Корреляционно-регрессионный анализ: пример, задачи, применение. Метод корреляционно-регрессионного анализа

Основные понятия корреляционного анализа

Выделяют несколько видов связи между переменными:

Корреляционная зависимость предполагает взаимную согласован­ность изменений переменных величин, а также то, что эти изменения можно измерить однократно или многократно (в данном случае гово­рят о плотности связи переменных, но не о причинно-следственных связях); например, в современном российском обществе чем выше возраст, тем ниже социальный статус человека; отдельные проявления геронтократии эту закономерность не нарушают.

Функциональное воздействие предполагает, что изменения не­зависимой переменной сопровождаются все более ускоряющимися изменениями зависимой переменной (причинно-следственные свя­зи фиксируют влияние независимой переменной на зависимую); на­пример, чем более радикальными политическими взглядами обладает человек, тем в большей степени он не приемлет существующий поли­тический режим; в то же время нельзя утверждать, что чем в большей степени человек негативно оценивает власть, тем более радикальными взглядами он обладает.

Функциональная зависимость - связь переменных, означающая, что изменение одной переменной оказывает воздействие на изменение другой, которая в свою очередь воздействует на первую переменную, т.е. это связи взаимодействия; например, информированность челове­ка о политике напрямую связана с интересом к ней; чем больше чело­век политикой интересуется, тем больше в ней разбирается.

Связь может быть нелинейной и немонотонной.

Каким бы в итоге ни оказался тип связи между переменными, не­обходимо убедиться в ее наличии в принципе. Корреляционный ана­лиз применяется для выяснения взаимодействия и тенденций измене­ния характеристик изучаемого явления.

Первоначальной стадией его развития считается период 1870- 1880-х годов, а автором понятия «коэффициент корреляции» - Фрэнсис Гальтон. Наиболее серьезные разработки в области корре­ляционного анализа на рубеже XIX-XX вв. выполнил Карл Пирсон. Традиционно кбрреляционный анализ используется для проверки ги­потезы о статистической зависимости двух или нескольких перемен­ных. В качестве вспомогательного средства анализ корреляций можно использовать при проверке пригодности экспериментальных гипотез и для включения переменных в факторный и регрессионный анализ. Корреляционный анализ осуществляется с помощью сравнения и со­поставления рядов распределения, построенных на основании группи­ровок по различным признакам.

Корреляция - наличие статистической взаимосвязи признаков, когда каждому определенному значению одного признака X соответ­ствует определенное значение У (или комплекс значений К-ряда рас­пределения). Корреляционный анализ выясняет функциональную за­висимость между переменными величинами, которая характеризуется тем, что каждому значению одной из них соответствует вполне опреде- тенпое значение другой. Однако корреляционный анализ не предпо­лагает выявления каузальных связей, поэтому при интерпретации ре- 1ультатов формулировки типа «переменная х влияет на переменную у» или «переменная х зависит от переменной у» недопустимы.

Различают парную и множественную корреляции. Парная корреля­ция характеризует тип, форму и плотность связи между двумя призна­ками, множественная - между несколькими.

Корреляционная зависимость возникает чаще всего там, где одно явление находится под воздействием большого числа факторов, дей­ствующих с разной силой, поэтому существуют специальные меры корреляционной связи, называемые коэффициентами корреляции. Ко­эффициенты (в статистике их общее количество исчисляется десят­ками) показывают степень взаимосвязи явлений (плотность корреля­ционной связи, иногда исследователи говорят об интенсивности связи) и характер этой связи (направленность ). Связь может быть прямой и обратной. Например, чем старше избиратель, тем более активно он участвует в выборах. Чем выше уровень доходов людей, тем в меньшей степени они склонны участвовать в выборах в качестве избирателей (обратная связь). Чем выше коэффициент корреляции между двумя переменными, тем точнее можно предсказать значения одной из них по значениям другой. Характер связи также определяется в категориях «монотонная » (направление изменения одной переменной не меняется при изменении второй переменной) и «немонотонная » связь. Помимо оценки плотности и направленности связи необходимо учитывать на­дежность (достоверность ) связи.

Корреляционный анализ последовательно решает три практиче­ские задачи:

определение корреляционного поля и составление корреляци­онной (в данном случае это комбинированная) таблицы;

вычисление выборочных корреляционных отношений или ко­эффициентов корреляции;

проверка статистической гипотезы значимости связи.

Коэффициент корреляции не содержит информации о том, явля­ется ли данная связь между ними причинно-следственной или сопут­ствующей (порожденной общей причиной). Этот вопрос исследователь должен решать самостоятельно на основе содержательных представле­ний о структуре, динамике изучаемых социальных объектов, корре­ляций между изучаемыми признаками, использовать иные способы статистического анализа (регрессионный, факторный, дискриминант­ный, путевой и т.д.). Но величина коэффициента позволяет оценить плотность связи как меньшую (незначимую) или большую. По знаку коэффициента корреляции для порядковых рядов мы можем сказать, является ли эта связь прямой или обратной (для номинальных рядов знак коэффициента не несет смысловой нагрузки).

Для установления корреляционной связи между двумя призна­ками необходимо доказать, что все другие переменные не оказывают воздействия на отношения двух переменных, являющихся предметом изучения. В противном случае возникает ситуация ложной корреляции. Секрет возникновения ложной корреляции заключается в том, что у двух явлений, связь которых формально подкрепляется наличием ста­тистической связи, есть общая причина, в равной степени влияющая на каждое из них.

Корреляционному анализу предшествует стадия расчета стати­стики х 2 - Но на основании полученного значения статистики х 2 мы ни­чего не можем сказать о плотности связи анализируемых переменных. Цля решения такой задачи необходимо обратиться к коэффициентам корреляционной связи.

Традиционным для выполнения корреляционного анализа являет­ся обращение к коэффициенту корреляции Пирсона (Pearson) Р (в ли­тературе он обозначается и через г).

Если при описании политического объекта определяется лишь на­личие или отсутствие признака или если изучается связь между аль­тернативными признаками, то корреляционные таблицы (таблицы сопряженного признака) - 4-клеточные. В этом случае применяются коэффициент Юла(О) и коэффициент контингенции (ф). Они основаны на принципе совместного появления событий (значений признаков у объекта исследования) и пригодны для анализа любых признаков (ме­трических, порядковых и даже номинальных).

В случае если номинальные шкалы имеют большее число значений, чем два, то для определения зависимости между признаками пользуют­ся коэффициентами сопряженности Пирсона (Р ), Чупрова (7) и Кра­мера (К). При этом определенное значение имеет размерность таблицы с на к, в которой отображены значения двух признаков. Коэффициенты Чупрова и Крамера считаются более «строгими», чем коэффициент со­пряженности Пирсона. Но поскольку вычисления в них строятся с уче­том статистики х 2 , то все связанные с ней ограничения распространя­ются и на эти коэффициенты.

Множественный коэффициент корреляции (IV), который иногда называют коэффициентом конкордации, применяется для оценки со­гласованности двух или нескольких рядов ранжированных значений переменных.

Вариантов расчета коэффи­циентов корреляции между признаками в статистическом пакете SPSS два.

– это один из самых распространенных методов изучения отношений между численными величинами. Его основная цель состоит в нахождении зависимости между двумя параметрами и ее степени с последующим выведением уравнения. Например, у нас есть студенты, которые сдали экзамен по математике и английскому языку. Мы можем использовать корреляцию для того, чтобы определить, влияет ли успешность сдачи одного теста на результаты по другому предмету. Что касается регрессионного анализа, то он помогает предсказать оценки по математике, исходя из баллов, набранных на экзамене по английскому языку, и наоборот.

Что такое корреляционная диаграмма?

Любой анализ начинается со сбора информации. Чем ее больше, тем точнее полученный в конечном итоге результат. В вышеприведенном примере у нас есть две дисциплины, по которым школьникам нужно сдать экзамен. Показатель успешности на них – это оценка. Корреляционно-регрессионный анализ показывает, влияет ли результат по одному предмету на баллы, набранные на втором экзамене. Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо проанализировать оценки всех учеников на параллели. Но для начала нужно определиться с зависимой переменной. В данном случае это не так важно. Допустим, экзамен по математике проходил раньше. Баллы по нему – это независимая переменная (откладываются по оси абсцисс). Английский язык стоит в расписании позже. Поэтому оценки по нему – это зависимая переменная (откладываются по оси ординат). Чем больше полученный таким образом график похож на прямую линию, тем сильнее линейная корреляция между двумя избранными величинами. Это означает, что отличники в математике с большой долей вероятности получат пятерки на экзамене по английскому.

Допущения и упрощения

Метод корреляционно-регрессионного анализа предполагает нахождение причинно-следственной связи. Однако на первом этапе нужно понимать, что изменения обеих величин могут быть обусловлены какой-нибудь третьей, пока не учтенной исследователем. Также между переменными могут быть нелинейные отношения, поэтому получение коэффициента, равного нулю, это еще не конец эксперимента.

Линейная корреляция Пирсона

Данный коэффициент может использоваться при соблюдении двух условий. Первое – все значения переменных являются рациональными числами, второе – ожидается, что величины изменяются пропорционально. Данный коэффициент всегда находится в пределах между -1 и 1. Если он больше нуля, то имеет место быть прямо пропорциональная зависимость, меньше – обратно, равен – данные величины никак не влияют одна на другую. Умение вычислить данный показатель – это основы корреляционно-регрессионного анализа. Впервые данный коэффициент был разработан Карлом Пирсоном на основе идеи Френсиса Гальтона.

Свойства и предостережения

Коэффициент корреляции Пирсона является мощным инструментом, но его также нужно использовать с осторожностью. Существуют следующие предостережения в его применении:

1. Коэффициент Пирсона показывает наличие или отсутствие линейной зависимости. Корреляционно-регрессионный анализ на этом не заканчивается, может оказаться, что переменные все-таки связаны между собой.
2. Нужно быть осторожным в интерпретировании значения коэффициента. Можно найти корреляцию между размером ноги и уровнем IQ. Но это не означает, что один показатель определяет другой.
3. Коэффициент Пирсона не говорит ничего о причинно-следственной связи между показателями.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмана

Если изменение величины одного показателя приводит к увеличению или уменьшению значения другого, то это означает, что они являются связанными. Корреляционно-регрессионный анализ, пример которого будет приведен ниже, как раз и связан с такими параметрами. Ранговый коэффициент позволяет упростить расчеты.

Корреляционно-регрессионный анализ: пример

Предположим, происходит оценка эффективности деятельности десяти предприятий. У нас есть двое судей, которые выставляют им баллы. Корреляционно-регрессионный анализ предприятия в этом случае не может быть проведен на основе линейного коэффициента Пирсона. Нас не интересует взаимосвязь между оценками судей. Важны ранги предприятий по оценке судей.

Данный тип анализа имеет следующие преимущества:

• Непараметрическая форма отношений между исследуемыми величинами.
• Простота использования, поскольку ранги могут приписываться как в порядке возрастания значений, так и убывания.

Единственное требование данного типа анализа – это необходимость конвертации исходных данных.

Проблемы применения

В основе корреляционно-регрессионного анализа лежат следующие предположения:

• Наблюдения считаются независимыми (пятикратное выпадение «орла» никак не влияет на результат следующего подбрасывания монетки).
• В корреляционном анализе обе переменные рассматриваются как случайные. В регрессионном – только одна (зависимая).
• При проверке гипотезы должно соблюдаться нормальное распределение. Изменение зависимой переменной должно быть одинаковым для каждой величины на оси абсцисс.
• Корреляционная диаграмма – это только первая проверка гипотезы о взаимоотношениях между двумя рядами параметров, а не конечный результат анализа.

Зависимость и причинно-следственная связь

Предположим, мы вычислили коэффициент корреляции объема экспорта и ВВП. Он оказался равным единице по модулю. Провели ли мы корреляционно-регрессионный анализ до конца? Конечно же нет. Полученный результат вовсе не означает, что ВВП можно выразить через экспорт. Мы еще не доказали причинно-следственную связь между показателями. Корреляционно-регрессионный анализ – прогнозирование значений одной переменной на основе другой. Однако нужно понимать, что зачастую на параметр влияет множество факторов. Экспорт обуславливает ВВП, но не только он. Есть и другие факторы. Здесь имеет место быть и корреляция, и причинно-следственная связь, хотя и с поправкой на другие составляющие валового внутреннего продукта.

Гораздо опаснее другая ситуация. В Великобритании был проведен опрос, который показал, что дети, родители которых курили, чаще являются правонарушителями. Такой вывод сделан на основе сильной корреляции между показателя. Однако правилен ли он? Во-первых, зависимость могла быть обратной. Родители могли начать курить из-за стресса от того, что их дети постоянно попадают в переделки и нарушают закон. Во-вторых, оба параметра могут быть обусловлены третьим. Такие семьи принадлежат к низким социальным классам, для которых характерны обе проблемы. Поэтому на основе корреляции нельзя сделать вывод о наличии причинно-следственной связи.

Зачем использовать регрессионный анализ?

Корреляционная зависимость предполагает нахождение отношений между величинами. Причинно-следственная связь в этом случае остается за кадром. Задачи корреляционного и регрессионного анализа совпадают только в плане подтверждения наличия зависимости между значениями двух величин. Однако первоначально исследователь не обращает внимания на возможность причинно-следственной связи. В регрессионном анализе всегда есть две переменные, одна и которых является зависимой. Он проходит в несколько этапов:

1. Выбор правильной модели с помощью метода наименьших квадратов.
2. Выведение уравнения, описывающего влияние изменения независимой переменной на другую.

Например, если мы изучаем влияние возраста на рост человека, то регрессионный анализ может помочь предсказать изменения с течением лет.

Линейная и множественная регрессия

Предположим, что X и Y – это две связанные переменные. Регрессионный анализ позволяет предсказать величину одной из них на основе значений другой. Например, зрелость и возраст – это зависимые признаки. Зависимость между ними отражается с помощью линейной регрессии. Фактически можно выразить X через Y или наоборот. Но зачастую только одна из линий регрессии оказывается правильной. Успех анализа во многом зависит от правильности определения независимой переменной. Например, у нас есть два показателя: урожайность и объем выпавших осадков. Из житейского опыта становится ясно, что первое зависит от второго, а не наоборот.

Множественная регрессия позволяет рассчитать неизвестную величину на основе значений трех и более переменных. Например, урожайность риса на акр земли зависит от качества зерна, плодородности почвы, удобрений, температуры, количества осадков. Все эти параметры влияют на совокупный результат. Для упрощения модели используются следующие допущения:

• Зависимость между независимой и влияющими на нее характеристиками является линейной.
• Мультиколлинеарность исключена. Это означает, что зависимые переменные не связаны между собой.
• Гомоскедастичность и нормальность рядов чисел.

Применение корреляционно-регрессионного анализа

Существует три основных случая использования данного метода:

1. Тестирование казуальных отношений между величинами. В этом случае исследователь определяет значения переменной и выясняет, влияют ли они на изменение зависимой переменной. Например, можно дать людям разные дозы алкоголя и измерить их артериальное давление. В этом случае исследователь точно знает, что первое является причиной второго, а не наоборот. Корреляционно-регрессионный анализ позволяет обнаружить прямо-пропорциональную линейную зависимость между данными двумя переменными и вывести формулу, ее описывающую. При этом сравниваться могут величины, выраженные в совершенно различных единицах измерения.
2. Нахождение зависимости между двумя переменными без распространения на них причинно-следственной связи. В этом случае нет разницы, какую величину исследователь назовет зависимой. При этом в реальности может оказаться, что на их обе влияет третья переменная, поэтому они и изменяются пропорционально.
3. Расчет значений одной величины на основе другой. Он осуществляется на основе уравнения, в которое подставляются известные числа.

Таким образом корреляционный анализ предполагает нахождение связи (не причинно-следственной) между переменными, а регрессионный – ее объяснение, зачастую с помощью математической функции.

Функциональная зависимость и корреляция . Еще Гиппократ в VI в. до н. э. обратил внимание на наличие связи между телосложением и темпераментом людей, между строением тела и предрасположенностью к тем или иным заболеваниям. Определенные виды подобной связи выявлены также в животном и растительном мире. Так, существует зависимость между телосложением и продуктивностью у сельскохозяйственных животных; известна связь между качеством семян и урожайностью культурных растений и т.д. Что же касается подобных зависимостей в экологии, то существуют зависимости между содержанием тяжелых металлов в почве и снежном покрове от их концентрации в атмосферном воздухе и т.п. Поэтому естественно стремление использовать эту закономерность в интересах человека, придать ей более или менее точное количественное выражение.

Как известно, для описания связей между переменными величинами применяют математические понятие функции f , которая ставит в соответствие каждому определенному значению независимой переменной x определенное значение зависимой переменной y , т.е. . Такого рода однозначные зависимости между переменными величинамиx и y называют функциональными . Однако такого рода связи в природных объектах встречаются далеко не всегда. Поэтому зависимость между биологическими, а также и экологическими признаками имеет не функциональный, а статистический характер, когда в массе однородных индивидов определенному значению одного признака, рассматриваемого в качестве аргумента, соответствует не одно и то же числовое значение, а целая гамма распределяющихся в вариационный ряд числовых значений другого признака, рассматриваемого в качестве зависимой переменной, или функции. Такого рода зависимость между переменными величинами называется корреляционной или корреляцией..

Функциональные связи легко обнаружить и измерить на единичных и групповых объектах, однако этого нельзя проделать с корреляционными связями, которые можно изучать только на групповых объектах методами математической статистики. Корреляционная связь между признаками бывает линейной и нелинейной, положительной и отрицательной. Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления и формы связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты и, наконец, к проверке достоверности выборочных показателей корреляции.

Зависимость между переменными X и Y можно выразить аналитически (с помощью формул и уравнений) и графически (как геометрическое место точек в системе прямоугольных координат). График корреляционной зависимости строят по уравнению функции или, которая называетсярегрессией . Здесь и– средние арифметические, найденные при условии, чтоX или Y примут некоторые значения x или y . Эти средние называются условными .

11.1. Параметрические показатели связи

Коэффициент корреляции . Сопряженность между переменными величинами x и y можно установить, сопоставляя числовые значения одной из них с соответствующими значениями другой. Если при увеличении одной переменной увеличивается другая, это указывает на положительную связь между этими величинами, и наоборот, когда увеличение одной переменной сопровождается уменьшением значения другой, это указывает на отрицательную связь .

Для характеристики связи, ее направления и степени сопряженности переменных применяют следующие показатели:

линейной зависимость – коэффициент корреляции ;

нелинейный – корреляционной отношение .

Для определения эмпирического коэффициента корреляции используют следующую формулу:

. (1)

Здесь s x и s y – средние квадратические отклонения.

Коэффициент корреляции можно вычислить, не прибегая к расчету средних квадратических отклонений, что упрощает вычислительную работу, по следующей аналогичной формуле:

. (2)

Коэффициент корреляции – безразмерное число, лежащее в пределах от –1 до +1. При независимом варьировании признаков, когда связь между ними полностью отсутствует, . Чем сильнее сопряженность между признаками, тем выше значение коэффициента корреляции. Следовательно, приэтот показатель характеризует не только наличие, но и степень сопряженности между признаками. При положительной или прямой связи, когда большим значениям одного признака соответствуют большие же значения другого, коэффициент корреляции имеет положительный знак и находится в пределах от 0 до +1, при отрицательной или обратной связи, когда большим значениям одного признака соответствуют меньшие значения другого, коэффициент корреляции сопровождается отрицательным знаком и находится в пределах от 0 до –1.

Коэффициент корреляции нашел широкое применение в практике, но он не является универсальным показателем корреляционных связей, так как способен характеризовать только линейные связи, т.е. выражаемые уравнением линейной регрессии (см. тему 12). При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками применяют другие показатели связи, рассмотренных ниже.

Вычисление коэффициента корреляции . Это вычисление производят разными способами и по-разному в зависимости от числа наблюдений (объема выборки). Рассмотрим отдельно специфику вычисления коэффициента корреляции при наличии малочисленных выборок и выборок большого объема.

Малые выборки . При наличии малочисленных выборок коэффициент корреляции вычисляют непосредственно по значениям сопряженных признаков, без предварительной группировки выборочных данных в вариационные ряды. Для этого служат приведенные выше формулы (1) и (2). Более удобными, особенно при наличии многозначных и дробных чисел, которыми выражаются отклонения вариант х i и y i от средних и, служат следующие рабочие формулы:

где ;

;

Здесь x i и y i – парные варианты сопряженных признаков x и y ; и –средние арифметические;– разность между парными вариантами сопряженных признаковx и y ; n – общее число парных наблюдений, или объем выборочной совокупности.

Эмпирический коэффициент корреляции, как и любой другой выборочный показатель, служит оценкой своего генерального параметра ρ и как величина случайная сопровождается ошибкой:

Отношение выборочного коэффициента корреляции к своей ошибке служит критерием для проверки нулевой гипотезы – предположения о том, что в генеральной совокупности этот параметр равен нулю, т.е. . Нулевую гипотезу отвергают на принятом уровне значимостиα , если

Значения критических точек t st для разных уровней значимости α и чисел степеней свободы приведены в табл.1 Приложений.

Установлено, что при обработке малочисленных выборок (особенно когда n < 30 ) расчет коэффициента корреляции по формулам (1) – (3) дает несколько заниженные оценки генерального параметра ρ , т.е. необходимо внести следующую поправку:

z-преобразование Фишера . Правильное применение коэффициента корреляции предполагает нормальное распределение двумерной совокупности сопряженных значений случайных величин x и y . Из математической статистики известно, что при наличии значительной корреляции между переменными величинами, т.е. когда R xy > 0,5 выборочное распределение коэффициента корреляции для большего числа малых выборок, взятых из нормально распределяющейся генеральной совокупности, значительно отклоняются от нормальной кривой.

Учитывая это обстоятельство, Р. Фишер нашел более точный способ оценки генерального параметра по значению выборочного коэффициента корреляции. Этот способ сводится к замене R xy преобразованной величиной z, которая связана с эмпирическим коэффициентом корреляции, следующим образом:

Распределение величины z является почти неизменным по форме, так как мало зависит от объема выборки и от значения коэффициента корреляции в генеральной совокупности, и приближается к нормальному распределению.

Критерием достоверности показателя z является следующее отношение:

Нулевая гипотеза отвергается на принятом уровне значимости α и числе степеней свободы . Значения критических точекt st приведены в табл.1 Приложений.

Применение z-преобразования позволяет с большей уверенностью оценивать статистическую значимость выборочного коэффициента корреляции, а также и разность между эмпирическими коэффициентами , когда в этом возникает необходимость.

Минимальный объем выборки для точной оценки коэффициента корреляции. Можно рассчитать объем выборки для заданного значения коэффициента корреляции, который был бы достаточен для опровержения нулевой гипотезы (если корреляция между признаками Y и X действительно существует). Для этого служит следующая формула:

где n – искомый объем выборки; t – величина, заданная по принятому уровню значимости (лучше для α = 1%); z – преобразованный эмпирический коэффициент корреляции.

Большие выборки . При наличии многочисленных исходных данных их приходится группировать в вариационные ряды и, построив корреляционную решетку, разность по ее клеткам (ячейкам) общие частоты сопряженных рядов. Корреляционная решетка образуется пересечением строк и столбцов, число которых равно числу групп или классов коррелируемых рядов. Классы располагаются в верхней строке и в первой (слева) столбце корреляционной таблицы, а общие частоты, обозначаемые символом f xy , – в клетках корреляционной решетки, составляющей основную часть корреляционной таблицы.

Классы, помещенные в верхней строке таблицы, обычно располагаются слева направо в возрастающем порядке, а в первом столбце таблицы – сверху вниз в убывающем порядке. При таком расположении классов вариационных рядов их общие частоты (при наличии положительной связи между признаками Y и X ) будут распределяться по клеткам решетки в виде эллипса по диагонали от нижнего левого угла к верхнему правому углу решетки или (при наличии отрицательной связи между признаками) в направлении от верхнего левого угла к нижнему правому углу решетки. Если же частоты f xy распределяются по клеткам корреляционной решетки более или менее равномерно, не образуя фигуры эллипса, это будет указывать на отсутствие корреляции между признаками.

Распределение частот f xy по клеткам корреляционной решетки дает лишь общее представление о наличии или отсутствии связи между признаками. Судить о тесноте или менее точно лишь по значению и знаку коэффициента корреляции . При вычислении коэффициента корреляции с предварительной группировки выборочных данных в интервальные вариационные ряды не следует брать слишком широкие классовые интервалы. Грубая группировка гораздо сильнее сказывается на значении коэффициента корреляции, чем это имеет место при вычислении средних величин и показателей вариации.

Напомним, что величина классового интервала определяется по формуле

где x max , x min – максимальная и минимальная варианты совокупности; К – число классов, на которые следует разбить вариацию признака. Опыт показал, что в области корреляционного анализа величину К можно поставить в зависимость от объема выборки примерно следующим образом (табл.1).

Таблица 1

Объем выборки	Значение К
50 ≥ n > 30
100 ≥ n > 50
200 ≥ n > 100
300 ≥ n > 200

Как и другие статистические характеристики, вычисляемые с предварительной группировкой исходных данных в вариационные ряды, коэффициент корреляции определяют разными способами, дающими совершенно идентичные результаты.

Способ произведений . Коэффициент корреляции можно вычислить используя основные формулы (1) или (2), внеся в них поправку на повторяемость вариант в димерной совокупности. При этом, упрощая символику, отклонения вариант от их средних обозначим через а , т.е. и. Тогда формула (2) с учетом повторяемости отклонений примет следующее выражение:

Достоверность этого показателя оценивается с помощью критерия Стьюдента, который представляет отношение выборочного коэффициента корреляции к своей ошибке, определяемой по формуле

Отсюда и если эта величина превышает стандартное значение критерия Стьюдентаt st для степени свободы и уровне значимостиα (см. Таблицу 2 Приложений), то нулевую гипотезу отвергают.

Способ условных средних . При вычислении коэффициента корреляции отклонения вариант (“классов”) можно находить не только от средних арифметических и, но и от условных средних А х и A y . При этом способе в числитель формулы (2) вносят поправку и формула приобретает следующий вид:

где f xy – частоты классов одного и другого рядов распределения; и, т.е. отклонения классов от условных средних, отнесенные к величине классовых интерваловλ ; n – общее число парных наблюдений, или объем выборки; и– условные моменты первого порядка, гдеf x – частоты ряда Х , а f y – частоты ряда Y ; s x и s y – средние квадратические отклонения рядов X и Y , вычисляемые по формуле .

Способ условных средних имеет преимущество перед способом произведений, так как позволяет избегать операции с дробными числами и придавать один и тот же (положительный) знак отклонениям a x и a y , что упрощает технику вычислительной работы, особенно при наличии многозначных чисел.

Оценка разности между коэффициентами корреляции . При сравнении коэффициентов корреляции двух независимых выборок нулевая гипотеза сводится к предположению о том, что в генеральной совокупности разница между этими показателями равна нулю. Иными словами, следует исходить из предположения, что разница, наблюдаемая между сравниваемыми эмпирическими коэффициентами корреляции, возникла случайно.

Для проверки нулевой гипотезы служит t-критерий Стьюдента, т.е. отношение разности между эмпирическими коэффициентами корреляции R 1 и R 2 к своей статистической ошибке, определяемой по формуле:

где s R1 и s R2 – ошибки сравниваемых коэффициентов корреляции.

Нулевая гипотеза опровергается при условии, что для принятого уровне значимостиα и числе степеней свободы .

Известно, что более точную оценку достоверности коэффициента корреляции получают при переводе R xy в число z . Не является исключением и оценка разности между выборочными коэффициентами корреляции R 1 и R 2 , особенно в тех случаях, когда последние вычислены на выборках сравнительно небольшого объема (n < 100 ) и по своему абсолютному значению значительно превышают 0,50.

Разность оценивают с помощью t-критерия Стьюдента, который строят по отношению этой разности к своей ошибке, вычисляемой по формуле

Нулевую гипотезу отвергают, если дляи принятого уровня значимостиα.

Корреляционное отношение . Для измерения нелинейной зависимости между переменными x и y используют показатель, который называют корреляционным отношением , который описывает связь двусторонне. Конструкция корреляционного отношения предполагает сопоставление двух видов вариации: изменчивости отдельных наблюдений по отношению к частным средним и вариации самих частных средних по сравнению с общей средней величиной. Чем меньшую часть составит первый компонент по отношению ко второму, тем теснота связи окажется большей. В пределе, когда никакой вариации отдельных значений признака возле частных средних не будет наблюдаться, теснота связи окажется предельно большой. Аналогичным образом, при отсутствии изменчивости частных средних теснота связи окажется минимальной. Так как это соотношение вариации может быть рассмотрено для каждого из двух признаков, получается два показателя тесноты связи – h yx и h xy . Корреляционное отношение является величиной относительной и может принимать значения от 0 до 1. При этом коэффициенты корреляционного отношения обычно не равны друг другу, т.е. . Равенство между этими показателями осуществимо только при строго линейной зависимости между признаками. Корреляционное отношение является универсальным показателем: оно позволяет характеризировать любую форму корреляционной связи – и линейную, и нелинейную.

Коэффициенты корреляционного отношения h yx и h xy определяют рассмотренными выше способами, т.е. способом произведений и способом условных средних.

Регрессионный и корреляционный анализ – статистические методы исследования. Это наиболее распространенные способы показать зависимость какого-либо параметра от одной или нескольких независимых переменных.

Ниже на конкретных практических примерах рассмотрим эти два очень популярные в среде экономистов анализа. А также приведем пример получения результатов при их объединении.

Регрессионный анализ в Excel

Показывает влияние одних значений (самостоятельных, независимых) на зависимую переменную. К примеру, как зависит количество экономически активного населения от числа предприятий, величины заработной платы и др. параметров. Или: как влияют иностранные инвестиции, цены на энергоресурсы и др. на уровень ВВП.

Результат анализа позволяет выделять приоритеты. И основываясь на главных факторах, прогнозировать, планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения.

Регрессия бывает:

• линейной (у = а + bx);
• параболической (y = a + bx + cx 2);
• экспоненциальной (y = a * exp(bx));
• степенной (y = a*x^b);
• гиперболической (y = b/x + a);
• логарифмической (y = b * 1n(x) + a);
• показательной (y = a * b^x).

Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии.

Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты.

Модель линейной регрессии имеет следующий вид:

У = а 0 + а 1 х 1 +…+а к х к.

Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов.

В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х).

В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа».

Активируем мощный аналитический инструмент:

После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные».

Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом.

В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.

R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо».

Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.

Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся. Что справедливо.



Корреляционный анализ в Excel

Корреляционный анализ помогает установить, есть ли между показателями в одной или двух выборках связь. Например, между временем работы станка и стоимостью ремонта, ценой техники и продолжительностью эксплуатации, ростом и весом детей и т.д.

Если связь имеется, то влечет ли увеличение одного параметра повышение (положительная корреляция) либо уменьшение (отрицательная) другого. Корреляционный анализ помогает аналитику определиться, можно ли по величине одного показателя предсказать возможное значение другого.

Коэффициент корреляции обозначается r. Варьируется в пределах от +1 до -1. Классификация корреляционных связей для разных сфер будет отличаться. При значении коэффициента 0 линейной зависимости между выборками не существует.

Рассмотрим, как с помощью средств Excel найти коэффициент корреляции.

Для нахождения парных коэффициентов применяется функция КОРРЕЛ.

Задача: Определить, есть ли взаимосвязь между временем работы токарного станка и стоимостью его обслуживания.

Ставим курсор в любую ячейку и нажимаем кнопку fx.

1. В категории «Статистические» выбираем функцию КОРРЕЛ.
2. Аргумент «Массив 1» - первый диапазон значений – время работы станка: А2:А14.
3. Аргумент «Массив 2» - второй диапазон значений – стоимость ремонта: В2:В14. Жмем ОК.

Чтобы определить тип связи, нужно посмотреть абсолютное число коэффициента (для каждой сферы деятельности есть своя шкала).

Для корреляционного анализа нескольких параметров (более 2) удобнее применять «Анализ данных» (надстройка «Пакет анализа»). В списке нужно выбрать корреляцию и обозначить массив. Все.

Полученные коэффициенты отобразятся в корреляционной матрице. Наподобие такой:

Корреляционно-регрессионный анализ

На практике эти две методики часто применяются вместе.

Пример:

Теперь стали видны и данные регрессионного анализа.

Дата публикации: 03.09.2017 13:01

Термин «корреляция» активно используется в гуманитарных науках, медицине; часто мелькает в СМИ. Ключевую роль корреляции играют в психологии. В частности, расчет корреляций выступает важным этапом реализации эмпирического исследования при написании ВКР по психологии.

Материалы по корреляциям в сети слишком научны. Неспециалисту трудно разобраться в формулах. В то же время понимание смысла корреляций необходимо маркетологу, социологу, медику, психологу - всем, кто проводит исследования на людях.

В этой статье мы простым языком объясним суть корреляционной связи, виды корреляций, способы расчета, особенности использования корреляции в психологических исследованиях, а также при написании дипломных работ по психологии.

Содержание

Что такое корреляция

Корреляция - это связь. Но не любая. В чем же ее особенность? Рассмотрим на примере.

Представьте, что вы едете на автомобиле. Вы нажимаете педаль газа - машина едет быстрее. Вы сбавляете газ - авто замедляет ход. Даже не знакомый с устройством автомобиля человек скажет: «Между педалью газа и скоростью машины есть прямая связь: чем сильнее нажата педаль, тем скорость выше».

Это зависимость функциональная - скорость выступает прямой функцией педали газа. Специалист объяснит, что педаль управляет подачей топлива в цилиндры, где происходит сжигание смеси, что ведет к повышению мощности на вал и т.д. Это связь жесткая, детерминированная, не допускающая исключений (при условии, что машина исправна).

Теперь представьте, что вы директор фирмы, сотрудники которой продают товары. Вы решаете повысить продажи за счет повышения окладов работников. Вы повышаете зарплату на 10%, и продажи в среднем по фирме растут. Через время повышаете еще на 10%, и опять рост. Затем еще на 5%, и опять есть эффект. Напрашивается вывод - между продажами фирмы и окладом сотрудников есть прямая зависимость - чем выше оклады, тем выше продажи организации. Такая же это связь, как между педалью газа и скоростью авто? В чем ключевое отличие?

Правильно, между окладом и продажами заисимость не жесткая. Это значит, что у кого-то из сотрудников продажи могли даже снизиться, невзирая на рост оклада. У кого-то остаться неизменными. Но в среднем по фирме продажи выросли, и мы говорим - связь продаж и оклада сотрудников есть, и она корреляционная.

В основе функциональной связи (педаль газа - скорость) лежит физический закон. В основе корреляционной связи (продажи - оклад) находится простая согласованность изменения двух показателей. Никакого закона (в физическом понимании этого слова) за корреляцией нет. Есть лишь вероятностная (стохастическая) закономерность.

Численное выражение корреляционной зависимости

Итак, корреляционная связь отражает зависимость между явлениями. Если эти явления можно измерить, то она получает численное выражение.

Например, изучается роль чтения в жизни людей. Исследователи взяли группу из 40 человек и измерили у каждого испытуемого два показателя: 1) сколько времени он читает в неделю; 2) в какой мере он считает себя благополучным (по шкале от 1 до 10). Ученые занесли эти данные в два столбика и с помощью статистической программы рассчитали корреляцию между чтением и благополучием. Предположим, они получили следующий результат -0,76. Но что значит это число? Как его проинтерпретировать? Давайте разбираться.

Полученное число называется коэффициентом корреляции. Для его правильной интерпретации важно учитывать следующее:

1. Знак «+» или «-» отражает направление зависимости.
2. Величина коэффициента отражает силу зависимости.

Прямая и обратная

Знак плюс перед коэффициентом указывает на то, что связь между явлениями или показателями прямая. То есть, чем больше один показатель, тем больше и другой. Выше оклад - выше продажи. Такая корреляция называется прямой, или положительной.

Если коэффициент имеет знак минус, значит, корреляция обратная, или отрицательная. В этом случае чем выше один показатель, тем ниже другой. В примере с чтением и благополучием мы получили -0,76, и это значит, что, чем больше люди читают, тем ниже уровень их благополучия.

Сильная и слабая

Корреляционная связь в численном выражении - это число в диапазоне от -1 до +1. Обозначается буквой «r». Чем выше число (без учета знака), тем корреляционная связь сильнее.

Чем ниже численное значение коэффициента, тем взаимосвязь между явлениями и показателями меньше.

Максимально возможная сила зависимости - это 1 или -1. Как это понять и представить?

Рассмотрим пример. Взяли 10 студентов и измерили у них уровень интеллекта (IQ) и успеваемость за семестр. Расположили эти данные в виде двух столбцов.

Испытуемый	IQ	Успеваемость (баллы)

Посмотрите внимательно на данные в таблице. От 1 до 10 испытуемого растет уровень IQ. Но также растет и уровень успеваемости. Из любых двух студентов успеваемость будет выше у того, у кого выше IQ. И никаких исключений из этого правила не будет.

Перед нами пример полного, 100%-но согласованного изменения двух показателей в группе. И это пример максимально возможной положительной взаимосвязи. То есть, корреляционная зависимость между интеллектом и успеваемостью равна 1.

Рассмотрим другой пример. У этих же 10-ти студентов с помощью опроса оценили, в какой мере они ощущают себя успешными в общении с противоположным полом (по шкале от 1 до 10).

Испытуемый	IQ	Успех в общении с противоположным полом (баллы)

Смотрим внимательно на данные в таблице. От 1 до 10 испытуемого растет уровень IQ. При этом в последнем столбце последовательно снижается уровень успешности общения с противоположным полом. Из любых двух студентов успех общения с противоположным полом будет выше у того, у кого IQ ниже. И никаких исключений из этого правила не будет.

Это пример полной согласованности изменения двух показателей в группе - максимально возможная отрицательная взаимосвязь. Корреляционная связь между IQ и успешностью общения с противоположным полом равна -1.

А как понять смысл корреляции равной нулю (0)? Это значит, связи между показателями нет. Еще раз вернемся к нашим студентам и рассмотрим еще один измеренный у них показатель - длину прыжка с места.

Испытуемый	IQ	Длина прыжка с места (м)

Не наблюдается никакой согласованности между изменением IQ от человека к человеку и длинной прыжка. Это и свидетельствует об отсутствии корреляции. Коэффициент корреляции IQ и длины прыжка с места у студентов равен 0.

Мы рассмотрели крайние случаи. В реальных измерениях коэффициенты редко бывают равны точно 1 или 0. При этом принята следующая шкала:

• если коэффициент больше 0,70 - связь между показателями сильная;
• от 0,30 до 0,70 - связь умеренная,
• меньше 0,30 - связь слабая.

Если оценить по этой шкале полученную нами выше корреляцию между чтением и благополучием, то окажется, что эта зависимость сильная и отрицательная -0,76. То есть, наблюдается сильная отрицательная связь между начитанностью и благополучием. Что еще раз подтверждает библейскую мудрость о соотношении мудрости и печали.

Приведенная градация дает очень приблизительные оценки и в таком виде редко используются в исследованиях.

Чаще используются градации коэффициентов по уровням значимости. В этом случае реально полученный коэффициент может быть значимым или не значимым. Определить это можно, сравнив его значение с критическим значением коэффициента корреляции, взятым из специальной таблицы. Причем эти критические значения зависят от численности выборки (чем больше объем, тем ниже критическое значение).

Корреляционный анализ в психологии

Корреляционный метод выступает одним из основных в психологических исследованиях. И это не случайно, ведь психология стремится быть точной наукой. Получается ли?

В чем особенность законов в точных науках. Например, закон тяготения в физике действует без исключений: чем больше масса тела, тем сильнее оно притягивает другие тела. Этот физический закон отражает связь массы тела и силы притяжения.

В психологии иная ситуация. Например, психологи публикуют данные о связи теплых отношений в детстве с родителями и уровня креативности во взрослом возрасте. Означает ли это, что любой из испытуемых с очень теплыми отношениями с родителями в детстве будет иметь очень высокие творческие способности? Ответ однозначный - нет. Здесь нет закона, подобного физическому. Нет механизма влияния детского опыта на креативность взрослых. Это наши фантазии! Есть согласованность данных (отношения - креативность), но за ними нет закона. А есть лишь корреляционная связь. Психологи часто называют выявляемые взаимосвязи психологическими закономерностями, подчеркивая их вероятностный характер - не жесткость.

Пример исследования на студентах из предыдущего раздела хорошо иллюстрирует использование корреляций в психологии:

1. Анализ взаимосвязи между психологическими показателями. В нашем примере IQ и успешность общения с противоположным полом - это психологические параметры. Выявление корреляции между ними расширяет представления о психической организации человека, о взаимосвязях между различными сторонами его личности - в данном случае между интеллектом и сферой общения.
2. Анализ взаимосвязей IQ с успеваемостью и прыжками - пример связи психологического параметра с непсихологическими. Полученные результаты раскрывают особенности влияния интеллекта на учебную и спортивную деятельность.

Вот как могли выглядеть краткие выводы по результатам придуманного исследования на студентах:

1. Выявлена значимая положительная зависимость интеллекта студентов и их успеваемости.
2. Существует отрицательная значимая взаимосвязь IQ с успешностью общения с противоположным полом.
3. Не выявлено связи IQ студентов с умением прыгать с места.

Таким образом, уровень интеллекта студентов выступает позитивным фактором их академической успеваемости, в то же время негативно сказываясь на отношениях с противоположным полом и не оказывая значимого влияния на спортивные успехи, в частности, способность к прыгать с места.

Как видим, интеллект помогает студентам учиться, но мешает строить отношения с противоположным полом. При этом не влияет на их спортивные успехи.

Неоднозначное влияние интеллекта на личность и деятельность студентов отражает сложность этого феномена в структуре личностных особенностей и важность продолжения исследований в этом направлении. В частности, представляется важным провести анализ взаимосвязей интеллекта с психологическими особенностями и деятельностью студентов с учетом их пола.

Коэффициенты Пирсона и Спирмена

Рассмотрим два метода расчета.

Коэффициент Пирсона - это особый метод расчета взаимосвязи показателей между выраженностью численных значений в одной группе. Очень упрощенно он сводится к следующему:

1. Берутся значения двух параметров в группе испытуемых (например, агрессии и перфекционизма).
2. Находятся средние значения каждого параметра в группе.
3. Находятся разности параметров каждого испытуемого и среднего значения.
4. Эти разности подставляются в специальную форму для расчета коэффициента Пирсона.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена рассчитывается похожим образом:

1. Берутся значения двух индикаторов в группе испытуемых.
2. Находятся ранги каждого фактора в группе, то есть место в списке по возрастанию.
3. Находятся разности рангов, возводятся в квадрат и суммируются.
4. Далее разности рангов подставляются в специальную форму для вычисления коэффициента Спирмена.

В случае Пирсона расчет шел с использованием среднего значения. Следовательно, случайные выбросы данных (существенное отличие от среднего), например, из-за ошибки обработки или недостоверных ответов могут существенно исказить результат.

В случае Спирмена абсолютные значения данных не играют роли, так как учитывается только их взаимное расположение по отношению друг к другу (ранги). То есть, выбросы данных или другие неточности не окажут серьезного влияния на конечный результат.

Если результаты тестирования корректны, то различия коэффициентов Пирсона и Спирмена незначительны, при этом коэффициент Пирсона показывает более точное значение взаимосвязи данных.

Как рассчитать коэффициент корреляции

Коэффициенты Пирсона и Спирмена можно рассчитать вручную. Это может понадобиться при углубленном изучении статистических методов.

Однако в большинстве случаев при решении прикладных задач, в том числе и в психологии, можно проводить расчеты с помощью специальных программ.

Расчет с помощью электронных таблиц Microsoft Excel

Вернемся опять к примеру со студентами и рассмотрим данные об уровне их интеллекта и длине прыжка с места. Занесем эти данные (два столбца) в таблицу Excel.

Переместив курсор в пустую ячейку, нажмем опцию «Вставить функцию» и выберем «КОРРЕЛ» из раздела «Статистические».

Формат этой функции предполагает выделение двух массивов данных: КОРРЕЛ (массив 1; массив»). Выделяем соответственно столбик с IQ и длиной прыжков.

В таблицах Excel реализована формула расчета только коэффициента Пирсона.

Расчет с помощью программы STATISTICA

Заносим данные по интеллекту и длине прыжка в поле исходных данных. Далее выбираем опцию «Непараметрические критерии», «Спирмена». Выделяем параметры для расчета и получаем следующий результат.

Как видно, расчет дал результат 0,024, что отличается от результата по Пирсону - 0,038, полученной выше с помощью Excel. Однако различия незначительны.

Использование корреляционного анализа в дипломных работах по психологии (пример)

Большинство тем выпускных квалификационных работ по психологии (дипломов, курсовых, магистерских) предполагают проведение корреляционного исследования (остальные связаны с выявлением различий психологических показателей в разных группах).

Сам термин «корреляция» в названиях тем звучит редко - он скрывается за следующими формулировками:

• «Взаимосвязь субъективного ощущения одиночества и самоактуализации у женщин зрелого возраста»;
• «Особенности влияния жизнестойкости менеджеров на успешность их взаимодействия с клиентами в конфликтных ситуациях»;
• «Личностные факторы стрессоустойчивости сотрудников МЧС».

Таким образом, слова «взаимосвязь», «влияние» и «факторы» - верные признаки того, что методом анализа данных в эмпирическом исследовании должен быть корреляционный анализ.

Рассмотрим кратко этапы его проведения при написании дипломной работы по психологии на тему: «Взаимосвязь личностной тревожности и агрессивности у подростков».

1. Для расчета необходимы сырые данные, в качестве которых обычно выступают результаты тестирования испытуемых. Они заносятся в сводную таблицу и помещаются в приложение. Эта таблица устроена следующим образом:

• каждая строка содержит данные на одного испытуемого;
• каждый столбец содержит показатели по одной шкале для всех испытуемых.

№ испытуемого	Личностная тревожность	Агрессивность

2. Необходимо решить, какой из двух типов коэффициентов - Пирсона или Спирмена - будет использоваться. Напоминаем, что Пирсон дает более точный результат, но он чувствителен к выбросам в данных Коэффициенты Спирмена могут использоваться с любыми данными (кроме номинативной шкалы), поэтому именно они чаще всего используют в дипломах по психологии.

3. Заносим таблицу сырых данных в статистическую программу.

4. Рассчитываем значение.

5. На следующем этапе важно определить, значима ли взаимосвязь. Статистическая программа подсветила результаты красным, что означает, что корреляция статистически значимы при уровне значимости 0,05 (указано выше).

Однако полезно знать, как определить значимость вручную. Для этого понадобится таблица критических значений Спирмена.

Таблица критических значений коэффициентов Спирмена

	Уровень статистической значимости
Число испытуемых	р=0,05	р=0,01	р=0,001
	0,88	0,96	0,99
	0,81	0,92	0,97
	0,75	0,88	0,95
	0,71	0,83	0,93
	0,67
	0,63	0,77	0,87
		0,74	0,85
	0,58	0,71	0,82
	0,55	0,68
	0,53	0,66	0,78
	0,51	0,64	0,76

Нас интересует уровень значимости 0,05 и объем нашей выборки 10 человек. На пересечении этих данных находим значение критического Спирмена: Rкр=0,63.

Правило такое: если полученное эмпирическое значение Спирмена больше либо равно критическому, то он статистически значим. В нашем случае: Rэмп (0,66) > Rкр (0,63), следовательно, взаимосвязь между агрессивностью и тревожностью в группе подростков статистически значима.

5. В текст дипломной нужно вставлять данные в таблице формата word, а не таблицу из статистической программы. Под таблицей описываем полученный результат и интерпретируем его.

Таблица 1

Коэффициенты Спирмена агрессивности и тревожности в группе подростков

	Агрессивность
Личностная тревожность	0,665*

* - статистически достоверна (р ≤ 0,05)

Анализ данных, приведенных в таблице 1, показывает, что существует статистически значимая положительная связьмежду агрессивностью и тревожностью подростков. Это означает, что чем выше личностная тревожность подростков, тем выше уровень их агрессивности. Такой результат дает основание предположить, что агрессия для подростков выступает одним из способов купирования тревожности. Испытывая неуверенность в себе, тревогу в связи с угрозами самооценке, особенно чувствительной в подростковом возрасте, подросток часто использует агрессивное поведение, таким непродуктивным способом снижая тревогу.

6. Можно ли при интерпретации связей говорить о влиянии? Можно ли сказать, что тревожность влияет на агрессивность? Строго говоря, нет. Выше мы показали, что корреляционная связь между явлениями носит вероятностный характер и отражает лишь согласованность изменений признаков в группе. При этом мы не можем сказать, что эта согласованность вызвана тем, что одно из явлений является причиной другого, влияет на него. То есть, наличие корреляции между психологическими параметрами не дает оснований говорить о существовании между ними причинно-следственной связи. Однако практика показывает, что термин «влияние» часто используется при анализе результатов корреляционного анализа.