Главная › Прогулка › Непрерывные проценты. Непрерывная ставка (сила роста) и непрерывный дисконт

Непрерывные проценты. Непрерывная ставка (сила роста) и непрерывный дисконт

При использовании дискретной номинальной ставки наращенная сумма определяется по формуле:

При переходе к непрерывным процентам получим:

Множитель наращения при непрерывной капитализации процентов.

Обозначая силу роста через, получим:

т.к. дискретные и непрерывные ставки функционально связаны друг с другом, то можно записать равенство множителей наращения

На первоначальный капитал 500 тыс. руб. начислили сложные проценты - 8% годовых в течении 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок

В формуле (4.21) можно определить современную величину

Непрерывная процентная ставка, используемая при дисконтировании называется силой дисконта. Она равна силе роста, т.е. используется для дисконтирования силы дисконта или силы роста приводят к одному и тому же результату.

Определить современную стоимость платежа при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12% и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера.

Переменная сила роста

С помощью этой характеристики моделируются процессы наращения денежных сумм с изменяющейся процентной ставкой. Если сила роста описывается некоторой непрерывной функцией времени, то справедливы формулы.

Для наращенной суммы:

Современная стоимость:

1) Пусть сила роста изменяется дискретно и принимает значения: в интервалы времени, тогда по истечению срока ссуды наращенная сумма составит:

Если срок наращения равен n, а средняя величина роста: , то

Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течение 5 лет. Если сила роста изменяется дискретно и соответствует: 1 год -7%, 2 и 3 - 8%, последние 2 года - 10%.

2) Сила роста непрерывно изменяется во времени и описывается уравнением:

где - начальная сила роста (при)

а - годовой прирост или снижение.

Вычислим степень множителя наращения:

Начальное значение силы роста 8%, процентная ставка непрерывная и линейно изменяется.

Прирост за год -2%, срок наращения - 5 лет. Найти множитель наращения.

3) Сила роста изменяется в геометрической прогрессии, тогда

Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками, поскольку сила роста – универсальный показатель. Однако наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции).

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно , за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

k н = (1 + j / m ) m = (1 + j / 365) 365

Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e j :

где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

FV = PV e j n = P e δ n

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ , в отличие от ставки дискретных процентов (j ).

Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

а) один раз в год;

б) ежедневно;

в) непрерывно.

Решение:

Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:

начисление один раз в год

FV = 100"000 (1 + 0,08) 3 = 125"971,2 долларов;

ежедневное начисление процентов

FV = 100"000 (1 + 0,08 / 365) 365 3 = 127"121,6 долларов

непрерывное начисление процентов

FV = 100"000 e 0,08 3 = 127"124,9 долларов.

12. Расчет срока кредита:

В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (PV ), наращенная или будущая величина (FV ), процентная ставка (i ) и время (n ).

Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки.

Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.

Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов.

Если срок определяется в годах, то

n = (FV - PV ) : (PV i ),

а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя:

t = [(FV - PV ) : (PV i )] T .

Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:

срок ссуды:

n = / = / ;

ставка сложных процентов:

Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годовых будет более выгодно.

13. Расчет срока кредита:

14. Расчет процентной ставки:

- при наращении по сложной годовой ставке %,

- при наращении по номинальной ставке % m раз в году,

- при наращении по постоянной силе роста.

15. Расчет процентной ставки:

- при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке,

- при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году.

2.2.3. Переменная ставка процентов

Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов предполагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени, но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

где i k – последовательные во времени значения процентных ставок;

n k – длительность периодов, в течение которых используются соответствующие ставки.

Пример. Фирма получила кредит в банке на сумму 100"000 долларов сроком на 5 лет. Процентная ставка по кредиту определена в 10% для 1-го года, для 2-го года предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 1,5%, для последующих лет 1%. Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока займа.

Решение:

Используем формулу переменных процентных ставок:

FV = PV (1 + i 1) n 1 (1 + i 2) n 2 … (1 + i k ) n k =

100"000 (1 + 0,1) (1 + 0,115) (1 + 0,125) 3 =

174"632,51 долларов

Таким образом, сумма, подлежащая погашению в конце срока займа, составит 174"632,51 доллара, из которых 100"000 долларов являются непосредственно суммой долга, а 74"632,51 доллара – проценты по долгу.

2.2.4. Непрерывное начисление процентов

k н = (1 + j / m ) m = (1 + j / 365) 365

Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e j :

где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

FV = PV e j n = P e δ n

а) один раз в год;

б) ежедневно;

в) непрерывно.

Решение:

Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:

начисление один раз в год

FV = 100"000 (1 + 0,08) 3 = 125"971,2 долларов;

ежедневное начисление процентов

FV = 100"000 (1 + 0,08 / 365) 365 3 = 127"121,6 долларов

непрерывное начисление процентов

FV = 100"000 e 0,08 3 = 127"124,9 долларов.

Графически изменение наращенной суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид:

При дискретном начислении каждая "ступенька" характеризует прирост основной суммы долга в результате очередного начисления процентов. Обратите внимание, что высота "ступенек" все время возрастает.

В рамках одного года одной "ступеньке" на левом графике соответствует две "ступеньки" на среднем графике меньшего размера, но в сумме они превышают высоту "ступеньки" однократного начисления. Еще более быстрыми темпами идет наращение при непрерывном начислении процентов, что и показывает график справа.

Таким образом, в зависимости от частоты начисления процентов наращение первоначальной суммы осуществляется с различными темпами, причем максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

2.2.5. Определение срока ссуды и величины процентной ставки

срок ссуды:

n = / = / ;

ставка сложных процентов:

2.3. Эквивалентность ставок и замена платежей

2.3.1. Эквивалентность процентных ставок

Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.

Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.

Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов:

i = (1 + j / m ) m - 1.

j = m [(1 + i ) 1 / m - 1].

Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i , – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.

Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.

Пример. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?

Решение:

Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:

j = m [(1 + i ) 1 / m - 1] = 2[(1 + 0,25) 1/2 - 1] = 0,23607.

Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:

j = m [(1 + i ) 1 / m - 1] = 4[(1 + 0,25) 1/12 - 1] = 0,22523.

Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными.

При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок:

простая процентная ставка:

i = [(1 + j / m ) m n - 1] / n ;

сложная процентная ставка:

Пример. Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20% годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26% годовых. Найти оптимальный вариант.

Решение:

Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

i = [(1 + j / m ) m n - 1] / n = [(1 + 0,2 / 2) 2 4 - 1] / 4 = 0,2859.

Таким образом, эквивалентная сложной ставке по первому варианту простая процентная ставка составляет 28,59% годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26% годовых по второму варианту, следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20% годовых с полугодовым начислением процентов.

Непрерывные проценты – это термин теоретической экономики, который подразумевает постоянное, систематическое начисление процентов. Если вникать в основы экономической теории, то непрерывные проценты начисляются через промежутки времени, которые стремятся к наиболее малому числу. То есть непрерывные проценты начисляются беспрерывно, но для удобства подсчета предприниматели или экономисты говорят, что начисляется та или иная сумма в секунду, в час или день. Например, доход Билла Гейтса можно назвать доходом в форме непрерывных процентов. Экономисты-теоретики высчитали, что Билл Гейтс – один из самых богатых людей в мире – зарабатывает ежеминутно примерно по 6 600 долларов – именно в такую сумму конвертируются непрерывные проценты от его бизнеса и инвестиций.

Значение непрерывных процентов в теоретической и практической экономике

Говоря о значении непрерывных процентов, следует в первую очередь отметить, что они являются ключевой формой пассивного дохода. По сути, пассивный доход складывается из двух теоретических составляющих: актива, который работает без вмешательства предпринимателя, и непрерывных процентов, которые он дает от вложенной в него суммы. Например, купил квартиру за 10 000 000 рублей и сдает ее по цене 40 000 рублей в месяц – это пассивный доход. В год доход составит 480 000 рублей, от десяти миллионов это 4,8 процента. Получается, предприниматель непрерывно получает 4,8 процента годовых от вложенной суммы, это его годовые проценты.

Второе значение – непрерывные проценты свидетельствуют о стабильной ситуации в развитии той или иной компании. Если постоянно приносит проценты, значит, он нормально работает. Если поступление процентов приостанавливается, можно судить о возникновении неполадок в работе компании. Если проценты то растут, то падают – это тоже говорит о внутренних проблемах предприятия. Поэтому в теории экономического анализа непрерывные проценты очень важны.

Третье значение, на которое мы обратим внимание – окупаемость вложения. Суммирование непрерывно поступающих процентов в конечном итоге приведет к тому, что вложения в или бизнес окупятся на сто процентов, то есть предприниматель получит назад вложенные средства и ему останется только получать . В теории экономики есть немало призывов к анализу различных факторов экономической жизни (уровня инфляции и так далее) и сравниванию результатов с непрерывными процентами. Может оказаться так, что доход от компании, выраженный в процентах, будет ниже, чем проценты обесценивания денег и тому подобных явлений. Если, допустим, от вклада в банк человек получает пять процентов в год, а равна восьми процентам, то в конечном итоге вкладчик теряет по три процента от своего капитала. Большинство людей не обращают на это внимания, что является грубейшей экономической ошибкой и причиной многих банкротств. Особенно это важно в периоды экономических перестроек и катаклизмов.

Будьте в курсе всех важных событий United Traders - подписывайтесь на наш

В практических финансово-кредитных операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при обосновании и выборе инвестиционных решений.

Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле

S =P (1+j /m ) mn ,

где j – номинальная ставка процентов, а m – число периодов начисления процентов в году.

Чем больше m , тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. Увеличение частоты начисления процентов (m ) при фиксированном значении номинальной процентной ставки j приводит к росту множителя наращения, который при непрерывном начислении процентов (m ) достигает своего предельного значения

Известно, что

где е – основание натуральных логарифмов.

Используя этот предел в выражении (2.5), окончательно получаем, что наращенная сумма по ставке j равна

S =Pe jn .

Непрерывную ставку процентов называют силой роста и обозначают символом  . Тогда

S =Pe  n . (2.6)

Сила роста  представляет собой номинальную ставку процентов при m .

Закон наращения при непрерывном начислении процентов (2.6) совпадает по форме с (2.2) с той разницей, что в (2.2) время изменяется дискретно с шагом 1/m , а в (2.6) – непрерывно.

Легко показать, что дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости. Из равенства множителей наращения можно получить формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим:

(1+i ) n =e  n ,

откуда следует:

=ln(1+i ), i =e  -1.

Пример 20 . Сумма, на которую начисляются непрерывные проценты в течение 5 лет, равна 2000 ден. ед., сила роста 10%. Наращенная сумма составит S =2000·e 0,1·5 =2000·1,6487=3297,44 ден. ед.

Непрерывное наращение по ставке 10% равнозначно наращению за тот же срок сложных дискретных процентов по годовой ставке i . Находим:

i =e 0,1 -1=1,10517-1=0,10517.

В итоге получим S =2000·(1+0,10517) 5 =3297,44 ден. ед.

Дисконтирование на основе силы роста осуществляется по формуле

P =Se -  n

Пример 21. Определим современную стоимость платежа из примера 17 при условии, что дисконтирование производится по силе роста 15%.

Решение. Полученная за долг сумма (современная величина) равна

P =5000·е -0,15·5 =5000·0,472366=2361,83 ден. ед.

При применении дискретной сложной учетной ставки такого же размера получили величину (см. пример 17) P =2218,53 ден. ед.

2.5. Расчет срока ссуды и размера процентных ставок

В ряде практических задач начальная (P) и конечная (S) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения и дисконтирования (для простых процентов эти задачи рассмотрены в п. 1.8.).

Срок ссуды. Рассмотрим задачу расчета n для различных условий наращения процентов и дисконтирования.

i из исходной формулы наращения (2.1) следует, что

где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется и в числителе, и в знаменателе.

j m

d f m

;

При наращении по постоянной силе роста, исходя из формулы (2.6) получаем:

Пример 22. За какой срок в годах сумма, равная 75 тыс. ден. ед., достигнет 200 тыс. ден. ед. при начислении процентов по сложной ставке 12% раз в году и поквартально?

Решение. По формулам для вычисления срока при наращении по сложным ставкам наращения получим:

n =(log(200/75)/log(1+0,12))=3,578 года;

n =(log(200/75)/(4·log(1+0,12/4))=3,429 года;

Расчет процентных ставок. Из тех же исходных формул, что и выше, получим формулы для расчета ставок при различных условиях наращения процентов и дисконтирования.

При наращении по сложной годовой ставке i из исходной формулы наращения (2.1) следует, что

i =(S /P ) 1/ n –1=
.

При наращении по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы (2.2) получаем:

j =m ((S /P ) 1/ mn –1)=
.

При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f m раз в году из формул (2.3) и (2.4) соответственно получаем:

d =1– (P /S ) 1/ n =
;

f = m (1– (P /S ) 1/ mn =
.

При наращении по постоянной силе роста, исходя из формулы (2.6), получаем:

Пример 23. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. ден. ед., его выкупная сумма – 160 тыс. ден. ед., срок 2,5 года. Каков уровень доходности инвестиции в виде годовой ставки сложных процентов?

Решение. Воспользовавшись полученной формулой для годовой ставки i , получим: i =(160/100) 1/2,5 –1=1,2068–1=0,20684, т.е. 20,684%.

Пример 24. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30%. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?

Решение. По данным задачи P /S =0,7. Тогда d =1–
=0,16334, т.е. 16,334%.