Главная › Пособия и документы › Коэффициент автокорреляции, его свойства. Автокорреляционная функция, коррелограмма, их анализ

Коэффициент автокорреляции, его свойства. Автокорреляционная функция, коррелограмма, их анализ

Временной ряд является нестационарным , если он содержит такие систематические составляющие как тренд и цикличность.

Нестационарные временные ряды характеризуются тем, что значения каждого последующего уровня временного ряда корреляционно зависят от предыдущих значений.

Автокорреляцией уровней временного ряда называется корреляционная зависимость между настоящими и прошлыми значениями уровней данного ряда.

Лагом l называется величина сдвига между рядами наблюдений.

Лаг временного ряда определяет порядок коэффициента автокорреляции. Например, если уровни временного ряда x t и x t–1 корреляционно зависимы, то величина временного лага равна единице. Следовательно, данная корреляционная зависимость определяется коэффициентом автокорреляции первого порядка между рядами наблюдений x 1 …x n–1 и x 2 …x n . . Если лаг между рядами наблюдений равен двум, то данная корреляционная зависимость определяется коэффициентом автокорреляции второго порядка и т. д.

При увеличении величины лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на единицу. Поэтому максимальный порядок коэффициента автокорреляции рекомендуется брать равным n/4 , где n – количество уровней временного ряда.

Автокорреляция между уровнями временного ряда оценивается с помощью выборочного коэффициента автокорреляции, который рассчитывается по формуле:

где x t *x t-l – среднее арифметическое произведения двух рядов наблюдений, взятых с лагом l :

x t x 1+l ,x 2+l ,…,x n :

x t-l – значение среднего уровня ряда x 1 ,x 2 ,…,x n–l :

G(x t), G(x t–l) – средние квадратические отклонения, рассчитанные для рядов наблюдений x 1+l ,x 2+l ,…,x n и x 1 ,x 2 ,…,x n–l соответственно.

Структуру временного ряда можно определить, рассчитав несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. В результате данных вычислений можно выявить лаг l , для которого значение выборочного коэффициента автокорреляции r l является наибольшим.

Анализ структуры временного ряда с помощью коэффициентов автокорреляции стоится на следующих правилах:

1) исследуемый временной ряд содержит только трендовую компоненту, если наибольшим является значение коэффициента автокорреляции первого порядка r l–1 ;

2) исследуемый временной ряд содержит трендовую компоненту и колебания периодом l, если наибольшим является коэффициент автокорреляции порядка l. Эти колебания могут быть как циклическими, так и сезонными;

3) если ни один из коэффициентов автокорреляции r l (l =1,L ) не окажется значимым, то делается один из двух возможных выводов:

а) данный временной ряд не содержит трендовой и циклической компонент, а его колебания вызваны воздействием случайной компоненты, т. е. ряд представляет собой модель случайного тренда;

б) данный временной ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой необходимо провести его дополнительный анализ.

Графическим способом анализа структуры временного ряда является построение графиков автокорреляционной и частной автокорреляционной функций.

Автокорреляционной функцией называется функция оценки коэффициента автокорреляции в зависимости от величины временного лага между исследуемыми рядами.

Графиком автокорреляционной функции является коррелограмма.

Частная автокорреляционная функция отличается от автокорреляционной функции тем, что при её построении устраняется корреляционная зависимость между наблюдениями внутри лагов.

Если временной ряд содержит только случайную компоненту, то уровни временного ряда будут независимы друг от друга. Если же временной ряд содержит тенденцию или циклические колебания, то значения каждого последующего уровня зависят от предыдущих.

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Автокорреляцию можно измерить количественно. Для этого рассчитывают линейный коэффициент корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого же ряда, сдвинутыми на один или несколько шагов во времени.

Например, разумно предположить, что доходы домохозяйства в текущем году зависят от доходов домохозяйства предыдущих лет. Определим коэффициент корреляции между ними. Известна рабочая формула линейного коэффициента корреляции

В качестве фактора мы рассмотрим доходы предшествующего периода (у t-1 ), а в качестве результата – доходы текущего периода (у t ), тогда приведенная выше формула примет вид

Средний уровень по исходному ряду динамики, определенный без учета первого уровня,

а - это средний уровень по ряду динамики, сдвинутому на одну дату.

Расстояние между уровнями временного ряда, для которых определяется коэффициент корреляции, называется лагом. Приведенная выше формула определяет величину автокорреляции между соседними уровнями, то есть при лаге = 1, поэтому этот коэффициент называют коэффициентом автокорреляции первого порядка. Допустим, r 1 = 0,98. Полученное значение свидетельствует об очень сильной зависимости между доходами текущего и предшествующего периода и, следовательно, о наличии в ряду сильной линейной тенденции.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями со сдвигом на две даты, то есть с лагом 2 и т.д.

С увеличением лага число пар, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается и, следовательно, снижается достоверность коэффициентов. Поэтому для обеспечения статистической достоверности лаг не должен быть больше, чем п / 4, где п – число уровней.

При анализе коэффициентов автокорреляции следует помнить следующее:

1. он определяется по формуле линейного коэффициента корреляции, таким образом, он измеряет тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней временного ряда. Для временных, рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции уровней может быть близким к нулю;

2. Знак коэффициента автокорреляции не указывает на направление тенденции в исходном ряду данных (возрастание или убывание). Большинство временных рядов экономических переменных содержат положительную автокорреляцию уровней, но при этом сам ряд может иметь и отрицательную тенденцию.

Если расположить коэффициенты по величине лага (то есть коэффициенты первого порядка, второго, третьего и т.д.), то мы получим автокорреляционную функцию временного ряда . График зависимости величины коэффициента автокорреляции от лага называют коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить структуру временного ряда. Выявить структуру временного ряда – это значит выявить наличие или отсутствие его основных компонент (Т – трендовой компоненты и S – сезонной или циклической компоненты). Ряд может состоять только из трендовой и случайной компонент; или циклической и случайной; может содержать только случайную компоненту или все три компоненты одновременно.

Если наиболее высоким оказался коэффициент первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка К, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в К моментов времени, Так, например, если при анализе временного ряда наиболее высокими оказались коэффициенты автокорреляции второго порядка, то ряд имеет циклы в два периода времени, то есть имеет так называемую пилообразную структуру. Наиболее высокий коэффициент четвертого порядка указывает на наличие в ряду цикла в четыре момента (периода) времени. Если ни один из коэффициентов не является статистически значимым, то можно сделать следующие предположения:

1. ряд не содержит ни тенденции, ни циклов, а состоит только из случайной компоненты;

2. ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

При моделировании временных рядов встречаются ситуации, когда остатки содержат тенденцию или цикличность. В этом случае остатки не являются независимыми, каждое последующее значение остатка зависит от предыдущего. Это явление получило название автокорреляция остатков.

Назовем причины существования автокорреляции остатков:

1. в модель не включен фактор, оказывающий существенной воздействие на результат; его влияние будет отражаться в остатках, то есть они могут быть автокоррелированы;

2. модель не учитывает влияние нескольких второстепенных факторов, совместное влияние которых может быть существенным (если их тенденции совпадают или фазы цикличности совпадают);

3. автокорреляция остатков может заключаться в неверной функциональной спецификации модели.

Существуют два способа определения автокорреляции в остатках. Первый заключается в визуальном анализе графика зависимостей остатков от времени. Второй способ предполагает использование критерия Дарбина-Уотсона. Величину критерия (d) можно определить по одной из формул

либо d 2(1 – r e 1) ,

где r e 1 – коэффициент автокорреляции остатков первого порядка.

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция , то r e 1 =1 и d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то

r e 1 =-1 и d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r e 1 =0 и d = 2.

На практике используется следующий алгоритм проверки гипотезы об автокорреляции остатков:

1. выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках;

2. определяется фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона (d);

3. по специальным таблицам (приложение учебника по эконометрике) находят критические значения критерия d L и d u , где п – число наблюдений, k - независимых переменных в модели, - уровень значимости;

4. числовой промежуток всех возможных значений d разбивается на 5 отрезков

0 d L d u 2 4- d u 4 - d L 4

5. если d - фактическое попадает в зону неопределенности, то предполагают существование автокорреляции в остатках.

В последнем случае исследовать причинно-следственные связи переменных по остаткам нельзя, получим ложную корреляцию.

При нарушении гомоскедастичности (т.е. наличие гетероскедастичности) и наличии автокорреляции остатков рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (МНК), который проводится по исходным данным, заменять обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК), который проводится по преобразованным данным.

4.1. Автокорреляция уровней временного ряда

(4.1)

Где

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и
.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и
и определяется по формуле:

(4.2)

где

(7.1.)

где
, а
.

Число периодов , по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом . С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше
.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию . Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

Рассмотрим пример . Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ (например, Республики Татарстан).

Таблица 4.1

			Количество возбужденных дел,

Построим поле корреляции:

Рис. 4.4.

Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.

Таблица 4.2





















Среднее значение

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):

Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

Таблица 4.3




















Среднее значение

Следовательно

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.

Таблица 4.4

	Коэффициент автокорреляции уровней

Коррелограмма:

Рис. 4.5.

Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.

Автокорреляция уровней временного ряда

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Свойства коэффициента автокорреляции.

Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

Автокорреляция во временных рядах

Для характеристики динамики изменения экономических показателей часто используется понятие автокорреляции , которая характеризует не только взаимозависимость уровней одного и того же ряда, относящихся к разным моментам наблюдений, но и степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т.п.

Степень тесноты статистической связи между уровнями временного ряда, сдвинутыми на t единиц времени определяется величиной коэффициента корреляции , так как измеряет тесноту связи между уровнями одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть . График автокорреляционной функции называется корреллограммой .

Выборочный коэффициент автокорреляции вычисляется по формуле:

(3.4.13)

Для расчета коэффициента автокорреляции по формуле (3.4.12) в Excel можно воспользоваться функцией КОРРЕЛ. Предположим, что базовая переменная включает диапазон А1:А34.

Тогда коэффициент автокорреляции равен:

КОРРЕЛ (А1:А33; А2:А34).

На практике, как правило, при вычислении автокорреляции используется формула (3.4.13).

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты (f(t)) и сезонной компоненты (S).

Пример 3.4.3. Анализ временного ряда валового внутреннего продукта

Валовой внутренний продукт (ВВП ) – представляет собой на стадии производства сумму добавленных стоимостей отраслей экономики, а на стадии использования – стоимость товаров и услуг, предназначенных для конечного потребления, накопления и экспорта.

В качестве исходной информации используются данные: номинальный объем валового внутреннего продукта, млрд. руб. (с 1998 г млн. руб.) – квартальные данные с 1994:1 по 2003:1 (Табл. 3.4.7). График этого ряда приведен на рис.3.4.6.

Из него видно, что данные обладают повышающим трендом. Таким образом, уже визуальный анализ позволяет сделать вывод о нестационарности исходного временного ряда.

Проверим данное предположение, вычислим коэффициенты автокорреляции (табл. 3.4.8) и построим график автокорреляционной функции временного ряда ВВП (коррелограмму) (см. Рис. 3.4.7).

Табл. 3.4.7. ВВП[

Дата	4кв.1994	1кв.1995	2кв.1995	3кв.1995	4кв.1995	1кв.1996	2кв.1996	3кв.1996	4кв.1996	1кв.1997
ВВП	225.00	235.00	325.00	421.00	448.00	425.00	469.00	549.00	565.00	513.00
№

Дата	2кв.1997	3кв.1997	4кв.1997	1кв.1998	2кв.1998	3кв.1998	4кв.1998	1кв.1999	2кв.1999	3кв.1999
ВВП	555.00	634.00	641.00	551.00	602.00	676.00	801.00	901.00	1102.00	1373.00
№

Дата	4кв.1999	1кв.2000	2кв.2000	3кв.2000	4кв.2000	1кв.2001	2кв.2001	3кв.2001	4кв.2001	1кв.2002
ВВП.	1447.00	1527.00	1697.00	2038.00	2044.00	1922.00	2120.00	2536.00	2461.00	2268.00
№

Дата	2кв.2002	3кв.2002	4кв.2002	1кв.2003
ВВП	2523.00	3074.00	2998.00	2893.10
№

Табл. 3.4.8.

Рис. 3.4.7. Коррелограмма.

Коррелограмма автокорреляционной функции в случае стационарного временного ряда должна быстро убывать с ростом t после нескольких первых значений. Рис. 3.4.7 показывает, что исследуемый ряд не является стационарным. Временной ряд валового внутреннего продукта содержит трендовую компоненту.

Для выявления структуры ряда (т. е. состава компонент) строят автокорреляционную функцию.

Автокорреляция уровней ряда – корреляционная между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L – лаг). То есть связь между рядом: Х 1 , Х 2 , ... Х n-L и рядом Х 1+L , Х 2+L , ... Х n , где L – положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка r t,t-1 . Если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка r t,t-2 и т.д.

Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (I), при котором автокорреляция (r t,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда .

Если наиболее высоким оказывается значение r t,t-1 , то исследуемый ряд додержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался r t,t-L , то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом L.

Если ни один из r t,t-L (l=1;L) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

Либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

Либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда . График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой .

Чтобы найти коэффициент корреляции 1-го порядка, нужно найти корреляцию между рядами (расчет производится не по 14, а по 13 парам наблюдений):

Два важных свойства коэффициента автокорреляции:

1) Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. По-этому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

2) По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровней. Получаем следующую таблицу:

y t	y t - 1
3.18	4.31
4.31	5.66
5.66	6.89
6.89	9.47
9.47	12.34
12.34	14.36
14.36	18.08
18.08	20.63
20.63	24.3
24.3	30.2
30.2	37.04
37.04	43.81
43.81	48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка .

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-1:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r t,t-1 < 0.3: слабая;

0.3 < r t,t-1 < 0.5: умеренная;

0.5 < r t,t-1 < 0.7: заметная;

0.7 < r t,t-1 < 0.9: высокая;

0.9 < r t,t-1 < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между рядами - весьма высокая и прямая.

x	y	x 2	y 2	x y
3.18	4.31	10.11	18.58	13.71
4.31	5.66	18.58	32.04	24.39
5.66	6.89	32.04	47.47
6.89	9.47	47.47	89.68	65.25
9.47	12.34	89.68	152.28	116.86
12.34	14.36	152.28	206.21	177.2
14.36	18.08	206.21	326.89	259.63
18.08	20.63	326.89	425.6	372.99
20.63	24.3	425.6	590.49	501.31
24.3	30.2	590.49	912.04	733.86
30.2	37.04	912.04	1371.96	1118.61
37.04	43.81	1371.96	1919.32	1622.72
43.81	48.32	1919.32	2334.82	2116.9
230.27	275.41	6102.65	8427.36	7162.43

Сдвигаем исходный ряд на 2 уровней. Получаем следующую таблицу:

y t	y t - 2
3.18	5.66
4.31	6.89
5.66	9.47
6.89	12.34
9.47	14.36
12.34	18.08
14.36	20.63
18.08	24.3
20.63	30.2
24.3	37.04
30.2	43.81
37.04	48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка .

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-2:

x	y	x 2	y 2	x y
3.18	5.66	10.11	32.04
4.31	6.89	18.58	47.47	29.7
5.66	9.47	32.04	89.68	53.6
6.89	12.34	47.47	152.28	85.02
9.47	14.36	89.68	206.21	135.99
12.34	18.08	152.28	326.89	223.11
14.36	20.63	206.21	425.6	296.25
18.08	24.3	326.89	590.49	439.34
20.63	30.2	425.6	912.04	623.03
24.3	37.04	590.49	1371.96	900.07
30.2	43.81	912.04	1919.32	1323.06
37.04	48.32	1371.96	2334.82	1789.77
186.46	271.1	4183.34	8408.79	5916.94

Сдвигаем исходный ряд на 3 уровней. Получаем следующую таблицу:

y t	y t - 3
3.18	6.89
4.31	9.47
5.66	12.34
6.89	14.36
9.47	18.08
12.34	20.63
14.36	24.3
18.08	30.2
20.63	37.04
24.3	43.81
30.2	48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка .

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-3:

x	y	x 2	y 2	x y
3.18	6.89	10.11	47.47	21.91
4.31	9.47	18.58	89.68	40.82
5.66	12.34	32.04	152.28	69.84
6.89	14.36	47.47	206.21	98.94
9.47	18.08	89.68	326.89	171.22
12.34	20.63	152.28	425.6	254.57
14.36	24.3	206.21	590.49	348.95
18.08	30.2	326.89	912.04	546.02
20.63	37.04	425.6	1371.96	764.14
24.3	43.81	590.49	1919.32	1064.58
30.2	48.32	912.04	2334.82	1459.26
149.42	265.44	2811.38	8376.75	4840.25

Сдвигаем исходный ряд на 4 уровней. Получаем следующую таблицу:

y t	y t - 4
3.18	9.47
4.31	12.34
5.66	14.36
6.89	18.08
9.47	20.63
12.34	24.3
14.36	30.2
18.08	37.04
20.63	43.81
24.3	48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 4-го порядка .

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-4:

x	y	x 2	y 2	x y
3.18	9.47	10.11	89.68	30.11
4.31	12.34	18.58	152.28	53.19
5.66	14.36	32.04	206.21	81.28
6.89	18.08	47.47	326.89	124.57
9.47	20.63	89.68	425.6	195.37
12.34	24.3	152.28	590.49	299.86
14.36	30.2	206.21	912.04	433.67
18.08	37.04	326.89	1371.96	669.68
20.63	43.81	425.6	1919.32	903.8
24.3	48.32	590.49	2334.82	1174.18
119.22	258.55	1899.34	8329.28	3965.71

Вывод : в данном ряду динамики имеется тенденция (r t,t-1 = 0.997 → 1).

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:

Автокорреляция

Вместе с этой задачей решают также:

Тест Дарбина-Уотсона

Выявление тренда методом аналитического выравнивания

Уравнение нелинейной регрессии

Показатели динамики: цепные и базисные

Анализ сезонных колебаний

Аддитивная модель временного ряда

Мультипликативная модель временного ряда

Онлайн сдача дистанционных тестов

Список литературы

1. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие/ Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с.

2. Эконометрика: Учебник/ Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 576 с.

3. Эконометрика: Учебно-методическое пособие/ Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: ТИСБИ, 2004. – 198 с.

При обработке временных рядов необходимо учитывать наличие автокорреляции и авторегрессии , при которых значения последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений.

Автокорреляция – явление взаимосвязи между рядами: первоначальным и этим же рядом сдвинутым относительно первоначального положения на h моментов времени.

Количественно автокорреляцию можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .

где

Сдвиг между соседними уровнями или сдвинутыми на любое число периодов времени называютвременным лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Свойства коэффициента автокорреляции.

1. Коэффициент корреляции строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .

Пример 3.

Пусть имеются некоторые условные данные (таблица 11) об общем количестве поступившей товарной продукции на склад предприятия.

Таблица 11 – Общее количество поступившей товарной продукции на склад.

При наличии тенденции и циклических колебаний каждый последующий уровень ряда зависит от предыдущего. Количественное выражение степени связи уровней ряда за один или несколько периодов времени наз. коэффициентом автокорреляции. Они бывают 1-ого, 2, 3 и т.д. порядка.

Коэффициент автокорреляции показывает тесноту связи между уровнями ряда, сдвинутыми на 1 или более шаг.

Предположим, что значения y t в текущем году зависят от значений в прошлом году, тогда значения в предыдущем году можно рассчитать с помощью коэффициента автокорреляции:

n -количество данных

r 1 -коэффициент автокорреляции 1го порядка

Автокорреляция даёт информацию о наличии фактора, формирующего тенденцию ряда.

Полученные значения коэффициента автокорреляции 1го и 2го порядков свидетельствует о тесноте зависимости между текущими уровнями ряда и уровнями ряда предыдущих периодов, а также свидетельствует о линейной тенденции. Периоды, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции называются лагами. Для статистической достоверности коэффициента автокорреляции максимальный лаг может быть n/4.

Свойства коэффициента автокорреляции:

Характеризует только тесноту линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда

В случае нелинейной тенденции коэффициент автокорреляции может быть равен нулю

По знаку коэффициента автокорреляции нельзя сделать вывод о возрастающей или убывающей тенденции.

22. Корреляционная функция.

Последовательность коэффициентов автокорреляции называется автокорреляционной функцией. График зависимости ее значений от величины коэффициентов автокорреляции(порядков коэффициентов автокорреляции) называют коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить структуру временного ряда. Если наиболее высоким оказывается коэффициент автокорреляции 1-го порядка – это означает, что временный ряд содержит тенденцию Т, если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции τ-ого порядка – это означает, что временной ряд содержит сезонную или циклическую компоненту S с периодичностью τ моментов времени.

Если ни один из коэффициентов автокорреляции не оказался значимым, то это означает, что ряд не содержит ни тенденции, ни сезонных или циклических колебаний и требует дополнительных исследований. В этом случае действует случайная компонента или помехи, или имеет место нелинейная зависимость.

Анализ автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о том, что в изучаемом временном ряде имеется тенденция T (к возрастанию или убыванию), сезонные колебания с расчётной периодичностью.

23. Определение тенденции временного ряда.

Одним из наиболее распространенных способов является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Такая аналитическая функция называется трендом Т.

Определение аналитической функции называется выравниванием временного ряда.

Для построения тренда чаще всего используют следующие (элементарные) функции:

Линейная у t = a + bt T =a + bt - линейный тренд

Нелинейная:

а) полиномиальная y t =a+bt+ct 2 +…+kt n

б) степенная

в) показательная

a, b, c - параметры линии тренда

Если присутствует большой размах колебаний уровней ряда необходимо провести процедуру, которая называется сглаживание уровней временного ряда.

24. Аддитивная модель временного ряда.

Для выявления структуры временного ряда, т.е. определения количественных значений компонентов, составляющих уровней ряда, чаще всего используют аддитивную или мультипликативную модели временных рядов.

Аддитивная модель: У=Т+S+E,

T-трендовая компонента

S-сезонная компонента

E-случайная компонента

Аддитивная модель временного ряда используется в случае, если амплитуда сезонных колебаний практически не меняется. При этом предполагается, что все сезонные компоненты являются постоянными для различных типов.

Алгоритм построения модели. Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

Выравнивание уровней исходного ряда методом скользящей средней.

Расчет значений сезонной компоненты S

Устранение сезонной компоненты из исходного уровня ряда и получение выровненных данных без S

Аналитическое выравнивание уровней ряда и расчет значений фактора Т

Расчет полученных значений (Т* S) для каждого уровня ряда

Расчет абсолютных или относительных ошибок модели.

(или 4.Определение тенденции временного ряда и уравнения тренда; 5.Расчет абсолютных или относительных ошибок модели.)