Главная › Интеллектуальное › Клуб две двери один выбор. Парадокс Монти Холла — объяснение увеличения вероятности выбора

Клуб две двери один выбор. Парадокс Монти Холла — объяснение увеличения вероятности выбора

Теория вероятностей - раздел математики, который готов запутать самих математиков. В отличие от остальных, точных и незыблемых догм этой науки, данная область кишит странностями и неточностями. В этот раздел совсем недавно добавили так сказать новый параграф - парадокс Монти Холла. Это, в общем, задача, но решается она совсем не так, как привычные нам школьные или университетские.

История происхождения

Над парадоксом Монти Холла люди ломают свои головы, начиная с далекого 1975 года. Но начать стоит с 1963. Именно тогда на экраны вышло телешоу под названием Let"s make a deal, что переводится как "Давайте заключим сделку". Его ведущим стал никто иной как Монти Холл, который подкидывал зрителям порой неразрешимые задачки. Одной из наиболее ярких стала та, которую он представил в 1975 году. Задача стала частью математической теории вероятности и парадоксов, которые укладываются в ее рамки. Стоит также отметить, что данное явление стало причиной сильных дискуссий и жесткой критики со стороны ученых. Парадокс Монти Холла был опубликован в журнале Parade в 1990 году, и с тех пор стал еще более обсуждаемым и спорным вопросом всех времен и народов. Ну а теперь переходим непосредственно к его формулировке и трактовке.

Формулировка проблемы

Существует множество трактовок данного парадокса, но мы решили представить вам классическую, которая была показана в самой программе. Итак, перед вами три двери. За одной из них находится автомобиль, за двумя другими по одной козе. Ведущий предлагает вам выбрать одну из дверей, и, допустим, вы останавливаетесь на номере 1. Пока что вы не знаете, что за этой самой первой дверью, так как вам открывают третью, и показывают, что за ней коза. Следовательно, вы пока что не проиграли, ведь вы не выбрали ту дверь, которая скрывает проигрышный вариант. Следовательно, ваши шансы на получение машины возрастают.

Но тут ведущий предлагает вам изменить решение. Перед вами уже две двери, за одной коза, за другой желанный приз. Именно в этом и заключается суть проблемы. Кажется, что какую бы дверь из двух вы ни выбрали, шансы будут 50 на 50. Но на самом деле, если вы поменяете решение, вероятность того, что вы победите, станет больше. Как так?

Первый выбор, который вы делаете в этой игре - случайный. Вы никак не можете даже отдаленно догадываться, за какой из трех дверей спрятан приз, поэтому рандомно указываете на первую попавшуюся. Ведущий же в свою очередь знает, где что находится. У него есть дверь с призом, дверь, на которую указали вы, и третья без приза, которую он вам и открывает в качестве первой подсказки. Вторая же подсказка кроется в самом его предложении сменить выбор.

Теперь вы уже будете выбирать не наугад одну из трех, а сможете даже изменить свое решение, чтобы получить желаемый приз. Именно предложение ведущего дает человеку веру в то, что автомобиль находится действительно не за той дверью, которую он выбрал, а за другой. В этом и заключается вся суть парадокса, так как, по сути, выбирать (хоть уже из двух, а не из трех) все равно приходится наугад, но шансы на победу возрастают. Как показывает статистика, из 30-ти игроков, которые поменяли свое решение, машину выиграли 18. А это 60%. А из тех же 30-ти человек, которые решение не изменили - всего 11, то есть 36%.

Трактовка в цифрах

Теперь дадим парадоксу Монти Холла более точное определение. Первый выбор игрока разбивает двери на две группы. Вероятность того, что приз расположен за дверью, которую вы выбрали, составляет 1/3, а за теми дверьми, что остались 2/3. Ведущий далее открывает одну из дверей второй группы. Таким образом он переносит всю оставшуюся вероятность, 2/3, на одну дверь, которую вы не выбрали и которую он не открывал. Логично, что после таких расчетов выгоднее будет сменить свое решение. Но при этом важно помнить, что шанс проиграть все-таки имеется. Порой ведущие лукавят, так как вы изначально можете ткнуть на правильную, призовую дверь, а после от нее добровольно отказаться.

Все мы привыкли к тому, что математика, как точная наука, идет рука об руку со здравым смыслом. Тут дело делают цифры, а не слова, точные формулы, а не туманные размышления, координаты, а не относительные данные. Но ее новый раздел под названием теория вероятностей взорвал весь привычный шаблон. Задачи из этой области, как нам кажется, не вкладываются в рамки здравого смысла и полностью противоречат всем формулам и вычислениям. Предлагаем ниже ознакомиться с другими парадоксами теории вероятности, которые имеют нечто общее с тем, который был описан выше.

Парадокс мальчика и девочки

Задачка, на первый взгляд, абсурдная, но она строго подчиняется математической формуле и имеет два варианта решения. Итак, у некого мужчины двое детей. Один из них наверняка мальчик. Какова вероятность того, что мальчиком окажется второй?

Вариант 1. Мы рассматриваем все комбинации двоих детей в семье:

Девочка/девочка.
Девочка/мальчик.
Мальчик/девочка.
Мальчик/мальчик.

Первая комбинации нам очевидно не подходит, поэтому, исходя из трех последних, мы получаем вероятность в 1/3 того, что вторым ребенком окажется маленький мужчина.

Вариант 2. Если же представить себе такой случай на практике, откинув дроби и формулы, то, исходя из того факта, что на Земле есть только два пола, вероятность того, что вторым ребенком будет мальчик, составляет 1/2.

Этот опыт показывает нам, как лихо можно манипулировать статистикой. Итак, "спящей красавице" вкалывают снотворное и кидают монетку. Если выпадает орел, то ее будят и эксперимент прекращается. Если же выпадает решка, то ее будят, сразу делая второй укол, и она забывает о том, что просыпалась, а после этого вновь пробуждают лишь на второй день. После полного пробуждения "красавице" неизвестно, в какой день она открыла глаза, или какова вероятность того, что монета упала решкой. По первому варианту решения вероятность выпадения решки (или орла) составляет 1/2. Суть второго варианта заключается в том, что, если проводить эксперимент 1000 раз, то в случае с орлом "красавицу" будут будить 500 раз, а с редкой - 1000. Теперь уже вероятность выпадения решки составляет 2/3.

Люди привыкли считать правильным то, что представляется очевидным. Оттого они часто попадают впросак, неверно оценив ситуацию, доверившись своей интуиции и не уделив время для того, чтобы критически осмыслить свой выбор и его последствия.

Монти наглядная иллюстрация неспособности человека взвесить свои шансы на успех в условиях выбора благоприятного исхода при наличии более чем одного неблагоприятного.

Формулировка парадокса Монти Холла

Итак, что же это за зверь такой? О чем, собственно, речь? Самым известным примером парадокса Монти Холла выступает телешоу, популярное в Америке середины прошлого века под названием «Давай заключим пари!». Кстати, именно благодаря ведущему этой викторины впоследствии и получил свое имя парадокс Монти Холла.

Игра состояла в следующем: участнику показывали три двери, с виду совершенно одинаковые. Однако за одной из них игрока ждал дорогой новый автомобиль, а вот за двумя другими в нетерпении томилось по козе. Как это обычно бывает в случае телевикторин, что находилось за выбранной конкурсантом дверью, то и становилось его выигрышем.

В чем же состоит хитрость?

Но не все так просто. После того как выбор был сделан, ведущий, зная, где сокрыт главный приз, открывал одну из оставшихся двух дверей (конечно, ту самую, за которой притаилось парнокопытное), а затем спрашивал игрока, не желает ли тот изменить свое решение.

Парадокс Монти Холла, сформулированный учеными в 1990 году, заключается в том, что, вопреки интуиции, подсказывающей, что нет никакой разницы в принятии на основании вопроса ведущего решения, нужно согласиться изменить свой выбор. Если хочется заполучить отличную машину, естественно.

Как это работает?

Причин, по которым людям не захочется отказываться от своего выбора, несколько. Интуиция и простая (но неверная) логика говорят, что от этого решения ничего не зависит. Более того, далеко не каждому захочется идти на поводу у другого - это же самая настоящая манипуляция, разве не так? Нет, не так. Но если бы все было сразу интуитивно понятно, то и не стали бы называть. Нет ничего странного в том, чтобы сомневаться. Когда данную головоломку впервые опубликовали в одном из крупных журналов, тысячи читателей, в том числе и признанные математики, прислали в редакцию письма, в которых утверждали, что напечатанный в номере ответ не соответствует действительности. Если существование теории вероятностей не было новостью для человека, попавшего на шоу, то возможно, он бы смог разгадать эту задачу. И тем самым увеличить шансы на победу. На самом деле объяснение парадокса Монти Холла сводится к несложной математике.

Объяснение первое, посложнее

Вероятность того, что приз находится за той дверью, которая была избрана изначально - один из трех. Шанс же обнаружить его за одной из двух оставшихся равен двум из трех. Логично, не так ли? Теперь, после того как одна из этих дверей оказывается открытой, и за ней обнаруживается коза, во втором множестве (том, которое соответствует 2/3 шанса на успех) остается только один вариант. Значение этого варианта остается прежним, и оно равно двум из трех. Таким образом, становится очевидно, что, изменив свое решение, игрок увеличит вероятность выигрыша вдвое.

Объяснение номер два, попроще

После такого трактования решения многие все равно настаивают на том, что смысла в этом выборе нет, ведь варианта всего два и один из них точно выигрышный, а другой однозначно ведет к поражению.

Но у теории вероятностей на данную проблему свой взгляд. И это становится еще яснее, если представить себе, что дверей изначально не три, а, скажем, сто. В таком случае возможность угадать, где находится приз, с первого раза составляет всего лишь один к девяносто девяти. Теперь участник делает свой выбор, а Монти исключает девяносто восемь дверей с козами, оставляя лишь две, одну из которых выбрал игрок. Таким образом, вариант, выбранный изначально, сохраняет шансы на выигрыш равные 1/100, а вторая предложенная возможность - 99/100. Выбор должен быть очевиден.

Существуют ли опровержения?

Ответ прост: нет. Ни одного достаточно обоснованного опровержения парадокса Монти Холла не существует. Все "разоблачения", которые можно обнаружить в Сети, сводятся к непониманию принципов математики и логики.

Для каждого, кто хорошо знаком с математическими принципами, неслучайность вероятностей абсолютно очевидна. Не соглашаться с ними может только тот, кто не понимает, как устроена логика. Если все вышесказанное до сих пор звучит неубедительно - обоснование парадокса было проверено и подтверждено на известной передаче «Разрушители легенд», а кому еще поверить, как не им?

Возможность убедиться наглядно

Хорошо, пусть все это звучит убедительно. Но ведь это только теория, можно ли как-то посмотреть на работу этого принципа в действии, а не только на словах? Во-первых, живых людей никто не отменял. Найдите напарника, который возьмет на себя роль ведущего и поможет разыграть вышеописанный алгоритм в реальности. Для удобства можно взять коробки, ящики или вовсе рисовать на бумаге. Повторив процесс несколько десятков раз, сравните число выигрышей в случае смены первоначального выбора с тем, сколько побед принесло упрямство, и все станет ясно. А можно поступить еще проще и воспользоваться Интернетом. В Сети существует немало симуляторов парадокса Монти Холла, в них можно проверить все самому и без лишнего реквизита.

Какой толк от этих знаний?

Может показаться, что это просто очередная головоломка, призванная напрячь мозги, и служит она лишь развлекательным целям. Однако свое практическое применение парадокс Монти Холла находит в первую очередь в азартных играх и различных тотализаторах. Тем, кто имеет большой опыт, прекрасно известны распространенные стратегии увеличения шансов на обнаружение валуйной ставки (от английского слова value, что буквально означает "ценность" - такой прогноз, который сбудется с большей вероятностью, чем это было оценено букмекерами). И одна из таких стратегий напрямую задействует парадокс Монти Холла.

Пример в работе с тотализатором

Спортивный пример будет мало отличаться от классического. Допустим, есть три команды из первого дивизиона. В три ближайших дня каждая из этих команд должна сыграть по одному решающему матчу. Та из них, что по итогам матча наберет больше очков, чем две другие, останется в первом дивизионе, остальные же будут вынуждены его покинуть. Предложение букмекера простое: нужно поставить на сохранение позиций одного из этих футбольных клубов, при этом коэффициенты ставок равны.

Для удобства принимаются такие условия, при которых соперники участвующих в выборе клубов примерно равны по силе. Таким образом, однозначно определить фаворита до начала игр не получится.

Тут нужно вспомнить историю про коз и автомобиль. Каждая из команд имеет шанс остаться на своем месте в одном случае из трех. Выбирается любая из них, на нее делается ставка. Пусть это будет "Балтика". По результатам первого дня один из клубов проигрывает, а двоим сыграть еще только предстоит. Это та самая "Балтика" и, скажем, "Шинник".

Большинство сохранит свою первоначальную ставку - в первом дивизионе останется "Балтика". Но следует помнить, что ее шансы остались прежними, а вот шансы "Шинника" удвоились. Поэтому логично сделать еще одну ставку, более крупную, на победу "Шинника".

Наступает следующий день, и матч с участием "Балтики" проходит вничью. Следующим играет "Шинник", и его игра заканчивается победой со счетом 3:0. Выходит, что именно он останется в первом дивизионе. Поэтому, хоть первая ставка на "Балтику" и теряется, но эту потерю перекрывает прибыль на новой ставке на "Шинник".

Можно предположить, и большинство так и поступит, что выигрыш "Шинника" - всего лишь случайность. На самом же деле принимать вероятность за случайность - крупнейшая ошибка для человека, участвующего в спортивных тотализаторах. Ведь профессионал всегда скажет, что любая вероятность выражается прежде всего в четких математических закономерностях. Если знать основы этого подхода и все связанные с ним нюансы, то риски потери денег сведутся к минимуму.

Польза в прогнозировании экономических процессов

Итак, в ставках на спорт парадокс Монти Холла знать просто необходимо. Но одними тотализаторами область его применения не ограничивается. Теория вероятностей всегда тесно связана со статистикой, оттого в политике и экономике понимание принципов парадокса не менее важно.

В условиях экономической неопределенности, с которой часто имеют дело аналитики, нужно помнить следующий проистекающий из решения задачи вывод: не обязательно точно знать единственно верное решение. Шансы на удачный прогноз всегда повышаются, если знать, чего точно не произойдет. Собственно, это и есть самый полезный вывод из парадокса Монти Холла.

Когда мир стоит на пороге экономических потрясений, политики всегда стараются угадать нужный вариант действий, чтобы максимально снизить последствия кризиса. Возвращаясь к предыдущим примерам, в сфере экономики задачу можно описать так: перед руководителями стран есть три двери. Одна ведет к гиперинфляции, вторая к дефляции, а третья - к заветному умеренному росту экономики. Но как нащупать верный ответ?

Политики утверждают, что те или иные их действия приведут к увеличению рабочих мест и росту экономики. Но ведущие экономисты, опытные люди, среди которых даже лауреаты Нобелевской премии, наглядно демонстрируют им, что один из этих вариантов точно не приведет к желаемому результату. Станут ли после этого политики менять свой выбор? Крайне маловероятно, так как в этом отношении они мало чем отличаются от тех же участников телешоу. Поэтому вероятность ошибки только увеличится при увеличении числа советчиков.

Исчерпывается ли этим информация по теме?

На самом деле до сих пор здесь рассматривался только "классический" вариант парадокса, то есть та ситуация, при которой ведущий точно знает, за какой из дверей находится приз, и открывает только дверь с козой. Но существуют и другие механизмы поведения ведущего, в зависимости от которых принцип работы алгоритма и результат его выполнения будут отличаться.

Влияние поведения ведущего на парадокс

Итак, что же может сделать ведущий, чтобы изменить ход событий? Допустим разные варианты.

Так называемый "Дьявольский Монти" - ситуация, в которой ведущий всегда предложит игроку поменять свой выбор при условии, что он был изначально верным. В этом случае изменение решения всегда приведет к поражению.

Напротив, "Ангельским Монти" называется похожий принцип поведения, но в том случае, если выбор игрока был изначально неверным. Логично, что в такой ситуации изменение решения приведет к победе.

Если же ведущий открывает двери наугад, не имея представления о том, что скрыто за каждой из них, то шансы выиграть всегда будут равны пятидесяти процентам. При этом за открытой ведущим дверью может оказаться и автомобиль.

Ведущий может 100 % открыть дверь с козой, если игрок выбрал автомобиль, и с 50 % вероятностью в случае, если игрок выбрал козу. При таком алгоритме действий, если игрок изменит выбор, то всегда будет в выигрыше в одном случае из двух.

Когда игра повторяется вновь и вновь, а вероятность того, что выигрышной окажется определенная дверь, всегда произвольна (так же как и то, какую дверь откроет ведущий, при этом ему известно, где скрывается автомобиль, и он всегда открывает дверь с козой и предлагает изменить выбор) - шанс победить всегда будет равен одному из трех. Это называется равновесием Нэша.

Равно как и в таком же случае, но при условии, что ведущий не обязан открывать одну из дверей вовсе — вероятность победы будет все так же равна 1/3.

В то время как классическая схема проверяется довольно легко, эксперименты с другими возможными алгоритмами поведения ведущего произвести на практике намного сложнее. Но при должной дотошности экспериментатора возможно и такое.

И все же, к чему все это?

Понимание механизмов действий любых логических парадоксов очень полезно для человека, его мозга и осознания того, как на самом деле может быть устроен мир, насколько его устройство может отличаться от привычного представления индивида о нем.

Чем больше человек знает о том, как работает то, что окружает его в повседневной жизни и о чем он вовсе не привык задумываться, тем лучше работает его сознание, и тем эффективнее он может быть в своих поступках и устремлениях.

Загадка Монти Холла

В поисках автомобиля, игрок выбирает дверь 1. Тогда ведущий открывает 3-ю дверь, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свой выбор на дверь 2. Стоит ли ему это делать?

Парадо́кс Мо́нти Хо́лла - одна из известных задач теории вероятностей , решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Задача формулируется как описание гипотетической игры , основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в году в журнале Parade Magazine , звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль , за двумя другими дверями - козы . Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Хотя данная формулировка задачи является наиболее известной, она несколько проблематична, поскольку оставляет некоторые важные условия задачи неопределенными. Ниже приводится более полная формулировка.

При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: после того, как ведущий открыл дверь, за которой находится коза, автомобиль может быть только за одной из двух оставшихся дверей. Поскольку игрок не может получить никакой дополнительной информации о том, за какой дверью находится автомобиль, то вероятность нахождения автомобиля за каждой из дверей одинакова, и изменение первоначального выбора двери не дает игроку никаких преимуществ. Однако такой ход рассуждений неверен. Если ведущий всегда знает, за какой дверью что находится, всегда открывает ту из оставшихся дверей, за которой находится коза, и всегда предлагает игроку изменить свой выбор, то вероятность того, что автомобиль находится за выбранной игроком дверью, равна 1/3, и, соответственно, вероятность того, что автомобиль находится за оставшейся дверью, равна 2/3. Таким образом, изменение первоначального выбора увеличивает шансы игрока выиграть автомобиль в 2 раза. Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей , поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла .

Задача и решение

Более точная формулировка задачи

Наиболее распространённая формулировка задачи, опубликованная в журнале Parade , к сожалению, не вполне точна, поскольку оставляет неопределёнными несколько существенных условий. Более полная и точная формулировка задачи выглядит примерно так:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вы находитесь перед тремя дверями. Ведущий, о котором известно, что он честен , поместил за одной из дверей автомобиль, а за двумя другими дверями - по козе. У вас нет никакой информации о том, что за какой дверью находится. Ведущий говорит вам: «Сначала вы должны выбрать одну из дверей. После этого я открою одну из оставшихся дверей, за которой находится коза. Затем я предложу вам изменить свой первоначальный выбор и выбрать оставшуюся закрытую дверь вместо той, которую вы выбрали вначале. Вы можете последовать моему совету и выбрать другую дверь, либо подтвердить свой первоначальный выбор. После этого я открою дверь, которую вы выбрали, и вы выиграете то, что находится за этой дверью.»

Вы выбираете дверь номер 3. Ведущий открывает дверь номер 1 и показывает, что за ней находится коза. Затем ведущий предлагает вам выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы последуете его совету?

В данной задаче также неявно предполагается, что открытие ведущим двери с козой не несёт никакой информации о том, что находится за дверью, которую сначала выбрал игрок. Наиболее простой способ добиться этого - потребовать, чтобы в случае, когда автомобиль находится за дверью, выбранной игроком, ведущий открывал одну из оставшихся дверей с козами обязательно случайным образом.

Вначале вероятность того, что участник попадёт на автомобиль равна 1/3. После того как ведущий открывает дверь, большинство людей считают что она должна быть равна 1/2, но это не так. Ведущий знает, где находится автомобиль, и поэтому не открывает дверь с автомобилем. И вероятность была бы 1/2 только тогда, когда ведущий бы не знал положение призов, и тогда бы открытие двери ничего бы не меняло.

Наиболее существенным дополнением по сравнению с приведённой выше формулировкой здесь является то, что игрок до начала игры знает, что после его выбора ведущий в любом случае откроет дверь с козой и в любом случае предложит игроку изменить свой выбор, то есть совершение данных действий ведущим не несёт никакой информации о том, правильным или неправильным был первоначальный выбор игрока.

Решение

Правильным ответом к этой задаче является следующее: да, шансы выиграть автомобиль увеличиваются в два раза, если игрок будет следовать совету ведущего и изменит свой первоначальный выбор.

Наиболее простое объяснение этого ответа состоит в следующем соображении. Для того, чтобы выиграть автомобиль без изменения выбора, игрок должен сразу угадать дверь, за которой стоит автомобиль. Вероятность этого равна 1/3. Если же игрок первоначально попадает на дверь, за которой стоит коза (а вероятность этого события 2/3, поскольку есть две козы и лишь один автомобиль), то он может однозначно выиграть автомобиль, изменив своё решение, так как остаются автомобиль и одна коза, а дверь с козой ведущий уже открыл.

Таким образом, без смены выбора игрок остаётся при своей первоначальной вероятности выигрыша 1/3, а при смене первоначального выбора, игрок оборачивает себе на пользу в два раза большую оставшуюся вероятность того, что в начале он не угадал.

Также интуитивно понятное объяснение можно сделать, поменяв местами два события. Первое событие – принятие решения игроком о смене двери, второе событие – открытие лишней двери. Это допустимо, т.к. открытие лишней двери не дает игроку никакой новой информации (док-во см. в этой статье).

Тогда задачу можно свести к следующей формулировке. В первый момент времени игрок делит двери на две группы: в первой группе одна дверь (та что он выбрал), во второй группе две оставшиеся двери. В следующий момент времени игрок делает выбор между группами (sic!). Очевидно, что для первой группы вероятность выигрыша 1/3, для второй группы 2/3. Игрок выбирает вторую группу. Во второй группе он может открыть обе двери (sic!). Одну открывает ведущий, а вторую сам игрок.

Ключи к пониманию

Несмотря на простоту объяснения этого явления, множество людей интуитивно полагают, что вероятность выигрыша не меняется при изменении игроком своего выбора. Обычно невозможность изменения вероятности выигрыша мотивируется тем, что при вычислении вероятности происшедшие в прошлом события не имеют значения, как это происходит, например, при подбрасывании монетки - вероятность выпадения орла или решки не зависит от того, сколько раз до этого выпал орёл или решка. Поэтому многие считают, что в момент выбора игроком одной двери из двух уже не имеет значения, что в прошлом имел место выбор одной двери из трёх, и вероятность выиграть автомобиль одинаковая как при изменении выбора, так и при оставлении первоначального выбора.

Однако, хотя такие соображения верны в случае подбрасывания монетки, они верны не для всех игр. В данном случае должно быть проигнорировано открытие двери ведущим . Игрок по существу выбирает между той одной дверью, которую он выбрал сначала, и остальными двумя - открытие одной из них служит лишь для отвлечения внимания игрока. Известно, что имеется один автомобиль и две козы. Первоначальный выбор игроком одной из дверей делит возможные исходы игры на две группы: либо автомобиль находится за дверью, выбранной игроком (вероятность этого 1/3), либо за одной из двух других (вероятность этого 2/3). При этом уже известно, что в любом случае за одной из двух оставшихся дверей находится коза, и, открывая эту дверь, ведущий не даёт игроку никакой дополнительной информации о том, что находится за выбранной игроком дверью. Таким образом, открытие ведущим двери с козой не меняет вероятности (2/3) того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей. А поскольку уже открытую дверь игрок не выберет, то вся эта вероятность оказывается сосредоточена в том событии, что автомобиль находится за оставшейся закрытой дверью.

Более интуитивно понятное рассуждение: Пусть игрок действует по стратегии «изменить выбор». Тогда проиграет он только в том случае, если изначально выберет автомобиль. А вероятность этого - одна треть. Следовательно, вероятность выигрыша: 1-1/3=2/3. Если же игрок действует по стратегии «не менять выбор», то он выиграет тогда и только тогда, когда изначально выбрал автомобиль. А вероятность этого - одна треть.

Другая частая причина трудного понимания решения этой задачи состоит в том, что нередко люди представляют себе немного другую игру - когда заранее неизвестно, будет ли ведущий открывать дверь с козой и предлагать игроку изменить свой выбор. В этом случае игрок не знает тактики ведущего (то есть, по существу, не знает всех правил игры) и не может сделать оптимальный выбор. Например, если ведущий будет предлагать смену варианта лишь в случае, когда игрок изначально выбрал дверь с автомобилем, то, очевидно, игрок должен всегда оставлять первоначальное решение без изменения. Именно поэтому важно иметь в виду точную формулировку задачи Монти Холла.(Хотя, даже при таком варианте, правильной стратегией будет смена выбора двери (при условии, что игрок не знает «хитрости» ведущего). Так как в этом случае проигрыш будет означать реализацию вероятности 1/3.)

Увеличение количества дверей

Для того, чтобы легче понять суть происходящего, можно рассмотреть случай, когда игрок видит перед собой не три двери, а, например, сто. При этом за одной из дверей находится автомобиль, а за остальными 99 - козы. Игрок выбирает одну из дверей, при этом в 99 % случаев он выберет дверь с козой, а шансы сразу выбрать дверь с автомобилем очень малы - они составляют 1 %. После этого ведущий открывает 98 дверей с козами и предлагает игроку выбрать оставшуюся дверь. При этом в 99 % случаев автомобиль будет находиться за этой оставшейся дверью, поскольку шансы на то, что игрок сразу выбрал правильную дверь, очень малы. Понятно, что в этой ситуации рационально мыслящий игрок должен всегда принимать предложение ведущего.

При рассмотрении увеличенного количества дверей нередко возникает вопрос: если в оригинальной задаче ведущий открывает одну дверь из трёх (то есть 1/3 от общего количества дверей), то почему нужно предполагать, что в случае 100 дверей ведущий откроет 98 дверей с козами, а не 33 ? Это соображение является обычно одной из существенных причин того, почему парадокс Монти Холла входит в противоречие с интуитивным восприятием ситуации. Предполагать открытие 98 дверей будет правильным потому, что существенным условием задачи является наличие только одного альтернативного варианта выбора для игрока, который и предлагается ведущим. Поэтому для того, чтобы задачи были аналогичными, в случае 4 дверей ведущий должен открывать 2 двери, в случае 5 дверей - 3, и так далее, чтобы всегда оставалась одна неоткрытая дверь кроме той, которую изначально выбрал игрок. Если ведущий будет открывать меньшее количество дверей, то задача уже не будет аналогична оригинальной задаче Монти Холла.

Следует отметить, что в случае множества дверей, даже если ведущий будет оставлять закрытой не одну дверь, а несколько, и предлагать игроку выбрать одну из них, то при смене первоначального выбора шансы игрока выиграть автомобиль всё равно будут увеличиваться, хотя и не столь значительно. Например, рассмотрим ситуацию, когда игрок выбирает одну дверь из ста, и затем ведущий открывает только одну дверь из оставшихся, предлагая игроку изменить свой выбор. При этом шансы на то, что автомобиль находится за первоначально выбранной игроком дверью, остаются прежними - 1/100, а для остальных дверей шансы изменяются: суммарная вероятность того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей (99/100) распределяется теперь не на 99 дверей, а на 98. Поэтому вероятность нахождения автомобиля за каждой из этих дверей будет равна не 1/100, а 99/9800. Прирост вероятности составит примерно 0.01 %.

Дерево принятия решений

Дерево возможных решений игрока и ведущего, показывающее вероятность каждого исхода

Более формально сценарий игры может быть описан c помощью дерева принятия решений .

В первых двух случаях, когда игрок сначала выбрал дверь, за которой находится коза, изменение выбора приводит к выигрышу. В двух последних случаях, когда игрок сначала выбрал дверь с автомобилем, изменение выбора приводит к проигрышу.

Суммарная вероятность того, что изменение выбора приведёт к выигрышу, эквивалентна сумме вероятностей первых двух исходов, то есть . Соответственно, вероятность того, что отказ от изменения выбора приведёт к выигрышу, равна .

Существует простой способ убедиться в том, что изменение первоначального выбора приводит к выигрышу в двух случаях из трёх в среднем. Для этого можно сымитировать игру, описанную в задаче Монти Холла, с помощью игральных карт . Один человек (раздающий карты) при этом играет роль ведущего Монти Холла, а второй - роль игрока. Для игры берутся три карты, из которых одна изображает дверь с автомобилем (например, туз пик), а две других, одинаковых (например, две красные двойки) - двери с козами.

Ведущий выкладывает три карты рубашкой вверх, предлагая игроку взять одну из карт. После того, как игрок выберет карту, ведущий смотрит в две оставшиеся карты и открывает красную двойку. После этого открываются карты, оставшиеся у игрока и у ведущего, и если выбранная игроком карта - туз пик, то записывается очко в пользу варианта, когда игрок не меняет свой выбор, а если у игрока оказывается красная двойка, а у ведущего остаётся туз пик, то записывается очко в пользу варианта, когда игрок меняет свой выбор. Если провести множество таких раундов игры, то соотношение между очками в пользу двух вариантов достаточно хорошо отразит соотношение вероятностей этих вариантов. При этом оказывается, что число очков в пользу смены первоначального выбора примерно в два раза больше.

Такой эксперимент позволяет не только убедиться в том, что вероятность выигрыша при изменении выбора в два раза больше, но и хорошо иллюстрирует, почему так происходит. В тот момент, когда игрок выбрал себе карту, уже определено , находится ли в его руке туз пик или нет. Дальнейшее открытие ведущим одной из своих карт не меняет ситуации - игрок уже держит карту в руке, и она остаётся там независимо от действий ведущего. Вероятность же для игрока выбрать туз пик из трёх карт равна, очевидно, 1/3, и, таким образом, вероятность его не выбрать (и тогда игрок выиграет, если изменит первоначальный выбор) равна 2/3.

Доказательство с помощью таблицы

При проведении большого числа экспериментов машина должна обнаруживаться за каждой из дверей одинаковое количество раз, то есть очень близко к 1/3 от общего количества.

дверь 1	дверь 2	дверь 3
Выбор Машина	Коза	Открыта коза
Выбор	Машина	Открыта коза
Выбор	Открыта коза	Машина

По законам распределения вероятности вы выберете неправильную дверь в 2 случаях из 3. Это означает, что в 2 из 3 случаев вы получите машину просто изменив решение. Таблица показывает, что вы, скорее всего, ошибётесь при первом выборе и в этом случае вы попадаете в две другие строки таблицы. А здесь уже вам покажут, какую дверь нужно выбрать.

Проблема трёх заключенных

Другая формулировка парадокса была представлена Мартином Гарднером в колонке Математические игры , которую он вёл в журнале Scientific American , в .

Трое заключенных A , B и C приговорены к смертной казни, однако известно что один будет помилован. Приговор запрещает сообщать преступнику, будет ли он помилован или нет. A уговаривает охранника сказать, кого из двух других заключенных казнят. Так как вопрос не касается A , охранник решается сообщить, что казнят B . Как изменились вероятности казни A и C ? Или, проводя аналогию с проблемой Монти Холла, следует ли A поменяться местами с С , если у него есть такая возможность?

Ответ

В таблице приведены вероятности того, кто из заключенных будет помилован, до и после сообщения охранника.

В декабре 1963 года на американском телеканале NBC впервые вышла программа Let’s Make a Deal («Заключим сделку!»), в которой участники, выбранные из зрителей в студии, торговались друг с другом и с ведущим, играли в небольшие игры или просто угадывали ответ на вопрос. В конце передачи участники могли сыграть в «сделку дня». Перед ними было три двери, про которые было известно, что за одной из них - Главный Приз (например, автомобиль), а за двумя другими - менее ценные или вовсе абсурдные подарки (например, живые козы). После того как игрок делал свой выбор, ведущий программы Монти Холл (Monty Hall) открывал одну из двух оставшихся дверей, показывая, что за ней Приза нет и давая участнику порадоваться тому, что он сохраняет шансы на выигрыш.

В 1975 году учёный из Калифорнийского университета Стив Селвин (Steve Selvin) задался вопросом о том, что будет, если в этот момент, после открытия двери без Приза, предложить участнику поменять свой выбор. Изменятся ли в этом случае шансы игрока получить Приз, а если да, то в какую сторону? Он отправил соответствующий вопрос в виде задачи в журнал The American Statistician («Американский статистик»), а также - самому Монти Холлу, который дал на него довольно любопытный ответ. Несмотря на этот ответ (а может, и благодаря ему) задача получила распространение под именем «задача Монти Холла».

Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:

«Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?»

После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу.

Наиболее популярной является задача с дополнительным условием - участнику игры заранее известны следующие правила:

автомобиль равновероятно размещён за любой из 3 дверей;
ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

Подсказка

Попробуйте рассмотреть людей, выбравших в одном и том же случае (то есть когда Приз находится, например, за дверью №1) разные двери. Кто будет в выигрыше от изменения своего выбора, а кто - нет?

Решение

Как и было предложено в подсказке, рассмотрим людей, сделавших разный выбор. Предположим, что Приз находится за дверью №1, а за дверями №2 и №3 - козы. Пусть у нас есть шесть человек, причём каждую дверь выбрали по два человека, и из каждой пары один впоследствии изменил решение, а другой - нет.

Заметим, что выбравшим дверь №1 Ведущий откроет одну из двух дверей на свой вкус, при этом, независимо от этого, Автомобиль получит тот, кто не изменит своего выбора, изменивший же свой первоначальный выбор останется без Приза. Теперь посмотрим на выбравших двери №2 и №3. Поскольку за дверью №1 стоит Автомобиль, открыть её Ведущий не может, что не оставляет ему выбора - он открывает им двери №3 и №2 соответственно. При этом изменивший решение в каждой паре в результате выберет Приз, а не изменивший - останется ни с чем. Таким образом, из троих людей, изменивших решения, двое получат Приз, а один - козу, в то время как из троих, оставивших свой изначальный выбор неизменным, Приз достанется лишь одному.

Необходимо отметить, что если бы Автомобиль оказался за дверью №2 или №3, результат был бы тем же, изменились бы лишь конкретные победители. Таким образом, предполагая, что изначально каждая дверь выбирается с равной вероятностью, мы получаем, что меняющие свой выбор выигрывают Приз в два раза чаще, то есть вероятность выигрыша в этом случае больше.

Посмотрим на эту задачу с точки зрения математической теории вероятностей. Будем предполагать, что вероятность изначального выбора каждой из дверей одинакова, равно как и вероятность нахождения за каждой из дверей Автомобиля. Кроме того, полезно сделать оговорку, что Ведущий, когда он может открыть две двери, выбирает каждую из них с равной вероятностью. Тогда окажется, что после первого принятия решения вероятность того, что Приз за выбранной дверью, равна 1/3, в то время как вероятность того, что он - за одной из двух других дверей, равна 2/3. При этом, после того как Ведущий открыл одну из двух «невыбранных» дверей, вся вероятность 2/3 приходится лишь на одну из оставшихся дверей, создавая тем самым основание для смены решения, которая увеличит вероятность выигрыша в 2 раза. Что, конечно, его нисколько не гарантирует в одном конкретном случае, но приведёт к более удачным результатам в случае многократного повторения эксперимента.

Послесловие

Задача Монти Холла - это не первая из известных формулировок данной проблемы. В частности, в 1959 году Мартин Гарднер опубликовал в журнале Scientific American аналогичную задачу «о трёх узниках» (Three Prisoners problem) со следующей формулировкой: «Из трёх узников одного должны помиловать, а двоих - казнить. Узник A уговаривает стражника назвать ему имя того из двух других, которого казнят (любого, если казнят обоих), после чего, получив имя B, считает, что вероятность его собственного спасения стала не 1/3, а 1/2. В то же время, узник C утверждает, что это вероятность его спасения стала 2/3, а для A ничего не изменилось. Кто из них прав?»

Однако и Гарднер был не первым, так как ещё в 1889 году в своём «Исчислении вероятностей» французский математик Жозеф Бертран (не путать с англичанином Бертраном Расселом!) предлагает похожую задачу (см. Bertrand"s box paradox): «Есть три ящика, в каждом из которых лежат две монеты: две золотых в первом, две серебряных во втором, и две разных - в третьем. Из наугад выбранного ящика наугад вытащили монету, которая оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся монета в ящике - золотая?»

Если понять решения всех трёх задач, легко заметить схожесть их идей; математически же все их объединяет понятие условной вероятности, то есть вероятности события A, если известно, что событие B произошло. Простейший пример: вероятность того, что на обычном игральном кубике выпала единица, равна 1/6; однако если известно, что выпавшее число - нечётно, то вероятность того, что это - единица, будет уже 1/3. Задача Монти Холла, как и две другие приведённые задачи, показывают, что обращаться с условными вероятностями нужно аккуратно.

Эти задачи также нередко называют парадоксами: парадокс Монти Холла, парадокс ящиков Бертрана (последний не следует путать с настоящим парадоксом Бертрана, приведённым в той же книге, который доказывал неоднозначность существовавшего на тот момент понятия вероятности) - что подразумевает некоторое противоречие (например, в «парадоксе Лжеца» фраза «это утверждение - ложно» противоречит закону исключённого третьего). В данном случае, однако, никакого противоречия со строгими утверждениями нет. Зато есть явное противоречие с «общественным мнением» или просто «очевидным решением» задачи. Действительно, большинство людей, глядя на задачу, полагают, что после открытия одной из дверей вероятность нахождения Приза за любой из двух оставшихся закрытыми равна 1/2. Тем самым они утверждают, что нет разницы, соглашаться или не соглашаться изменить своё решение. Более того, многие люди с трудом осознают ответ, отличный от этого, даже после того, как им было рассказано подробное решение.

Ответ Монти Холла Стиву Селвину

Г-ну Стиву Селвину,
доценту биостатистики,
Калифорнийский университет, Беркли.

Уважаемый Стив,

Благодарю Вас за то, что прислали мне задачу из «Американского статистика».

Хотя я и не изучал статистику в университете, я знаю, что цифры всегда можно использовать в свою пользу, если бы я хотел ими манипулировать. Ваши рассуждения не учитывают одного существенного обстоятельства: после того как первый ящик оказывается пустым, участник уже не может поменять свой выбор. Так что вероятности остаются теми же: один из трёх, не так ли? Ну и, конечно, после того как один из ящиков оказывается пустым, шансы не становятся 50 на 50, а остаются теми же - один из трёх. Участнику только кажется, что, избавившись от одного ящика, он получает больше шансов. Вовсе нет. Два к одному против него, как было, так и осталось. И если Вы вдруг придёте ко мне на шоу, правила останутся теми же и для Вас: никакой смены ящиков после выбора.

Решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

Задача формулируется как описание игры , основанной на американской телеигре «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine , звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль , за двумя другими дверями - козы . Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас - не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.

Разбор

Для стратегии выигрыша важно следующее: если вы меняете выбор двери после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь. Это произойдёт с вероятностью 2 ⁄ 3 , так как изначально выбрать проигрышную дверь можно 2 способами из 3.

Но часто при решении этой задачи рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны ½ , вне зависимости от первоначального выбора. Но это неверно: хотя возможностей выбора действительно остаётся две, эти возможности (с учётом предыстории) не являются равновероятными! Это так, поскольку изначально все двери имели равные шансы быть выигрышными, но затем имели разные вероятности быть исключёнными.

Для большинства людей этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации, и благодаря возникающему несоответствию между логическим выводом и ответом, к которому склоняет интуитивное мнение, задача и называется парадоксом Монти Холла .

Еще более наглядной ситуация с дверями становится, если представить что дверей не 3 а, скажем 1000, и после выбора игрока ведущий убирает 998 лишних, оставляя 2 двери: ту, которую выбрал игрок и еще одну. Представляется более очевидным, что вероятности нахождения приза за этими дверьми различны, и не равны ½ . Гораздо большая вероятность его нахождения, а именно 0.999, будет иметь место при смене решения и выборе двери отобранной из 999. В случае с 3 дверьми логика сохраняется, но вероятность выигрыша при смене решения ниже, а именно 2 ⁄ 3 .

Другой способ рассуждения - замена условия эквивалентным. Представим, что вместо осуществления игроком первоначального выбора (пусть это будет всегда дверь № 1) и последующего открытия ведущим двери с козой среди оставшихся (то есть всегда среди № 2 и № 3), представим, что игроку нужно угадать дверь с первой попытки, но ему предварительно сообщается, что за дверью № 1 автомобиль может быть с исходной вероятностью (33 %), а среди оставшихся дверей указывается за какой из дверей автомобиля точно нет (0 %). Соответственно, на последнюю дверь всегда будет приходиться 67 %, и стратегия её выбора предпочтительна.

Другое поведение ведущего

Классическая версия парадокса Монти Холла утверждает, что ведущий обязательно предложит игроку сменить дверь, независимо от того, выбрал тот машину или нет. Но возможно и более сложное поведение ведущего. В этой таблице кратко описаны несколько вариантов поведения.

Возможное поведение ведущего
Поведение ведущего	Результат
«Адский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь правильная .	Смена всегда даст козу.
«Ангельский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь неправильная .	Смена всегда даст автомобиль.
«Несведущий Монти» или «Монти Бух»: ведущий нечаянно падает, открывается дверь, и оказывается, что за ней не машина. Другими словами, ведущий сам не знает, что за дверями, открывает дверь полностью наугад, и только случайно за ней не оказалось автомобиля .	Смена даёт выигрыш в ½ случаев. Именно так устроено американское шоу «Deal or No Deal» - правда, случайную дверь открывает сам игрок, и если за ней нет автомобиля, ведущий предлагает сменить.
Ведущий выбирает одну из коз и открывает её, если игрок выбрал другую дверь.	Смена даёт выигрыш в ½ случаев.
Ведущий всегда открывает козу. Если выбран автомобиль, левая коза открывается с вероятностью p и правая с вероятностью q =1−p .	Если ведущий открыл левую дверь, смена даёт выигрыш с вероятностью 1 1 + p {\displaystyle {\frac {1}{1+p}}} . Если правую - 1 1 + q {\displaystyle {\frac {1}{1+q}}} . Однако испытуемый никак не может повлиять на вероятность того, что будет открыта правая дверь - независимо от его выбора это произойдёт с вероятностью 1 + q 3 {\displaystyle {\frac {1+q}{3}}} .
То же самое, p =q = ½ (классический случай).	Смена даёт выигрыш с вероятностью 2 ⁄ 3 .
То же самое, p =1, q =0 («бессильный Монти» - усталый ведущий стоит у левой двери и открывает ту козу, которая ближе).	Если ведущий открыл правую дверь, смена даёт гарантированный выигрыш. Если левую - вероятность ½ .
Ведущий открывает козу всегда, если выбран автомобиль, и с вероятностью ½ в противном случае.	Смена даёт выигрыш с вероятностью ½ .
Общий случай: игра повторяется многократно, вероятность спрятать автомобиль за той или иной дверью, а также открыть ту или иную дверь произвольная, однако ведущий знает, где автомобиль, и всегда предлагает смену, открывая одну из коз.	Равновесие Нэша : ведущему выгоднее всего именно парадокс Монти Холла в классическом виде (вероятность выигрыша 2 ⁄ 3 ). Машина прячется за любой из дверей с вероятностью ⅓ ; если есть выбор, открываем любую козу наугад.
То же самое, но ведущий может не открывать дверь вообще.	Равновесие Нэша : ведущему выгодно не открывать дверь, вероятность выигрыша ⅓ .

См. также

Примечания

Tierney, John (July 21, 1991), "Behind Monty Hall"s Doors: Puzzle, Debate and Answer? ", The New York Times , . Проверено 18 января 2008.