Главная › Уход › Непрерывные проценты. Связь дискретных и непрерывных процентных ставок

Непрерывные проценты. Связь дискретных и непрерывных процентных ставок

Дискретная процентная ставка – это ставка, при которой процент начисляется за заранее установленные, или определенные, периоды. Если уменьшить период начисления процентов до бесконечно малой величины (период, за который будут произведены начисления, стремится к нулю, а количество начислений процентов – к бесконечности), то проценты будут начисляться непрерывно. В этом случае процентная ставка называется непрерывной ставкой или силой роста .

В теоретических исследованиях и на практике, когда платежи производятся многократно, удобно использовать непрерывный способ начисления процентов. Переход к пределу может быть осуществлен аналогично тому, как это делалось в пункте 2.2 при выводе формулы (2.12) или следующим способом.

Непрерывная ставка может быть постоянной или изменяющейся. Рассмотрим случай, когда непрерывная процентная ставка в разные моменты времени различна.

Пусть, а(t) – функция, описывающая зависимость непрерывной ставки (силы роста) от времени t. Приращение капитала S(t) в момент t за промежуток времени Δt равно:

S(t + Δt) – S(t) = a(t) Δt S(t)

Тогда, имеем:

При Δt →0 получим, что скорость изменения капитала пропорциональна капиталу. Тогда, сумма платежа (капитал) S(t) удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению первого порядка:

, (2.28)

– скорость изменения платежа (скорость изменения капитала);

S(t) - сумма платежа (капитал);

a(t) – непрерывный процент начисления или сила роста.

В другом виде уравнение запишется:

dS = a(t) S dt, (2.29)

т. е. приращение платежа пропорционально самому платежу S и приращению времени dt. Коэффициент пропорциональности а(t) суть сила роста или процент начисления.

Возможна еще одна запись дифференциального уравнения:

, (2.30)

т. е. относительное приращение суммы платежа dS/S пропорционально приращению времени dt. Причем по-прежнему, а(t) определяется процентами начисления и в общем случае может зависеть от времени. Все три уравнения для капитала (2.28), (2.29), (2.30) эквивалентны.

Рассмотрим некоторые простейшие свойства капитала, описываемого дифференциальным уравнением (2.28)-(2.30). Если функция a(t)>0 положительна, то при положительном капитале S>0 производная от капитала dS/dt >0 также положительна и, следовательно, капитал S(t) растет. В этом случае a(t) называется непрерывным процентом начисления или силой роста .

В противном случае если функция a(t)<0 отрицательна, то при положительном капитале S>0 производная от капитала dS/dt<0 отрицательна и, следовательно, капитал S(t) убывает. В этом случае абсолютная величина |a(t)| называется непрерывным дисконтом .

Решение линейного дифференциального уравнения хорошо известно. Действительно, уравнение (2.30) является уравнением с разделяющимися переменными и его можно проинтегрировать:

Вычислив интеграл, получим:

где - неопределенный интеграл от a(t) ,

С 1 - произвольная постоянная.

Отсюда, имеем:

Окончательно, общее решение дифференциального уравнения запишется в виде:

, (2.31)

где - новая произвольная постоянная.

Для определения произвольной постоянной С нужно знать капитал хотя бы в один какой-нибудь момент времени. Если известно что в момент времени t=t 0 капитал равен S = S 0 (т. е. S(t 0)=S 0), то произвольная постоянная С легко определяется из (2.31):

Подставляя полученный результат в (2.31), имеем:

Воспользовавшись классической формулой связи определенного и неопределенного интеграла (формулой Ньютона – Лейбница):

получим решение дифференциального уравнения с начальными условиями S(t 0)=S 0 в виде:

Часто отсчет времени можно производить от начального момент, тогда t 0 =0 и решение линейного дифференциального уравнения записывается в виде:

, (2.32)

S(0) – начальная сумма в момент 0;

S(t) – сумма платежа в момент t.

Очевидно, приведенные формулы при a(t)>0 соответствуют расчету кредитования, а при a(t)<0 – расчету дисконтирования.

Если сила роста постоянна на всем рассматриваемом промежутке времени, т. е. a(t)= r, то для конечного платежа в момент t имеем:

. (2.33)

Очевидно, эта формула совпадает с полученной ранее предельным переходом формулы для непрерывных процентов (2.12).

Рассмотрим некоторые примеры использования данных формул.

Пример 28.

Ссуда 200 тыс. руб. дана на 2,5 года под ставку 20 % годовых с ежеквартальным начислением. Найти сумму конечного платежа. Расчет произвести по дискретным и непрерывным процентам.

Решение.

Сумма конечного платежа удовлетворяет дифференциальному уравнению , где r=20 %=0,2 в соответствии с процентом ежегодного начисления и время t измеряется в годах. Решение линейного уравнения известно:

Тогда сумма конечного платежа равна:

Тыс. руб.

Расчет для дискретного случая по формулам (2.11) дает:

Тыс. руб.

Видно, что при многократных начислениях небольших процентов результаты расчетов сумм конечного платежа близки.

Рассмотрим теперь пример расчета дисконтирования в непрерывном случае.

Пример 29.

Вексель на 3 млн руб. с годовой учетной ставкой 10 % и дисконтированием 2 раза в год выдан на 2 года. Найти исходную сумму, которая должна быть выдана в долг под этот вексель. Расчет произвести по дискретным и непрерывным процентам.

Решение.

Одолженная под вексель сумма платежа удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению, решение которого известно:

Расчет одолженной под вексель суммы по дискретным формулам (2.24) дает близкие результаты:

млн руб.

Таким образом, теоретические и практические вычисления по непрерывным формулам дают результаты, близкие к результатам расчета по дискретным формулам, если количество начислений велико, а процент начисления невелик.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию и науке

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина

на тему: «Действия с непрерывными процентами»

Выполнила

студентка 5 курса 502 группы

очной формы обучения Гегамян М.А.

Тамбов 2013г.

1. Постоянная сила роста

2. Переменная сила роста

6. Список литературы

1. Постоянная сила роста

При использовании дискретной номинальной ставки наращенная сумма определяется по формуле:

При переходе к непрерывным процентам получим:

Множитель наращения при непрерывной капитализации процентов.

Обозначая силу роста через, получим:

т.к. дискретные и непрерывные ставки функционально связаны друг с другом, то можно записать равенство множителей наращения

Пример

На первоначальный капитал 500 тыс. руб. начислили сложные проценты - 8% годовых в течении 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок

В формуле (4.21) можно определить современную величину

Непрерывная процентная ставка, используемая при дисконтировании называется силой дисконта. Она равна силе роста, т.е. используется для дисконтирования силы дисконта или силы роста приводят к одному и тому же результату.

Пример

Определить современную стоимость платежа при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12% и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера.

2. Переменная сила роста

С помощью этой характеристики моделируются процессы наращения денежных сумм с изменяющейся процентной ставкой. Если сила роста описывается некоторой непрерывной функцией времени, то справедливы формулы.

Для наращенной суммы:

Современная стоимость:

1) Пусть сила роста изменяется дискретно и принимает значения: в интервалы времени, тогда по истечению срока ссуды наращенная сумма составит:

Если срок наращения равен n, а средняя величина роста: , то

Пример

Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течение 5 лет. Если сила роста изменяется дискретно и соответствует: 1 год -7%, 2 и 3 - 8%, последние 2 года - 10%.

2) Сила роста непрерывно изменяется во времени и описывается уравнением:

где - начальная сила роста (при)

а - годовой прирост или снижение.

Вычислим степень множителя наращения:

Пример

Начальное значение силы роста 8%, процентная ставка непрерывная и линейно изменяется.

Прирост за год -2%, срок наращения - 5 лет. Найти множитель наращения.

3) Сила роста изменяется в геометрической прогрессии, тогда

Множитель наращения:

Пример

Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течении 5 лет, если начальная сила роста -10%, а процентная ставка ежегодно увеличивается на3%.

Срок ссуды определяется по формулам:

При наращении по постоянной ставке

При наращении по изменяющейся ставке, когда изменяется в геометрической прогрессии

Пример

Определить срок, необходимый для увеличения первоначальной в 3 раза при начислении по изменяющейся с постоянным темпом роста ставки непрерывных процентов, если начальная ставка - 15%, а годовой темп её роста -1,05

3. Эквивалентность процентных ставок

Ставки, обеспечивающие равноценность финансовых последствий называются эквивалентными или релятивными.

Равноценность финансовых последствий может быть обеспечена, если наблюдается равенство множителей наращения.

Если в выражениях

1) простая процентная ставка

2) наращенная сумма по учетной ставке

Если, то множители наращения равны

Если срок ссуды меньше года, то и эквивалентность определяется для двух случаев равных временных баз и разных временных баз.

Если временные базы одинаковы (), то формулы имеют вид:

Если начисление процентов по ставке i производится при базе 365, а по ставке d при базе 360, то справедливо:

Пример

Вексель учтен в банке по учетной ставкой 8% в день окончания срока его обращения = 200 (k=360). Определить доходность этой операции по ставке простых процентов (k=365).

Эквивалентность простых и сложных процентных ставок

При начислении процентов один раз в год определяется по формулам:

Простая ставка:

Сложная ставка:

Пример

Какой сложной годовой ставкой можно заменить простую ставку 18% (k=365) не изменяя финансовых последствий. Срок операции - 580 дней.

Эквивалентность простой процентной ставки и сложной ставки.

При начислении m раз в году определяется по формуле:

Пример

При разработке условий контракта стороны договорились, что доходность кредита должна составлять 24%. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, поквартально.

Эквивалентность простой учетной ставки и ставки сложных процентов определяется по формуле:

Эквивалентность номинальной ставки сложных процентов при начислении процентов m раз в год и простой учетной ставки определяется по формулам:

Эквивалентность сложных ставок определяется по формулам:

Эквивалентность сложной учетной ставки и номинальной сложной процентной ставки при начислении процентов m раз в году определяется по формулам:

Эквивалентность непрерывных и дискретных ставок:

Эквивалентность силы роста и номинальной ставки:

При дискретном и линейном изменении силы рост, а так же если она изменяется с постоянным темпом эквивалентную зависимость со ставками сложных процентов можно выразить формулами:

Эквивалентность силы роста и учетных ставок для постой учетной ставки определяется по формулам:

Для сложной учетной ставки:

Замечание. Используя формулы эквивалентности дискретных и непрерывных ставок можно представить результаты применения непрерывных процентов в виде общепринятых характеристик.

4. Средние величины в финансовых расчетах

Для нескольких процентных ставок их среднее значение является эквивалентной величиной. В случае если суммы получаемых кредитов равны между собой, то средняя процентная ставка для простых процентов рассчитывается по формуле средней взвешенной с весами равными временным периодам, в течение которых действовала данная ставка.

Замечание. Замена всех усредняемых значений ставок на среднюю процентную ставку не изменяет результатов наращения или дисконтирования:

Пример

Предприятие в течении года получило 2 равных по величине кредита 500 тыс. руб. каждый. 1 кредит на 3 месяца под 10% годовых. 2 кредит - на 9 месяцев под 16 % годовых. Определить среднюю процентную ставку, проверить полученный результат вычислив наращенные суммы.

При получении различных по величине кредитов выданных под различные процентные ставки средняя ставка так же вычисляется по формуле средней взвешенной с весами равными произведениям сумм полученных кредитов на сроки, которые они выданы.

Расчет средней простой учетной ставки учетной ставки производится по формуле:

Средняя ставка по сложным процентам определяется по формуле:

При анализе работы кредитных учреждений рассчитываются показатели: средний размер ссуды, её средняя продолжительность, среднее число оборотов ссуды и другие показатели.

Средний размер одной ссуды без учета количества оборотов за год вычисляется по формуле:

С учетом количества оборотов за год по формуле:

где - количество оборотов,

Продолжительность периода

К - число клиентов, получивших ссуд.

Средний размер всех ссуд с учетом количества оборотов за год показывает остаток задолженности по всем ссудам за год. Он равен среднему размеру одной ссуды с учетом оборачиваемости за год помноженного на число клиентов, получивших ссуду:

где - это общий оборот, т.е. сумма погашенных кредитов, погашенных за период.

Средний остаток всех ссуд с учетом количества оборотов за год определяется по формуле средней хронологической моментного ряда по данным месячных бухгалтерских балансов кредитного учреждения выдавшего ссуду по формуле:

где - ежемесячные остатки выданных ссуд.

Число оборотов отдельных ссуд при условии их непрерывной оборачиваемости за изучаемый период определяется как частное от деления продолжительности периода на срок выдачи ссуды.

Среднее число оборотов всех ссуд за период при условии, что происходит непрерывная их оборачиваемость рассчитывается по формуле, исходя из наличия данных.

Средний срок кредита отдельных ссуд или всех ссуд в целом рассчитывается по различным формулам

эквивалентность конверсия дисконтирование ставка

5. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей

Замена одного денежного обязательства на другое или объединение нескольких платежей в один базируется на принципе финансовой эквивалентности обязательств.

Эквивалентными считаются платежи, которые, будучи приведены к одному моменту времени оказываются равными. Он следует из формул наращения и дисконтирования. Две суммы и считаются равными, если их современные величины на один момент времени одинаковы, с ростом процентной ставки размеры современных стоимостей уменьшаются. Ставка, при которой называется критической или барьерной. Она выводится из равенства.

В случае сложной процентной ставки барьерная ставка вычисляется по формулам:

Принцип финансовой эквивалентности применяется при различных изменениях условий выплат денежных сумм. Общий метод решения подобных задач состоит в разработке уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей приведена к определенному моменту времени приравнивается к сумме платежей по новому обязательству приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств используется простая, для средне и долгосрочных - сложная.

Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация, т.е. объединение платежей. Возможны 2 постановки задачи:

1) Задан срок и требуется найти величину платежа;

2) Заданна сумма консолидированного платежа, требуется определить его срок.

При консолидации нескольких платежей в один при условии, что срок нового платежа больше ранее установленного срока, уравнение эквивалентности записывается в виде:

Где - наращенная сумма консолидированного платежа,

Платежи, подлежащие консолидации,

Временные интервалы между и:

В общем случае величина консолидированного платежа будет иметь вид:

Суммы объединенных платежей, сроки, погашения которых меньше первого срока; - суммы объединенных платежей со сроками, превышающими новый срок.

При консолидации векселей учитывается учетная ставка и размер консолидированного платежа определяется по формуле:

При консолидации платежей с использованием сложной процентной ставки консолидированная сумма находится по формулам:

Если известна сумма консолидированного платежа и требуется определить срок его консолидации, сохраняя принцип эквивалентности:

где - консолидированная величина современного платежа. В случае договоренности партнеров о консолидации платежей без изменения общей суммы платежей, то срок консолидированного платежа:

Для расчета срока уплаты консолидированных платежей могут использоваться учетные ставки, тогда расчеты производятся по формуле:

В случае использования сложных процентов формулы имеют вид:

Список литературы

1. Кочович Е. Финансовая математика: Теория и практика финансово банковских расчетов. - М.: Финансы и статистика, 2004

2. Красина Ф.А. Финансовые вычисления- Финансовые вычисления: учебное пособие / Ф. А. Красина. -- Томск: Эль Контент, 2011.

3. Селезнева Н.Н., Ионова А.Ф. Управление финансами. Задачи, ситуации, тесты, схемы: Учеб. пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 176 с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Современная величина обычной ренты. Определение процентной ставки финансовой ренты. Математическое и банковское дисконтирование. Эквивалентность процентных ставок и средних ставок. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции. Консолидация платежей.

контрольная работа , добавлен 28.11.2013

Принцип составления уравнения эквивалентности процентных ставок. Определение простой ставки ссудного процента и эффективной ставки сложных декурсивных процентов. Безубыточное изменение условий контракта при объединении платежей и переносе сроков выплат.

презентация , добавлен 25.03.2014

Процентные ставки, их виды и методы расчетов. Учет налогов и инфляция в расчетах. Эквивалентность двух сумм. Потолок платежей и его параметры. Средние величины в финансовых расчетах. Переход из теоретической шкалы времени в календарную и наоборот.

лекция , добавлен 25.10.2012

Методика определения суммы платежа с применением ставки сложных процентов. Расчет доходности операции для кредитора в виде простой, сложной процентной и учетной ставки. Вычисление предпочтительного варианта вложения денег при заданных процентных ставках.

контрольная работа , добавлен 26.03.2013

Формирование ставок дисконтирования. Достоинства и недостатки методов их расчета. Рисковые и безрисковые активы, их влияние на выставление процентной ставки. Модель оценки капитальных активов. Выбор корректировок для выбранной ставки дисконтирования.

курсовая работа , добавлен 24.09.2012

Замена обязательств на принципе финансовой эквивалентности до и после изменения контракта. Эквивалентная процентная ставка и её расчет для разных ствок и методов начисления процентов. Консолидация долга. Задания на расчет эффективных процентных ставок.

контрольная работа , добавлен 08.02.2010

Теоретические основы финансово-коммерческих вычислений: простые и сложные проценты. Сравнение роста по сложной и простой процентной ставке: переменные ставки, дисконтирование, потребительский кредит. Влияние инфляции на современный валютный курс.

курсовая работа , добавлен 14.12.2011

Определение вексельной суммы, процентной ставки, эквивалентной банковской учетной ставке. Расчет реальной годовой доходности по облигациям при заданных номинальной процентной ставке и уровне инфляции. Ожидаемая реальная доходность держателя векселя.

контрольная работа , добавлен 21.12.2012

Сущность ссудного процента. Виды процентных ставок - номинальная и реальная ставки. Факторы, определяющие различия в процентных ставках. Банковский процент и процентный доход. Методы регулирования процентных ставок со стороны государства и банков.

курсовая работа , добавлен 16.03.2008

Факторы, влияющие на валютный рынок. Связь приемлемой величины кредитной ставки и эффективность работы компании. Дисконтирование денежных потоков, виды ставок. Роль драгметаллов в валютных резервах страны. Определение фьючерсного и опционного контрактов.

Связь дискретных и непрерывных процентных ставок
Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить путем приравнивания соответствующих множителей наращения
(1+i)n=eSn.

Пример 13.
Годовая ставка сложных процентов равна 15%, чему равна эквивалентная сила роста,
Решение.
Воспользуемся формулой (50)
д=Ы(1+^=Ы(1+0,15)=0,т76,
т.е. эквивалентная сила роста равна 13,976%.
Расчет срока ссуды и процентных ставок
В ряде практических задач начальная (Р) и конечная (Б) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. По сути дела, в обоих случаях решается в известном смысле обратная задача.
Срок ссуды
При разработке параметров соглашения и оценивании сроков достижения желательного результата требуется определить продолжительность операции (срока ссуды) через остальные параметры сделки. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
А) При наращивании по сложной годовой ставке i. Из исходной формулы наращения
5=P(1+i)n
следует, что
п = 1ои(Б / Р) (52)
1оё(1 +1) ’
где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется как в числителе, так и в знаменателе.

5=P(1+j/m)mn
получаем
п =
т іо§(1 + у I т)
В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d. Из формулы
P=S(1d)n
имеем п = 1оё(Р 15). (54)
1оё(1 – ^
Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году. Из
P=S(1f/m)mn
приходим к формуле
п = 1о8(Р 15). (55)
т 1о§(1 – /1 т)
При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из
Б=Рв3п
получаем
іп(Б/Р)=Ьп.
Расчет процентных ставок
Из тех же исходных формул, что и выше, получим выражения для процентных ставок.
А) При наращивании по сложной годовой ставке I. Из исходной формулы наращения
Б=Р(1+1)п
следует, что
""і."1
Б) При наращивании по номинальной ставке процентов т раз в году из формулы
Б=Р(1+]/т)тп
В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке й. Из формулы
Р=Б(1й)п
имеем ё = 1 – (§). (59)
Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке т раз в году. Из
Р=Б(1//т)тп
приходим к формуле
1 /(тп)
Д) При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из
получаем
Начисление процентов и инфляция
Следствием инфляции является падение покупательной способности денег, которое за период П характеризуется индексом Jn. Индекс покупательной способности равен обратной величине индекса цен Jp, т.е.
Jn 1/Jp¦
Индекс цен показывает во сколько раз выросли цены за указанный промежуток времени.
Наращение по простым процентам
Если наращенная за п лет сумма денег составляет S, а индекс цен равен Jp, то реально наращенная сумма денег, с учетом их покупательной способности, равна
C=S/Jp.
Пусть ожидаемый средний годовой темп инфляции (характеризующий прирост цен за год) равен Ь. Тогда годовой индекс цен составит (1+Ь.).
Если наращение производится по простой ставке в течение П лет, то реальное наращение при темпе инфляции Ь составит
с = р (1 + Ш)
где в общем случае
п
JP =П (1+К),
г=1
и, в частности, при неизменном темпе роста цен h,
Jp=(1+h)n. (66)
Процентная ставка, которая при начислении простых процентов компенсирует инфляцию, равна
71
і =Р1. (67)
п
Один из способов компенсации обесценения денег заключается в увеличении ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии. Скорректированная таким образом ставка называется бруттоставкой. Бруттоставка, которую мы будем обозначать символом Г, находится из равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по бруттоставке множителю наращения по реальной ставке процента
1+пг = 1 + пі, (68)
-Р
откуда
г = (1 + ті)Р 1. (69)
п
Наращение по сложным процентам
Наращенная по сложным процентам сумма к концу срока ссуды с учетом падения покупательной способности денег (т.е. в неизменных рублях) составит
С = Р (1+01, (70)
где индекс цен определяется выражением (65) или (66), в зависимости от непостоянства или постоянства темпа инфляции.
В этом случае падение покупательной способности денег компенсируется при ставке i=h, обеспечивающей равенство C=P.
Применяются два способа компенсации потерь от снижения покупательной способности денег при начислении сложных процентов.
А) Корректировка ставки процентов, по которой производится наращение, на величину инфляционной премии. Ставка процентов, увеличенная на величину инфляционной премии, называется бруттоставкой. Будем обозначать ее символом г. Считая, что годовой темп инфляции равен Ь можем написать равенство соответствующих множителей наращения
- = 1 + /, (71)
1 + И
где і – реальная ставка.
Отсюда получаем формулу Фишера
r=i+h+ih. (72)
То есть инфляционная премия равна h+ih.
Б) Индексация первоначальной суммы P. В этом случае сумма P корректируется согласно движению заранее оговоренного индекса. Тогда
S=PJp(1+i)n. (73)
Нетрудно заметить, что и в случае А) и в случае Б) в итоге мы приходим к одной и той же формуле наращения (73). В ней первые два сомножителя в правой части отражают индексацию первоначальной суммы, а последние два – корректировку ставки процента.
Измерение реальной ставки процента
На практике приходится решать и обратную задачу – находить реальную ставку процента в условиях инфляции. Из тех же соотношений между множителями наращения нетрудно вывести формулы, определяющие реальную ставку і по заданной (или объявленной) бруттоставке г.
При начислении простых процентов годовая реальная ставка процентов равна
(л \
1 + пг
1
р
При начислении сложных процентов реальная ставка процентов определяется следующим выражением
1 + Г Г – И /ГГГЧ
I = 1 =. (75)
1+И 1+И
Практические приложения теории
Рассмотрим некоторые практические приложения рассмотренной нами теории. Покажем как полученные выше формулы применяются при решении реальных задач по расчету эффективности некоторых финансовых операций, сравним различные методы расчетов.
Конвертация валюты и начисление процентов
Рассмотрим совмещение конвертации (обмена) валюты и наращение простых процентов, сравним результаты от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты или после предварительного обмена на другую валюту. Всего возможно 4 варианта наращения процентов:
1. Без конвертации. Валютные средства размещаются в качестве валютного депозита, наращение первоначальной суммы производится по валютной ставке путем прямого применения формулы простых процентов.
2. С конвертацией. Исходные валютные средства конвертируются в рубли, наращение идет по рублевой ставке, в конце операции рублевая сумма конвертируется обратно в исходную валюту.
3. Без конвертации. Рублевая сумма размещается в виде рублевого депозита, на который начисляются проценты по рублевой ставке по формуле простых процентов.
4. С конвертацией. Рублевая сумма конвертируется в какуюлибо конкретную валюту, которая инвестируется в валютный депозит. Проценты начисляются по валютной ставке. Наращенная сумма в конце операции обратно конвертируется в рубли.?
Операции без конвертации не представляют сложности. В операции наращения с двойной конвертацией имеются два источника дохода: начисление процента и изменение курса. Причем начисление процента является безусловным источником (ставка фиксирована, инфляцию пока не рассматриваем). Изменение же обменного курса может быть как в ту, так и в другую сторону, и оно может быть как источником дополнительного дохода, так и приводить к потерям. Далее мы конкретно остановимся на двух вариантах (2 и 4), предусматривающих двойную конвертацию.
Предварительно введем следующие ОБОЗНАЧЕНИЯ:
Pv – сумма депозита в валюте,
Pr – сумма депозита в рублях,
Sv – наращенная сумма в валюте,
Sr – наращенная сумма в рублях,
^ – курс обмена в начале операции (курс валюты в руб.)
^ – курс обмена в конце операции, П – срок депозита,
І – ставка наращения для рублевых сумм (в виде десятичной дроби),
j – ставка наращения для конкретной валюты.
ВАРИАНТ: ВАЛЮТАМ РУБЛИ ^ РУБЛИ ^ВАЛЮТА Операция состоит из трех этапов: обмена валюты на рубли, наращения рублевой суммы, обратное конвертирование рублевой суммы в исходную валюту. Наращенная сумма, получаемая в конце операции в валюте, составит
= РуК- (1 + пі)!.
к1
Как видим, три этапа операции нашли свое отражение в этой формуле в виде трех сомножителей.
Множитель наращения с учетом двойной конвертации равен
К0 „,ч 1 + пі 1 + пі,
к
К о
где k=Kl/Ko – темп роста обменного курса за срок операции.?
Мы видим, что множитель наращения т связан линейной зависимостью со ставкой I и обратной с обменным курсом в конце операции К (или с темпом роста обменного курса к).
Исследуем теоретически зависимость общей доходности операции с двойной конвертацией по схеме ВАЛЮТА ^ РУБЛИ ^ РУБЛИ ^ ВАЛЮТА от соотношения конечного и начального курсов обмена к.
Простая годовая ставка процентов, характеризующая доходность операции в целом, равна
/ = ^Р,.
*,")ТМТМ
* Рп
Подставим в эту формулу записанное ранее выражение для Бу
-(1 + т)1
К1 1 (1 + т) 1?
ВЫВОД 1: Если ожидаемые величины k или K1 превышают свои критические значения, то операция явно убыточна
Цэфф Теперь определим максимально допустимое значение курса обмена в конце операции Ki, при котором эффективность будет равна существующей ставке по депозитам в валюте, и применение двойной конвертации не дает никакой дополнительной выгоды. Для этого приравняем множители наращения для двух альтернативных операций
к
1 + nj =тт(1 + ni)
K1
Из записанного равенства следует, что
к к 1 + ni
max K1 = K 0
1 + nj
или
K, 1 + ni
max k = -L =
K о 1 + nj
ВЫВОД 2: Депозит валюты через конвертацию в рубли выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции ожидается меньше max K1.
ВАРИАНТ: РУБЛИ ^ ВАЛЮТА ^ ВАЛЮТА ^ РУБЛИ
Рассмотрим теперь вариант с двойной конвертацией, когда имеется исходная сумма в рублях. В этом случае трем этапам операции соответствуют три сомножителя следующего выражения для наращенной суммы
P K
S = K(1 + nj)K 1= Pr (1 + nj)L
K0 K0
Здесь также множитель наращения линейно зависит от ставки, но теперь от валютной ставки процентов. От конечного курса обмена он также зависит линейно.
Проведем теоретический анализ эффективности этой операции с двойной конвертацией и определим критические точки.?
Доходность операции в целом определяется по формуле
«¦ =.
1 „тмгм „
Э Ргп
Отсюда, подставив выражение для Sr, получаем
К
(1 + п])1. = Ко " = *(1 + п])1
"Э11
п
Зависимость показателя эффективности iэфф от k линейная, она представлена на рис. 3
При k=1 ізфф=/", при к>1 ізфф>;", при к Найдем теперь критическое значение к*, при котором Ьфф=0. Оно оказывается равным
к* =^^ или к *1 =К^~.
1 + п 1 + п
ВЫВОД 3: Если ожидаемые величины к или ^ меньше своих критических значений, то операция явно убыточна
(ІЗФФ Минимально допустимая величина к (темпа роста валютного курса за весь срок операции), обеспечивающая такую же доходность, что и прямой вклад в рублях, определяется пу
тем приравнивания множителеи наращения для альтернативных операций (или из равенства iэфф=i)
к
- L(1 + nj) = 1 + ni,
K 0
1 + ni 1 + ni откуда mm k = или mm к = K
1 + nj 1 0 1 + nj
ВЫВОД 4: Депозит рублевых сумм через конвертацию в валюту выгоднее рублевого депозита, если обменный курс в конце операции ожидается больше min K1.
Теперь рассмотрим совмещение конвертации валюты и наращение сложных процентов. Ограничимся одним вариантом.
ВАРИАНТ: ВАЛЮТА ^ РУБЛИ ^ РУБЛИ ^ ВАЛЮТА
Три этапа операции записываются в одной формуле для наращенной суммы
sv = PVK 0(1+i) nK"
Ki
где i – ставка сложных процентов.
Множитель наращения
nKо _ (1 +i) n
K1 k
7 К
где к = -– темп роста валютного курса за период операции. К 0
Определим доходность операции в целом в виде годовой ставки сложных процентов iэ.
Из формулы наращения по сложным процентам
S=P(1+i)n
следует, что
I. - n
]Pv
Подставив в эту формулу значение БУ, получим
Р (1 + Опгг,.
ь = д, ^1 = 1+11.
Из этого выражения видно, что с увеличением темпа роста к эффективность ь падает. Это показано на графике рис. 4.
Рис. 4.
Анализ показывает, что при к = 1 1э = I, при к > 1 1э I.
Критическое значение к, при котором эффективность операции равна нулю, т.е. ь = 0,
определяется как к* = (1 + 1)п, что означает равенство среднегодового темпа роста курса валюты годовому темпу наращения по рублевой ставке: Vк = 1 + г.
ВЫВОД 5: Если ожидаемые величины к или К больше своих критических значений, то рассматриваемая операция с двойной конвертацией явно убыточна (ь Максимально допустимое значение к, при котором доходность операции будет равна доходности при прямом инвестировании валютных средств по ставке ] (т. а на рис. 4), находится из равенства соответствующих множителей наращения
(1 +1)я
(1 + Л)п =
кт?
откуда
п
1 +1
или max к = К
1 Л(
1 +У, 1 "VI + у,
ВЫВОД 6: Депозит валюты через конвертацию в рубли выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции ожидается меньше тах
Погашение задолженности частями Контур финансовой операции
Финансовая или кредитная операции предполагают сбалансированность вложений и отдачи. Понятие сбалансированности можно пояснить на графике. а)
В
Я,.
Т
б)
Рис. 5.
Пусть ссуда в размере Бо выдана на срок Т. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два промежуточных платежа К и Кг, а в конце срока выплачивается остаток задолженности К3, подводящий баланс операции.
На интервале времени й задолженность возрастает до величины Бъ В момент и долг уменьшается до величины К1=Б1К1 и т.д. Заканчивается операция получением кредитором остатка задолженности Кз. В этот момент задолженность полностью погашается.
Назовем график типа б) контуром финансовой операции. Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур, т.е. последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности. Контур операции обычно применяется при погашении задолженности частичными промежуточными платежами.
С помощью последовательных частичных платежей иногда погашаются краткосрочные обязательства. В этом случае существуют два метода расчета процентов и определения остатка задолженности. Первый называется актуарным и применяется в основном в операциях со сроком более года. Второй метод назван правилом торговца. Он обычно применяется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года.
Замечание: При начислении процентов, как правило, используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней временных периодов.
Актуарный метод
Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных
процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Такое поступление приплюсовывается к следующему платежу.
Для случая, показанного на рис. 5 б), получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности:
К1=Во(1+Ьь1)К1; К2=Кь(1+Ь21)К2; К2(1+Ьз1)Кз=0,
где периоды времени Ьь, Ь2, Ьз – заданы в годах, а процентная ставка I – годовая.
Правило торговца
Правило торговца является другим подходом к расчету частичных платежей. Здесь возможны две ситуации.
1) Если срок ссуды не превышает, сумма долга с начисленными за весь срок процентами остается неизменной до полного погашения. Одновременно идет накопление частичных платежей с начисленными на них до конца срока процентами.
2) В случае, когда срок превышает год, указанные выше расчеты, делаются для годового периода задолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году.
При общем сроке ссуды Т m
S = D – K = P(l + Л) – ? RJ (1 + tJi),
]=1
где Э – остаток долга на конец срока,
В – наращенная сумма долга,
К – наращенная сумма платежей,
Щ – сумма частичного платежа,
Ь) – интервал времени от момента платежа до конца срока, т – число частичных (промежуточных) платежей.
Переменная сумма счета и расчет процентов
Рассмотрим ситуацию, когда в банке открыт сберегательный счет, и сумма счета в течение срока хранения изменяется: денежные средства снимаются, делаются дополнительные взносы. Тогда в банковской практике при расчете процентов часто используют методику расчета с вычислением так называемых процентных чисел. Каждый раз, когда сумма на счете изменяется, вычисляется процентное число Cj за прошедший период ], в течение которого сумма на счете оставалась неизменной, по формуле
с. = Р.,
у 100
где ^ – длительность ]го периода в днях.
Для определения суммы процентов, начисленной за весь срок, все процентные числа складываются и их сумма делится на постоянный делитель D:
В = К,
где K – временная база (число дней в году, т.е. 360 либо 365 или 366), i – годовая ставка простых процентов (в %).
При закрытии счета владелец получит сумму равную последнему значению суммы на счете плюс сумму процентов.
Пример 14.
Пусть 20 февраля был открыт счет до востребования в размере P1=3000 руб., процентная ставка по вкладу равнялась г=20% годовых. Дополнительный взнос на счет составил Rl=2000 руб. и был сделан 15 августа. Снятие со счета в размере R2=4000 руб. зафиксировано 1 октября, а 21 ноября счет был закрыт. Требуется определить сумму процентов и общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета.
Решение.
Расчет будем вести по схеме (360/360). Здесь имеются три периода, в течение которых сумма на счете оставалась неизменной: с 20 февраля по 15 августа
^1 = 3000, и = 10 + 5*30 + 15 = 175),?
с 15 августа по 1 октября
(Р2 = Р1 + Я1 = 3000 + 2000 = 5000 руб., Ь = 15 + 30 + 1 = 46), с 1 октября по 21 ноября
(Рз = Р2 + Я2 = 5000 – 4000 = 1000 руб., Ьз = 29 + 21 = 50). Найдем процентные числа
Р*Д 3000 С. =-к = = 5250,
1 1ЛЛ 1лл
=2300,
Постоянный делитель
В=К/1=360/20=18.
Сумма процентов равна
I = (С, + С2 + С3)/ Б = 5250 + 2300 + 500 = 447 руб. 22 коп.
18
Сумма, выплачиваемая при закрытии счета, равна
Рз + I = 1000 + 447.22 = 1447 руб. 22 коп.
Теперь покажем связь этой методики с формулой простых процентов. Рассмотрим в алгебраическом виде представленный выше пример.
Сумму, выплачиваемую при закрытии счета, найдем следующим образом
РЛ, + (Р + О V 2 + (Р + Р. + 02 ^з /
Р3 +1 = Р + Я1 + Р2 +^-^ 1" 2 V 1 1 ^3 _
100 К
t1 +2 +13 I 1, о {, 2 +13 I 1, о (л, t3 I
= Р.1 1 +1 2 ^ 1 + О 1 + ^ ^ 1 + Р2| 1 +31 ^ К 100) ^ К 100) ^ К100
Таким образом, мы получили выражение, из которого следует, что на каждую сумму, добавляемую или снимаемую
со счета, начисляются проценты с момента совершения соответствующей операции до закрытия счета. Эта схема соответствует правилу торговца, рассмотренному в разделе 6.2.
Изменение условий контракта
В практике часто возникает необходимость в изменении условий контракта: например, должник может попросить об отсрочке срока погашения долга или, напротив, изъявить желание погасить его досрочно, в ряде случаев может возникнуть потребность объединить (консолидировать) несколько долговых обязательств в одно и т.д. Во всех этих случаях применяется принцип финансовой эквивалентности старых (заменяемых) и новых (заменяющих) обязательств. Для решения задач по изменению условий контракта разрабатывается так называемое уравнение эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какомулибо одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных контрактов применяются простые процентные ставки, а для среднеи долгосрочных – сложные ставки.

При использовании дискретной номинальной ставки наращенная сумма определяется по формуле:

При переходе к непрерывным процентам получим:

Множитель наращения при непрерывной капитализации процентов.

Обозначая силу роста через, получим:

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок

В формуле (4.21) можно определить современную величину

Переменная сила роста

Для наращенной суммы:

Современная стоимость:

Если срок наращения равен n, а средняя величина роста: , то

2) Сила роста непрерывно изменяется во времени и описывается уравнением:

где - начальная сила роста (при)

а - годовой прирост или снижение.

Вычислим степень множителя наращения:

Начальное значение силы роста 8%, процентная ставка непрерывная и линейно изменяется.

Прирост за год -2%, срок наращения - 5 лет. Найти множитель наращения.

3) Сила роста изменяется в геометрической прогрессии, тогда

Непрерывные проценты – это термин теоретической экономики, который подразумевает постоянное, систематическое начисление процентов. Если вникать в основы экономической теории, то непрерывные проценты начисляются через промежутки времени, которые стремятся к наиболее малому числу. То есть непрерывные проценты начисляются беспрерывно, но для удобства подсчета предприниматели или экономисты говорят, что начисляется та или иная сумма в секунду, в час или день. Например, доход Билла Гейтса можно назвать доходом в форме непрерывных процентов. Экономисты-теоретики высчитали, что Билл Гейтс – один из самых богатых людей в мире – зарабатывает ежеминутно примерно по 6 600 долларов – именно в такую сумму конвертируются непрерывные проценты от его бизнеса и инвестиций.

Значение непрерывных процентов в теоретической и практической экономике

Говоря о значении непрерывных процентов, следует в первую очередь отметить, что они являются ключевой формой пассивного дохода. По сути, пассивный доход складывается из двух теоретических составляющих: актива, который работает без вмешательства предпринимателя, и непрерывных процентов, которые он дает от вложенной в него суммы. Например, купил квартиру за 10 000 000 рублей и сдает ее по цене 40 000 рублей в месяц – это пассивный доход. В год доход составит 480 000 рублей, от десяти миллионов это 4,8 процента. Получается, предприниматель непрерывно получает 4,8 процента годовых от вложенной суммы, это его годовые проценты.

Второе значение – непрерывные проценты свидетельствуют о стабильной ситуации в развитии той или иной компании. Если постоянно приносит проценты, значит, он нормально работает. Если поступление процентов приостанавливается, можно судить о возникновении неполадок в работе компании. Если проценты то растут, то падают – это тоже говорит о внутренних проблемах предприятия. Поэтому в теории экономического анализа непрерывные проценты очень важны.

Третье значение, на которое мы обратим внимание – окупаемость вложения. Суммирование непрерывно поступающих процентов в конечном итоге приведет к тому, что вложения в или бизнес окупятся на сто процентов, то есть предприниматель получит назад вложенные средства и ему останется только получать . В теории экономики есть немало призывов к анализу различных факторов экономической жизни (уровня инфляции и так далее) и сравниванию результатов с непрерывными процентами. Может оказаться так, что доход от компании, выраженный в процентах, будет ниже, чем проценты обесценивания денег и тому подобных явлений. Если, допустим, от вклада в банк человек получает пять процентов в год, а равна восьми процентам, то в конечном итоге вкладчик теряет по три процента от своего капитала. Большинство людей не обращают на это внимания, что является грубейшей экономической ошибкой и причиной многих банкротств. Особенно это важно в периоды экономических перестроек и катаклизмов.

Будьте в курсе всех важных событий United Traders - подписывайтесь на наш