Кусочно линейная функция ее свойства и график. Кусочно-заданная функция

Кусочные функции - это функции, заданные разными формулами на разных числовых промежутках. Например,

Такая запись обозначает, что значение функции вычисляется по формуле √x, когда x больше или равен нулю. Когда же x меньше нуля, то значение функции определяется по формуле –x 2 . Например, если x = 4, то f(x) = 2, т. к. в данном случае используется формула извлечения корня. Если же x = –4, то f(x) = –16, т. к. в этом случае используется формула –x 2 (сначала возводим в квадрат, потом учитываем минус).

Чтобы построить график такой кусочной функции, сначала строятся графики двух разных функций не зависимо от значения x (т. е. на всей числовой прямой аргумента). После этого от полученных графиков берутся только те части, которые принадлежат соответствующим диапазонам x. Эти части графиков объединяются в один. Понятно, что в простых случаях чертить можно сразу части графиков, опустив предварительную прорисовку их «полных» вариантов.

Для приведенного выше примера для формулы y = √x получим такой график:

Здесь x в принципе не может принимать отрицательных значений (т. е. подкоренное выражение в данном случае не может быть отрицательным). Поэтому в график кусочной функции уйдет весь график уравнения y = √x.

Построим график функции f(x) = –x 2 . Получим перевернутую параболу:

В данном случае в кусочную функции мы возьмем только ту часть параболы, для которой x принадлежит промежутку (–∞; 0). В результате получится такой график кусочной функции:

Рассмотрим другой пример:

Графиком функции f(x) = (0.6x – 0.5) 2 – 1.7 будет видоизмененная парабола. Графиком f(x) = 0.5x + 1 является прямая:

В кусочной функции x может принимать значения в ограниченных промежутках: от 1 до 5 и от –5 до 0. Ее график будет состоять из двух отдельных частей. Одну часть берем на промежутке от параболы, другую - на промежутке [–5; 0] от прямой:

7
Урок по алгебре в 9А классе учителя Микитчук Ж.Н. МОУ «СОШ №23» 19.03.07г Тема урока: «Кусочно-заданные функции» Цели:

обобщить и совершенствовать знания, умения и навыки учащихся по указанной теме; воспитывать у учащихся внимательность, сосредоточенность, настойчивость, уверенность в своих знаниях; развивать мыслительные способности, логическое мышление; речевую культуру, умение применять теоретические знания.

В результате обобщения темы учащиеся должны знать:

понятие кусочно-заданной функции; формулы различных функций, соответствующие названия и изображения графиков;

уметь:

строить график кусочно-заданной функции; читать график; задавать функцию аналитически по графику.

Ход урока

I. Организационно-психологический момент. Начнем наш урок словами Д.К.Фадеева «Какую бы задачу вы не решали, в концевас ждёт счастливая минута – радостноечувство успеха, укрепление веры в свои силы.Пусть эти слова на нашем уроке обретут реальное подтверждение.II. Проверка домашнего задания. Начнем урок как обычно с проверки д/з.-Повторите определение кусочной функции и план исследования функций.1). На доске изобразить придуманные вами графики кусочных функций (рис.1,2,3)2).Карточки .№1. Расставьте порядок исследования свойств функций:

выпуклость; четность, нечётность; область значений; ограниченность; монотонность; непрерывность; наибольшее и наименьшее значение функции; область определения.

№2.Изобразите схематически графики функций:

А) у = kx + b, k0; Б) y = kx, k0;

В) у = , k0.

3).Устная работа . – 2мин

Какая функция называется кусочной?

Кусочной называется функция, заданная разными формулами на разных промежутках.

Из каких функций состоят кусочные функции, изображенные на рис.1,2,3? Какие ещё названия функций вы знаете? Как называются графики соответствующих функций? Является ли графиком какой-либо функции, фигура, изображенная на рис.4? Почему?

Ответ: нет, т.к. по определению функции, каждому значению независимой переменной х ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной у. 4) Самоконтроль - 3 минИз предложенных графиков и соответствующих формул, задающих функции, выберите верные. Из полученных букв ответов составьте знакомое слово. Ответ: ГРАФИК Где в жизни, в науке, в быту мы ещё встречаемся со словом ГРАФИК?-График зависимости массы от объёма,-объёма от давления;- график дежурства;- график движения поездов;-графики используются для представления различной информации, например, объём промышленного производства в Саратовской области в период с 1980 по 2002год.. По этому графику можно проследить за снижением и ростом производства в отдельные года.-Скажите, графиком какой функции представлена данная информация.Ответ: кусочная функция .III. Сообщение темы, цели урока. Тема урока: «Кусочно-заданные функции»Цель: - на примере кусочно-заданной функции вспомнить план исследования функций;

повторить шаги построения кусочно-заданной функции; применять обобщенные знания при решении нестандартных задач.

IV. Актуализация ранее усвоенных знаний. Понятие функции впервые встретилось нам в 7 классе при изучении линейной зависимости. С точки зрения моделирования реальных процессов, эта зависимость соответствует равномерным процессам.Пример: Движение пешехода с постоянной скоростью за время t. Формула: s =vt, график – отрезки прямой, расположен в I четверти.
Основная тема 8-го класса – квадратичная функция, моделирующая равноускоренные процессы.Пример: изученная вами в 9-ом классе формула определения сопротивления нагретой лампы (R) при постоянной мощности (Р) и изменяющемся напряжении (U). ФормулаR = , график – ветвь параболы, расположен-ная в I четверти.
На протяжении трёх лет наши знания о функциях обогащались, количество изученных функций росло, пополнялся и набор заданий для решения которых приходится прибегать к графикам.Назовите эти типы заданий…- решение уравнений; - решение систем уравнений; - решение неравенств; - исследование свойств функций. V.Подготовка уч-ся к обобщающей деятельности. Вспомним один из типов заданий, а именно – исследование свойств функций или чтение графика.Обратимся к учебнику. Страница 65 рис.20а из №250.Задание: прочитать график функции. Порядок исследования функции перед нами.1. область определения – (-∞; +∞) 2. четность, нечётность – ни четная, ни нечётная 3. монотонность- возрастает [-3; +∞), убывает [-5;-3], постоянна (-∞; -5]; 4. ограниченность – ограничена снизу 5. наибольшее и наименьшее значение функции – у наим = 0, у наиб – не существует; 6. непрерывность- непрерывна на всей области определения; 7. область значений – , выпукла и вниз и вверх (-∞; -5] и [-2; +∞). VI. Воспроизведение знаний на новом уровне. Вы знаете, что построение и исследование графиков кусочно-заданных функций, рассматриваются во второй части экзамена по алгебре в разделе функции и оцениваются 4-мя и 6-ю баллами. Обратимся к сборнику заданий.Страница 119 - №4.19-1).Решение: 1).у = - x, - квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз (а = -1, а 0). х -2 -1 0 1 2 у -4 -1 0 1 4 2) у= 3х – 10, - линейная функция, график – прямая Составим таблицу некоторых значений х 3 3 у 0 -1 3) у= -3х -10, - линейная функция, график – прямая Составим таблицу некоторых значений х -3 -3 у 0 -1 4)Построим графики функций в одной системе координат и выделим части графиков на заданных промежутках.
Найдем по графику, при каких значениях х значения функции неотрицательны. Ответ: f(x)  0 при х = 0 и при  3VII.Работа над нестандартными заданиями. №4.29-1), стр. 121. Решение: 1)Прямая (слева) у = kx + b проходит через точки (-4;0) и (-2;2). Значит,-4 k + b = 0,-2 k + b = 2;
k = 1, b = 4, у = х+4.Ответ: х +4, если х -2 у = , если -2 х £ 3 3, если х 3
VIII.Контроль знаний. Итак, подведём небольшой итог. Что мы повторили на уроке?План исследования функций, шаги построения графика кусочной функции, задание функции аналитически. Проверим как вы усвоили данный материал.Тестирование на «4»- «5», «3» I вариант№ У
2 1 -1 -1 1 Х

D(f) = , выпуклая и вверх и вниз на , выпуклая вверх и вниз на , убывает на ________ Ограничена ____________ у наим не существует, у наиб =_____ Непрерывна на всей области определения Е(f) = ____________ Выпукла и вниз и вверх на всей области определения

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Учебник: Алгебра 8 класс под редакцией А. Г. Мордковича.

Тип урока: Открытие нового знания.

Цели:

для учителя цели зафиксированы в каждом этапе урока;

для ученика:

Личностные цели:

• Научиться ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи;
• Научиться применять подученные знания и навыки к решению новых проблем;
• Научиться контролировать процесс и результат своей деятельности;

Метапредметные цели:

В познавательной деятельности:

• Развитие логического мышления и речи, умения логически обосновывать свои суждения, проводить несложные систематизации;
• Научиться выдвигать гипотезы при решении задач, понимать необходимость их проверки;
• Применять знания в стандартной ситуации, научиться самостоятельно выполнять задания;
• Осуществлять перенос знаний в изменённую ситуацию, видеть задачу в контексте проблемной ситуации;

В информационно-коммуникативной деятельности:

• Научиться вести диалог, признавать право на иное мнение;

В рефлексивной деятельности:

• Научиться предвидеть возможные последствия своих действий;
• Научиться устранять причины возникновения трудностей.

Предметные цели:

• Узнать, что такое кусочно-заданной функция;
• Научиться задавать кусочно-заданную функцию аналитически по ее графику;

Ход урока

1. Самоопределение к учебной деятельности

Цель этапа:

• включить учащихся в учебную деятельность;
• определить содержательные рамки урока: продолжаем повторять тему числовые функции.

Организация учебного процесса на этапе 1:

У: Чем мы занимались на предыдущих уроках?

Д: Повторяли тему числовые функции.

У: Сегодня мы продолжим повторять тему предыдущих уроков, а также мы должны сегодня выяснить, что нового в этой теме мы можем узнать.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

Цель этапа:

• актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: вспомнить формулы числовых функций, их свойства и способы построения;
• актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;
• зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: задание кусочно-заданной функции аналитически, а так же построения ее графика.

Организация учебного процесса на этапе 2:

У: На слайде изображено пять числовых функций. Определите их вид.

1) дробно-рациональная;

2) квадратичная;

3) иррациональная;

4) функция с модулем;

5) степенная.

У: Назовите формулы соответствующие им.

3) ;

4) ;

У: Давайте обсудим, какую роль выполняет каждый коэффициент в данных формулах?

Д: Переменные “l” и “m” отвечают за сдвиг графиков данных функций влево - вправо и вверх - вниз соответственно, коэффициент “к” в первой функции определяет положение веток гиперболы: к>0 - ветви находятся в I и III четвертях, к < 0 - во II и IV четвертях, а коэффициент “а” определяет направление ветвей параболы: а>0 - ветви направлены вверх, а < 0 - вниз).

2. Слайд 2

У: Задайте аналитически функции, графики которых изображены на рисунках. (учитывая, что двигают y=х 2). Учитель выписывает ответы на доске.

Д: 1) );

2);

3. Слайд 3

У: Задайте аналитически функции, графики которых изображены на рисунках. (учитывая, что двигают ). Учитель выписывает ответы на доске.

4. Слайд 4

У: Используя предыдущие результаты, задайте аналитически функции, графики которых изображены на рисунках.

3. Выявление причин затруднений и постановка цели деятельности

Цель этапа:

• организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;
• согласовать цель и тему урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

У: Что вызывает у вас затруднения?

Д: На экране предоставлены кусочки графиков.

У: Какова же цель нашего урока?

Д: Научиться задавать аналитически кусочки функций.

У: Сформулируйте тему урока. (Дети пытаются самостоятельно сформулировать тему. Учитель ее уточняет. Тема: Кусочно-заданная функция.)

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа:

• организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;
• зафиксировать новый способ действия.

Организация учебного процесса на этапе 4:

У: Давайте еще раз внимательно прочитаем задание. Какие результаты в качестве помощи просят использовать?

Д: Предыдущие, т.е. те, которые записаны на доске.

У: Может эти формулы уже являются ответом на данное задание?

Д: Нет, т.к. этими формулами задается квадратичная и рациональная функции, а на слайде изображены их кусочки.

У: Давайте обсудим, каким промежуткам оси абсцисс соответствуют кусочки первой функций?

У: Тогда аналитический способ задания первой функции выглядит как: , если

У: Что нужно сделать, чтобы выполнить аналогичное задание?

Д: Записать формулу и определить, каким промежуткам оси абсцисс соответствуют кусочки данной функций.

5. Первичное закрепление во внешней речи

Цель этапа:

• зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

7. Включение в систему знаний и повторение

Цель этапа:

• тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным.

Организация учебного процесса на этапе 7:

У: Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке.

8. Рефлексия деятельности на уроке

Цель этапа:

• зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;
• оценить собственную деятельность на уроке;
• поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;
• зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;
• обсудить и записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 8:

У: С чем мы сегодня познакомились на уроке?

Д: С кусочно-заданной функцией.

У: Какую работу мы учились сегодня выполнять?

Д: Задавать данный вид функции аналитически.

У: Поднимите руку, кто понял тему сегодняшнего урока? (С остальными детьми обсудить возникшие проблемы).

Домашнее задание

• №21.12(а, в);
• №21.13(a, в);
• №22.41;
• №22.44.

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с функциями, которые заданы не одной формулой, а несколькими разными формулами на разных промежутках.

Функции, задаваемые разными формулами на разных промежутках области определения

Рассмотрим пример ситуации.

Пример 1.

Пешеход начал свое движение в пункте А со скоростью 4 км/ч и шел 2,5 часа. После этого он сделал остановку и отдыхал 0,5 часа. После отдыха он продолжил свое движение со скоростью 2,5 км/ч и двигался еще 2 часа. Опишите зависимость изменения расстояния от пешехода до пункта А со временем.

Заметим, что общее время, которое провел пешеход в дороге, составляет 5 часов. Однако, на разных отрезках времени пешеход удалялся от пункта А по-разному.

Первые 2,5 часа он двигался со скоростью 4 км/ч, поэтому зависимость расстояния между пешеходом и пунктом А от времени можно выразить формулой:

S(t) = 4t , .

Следующие 0,5 часа он отдыхал, поэтому расстояние между ним и пунктом А не изменялось и составляло 10 км, то есть можно записать: S(t) = 10, .

Последние 2 часа он двигался со скоростью 2,5 км/ч, и формулу зависимости расстояния между пешеходом и пунктом А от времени можно выразить формулой:

S(t) = 10 + 2,5(t – 3), .

Таким образом, соединяя последовательно полученные выражения, получаем следующую зависимость, которая выражается тремя разными формулами на разных промежутках области определения:

Областью определения данной функции является промежуток . Множеством значения является множество чисел .

На рисунке 1. изображен график этой функции:

Рис.1. График функции

Как мы видим, он представляет собой ломаную, состоящую из трех звеньев, соответствующих трем промежуткам области определения, на каждом из которых зависимость выражается определенной формулой.

Пример 2.

Пусть функция задана формулой: . Раскроем модуль и построим график этой функции:

При получаем: .
При получаем: .

То есть функция может быть записана так:

Теперь построим ее график. При отрицательных значениях переменной график будет совпадать с прямой y = 3x + 1, а при неотрицательных значениях переменной график будет совпадать с прямой y = x + 1.

График изображен на рисунке 2.

Рис. 2. График функции

Рассмотрим еще один пример.

Пример 3.

Функция задана графиком (см. Рис. 3):

Рис.3. График функции, заданной кусочно

Задайте функцию формулой.

Область определения данной функции состоит из чисел: .

Вся область определения разбита на три промежутка:

1.
2.
3.

На каждом из этих промежутков функция задана разными формулами. Каждая из функций, которыми задается функция на промежутках, является линейной. Найдем эти функции.

1. На первом промежутке функция y = kx + b проходит через точку (–6; –4) и точку (2; 4).

–4 = –6k + b
4 = 2k + b

Выразим из первого уравнения b и подставим во второе уравнение:

b = –4 + 6k
4 = 2k –4 + 6k

Отсюда получаем k = 1. Затем вычислим b = 2.

Заметим, что коэффициенты можно было найти по-другому: график пересекает ось ОУ в точке (0; 2). Это значит, что b = 2.

Угловой коэффициент функции положительный. По графику видно, что при изменении значения х на 1 значение у также изменяется на 1. Это значит, что k = 1.

y = x + 2.

2. На втором промежутке функция y = kx + b проходит через точку (2; 4) и точку (6; 2).

Подставим координаты этих точек в уравнение прямой:

4 = 2k + b
2 = 6k + b

b = 4 – 2k
2 = 6k + 4 – 2k

Отсюда получаем k = –0,5. Затем вычислим b = 5.

То есть мы получили выражение для функции на промежутке : y = –0,5x + 5.

3. На третьем промежутке функция y = kx + b проходит через точку (6; 2) и точку (9; 11).

Подставим координаты этих точек в уравнение прямой:

2 = 6k + b
11 = 9k + b

Выразим из первого уравнения b и подставим во второе уравнение:

b = 2 – 6k
11 = 9k + 2 – 6k

Отсюда получаем k = 3. Затем вычислим b = –16.

То есть мы получили выражение для функции на промежутке : y = 3x – 16.

Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с помощью функций. Так, можно выделить два основных типа течения процессов, противоположных друг другу – это постепенное или непрерывное и скачкообразное (примером может служить падение мяча и его отскок). Но если есть разрывные процессы, то существуют и специальные средства для их описания. С этой целью вводятся в обращение функции, имеющие разрывы, скачки, то есть на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам и, соответственно, задается разными формулами. Вводятся понятия точек разрыва, устранимого разрыва.

Наверняка вам уже встречались функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:

y = {x – 3, при x > -3;
{-(x – 3), при x < -3.

Такие функции называются кусочными или кусочно-заданными . Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются граничными точками . Формулы, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называются входящими функциями . Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.

Упражнения.

Построить графики кусочных функций:

1) {-3, при -4 ≤ x < 0,
f(x) = {0, при x = 0,
{1, при 0 < x ≤ 5.

График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами (0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси Ох.

Ответ: рисунок 1.

2) {3, если x ≤ -4,
f(x) = {|x 2 – 4|x| + 3|, если -4 < x ≤ 4,
{3 – (x – 4) 2 , если x > 4.

Рассмотрим отдельно каждую функцию и построим ее график.

Так, f(x) = 3 – прямая, параллельная оси Ох, но изображать ее нужно только на участке, где x ≤ -4.

График функции f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| может быть получен из параболы y = x 2 – 4x + 3. Построив ее график, часть рисунка, которая лежит над осью Ox, необходимо оставить без изменений, а часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отобразить относительно оси Ox. Затем симметрично отобразить часть графика, где
x ≥ 0 относительно оси Oy для отрицательных x. Полученный в результате всех преобразований график оставляем только на участке от -4 до 4 по оси абсцисс.

График третьей функции – парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами (4; 3). Чертеж изображаем только на участке, где x > 4.

Ответ: рисунок 2.

3) {8 – (x + 6) 2 , если x ≤ -6,
f(x) = {|x 2 – 6|x| + 8|, если -6 ≤ x < 5,
{3, если x ≥ 5.

Построение предлагаемой кусочной-заданной функции аналогично предыдущему пункту. Здесь графики первых двух функций получаются из преобразований параболы, а график третьей – прямая, параллельная Ох.

Ответ: рисунок 3.

4) Построить график функции y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Решение. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля. Раскроем модуль. Для этого рассмотрим два случая:

1) При x > 0 получим y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

2) При x < 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Таким образом, перед нами кусочно-заданная функция:

y = {(x – 2) 2 , при x > 0;
{ x 2 + 2x, при x < 0.

Графики обоих функций – параболы, ветви которых направлены вверх.

Ответ: рисунок 4.

5) Построить график функции y = (x + |x|/x – 1) 2 .

Решение.

Легко видеть, что областью определения функции являются все действительные числа, кроме нуля. После раскрытия модуля получим кусочно-заданную функцию:

1) При x > 0 получим y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .

2) При x < 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

Перепишем.

y = {x 2 , при x > 0;
{(x – 2) 2 , при x < 0.

Графики этих функций – параболы.

Ответ: рисунок 5.

6) Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

Решение.

Да, существует.

Примером может быть функция f(x) = x 3 . Действительно, с вертикальной прямой х = а график кубической параболы пересекается в точке (а; а 3). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Тогда уравнение
x 3 – kx – b = 0 имеет действительный корень х 0 (так как многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень). Следовательно, график функции пересекается с прямой y = kx + b, например, в точке (х 0 ; х 0 3).

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.