Главная › Детские рецепты › Непрерывная ставка (сила роста) и непрерывный дисконт. Сложные и непрерывно начисляемые проценты Действия с непрерывными процентами

Непрерывная ставка (сила роста) и непрерывный дисконт. Сложные и непрерывно начисляемые проценты Действия с непрерывными процентами

При использовании дискретной номинальной ставки наращенная сумма определяется по формуле:

При переходе к непрерывным процентам получим:

Множитель наращения при непрерывной капитализации процентов.

Обозначая силу роста через, получим:

т.к. дискретные и непрерывные ставки функционально связаны друг с другом, то можно записать равенство множителей наращения

На первоначальный капитал 500 тыс. руб. начислили сложные проценты - 8% годовых в течении 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок

В формуле (4.21) можно определить современную величину

Непрерывная процентная ставка, используемая при дисконтировании называется силой дисконта. Она равна силе роста, т.е. используется для дисконтирования силы дисконта или силы роста приводят к одному и тому же результату.

Определить современную стоимость платежа при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12% и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера.

Переменная сила роста

С помощью этой характеристики моделируются процессы наращения денежных сумм с изменяющейся процентной ставкой. Если сила роста описывается некоторой непрерывной функцией времени, то справедливы формулы.

Для наращенной суммы:

Современная стоимость:

1) Пусть сила роста изменяется дискретно и принимает значения: в интервалы времени, тогда по истечению срока ссуды наращенная сумма составит:

Если срок наращения равен n, а средняя величина роста: , то

Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течение 5 лет. Если сила роста изменяется дискретно и соответствует: 1 год -7%, 2 и 3 - 8%, последние 2 года - 10%.

2) Сила роста непрерывно изменяется во времени и описывается уравнением:

где - начальная сила роста (при)

а - годовой прирост или снижение.

Вычислим степень множителя наращения:

Начальное значение силы роста 8%, процентная ставка непрерывная и линейно изменяется.

Прирост за год -2%, срок наращения - 5 лет. Найти множитель наращения.

3) Сила роста изменяется в геометрической прогрессии, тогда

В практических финансово-кредитных операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при обосновании и выборе инвестиционных решений.

Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле

S =P (1+j /m ) mn ,

где j – номинальная ставка процентов, а m – число периодов начисления процентов в году.

Чем больше m , тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. Увеличение частоты начисления процентов (m ) при фиксированном значении номинальной процентной ставки j приводит к росту множителя наращения, который при непрерывном начислении процентов (m ) достигает своего предельного значения

Известно, что

где е – основание натуральных логарифмов.

Используя этот предел в выражении (2.5), окончательно получаем, что наращенная сумма по ставке j равна

S =Pe jn .

Непрерывную ставку процентов называют силой роста и обозначают символом  . Тогда

S =Pe  n . (2.6)

Сила роста  представляет собой номинальную ставку процентов при m .

Закон наращения при непрерывном начислении процентов (2.6) совпадает по форме с (2.2) с той разницей, что в (2.2) время изменяется дискретно с шагом 1/m , а в (2.6) – непрерывно.

Легко показать, что дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости. Из равенства множителей наращения можно получить формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим:

(1+i ) n =e  n ,

откуда следует:

=ln(1+i ), i =e  -1.

Пример 20 . Сумма, на которую начисляются непрерывные проценты в течение 5 лет, равна 2000 ден. ед., сила роста 10%. Наращенная сумма составит S =2000·e 0,1·5 =2000·1,6487=3297,44 ден. ед.

Непрерывное наращение по ставке 10% равнозначно наращению за тот же срок сложных дискретных процентов по годовой ставке i . Находим:

i =e 0,1 -1=1,10517-1=0,10517.

В итоге получим S =2000·(1+0,10517) 5 =3297,44 ден. ед.

Дисконтирование на основе силы роста осуществляется по формуле

P =Se -  n

Пример 21. Определим современную стоимость платежа из примера 17 при условии, что дисконтирование производится по силе роста 15%.

Решение. Полученная за долг сумма (современная величина) равна

P =5000·е -0,15·5 =5000·0,472366=2361,83 ден. ед.

При применении дискретной сложной учетной ставки такого же размера получили величину (см. пример 17) P =2218,53 ден. ед.

2.5. Расчет срока ссуды и размера процентных ставок

В ряде практических задач начальная (P) и конечная (S) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения и дисконтирования (для простых процентов эти задачи рассмотрены в п. 1.8.).

Срок ссуды. Рассмотрим задачу расчета n для различных условий наращения процентов и дисконтирования.

i из исходной формулы наращения (2.1) следует, что

где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется и в числителе, и в знаменателе.

j m

d f m

;

При наращении по постоянной силе роста, исходя из формулы (2.6) получаем:

Пример 22. За какой срок в годах сумма, равная 75 тыс. ден. ед., достигнет 200 тыс. ден. ед. при начислении процентов по сложной ставке 12% раз в году и поквартально?

Решение. По формулам для вычисления срока при наращении по сложным ставкам наращения получим:

n =(log(200/75)/log(1+0,12))=3,578 года;

n =(log(200/75)/(4·log(1+0,12/4))=3,429 года;

Расчет процентных ставок. Из тех же исходных формул, что и выше, получим формулы для расчета ставок при различных условиях наращения процентов и дисконтирования.

При наращении по сложной годовой ставке i из исходной формулы наращения (2.1) следует, что

i =(S /P ) 1/ n –1=
.

При наращении по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы (2.2) получаем:

j =m ((S /P ) 1/ mn –1)=
.

При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f m раз в году из формул (2.3) и (2.4) соответственно получаем:

d =1– (P /S ) 1/ n =
;

f = m (1– (P /S ) 1/ mn =
.

При наращении по постоянной силе роста, исходя из формулы (2.6), получаем:

Пример 23. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. ден. ед., его выкупная сумма – 160 тыс. ден. ед., срок 2,5 года. Каков уровень доходности инвестиции в виде годовой ставки сложных процентов?

Решение. Воспользовавшись полученной формулой для годовой ставки i , получим: i =(160/100) 1/2,5 –1=1,2068–1=0,20684, т.е. 20,684%.

Пример 24. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30%. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?

Решение. По данным задачи P /S =0,7. Тогда d =1–
=0,16334, т.е. 16,334%.

Федеральное агентство по образованию и науке

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина

на тему: «Действия с непрерывными процентами»

Выполнила

студентка 5 курса 502 группы

очной формы обучения Гегамян М.А.

Тамбов 2013г.

1.Постоянная сила роста <#"justify">1. Постоянная сила роста

При использовании дискретной номинальной ставки <#"55" src="doc_zip1.jpg" />

При переходе к непрерывным процентам получим:

Множитель наращения <#"20" src="doc_zip4.jpg" />, получим:

На первоначальный капитал 500 тыс. руб. начислили сложные проценты - 8% годовых в течении 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок

В формуле (4.21) можно определить современную величину

Определить современную стоимость платежа при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12% и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера.

Переменная сила роста

Для наращенной суммы: <#"47" src="doc_zip13.jpg" />

Современная стоимость:

)Пусть сила роста <#"25" src="doc_zip15.jpg" /> в интервалы времени, тогда по истечению срока ссуды наращенная сумма составит:

Если срок наращения равен n, а средняя величина роста: , то

2)Сила роста непрерывно изменяется во времени и описывается уравнением:

где - начальная сила роста (при)

а - годовой прирост или снижение.

Вычислим степень множителя наращения:

Начальное значение силы роста 8%, процентная ставка непрерывная и линейно изменяется.

Прирост за год -2%, срок наращения - 5 лет. Найти множитель наращения.

) Сила роста изменяется в геометрической прогрессии, тогда

Множитель наращения: <#"50" src="doc_zip29.jpg" />

Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течении 5 лет, если начальная сила роста -10%, а процентная ставка ежегодно увеличивается на3%.

Срок ссуды определяется по формулам:

при наращении по постоянной ставке

при наращении по изменяющейся ставке, когда изменяется в геометрической прогрессии

Определить срок, необходимый для увеличения первоначальной в 3 раза при начислении по изменяющейся с постоянным темпом роста ставки непрерывных процентов, если начальная ставка - 15%, а годовой темп её роста -1,05

Эквивалентность процентных ставок

Ставки, обеспечивающие равноценность финансовых последствий называются эквивалентными или релятивными.

Равноценность финансовых последствий может быть обеспечена, если наблюдается равенство множителей наращения <#"23" src="doc_zip36.jpg" />;

2)наращенная сумма <#"41" src="doc_zip37.jpg" />

Если, то множители наращения равны

Если срок ссуды меньше года, то и эквивалентность определяется для двух случаев равных временных баз и разных временных баз.

Если временные базы одинаковы (), то формулы имеют вид:

Если начисление процентов по ставке i производится при базе 365, а по ставке d при базе 360, то справедливо:

Вексель учтен в банке по учетной ставкой 8% в день окончания срока его обращения = 200 (k=360). Определить доходность этой операции по ставке простых процентов (k=365).

Эквивалентность простых и сложных процентных ставок

При начислении процентов один раз в год определяется по формулам:

Простая ставка:

сложная ставка:

Какой сложной годовой ставкой можно заменить простую ставку 18% (k=365) не изменяя финансовых последствий. Срок операции - 580 дней.

Эквивалентность простой процентной ставки и сложной ставки.

При начислении m раз в году определяется по формуле:

При разработке условий контракта стороны договорились, что доходность кредита должна составлять 24%. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, поквартально.

Эквивалентность простой учетной ставки и ставки сложных процентов определяется по формуле:

Эквивалентность номинальной ставки сложных процентов при начислении процентов m раз в год и простой учетной ставки определяется по формулам:

Эквивалентность сложных ставок определяется по формулам:

Эквивалентность сложной учетной ставки и номинальной сложной процентной ставки при начислении процентов m раз в году определяется по формулам:

Эквивалентность непрерывных и дискретных ставок:

Эквивалентность силы роста и номинальной ставки:

При дискретном и линейном изменении силы рост, а так же если она изменяется с постоянным темпом эквивалентную зависимость со ставками сложных процентов можно выразить формулами:

Эквивалентность силы роста <#"41" src="doc_zip68.jpg" />

Для сложной учетной ставки:

Замечание. Используя формулы эквивалентности дискретных и непрерывных ставок можно представить результаты применения непрерывных процентов в виде общепринятых характеристик.

Средние величины в финансовых расчетах

Для нескольких процентных ставок <#"63" src="doc_zip72.jpg" />

Предприятие в течении года получило 2 равных по величине кредита 500 тыс. руб. каждый. 1 кредит на 3 месяца под 10% годовых. 2 кредит - на 9 месяцев под 16 % годовых. Определить среднюю процентную ставку, проверить полученный результат вычислив наращенные суммы.

При получении различных по величине кредитов выданных под различные процентные ставки средняя ставка так же вычисляется по формуле средней взвешенной с весами равными произведениям сумм полученных кредитов на сроки, которые они выданы.

Расчет средней простой учетной ставки <#"67" src="doc_zip78.jpg" />

Средняя ставка по сложным процентам <#"37" src="doc_zip79.jpg" />

При анализе работы кредитных учреждений рассчитываются показатели: средний размер ссуды, её средняя продолжительность, среднее число оборотов ссуды и другие показатели.

Средний размер одной ссуды без учета количества оборотов за год вычисляется по формуле:

С учетом количества оборотов за год по формуле:

где - количество оборотов,

Продолжительность периода

К - число клиентов, получивших ссуд.

Средний размер всех ссуд с учетом количества оборотов за год показывает остаток задолженности по всем ссудам за год. Он равен среднему размеру одной ссуды с учетом оборачиваемости за год помноженного на число клиентов, получивших ссуду:

где - это общий оборот, т.е. сумма погашенных кредитов, погашенных за период.

Средний остаток всех ссуд с учетом количества оборотов за год определяется по формуле средней хронологической моментного ряда по данным месячных бухгалтерских балансов кредитного учреждения выдавшего ссуду по формуле:

где - ежемесячные остатки выданных ссуд.

Число оборотов отдельных ссуд при условии их непрерывной оборачиваемости за изучаемый период определяется как частное от деления продолжительности периода на срок выдачи ссуды.

Среднее число оборотов всех ссуд за период при условии, что происходит непрерывная их оборачиваемость рассчитывается по формуле, исходя из наличия данных.

Средний срок кредита отдельных ссуд или всех ссуд в целом рассчитывается по различным формулам

эквивалентность конверсия дисконтирование ставка

Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей

Замена одного денежного обязательства на другое или объединение нескольких платежей в один базируется на принципе финансовой эквивалентности обязательств.

Эквивалентными считаются платежи, которые, будучи приведены к одному моменту времени оказываются равными. Он следует из формул наращения и дисконтирования. Две суммы и считаются равными, если их современные величины на один момент времени одинаковы, с ростом процентной ставки размеры современных стоимостей уменьшаются. Ставка, при которой называется критической или барьерной. Она выводится из равенства.

В случае сложной процентной ставки барьерная ставка вычисляется по формулам:

Принцип финансовой эквивалентности применяется при различных изменениях условий выплат денежных сумм. Общий метод решения подобных задач состоит в разработке уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей приведена к определенному моменту времени приравнивается к сумме платежей по новому обязательству приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств используется простая, для средне и долгосрочных - сложная.

Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация, т.е. объединение платежей. Возможны 2 постановки задачи:

)Задан срок и требуется найти величину платежа;

)Заданна сумма консолидированного платежа, требуется определить его срок.

При консолидации нескольких платежей в один при условии, что срок нового платежа больше ранее установленного срока, уравнение эквивалентности записывается в виде:

Где - наращенная сумма консолидированного платежа,

Платежи, подлежащие консолидации,

Временные интервалы между и:

В общем случае величина консолидированного платежа будет иметь вид:

Суммы объединенных платежей, сроки, погашения которых меньше первого срока; - суммы объединенных платежей со сроками, превышающими новый срок.

При консолидации векселей <#"27" src="doc_zip115.jpg" />

При консолидации платежей с использованием сложной процентной ставки консолидированная сумма находится по формулам:

Если известна сумма консолидированного платежа и требуется определить срок его консолидации, сохраняя принцип эквивалентности:

где - консолидированная величина современного платежа. В случае договоренности партнеров о консолидации платежей без изменения общей суммы платежей, то срок консолидированного платежа:

Для расчета срока уплаты консолидированных платежей могут использоваться учетные ставки, <#"45" src="doc_zip122.jpg" />

В случае использования сложных процентов формулы имеют вид:

Список литературы

1.Кочович Е. Финансовая математика: Теория и практика финансово банковских расчетов. - М.: Финансы и статистика, 2004

2.Красина Ф.А. Финансовые вычисления- Финансовые вычисления: учебное пособие / Ф. А. Красина. - Томск: Эль Контент, 2011.

3.Селезнева Н.Н., Ионова А.Ф. Управление финансами. Задачи, ситуации, тесты, схемы: Учеб. пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 176 с.

2.2.3. Переменная ставка процентов

Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов предполагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени, но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

где i k – последовательные во времени значения процентных ставок;

n k – длительность периодов, в течение которых используются соответствующие ставки.

Пример. Фирма получила кредит в банке на сумму 100"000 долларов сроком на 5 лет. Процентная ставка по кредиту определена в 10% для 1-го года, для 2-го года предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 1,5%, для последующих лет 1%. Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока займа.

Решение:

Используем формулу переменных процентных ставок:

FV = PV (1 + i 1) n 1 (1 + i 2) n 2 … (1 + i k ) n k =

100"000 (1 + 0,1) (1 + 0,115) (1 + 0,125) 3 =

174"632,51 долларов

Таким образом, сумма, подлежащая погашению в конце срока займа, составит 174"632,51 доллара, из которых 100"000 долларов являются непосредственно суммой долга, а 74"632,51 доллара – проценты по долгу.

2.2.4. Непрерывное начисление процентов

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно , за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

k н = (1 + j / m ) m = (1 + j / 365) 365

Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e j :

где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

FV = PV e j n = P e δ n

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ , в отличие от ставки дискретных процентов (j ).

Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

а) один раз в год;

б) ежедневно;

в) непрерывно.

Решение:

Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:

начисление один раз в год

FV = 100"000 (1 + 0,08) 3 = 125"971,2 долларов;

ежедневное начисление процентов

FV = 100"000 (1 + 0,08 / 365) 365 3 = 127"121,6 долларов

непрерывное начисление процентов

FV = 100"000 e 0,08 3 = 127"124,9 долларов.

Графически изменение наращенной суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид:

При дискретном начислении каждая "ступенька" характеризует прирост основной суммы долга в результате очередного начисления процентов. Обратите внимание, что высота "ступенек" все время возрастает.

В рамках одного года одной "ступеньке" на левом графике соответствует две "ступеньки" на среднем графике меньшего размера, но в сумме они превышают высоту "ступеньки" однократного начисления. Еще более быстрыми темпами идет наращение при непрерывном начислении процентов, что и показывает график справа.

Таким образом, в зависимости от частоты начисления процентов наращение первоначальной суммы осуществляется с различными темпами, причем максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов

2.2.5. Определение срока ссуды и величины процентной ставки

Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:

срок ссуды:

n = / = / ;

ставка сложных процентов:

Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годовых будет более выгодно.

2.3. Эквивалентность ставок и замена платежей

2.3.1. Эквивалентность процентных ставок

Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.

Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.

Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов:

i = (1 + j / m ) m - 1.

j = m [(1 + i ) 1 / m - 1].

Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i , – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.

Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.

Пример. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?

Решение:

Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:

j = m [(1 + i ) 1 / m - 1] = 2[(1 + 0,25) 1/2 - 1] = 0,23607.

Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:

j = m [(1 + i ) 1 / m - 1] = 4[(1 + 0,25) 1/12 - 1] = 0,22523.

Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными.

При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок:

простая процентная ставка:

i = [(1 + j / m ) m n - 1] / n ;

сложная процентная ставка:

Пример. Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20% годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26% годовых. Найти оптимальный вариант.

Решение:

Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

i = [(1 + j / m ) m n - 1] / n = [(1 + 0,2 / 2) 2 4 - 1] / 4 = 0,2859.

Таким образом, эквивалентная сложной ставке по первому варианту простая процентная ставка составляет 28,59% годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26% годовых по второму варианту, следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20% годовых с полугодовым начислением процентов.

Дискретная процентная ставка – это ставка, при которой процент начисляется за заранее установленные, или определенные, периоды. Если уменьшить период начисления процентов до бесконечно малой величины (период, за который будут произведены начисления, стремится к нулю, а количество начислений процентов – к бесконечности), то проценты будут начисляться непрерывно. В этом случае процентная ставка называется непрерывной ставкой или силой роста .

В теоретических исследованиях и на практике, когда платежи производятся многократно, удобно использовать непрерывный способ начисления процентов. Переход к пределу может быть осуществлен аналогично тому, как это делалось в пункте 2.2 при выводе формулы (2.12) или следующим способом.

Непрерывная ставка может быть постоянной или изменяющейся. Рассмотрим случай, когда непрерывная процентная ставка в разные моменты времени различна.

Пусть, а(t) – функция, описывающая зависимость непрерывной ставки (силы роста) от времени t. Приращение капитала S(t) в момент t за промежуток времени Δt равно:

S(t + Δt) – S(t) = a(t) Δt S(t)

Тогда, имеем:

При Δt →0 получим, что скорость изменения капитала пропорциональна капиталу. Тогда, сумма платежа (капитал) S(t) удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению первого порядка:

, (2.28)

– скорость изменения платежа (скорость изменения капитала);

S(t) - сумма платежа (капитал);

a(t) – непрерывный процент начисления или сила роста.

В другом виде уравнение запишется:

dS = a(t) S dt, (2.29)

т. е. приращение платежа пропорционально самому платежу S и приращению времени dt. Коэффициент пропорциональности а(t) суть сила роста или процент начисления.

Возможна еще одна запись дифференциального уравнения:

, (2.30)

т. е. относительное приращение суммы платежа dS/S пропорционально приращению времени dt. Причем по-прежнему, а(t) определяется процентами начисления и в общем случае может зависеть от времени. Все три уравнения для капитала (2.28), (2.29), (2.30) эквивалентны.

Рассмотрим некоторые простейшие свойства капитала, описываемого дифференциальным уравнением (2.28)-(2.30). Если функция a(t)>0 положительна, то при положительном капитале S>0 производная от капитала dS/dt >0 также положительна и, следовательно, капитал S(t) растет. В этом случае a(t) называется непрерывным процентом начисления или силой роста .

В противном случае если функция a(t)<0 отрицательна, то при положительном капитале S>0 производная от капитала dS/dt<0 отрицательна и, следовательно, капитал S(t) убывает. В этом случае абсолютная величина |a(t)| называется непрерывным дисконтом .

Решение линейного дифференциального уравнения хорошо известно. Действительно, уравнение (2.30) является уравнением с разделяющимися переменными и его можно проинтегрировать:

Вычислив интеграл, получим:

где - неопределенный интеграл от a(t) ,

С 1 - произвольная постоянная.

Отсюда, имеем:

Окончательно, общее решение дифференциального уравнения запишется в виде:

, (2.31)

где - новая произвольная постоянная.

Для определения произвольной постоянной С нужно знать капитал хотя бы в один какой-нибудь момент времени. Если известно что в момент времени t=t 0 капитал равен S = S 0 (т. е. S(t 0)=S 0), то произвольная постоянная С легко определяется из (2.31):

Подставляя полученный результат в (2.31), имеем:

Воспользовавшись классической формулой связи определенного и неопределенного интеграла (формулой Ньютона – Лейбница):

получим решение дифференциального уравнения с начальными условиями S(t 0)=S 0 в виде:

Часто отсчет времени можно производить от начального момент, тогда t 0 =0 и решение линейного дифференциального уравнения записывается в виде:

, (2.32)

S(0) – начальная сумма в момент 0;

S(t) – сумма платежа в момент t.

Очевидно, приведенные формулы при a(t)>0 соответствуют расчету кредитования, а при a(t)<0 – расчету дисконтирования.

Если сила роста постоянна на всем рассматриваемом промежутке времени, т. е. a(t)= r, то для конечного платежа в момент t имеем:

. (2.33)

Очевидно, эта формула совпадает с полученной ранее предельным переходом формулы для непрерывных процентов (2.12).

Рассмотрим некоторые примеры использования данных формул.

Пример 28.

Ссуда 200 тыс. руб. дана на 2,5 года под ставку 20 % годовых с ежеквартальным начислением. Найти сумму конечного платежа. Расчет произвести по дискретным и непрерывным процентам.

Решение.

Сумма конечного платежа удовлетворяет дифференциальному уравнению , где r=20 %=0,2 в соответствии с процентом ежегодного начисления и время t измеряется в годах. Решение линейного уравнения известно:

Тогда сумма конечного платежа равна:

Тыс. руб.

Расчет для дискретного случая по формулам (2.11) дает:

Тыс. руб.

Видно, что при многократных начислениях небольших процентов результаты расчетов сумм конечного платежа близки.

Рассмотрим теперь пример расчета дисконтирования в непрерывном случае.

Пример 29.

Вексель на 3 млн руб. с годовой учетной ставкой 10 % и дисконтированием 2 раза в год выдан на 2 года. Найти исходную сумму, которая должна быть выдана в долг под этот вексель. Расчет произвести по дискретным и непрерывным процентам.

Решение.

Одолженная под вексель сумма платежа удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению, решение которого известно:

Расчет одолженной под вексель суммы по дискретным формулам (2.24) дает близкие результаты:

млн руб.

Таким образом, теоретические и практические вычисления по непрерывным формулам дают результаты, близкие к результатам расчета по дискретным формулам, если количество начислений велико, а процент начисления невелик.