Найти стационарные точки функции примеры. Критические точки функции
Рассмотрим следующий рисунок.
На нем изображен график функции y = x^3 – 3*x^2. Рассмотрим некоторый интервал содержащий точку х = 0, например от -1 до 1. Такой интервал еще называют окрестностью точки х = 0. Как видно на графике, в этой окрестности функция y = x^3 – 3*x^2 принимает наибольшее значение именно в точке х = 0.
Максимум и минимум функции
В таком случае, точку х = 0 называют точкой максимума функции. По аналогии с этим, точку х = 2 называют точкой минимума функции y = x^3 – 3*x^2. Потому что существует такая окрестность этой точки, в которой значение в этой точке будет минимальным среди всех других значений из этой окрестности.
Точкой максимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0).
Точкой минимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0).
В точках максимума и минимума функций значение производной функции равно нулю. Но это не достаточное условие для существования в точке максимума или минимума функции.
Например, функция y = x^3 в точке х = 0 имеет производную равную нулю. Но точка х = 0 не является точкой минимума или максимума функции. Как известно функция y = x^3 возрастает на всей числовой оси.
Таким образом, точки минимума и максимума всегда будут находиться среди корне уравнения f’(x) = 0. Но не все корни этого уравнения будут являться точками максимума или минимума.
Стационарные и критические точки
Точки, в которых значение производной функции равно нулю, называются стационарными точками. Точки максимума или минимума могут иметься и вточках, в которых производной у функции вообще не существует. Например, у = |x| в точке х = 0 имеет минимум, но производной в этой точке не существует. Эта точка будет являться критической точкой функции.
Критическими точками функции называются точки, в которых производная равна нулю, либо производной в этой точке не существует, то есть функция в этой точке недифференцируема. Для того чтобы найти максимум или минимум функции необходимо выполнение достаточного условия.
Пусть f(x) некоторая дифференцируемая на интервале (a;b) функция. Точка х0 принадлежит этому интервалу и f’(x0) = 0. Тогда:
1. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «плюса» на «минус», тогда точка х0 является точкой максимума функции.
2. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «минуса» на «плюс», тогда точка х0 является точкой минимума функции.
Критические точки – это точки в которых производная функции равна нулю или не существует. Если производная равна 0 то функция в этой точке принимает локальный минимум или максимум . На графике в таких точках функция имеет горизонтальную асимптоту, то есть касательная параллельна оси Ох .
Такие точки называют стационарными . Если видите на графике непрерывной функции «горб» или «яму» помните, что максимум или минимум достигается в критической точке. Рассмотрим для примера следующее задание.
Пример 1.
Найти критические точки функции y=2x^3-3x^2+5
.
Решение.
Алгоритм нахождения критических точек следующий:
Итак функция имеет две критические точки.
Далее, если нужно провести исследование функции то определяем знак производной слева и справа от критической точки. Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «-» на «+» , то функция принимает локальный минимум . Если с «+» на «-» должны локальный максимум .
Второй тип критических точек
это нули знаменателя дробных и иррациональных функций
Функции с логарифмами и тригонометрические, которые не определены в этих точках
Третий тип критических точек
имеют кусочно-непрерывные функции и модули.
Например любая модуль-функция имеет минимум или максимум в точке излома.
Например модуль y = | x -5 |
в точке x = 5
имеет минимум (критическую точку).
Производная в ней не существует, а справа и слева принимает значение 1
и -1
соответственно.
Попробуйте определить критические точки функций
1)
2)
3)
4)
5)
Если в ответе у Вы получите значение
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
то Вы уже знаете как найти критические точки
и сможете справиться с простой контрольной или тестами.
Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции
Первое достаточное условие локального экстремума
Второе и третье достаточные условия локального экстремума
Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте
Выпуклые функции и точки перегиба
1. Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции
Определение 1
.
Пусть функция
определена на 
.
Точка 
называется стационарной точкой функции
,
если 
дифференцирована в точке 
и 
.
Теорема 1 (необходимое
условие локального экстремума функции)
.
Пусть функция 
определена на 
и имеет в точке 
локальный экстремум. Тогда выполняется
одно из условий:
Таким образом, для того, чтобы найти точки, которые являются подозрительными на экстремум, надо найти стационарные точки функции и точки, в которых производная функции не существует, но которые принадлежат области определения функции.
Пример
.
Пусть 
.
Найти для нее точки, которые являются
подозрительными на экстремум. Для
решения поставленной задачи, в первую
очередь, найдем область определения
функции: 
.
Найдем теперь производную функции:
Точки, в которых производная
не существует: 
.
Стационарные точки функции:
Поскольку и 
,
и 
принадлежат области определения функции,
то они обе будут подозрительными на
экстремум. Но для того, чтобы сделать
вывод, будет ли там действительно
экстремум, надо применять достаточные
условия экстремума.
2. Первое достаточное условие локального экстремума
Теорема 1 (первое достаточное
условие локального экстремума)
.
Пусть функция 
определена на 
и дифференцирована на этом интервале
везде за исключением, возможно, точки
,
но в этой точке 
функция 
является
непрерывной. Если
существуют такие правая и левая
полуокрестности точки 
,
в каждой из которых 
сохраняет определенный знак, то
1) функция 
имеет локальный экстремум в точке 
,
если 
принимает значения разных знаков в
соответствующих полуокрестностях;
2) функция 
не имеет локальный экстремум в точке
,
если справа и слева от точки 
имеет одинаковый знак.
Доказательство
.
1) Предположим, что в полуокрестности 
производная 
,
а в 
.
Таким образом в точке 
функция 
имеет локальный экстремум, а именно -
локальный максимум, что и нужно было
доказать.
2) Предположим, что слева
и справа от точки 
производная сохраняет свой знак,
например, 
.
Тогда на 
и 
функция 
строго монотонно возрастает, то есть:
Таким образом экстремума
в точке 
функция 
не имеет, что и нужно было доказать.
Замечание 1
.
Если производная 
при прохождении через точку 
меняет знак с «+» на «-», то в точке 
функция 
имеет локальный максимум, а если знак
меняется с «-» на «+», то локальный
минимум.
Замечание 2
.
Важным является условие непрерывности
функции 
в точке 
.
Если это условие не выполняется, то
теорема 1 может не иметь места.
Пример . Рассматривается функция (рис.1):
Эта функция определена на 
и непрерывна везде, кроме точки 
,
где она имеет устранимый разрыв. При
прохождении через точку 
меняет знак с «-» на «+», но локального
минимума в этой точке функция не имеет,
а имеет локальный максимум по определению.
Действительно, около точки 
можно построить такую окрестность, что
для всех аргументов из этой окрестности
значения функции будут меньше, чем
значение 
.
Теорема 1 не сработала потому, что в
точке 
функция имела разрыв.
Замечание 3
.
Первое достаточное условие локального
экстремума не может быть использовано,
когда производная функции 
меняет свой знак в каждой левой и каждой
правой полуокрестности точки 
.
Пример . Рассматривается функция:
Поскольку 
,
то 
,
а потому 
,
но 
.
Таким образом:
,
т.е. в точке 
функция 
имеет локальный минимум по определению.
Посмотрим, сработает ли здесь первое
достаточное условие локального
экстремума.
Для 
:
Для первого слагаемого правой части полученной формулы имеем:
,
а потому в малой окрестности
точки 
знак производной определяется знаком
второго слагаемого, то есть:
,
а это означает, что в любой
окрестности точки 
будет принимать как положительные, так
и отрицательные значения. Действительно,
рассмотрим произвольную окрестность
точки 
:
.
Когда
,
то
(рис.2), а 
меняет свой знак здесь бесконечно много
раз. Таким образом, нельзя использовать
в приведенном примере первое достаточное
условие локального экстремума.
Определения:
Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.
Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.
Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.
Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.
Пояснение.
На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:
x max = 3, x max = 8.
В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:
Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции , а значения функции в этих точках – ее экстремумами .
Критические и стационарные точки функции:
Необходимое условие экстремума:
Достаточное условие экстремума:
На отрезке функция y = f (x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .
Алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x ) на монотонность и экстремумы:
