Найти разложение вектора по координатному базису. Базис

Л. 2-1 Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами.

Разложение вектора по базису.

Основные понятия векторной алгебры

Вектором называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление
.

Свойства:

Линейные операции над векторами

1.

Правило параллелограмма:

Суммой двух векторовиназывается вектор, выходящий из их общего начала и являющийся диагональю параллелограм-ма, построенного на векторахикак на сторонах.

Правило многоугольника:

Чтобы построить сумму любого числа векторов, нужно в конец 1-го слагаемого вектора поместить начало 2-ого, в конец 2-ого – начало 3-его и т.д. Вектор, замыкающий полученную ломаную линию, является суммой. Начало его совпадает с началом 1-ого, а конец – с концом последнего.

Свойства:

2.

Произведением вектора на число, называется вектор, удовлетворяющий условиям:
.

Свойства:

3.

Разностью векторовиназывают вектор, равный сумме вектораи вектора, противоположного вектору, т.е.
.

- закон противоположного элемента (вектора).

Разложение вектора по базису

Сумма векторов определяется единственным способом
(и только). Обратная же операция – разложение вектора на несколько составляющих, неоднозначна:. Для того, что бы сделать её однозначной, необходимо указать направления, по которым происходит разложение рассматриваемого вектора, или, как говорят, необходимо указатьбазис .

При определении базиса существенным является требование некомпланарности и неколлинеарности векторов. Чтобы понять смысл этого требования, необходимо рассмотреть понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов.

Произвольное выражение вида: , называютлинейной комбинацией векторов
.

Линейная комбинация нескольких векторов называется тривиальной , если все её коэффициенты равны нулю.

Векторы
называютсялинейно зависимыми , если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная нулю:
(1), при условии
. Если равенство (1) имеет место только при всех
одновременно равных нулю, то ненулевые векторы
будутлинейно независимыми .

Легко доказать: любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, а два неколлинеарных вектора линейно независимы .

Доказательство начнём с первого утверждения.

Пусть векторы иколлинеарны. Покажем, что они линейно зависимы. Действительно, если они коллинеарны, то они отличаются друг от друга только на числовой множитель, т.е.
, следовательно
. Поскольку полученная линейная комбинация явно нетривиальная и равна «0», то векторыилинейно зависимы.

Рассмотрим теперь два неколлинеарных векторы и. Докажем, что они линейно независимы. Доказательство построим от противного.

Предположим, что они линейно зависимы. Тогда должна существовать нетривиальная линейная комбинация
. Предположим, что
, тогда
. Полученное равенство означает, что векторыиколлинеарны вопреки нашему исходному предположению.

Аналогично можно доказать: любые три компланарных вектора линейно зависимы, а два некомпланарных вектора линейно независимы .

Возвращаясь к понятию базиса и к задаче разложения вектора в определённом базисе, можно сказать, что базис на плоскости и в пространстве образуется из совокупности линейно независимых векторов. Такое понятие базиса является общим, т.к. оно применимо к пространству любого числа измерений.

Выражение вида:
, называется разложением векторапо векторам,…,.

Если мы будем рассматривать базис в трехмерном пространстве, то разложение вектора по базису
будет
, где
-координаты вектора .

В задаче разложения произвольного вектора в некотором базисе весьма важным является следующее утверждение: любой вектор может быть единственным образом разложен в данном базисе
. Иными словами, координаты
для любого вектораотносительно базиса
определяетсяоднозначно.

Введение базиса в пространстве и на плоскости позволяет поставить в соответствие каждому вектору упорядоченную тройку (пару) чисел – его координаты. Этот очень важный результат, позволяющий установить связь между геометрическими объектами и числами, делает возможным аналитически описывать и исследовать положение и движение физических объектов.

Совокупность точки и базиса называют системой координат.

Если векторы, образующие базис единичны и попарно перпендикулярны, то система координат называется прямоугольной, а базис ортонормированным.

Л. 2-2 Произведение векторов

Разложение вектора по базису

Рассмотрим вектор
, заданный своими координатами:
.

- компоненты векторапо направлениям базисных векторов
.

Выражение вида
называется разложением векторапо базису
.

Аналогичным образом можно разложить по базису
вектор
:

.

Косинусы углов, образованные рассматриваемым вектором с базисными ортами
называютсянаправляющими косинусами

;
;
.

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов иназывается число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

Скалярное произведение двух векторов можно рассматривать как произведение модуля одного из этих векторов на ортогональную проекцию другого вектора на направление первого
.

Свойства:

Если известны координаты векторов
и
, то, выполнив разложение векторов по базису
:
и
, найдём

, т.к.
,
, то

.

.

Условие перпендикулярности векторов:
.

Условие коллинеарности ректоров:
.

Векторное произведение векторов

или

Векторным произведением вектором на векторназывается такой вектор
, который удовлетворяет условиям:

Свойства:

Рассмотренные алгебраические свойства позволяют найти аналитическое выражение для векторного произведения через координаты составляющих векторов в ортонормированном базисе.

Дано:
и
.

т.к. ,
,
,
,
,
,
, то

. Эту формулу можно записать короче, в форме определителя третьего порядка:

.

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов ,иназывается число, равное векторному произведению
, умноженному скалярно на вектор.

Верно следующее равенство:
, поэтому смешанное произведение записывают
.

Как следует из определения, результатом смешанного произведения трёх векторов является число. Это число имеет наглядный геометрический смысл:

Модуль смешанного произведения
равен объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах,и.

Свойства смешанного произведения:

Если векторы ,,заданы в ортонормированном базисе
своими координатами, вычисление смешанного произведения осуществляется по формуле

.

Действительно, если
, то

;
;
, тогда
.

Если векторы ,,компланарны, то векторное произведение
перпендикулярно вектору. И наоборот, если
, то объем параллелепипеда равен нулю, а это возможно только в том случае, когда векторы компланарны (линейно зависимы).

Таким образом, три вектора компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Базисом пространства называют такую систему векторов в которой все остальные векторы пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов, входящих в базис.
На практике это все реализуется достаточно просто. Базис, как правило, проверяют на плоскости или в пространстве, а для этого нужно найти определитель матрицы второго, третьего порядка составленный из координат векторов. Ниже схематически записаны условия, при которых векторы образуют базис

Чтобы разложить вектор b по базисным векторам
e,e...,e[n] необходимо найти коэффициенты x, ..., x[n] при которых линейная комбинация векторов e,e...,e[n] равна вектору b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Для этого векторное уравнение следует преобразовать к системе линейных уравнений и найти решения. Это также достаточно просто реализовать.
Найденные коэффициенты x, ..., x[n] называются координатами вектора b в базисе e,e...,e[n].
Перейдем к практической стороне темы.

Разложение вектора по векторам базиса

Задача 1. Проверьте, образуют ли векторы a1, a2 базис на плоскости

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Решение: Составляем определитель из координат векторов и вычисляем его

Определитель не равен нулю , следовательно векторы линейно независимы, а значит образуют базис .

2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Решение: Вычисляем детерминант составленный из векторов

Определитель равен 13 (не равен нулю) - из этого следует что векторы a1, a2 является базисом на плоскости.

---=================---

Рассмотрим типичные примеры из программы МАУП по дисциплине "Высшая математика".

Задача 2. Показать, что векторы a1, a2, a3 образуют базис трехмерного векторного пространства, и разложить вектор b по этому базису (при решении системы линейных алгебраических уравнений использовать метод Крамера).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2) .
Решение: Сначала рассмотрим систему векторов a1, a2, a3 и проверим определитель матрицы А

построенной на векторах отличных от нуля. Матрица содержит один нулевой элемент, поэтому детерминант целесообразнее вычислять как расписание по первому столбцу или третей строчке.

В рекзультаье вычислений получили что определитель отличен от нуля, следовательно векторы a1, a2, a3 линейно независимы .
Согласно определению векторы образуют базис в R3 . Запишем расписание вектора b по базису

Векторы равны, когда их соответствующие координаты равны.
Поэтому из векторного уравнения получим систему линейных уравнений

Решим СЛАУ методом Крамера . Для этого запишем систему уравнений в виде

Главный определитель СЛАУ всегда равен определителю составленному из векторов базиса

Поэтому на практике его не исчисляют дважды. Для нахождения вспомогательных определителей ставим столбец свободных членов на место каждого столбца главного определителя. Определители вычисляем по правилу треугольников



Подставим найденые определители в формулу Крамера



Итак, разложение вектора b по базису имеет вид b=-4a1+3a2-a3 . Координатами вектора b в базисе a1, a2, a3 будут (-4,3, 1).

2) a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Решение: Проверяем векторы на базис - составляем определитель из координат векторов и вычисляем его

Определитель не равен нулю, следовательно векторы образуют базис в пространстве . Осталось найти расписание вектора b через данный базис. Для этого записываем векторное уравнение

и преобразуем к системе линейных уравнений

Записываем матричное уравнение

Далее для формул Крамера находим вспомогательные определители



Применяем формулы Крамера



Итак заданный вектора b имеет расписание через два вектора базиса b=-2a1+5a3, а его координаты в базисе равны b(-2,0, 5).

В векторном исчислении и его приложениях большое значение имеет задача разложения, состоящая в представлении данного вектора в виде суммы нескольких векторов, называемых составляющими данного

вектора. Эта задача, имеющая в общем случае бесчисленное множество решений, становится вполне определенной, если задать некоторые элементы составляющих векторов.

2. Примеры разложения.

Рассмотрим несколько весьма часто встречающихся случаев разложения.

1. Разложить данный вектор с на два составляющих вектора из которых один, например а, задан по величине и направлению.

Задача сводится к определению разности двух векторов. Действительно, если векторы являются составляющими вектора с, то должно выполняться равенство

Отсюда определяется второй составляющий вектор

2. Разложить данный вектор с на два составляющих, из которых один должен лежать в заданной плоскости а второй должен лежать на заданной прямой а.

Для определения составляющих векторов перенесем вектор с так, чтобы его начало совпало с точкой пересечения заданной прямой с плоскостью (точка О - см. рис. 18). Из конца вектора с (точка С) проведем прямую до

пересечения с плоскостью {В - точка пересечения), а затем из точки С проведем прямую параллельно

Векторы и будут искомыми, т. е. Естественно, что указанное разложение возможно, если прямая а и плоскость не параллельны.

3. Даны три компланарных вектора а, b и с, причем векторы не коллинеарны. Требуется разложить вектор с по векторам

Приведем все три заданных вектора к одной точке О. Тогда в силу их компланарности они расположатся в одной плоскости. На данном векторе с как на диагонали построим параллелограмм, стороны которого параллельны линиям действия векторов (рис. 19). Это построение всегда возможно (если только векторы не коллинеарны) и единственно. Из рис. 19 видно, что