Известно что 45 процентов числа а. Признак делимости на составное число

Один из самых харизматичных и заметных артистов российского кино в последнее время будто бы исчез из поля зрения публики. Об Александре Домогарове так мало слышно, что его многочисленные поклонники могли бы решить, что актер затворился от мира. Однако он регулярно напоминает о себе в соцсетях, где и появился несколько часов назад тревожный пост.

Напомним, что 53-летний народный артист России помимо съемок кино с удовольствием и гордостью играет в театре. С 1995 года Домогаров служит в столичном Театре имени Моссовета , где исполнял роли во множестве спектаклей, три из которых в текущем репертуаре. Актер считается звездой этого театра, фотографии с Домогаровым на сцене украшают вход, многие поклонники идут именно на постановки с его участием.

Но в своей публикации в Александр Юрьевич сообщил, что его «сняли со спектаклей» и «это очень серьезно».

Сняли со спектаклей! Так выдерживайте! Чувствую себя спокойнее, чем входить и здороваться с «коллегами», которые плюют в спину! - пишет артист. - Не позволю больше по каким-то желаниям увольнять и назначать, снимать и возвращать, давать на гастроли или не давать. ...Но как меня сняли со всех спектаклей, на радость моим «коллегам», было написано заявление. Написано 9 января. Оно пока не подписано. Но, уважаемые коллеги, оно будет подписано, даже чисто юридически. Все наши договоренности с театром с моей стороны будут выполнены, так что иногда вам придется меня потерпеть «коллеги», когда мне придется забрать свои вещи в гримерке, а в дальнейшем театр забудет, как и вы забыли спектакли, которые шли по 10-12 лет, собирая залы, и вы забудете, как разрушали их. Живите, Бог вам судья. Прощайте «коллеги».

Мы дозвонились до Александра Домогарова с просьбой прокомментировать ситуацию.

Вы не читайте мои посты, потому что в них есть доля правды и только доля. Но в принципе она соответствует действительности, - ответил Александр Домогаров и положил трубку.

Напомним, Александр Домогаров был трижды официально женат. Первая жена Наталья Сагоян родила ему сына Дмитрия. 10 лет назад первенец актера погиб в ДТП . От второй жены Ирины Гуненковой у актера есть сын Александр Домогаров, он тоже стал актером. Третья жена актриса Наталья Громушкина прожила с ним в браке 4 года. Три года назад актер заявил в : «У меня убили сына в автокатастрофе, я не нашел концов, но не озлобился на Страну! Во всем мире так - есть сильные и есть неуязвимые. Но я буду решать и решаю свою проблему сам. И я ее решу, а тявкать на силу и власть имущих не буду. Буду решать и решу. И страна дает мне эту возможность».

Если два числа а и b при делении на число m дают одинаковые остатки, то говорят, что а сравнимо с b по модулю m. Записывают это так а ≡ b (mod m)

Если a > b , то наибольший общий делитель a и b равен наибольшему общему делителю a – b и b .

Рассмотрим эти свойства при решении задач:

1. Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 5, ни на 7?

Решение: Вычёркиваем из 999 чисел, меньших 1000, числа, кратные 5: их 199 (999/5 = 199). Далее вычёркиваем числа, кратные 7: их 142 (999/7 = 142). Но среди чисел, кратных 7, имеется 28 (999/35 = 28) чисел, одновременно кратных 5; они будут вычеркнуты дважды. Итого, нами должно быть вычеркнуто 199 + 142 – 28 = 313 чисел.

Остаётся 999 – 313 = 686. Ответ: 686 чисел.

2. Найдите остаток от деления 2009⋅2010⋅2011+2012 2 на 7.

Решение задачи

Учитывая, что 2009⋮7, то остаток будет равен 2012 2 ≡ 3 2 ≡ 2(mod7)

3. Известно, что остаток от деления числа aa на 19 равен 7, а числа b на 19 - равен 11. Найдите остаток от деления на 19 числа ab(a+b)(a−b).

Решение задачи

Заметим, что ab(a+b)(a−b)≡ 7⋅11⋅18⋅(−1) ≡ 7⋅(−8)⋅(−1)⋅(−4) =−224 = −228+4 ≡ 4(mod19)

4. Докажите, что сумма квадратов трёх целых чисел не может при делении на 8 дать в остатке 7.

Решение

Любое целое число при делении на 8 имеет остатком одно из следующих восьми чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, поэтому квадрат целого числа имеет остатком при делении на 8 одно из трёх чисел 0, 1, 4. Чтобы при делении на 8 сумма квадратов трёх чисел имела остаток 7, необходимо, чтобы выполнялся один из двух случаев: либо один из квадратов, либо все три при делении на 8 имеют нечётные остатки.

В первом случае нечётный остаток есть 1, а сумма двух чётных остатков равна 0, 2, 4, то есть сумма всех остатков равна 1, 3, 5. Остатка 7 в этом случае получить нельзя. Во втором случае три нечётных остатка это три 1, и остаток всей суммы равен 3. Итак, 7 не может быть остатком при делении на 8 суммы квадратов трёх целых чисел.

5. Существуют ли такие натуральные nn, что n 2 +n+1 делится на 2014?

Решение задачи

Заметим, что n 2 + n = n(n+1) делится на 2, поскольку является произведением двух подряд идущих чисел, а значит n 2 +n+1 всегда нечетно (также это можно было заметить, используя малую теорему Ферма: n 2 + n + 1 ≡ n + n+1 = 2n + 1 ≡1 (mod 2).

Поскольку число 2014 четное, то не существует таких n, что число n 2 +n+1 делится на 2014 (если бы такие n существовали, то это бы противоречило тому, что n 2 +n+1 - нечетное).

6. Существует ли десятизначное число, делящееся на 11, в записи которого каждая цифра встречается по одному разу?

I способ. Выписывая трёхзначные числа, делящиеся на 11, можно среди них найти три числа, в записи которых участвуют все цифры от 0 до 9. Например, 275, 396,418. С их помощью можно составить десятизначное число, делящееся на 11. Например:

2753964180 = 275·107 + 396·107 + 418·10 = 11·(25·107 + 36·104 + 38·10).

II способ. Для нахождения требуемого числа воспользуемся признаком делимости на 11, согласно которому числа n = a 1 a 2 a 3 …a 10 (в данном случае а i не множители, а цифры в записи числа n) и S(n) = a 1 –a 2 +a 3 –…–a 10 одновременно делятся на 11.

Пусть А – сумма цифр, входящая в S(n) со знаком «+», В – сумма цифр, входящая в S(n) со знаком «–». Число А–В, согласно условию задачи, должно делиться на 11. Положим В – А = 11, кроме того, очевидно, А + В = 1+2+3+…+9 = 45. Решая полученную систему В – А =11, А + В = 45, находим, А =17, В = 28. Подберём группу из пяти различных цифр с суммой 17. Например, 1+2+3+5+6 = 17. Эти цифры возьмём в качестве цифр с нечётными номерами. В качестве цифр с чётными номерами возьмём оставшиеся – 4, 7, 8, 9, 0.

Мы видим, что условию задачи удовлетворяет, например, число 1427385960.

7. Найдите наименьшее натуральное число, дающее такой же остаток при делении на 25, какой дает число 1234.

Решение

Рассмотрим остаток при делении числа 1234 на 25. Все числа, меньшие, чем он, дают другие остатки, поскольку сами являются своими остатками. Остаток при делении 1234 на 25 это 9, так как 1234=49⋅25+9, это и будет ответом.

8. Получив двойку по географии, Вася решил порвать географическую карту в клочья. Каждый попавший ему в руки клочок он рвет на четыре части. Может ли он когда-нибудь получить ровно 2012 кусков? 2013 кусков? 2014 кусков? 2015 кусков?

Решение задачи

Заметим, что каждый раз Вася увеличивает число кусков на 3, так как он один кусок превращает в четыре. Поэтому он будет получать числа вида 1+3N, где N - количество кусков, которые он рвал на части. Число 2014 имеет такой вид, поэтому 2014 кусков у него получится, а другие не представимы в таком виде (у них остатки при делении на 3 равны 0 или 2).

9. Найдите наименьшее натуральное число, дающее следующие остатки: 1 - при делении на 2, 2 - при делении на 3, 3 - при делении на 4, 4 - при делении на 5, 5 - при делении на 6.

Решение задачи

Рассмотрим искомое число, увеличенное на единицу. Оно делится на 2,3,4,5,6, т.к. оно дает остатки, меньшие на единицу, чем сами делители. Нам необходимо найти минимальное такое число, следовательно, искомое число есть наименьшее общее кратное чисел 2,3,4,5,6 минус 1. Наименьшее общее кратное 2,3,4,5,6 равно 2 2 ⋅3⋅5=60 , т.к. в числах 2,3,4,5,6 есть только 3 простых делителя, тройка и пятерка входят максимум в первой степени, а двойка во второй (в числе 4). Значит, искомое число равно 60−1 = 59.

Это утверждение представляет собой признак делимости на числа, которые можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел.

Например, так как 6 = 2∙3 и D (2, 3) = 1, то получаем при­знак делимости на 6. Для того, что бы натуральное число де­лилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на 2 и на 3.

Заметим, что данный признак можно применять много­кратно.

в) Частные, получаемые при делении двух данных чисел и
их наибольший общий делитель, являются взаимно простыми
числами.

Этим свойством можно пользоваться при проверке пра­вильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наиболь­шим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно по­следнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются взаимно просты­ми. Следовательно,

D (24, 36) = 12.

Упражнения

1. Даны числа 36 и 45.

а) Найдите все общие делители этих чисел.

б) Можно ли назвать все их общие кратные?

в) Найдите три трехзначных числа, которые являются общими кратными данных чисел.

г) Чему равны D(36, 45) и K(36, 45)? Как проверить правильность полученных ответов?

2. Верны ли записи:

а) D(32, 8) = 8 и K(32,8) = 32;

б) D(17,35)= 1 и K(17,35) = 595;

в) D(255,306) = 17 и K(255,306),= 78030,

3. Найдите К(а, b), если известно, что:

а) а = 47,b=105 и D(47,105)= 1;

б) а = 315,b = 385 и D (315,385) = 35.

4. Сформулируйте признаки делимости на 12,15,18,36,45,75.

5. Из множества чисел 1032, 2964,5604,8910, 7008 выпиши­те те, которые делятся на 12.

6. Делятся ли на 18 числа 548 и 942?

7. К числу 15 припишите слева и справа по; одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

8. Найдите цифры а и 6 числа 72, если известно, что это число, делится на 45.

9 Не выполняя умножения и деления уголком, установите, какие из следующих произведений делятся на 30:

а) 105∙20; 6)47∙12∙5; в) 85∙33∙7.

10. Не выполняя сложения или вычитания, установите, значения каких выражений, делятся на 36.

а) 72 + 180 + 252; в) 180 + 252 + 100;

б) 612-432; г) 180 + 250 + 200.

91. Простые числа

Простые числа играют большую роль в математике - по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные начала. Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифметики натуральных чисел, которая приводится без доказательства:

Теорема: Любое составное число можно единственным об­разом представить в виде произведения простых множителей.

Например, запись 110 = 2∙5∙11 есть представление чис­ла 110 в виде произведения простых множителей или разло­жение его на простые множители.

Два разложения числа на простые множители считают одинаковым и, если они отличаются друг от друга лишь по­рядком множителей. Поэтому представление числа 110 в виде произведения 2∙5∙11 или произведения 5∙2∙11 есть, по сущест­ву, одно и то же разложение числа 110 на простые множители.

Раскладывая числа на простые множители, используют признаки делимости на 2, 3, 5 и др. Напомним один из спо­собов записи разложения чисел на простые множители. Раз­ложим, например, на множители число 90. Число 90 делится на 2. Значит, 2 есть один из простых множителей в разложении числа 90. Разделим 90 на 2. Число 2 запишем справа от знака равенства, а частное 45 - под числом 90. Число 45 делим на простое число 3, получаем 15. Делим 15 на 3, получаем 5. Число 5 - простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложе­ние на множители закончено.

90 = 2∙3∙3∙5

При разложении числа на простые множители произведе­ние одинаковыx множителей представляют в виде степени: 90 = 2∙3 2 ∙5; 60 = 2 2 ∙3∙5; 72 = 2 3 ∙3 2 . Такое разложение числа на простые множители называют каноническим.

В связи с возможностью представлять любое составное число в виде произведения простых множителей возникает необхо­димость определять, является данное число простым или со­ставным. Эту задачу умели решать еще древнегреческие мате­матики, которым были известны многие свойства простых чи­сел. Так, Эратосфеном (III в. до н.э.) был придуман способ по­лучения простых чисел, не превышающих натурального чис­ла а. Воспользуемся им для поиска всех простых чисел до 50.

Выпишем все натуральные числа от 1 до 50 и зачеркнем число 1 - оно не является простым. Число 2- простое, обведем его кружком. После этого зачеркиваем каждое второе число, стоящее после 2, т.е. числа 4,6,8,...

Первое не зачеркнутое число 3 является простым, обведем его кружком. И вычеркнем каждое третье число, стоящее по­сле 3, т.е. числа 9, 15,... (числа 6,12 и др. зачеркнуты раньше).

Первое не зачеркнутое число 5 является простым, его также обведем кружком. Зачеркнем каждое пятое число после 5 и т.д

1 23 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Те числа, которые останутся после четырех вычеркиваний (исключая числа 2,3,5 и 7), не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7. В арифметике доказано, что если натуральное число а, большее единицы, не делится ни на одно из простых чисел, квадрат которых не превосходит о, то а число простое. По­скольку 7 2 = 49, а 49 < 50, то все оставшиеся числа - простые.

Итак, простыми числами, не превосходящими 50, являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Описанный способ получения простых чисел называется решетом Эратосфена, так как позволяет отсеивать одно за другим составные числа.

С помощью метода, предложенного Эратосфеном, можно отыскивать все простые числа, не превосходящие заданного числа а. Но он не дает ответа на вопрос, конечно или нет множество простых чисел, - ведь могло бы оказаться, что все числа, начиная с некоторого, составные и множество простых чисел конечно. Решением этой проблемы занимался другой греческий математик - Евклид. Он доказал, что множество простых чисел бесконечно.

Действительно, предположим, что множество простых чисел конечное и исчерпывается числами 2, 3, 5, 7, 7 - самое большое простое число. Перемножим все про­стые числа и их произведение обозначим через а. Прибавим к этому числу 1. Каким будет полученное число

а + 1 - про­стым или составным?

Простым число а +1 быть не может, потому что оно больше самого большого простого числа, а по предположе­нию таких чисел не существует. Но составным оно тоже быть не может: если а + 1 .составное, то оно должно иметь хотя бы один простой делитель q . Так как число

а = 2∙3∙5∙...∙р также делится на это простое число q, то и разность (а + 1) - а , т.е. число 1, делится на q, что невозможно.

Итак, число а не является ни простым, ни составным, но этого тоже не может быть - всякое число, отличное от 1, либо простое, либо составное. Следовательно, наше предложение о том, что множество простых чисел конечное и есть самое большое простое число, неверно, и значит, множество про­стых чисел бесконечное.

Упражнения

1. Из множества чисел 13, 27, 29, 51, 67 выпишите простые
числа, а составные разложите на простые множители.

2. Докажите, что число 819 не является простым числом.

3. Разложите на простые множители числа 124,588,2700,3780.

4. Какое число имеет разложение:

а) 2 3 ∙ 3 2 7 ∙ 13; б) 2 2 ∙ 3∙5 3 ?