобразовать данную фигуру (четырехугольник) в другую фигуру (четырехугольник)

Во многих задачах элементы Q сдвига используются при преобразовании треугольника в какой-либо четырехугольник или наоборот (треугольник как «четырехугольник», одна из сторон которого имеет нулевую длину).

II этап: Этап решения задач

Задача № 3 (ВII ):От треугольника отрезан маленький треугольник, как показано на рисунке. Переложи маленький треугольник так, чтобы получился параллелограмм.

Поворот части 1 относительно точки Р пока КР совпадет с МР.

АОО’М – искомый параллелограмм.

Задача № 4 (BII , BIII ): Какие из данных треугольников можно превратить в прямоугольники, сделав один (два) разрез и переложив полученные части?

1) 2) 3) 4)

5)

Решение:

1)

5)

1), 5) один разрез (разрез – средняя линия треугольника)

2)

3)

4)

2), 3), 4) два разреза (1-ый разрез – средняя линия, 2-ой разрез – высота из вершины треугольника).

Задача № 5 (ВII ):перестройте трапецию в треугольник.

Решение:

разрез КС (АК = КВ)

поворот ΔКВС вокруг точки К так, чтобы отрезки КВ и КА совместились.

ΔFCD искомый треугольник.

Задача № 6 (ВIII ):Как разбить трапецию на фигуры, из которых можно составить прямоугольник?

Решение:

1) разрез ОР (АО = ОВ, ОР┴АD )

2) разрез TF (CT = TD , TF ┴AD )

поворот части 1 относительно точки О так, чтобы АО и ВО совместились.

Поворот части 2 относительно точки Т так, чтобы DT и СТ совместились.

PLMF – прямоугольник.

III этап: постановка домашнего задания.

Задача № 7 (ВIII ): преобразуйте произвольный треугольник в прямоугольный треугольник.

Замечание:

1) сначала преобразуйте произвольный треугольник в прямоугольник.

2) прямоугольник в прямоугольный треугольник.

Решение:

поворот

Задача № 8 (ВII ):Произвольный параллелограмм преобразуйте в треугольник, сделав лишь один разрез.

Решение:

поворот

Поворот части 2 вокруг точки О на 180º (центр симметрии)

Методические указания: Изложение сути Q разрезания мы рекомендуем

осуществлять в процессе решения конкретных задач. Основными математическими преобразованиями, которыми пользуются в решении задач на данный тип разрезания являются: поворот (в частности центральная симметрия, параллельный перенос). Задачи 1, 2, 7 – на практические действия с моделями геометрических фигур, в задачах 3, 4, 5, 6, 8 подразумевается работа с изображением геометрических фигур. Задачи 3, 4, 5, 8 – на второй тип оперирования образами, задачи 1, 2, 4, 6, 7 – на третий тип оперирования образами.

Занятие № 4.

Тема: Разрезание типа S .

Цель: Изложить суть разрезания типа S , в процессе решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, перекрывание, поворот, параллельный перенос, центральная симметрия), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы, кодопозитивы.

I этап: Ориентированный этап.

Метод: объяснительно-иллюстративный.

Задача № 1 (ВII ):как перекроить параллелограмм, стороны которого 3,5 см и 5 см, в параллелограмм со сторонами 3,5 см и 5,5 см, сделав лишь один «разрез»?

Решение:

1) проведем отрезок (разрез) СО = 5,5 см, параллелограмм разбили на две части.

2) треугольник СОМ прикладываем к противоположной стороне параллелограмма АК. (т. е. параллельный перенос ∆ СОМ на отрезок СА в направлении СА).

3) САОО` искомый параллелограмм (СО = 5,5 см, СА = 3,5 см).

Задача № 1 (ВIII ): покажите как можно разрезать квадрат на 3 части, чтобы из них можно было сложить прямоугольник, у которого одна из сторон вдвое больше другой.

Решение:

Постройте квадрат ABCD

проведем диагональ АС

проведем половину диагонали BD отрезок OD (OD ┴AC ), OD = ½ AC . Постройте из полученных 3-ех частей прямоугольник (длиной АС, шириной AD

Для этого:

осуществите параллельный перенос частей 1 и 2. часть 1 (∆1) в направлении D А, ∆2 в направлении АВ на отрезок АВ.

АОО`С искомый прямоугольник (со сторонами АС, ОА = ½ АС).

Учитель: Мы рассмотрели с вами решение 2-х задач, тип разрезания используемый в решении данных задач носит образное название S -разрезание.

S -разрезание – это в основном преобразование какого-то одного параллелограмма в другой параллелограмм.

Суть данного разрезания в следующем:

проводим разрез, равный по длине стороне требуемого параллелограмма;

осуществляем параллельный перенос отрезанной части до совпадения равных противоположных сторон параллелограмма (т.е. прикладываем отрезанную часть к противоположной стороне параллелограмма)

В зависимости от требования задачи будет зависеть и количество разрезов.

Рассмотрим следующие задачи:

Задача №3 (BII ):разделите параллелограмм на две части, из которых можно сложить прямоугольник.

Начертим произвольный параллелограмм.

Решение:

из точки В опустим высоту ВН (ВН┴AD )

осуществим параллельный перенос ∆ АВН на отрезок ВС в направлении ВС.

Сделайте чертеж полученного прямоугольника.

ВНРС – прямоугольник.

Задача№4 (BIII ):Стороны параллелограмма 3 и 4см. Превратите его в параллелограмм со сторонами 3,5см, сделав два разреза.

Решение:

1)

2)

Искомый параллелограмм.

В общем случае S -разрезание основано на методе наложения полосок, которые позволяют решить задачу о преобразовании любых многоугольников.

В выше изложенных задачах, в связи с их легкостью, мы обошлись без метода наложения полосок, хотя все эти решения могут быть получены именно с помощью данного метода. Но в более сложных задачах без полосок не обойтись.

Кратко метод наложения полосок сводится к следующему:

1) Разрежьте (в этом есть необходимость) каждый многоугольник (многоугольник, который преобразовывают и многоугольник, в который надо преобразовать исходный многоугольник) на части, из которых можно сложить две полоски.

2) Наложите полоски друг на друга под подходящим углом, при этом края одной из них всегда должны быть расположены одинаково по отношению к элементам другой полоски.

3) При этом все линии, расположенные в общей части 2-х полосок, покажут места нужных разрезов.

Буква S , используется в термине «S -разрезание», происходит от английского Strip – полоска.

II этап: Этап решения задач

Убедимся на примере задачи 3, что метод наложения полосок дает искомое решение.

Задача № 3 (ВII ):Разделите параллелограмм на две части, из которых можно сложить прямоугольник.

Решение:

1)

2)

3)

1) получим полосу из параллелограмма

2) полосы из прямоугольников

3) наложим полосу 2 на полосу 1, так как показано на рисунке 3

4) получаем требуемое задачи.

Задача № 5 (BIII ):В равнобедренном треугольнике отмечены середины боковых сторон и их проекции на основание. Через отмеченные точки проведены две прямые. Покажите, что из полученных частей можно сложить ромб.

Решение:

часть2, 3 – поворот вокруг точки

часть 4 – параллельный перенос

В данной задаче разрезание треугольников уже указано, можем убедиться, что это S -разрезание.

Задача № 6 (BIII ): Преобразуйте три греческих креста в квадрат (используя полоски).

Решение:

1)

Налагаем полоску из квадратов на полоску из крестов так чтобы точка А и точка С принадлежали краям полоски из крестов.

∆АВН = ∆СD В, следовательно, квадрат состоит из ∆АВС и ∆АВМ.

III этап: Постановка домашнего задания

Задача № 7 (ВIII ):Данный прямоугольник преобразуйте в другой прямоугольник, стороны которого отличны от сторон исходного прямоугольника.

Примечание: Посмотрите решение задачи 4.

Решение:

разрез АО (АО – ширина требуемого прямоугольника);

разрез DP / DP  AO (DP – длина требуемого прямоугольника);

параллельный перенос ∆АВО в направлении ВС на отрезок ВС;

параллельный перенос ∆АPD на отрезок АО в направлении АО;

PFED требуемый прямоугольник.

Задача № 8 (BIII ): Правильный треугольник разбит на части отрезком, из данных частей сложите квадрат.

Примечание: Можете убедиться с помощью наложения полосок, что это S разрезание.

поворот части 2 вокруг точки О;

поворот части 3 вокруг точки С;

параллельный перенос части 4

Дополнительная задача № 9 (BII ): Разрежьте параллелограмм по прямой проходящей через его центр, так чтобы из полученных двух кусков можно было сложить ромб.

Решение:

O  QT

разрез QT ;

часть 1 параллельным переносом на ВС отрезок в направлении ВС (CD и АВ совмещаются).

Методические указания: S – разрезание – один из наиболее сложных типов разрезания. Мы рекомендуем излагать суть данного разрезания на конкретных задачах. На занятиях по решению задач на S – разрезание мы рекомендуем использовать задачи, в которых разрезания фигур даны и необходимо из полученных частей сложить требуемую фигуру, это объясняется сложностью самостоятельного осуществления учащимися метода наложения полосок, который составляет суть S – разрезания. При этом учитель на более доступных для учащихся задачах (например, на задачах 3, 5, 8) может показать, как метод наложения полосок позволяет получить разрезания, данные в условиях задач. Задачи 4, 5, 6, 8, 9 – на практические действия с моделями геометрических фигур, задачи 1, 2, 3, 7 – на работу с изображением геометрических фигур. Задачи 1, 3, 9 – на второй тип оперирования образами, задачи 2, 4, 5, 6, 7, 8 – на третий тип оперирования образами.

Занятие № 5

Тема: Разрезание типа Т.

Цель: Изложить суть разрезания типа S , в процессе разбора решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, поворот, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы, цветные пасты, кодопозитивы.

I этап: Ориентированный этап

Метод: объяснительно-иллюстративный

Учитель: Использование для решения задач Т – разрезания подразумевает составление мозаики, и их последующее наложение. Полоски используемые в S – разрезании могут быть получены из мозаики. Следовательно, метод наложения мозаики обобщает метод полосок.

Рассмотрим суть Т – разрезания на примере решения задач.

Задача № 1 (BIII ): Преобразовать греческий крест в квадрат.

1) первый шаг состоит в том, чтобы исходный многоугольник преобразовать в элемент мозаики (и в этом есть необходимость);

2) из данных элементов составляем мозаику № 1 (составляем мозаику из греческих крестов);

5) все линии расположенные в общей части двух мозаик покажут места нужных разрезов.

II этап: Этап решения задач

Метод: частично - поисковый

Задача № 2 (BIII ): Греческий крест разрезан на три части, сложите из этих частей прямоугольник.

Примечание: можем убедиться, что данное разрезание есть разрезание типа Т.

Решение:

поворот части 1 вокруг точки О;

поворот части 2 вокруг точки А.

Задача № 3 (BIII ): Выпуклый четырехугольник разрежем по двум прямым, соединяющим середины противоположных сторон. Покажите, что из полученных четырех кусков всегда можно сложить параллелограмм.

часть 2 поворот вокруг точки О (или центр симметрии) на 180 ;

часть 3 поворот вокруг точки С (или центр симметрии) на 180 ;

часть 1 – параллельный перенос.

Покажем мозаику, из которой данное разрезание получено.

Задача № 4 (BIII ): Три одинаковых треугольника разрезали по разным медианам. Сложите из шести полученных кусков один треугольник.

Решение:

1) из данных треугольников составляем треугольники как на рисунке 1 (центральная симметрия);

2)составляем из трех новых треугольников другой треугольник (равные стороны совпадают).

Покажем, как данные разрезы получились, пользуясь мозаиками.

Задача № 5 (BIII ): Греческий крест разрезали на части, составить из этих частей прямоугольный равнобедренный треугольник.

Решение:

часть 1 центральная симметрия;

часть 3 центральная симметрия;

части 3 и 4 – поворот.

Задача № 6 (BIII ): Данную фигуру перекроите в квадрат.

Решение:

часть 1 поворот вокруг точки О;

часть 3 поворот на 90 вокруг точки А.

Задача № 7 (BIII ): Греческий крест перекроите в параллелограмм (разрезы даны).

Решение:

часть 2 – параллельный перенос относительно части 1;

часть 3 параллельный перенос по линии разреза.

III этап: Постановка домашнего задания.

Задача № 8 (BIII ): Два одинаковых бумажных выпуклых четырехугольника разрезами: первый – по одной из диагоналей, а второй – по другой диагонали. Докажите, что из полученных частей можно сложить параллелограмм.

Решение: композиция поворотов.

Задача № 9 (BIII ): Из двух одинаковых греческих крестов сложите квадрат.

Решение:

Методические указания: Т – разрезание – наиболее сложный тип разрезания, образующий разрезания типа S . Суть Т – разрезания рекомендуем излагать в процессе решения задач. Из-за сложности реализации для учащихся метода наложения мозаик, составляющего суть Т – разрезания, на занятиях мы советуем использовать задачи, в условиях которых заданы разрезания и требуется из полученных частей фигуры с помощью математических преобразований (поворота, параллельного переноса) получить искомую фигуру. При этом на более доступных для учащихся задачах учитель может показать способ получения данных разрезаний, с помощью метода наложения мозаик. Задачи, предложенные на занятии № 5, на третий тип оперирования образами и предполагает работу учащихся с моделями геометрических фигур, путем осуществления поворота и параллельного переноса.

В ниманию репетиторов по математике и преподавателей различных факультативов и кружков предлагается подборка занимательных и развивающих геометрических задач на разрезание. Цель использования репетитором таких задач на своих занятиях — не только заинтересовать ученика интересными и эффектными комбинациями клеток и фигур, но и сформировать у него чувство линий, углов и форм. Комплект задач ориентирован главным образом на детей 4-6 классов, хотя не исключено его использование даже со старшеклассниками. Упражнения требуют от учащихся высокой и устройчивой концентрации внимания и прекрасно подходят для развития и тренировки зрительной памяти. Рекомендуется для репетиторов математики, занимающихся подготовкой учеников к вступительным экзаменам в математические школы и классы, предъявляющие особые требования к уровню самостоятельного мышления и творческим способностям ребенка. Уровень задач соответсвует уровню вступительных олимпиад в лицей «вторая школа» (вторая математическая школа), малому Мехмату МГУ, Курчатовской школе и др.

Примечание репетитора по математике:
В некоторых решения задач, которые вы можете посмотреть щелкнув на соответствующем указателе, указан лишь один из возможных примеров разрезания. Я вполне допускаю, что у вас может получиться какая-то другая верная комбинация — не надо этого бояться. Проверьте тщательно решение вашего мылыша и если оно удовлетворяет условию, то смело принимайтесь за следующую задачу.

1) Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т

2) Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:

Подсказка репетитора по математике : Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник 1×3.

3) Разрежьте данную фигуру на 5 равных по форме частей:

Найдите количество клеточек, из которых состоит каждая такая фигура. Эти фигурки, похожи на букву Г.

4) А теперь нужно разрезать фигуру из десяти клеток на 4 неравных друг другу прямоугольника (или квадрата).

Указание репетитора по математике : Выделите какой-нибудь прямоугольник, а затем в оставшиеся клетки попробуйте вписать еще три. Если не получается, то смените первый прямоугольник и попробуйте еще раз.

5) Задача усложняется: нужно фигуру разрезать на 4 разных по форме фигурки (не обязательно на прямоугольники).

Подсказка репетитора по математике : нарисуйте сначала отдельно все виды фигур разной формы (их будет больше четырех) и повторите метод перебора вариантов как в предыдущей задаче.
:

6) Разрежьте эту фигуру на 5 фигур из четырех клеток разной формы таким образом, чтобы в каждой их них была закрашена только одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике: Попробуйте начать разрезание с верхнего края данной фигуры и вы сразу поймете, как действовать.
:

7) По мотивам предыдущей задачи. Найдите сколько всего имеется фигур различной формы, состоящих ровно из четырех клеток? Фигуры можно крутить, поворачивать, но нельзя поднимать состола (с его поверхности), на котором она лежит. То есть две приведенные фигурки не будут считаться равными, так как они не могут получаться друг из друга при помощи поворота.

Подсказка репетитора по математике: Изучите решение предыдущей задачи и постарайтесь представить себе различные положения этих фигур при повороте. Нетрудно догадаться, что ответом в нашей задаче будет число 5 или больше. (На самом деле даже больше шести). Всего существует 7 типов описанных фигур.

8) Разрежьте квадрат из 16 клеток на 4 равные по форме части так, чтобы в каждой из четырех частей была ровно одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике : Вид маленьких фигурок не квадрат и не прямоугольник, и даже не уголок из четырех клеток. Так на какие же фигуры надо попытаться разрезать?

9) Изображенную фигуру разрежьте на две части таким образом, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математкие : Всего в фигуре 16 клеток — значит, квадрат будет размеро 4×4. И еще как-то нужно заполнить окошко в середине. Как это сделать? Может быть каким-нибудь сдвигом? Тогда поскольку длина прямоугольника равна нечетном учислу клеток, разрезание нужно провести не вертикальным разрезом, а по ломаной линии. Так, чтобы верхняя часть отрезалась с одной стороны от средние клетки, а нижняя с другой.

10) Разрежьте прямоугольник размером 4×9 на две части с таким расчетом, чтобы в результате из них можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике : Всего в прямоугольнике 36 клеток. Поэтому квадрат получится размером 6×6. Так ка кдлинная сторона состоит из девяти клеток, то три из них нужно отрезать. Как дальше пойдет этот разрез?

11) Крестик из пяти клеток, показанный на рисунке требуется разрезать (можно резать сами клетки) на такие части, из которых можно было бы сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике : Понятно, что как бы мы по линиям клеточек не резали — квадрат не получим, так как клеток всего 5. Это задача единственная, в которой разрешается резать не по клеткам . Однако их все равно хорошо бы оставить в виде ориентира. например, стоит заметить, что нам как-то нужно убрать углубления, которые у нас есть — а именно, во внутренних углах нашего креста. Как бы это сделать? Например, срезая какие-то выпирающие треугольники из внешних уголков креста...

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C

A B C

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c

a b c

Линия может быть

1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены

замкнутые линии

разомкнутые линии

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.

1. самопересекающейся
2. без самопересечений

самопересекающиеся линии

линии без самопересечений

1. прямой
2. ломанной
3. кривой

прямые линии

ломанные линии

кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a

a

прямая линия AB

B A

Прямые могут быть

1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
   • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.

параллельные линии

пересекающиеся линии

перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a

a

луч AB

B A

Лучи совпадают, если

1. расположены на одной и той же прямой,
2. начинаются в одной точке,
3. направлены в одну сторону

лучи AB и AC совпадают

лучи CB и CA совпадают

C B A

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки

B A

прямая линия AB

B A

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB

B A

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE

вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E

звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE

звено AB и звено BC являются смежными

звено BC и звено CD являются смежными

звено CD и звено DE являются смежными

A B C D E 64 62 127 52

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: "пойти на все четыре стороны", "бежать в сторону дома", "с какой стороны стола сядешь?") — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF

многоугольник ABCDEF

вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F

вершина A и вершина B являются соседними

вершина B и вершина C являются соседними

вершина C и вершина D являются соседними

вершина D и вершина E являются соседними

вершина E и вершина F являются соседними

вершина F и вершина A являются соседними

сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF

сторона AB и сторона BC являются смежными

сторона BC и сторона CD являются смежными

сторона CD и сторона DE являются смежными

сторона DE и сторона EF являются смежными

сторона EF и сторона FA являются смежными

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д.

Вступительное слово учителя:

Небольшая историческая справка: Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абуль-Вефа. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее построение другой фигуры в начале 20 века. Одним из основателей этого раздела был знаменитый основатель головоломок Генри Э.Дьюдени.

В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется их решать, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. (На занятии мы будем указывать лишь один из возможных примеров разрезания. Можно допустить, что у учащихся может получиться какая-то другая верная комбинация -- не надо этого бояться).

Данное занятие предполагается провести в виде практического занятия. Разбить участников кружка на группы по 2-3 человека. Каждой из групп предоставить заранее подготовленные учителем фигуры. Учащиеся располагают линейкой (с делениями), карандашом, ножницами. Разрешается производить с помощью ножниц лишь прямолинейные разрезы. Разрезав какую-нибудь фигуру на части, необходимо составить другую фигуру из тех же частей.

Задачи на разрезание:

1). Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

Подсказка: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т.

2). Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:

Подсказка: Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник.

3). Разделите фигуру на две одинаковые части, и из полученных частей сложите шахматную доску.

Подсказка: Предложить начать выполнять задание со второй части, как бы получить шахматную доску. Вспомнить, какую форму имеет шахматная доска (квадрат). Посчитать имеющееся количество клеточек в длину, в ширину. (Напомнить, что клеток должно быть 8).

4). Попробуйте тремя движениями ножа разрезать сыр на восемь равных кусков.

Подсказка: попробовать разрезать сыр вдоль.

Задачи для самостоятельного решения:

1). Вырежьте квадрат из бумаги и выполните следующее:

· разрежьте на такие 4 части, из которых можно составить два равных меньших квадрата.

· разрежьте на пять частей - четыре равнобедренных треугольника и один квадрат - и сложите их так, чтобы получилось три квадрата.

, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Опыт показывает, что при использовании практических методов обучения удается сформировать у учащихся ряд мыслительных приемов, необходимых для правильного вычленения существенных и несущественных признаков при ознакомлении с геометрическими фигурами. развивается математическая интуиция, логическое и абстрактное мышление, формируется культура математической речи, развиваются математические и конструкторские способности, повышается познавательная активность, формируется познавательный интерес, развивается интеллектуальный и творческий потенциал.В статье приводится ряд практических задач на разрезания геометрических фигур на части с целью составить из этих частей новую фигуру. Ученики работают над заданиями в группах. Затем каждая группа защищает свой проект.

Две фигуры называются равносоставленными, если, определённым образом разрезав одну из них на конечное число частей, можно (располагая эти части иначе) составить из них вторую фигуру. Итак, метод разбиения основан на том, что всякие два равносоставленных многоугольника равновелики. Естественно поставить обратный вопрос: всякие ли два многоугольника, имеющих одинаковую площадь, равносоставлены? Ответ на этот вопрос был дан (почти одновременно) венгерским математиком Фаркашем Бойяи (1832г.) и немецким офицером и любителем математики Гервином (1833г.): два многоугольника, имеющих равные площади, равносоставленны.

Теорема Бойяи-Гервина гласит: любой многоугольник можно так разрезать на части, что из этих частей удастся сложить квадрат.

Задание 1.

Разрежьте прямоугольник a х 2a на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.

Прямоугольник ABCD разрежем на три части по линиям MD и MC (М – середина АВ)

Рисунок 1

Треугольник АMD переместим так, чтобы вершина М совместилась с вершиной С, катет АМ переместится на отрезок DС. Треугольник МВС переместим влево и вниз так, что катет МВ наложится на половину отрезка DС. (Рисунок 1)

Задание 2.

Разрезать равносторонний треугольник на части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Обозначим данный правильный треугольник АВС. Необходимо разрезать треугольник АВС на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить квадрат. Тогда эти многоугольники должны иметь по крайней мере по одному прямому углу.

Пусть К – середина СВ, Т – середина АВ, точки М и Е выберем на стороне АС так, что МЕ=АТ=ТВ=ВК=СК=а , АМ=ЕС=а /2.

Рисунок 2

Проведем отрезок МК и перпендикулярные к нему отрезки ЕР и ТН. Разрежем треугольник на части вдоль построенных линий. Четырехугольник КРЕС повернем по часовой стрелке относительно вершины К так, что СК совместится с отрезком КВ. Четырехугольник АМНТ повернем по часовой стрелке относительно вершины Т так, что АТ совместится с ТВ. Треугольник МЕР переместим так, что в результате получится квадрат. (Рисунок 2)

Задание 3.

Разрезать квадрат на части так, чтобы из них можно было сложить два квадрата.

Обозначим исходный квадрат ABCD. Отметим середины сторон квадрата – точки M, N, K, H. Проведем отрезки МТ, НЕ, КF и NР – части отрезков МС, НВ, КА и ND соответственно.

Разрезав квадрат ABCD по проведенным линиям, получим квадрат PTEF и четыре четырехугольника MDHT, HCKE, KBNF и NAMP.

Рисунок 3

PTEF – уже готовый квадрат. Из оставшихся четырехугольников составим второй квадрат. Вершины A, B, C и D совместим в одну точку, отрезки АМ и ВК, MD и КС, BN и СН, DH и АN совместятся. Точки Р, Т, Е и F станут вершинами нового квадрата. (Рисунок 3)

Задание 4.

Из плотной бумаги вырезаны равносторонний треугольник и квадрат. Разрезать эти фигуры на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить один квадрат, при этом части должны полностью его заполнять и не должны пересекаться.

Треугольник разрежем на части и составим из них квадрат так, как показано в задании 2. Длина стороны треугольника – 2а . Теперь следует разделить на многоугольники квадрат так, чтобы из этих частей и того квадрата, который получился из треугольника, составить новый квадрат. Возьмем квадрат со стороной 2а , обозначим его LRSD. Проведем взаимно перпендикулярные отрезки UG и VF так, что DU=SF=RG=LV. Разрежем квадрат на четырехугольники.

Рисунок 4

Возьмем квадрат, составленный из частей треугольника. Выложим четырехугольники – части квадрата так, как показано на рисунке 4.

Задание 5.

Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Разрезать его на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.

Соединим вершины квадратов так, как показано на рисунке 5. Отрежем “внешние” треугольники и переместим их на свободные места внутри квадрата АВСК.

Рисунок 5

Задание 6.

Перекроить два произвольных квадрата в один.

На рисунке 6 показано, как нужно разрезать и переместить части квадратов.