Главная › Пособия и документы › Как выбрать один из трех. Опровержение "Парадокса Монти Холла" (мнимое опровержение, как выяснилось)

Как выбрать один из трех. Опровержение "Парадокса Монти Холла" (мнимое опровержение, как выяснилось)

Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Задача формулируется как описание гипотетической игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Хотя данная формулировка задачи является наиболее известной, она несколько проблематична, поскольку оставляет некоторые важные условия задачи неопределенными. Ниже приводится более полная формулировка.

При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: после того, как ведущий открыл дверь, за которой находится коза, автомобиль может быть только за одной из двух оставшихся дверей. Поскольку игрок не может получить никакой дополнительной информации о том, за какой дверью находится автомобиль, то вероятность нахождения автомобиля за каждой из дверей одинакова, и изменение первоначального выбора двери не дает игроку никаких преимуществ. Однако такой ход рассуждений неверен. Если ведущий всегда знает, за какой дверью что находится, всегда открывает ту из оставшихся дверей, за которой находится коза, и всегда предлагает игроку изменить свой выбор, то вероятность того, что автомобиль находится за выбранной игроком дверью, равна 1/3, и, соответственно, вероятность того, что автомобиль находится за оставшейся дверью, равна 2/3. Таким образом, изменение первоначального выбора увеличивает шансы игрока выиграть автомобиль в 2 раза. Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла.

Словесное решение

Правильным ответом к этой задаче является следующее: да, шансы выиграть автомобиль увеличиваются в 2 раза, если игрок будет следовать совету ведущего и изменит свой первоначальный выбор.

Наиболее простое объяснение этого ответа состоит в следующем соображении. Для того, чтобы выиграть автомобиль без изменения выбора, игрок должен сразу угадать дверь, за которой стоит автомобиль. Вероятность этого равна 1/3. Если же игрок первоначально попадает на дверь, за которой стоит коза (а вероятность этого события 2/3, поскольку есть две козы и лишь один автомобиль), то он может однозначно выиграть автомобиль, изменив своё решение, так как остаются автомобиль и одна коза, а дверь с козой ведущий уже открыл.

Таким образом, без смены выбора игрок остаётся при своей первоначальной вероятности выигрыша 1/3, а при смене первоначального выбора, игрок оборачивает себе на пользу в два раза большую оставшуюся вероятность того, что в начале он не угадал.

Также интуитивно понятное объяснение можно сделать, поменяв местами два события. Первое событие — принятие решения игроком о смене двери, второе событие — открытие лишней двери. Это допустимо, так как открытие лишней двери не дает игроку никакой новой информации (док-во см. в этой статье).

Тогда задачу можно свести к следующей формулировке. В первый момент времени игрок делит двери на две группы: в первой группе одна дверь (та что он выбрал), во второй группе две оставшиеся двери. В следующий момент времени игрок делает выбор между группами. Очевидно, что для первой группы вероятность выигрыша 1/3, для второй группы 2/3. Игрок выбирает вторую группу. Во второй группе он может открыть обе двери. Одну открывает ведущий, а вторую сам игрок.

Попробуем дать "самое понятное" объяснение. Переформулируем задачу: Честный ведущий объявляет игроку, что за одной из трех дверей — автомобиль, и предлагает ему сначала указать на одну из дверей, а после этого выбрать одно из двух действий: открыть указанную дверь (в старой формулировке это называется "не изменять своего выбора") или открыть две другие (в старой формулировке это как раз и будет "изменить выбор". Подумайте, здесь и заключен ключ к пониманию!). Ясно, что игрок выберет второе из двух действий, так как вероятность получения автомобиля в этом случае в два раза выше. А та мелочь, что ведущий ещё до выбора действия "показал козу", никак не помогает и не мешает выбору, ведь за одной из двух дверей всегда найдется коза и ведущий обязательно её покажет при любом ходе игры, так что игрок может на эту козу и не смотреть. Дело игрока, если он выбрал второе действие — сказать "спасибо" ведущему за то, что он избавил его от труда самому открывать одну из двух дверей, и открыть другую. Ну, или ещё проще. Представим себе эту ситуацию с точки зрения ведущего, который проделывает подобную процедуру с десятками игроков. Поскольку он прекрасно знает, что находится за дверями, то, в среднем, в двух случаях из трёх, он заранее видит, что игрок выбрал "не ту" дверь. Поэтому уж для него точно нет никакого парадокса в том, что, правильная стратегия состоит в изменении выбора после открытия первой двери: ведь тогда в тех же двух случаях из трёх игрок будет уезжать со студии на новой машине.

Наконец, самое "наивное" доказательство. Пусть тот, кто стоит на своем выборе, называется "Упрямым", а тот, кто следует указаниям ведущего, зовется "Внимательным". Тогда Упрямый выигрывает, если он изначально угадал автомобиль (1/3), а Внимательный — если он вначале промахнулся и попал на козу (2/3). Ведь только в этом случае он потом укажет на дверь с автомобилем.

Ключи к пониманию

Несмотря на простоту объяснения этого явления, множество людей интуитивно полагают, что вероятность выигрыша не меняется при изменении игроком своего выбора. Обычно невозможность изменения вероятности выигрыша мотивируется тем, что при вычислении вероятности происшедшие в прошлом события не имеют значения, как это происходит, например, при подбрасывании монетки — вероятность выпадения орла или решки не зависит от того, сколько раз до этого выпал орёл или решка. Поэтому многие считают, что в момент выбора игроком одной двери из двух уже не имеет значения, что в прошлом имел место выбор одной двери из трёх, и вероятность выиграть автомобиль одинаковая как при изменении выбора, так и при оставлении первоначального выбора.

Однако, хотя такие соображения верны в случае подбрасывания монетки, они верны не для всех игр. В данном случае должно быть проигнорировано открытие двери ведущим. Игрок по существу выбирает между той одной дверью, которую он выбрал сначала, и остальными двумя — открытие одной из них служит лишь для отвлечения внимания игрока. Известно, что имеется один автомобиль и две козы. Первоначальный выбор игроком одной из дверей делит возможные исходы игры на две группы: либо автомобиль находится за дверью, выбранной игроком (вероятность этого 1/3), либо за одной из двух других (вероятность этого 2/3). При этом уже известно, что в любом случае за одной из двух оставшихся дверей находится коза, и, открывая эту дверь, ведущий не даёт игроку никакой дополнительной информации о том, что находится за выбранной игроком дверью. Таким образом, открытие ведущим двери с козой не меняет вероятности (2/3) того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей. А поскольку уже открытую дверь игрок не выберет, то вся эта вероятность оказывается сосредоточена в том событии, что автомобиль находится за оставшейся закрытой дверью.

Более интуитивно понятное рассуждение: Пусть игрок действует по стратегии «изменить выбор». Тогда проиграет он только в том случае, если изначально выберет автомобиль. А вероятность этого — одна треть. Следовательно, вероятность выигрыша: 1-1/3=2/3. Если же игрок действует по стратегии «не менять выбор», то он выиграет тогда и только тогда, когда изначально выбрал автомобиль. А вероятность этого — одна треть.

Представим себе эту ситуацию с точки зрения ведущего, который проделывает подобную процедуру с десятками игроков. Поскольку он прекрасно знает, что находится за дверями, то, в среднем, в двух случаях из трёх, он заранее видит, что игрок выбрал "не ту" дверь. Поэтому уж для него точно нет никакого парадокса в том, что, правильная стратегия состоит в изменении выбора после открытия первой двери: ведь тогда в тех же двух случаях из трёх игрок будет уезжать со студии на новой машине.

Другая частая причина трудного понимания решения этой задачи состоит в том, что нередко люди представляют себе немного другую игру — когда заранее неизвестно, будет ли ведущий открывать дверь с козой и предлагать игроку изменить свой выбор. В этом случае игрок не знает тактики ведущего (то есть, по существу, не знает всех правил игры) и не может сделать оптимальный выбор. Например, если ведущий будет предлагать смену варианта лишь в случае, когда игрок изначально выбрал дверь с автомобилем, то, очевидно, игрок должен всегда оставлять первоначальное решение без изменения. Именно поэтому важно иметь в виду точную формулировку задачи Монти Холла. (при таком варианте ведущий с разными стратегиями может добиться любой вероятности между дверями, в общем(среднем) случае будет 1/2 на 1/2).

Увеличение количества дверей

Для того, чтобы легче понять суть происходящего, можно рассмотреть случай, когда игрок видит перед собой не три двери, а, например, сто. При этом за одной из дверей находится автомобиль, а за остальными 99 — козы. Игрок выбирает одну из дверей, при этом в 99 % случаев он выберет дверь с козой, а шансы сразу выбрать дверь с автомобилем очень малы — они составляют 1 %. После этого ведущий открывает 98 дверей с козами и предлагает игроку выбрать оставшуюся дверь. При этом в 99 % случаев автомобиль будет находиться за этой оставшейся дверью, поскольку шансы на то, что игрок сразу выбрал правильную дверь, очень малы. Понятно, что в этой ситуации рационально мыслящий игрок должен всегда принимать предложение ведущего.

При рассмотрении увеличенного количества дверей нередко возникает вопрос: если в оригинальной задаче ведущий открывает одну дверь из трёх (то есть 1/3 от общего количества дверей), то почему нужно предполагать, что в случае 100 дверей ведущий откроет 98 дверей с козами, а не 33? Это соображение является обычно одной из существенных причин того, почему парадокс Монти Холла входит в противоречие с интуитивным восприятием ситуации. Предполагать открытие 98 дверей будет правильным потому, что существенным условием задачи является наличие только одного альтернативного варианта выбора для игрока, который и предлагается ведущим. Поэтому для того, чтобы задачи были аналогичными, в случае 4 дверей ведущий должен открывать 2 двери, в случае 5 дверей — 3, и так далее, чтобы всегда оставалась одна неоткрытая дверь кроме той, которую изначально выбрал игрок. Если ведущий будет открывать меньшее количество дверей, то задача уже не будет аналогична оригинальной задаче Монти Холла.

Следует отметить, что в случае множества дверей, даже если ведущий будет оставлять закрытой не одну дверь, а несколько, и предлагать игроку выбрать одну из них, то при смене первоначального выбора шансы игрока выиграть автомобиль всё равно будут увеличиваться, хотя и не столь значительно. Например, рассмотрим ситуацию, когда игрок выбирает одну дверь из ста, и затем ведущий открывает только одну дверь из оставшихся, предлагая игроку изменить свой выбор. При этом шансы на то, что автомобиль находится за первоначально выбранной игроком дверью, остаются прежними — 1/100, а для остальных дверей шансы изменяются: суммарная вероятность того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей (99/100) распределяется теперь не на 99 дверей, а на 98. Поэтому вероятность нахождения автомобиля за каждой из этих дверей будет равна не 1/100, а 99/9800. Прирост вероятности составит примерно 0.01 %.

Дерево принятия решений

Дерево возможных решений игрока и ведущего, показывающее вероятность каждого исхода

Более формально сценарий игры может быть описан c помощью дерева принятия решений.

В первых двух случаях, когда игрок сначала выбрал дверь, за которой находится коза, изменение выбора приводит к выигрышу. В двух последних случаях, когда игрок сначала выбрал дверь с автомобилем, изменение выбора приводит к проигрышу.

Суммарная вероятность того, что изменение выбора приведёт к выигрышу, эквивалентна сумме вероятностей первых двух исходов, то есть

Соответственно, вероятность того, что отказ от изменения выбора приведёт к выигрышу, равна

Проведение похожего эксперимента

Существует простой способ убедиться в том, что изменение первоначального выбора приводит к выигрышу в двух случаях из трёх в среднем. Для этого можно сымитировать игру, описанную в задаче Монти Холла, с помощью игральных карт. Один человек (раздающий карты) при этом играет роль ведущего Монти Холла, а второй — роль игрока. Для игры берутся три карты, из которых одна изображает дверь с автомобилем (например, туз пик), а две других, одинаковых (например, две красные двойки) — двери с козами.

Ведущий выкладывает три карты рубашкой вверх, предлагая игроку взять одну из карт. После того, как игрок выберет карту, ведущий смотрит в две оставшиеся карты и открывает красную двойку. После этого открываются карты, оставшиеся у игрока и у ведущего, и если выбранная игроком карта — туз пик, то записывается очко в пользу варианта, когда игрок не меняет свой выбор, а если у игрока оказывается красная двойка, а у ведущего остаётся туз пик, то записывается очко в пользу варианта, когда игрок меняет свой выбор. Если провести множество таких раундов игры, то соотношение между очками в пользу двух вариантов достаточно хорошо отразит соотношение вероятностей этих вариантов. При этом оказывается, что число очков в пользу смены первоначального выбора примерно в два раза больше.

Такой эксперимент позволяет не только убедиться в том, что вероятность выигрыша при изменении выбора в два раза больше, но и хорошо иллюстрирует, почему так происходит. В тот момент, когда игрок выбрал себе карту, уже определено, находится ли в его руке туз пик или нет. Дальнейшее открытие ведущим одной из своих карт не меняет ситуации — игрок уже держит карту в руке, и она остаётся там независимо от действий ведущего. Вероятность же для игрока выбрать туз пик из трёх карт равна, очевидно, 1/3, и, таким образом, вероятность его не выбрать (и тогда игрок выиграет, если изменит первоначальный выбор) равна 2/3.

Упоминание

В фильме Двадцать одно преподаватель, Мики Роса, предлагает главному герою, Бену, решить задачку: за тремя дверьми два самоката и один автомобиль, необходимо угадать дверь, чтобы выиграть автомобиль. После первого выбора Мики предлагает изменить выбор. Бен соглашается и математически аргументирует свое решение. Так он непроизвольно проходит тест в команду Мики.

В романе Сергея Лукьяненко «Недотепа» главные герои при помощи такого приема выигрывают карету и возможность продолжить своё путешествие.

В телесериале «4исла» (13 эпизод 1 сезона «Man Hunt») один из главных героев, Чарли Эппс, на популярной лекции по математике объясняет парадокс Монти Холла, наглядно иллюстрируя его с помощью маркерных досок, на обратных сторонах которых нарисованы козы и автомобиль. Чарли действительно находит автомобиль, изменив выбор. Однако следует отметить, что он проводит всего один эксперимент, в то время как преимущество стратегии смены выбора является статистическим, и для корректной иллюстрации следует проводить серию экспериментов.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

«Существуют три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика». Эта фраза, приписанная Марком Твеном премьер-министру Великобритании Бенджамину Дизраэли, неплохо отражает отношение большинства к математическим закономерностям. Действительно, теория вероятностей порой подкидывает удивительные факты, в которые сложно поверить с первого взгляда - и которые, тем не менее, подтверждены наукой. «Теории и практики» вспомнили самые известные парадоксы.

Проблема Монти Холла

Именно эту задачу в фильме «Двадцать одно» предложил студентам хитрый профессор MIT. Дав верный ответ, главный герой попадает в команду блестящих молодых математиков, обыгрывающих казино в Лас-Вегасе.

Классическая формулировка звучит так: «Допустим, некоему игроку предложили поучаствовать в известном американском телешоу Let’s Make a Deal, которое ведет Монти Холл, и ему необходимо выбрать одну из трех дверей. За двумя дверьми находятся козы, за одной - главный приз, автомобиль, ведущий знает расположение призов. После того, как игрок делает свой выбор, ведущий открывает одну из оставшихся дверей, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свое решение. Стоит ли игроку согласиться или лучше сохранить свой первоначальный выбор?»

Вот типичный ход рассуждений: после того, как ведущий открыл одну из дверей и показал козу, игроку остается выбрать между двумя дверями. Машина находится за одной из них, значит, вероятность ее угадать составляет ½. Так что нет разницы - менять свой выбор или нет. И тем не менее, теория вероятностей гласит, что можно увеличить свои шансы на выигрыш, изменив решение. Разберемся, почему это так.

Для этого вернемся на шаг назад. В тот момент, когда мы сделали свой изначальный выбор, мы разделили двери на две части: выбранная нами и две остальные. Очевидно, что вероятность того, что автомобиль прячется за «нашей» дверью, составляет ⅓ - соответственно, автомобиль находится за одной из двух оставшихся дверей с вероятностью ⅔. Когда ведущий показывает, что за одной из этих дверей - коза, получается, что эти ⅔ шанса приходятся на вторую дверь. А это сводит выбор игрока к двум дверям, за одной из которых (изначально выбранной) автомобиль находится с вероятностью ⅓, а за другой - с вероятностью ⅔. Выбор становится очевидным. Что, разумеется, не отменяет того факта, что с самого начала игрок мог выбрать дверь с автомобилем.

Задача трех узников

Парадокс трех узников схож с проблемой Монти Холла, хотя действие разворачивается в более драматических условиях. Трое заключенных (А, Б и В) приговорены к смертной казни и помещены в одиночные камеры. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и дает ему помилование. Надзиратель знает, кто из троих помилован, но ему велено держать это в тайне. Узник A просит стражника сказать ему имя второго заключенного (кроме него самого), который точно будет казнен: «если Б помилован, скажи мне, что казнен будет В. Если помилован В, скажи мне, что казнен будет Б. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи любое из этих двух имен». Надзиратель говорит, что будет казнен узник Б. Стоит ли радоваться узнику А?

Казалось бы, да. Ведь до получения этой информации вероятность смерти узника А составляла ⅔, а теперь он знает, что один из двух других узников будет казнен - значит, вероятность его казни снизилась до ½. Но на самом деле узник А не узнал ничего нового: если помилован не он, ему назовут имя другого узника, а он и так знал, что кого-то из двоих оставшихся казнят. Если же ему повезло, и казнь отменили, он услышит случайное имя Б или В. Поэтому его шансы на спасение никак не изменились.

А теперь представим, что кто-то из оставшихся узников узнает о вопросе узника А и полученном ответе. Это изменит его представления о вероятности помилования.

Если разговор подслушал узник Б, он узнает, что его точно казнят. А если узник В, то вероятность его помилования будет составлять ⅔. Почему так произошло? Узник А не получил никакой информации, и его шансы на помилование по-прежнему ⅓. Узник Б точно не будет помилован, и его шансы равны нулю. Значит, вероятность того, что на свободу выйдет третий узник, равна ⅔.

Парадокс двух конвертов

Этот парадокс стал известен благодаря математику Мартину Гарднеру, и формулируется следующим образом: «Предположим, вам с другом предложили два конверта, в одном из которых лежит некая сумма денег X, а в другом - сумма вдвое больше. Вы независимо друг от друга вскрываете конверты, пересчитываете деньги, после чего можете обменяться ими. Конверты одинаковые, поэтому вероятность того, что вам достанется конверт с меньшей суммой, составляет ½. Допустим, вы открыли конверт и обнаружили в нем $10. Следовательно, в конверте вашего друга может быть равновероятно $5 или $20. Если вы решаетесь на обмен, то можно подсчитать математическое ожидание итоговой суммы - то есть, ее среднее значение. Она составляет 1/2х$5+1/2×20=$12,5. Таким образом, обмен вам выгоден. И, скорее всего, ваш друг будет рассуждать точно так же. Но очевидно, что обмен не может быть выгоден вам обоим. В чем же ошибка?»

Парадокс заключается в том, что пока вы не вскрыли свой конверт, вероятности ведут себя добропорядочно: у вас действительно 50-процентный шанс обнаружить в своем конверте сумму X и 50-процентный - сумму 2X. И здравый смысл подсказывает, что информация об имеющейся у вас сумме не может повлиять на содержимое второго конверта.

Тем не менее, как только вы вскрываете конверт, ситуация кардинально меняется (этот парадокс чем-то похож на историю с котом Шредингера , где само наличие наблюдателя влияет на положение дел). Дело в том, что для соблюдения условий парадокса вероятность нахождения во втором конверте большей или меньшей суммы, чем у вас, должна быть одинаковой. Но тогда равновероятно любое значение этой суммы от нуля до бесконечности. А если равновероятно бесконечное число возможностей, в сумме они дают бесконечность. А это невозможно.

Для наглядности можно представить, что вы обнаруживаете в своем конверте один цент. Очевидно, что во втором конверте не может быть суммы вдвое меньше.

Любопытно, что дискуссии относительно разрешения парадокса продолжаются и в настоящее время. При этом предпринимаются попытки как объяснить парадокс изнутри, так и выработать наилучшую стратегию поведения в подобной ситуации. В частности, профессор Томас Кавер предложил оригинальный подход к формированию стратегии - менять или не менять конверт, руководствуясь неким интуитивным ожиданием. Скажем, если вы открыли конверт и обнаружили в нем $10 - небольшую сумму по вашим прикидкам - стоит его обменять. А если в конверте, скажем, $1 000, что превосходит ваши самые смелые ожидания, то меняться не надо. Эта интуитивная стратегия в случае, если вам регулярно предлагают выбирать два конверта, дает возможность увеличить суммарный выигрыш больше, чем стратегия постоянной смены конвертов.

Парадокс мальчика и девочки

Этот парадокс был также предложен Мартином Гарднером и формулируется так: «У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребенок - мальчик. Какова вероятность того, что и второй - тоже мальчик?»

Казалось бы, задача проста. Однако если начать разбираться, обнаруживается любопытное обстоятельство: правильный ответ будет отличаться в зависимости от того, каким образом мы будем подсчитывать вероятность пола другого ребенка.

Вариант 1

Рассмотрим все возможные комбинации в семьях с двумя детьми:

Девочка/Девочка

Девочка/Мальчик

Мальчик/Девочка

Мальчик/Мальчик

Вариант девочка/девочка нам не подходит по условиям задачи. Поэтому для семьи мистера Смита возможны три равновероятных варианта - а значит, вероятность того, что другой ребенок тоже окажется мальчиком, составляет ⅓. Именно такой ответ и давал сам Гарднер первоначально.

Вариант 2

Представим, что мы встречаем мистера Смита на улице, когда он гуляет с сыном. Какова вероятность того, что второй ребенок - тоже мальчик? Поскольку пол второго ребенка никак не зависит от пола первого, очевидным (и правильным) ответом является ½.

Почему так происходит, ведь, казалось бы, ничего не изменилось?

Все зависит от того, как мы подходим к вопросу подсчета вероятности. В первом случае мы рассматривали все возможные варианты семьи Смита. Во втором - мы рассматривали все семьи, подпадающие под обязательное условие «должен быть один мальчик». Расчет вероятности пола второго ребенка велся с этим условием (в теории вероятностей это называется «условная вероятность»), что и привело к результату, отличному от первого.

Парадокс Монти Холла - одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Задача формулируется как описание гипотетической игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор? Хотя данная формулировка задачи является наиболее известной, она несколько проблематична, поскольку оставляет некоторые важные условия задачи неопределенными. Ниже приводится более полная формулировка.
При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: после того, как ведущий открыл дверь, за которой находится коза, автомобиль может быть только за одной из двух оставшихся дверей. Поскольку игрок не может получить никакой дополнительной информации о том, за какой дверью находится автомобиль, то вероятность нахождения автомобиля за каждой из дверей одинакова, и изменение первоначального выбора двери не дает игроку никаких преимуществ. Однако такой ход рассуждений неверен. Если ведущий всегда знает, за какой дверью что находится, всегда открывает ту из оставшихся дверей, за которой находится коза, и всегда предлагает игроку изменить свой выбор, то вероятность того, что автомобиль находится за выбранной игроком дверью, равна 1/3, и, соответственно, вероятность того, что автомобиль находится за оставшейся дверью, равна 2/3. Таким образом, изменение первоначального выбора увеличивает шансы игрока выиграть автомобиль в 2 раза. Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла.

Словесное решение
Правильным ответом к этой задаче является следующее: да, шансы выиграть автомобиль увеличиваются в 2 раза, если игрок будет следовать совету ведущего и изменит свой первоначальный выбор.
Наиболее простое объяснение этого ответа состоит в следующем соображении. Для того, чтобы выиграть автомобиль без изменения выбора, игрок должен сразу угадать дверь, за которой стоит автомобиль. Вероятность этого равна 1/3. Если же игрок первоначально попадает на дверь, за которой стоит коза (а вероятность этого события 2/3, поскольку есть две козы и лишь один автомобиль), то он может однозначно выиграть автомобиль, изменив своё решение, так как остаются автомобиль и одна коза, а дверь с козой ведущий уже открыл.
Таким образом, без смены выбора игрок остаётся при своей первоначальной вероятности выигрыша 1/3, а при смене первоначального выбора, игрок оборачивает себе на пользу в два раза большую оставшуюся вероятность того, что в начале он не угадал.
Также интуитивно понятное объяснение можно сделать, поменяв местами два события. Первое событие - принятие решения игроком о смене двери, второе событие - открытие лишней двери. Это допустимо, так как открытие лишней двери не дает игроку никакой новой информации (док-во см. в этой статье).
Тогда задачу можно свести к следующей формулировке. В первый момент времени игрок делит двери на две группы: в первой группе одна дверь (та что он выбрал), во второй группе две оставшиеся двери. В следующий момент времени игрок делает выбор между группами. Очевидно, что для первой группы вероятность выигрыша 1/3, для второй группы 2/3. Игрок выбирает вторую группу. Во второй группе он может открыть обе двери. Одну открывает ведущий, а вторую сам игрок.
Попробуем дать «самое понятное» объяснение. Переформулируем задачу: Честный ведущий объявляет игроку, что за одной из трех дверей - автомобиль, и предлагает ему сначала указать на одну из дверей, а после этого выбрать одно из двух действий: открыть указанную дверь (в старой формулировке это называется «не изменять своего выбора») или открыть две другие (в старой формулировке это как раз и будет «изменить выбор». Подумайте, здесь и заключен ключ к пониманию!). Ясно, что игрок выберет второе из двух действий, так как вероятность получения автомобиля в этом случае в два раза выше. А та мелочь, что ведущий ещё до выбора действия «показал козу», никак не помогает и не мешает выбору, ведь за одной из двух дверей всегда найдется коза и ведущий обязательно её покажет при любом ходе игры, так что игрок может на эту козу и не смотреть. Дело игрока, если он выбрал второе действие - сказать «спасибо» ведущему за то, что он избавил его от труда самому открывать одну из двух дверей, и открыть другую. Ну, или ещё проще. Представим себе эту ситуацию с точки зрения ведущего, который проделывает подобную процедуру с десятками игроков. Поскольку он прекрасно знает, что находится за дверями, то, в среднем, в двух случаях из трёх, он заранее видит, что игрок выбрал «не ту» дверь. Поэтому уж для него точно нет никакого парадокса в том, что, правильная стратегия состоит в изменении выбора после открытия первой двери: ведь тогда в тех же двух случаях из трёх игрок будет уезжать со студии на новой машине.
Наконец, самое «наивное» доказательство. Пусть тот, кто стоит на своем выборе, называется «Упрямым», а тот, кто следует указаниям ведущего, зовется «Внимательным». Тогда Упрямый выигрывает, если он изначально угадал автомобиль (1/3), а Внимательный - если он вначале промахнулся и попал на козу (2/3). Ведь только в этом случае он потом укажет на дверь с автомобилем.
Ключи к пониманию
Несмотря на простоту объяснения этого явления, множество людей интуитивно полагают, что вероятность выигрыша не меняется при изменении игроком своего выбора. Обычно невозможность изменения вероятности выигрыша мотивируется тем, что при вычислении вероятности происшедшие в прошлом события не имеют значения, как это происходит, например, при подбрасывании монетки - вероятность выпадения орла или решки не зависит от того, сколько раз до этого выпал орёл или решка. Поэтому многие считают, что в момент выбора игроком одной двери из двух уже не имеет значения, что в прошлом имел место выбор одной двери из трёх, и вероятность выиграть автомобиль одинаковая как при изменении выбора, так и при оставлении первоначального выбора.
Однако, хотя такие соображения верны в случае подбрасывания монетки, они верны не для всех игр. В данном случае должно быть проигнорировано открытие двери ведущим. Игрок по существу выбирает между той одной дверью, которую он выбрал сначала, и остальными двумя - открытие одной из них служит лишь для отвлечения внимания игрока. Известно, что имеется один автомобиль и две козы. Первоначальный выбор игроком одной из дверей делит возможные исходы игры на две группы: либо автомобиль находится за дверью, выбранной игроком (вероятность этого 1/3), либо за одной из двух других (вероятность этого 2/3). При этом уже известно, что в любом случае за одной из двух оставшихся дверей находится коза, и, открывая эту дверь, ведущий не даёт игроку никакой дополнительной информации о том, что находится за выбранной игроком дверью. Таким образом, открытие ведущим двери с козой не меняет вероятности (2/3) того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей. А поскольку уже открытую дверь игрок не выберет, то вся эта вероятность оказывается сосредоточена в том событии, что автомобиль находится за оставшейся закрытой дверью.
Более интуитивно понятное рассуждение: Пусть игрок действует по стратегии «изменить выбор». Тогда проиграет он только в том случае, если изначально выберет автомобиль. А вероятность этого - одна треть. Следовательно, вероятность выигрыша: 1-1/3=2/3. Если же игрок действует по стратегии «не менять выбор», то он выиграет тогда и только тогда, когда изначально выбрал автомобиль. А вероятность этого - одна треть.
Представим себе эту ситуацию с точки зрения ведущего, который проделывает подобную процедуру с десятками игроков. Поскольку он прекрасно знает, что находится за дверями, то, в среднем, в двух случаях из трёх, он заранее видит, что игрок выбрал «не ту» дверь. Поэтому уж для него точно нет никакого парадокса в том, что, правильная стратегия состоит в изменении выбора после открытия первой двери: ведь тогда в тех же двух случаях из трёх игрок будет уезжать со студии на новой машине.
Другая частая причина трудного понимания решения этой задачи состоит в том, что нередко люди представляют себе немного другую игру - когда заранее неизвестно, будет ли ведущий открывать дверь с козой и предлагать игроку изменить свой выбор. В этом случае игрок не знает тактики ведущего (то есть, по существу, не знает всех правил игры) и не может сделать оптимальный выбор. Например, если ведущий будет предлагать смену варианта лишь в случае, когда игрок изначально выбрал дверь с автомобилем, то, очевидно, игрок должен всегда оставлять первоначальное решение без изменения. Именно поэтому важно иметь в виду точную формулировку задачи Монти Холла. (при таком варианте ведущий с разными стратегиями может добиться любой вероятности между дверями, в общем(среднем) случае будет 1/2 на 1/2).
Увеличение количества дверей
Для того, чтобы легче понять суть происходящего, можно рассмотреть случай, когда игрок видит перед собой не три двери, а, например, сто. При этом за одной из дверей находится автомобиль, а за остальными 99 - козы. Игрок выбирает одну из дверей, при этом в 99 % случаев он выберет дверь с козой, а шансы сразу выбрать дверь с автомобилем очень малы - они составляют 1 %. После этого ведущий открывает 98 дверей с козами и предлагает игроку выбрать оставшуюся дверь. При этом в 99 % случаев автомобиль будет находиться за этой оставшейся дверью, поскольку шансы на то, что игрок сразу выбрал правильную дверь, очень малы. Понятно, что в этой ситуации рационально мыслящий игрок должен всегда принимать предложение ведущего.
При рассмотрении увеличенного количества дверей нередко возникает вопрос: если в оригинальной задаче ведущий открывает одну дверь из трёх (то есть 1/3 от общего количества дверей), то почему нужно предполагать, что в случае 100 дверей ведущий откроет 98 дверей с козами, а не 33? Это соображение является обычно одной из существенных причин того, почему парадокс Монти Холла входит в противоречие с интуитивным восприятием ситуации. Предполагать открытие 98 дверей будет правильным потому, что существенным условием задачи является наличие только одного альтернативного варианта выбора для игрока, который и предлагается ведущим. Поэтому для того, чтобы задачи были аналогичными, в случае 4 дверей ведущий должен открывать 2 двери, в случае 5 дверей - 3, и так далее, чтобы всегда оставалась одна неоткрытая дверь кроме той, которую изначально выбрал игрок. Если ведущий будет открывать меньшее количество дверей, то задача уже не будет аналогична оригинальной задаче Монти Холла.
Следует отметить, что в случае множества дверей, даже если ведущий будет оставлять закрытой не одну дверь, а несколько, и предлагать игроку выбрать одну из них, то при смене первоначального выбора шансы игрока выиграть автомобиль всё равно будут увеличиваться, хотя и не столь значительно. Например, рассмотрим ситуацию, когда игрок выбирает одну дверь из ста, и затем ведущий открывает только одну дверь из оставшихся, предлагая игроку изменить свой выбор. При этом шансы на то, что автомобиль находится за первоначально выбранной игроком дверью, остаются прежними - 1/100, а для остальных дверей шансы изменяются: суммарная вероятность того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей (99/100) распределяется теперь не на 99 дверей, а на 98. Поэтому вероятность нахождения автомобиля за каждой из этих дверей будет равна не 1/100, а 99/9800. Прирост вероятности составит примерно 0.01 %.
Дерево принятия решений

Дерево возможных решений игрока и ведущего, показывающее вероятность каждого исхода
Более формально сценарий игры может быть описан c помощью дерева принятия решений.
В первых двух случаях, когда игрок сначала выбрал дверь, за которой находится коза, изменение выбора приводит к выигрышу. В двух последних случаях, когда игрок сначала выбрал дверь с автомобилем, изменение выбора приводит к проигрышу.
Суммарная вероятность того, что изменение выбора приведёт к выигрышу, эквивалентна сумме вероятностей первых двух исходов, то есть

Соответственно, вероятность того, что отказ от изменения выбора приведёт к выигрышу, равна

Проведение похожего эксперимента
Существует простой способ убедиться в том, что изменение первоначального выбора приводит к выигрышу в двух случаях из трёх в среднем. Для этого можно сымитировать игру, описанную в задаче Монти Холла, с помощью игральных карт. Один человек (раздающий карты) при этом играет роль ведущего Монти Холла, а второй - роль игрока. Для игры берутся три карты, из которых одна изображает дверь с автомобилем (например, туз пик), а две других, одинаковых (например, две красные двойки) - двери с козами.
Ведущий выкладывает три карты рубашкой вверх, предлагая игроку взять одну из карт. После того, как игрок выберет карту, ведущий смотрит в две оставшиеся карты и открывает красную двойку. После этого открываются карты, оставшиеся у игрока и у ведущего, и если выбранная игроком карта - туз пик, то записывается очко в пользу варианта, когда игрок не меняет свой выбор, а если у игрока оказывается красная двойка, а у ведущего остаётся туз пик, то записывается очко в пользу варианта, когда игрок меняет свой выбор. Если провести множество таких раундов игры, то соотношение между очками в пользу двух вариантов достаточно хорошо отразит соотношение вероятностей этих вариантов. При этом оказывается, что число очков в пользу смены первоначального выбора примерно в два раза больше.
Такой эксперимент позволяет не только убедиться в том, что вероятность выигрыша при изменении выбора в два раза больше, но и хорошо иллюстрирует, почему так происходит. В тот момент, когда игрок выбрал себе карту, уже определено, находится ли в его руке туз пик или нет. Дальнейшее открытие ведущим одной из своих карт не меняет ситуации - игрок уже держит карту в руке, и она остаётся там независимо от действий ведущего. Вероятность же для игрока выбрать туз пик из трёх карт равна, очевидно, 1/3, и, таким образом, вероятность его не выбрать (и тогда игрок выиграет, если изменит первоначальный выбор) равна 2/3.
Упоминание
В фильме Двадцать одно преподаватель, Мики Роса, предлагает главному герою, Бену, решить задачку: за тремя дверьми два самоката и один автомобиль, необходимо угадать дверь, чтобы выиграть автомобиль. После первого выбора Мики предлагает изменить выбор. Бен соглашается и математически аргументирует свое решение. Так он непроизвольно проходит тест в команду Мики.
В романе Сергея Лукьяненко «Недотепа» главные герои при помощи такого приема выигрывают карету и возможность продолжить своё путешествие.
В телесериале «4исла» (13 эпизод 1 сезона «Man Hunt») один из главных героев, Чарли Эппс, на популярной лекции по математике объясняет парадокс Монти Холла, наглядно иллюстрируя его с помощью маркерных досок, на обратных сторонах которых нарисованы козы и автомобиль. Чарли действительно находит автомобиль, изменив выбор. Однако следует отметить, что он проводит всего один эксперимент, в то время как преимущество стратегии смены выбора является статистическим, и для корректной иллюстрации следует проводить серию экспериментов.

О лотереях

Игра эта давно приобрела массовый характер и стала неотъемлемой частью современной жизни. И хотя лотерея всё больше расширяет свои возможности, многие люди по-прежнему видят в ней лишь способ обогащения. Пусть и не бесплатный и не надёжный. С другой стороны, как заметил один из героев Джека Лондона, в азартной игре нельзя не считаться с фактами - людям иногда везёт.

Математика случая. История теории вероятностей

Александр Буфетов

Стенограмма и видеозапись лекции доктора физико-математических наук, ведущего научного сотрудника Математического института имени Стеклова, ведущего научного сотрудника ИППИ РАН, профессора факультета математики Высшей школы экономики, директора исследований Национального центра научных исследований во Франции (CNRS) Александра Буфетова, прочитанной в рамках цикла «Публичные лекции "Полит.ру"» 6 февраля 2014 г.

Иллюзия закономерности: почему случайность кажется неестественной

Наши представления о случайном, закономерном и невозможном часто расходятся с данными статистики и теории вероятностей. В книге «Несовершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью» американский физик и популяризатор науки Леонард Млодинов рассказывает о том, почему случайные алгоритмы выглядят так странно, в чем подвох «рандомной» тасовки песен на IPod и от чего зависит удача биржевого аналитика. «Теории и практики» публикуют отрывок из книги.

Детерминизм

Детерминизм — общенаучное понятие и философское учение о причинности, закономерности, генетической связи, взаимодействии и обусловленности всех явлений и процессов, происходящих в мире.

Бог - это статистика

Дебора Нолан, профессор статистики в Университете Калифорнии в Беркли, предлагает своим студентам выполнить очень странное на первый взгляд задание. Первая группа должна сто раз подбрасывать монетку и записывать результат: орёл или решка. Вторая должна представить, что подбрасывает монетку – и тоже составить список из сотни «мнимых» результатов.

Что такое детерминизм

Если известны начальные условия системы, можно, используя законы природы, предсказать ее конечное состояние.

Задача о разборчивой невесте

Гусейн-Заде С. М.

Парадокс Зенона

Можно ли из одной точки в пространстве добраться до другой? Древнегреческий философ Зенон Элейский считал, что перемещение невозможно осуществить вообще, но как он это аргументировал? Колм Келлер расскажет о том, как разрешить знаменитый парадокс Зенона.

Парадоксы бесконечных множеств

Представьте отель с бесконечным числом номеров. Приезжает автобус с бесконечным числом будущих постояльцев. Но разместить их всех - не так-то просто. Это бесконечная морока, а гости бесконечно уставшие. И если справиться с задачей не удастся, то можно потерять бесконечно много денег! Что же делать?

Зависимость роста ребенка от роста родителей

Молодым родителям, конечно, хочется знать, какого роста будет их ребенок, став взрослым. Математическая статистика может предложить простую линейную зависимость для приближен ной оценки роста детей, исходя только из роста отца и матери, а также указать точность такой оценки.

Парадокс Монти Холла - наверно самый известный парадокс в теории вероятностей. Существует масса его вариаций, например, парадокс трёх узников. И существует масса толкований и объяснений этого парадокса. Но здесь, я хотел бы дать не только формальное объяснение, но показать «физическую» основу того, что происходит в парадоксе Монти Холла и ему подобных.

Классическая формулировка такова:

«Вы участник игры. Перед вами три двери. За одной из них приз. Ведущий предлагает вам попытаться угадать, где приз. Вы указываете на одну из дверей (наугад).

Формулировка парадокса Монти Холла

Ведущий знает, где на самом деле находится приз. Он, пока, не открывает ту дверь, на которую вы показали. Но открывает вам ещё одну из оставшихся дверей, за которой нет приза. Вопрос в том, сто́ит ли вам изменить свой выбор, или остаться при прежнем решении?»

Оказывается, что если вы просто измените выбор, то ваши шансы выиграть возрастут!

Парадоксальность ситуации очевидна. Кажется, что всё происходящее случайно. Нет никакой разницы, поменяете вы своё решение или нет. Но это не так.

«Физическое» объяснение природы этого парадокса

Давайте, сперва, не будем вдаваться в математические тонкости, а просто не предвзято посмотрим на ситуацию.

В этой игре вы лишь сперва делаете случайный выбор. Потом ведущий сообщает вам дополнительную информацию , которая и позволяет вам увеличить свои шансы на победу.

Каким образом ведущий сообщает вам дополнительную информацию? Очень просто. Обратите внимание, что он открывает не любую дверь.

Давайте, для простоты (хоть в этом и есть элемент лукавства), рассмотрим более вероятную ситуацию: вы показали на дверь, за которой нет приза. Тогда, за одной из оставшихся дверей приз есть . То есть, у ведущего нет выбора. Он открывает вполне определённую дверь. (На одну указали вы, за другой есть приз, остаётся только одна дверь, которую может открыть ведущий.)

Именно в этот момент осмысленного выбора, он и сообщает вам информацию, которой вы можете воспользоваться.

В данном случае, использование информации заключается в том, что вы меняете решение.

Кстати, ваш второй выбор уже тоже не случаен (вернее, не на столько случаен, как первый выбор). Ведь вы выбираете из закрытых дверей, а одна уже открыта и она не произвольная .

Собственно, уже после этих рассуждений у вас может появиться ощущение, что лучше поменять решение. Это действительно так. Давайте покажем это более формально.

Более формальное объяснение парадокса Монти Холла

На самом деле ваш первый, случайный, выбор разбивает все двери на две группы. За той дверью, которую выбрали вы приз находится с вероятностью 1/3, за двумя другими - с вероятностью 2/3. Теперь ведущий вносит изменения: он открывает одну дверь во второй группе. И теперь вся вероятность 2/3 относится только к закрытой двери из группы из двух дверей.

Понятно, что теперь вам выгодней поменять своё решение.

Хотя, конечно, у вас остаётся шанс проиграть.

Тем не менее смена выбора увеличивает ваши шансы на выигрыш.

Парадокс Монти Холла

Парадокс Монти Холла - вероятностная задача, решение которой (по мнению некоторых) противоречит здравому смыслу. Формулировка задачи:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы.
Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза.

Парадокс Монти Холла. Самая неточная математика

После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2.
Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

При решении задачи часто ошибочно полагают что два выбора являются независимыми и, следовательно, вероятность при изменении выбора не изменится. На самом деле это не так, в чём можно убедиться вспомнив формулу Байеса или посмотрев на результаты симуляции ниже:

Здесь: «стратегия 1» - не менять выбор, «стратегия 2» - изменить выбор. Теоретически, для случая с 3-мя дверями, распределение вероятностей - 33,(3)% и 66,(6)%. При численной симуляции должны бы получаться похожие результаты.

Ссылки

Парадокс Монти Холла – задача из раздела теории вероятности, в решении которой просматривается противоречие здравому смыслу.

История возникновения[править | править вики-текст]

В конце 1963 года в эфир вышло новое ток-шоу под названием «Let’s Make a Deal» («Давайте договоримся»). По сценарию викторины зрители из аудитории получали призы за правильные ответы, имея шанс приумножить их, делая новые ставки, но рискуя имеющимся выигрышем. Основателями шоу являлись Стефан Хатосу и Монти Холл, последний из которых стал его неизменным ведущим на многие годы.

Одним из заданий для участников стал розыгрыш Главного приза, который был расположен за одной из трех дверей. За двумя оставшимися находились поощрительные призы, в свою очередь ведущий знал порядок их расположения. Участнику необходимо было определить выигрышную дверь, поставив на кон весь свой выигрыш за шоу.

Когда угадывающий определялся с номером, ведущий открывал одну из оставшихся дверей, за которой находился поощрительный приз, и предлагал игроку поменять первоначально выбранную дверь.

Формулировки[править | править вики-текст]

Как конкретную задачу, парадокс впервые сформулировал Стив Селвин (Steve Selvin) в 1975 году, отправивший в журнал The American Statistician («Американский статистик»), и ведущему Монти Холлу, вопрос: изменятся ли шансы участника выиграть Главный приз, если после открытия двери с поощрительным он поменяет свой выбор? После этого случая появилось понятие «Парадокс Монти Холла».

В 1990 была в Parade Magazine (Журнал «Парад») опубликована самая распространенная версия парадокса с примером:

«Представьте себя на телеигре, где нужно отдать предпочтенье одной из трех дверей: за двумя из них козы, а за третьей — автомобиль. Когда Вы совершите выбор, предположив, например, что выигрышная дверь номер один, ведущий открывает одну из оставшихся двух дверей, например, номер три, за которой коза. Затем Вам дается шанс изменить выбор на другую дверь? Можно ли увеличить шансы выиграть автомобиль, если поменять свой выбор с двери номер один на дверь номер два?»

Эта формулировка является упрощенным вариантом, т.к. остается фактор влияния ведущего, который точно знает, где автомобиль и заинтересован в проигрыше участника.

Чтоб задача стала сугубо математической, необходимо исключить человеческий фактор, введя открытие двери с поощрительным призом и возможность изменить первоначальный выбор как неотъемлемые условия.

Решение[править | править вики-текст]

При сравнении шансов на первый взгляд изменение номера двери не даст никаких преимуществ, т.к. все три варианта имеют шанс на выигрыш 1/3 (ок. 33,33% на каждую из трех дверей). При этом открытие одной из дверей никак не отразится на шансах двух оставшихся, чьи шансы станут 1/2 к 1/2 (50% на каждую из двух оставшихся дверей). В основу такого суждения ложится суждение, что выбор двери игроком и выбор двери ведущим – два независимых события, не влияющих одно на другое. В действительности необходимо рассматривать всю последовательность событий как единое целое. В соответствии с теорией вероятности, у первой выбранной двери шансы с начала и до конца игры неизменно 1/3 (ок.33,33%), а у двух оставшихся в сумме 1/3+1/3 = 2/3 (ок. 66,66%). Когда открывается одна из двух оставшихся дверей, ее шансы становятся 0% (за ней спрятан поощрительный приз), и как результат шансы закрытой невыбранной двери составят 66,66%, т.е. в два раза больше, чем у выбранной первоначально.

Для облегчения понимания результатов выбора можно рассмотреть альтернативную ситуацию, в которой количество вариантов будет больше, например — тысяча. Вероятность выбрать выигрышный вариант составит 1/1000 (0,1%). При условии, что в последствии из оставшихся девятьсот девяносто девяти вариантов будут открыты девятьсот девяносто восемь неверных, становится очевидно, что вероятность одной оставшейся двери из девятьсот девяносто девяти невыбранных выше, чем у единственной, выбранной вначале.

Упоминания[править | править вики-текст]

Встретить упоминание Парадокса Монти Холла можно в «Двадцать одно» (фильма Роберта Лукетича), «Недотёпа» (романе Сергея Лукьяненко), телесериале «4исла» (телесериал), «Загадочное ночное убийство собаки» (повести Марка Хэддона), «XKCD» (комикс), «Разрушители легенд» (телешоу).

См. также[править | править вики-текст]

На изображении процесс выбора между двумя зарытыми дверьми из трех предложенных первоначально

Примеры решений задач по комбинаторике

Комбинаторика — это наука, с который каждый встречается в повседневной жизни: сколько способов выбрать 3 дежурных для уборки класса или сколько способов составить слово из данных букв.

В целом, комбинаторика позволяет вычислить, сколько различных комбинаций, согласно некоторым условиям, можно составить из заданных объектов (одинаковых или разных).

Как наука комбинаторика возникла еще в 16 веке, а теперь ее изучает каждый студент (и зачастую даже школьник). Начинают изучение с понятий перестановок, размещений, сочетаний (с повторениями или без), на эти темы вы найдете задачи и ниже. Наиболее известные правила комбинаторики — правила суммы и произведения, которые чаще всего применяются в типовых комбинаторных задачах.

Ниже вы найдете несколько примеров задач с решениями на комбинаторные понятия и правила, которые позволят разобраться с типовыми заданиями. Если есть трудности с задачами — заказывайте контрольную по комбинаторике.

Задачи по комбинаторике с решениями онлайн

Задача 1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение задачи по комбинаторике 1 (pdf, 35 Кб)

Задача 2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой — 6 мужчинам, по третьей — 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

Решение задачи по комбинаторике 2 (pdf, 39 Кб)

Задача 3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

Решение задачи по комбинаторике 3 (pdf, 33 Кб)

Задача 4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

Решение задачи по комбинаторике 4 (pdf, 34 Кб)

Задача 5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую - 5 и в третью - 12. Сколькими способами это можно сделать.

Решение задачи по комбинаторике 5 (pdf, 37 Кб)

Задача 6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

Задача по комбинаторике с решением 6 (pdf, 33 Кб)

Задача 7. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Задача по комбинаторике с решением 7 (pdf, 37 Кб)

Задача 8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

Задача по комбинаторике с решением 8 (pdf, 32 Кб)

Задача 9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?

Задача по комбинаторике с решением 9 (pdf, 32 Кб)

Задача 10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?

Задача по комбинаторике с решением 10 (pdf, 39 Кб)

Готовые примеры

Нужны решенные задачи по комбинаторике? Найди в решебнике:

Другие решения задач по теории вероятностей

Загадка Монти Холла

В поисках автомобиля, игрок выбирает дверь 1. Тогда ведущий открывает 3-ю дверь, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свой выбор на дверь 2. Стоит ли ему это делать?

Парадо́кс Мо́нти Хо́лла - одна из известных задач теории вероятностей , решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Задача формулируется как описание гипотетической игры , основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в году в журнале Parade Magazine , звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль , за двумя другими дверями - козы . Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: после того, как ведущий открыл дверь, за которой находится коза, автомобиль может быть только за одной из двух оставшихся дверей. Поскольку игрок не может получить никакой дополнительной информации о том, за какой дверью находится автомобиль, то вероятность нахождения автомобиля за каждой из дверей одинакова, и изменение первоначального выбора двери не дает игроку никаких преимуществ. Однако такой ход рассуждений неверен. Если ведущий всегда знает, за какой дверью что находится, всегда открывает ту из оставшихся дверей, за которой находится коза, и всегда предлагает игроку изменить свой выбор, то вероятность того, что автомобиль находится за выбранной игроком дверью, равна 1/3, и, соответственно, вероятность того, что автомобиль находится за оставшейся дверью, равна 2/3. Таким образом, изменение первоначального выбора увеличивает шансы игрока выиграть автомобиль в 2 раза. Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей , поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла .

Задача и решение

Более точная формулировка задачи

Наиболее распространённая формулировка задачи, опубликованная в журнале Parade , к сожалению, не вполне точна, поскольку оставляет неопределёнными несколько существенных условий. Более полная и точная формулировка задачи выглядит примерно так:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вы находитесь перед тремя дверями. Ведущий, о котором известно, что он честен , поместил за одной из дверей автомобиль, а за двумя другими дверями - по козе. У вас нет никакой информации о том, что за какой дверью находится. Ведущий говорит вам: «Сначала вы должны выбрать одну из дверей. После этого я открою одну из оставшихся дверей, за которой находится коза. Затем я предложу вам изменить свой первоначальный выбор и выбрать оставшуюся закрытую дверь вместо той, которую вы выбрали вначале. Вы можете последовать моему совету и выбрать другую дверь, либо подтвердить свой первоначальный выбор. После этого я открою дверь, которую вы выбрали, и вы выиграете то, что находится за этой дверью.»

Вы выбираете дверь номер 3. Ведущий открывает дверь номер 1 и показывает, что за ней находится коза. Затем ведущий предлагает вам выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы последуете его совету?

В данной задаче также неявно предполагается, что открытие ведущим двери с козой не несёт никакой информации о том, что находится за дверью, которую сначала выбрал игрок. Наиболее простой способ добиться этого - потребовать, чтобы в случае, когда автомобиль находится за дверью, выбранной игроком, ведущий открывал одну из оставшихся дверей с козами обязательно случайным образом.

Вначале вероятность того, что участник попадёт на автомобиль равна 1/3. После того как ведущий открывает дверь, большинство людей считают что она должна быть равна 1/2, но это не так. Ведущий знает, где находится автомобиль, и поэтому не открывает дверь с автомобилем. И вероятность была бы 1/2 только тогда, когда ведущий бы не знал положение призов, и тогда бы открытие двери ничего бы не меняло.

Наиболее существенным дополнением по сравнению с приведённой выше формулировкой здесь является то, что игрок до начала игры знает, что после его выбора ведущий в любом случае откроет дверь с козой и в любом случае предложит игроку изменить свой выбор, то есть совершение данных действий ведущим не несёт никакой информации о том, правильным или неправильным был первоначальный выбор игрока.

Решение

Правильным ответом к этой задаче является следующее: да, шансы выиграть автомобиль увеличиваются в два раза, если игрок будет следовать совету ведущего и изменит свой первоначальный выбор.

Также интуитивно понятное объяснение можно сделать, поменяв местами два события. Первое событие – принятие решения игроком о смене двери, второе событие – открытие лишней двери. Это допустимо, т.к. открытие лишней двери не дает игроку никакой новой информации (док-во см. в этой статье).

Тогда задачу можно свести к следующей формулировке. В первый момент времени игрок делит двери на две группы: в первой группе одна дверь (та что он выбрал), во второй группе две оставшиеся двери. В следующий момент времени игрок делает выбор между группами (sic!). Очевидно, что для первой группы вероятность выигрыша 1/3, для второй группы 2/3. Игрок выбирает вторую группу. Во второй группе он может открыть обе двери (sic!). Одну открывает ведущий, а вторую сам игрок.

Ключи к пониманию

Несмотря на простоту объяснения этого явления, множество людей интуитивно полагают, что вероятность выигрыша не меняется при изменении игроком своего выбора. Обычно невозможность изменения вероятности выигрыша мотивируется тем, что при вычислении вероятности происшедшие в прошлом события не имеют значения, как это происходит, например, при подбрасывании монетки - вероятность выпадения орла или решки не зависит от того, сколько раз до этого выпал орёл или решка. Поэтому многие считают, что в момент выбора игроком одной двери из двух уже не имеет значения, что в прошлом имел место выбор одной двери из трёх, и вероятность выиграть автомобиль одинаковая как при изменении выбора, так и при оставлении первоначального выбора.

Однако, хотя такие соображения верны в случае подбрасывания монетки, они верны не для всех игр. В данном случае должно быть проигнорировано открытие двери ведущим . Игрок по существу выбирает между той одной дверью, которую он выбрал сначала, и остальными двумя - открытие одной из них служит лишь для отвлечения внимания игрока. Известно, что имеется один автомобиль и две козы. Первоначальный выбор игроком одной из дверей делит возможные исходы игры на две группы: либо автомобиль находится за дверью, выбранной игроком (вероятность этого 1/3), либо за одной из двух других (вероятность этого 2/3). При этом уже известно, что в любом случае за одной из двух оставшихся дверей находится коза, и, открывая эту дверь, ведущий не даёт игроку никакой дополнительной информации о том, что находится за выбранной игроком дверью. Таким образом, открытие ведущим двери с козой не меняет вероятности (2/3) того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей. А поскольку уже открытую дверь игрок не выберет, то вся эта вероятность оказывается сосредоточена в том событии, что автомобиль находится за оставшейся закрытой дверью.

Более интуитивно понятное рассуждение: Пусть игрок действует по стратегии «изменить выбор». Тогда проиграет он только в том случае, если изначально выберет автомобиль. А вероятность этого - одна треть. Следовательно, вероятность выигрыша: 1-1/3=2/3. Если же игрок действует по стратегии «не менять выбор», то он выиграет тогда и только тогда, когда изначально выбрал автомобиль. А вероятность этого - одна треть.

Другая частая причина трудного понимания решения этой задачи состоит в том, что нередко люди представляют себе немного другую игру - когда заранее неизвестно, будет ли ведущий открывать дверь с козой и предлагать игроку изменить свой выбор. В этом случае игрок не знает тактики ведущего (то есть, по существу, не знает всех правил игры) и не может сделать оптимальный выбор. Например, если ведущий будет предлагать смену варианта лишь в случае, когда игрок изначально выбрал дверь с автомобилем, то, очевидно, игрок должен всегда оставлять первоначальное решение без изменения. Именно поэтому важно иметь в виду точную формулировку задачи Монти Холла.(Хотя, даже при таком варианте, правильной стратегией будет смена выбора двери (при условии, что игрок не знает «хитрости» ведущего). Так как в этом случае проигрыш будет означать реализацию вероятности 1/3.)

Увеличение количества дверей

Для того, чтобы легче понять суть происходящего, можно рассмотреть случай, когда игрок видит перед собой не три двери, а, например, сто. При этом за одной из дверей находится автомобиль, а за остальными 99 - козы. Игрок выбирает одну из дверей, при этом в 99 % случаев он выберет дверь с козой, а шансы сразу выбрать дверь с автомобилем очень малы - они составляют 1 %. После этого ведущий открывает 98 дверей с козами и предлагает игроку выбрать оставшуюся дверь. При этом в 99 % случаев автомобиль будет находиться за этой оставшейся дверью, поскольку шансы на то, что игрок сразу выбрал правильную дверь, очень малы. Понятно, что в этой ситуации рационально мыслящий игрок должен всегда принимать предложение ведущего.

При рассмотрении увеличенного количества дверей нередко возникает вопрос: если в оригинальной задаче ведущий открывает одну дверь из трёх (то есть 1/3 от общего количества дверей), то почему нужно предполагать, что в случае 100 дверей ведущий откроет 98 дверей с козами, а не 33 ? Это соображение является обычно одной из существенных причин того, почему парадокс Монти Холла входит в противоречие с интуитивным восприятием ситуации. Предполагать открытие 98 дверей будет правильным потому, что существенным условием задачи является наличие только одного альтернативного варианта выбора для игрока, который и предлагается ведущим. Поэтому для того, чтобы задачи были аналогичными, в случае 4 дверей ведущий должен открывать 2 двери, в случае 5 дверей - 3, и так далее, чтобы всегда оставалась одна неоткрытая дверь кроме той, которую изначально выбрал игрок. Если ведущий будет открывать меньшее количество дверей, то задача уже не будет аналогична оригинальной задаче Монти Холла.

Следует отметить, что в случае множества дверей, даже если ведущий будет оставлять закрытой не одну дверь, а несколько, и предлагать игроку выбрать одну из них, то при смене первоначального выбора шансы игрока выиграть автомобиль всё равно будут увеличиваться, хотя и не столь значительно. Например, рассмотрим ситуацию, когда игрок выбирает одну дверь из ста, и затем ведущий открывает только одну дверь из оставшихся, предлагая игроку изменить свой выбор. При этом шансы на то, что автомобиль находится за первоначально выбранной игроком дверью, остаются прежними - 1/100, а для остальных дверей шансы изменяются: суммарная вероятность того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей (99/100) распределяется теперь не на 99 дверей, а на 98. Поэтому вероятность нахождения автомобиля за каждой из этих дверей будет равна не 1/100, а 99/9800. Прирост вероятности составит примерно 0.01 %.

Дерево принятия решений

Дерево возможных решений игрока и ведущего, показывающее вероятность каждого исхода

Более формально сценарий игры может быть описан c помощью дерева принятия решений .

Суммарная вероятность того, что изменение выбора приведёт к выигрышу, эквивалентна сумме вероятностей первых двух исходов, то есть . Соответственно, вероятность того, что отказ от изменения выбора приведёт к выигрышу, равна .

Существует простой способ убедиться в том, что изменение первоначального выбора приводит к выигрышу в двух случаях из трёх в среднем. Для этого можно сымитировать игру, описанную в задаче Монти Холла, с помощью игральных карт . Один человек (раздающий карты) при этом играет роль ведущего Монти Холла, а второй - роль игрока. Для игры берутся три карты, из которых одна изображает дверь с автомобилем (например, туз пик), а две других, одинаковых (например, две красные двойки) - двери с козами.

Ведущий выкладывает три карты рубашкой вверх, предлагая игроку взять одну из карт. После того, как игрок выберет карту, ведущий смотрит в две оставшиеся карты и открывает красную двойку. После этого открываются карты, оставшиеся у игрока и у ведущего, и если выбранная игроком карта - туз пик, то записывается очко в пользу варианта, когда игрок не меняет свой выбор, а если у игрока оказывается красная двойка, а у ведущего остаётся туз пик, то записывается очко в пользу варианта, когда игрок меняет свой выбор. Если провести множество таких раундов игры, то соотношение между очками в пользу двух вариантов достаточно хорошо отразит соотношение вероятностей этих вариантов. При этом оказывается, что число очков в пользу смены первоначального выбора примерно в два раза больше.

Такой эксперимент позволяет не только убедиться в том, что вероятность выигрыша при изменении выбора в два раза больше, но и хорошо иллюстрирует, почему так происходит. В тот момент, когда игрок выбрал себе карту, уже определено , находится ли в его руке туз пик или нет. Дальнейшее открытие ведущим одной из своих карт не меняет ситуации - игрок уже держит карту в руке, и она остаётся там независимо от действий ведущего. Вероятность же для игрока выбрать туз пик из трёх карт равна, очевидно, 1/3, и, таким образом, вероятность его не выбрать (и тогда игрок выиграет, если изменит первоначальный выбор) равна 2/3.

Доказательство с помощью таблицы

При проведении большого числа экспериментов машина должна обнаруживаться за каждой из дверей одинаковое количество раз, то есть очень близко к 1/3 от общего количества.

дверь 1	дверь 2	дверь 3
Выбор Машина	Коза	Открыта коза
Выбор	Машина	Открыта коза
Выбор	Открыта коза	Машина

По законам распределения вероятности вы выберете неправильную дверь в 2 случаях из 3. Это означает, что в 2 из 3 случаев вы получите машину просто изменив решение. Таблица показывает, что вы, скорее всего, ошибётесь при первом выборе и в этом случае вы попадаете в две другие строки таблицы. А здесь уже вам покажут, какую дверь нужно выбрать.

Проблема трёх заключенных

Другая формулировка парадокса была представлена Мартином Гарднером в колонке Математические игры , которую он вёл в журнале Scientific American , в .

Трое заключенных A , B и C приговорены к смертной казни, однако известно что один будет помилован. Приговор запрещает сообщать преступнику, будет ли он помилован или нет. A уговаривает охранника сказать, кого из двух других заключенных казнят. Так как вопрос не касается A , охранник решается сообщить, что казнят B . Как изменились вероятности казни A и C ? Или, проводя аналогию с проблемой Монти Холла, следует ли A поменяться местами с С , если у него есть такая возможность?

Ответ

В таблице приведены вероятности того, кто из заключенных будет помилован, до и после сообщения охранника.