Мир пропорций в жизни человека. Божественная пропорция - реферат

Сегодня мы познакомимся с необычной пропорцией, называемой золотым сечением и даже божественной пропорцией. Вы узнаете какую роль играет эта пропорция в окружающем мире, как она связана с понятием гармонии и как и почему она используется в искусстве (живописи, архитектуре, фотографии…), дизайне…

В живописи, фотографии, дизайне золотое сечение очень часто используется в виде классических приемов композиции, о чем вы можете прочитать, заглянув на любой сайт, посвященный этим видам искусства.] Основная рекомендация заключается в следующем. Объект, являющийся центральной фигурой в композиции, далеко не всегда должен располагаться в центре. Определенные точки в композиции автоматически привлекают внимание. Таких точек 4, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от краев картины. Нарисовав сетку, получим эти точки в местах пересечения линий (см. фотографию).

Под золотым сечением понимается такое пропорциональное деление отрезка на неравные части. При котором длина всего отрезка так относится к его большей части, как длина большей части относится к длине меньшей. Это отношение равно иррациональному числу Ф= Впервые золотое сечение встречается в «Началах» Евклида (300 лет до н.э.). Лука Пачоли, современник Леонарда да Винчи, назвал его «божественной пропорцией». Золотое сечение обозначают символами PHI или Ф (в честь древнегреческого скульптора Фидия, всегда использовавшего в своих работах золотое сечение). Математик Фибоначчи впервые получил последовательность чисел, названной в его честь числами Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 … Особенностью этого числового ряда является то, что каждый его член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: 1+1=2; 1+2=3; 2+3=5; 3+5=8 …При этом отношение двух соседних членов равно золотому сечению, т.е. числу Ф. Рассматривая закономерности, связанные с проявлением золотого сечения, обычно используют обратную величину числа Ф: 1/1,618 = 0,618 a+ba+b a bb: a = (a+b) : b

Вопрос: Что общего в расположении полипептидных цепей нуклеиновых кислот, лепестков розы, раковин моллюсков, рогов млекопитающих, подсолнуха, далеких космических галактик? Ответ: в основе их структуры лежит золотая (логарифмическая) спираль. Эта спираль вписывается в золотой прямоугольник (отношение длины и ширины которого равно числу Ф). Последовательно отрезая от него квадраты и вписывая в каждый из них по четверти окружности, мы и получим золотую спираль (см. фото) Роль спирали в строении животных и растительных объектов открыл Т.Кук, доказав, что феномен роста связан с золотой спиралью. Носитель генетического кода - молекула ДНК - состоит из двух переплетенных между собой спиралей. Не так давно спиральные структуры обнаружены и в неживой природе

Филлотаксисом называется своеобразное решетчатое расположение листьев, семян, чешуек многих видов растений. Ряды ближайших соседей в таких решетках разворачиваются по спиралям или закручиваются винтовыми линиями вокруг цилиндра. Семечки в подсолнухе расположены по логарифмическим спиралям. При этом отношение числа левых и правых спиралей равно отношению соседних чисел Фибоначчи. Можно встретить подсолнухи с отношением количества спиралей 34 /55 и 55/89.

Золотое сечение пронизывает всю историю искусства: пирамиды Хеопса, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптур памятников, непревзойденная Джоконда Леонарда да Винчи, картины Рафаэля, Шишкина, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского, стихи Пушкина … вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией основанной на золотом сечении. На фотографии показаны здания, при делении основных масс конструкций которых использовалось золотое сечение. Обычно считается, что такое членение используется в зданиях, построенных в классическом стиле. Однако, посмотрите на Смольный собор, построенный в стиле барокко, и вы без труда обнаружите золотое сечение.

Идеальным, совершенным считается тело, пропорции которого составляет золотое сечение. Основные пропорции были определены Леонардо да Винчи, и художники стали сознательно их использовать. Основное деление человеческого тела – это деление точкой пупа. Отношение расстояния от пупа до ступни к расстоянию от пупа до макушки составляют золотое сечение. Идеальной женской фигурой считается фигура Афродиты Милосской (см. рисунок). Интересно, что статистически средние размеры тел различных людей также подчинены правилу золотого сечения (об этом свидетельствуют антропологические исследования Цейзинга (1855 г.), который провел измерения почти 2000 человек. Из любопытства можно самим проверить насколько близко ваше тело к идеальному. Зайдите в Интернет, наберите «идеальные пропорции человеческого тела», проведите измерения и сделайте выводы. Существуют определенные правила, по которым изображают фигуру человека, основанные на понятии пропорциональности размеров различных частей тела.

Форма птичьих яиц описывается золотым сечением. Сегодня уже установлено, что при такой конфигурации прочностные характеристики оболочки оказываются наиболее высокими. Совершенная форма тела стрекозы создана по законам золотого сечения: отношение длины хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста. Резюме Не одно столетие ученые применяют уникальные математические свойства золотого сечения. Это отношение обнаруживается во всех живых организмах, растениях на всех уровнях их развития. Универсальность его проявления в строении органов, систем, их функциональных параметрах позволяет предполагать, что оно играет роль кирпичика в фундаменте всего живого на Земле. Последние исследования в области астрономии, физики показывают, что это сечение имеет отношение ко всему Мирозданию.

1. Разделите отрезок длиной 16 см в отношении золотого сечения. Используйте числа Фибоначчи 1 вариант – 3 и 5 2 вариант - 2 и 3 2. Длина прямоугольника равна 20 см (1 вариант), 15 см(2 вариант). Найдите такую ширину прямоугольника, чтобы отношение длины к ширине составило золотое сечение Ф=1,6 Решите задачу, составив уравнение 3. Проверьте, насколько идеально одно из отношений вашей ладони: отношение длины указательного пальца к длине двух его фаланг от конца пальца. Измерьте с помощью линейки указанные длины и найдите их отношение. Округлите полученное число до десятых и сравните с Ф=1,6 (определите, насколько оно больше или меньше числа Ф)

Исследовательский проект

«Золотое сечение

вокруг нас»

1. Вступление…………………………………………………….3

2. Глава1 . История золотого сечения

Золотое сечение в математике. …………...……………….5

1. Глава 2. Золотое сечение в искусстве…………………….….7

2. Глава 3. Золотое сечение в природе……………………..…..10

3. Глава 4. Золотое сечение вокруг нас………………….……..11

4. Глава 4. Эксперимент…………………………………………14

5. Заключение………………………………………………….....15

6. Литература……………………………………………………..15

7. Приложение ……………………………………………..……16

Вступление.

"Геометрия обладает двумя великими

сокровищами. Первое - это теорема Пифагора,

второе - деления отрезка в крайнем и среднем

отношениях. Первое сравнимо с мерой золота,

второе же больше напоминает драгоценный камень"

Иоганн Кеплер

Рассматривая на уроке математики тему «Пропорция» учитель привел примеры золотого сечения, назвав ее «божественной пропорцией». Увлекшись этой темой, я узнал, что «Божественной пропорцией» золотое сечение назвал средневековый итальянский математик Лука Пачоли, написав книгу о золотом сечении, которую так и назвал «Божественная пропорция». По его мнению, даже Бог использовал принцип золотого сечения для создания Вселенной.

Золотое сечение встречается везде: в искусстве, природе, окружающем нас мире. Тема интересна и современна, она не потерялась во времени. И поэтому является темой моего исследования.

В моем выборе меня поддержали родители и учитель математики. В исследовательской работе мы постарались эту тему изучить подробнее, доказать присутствие золотого сечения в окружающем нас мире.

Что же такое – «золотое сечение»?

Гипотеза: «Золотое сечение» - гармоническая пропорция.

Объект исследования: репродукции картин, фотографии и рисунки знаменитых архитектурных сооружений, скульптур, современные строения и окружающий нас мир.

Предмет исследования : форма и строение исследуемых предметов.

Цель: Показать, что великое открытие – ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ, пройдя множество веков живо, актуально и востребовано по сей день.

Задачи работы :

Мы попытаемся проанализировать историю «золотого сечения».

Мы исследуем репродукции картин знаменитых художников, архитектурных сооружений и скульптур на предмет «золотого сечения».

Мы попробуем найти «золотое сечение» в природе и окружающем нас мире.

Проведем эксперимент на выявление предпочтения пропорциям «золотого сечения».

Новизна исследования: раскрытие учащимся нашей школы понятия «золотого сечения» в окружающем нас мире.

Ход исследования:

Подобрать материалы по истории «золотого сечения» в библиотеке и в Интернете.

Изучить подобранный материал.

Подобрать фотографии и рисунки.

Найти «золотое сечение» в окружающем нас мире.

Провести эксперимент и проанализировать собранный материал.

Сделать выводы.

Практическая значимость:

Использование приобретенных знаний и навыков исследовательской работы при изучении геометрии, биологии, изобразительного искусства, истории, астрономии.

Использование работы при составлении стенда: «Золотое сечение вокруг нас» в кабинете математики.

Методы исследования : наблюдение, измерение, анализ, эксперимент.

Умения и навыки : подбирать необходимую литературу и делать выводы по собранной информации, работать в Интернете, проводить эксперимент, оформлять работу.

Глава1 . История золотого сечения. Золотое сечение в математике.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. a: b= b: c или с: b= b: а.

Обозначаемое греческой буквой «фи» (φ), золотое сечение выражается числом

͌ 0, 618 (обратное ему 1,618) и обладаем рядом любопытных свойств. φ – первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал золотое сечение в своих произведениях, а термин ввел великий художник, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519)

История “Золотого сечения” - это история человеческого развития мира.

Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор и его ученики свое знание золотого сечения позаимствовали у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Вся древнегреческая культура развивалась под знаком золотой пропорции. Греки первые установили: пропорции хорошо сложенного человеческого тела подчиняются ее законам, что особенно хорошо видно на примере античных статуй (Аполлон Бельведерский, Венера Милосская). Античный Парфенон - исполнены гармонии золотой пропорции. В наши дни интерес к золотой пропорции возрос с новой силой. Рассмотрим основные геометрические фигуры, в которых присутствует «золотое сечение».

Числа Фибоначчи и золотое сечение.

В 1202 г вышел в свет его математический труд “Книга об абаке” (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила “Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится”. Размышляя на эту тему, Леонардо Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д.
Он известен, как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13, 8 + 13= 21; 13 + 21= 34 и т.д., а если разделить каждое из них на предыдущее, то получится: 1:1=1; 2:1=2; 3:2=1,5; 5:3=1,666 666; 8:5=1,6; 13:8=1,625; 21:13=1,615384 … Если делить все большие и большие числа Фибоначчи, то можно приблизиться к отношению золотого сечения. Несмотря на то, что книга была опубликована в 1202 году числа Фибоначчи, привлекают математиков до сих пор.

Золотое сечение в математике.

	«Золотой» равнобедренный треугольник. Это равнобедренный треугольник, отношение боковой стороны к основанию равно 1,618
	«Золотой» прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник, в котором стороны относятся как 1,618 :√1,618: 1, называется "золотым" прямоугольным треугольником.
	«Золотой» прямоугольник. Длина такого прямоугольника больше его ширины примерно в 1,618 раз
	Пентаграмма - правильный пятиугольник. Точки пересечения диагоналей в пентаграмме всегда являются точками золотого сечения диагоналей. При этом эти точки образуют новую пентаграмму FGHKL. В новой пентаграмме можно провести диагонали, пересечение которых образуют новую пентаграмму.

Глава 2. Золотое сечение в искусстве.

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина"Сосновая роща"

	На знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия.
Картина Н.Н. Ге "Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском".
	В этой картине фигура Пушкина также поставлена художником слева на линии золотого сечения. Голова военного, с восторгом слушающего чтение поэта, находится на другой вертикальной линии золотого сечения.
Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи "Джоконда"
	Портрет Моно Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на"золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника)

Статуя Аполлона Бельведерского Статуя Венеры Милосской

Известно, что знаменитая скульптура создана по принципу золотого сечения. Точка С делит отрезок AD, точка В делит отрезок АС в отношении приближенно равно 1,618.

Парфенон (древнегреческая архитектура)

Древние греки Иктинас, Колликрэйтс, и Фидиас, совместно создали Парфенон, в Афинах приблизительно в 440 г. до нашей эры. Если фасад Парфенона вписать в прямоугольник, то стороны прямоугольника образуют золотое сечение. Длина прямоугольника больше его ширины примерно в 1,6 раза.

Великая Пирамида фараона Хеопса

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает Великая Пирамида фараона Хеопса (Хуфу) . Гениальные создатели египетских пирамид стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого, выбрав в качестве "главной геометрической идеи" для пирамиды Хеопса - "золотой" прямоугольный треугольник.

Застывшая музыка русских храмов

Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади Москвы. Для композиции построек собора характерно гармоническое сочетание симметричных и асимметричных пропорций. Храм, симметричный в своей основе, содержит много геометрических "неправильностей". Так, центральный объем шатра смещен на 3 м к западу от геометрического центра всей композиции. Однако неточность делает композицию более живописной, "живой" и она выигрывает в целом. Для архитектурного убранства собора характерно нарастание декоративных форм ввысь; формы вырастают одна из другой, тянутся вверх, подымаясь то крупными элементами, то образуя группы, состоящие из более мелких декоративных частей.

Исследователи обнаружили в нем пропорцию, основанную на ряде золотого сечения:

1: 0,618:0,618 2:0,618 3:0,618 4:0,618 5:0,618 6:0,618 7

Пентаграмма и «Пентагон»

Пентаграмма вызывала особое восхищение у пифагорейцев и считалась их главным опознавательным знаком.

Здание военного ведомства США имеет форму пентаграммы и получило название «Пентагон», что значит правильный пятиугольник.

Изучив литературу по данной теме, мы пришли к выводу, что издревле людей интересовала «золотая пропорция». Мы так же узнали, что люди давно использовали «золотую пропорцию» на практике при строительстве различных домашних строений и храмов, использовали при изготовлении домашней утвари, применяли при создании механизмов, которые облегчали труд человека. В этой главе мы привели наиболее интересные, по-нашему мнению, примеры, связанные с золотым сечением.

Глава 3. Золотое сечение в природе.

Изучив литературу, мы узнали, что у многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы. В природе встречается «пентагональная» симметрия»:

китайская роза яблоко в разрезе морская звезда кактус

Мы узнали, что человеческое тело создано по законам золотого сечения. Оказывается, талия делит совершенное человеческое тело в отношении золотого сечения. Ученые обнаружили, что для взрослых мужчин это отношение

равно в среднем примерно 13/8 = 1,625, а для взрослых женщин оно составляет 8/5 = 1,6. Так что пропорции мужчин ближе к "золотому сечению", чем пропорции женщин (однако женщина в обуви на каблуках может оказаться ближе к "золотым" пропорциям). У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году у мужчин равняется 1,625. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев..

Таким образом, природа подчиняется принципу «золотой пропорции» (строение человеческого тела, ящерицы, бабочки, листья и цветы многих растений и т.д.).

Глава 4. Золотое сечение вокруг нас

Мы исследовали окружающий нас мир на наличие золотого сечения. И нашли много интересных фактов, подтверждающих, что золотое сечение живет рядом с нами.

	Мемориал Памяти с. Ребриха Высота солдата относится к высоте девочки приблизительно равно 1,66
	Районный краеведческий музей. Отношение длины здания к высоте приблизительно равно 1,53
	Ст. Ребриха Ул. Касмалинская Высота дома относится к его длине как: 1,77
	Высота изображенных лошадей относится к длине изображенных лошадей, как: 1,7
Рис. 1 Рис. 2 Рис.3	Мы исследовали расположение листьев комнатных растений вдоль стебля и измерили расстояние между листьями, нашли отношения соответственных расстояний (рис.1) Такой же принцип роста мы обнаружили и у других растений. На данных фотографиях показано, что точка В делит отрезок АС в отношении: 1,4 (рис.1), и 1,3(рис.2)

Исследуем ученика 6 класса:

Таблица№1. Золотое сечение и человек Части тела Отношение Результат Длина предплечья и кисти Талия и длина тела Длина кисти и пальцев

Из таблицы видно, что пропорции тела приближены к золотому сечению, но до идеальной пропорции необходимо еще расти.

Исследуем Солнечную систему

Листая справочные материалы и энциклопедии, мы обнаружили таблицы с характеристиками планет солнечной системы (приложение1). И решили проверить солнечную систему на содержание золотого сечения. К нашему удивлению, мы ее обнаружили. Данные приводим в таблице №2

Таблица№2.

Планеты	Отношение расстояний от Солнца до планет	Отношение больших полуосей орбит
Венера-Меркурий
Земля-Венера
Марс-Земля
Юпитер-Марс
Сатурн-Юпитер
Уран-Сатурн
Нептун-Уран
Плутон-Нептун
Среднее арифметическое
Среднее арифметическое с планетой Фаэтон

Заметим, что отношение между планетами Марсом и Юпитером заметно отличается от других. Практически в два раза. В литературе указано, что между этими планетами находится пояс астероидов. Меня заинтересовал этот вопрос. Рассмотрев различные источники информации, оказалось, что немецкий физик и математик И. Тициус в 1766 году нашел числовую закономерность в расстояниях планет от Солнца. Согласно этому

правилу, между орбитами Марса и Юпитера должна была существовать какая-то планета. Считается, что древние греки называли ее Фаэтон и ее орбита находилась между орбитами Марса и Юпитера. До сих пор идут споры о ее существовании.

Мы, полагаясь на данную таблицу (среднее арифметическое отношение расстояний планет от Солнца, включая планету Фаэтон- равно 1,6) - считаем, что планета была!!!

Глава 4. Эксперимент

В этой главе мы проводим эксперименты на выявление предпочтения пропорциям «золотого сечения» учениками нашей школы.

Эксперимент №1. Мы попросили испытуемых выбрать среди 11 прямоугольников наиболее привлекательный, причем лишь два из них являются золотыми. Данные приводим ниже в таблице №3. Таблица №3

Класс	Кол-во опрошенных	Кол-во человек, которые выбрали золотой прямоугольник	% выбора золотых прямоугольников учениками	% золотых прямоугольников первоначально

Из таблицы видно, что выбор золотого прямоугольника увеличился у старшеклассников.

Эксперимент №2. Мы предложили ученикам 5-6 классов (всего 17 человек), побыть немного художниками и изобразить горизонт будущей своей картины. При подсчете итогов, заметили, что линия горизонта делит на всех рисунках в среднем ͌ 1,65.

Эксперименты подтвердили, что большее предпочтение отдается золотым пропорциям.

Заключение.

Тема «Золотое сечение вокруг нас» интересна и современна, она не потерялась во времени. Золотое сечение, действительно, можно называть «Божественной пропорцией». Оно, не только окружает нас вокруг и распространено в Солнечной системе, но и события, происходящие с нами, тоже происходят согласно золотой пропорции. Например, возрастные кризисы людей. В обществознании есть закон уплотнения истории – с каждым новым этапом скорость развития общества увеличивается. Эта тема отдельной исследовательской работы.

Важным результатом изучения данной темы является, то, что принцип золотого сечения используется везде: в искусстве, науке, природе, человеке, гармонично объединяя весь в мир в единое целое. Накопленный материал, пригодиться в дальнейшей исследовательской работе. Можно подробнее изучить на предмет золотого сечения здания, находящиеся на территории Ребрихинского района. Не менее увлекательным будет для старшеклассников путешествие в мир золотого сечения в математике.

Литература.

Еженедельная учебно-методическая газета «Математика» №13, 2008 г.- Издательский дом «Первое сентября» гл. ред. А.Соловейчик.

Я познаю мир: Математика: Дет. энцикл./авт.сост.А.П.Савин,2004.

Что мы знаем о планетах. Мн., «Народная асвета», 1977г

Земля / Пер. с ит. И.Горелой; - М.:ЗАО «Планета детства», 2001

Лэнгдон Н, Снейп Ч. С математикой в путь: Пер. с англ.-М.:Педагогика, 1987

проектов является исследовательский проект , где... Удвоение куба. История числа п. Золотое сечение . «Начала» Евклида. Л. Эйлер. ... «Чем красивы люди вокруг нас» и др., обсуждают...

1. Руководители проекта

   Документ

   Формулой «золотого правила». «Золотое нас» сечений вокруг оси, ... первозданная К оглавлению ==280 КОММУНИКАЦИЯ... исследовательских проектов вокруг ...

2. Руководители проекта

   Документ

   Формулой «золотого правила». «Золотое правило нравственности» ... «для нас» означает... вращении конических сечений вокруг оси, ... первозданная К оглавлению ==280 КОММУНИКАЦИЯ... исследовательских проектов и их взаимосвязей. Такие системы организованы вокруг ...

3. Борис Гурьевич Мещеряков Владимир Петрович Зинченко Большой психологический словарь Оглавление

   Документ

   Психологический словарь. 1 Оглавление 1 Предисловие. ... психологической запруды», «золотое сечение» , «идеография», ... нас , захватывают нас ... управление проектом ... исследовательское и П. о. Понятие исследовательского ... движения глаз вокруг зрительных осей. ...

В школе на уроках естественных наук: физики, химии, биологии, астрономии, географии и на уроках гуманитарных наук: истории, литературы, родного и иностранного языков мы изучаем природу и общество. На уроках музыки, рисования, черчения, гимнастики нас вводят в мир искусств. Кроме этих дисциплин, этих предметов, на протяжении всех школьных лет мы изучаем математику: арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию. К каким же наукам причислить эти дисциплины? Что составляет предмет их изучения? Многие учёные относят математику к естественным наукам, так как математика изучает окружающий нас мир: предметы и явления природы, общества и человеческого мышления. Физика, химия, биология изучают предметы и явления окружающего нас мира со стороны их качества. Математика изучает те же предметы, явления со стороны их количества, пространства и времени, говорят – со стороны их формы.

Поэтому математику учёные считают естественной наукой, изучающей наш материальный мир. Математика пронизывает все отрасли знания, в том числе и гуманитарные науки. Без математики сейчас не обходятся экономические, филологические и другие науки. Поэтому некоторые учёные считают математику прослойкой между естественными и гуманитарными науками.

Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс в своё время назвал математику «царицей всех наук» и «царицей и слугой всех наук». Так её называют за благородное служение практически всем наукам.

В математике много методов, позволяющих решать те или иные задачи. Ещё в древней Греции математики использовали такой аппарат, как ПРОПОРЦИЯ.

Пропорцией называют равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин. Например, размеры модели машины или сооружения отличаются от размеров оригинала одним и тем же множителем, задающим масштаб модели. Поэтому, если выбрать на оригинале 4 точки А,В,С и Д и обозначить на через А1,В1,С1 и Д1 соответствующие точки на модели, то будет выполняться равенство ==. Такое равенство отношений и называют пропорцией. Она показывает, что отношение расстояний между точками на оригинале такое же, как отношение расстояний между соответствующими точками на модели.

В древности в неявной форме идеей пропорциональности пользовались при решении задач методом сложного положения: давали искомой величине значение, вычисляли, какое значение должна при этом иметь одна из данных величин, и сравнивали с условием задачи. Отношение величин давало коэффициент, на который надо умножить выбранное значение, чтобы получить правильный ответ.

Систематически пропорции начали изучать в Древней Греции. Сначала рассматривали лишь пропорции, составленные из натуральных чисел, и поэтому считали, что числа а, в, с, d образуют пропорцию, если а является тем же кратным, той же долей или той же дробью от в, что и с от d. В IV в. до н. э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы. Древнегреческие математики решали задачи, которые в наши дни решают с помощью уравнений, а место алгебраических преобразований занял переход от одной пропорции к другой.

В современной математике применяют различные СВОЙСТВА ПРОПОРЦИЙ.

Основное свойство пропорции. Если a: b = c: d, то a∙d = b∙c

Обращение пропорции. Если a: b = c: d, то b: a = d: c

Перестановка средних и крайних членов. Если a: b = c: d, то a: c = b: d (перестановка средних членов пропорции), d: b = c: a (перестановка крайних членов пропорции).

Увеличение и уменьшение пропорции. Если a: b = c: d, то

(a + b) : b = (c + d) : d (увеличение пропорции),

(a – b) : b = (c – d) : d (уменьшение пропорции).

Составление пропорции сложением и вычитанием. Если a: b = c: d, то

(a + с) : (b + d) = a: b = c: d (составление пропорции сложением),

(a – с) : (b – d) = a: b = c: d (составление пропорции вычитанием)

Математика применяется практически во всех сферах жизни человека. И в повседневной жизни мы используем математические навыки, в том числе и пропорцию.

КУЛИНАРИЯ

Понятие пропорции используется в кулинарии. Когда мы готовим какое-либо блюдо, мы стараемся использовать то количество продуктов, которое указано в поварской книге. Это делается для того, чтобы не испортить блюдо. Если мы возьмём больше соли, то пересолим, а если меньше, то будет не вкусно. Ещё пропорция позволяет рассчитать количество продуктов для приготовления одного и того же блюда для разного числа гостей.

МЕДИЦИНА

В медицинской практике врачи следят за тем, сколько и когда надо давать лекарства больному. В правильных дозах лекарство даёт лечебный эффект, в меньших – оно бесполезно, а в больших – приносит вред. При изготовлении лекарств тоже соблюдаются пропорции. Здесь необходима точность, так как при нарушении пропорций, составляющих лекарство ингредиентов, может получиться не лекарство, а яд.

ТЕХНОЛОГИЯ

На уроках технологии мы также используем пропорцию. Когда мы хотим сшить какую-либо вещь меньшего или большего размера, мы уменьшаем или увеличиваем выкройку до нужного нам размера. Например, выкройка фартука на себя и на куклу. Размеры элементов кукольного фартука отличаются от соответствующих размеров моего фартука в одно и тоже число раз.

ГЕОГРАФИЯ

В географии также применяют пропорцию – масштаб. Масштабом называют отношение длины отрезка на карте или плане к длине соответствующего отрезка на местности. Масштаб показывает во сколько раз расстояние на плане меньше, чем указанное расстояние на самом деле.

Существуют разные виды масштаба: численный, линейный и именованный. Численный масштаб записывают в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе - степень уменьшения проекции. Например, масштаб 1:5 000 показывает, что 1 см на плане соответствует 5 000 см (50 м) на местности. Более крупным является тот масштаб, у которого знаменатель меньше. Например, масштаб 1:1 000 крупнее, чем масштаб 1:25 000. По численному масштабу узнают, во сколько раз уменьшены на плане все расстояния. Чем больше число в знаменателе дроби, тем в большее число раз уменьшено настоящее расстояние, тем мельче карта.

Запись «в 1 см – 10 м» называют именованный масштабом, а расстояние на местности, соответствующее 1 см на плане, называют величиной масштаба. С помощью величины масштаба очень удобно определять расстояния.

На планах помещают также и линейный масштаб. Линейный масштаб - это графический масштаб в виде масштабной линейки, разделённой на равные части. Это – прямая линия, разделённая на равные части (обычно сантиметры). У каждого деления линии подписывают соответствующее ему расстояние на местности. Первое деление слева от 0 делят на более мелкие части. С помощью линейного масштаба узнают точные размеры объектов, изображённых на плане местности, и расстояния между ними.

Задача. Найдите расстояние от Москвы до Северного полюса, если на карте это расстояние – 3,5 см, а М 1:100000000.

Составим пропорцию: х= , т. е. х= 350000000см=3500км.

Ответ. Расстояние на местности от Москвы до Северного полюса – 3500км.

ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОЕ ИСКУССТВО

Алексей Петрович Стахов, доктор технических наук (1972 г.), профессор (1974 г.), академик Академии инженерных наук Украины так пишет о гармонии:

"С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Уже предметы обихода жителей древности, которые, казалось бы, преследовали чисто утилитарную цель - служить хранилищем воды, оружием на охоте и т. д. , демонстрируют стремление человека к красоте. На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного, сформировалось в самостоятельную ветвь науки - эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии. Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония.

Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине. Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы. Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка ромашки до красоты обнаженного человеческого тела?. ".

Известный итальянский теоретик архитектуры Леон-Баттиста Альберти, написавший много книг о зодчестве, говорил о гармонии следующее:

"Есть нечто большее, слагающееся из сочетания и связи трех вещей (числа, ограничения и размещения), нечто, чем чудесно озаряется весь лик красоты. Это мы называем гармонией, которая, без сомнения, источник всякой прелести и красоты. Ведь назначение и цель гармонии - упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту. Она охватывает всю жизнь человеческую, пронизывает всю природу вещей. Ибо все, что производит природа, все это соизмеряется законом гармонии. И нет у природы большей заботы, чем та, чтобы произведенное ею было совершенным. Этого никак не достичь без гармонии, ибо без нее распадается высшее согласие частей".

В Большой Советской Энциклопедии дается следующее определение понятия "гармония":

"Гармония - соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия".

"Золотая пропорция" - это понятие математическое и ее изучение – это прежде всего задача науки. Но она же является критерием гармонии и красоты, а это уже категория искусства и эстетики, которая изучает гармонию и красоту с математической точки зрения.

В классике изобразительного искусства на протяжении многих веков прослеживается приём построения пропорции, называемый золотым сечением, или золотым числом. (этот термин ввел Леонардо да Винчи). Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

a: b = b: c или с: b = b: а.

В искусстве за золотое сечение принимают число 1:1,62 или

То есть приближённое выражение отношения меньшей величины в пропорции к её большей величине.

Золотое число наблюдается в пропорциях гармонично развитого человека: длина головы делит в золотом сечении расстояние от талии до макушки.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела: расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1. 618 расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1. 618 расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1. 618 расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1. 618 расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1. 618 расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1. 618 расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1. 618

В произведениях изобразительного искусства художники и скульпторы осознанно или подсознательно, доверяя своему тренированному глазу часто применяют соотношение размеров в золотой пропорции.

Это же явление наблюдается и в иных конструкциях природы: в спиралях моллюсков, в венчиках цветков и ещё во многих знакомых нам вещах, например, расположение листьев на побеге тоже подчиняется золотому числу!

С глубокой древности люди используют математический аппарат в повседневной жизни. Одним из них является пропорция. Она используется, начиная с приготовления пищи и заканчивая произведениями искусства, такими как скульптура, живопись, архитектура, а также в живой природе.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

2 слайд

Описание слайда:

Вступление Представителям многих профессий приходится решать практические задачи на пропорции Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения «Золотого сечения». Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу «Золотого сечения». В повседневной жизни мы используем математические навыки, в том числе и пропорцию. Без неё не обойтись во многих задачах физики, химии, географии и т.д. Гипотеза: человек в своей деятельности постоянно сталкивается с решение практических задач на пропорции.

3 слайд

Описание слайда:

Из истории изучения пропорции Пропорции начали изучать еще в древности. В 4 веке до н.э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке. Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в 1 веке до н.э., который буквально означал аналогия, соотношение.

4 слайд

Описание слайда:

Теория отношений и пропорций была подробно изложена в «Началах» Евклида (III век до нашей эры), там, в частности, приводится и доказательство основного свойства пропорции. Оно звучит так: «В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. a: b = c: d крайние средние

5 слайд

Описание слайда:

Виды пропорций В математике различают два типа пропорций: Случайные (например, отношение или пропорции между числом слогов самых длинных и самых коротких названия населённых пунктов.) Закономерные (например, пропорция между длительностью нот). «Закономерные» отношения Прямо пропорциональны Обратно пропорциональные широко используются в разнообразнейших расчетах,производимых школьниками,инженерами,администраторами и т.д Прямо прпорциональные величины: длина окружности и ее радиус; размеры предметов и размеры отбрасываемых ими теней; Обратно пропорциональные величины: продолжительность звучание одного такта, и число тактов используемых за одну минуту;

6 слайд

Описание слайда:

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В искусстве чаще других встречается пропорция, получившая название «золотое сечение». Золотым сечением и даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длинна всего отрезка так относится к длине его большей части, как длинна большей части к меньшей. Приближенно это отношение равно 0, 618 ≈5/8. Золотое сечение чаще всего применяется в произведениях искусства, архитектуре, встречается и в природе.

7 слайд

Описание слайда:

Применение пропорции пропорция медицина кулинария география русский язык биология физика Изобразительное искусство технология Сельское хозяйство черчение

8 слайд

Описание слайда:

ПРОПОРЦИИ НА КУХНЕ Понятие пропорции используется в кулинарии. Пропорция позволяет рассчитать количество продуктов для приготовления одного и того же блюда для разного числа гостей. Задача. Для приготовления 4 порций картофельной запеканки, нужно взять 0,44 кг картофеля. Сколько нужно взять картофеля для приготовления 10 порций запеканки. Решение 4:0,44=10:х => х=0,44*10:4= 1,1 кг. Ответ: нужно взять 1 кг 100 г. картофеля.

9 слайд

Описание слайда:

Пропорции и медицина При изготовлении лекарств тоже соблюдаются пропорции. Здесь необходима точность, так как при нарушении пропорций, составляющих лекарство ингредиентов, может получиться не лекарство, а яд. Задача из народных рецептов: Для приготовления настойки прополиса нужно залить измельчённый прополис водой в отношении 2:5. Сколько потребуется воды для 150 г. прополиса. Решение 2:5=150:х => х=150*5:2= 375г. Ответ: потребуется 375г. воды

10 слайд

Описание слайда:

Пропорции на уроках технологии Размеры элементов кукольного сарафана отличаются от соответствующих размеров сарафана девушки в одно и тоже число раз. Задача: Длина изделия на выкройке 75см. Вычислите масштаб чертежа, если на нем длина сарафана будет равна 15см. Ответ 1:5.

11 слайд

Описание слайда:

Пропорция в географии В географии также применяют пропорцию – масштаб. Масштаб-это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Существуют разные виды масштаба: численный, линейный и именованный.

12 слайд

Описание слайда:

Пропорции в физике С глубокой древности люди пользовались различными рычагами. Весло, лом, весы, ножницы, качели, тачка и т.д. – примеры рычагов. Выигрыш, который дает рычаг в прилагаемом усилии, определяется пропорцией, где M и m – массы грузов, а L и l – «плечи» рычага.

13 слайд

Описание слайда:

Химия Для решения задач по химии часто используется пропорция. Например для нахождения количества вещества по его процентному содержанию удобно воспользоваться пропорцией. Задача: Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%. Решение: 10:100%=Х:15% ; =>Х= 15*10:100=1,5 (кг) соли. Ответ: 1,5 кг соли.

14 слайд

Описание слайда:

Биология Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В).

15 слайд

Описание слайда:

Русский язык В русском языке встречаются пословицы и поговорки, устанавливающие прямую и обратную зависимость. Например: 1) Как аукнется, так и откликнется. 2) Чем выше пень, тем выше тень. 3) Когда гнев впереди- ум позади. 4) Когда карман сух, тогда и суд глух.

16 слайд

Описание слайда:

Пропорция в архитектуре Пропорции золотого сечения создают впечатление гармонии, красоты. Поэтому скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют золотое сечение в своих произведениях. Золотые пропорции присутствуют в размерах фасада древнегреческого храма Парфенона, Собора Василия Блаженного, Собора на Нерли и многих других шедеврах архитектуры.