Как найти расстояние между параллельными. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Этот видеоурок будет полезен тем, кто хочет самостоятельно изучить тему «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми». В ходе урока вы сможете узнать о том, как можно рассчитать расстояние от точки до прямой. Затем учитель даст определение расстояния между параллельными прямыми.

В текущем уроке мы познакомимся с понятием «расстояние» в целом. Также мы конкретизируем данное понятие в случае вычисления расстояния между двумя точками, точкой и прямой, параллельными прямыми

Рассмотрим рисунок 1. На нём изображены 2 точки А и В. Расстоянием между двумя точками А и В является отрезок, имеющий концы в заданных точках, то есть отрезок АВ

Рис. 1. АВ - расстояние между точками

Примечательно, что расстоянием нельзя считать кривую или ломаную линии, соединяющих две точки. Расстояние - это кратчайший путь от одной точки к другой. Именно отрезок АВ является наименьшим из всех возможных линий, соединяющие точки А и В

Рассмотрим рисунок 2, на котором изображена прямая а, и точка А, не принадлежащая данной прямой. Расстоянием от точки А до прямой будет длина перпендикуляра АН.

Рис. 2. АН - расстояние между точкой и прямой

Важно заметить, что АН - кратчайшее расстояние, так как в треугольнике АМН данный отрезок является катетом, а произвольный иной отрезок, соединяющий точку А и прямую а (в данном случае - это АМ) будет являться гипотенузой. Как известно, катет всегда меньше гипотенузы

Обозначение расстояния:

Рассмотрим параллельные прямые a и b, изображённые на рисунке 3

Рис. 3. Параллельные прямые a и b

Зафиксируем две точки на прямой a и опустим из них перпендикуляры на параллельную ей прямую b . Докажем, что если ,

Проведём отрезок АМ для удобства доказательства. Рассмотрим полученные треугольники АВМ и АНМ. Поскольку , а , то . Аналогично, . У данных прямоугольных треугольников () сторона АМ - общая. Она является гипотенузой в обоих треугольниках. Углы АМН и АМВ являются внутренними накрестлежащими при параллельных прямых АВ и НМ и секущей АМ. По известному свойству, .

Из всего выше изложенного следует, что . Из равенства треугольников следует, что АН = ВМ

Итак, мы доказали, что на рисунке 3 отрезки АН и ВМ равны. Это значит, что расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра, при чём выбор перпендикуляра может быть произвольным. Таким образом,

Верно и обратное утверждение: множество точек, которые находятся на одном и том же расстоянии от некоторой прямой, образуют прямую, параллельную данной

Закрепим наши знания, решим несколько задач

Пример 1 : Задача 272 из учебника «Геометрия 7-9». Автор - Атанасян Л.С.

В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найти расстояние от точки А до прямой ВС

Рис. 4. Чертёж к примеру 1

Решение:

Равносторонним треугольником называется треугольник с тремя равными сторонами (а значит, и с тремя равными углами, то есть - по 60 0). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому все свойства, присущие равнобедренному треугольнику, распространяются и на равносторонний. Поэтому АD - не только биссектриса, но ещё и высота, стало быть AD ⊥BC

Поскольку расстояние от точки D до прямой АС - это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую АС, то DH - данное расстояние. Рассмотрим треугольник АНD. В нём угол Н = 90 0 , так как DH - перпендикуляр к АС (по определению расстояния от точки до прямой). Кроме этого, в данном треугольнике катет DH лежит против угла , поэтому AD = (см) (По свойству)

Расстояние от точки А до прямой ВС - это длина опущенного на прямую ВС перпендикуляра. По доказанному AD ⊥BC, значит, .

Ответ: 12 см.

Пример 2 : Задача 277 из учебника «Геометрия 7-9». Автор - Атанасян Л.С.

Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 3 см, а расстояние между параллельными прямыми a и c равно 5 см. Найдите расстояние между параллельными прямыми b и c

Решение:

Рис. 5. Чертёж к примеру 2 (первый случай)

Поскольку , то = 5 - 3 = 2 (см).

Однако данный ответ неполный. Существует и другой вариант расположения прямых на плоскости:

Рис. 6. Чертёж к примеру 2 (второй случай)

В данном случае .

1. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов ().
2. Репетитор по математике ().

1. № 280, 283. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. под редакцией Тихонова А. Н. Геометрия 7-9 классы. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Сумма гипотенузы СЕ и катета СК прямоугольного треугольника СКЕ равна 31 см, а их разность равна 3 см. найдите расстояние от вершины С до прямой КЕ
3. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ - высота треугольника АВС
4. Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной

Расстояние

от точки до прямой

Расстояние между параллельными прямыми

Геометрия, 7 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Длина перпендикуляра , проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

АН ⏊ а

М є а, М отлична от Н

Перпендикуляр , проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной , прове-денной из той же точки к этой прямой.

АМ – наклонная, проведенная из точки А к прямой а

АН АМ

АN - наклонная

АН АN

АН АK

АK - наклонная

Расстояние от точки до прямой

M

Расстояние от точки М до прямой с равно …

N

Расстояние от точки N до прямой с равно …

с

Расстояние от точки K до прямой с равно …

K

Расстояние от точки F до прямой с равно …

F

Расстояние от точки до прямой

АН ⏊ а

АН = 5,2 см

ВК ⏊ а

ВК = 2,8 см

Теорема.

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой

Дано: a ǁ b

А є а, В є а,

Доказать: расстояния от точек А и В до прямой а равны.

АН ⏊ b, BK ⏊ b,

Доказать: АH = BK

Δ АНК = ΔВКА (почему?)

Из равенства треугольников следует АН = ВК

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Обратная теорема.

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

АН ⏊ b, BK ⏊ b,

АH = BK

Доказать: АВ ǁ b

Δ АНК = ΔКВА (почему?)

Из равенства треугольников следует … , но это внутренние накрест лежащие углы, образованные … , значит АВ ǁ НК

Чему равно расстояние между прямыми b и с, если расстояние между прямыми а и b равно 4, а между прямыми а и с равно 5 ?

а ǁ b ǁ c

Чему равно расстояние между прямыми b и а, если расстояние между прямыми b и с равно 7, а между прямыми а и с равно 2 ?

Чему равно расстояние между прямыми а и с, если расстояние между прямыми b и с равно 10, а между прямыми b и a равно 6 ?

Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых?

а ǁ b

Ответ: Прямая, параллельная данным прямым и находящаяся на равных расстояниях от них.

Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?

Ответ: Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные стороны от неё.

План-конспект урока

Теорема о сумме углов треугольника

1. ФИО : Сайфетдинова Гульнара Василевна

2. Место работы : Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Князевская средняя общеобразовательная школа» Тукаевского района РТ

3. Должность : учитель математики

4. Предмет : геометрия

5. Класс : 7 класс

6. Тема урока : Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.

7. Базовый учебник : Геометрия.7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / авт. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,

С.Б. Кадомцев и др.,2010

8.Цели:

Деятельностная цель: создать условия для самостоятельного формулирования и доказательства свойства наклонных и перпедикуляра, опущенных из точки на прямую, теоремы о равноудаленности точек на параллельных прямых; организовать деятельность обучающихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности.

Образовательная цель:

Предметные:

применять понятия расстояния от точки до прямой, расстояния между прямыми при решении задач

Метапредметные:

Регулятивные УУД:

Познавательные УУД:

Коммуникативные УУД:

Личностные УУД :

10. Методы обучения : проблемный, исследовательский.
11.Формы организации учебной деятельности : фронтальная, групповая, парная, индивидуальная, обучающие структуры.

12.Оборудование, технические условия:

Компьютер, проектор, экран, интернет, программное обеспечение: Microsoft Power Point , рассадка в классе - по 4 человека за столом.

13.Продолжительность урока: 45 мин

14.План урока

I . Организационный момент.

II . Актуализация знаний.

III. Постановка цели урока . Введение нового материала.

VI. Подведение итогов. Рефлексия.

I . Организационный момент.

Цель: подготовка учащихся к работе, активизация внимания для быстрого включения в деятельность.

Учитель : Здравствуйте, Ребята? Как у вас настроение? А давайте мы его еще поднимем и начнем урок с улыбки! Улыбнемся партнеру по лицу! Улыбнемся партнеру по плечу!

II . Актуализация знаний.

Учитель : Вы уже как полгода изучаете новый предмет геометрии и наверное знаете,что такое теорема. Какие способы доказательства знаете?

Возможные ответы учащихся: Метод от противного, конструктивный метод, метод доказательства на основании аксиом и ранее доказанных теорем (слайд №2).

Учитель: Ребята, какие у вас ассоциации со словом - расстояние?

Возможные ответы учащихся: Расстояние между городами, расстояние между столбами, расстояние от чего либо до чего либо (слайд №3).

Учитель: Что называется расстоянием между двумя точками?

Возможные ответы учащихся: Длина отрезка (слайд №4).

Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.1

Учитель: Обратите внимание, что в геометрии под расстояние понимается наикратчайшее расстояние. Сделайте запись в технологической карте в п.2

Учитель: Что можно сказать про взаимное расположение прямой АН и прямой а?

Учитель: Как называются эти прямые?

Учитель: А как называется отрезок АН?

Учитель: Запомните: Перпендикуляр – это отрезок. Сделайте запись в технологической карте в п.3.

III . Постановка цели урока. Введение нового материала.

Учитель: Практическое задание:

Мы находимся на поле, через поле проходит дорога. Изобразите математическую модель ситуации. Нам нужно выйти на дорогу. Изобразите траекторию (слайд №6).

Учитель: А как можно определить на математическом языке эту траекторию? Возможные ответы учащихся: Перпендикуляр

Учитель: А почему не так? –

Попробуйте дать ему название (слайд №7).

Возможные ответы учащихся: Наклонная.

Учитель: А сколько наклонных можно провести из этой точки?

Возможные ответы учащихся: Множество.

(слайд №7).

Учитель: Значит, вы считаете, что наикратчайший путь – это перпендикуляр? Докажите.

Учитель: Теперь докажите, что любая наклонная больше перпендикуляра.

Что мы видим на рисунке?

Возможные ответы учащихся: прямоугольный треугольник (слайд №8).

Учитель: Как в этом треугольнике называются перпендикуляр и наклонная? Возможные ответы учащихся: катет и гипотенуза.

Учитель: Почему гипотенуза больше катета?

Возможные ответы учащихся: Напротив большего угла лежит большая сторона. Самый больший угол в прямоугольном треугольнике – прямой. Напротив него лежит гипотенуза.

Учитель. А как еще можно назвать отрезок АС. А если вернуться к содержании задачи?

Возможные ответы учащихся: Расстояние от точки до прямой .

Учитель: Сформулируйте определение: «Расстояние от точки до прямой – это…(длина перпендикуляра опущенного из этой точки на прямую)» (слайд №9).Сделайте запись в технологической карте в п.4.

Учитель: Практическое задание.

Найдите расстояние от точки В до прямых А D и DC с помощью чертежного треугольника и линейки (слайд №10).технологическая карта п.6

Учитель: Практическое задание. Постройте две параллельные прямые a и b . На прямой а отметьте точку А. Опустите из точки А перпендикуляр на прямую b . Поставьте в основание перпендикуляра точку В.

Что можно сказать про отрезок АВ? (слайд №11).

Он является перпендикуляром и к прямой а, и к прямой b .

Учитель: Поэтому его называют общим перпендикуляром (слайд №13). Сделайте запись в технологической карте в п.5

Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.6

Учитель: Задача. Требуется постелить линолеум в длинном коридоре на пол. Известно, что две противоположные стены – параллельны. На одном конце коридора начертили общий перпендикуляр, и его длина оказалась равной 4 м. Стоит ли перепроверить длины общих перпендикуляров в других местах коридора? (слайд №14).

Возможные ответы учащихся: Не нужно их длины тоже будут равны 4.

Учитель: Докажите. Но для начала изобразите математическую модель данной ситуации. Чтобы доказать выделите, что известно, что требуется доказать.

Как в геометрии обычно доказывается равенство отрезков и углов?

Возможные ответы учащихся: Через равенство треугольников, содержащих эти отрезки и углы. Придумайте конструкцию, которая позволила бы нам доказать равенство этих треугольников.

Структура Single Round Robin :

2.Четыре ученика в команде отвечают по одному разу.

Учитель: Докажите равенство отрезков АВ и СD через равенство треугольников. На сигнальной доске запишите три условия признака равенства треугольников.

1.Учитель задает вопрос и дает время подумать

Учащиеся выполняют дополнительные построения, доказывают равенство треугольников, делают вывод о равенстве отрезков АВ и СD (слайд №№15-17).

Учитель: Отрезки АВ и СD равны. Что можно сказать о точке А и С относительно прямой BD ?

Возможные ответы учащихся: Они находятся на равном расстоянии. Они равноудалены (слайд №18).

Учитель: Для любых ли точек выполняется такое свойство?

Возможные ответы учащихся: Да

Учитель: Попробуем сформулировать это свойство. Из чего состоит утверждение свойства?

Возможные ответы учащихся: Из условия и заключения (слайд №19,20).

Возможные ответы учащихся: Если точки лежат на одной из параллельных прямых, то они равноудалены от второй прямой.

Учитель: Отредактируйте это свойство без союзов: если, то (слайд №21).

Возможные ответы учащихся: Точки лежащие на одной из параллельных прямых равноудалены от второй прямой.

Структура Think-Write-Round Robin:

1.Учитель задает вопрос и дает время подумать

2.Ученики думают и записывают ответ на свой листочек

3.Ученики по очереди зачитывают свой ответ с листочка.

Учитель: Какое утверждение называем обратным?

Возможные ответы учащихся: Если условие и заключение поменять местами.

Учитель: Сформулируйте обратное утверждение (слайд №22).

Возможные ответы учащихся: Если точки, лежащие на одной из двух прямых равноудалены от второй прямой, то прямые параллельные.

Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.7,8.

Учитель: Возможно ли определить такое понятие как расстояние между параллельными прямыми?

Возможные ответы учащихся: Да

Учитель: Что можно называть расстоянием между параллельными прямыми

Возможные ответы учащихся: Длину общего перпендикуляра. Сделайте запись в технологической карте в п.5.

IV. Применение теоремы, выполнение п рактической работы.

Учитель: Практическая работа. Найдите ширину полоски.

Каким математическим понятием является – ширина полоски?

Учитель: Где в практической жизни применяется еще эти теоремы?

VI. Подведение итогов. Рефлексия.

Учитель: С какими новыми понятиями познакомились?

Чему научились на уроке?

Где в жизни мы это будем применять?

(слайд №№26-28)

Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.9

Домашнее задание № 276,279 – доказательство обратной теоремы.

Самоанализ урока

Цели:

Деятельностная цель: создать условия для самостоятельного формулирования и доказательства свойтва наклонных и перпедикуляра опущенных из точки на прямую, создать условия для доказательства теоремы о равноудаленности точек на параллельных прямых; организовать деятельность обучающихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности.

Образовательная цель: выработать знание о том, что перпендикуляр меньше любой наклонной, проведенных из одной точки к прямой, все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Предметные: учащийся получит возможность научиться:

применять теорему при решении практических задач

анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы для решения практических задач.

Метапредметные:

Регулятивные УУД:

умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;

умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.

Познавательные УУД:

• • умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение, выводы;

  • умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки; умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждения, видеть различные стратегии решения задач;

  • развивать первоначальные представления об идеях и методах математики как об универсальном языке науки, о средстве моделирования явлений и процессов;

  • умение понимать и использовать рисунки и чертежи для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Коммуникативные УУД:

• умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и учениками, определять цели, распределять функции и роли участников, общие способы работы;

• умение работать в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов, слушать партнера, формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Личностные УУД :

• формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве в совместной учебно-исследовательской деятельности;

  развитие умения ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контпримеры;

  развитие критичности мышления, умения распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;

  развивать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении геометрических задач.

Структура фрагмента урока соответствовала типу - урока открытия нового знания. В соответствии с поставленными целями и содержанием материала урок строился по следующим этапам:

I . Организационный момент.

II . Актуализация знаний.

III. Постановка цели урока . Введение нового материала.

IV. Применение теоремы, выполнение практической работы.

VI. Подведение итогов.

Все структурные элементы урока были выдержаны. Организация учебного процесса построена деятельностным методом.

Целью первого этапа было быстро включить учащихся в деловой ритм.

На втором этапе были актуализированы знания, необходимые для работы над новым материалом.

На третьем этапе С целью определения понятий расстояния от точки до прямой, понятия наклонной привлекла детей к практической деятельности с элементами поиска. Сначала на интуитивном уровне учащиеся выдвигали гипотезу, далее самостоятельно доказали свойство перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки к прямой.

Вообще практические задания использовала в течении всего урока, в том числе и при первичном закреплении. Они помогают привлечь учащихся к самостоятельной познавательной деятельности, и решают проблемы компетентностного подхода в обучении.

Для формулировки и доказательства теоремы о равноудаленности точек на параллельных прямых использовала проблемную задачу, которая способствовала выдвижению гипотезы о свойствах рассматриваемых объектов и с последующим поиском доказательства справедливости выдвинутого предположения.

Организовав работу над формулированием теоремы, а затем и обратной теоремы я достигала цели развития первоначальных представлений об идеях и методах математики как об универсальном языке науки, о средстве моделирования явлений и процессов.

Учебно-познавательная деятельность была организована через фронтальную работу, индивидуальную, групповую работу. Такая организация позволила включить каждого учащегося в активную деятельность по достижению цели. Учащиеся сотрудничали друг с другом, оказывая взаимопомощь.

Время, я считаю, было распределено рационально. За небольшой промежуток удалось ввести понятия расстояния от точки до прямой, наклонной, расстояния между параллельными прямыми, сформулировать две теоремы и доказать, рассмотреть применение теоремы на практике.

Для наглядности в течении урока использовала презентацию. Использовала специальную программу для демонстрации для сравнения длины наклонной и перпендикуляра, в которой геометрические фигуры оживают. В течение урока использовала работу учащихся на сигнальной доске, которая решает проблемы равного участия учащихся на уроке, контроля над усвоением материала, и, конечно же, активизирует учащегося на уроке.

Учащиеся во время урока были активны, мне удалось привлечь к исследовательской деятельности, творческой деятельности, при конструктивном методе доказательства теоремы, формулировании теоремы

В конце урока учащиеся сами сформулировали тему.

Рефлексия