Определение множественного коэффициента корреляции в MS Excel. Матрица парной корреляции

1. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; проанализировать тесноту и направление связи результирующего признака Y с каждым из факторов Х ; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции r (Y , X i); выбрать наиболее информативный фактор.

2. Построить модель парной регрессии с наиболее информативным фактором; дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

3. Оценить качество модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации, коэффициента детерминации и F – критерия Фишера (принять уровень значимости α=0,05).

4. С доверительной вероятностью γ=80% осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y (прогнозные значения факторов приведены в Приложении 6). Представить графически фактические и модельные значения Y , результаты прогнозирования.

5. Методом включения построить двухфакторные модели, сохраняя в них наиболее информативный фактор; построить трехфакторную модель с полным перечнем факторов.

6. Выбрать лучшую из построенных множественных моделей. Дать экономическую интерпретацию ее коэффициентов.

7. Проверить значимость коэффициентов множественной регрессии с помощью t –критерия Стьюдента (принять уровень значимости α=0,05). Улучшилось ли качество множественной модели по сравнению с парной?

8. Дать оценку влияния факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, бета– и дельта– коэффициентов.

Задача 2. Моделирование одномерного временного ряда

В Приложении 7 приведены временные ряды Y(t) социально-экономических показателей по Алтайскому краю за период с 2000 г. по 2011 г. Требуется исследовать динамику показателя, соответствующего варианту задания.

Вариант	Обозначение, наименование, единица измерения показателя
	Y1	Потребительские расходы в среднем на душу населения (в месяц), руб.
	Y2	Выбросы загрязняющих веществ в атмосферный воздух, тыс. тонн
	Y3	Средние цены на вторичном рынке жилья (на конец года, за квадратный метр общей площади), руб
	Y4	Объем платных услуг на душу населения, руб
	Y5	Среднегодовая численность занятых в экономике, тыс. человек
	Y6	Число собственных легковых автомобилей на 1000 человек населения (на конец года), штук
	Y7	Среднедушевые денежные доходы (в месяц), руб
	Y8	Индекс потребительских цен (декабрь к декабрю предыдущего года), %
	Y9	Инвестиции в основной капитал (в фактически действовавших ценах), млн. руб
	Y10	Оборот розничной торговли на душу населения (в фактически действовавших ценах), руб

Порядок выполнения работы

1. Построить линейную модель временного ряда , параметры которой оценить МНК. Пояснить смысл коэффициента регрессии.

2. Оценить адекватность построенной модели, используя свойства случайности, независимости и соответствия остаточной компоненты нормальному закону распределения.

3. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

4. Осуществить прогнозирование рассматриваемого показателя на год вперед (прогнозный интервал рассчитать при доверительной вероятности 70%).

5. Представить графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования.

6. Провести расчет параметров логарифмического, полиномиального (полином 2-й степени), степенного, экспоненциального и гиперболического трендов. На основании графического изображения и значения индекса детерминации выбрать наиболее подходящий вид тренда.

7. С помощью лучшей нелинейной модели осуществить точечное прогнозирование рассматриваемого показателя на год вперед. Сопоставить полученный результат с доверительным прогнозным интервалом, построенным при использовании линейной модели.

ПРИМЕР

Выполнения контрольной работы

Задача 1

Фирма занимается реализацией подержанных автомобилей. Наименования показателей и исходные данные для эконометрического моделирования представлены в таблице:

Цена реализации, тыс.у.е. (Y )	Цена нового авт., тыс.у.е. (Х1 )	Срок эксплуатации, годы (Х2 )	Левый руль - 1, правый руль - 0, (Х3 )
8,33	13,99	3,8
10,40	19,05	2,4
10,60	17,36	4,5
16,58	25,00	3,5
20,94	25,45	3,0
19,13	31,81	3,5
13,88	22,53	3,0
8,80	16,24	5,0
13,89	16,54	2,0
11,03	19,04	4,5
14,88	22,61	4,6
20,43	27,56	4,0
14,80	22,51	3,3
26,05	31,75	2,3

Требуется:

1. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; проанализировать тесноту и направление связи результирующего признака Y с каждым из факторов Х; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции r(Y, X i); выбрать наиболее информативный фактор.

Используем Excel (Данные / Анализ данных / КОРРЕЛЯЦИЯ):

Получим матрицу коэффициентов парной корреляции между всеми имеющимися переменными:

	У	Х1	Х2	Х3
У
Х1	0,910987
Х2	-0,4156	-0,2603
Х3	0,190785	0,221927	-0,30308

Проанализируем коэффициенты корреляции между результирующим признаком Y и каждым из факторов X j:

> 0, следовательно, между переменными Y и Х 1 наблюдается прямая корреляционная зависимость: чем выше цена нового автомобиля, тем выше цена реализации.

> 0,7 – эта зависимость является тесной.

< 0, значит, между переменными Y и Х 2 наблюдается

обратная корреляционная зависимость: цена реализации ниже для авто-

мобилей с большим сроком эксплуатации.

– эта зависимость умеренная, ближе к слабой.

> 0, значит, между переменными Y и Х 3 наблюдается прямая корреляционная зависимость: цена реализации выше для автомобилей с левым рулем.

< 0,4 – эта зависимость слабая.

Для проверки значимости найденных коэффициентов корреляции используем критерий Стьюдента.

Для каждого коэффициента корреляции вычислим t -статистику по формуле и занесем результаты расчетов в дополнительный столбец корреляционной таблицы:

	У	Х1	Х2	Х3	t-статистики
У
Х1	0,910987				7,651524603
Х2	-0,4156	-0,2603			1,582847988
Х3	0,190785	0,221927	-0,30308		0,673265587

По таблице критических точек распределения Стъюдента при уровне значимости и числе степеней свободы определим критическое значение (Приложение 1, или функция СТЬЮДРАСПОБР).Y и сроком эксплуатации Х 2 достоверна.

< , следовательно, коэффициент не является значимым. На основании выборочных данных нет оснований утверждать, что зависимость между ценой реализации Y и расположением руля Х 3 достоверна.

Таким образом, наиболее тесная и значимая зависимость наблюдается между ценой реализации Y и ценой нового автомобиля Х 1 ; фактор Х 1 является наиболее информативным.

Коллинеарными являются факторы …

Решение:

Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если . В нашей модели только коэффициент парной линейной регрессии между факторами и больше 0,7. , значит, факторы и коллинеарны.

4. В модели множественной регрессии определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами , и близок к нулю. Это означает, что факторы , и …

мультиколлинеарны

независимы

количественно измеримы

Решение:

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами. Если факторы не коррелированы между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной. Поскольку все недиагональные элементы были бы равны нулю.
, поскольку = = и = = =0.
Если между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты парной корреляции равны единице, то определитель такой матрицы равен нулю.

Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

5. Для эконометрической модели линейного уравнения множественной регрессии вида построена матрица парных коэффициентов линейной корреляции (y – зависимая переменная; х (1) , х (2) , х (3) , x (4) – независимые переменные):

Коллинеарными (тесно связанными) независимыми (объясняющими) переменными не являются …

x (2) и x (3)

x (1) и x (3)

x (1) и x (4)

x (2) и x (4)

Решение:

При построении модели множественной регрессии необходимо исключить возможность существования тесной линейной зависимости между независимыми (объясняющими) переменными, которая ведет к проблеме мультиколлинеарности. При этом осуществляют проверку коэффициентов линейной корреляции для каждой пары независимых (объясняющих) переменных. Эти значения отражены в матрице парных коэффициентов линейной корреляции. Считается, что наличие значений коэффициентов парной корреляции между объясняющими переменными, превышающих по абсолютной величине 0,7, отражает тесную связь между этими переменными (теснота связи с переменной y в данном случае не рассматривается). Такие независимые переменные называются коллинеарными. Если значение коэффициента парной корреляции между объясняющими переменными не превышает по абсолютной величине 0,7, то такие объясняющие переменные не являются коллинеарными. Рассмотрим значения парных коэффициентов межфакторной корреляции: между x (1) и x (2) значение равно 0,45; между x (1) и x (3) – равно 0,82; между x (1) и x (4) – равно 0,94; между x (2) и x (3) – равно 0,3; между x (2) и x (4) – равно 0,7; между x (3) и x (4) – равно 0,12. Таким образом, не превышают 0,7 значения , , . Следовательно, коллинеарными не являются факторы x (1) и x (2) , x (2) и x (3) , x (3) и x (4) . Из последних перечисленных пар в вариантах ответов присутствует пара x (2) и x (3) – это верный вариант ответа. Для остальных пар: x (1 и x (3) , x (1) и x (4) , x (2) и x (4) – значения парных коэффициентов межфакторной корреляции превышают 0,7, и эти факторы являются коллинеарными.

Тема 3: Фиктивные переменные

1. Дана таблица исходных данных для построения эконометрической регрессионной модели:

Фиктивными переменными не являются …

стаж работы

производительность труда

уровень образования

уровень квалификации работника

Решение:

При построении регрессионной модели может возникнуть ситуация, когда необходимо включить в уравнение помимо количественных переменных переменные, отражающие некоторые атрибутивные признаки (пол, образование, регион и т.п.). Такого рода качественные переменные называются «фиктивными» (dummy) переменными. Для построения указанной в постановке задания модели используются фиктивные переменные: уровень образования и уровень квалификации работника. Остальные переменные не являются фиктивными, из предложенных вариантов это стаж работы и производительность труда.

2. При исследовании зависимости потребления мяса от уровня дохода и пола потребителя можно рекомендовать …

использовать фиктивную переменную – пол потребителя

разделить совокупность на две: для потребителей женского пола и для потребителей мужского пола

использовать фиктивную переменную – уровень дохода

исключить из рассмотрения пол потребителя, так как данный фактор нельзя измерить количественным образом

Решение:

При построении регрессионной модели может возникнуть ситуация, когда необходимо включить в уравнение помимо количественных переменных переменные, отражающие некоторые атрибутивные признаки (пол, образование, регион и т.п.). Такого рода качественные переменные называются «фиктивными» (dummy) переменными. Они отражают неоднородность исследуемой статистической совокупности и используются для более качественного моделирования зависимостей в таких неоднородных объектах наблюдения. При моделировании отдельных зависимостей по неоднородным данным можно также воспользоваться способом разделения всей совокупности неоднородных данных на несколько отдельных совокупностей, количество которых равно количеству состояний dummy-переменной. Таким образом правильными вариантами ответов являются: «использовать фиктивную переменную – пол потребителя» и «разделить совокупность на две: для потребителей женского пола и для потребителей мужского пола».

3. Изучается зависимость цены квартиры (у ) от ее жилой площади (х ) и типа дома. В модель включены фиктивные переменные, отражающие рассматриваемые типы домов: монолитный, панельный, кирпичный. Получено уравнение регрессии: ,
где ,
Частными уравнениями регрессии для кирпичного и монолитного являются …

для типа дома кирпичный

для типа дома монолитный

для типа дома кирпичный

для типа дома монолитный

Решение:

Требуется узнать частное уравнение регрессии для кирпичного и монолитного домов. Для кирпичного дома значения фиктивных переменных следующие , . Уравнение примет вид: или для типа дома кирпичный.
Для монолитного дома значения фиктивных переменных следующие , . Уравнение примет вид
или для типа дома монолитный.

Множественная регрессия не является результатом преобразования уравнения:

-
;

-
.

Линеаризация подразумевает процедуру …

- приведения уравнения множественной регрессии к парной;

+ приведения нелинейного уравнения к линейному виду;

- приведения линейного уравнения к нелинейному виду;

- приведения нелинейного уравнения относительно параметров к уравнению, линейному относительно результата.

Остатки не изменяются;

Уменьшается количество наблюдений

В стандартизованном уравнении множественной регрессии переменными являются:

Исходные переменные;

Стандартизованные параметры;

Средние значения исходных переменных;

Стандартизованные переменные.

Одним из методов присвоения числовых значений фиктивным переменным является. . .

+– ранжирование;

Выравнивание числовых значений по возрастанию;

Выравнивание числовых значений по убыванию;

Нахождение среднего значения.

В матрице парных коэффициентов корреляции отображены значения парных коэффициентов линейной корреляции между. . . .

Переменными;

Параметрами;

Параметрами и переменными;

Переменными и случайными факторами.

Метод оценки параметров моделей с гетероскедастичными остатками называется ____________ методом наименьших квадратов:

Обычным;

Косвенным;

Обобщенным;

Минимальным.

Дано уравнение регрессии . Определите спецификацию модели.

Полиномиальное уравнение парной регрессии;

Линейное уравнение простой регрессии;

Полиномиальное уравнение множественной регрессии;

Линейное уравнение множественной регрессии.

В стандартизованном уравнении свободный член ….

Равен 1;

Равен коэффициенту множественной детерминации;

Равен коэффициенту множественной корреляции;

Отсутствует.

В качестве фиктивных переменных в модель множественной регрессии включаются факторы,

Имеющие вероятностные значения;

Имеющие количественные значения;

Не имеющие качественных значений;

Не имеющие количественных значений.

Факторы эконометрической модели являются коллинеарными, если коэффициент …

Корреляции между ними по модулю больше 0,7;

Детерминации между ними по модулю больше 0,7;

Детерминации между ними по модулю меньше 0,7;

Обобщенный метод наименьших квадратов отличается от обычного МНК тем, что при применении ОМНК …

Преобразуются исходные уровни переменных;

Остатки не изменяются;

Остатки приравниваются к нулю;

Уменьшается количество наблюдений.

Объем выборки определяется …

Числовыми значением переменных, отбираемых в выборку;

Объемом генеральной совокупности;

Числом параметров при независимых переменных;

Числом результативных переменных.

11. Множественная регрессия не является результатом преобразования уравнения:

+-
;

-
;

-
.

Исходные значения фиктивных переменных предполагают значения …

Качественные;

Количественно измеримые;

Одинаковые;

Значения.

Обобщенный метод наименьших квадратов подразумевает …

Преобразование переменных;

Переход от множественной регрессии к парной;

Линеаризацию уравнения регрессии;

Двухэтапное применение метода наименьших квадратов.

Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид . Определите какой из факторовили:

+- , так как 3,7>2,5;

Оказывают одинаковое влияние;

- , так как 2,5>-3,7;

По этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как коэффициенты регрессии несравнимы между собой.

Включение фактора в модель целесообразно, если коэффициент регрессии при этом факторе является …

Нулевым;

Незначимым;

Существенным;

Несущественным.

Что преобразуется при применении обобщенного метода наименьших квадратов?

Стандартизованные коэффициенты регрессии;

Дисперсия результативного признака;

Исходные уровни переменных;

Дисперсия факторного признака.

Проводится исследование зависимости выработки работника предприятия от ряда факторов. Примером фиктивной переменной в данной модели будет являться ______ работника.

Возраст;

Уровень образования;

Заработная плата.

Переход от точечного оценивания к интервальному возможен, если оценки являются:

Эффективными и несостоятельными;

Неэффективными и состоятельными;

Эффективными и несмещенными;

Состоятельными и смещенными.

Матрица парных коэффициентов корреляции строится для выявления коллинеарных и мультиколлинеарных …

Параметров;

Случайных факторов;

Существенных факторов;

Результатов.

На основании преобразования переменных при помощи обобщенного метода наименьших квадратов получаем новое уравнение регрессии, которое представляет собой:

Взвешенную регрессию, в которой переменные взяты с весами
;

;

Нелинейную регрессию, в которой переменные взяты с весами
;

Взвешенную регрессию, в которой переменные взяты с весами .

Если расчетное значение критерия Фишера меньше табличного значения, то гипотеза о статистической незначимости уравнения …

Отвергается;

Незначима;

Принимается;

Несущественна.

Если факторы входят в модель как произведение, то модель называется:

Суммарной;

Производной;

Аддитивной;

Мультипликативной.

Уравнение регрессии, которое связывает результирующий признак с одним из факторов при зафиксированных на среднем уровне значении других переменных, называется:

Множественным;

Существенным;

Частным;

Несущественным.

Относительно количества факторов, включенных в уравнение регрессии, различают …

Линейную и нелинейную регрессии;

Непосредственную и косвенную регрессии;

Простую и множественную регрессию;

Множественную и многофакторную регрессию.

Требованием к уравнениям регрессии, параметры которых можно найти при помощи МНК является:

Равенство нулю значений факторного признака4

Нелинейность параметров;

Равенство нулю средних значений результативной переменной;

Линейность параметров.

Метод наименьших квадратов не применим для …

Линейных уравнений парной регрессии;

Полиномиальных уравнений множественной регрессии;

Уравнений, нелинейных по оцениваемым параметрам;

Линейных уравнений множественной регрессии.

При включении фиктивных переменных в модель им присваиваются …

Нулевые значения;

Числовые метки;

Одинаковые значения;

Качественные метки.

Если между экономическими показателями существует нелинейная связь, то …

Нецелесообразно использовать спецификацию нелинейного уравнения регрессии;

Целесообразно использовать спецификацию нелинейного уравнения регрессии;

Целесообразно использовать спецификацию линейного уравнение парной регрессии;

Необходимо включить в модель другие факторы и использовать линейное уравнение множественной регрессии.

Результатом линеаризации полиномиальных уравнений является …

Нелинейные уравнения парной регрессии;

Линейные уравнения парной регрессии;

Нелинейные уравнения множественной регрессии;

Линейные уравнения множественной регрессии.

В стандартизованном уравнении множественной регрессии
0,3;
-2,1. Определите, какой из факторовилиоказывает более сильное влияние на:

+- , так как 2,1>0,3;

По этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как неизвестны значения «чистых» коэффициентов регрессии;

- , так как 0,3>-2,1;

По этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как стандартизированные коэффициенты несравнимы между собой.

Факторные переменные уравнения множественной регрессии, преобразованные из качественных в количественные называются …

Аномальными;

Множественными;

Парными;

Фиктивными.

Оценки параметров линейного уравнения множественной регрессии можно найти при помощи метода:

Средних квадратов;

Наибольших квадратов;

Нормальных квадратов;

Наименьших квадратов.

Основным требованием к факторам, включаемым в модель множественной регрессии, является:

Отсутствие взаимосвязи между результатом и фактором;

Отсутствие взаимосвязи между факторами;

Отсутствие линейной взаимосвязи между факторами;

Наличие тесной взаимосвязи между факторами.

Фиктивные переменные включаются в уравнение множественной регрессии для учета действия на результат признаков …

Качественного характера;

Количественного характера;

Несущественного характера;

Случайного характера.

Из пары коллинеарных факторов в эконометрическую модель включается тот фактор,

Который при достаточно тесной связи с результатом имеет наибольшую связь с другими факторами;

Который при отсутствии связи с результатом имеет максимальную связь с другими факторами;

Который при отсутствии связи с результатом имеет наименьшую связь с другими факторами;

Который при достаточно тесной связи с результатом имеет меньшую связь с другими факторами.

Гетероскедастичность подразумевает …

Постоянство дисперсии остатков независимо от значения фактора;

Зависимость математического ожидания остатков от значения фактора;

Зависимость дисперсии остатков от значения фактора;

Независимость математического ожидания остатков от значения фактора.

Величина остаточной дисперсии при включении существенного фактора в модель:

Не изменится;

Будет увеличиваться;

Будет равно нулю;

Будет уменьшаться.

Если спецификация модели отображает нелинейную форму зависимости между экономическими показателями, то нелинейно уравнение …

Регрессии;

Детерминации;

Корреляции;

Аппроксимации.

Исследуется зависимость, которая характеризуется линейным уравнением множественной регрессии. Для уравнения рассчитано значение тесноты связи результативной переменной с набором факторов. В качестве этого показателя был использован множественный коэффициент …

Корреляции;

Эластичности;

Регрессии;

Детерминации.

Строится модель зависимости спроса от ряда факторов. Фиктивной переменной в данном уравнении множественной регрессии не является _________потребителя.

Семейное положение;

Уровень образования;

Для существенного параметра расчетное значение критерия Стьюдента …

Больше табличного значения критерия;

Равно нулю;

Не больше табличного значения критерия Стьюдента;

Меньше табличного значения критерия.

Систему МНК, построенную для оценки параметров линейного уравнения множественной регрессии можно решить …

Методом скользящего среднего;

Методом определителей;

Методом первых разностей;

Симплекс-методом.

Показатель, характеризующий на сколько сигм изменится в среднем результат при изменении соответствующего фактора на одну сигму, при неизменном уровне других факторов, называется ____________коэффициентом регрессии

Стандартизованным;

Нормализованным;

Выровненным;

Центрированным.

Мультиколлинеарность факторов эконометрической модели подразумевает …

Наличие нелинейной зависимости между двумя факторами;

Наличие линейной зависимости между более чем двумя факторами;

Отсутствие зависимости между факторами;

Наличие линейной зависимости между двумя факторами.

Обобщенный метод наименьших квадратов не используется для моделей с _______ остатками.

Автокоррелированными и гетероскедастичными;

Гомоскедастичными;

Гетероскедастичными;

Автокоррелированными.

Методом присвоения числовых значений фиктивным переменным не является:

Ранжирование;

Присвоение цифровых меток;

Нахождения среднего значения;

Присвоение количественных значений.

Нормально распределенных остатков;

Гомоскедастичных остатков;

Автокорреляции остатков;

Автокорреляции результативного признака.

Отбор факторов в модель множественной регрессии при помощи метода включения основан на сравнении значений …

Общей дисперсии до и после включения фактора в модель;

Остаточной дисперсии до и после включения случайных факторов в модель;

Дисперсии до и после включения результата в модель;

Остаточной дисперсии до и после включения фактора модель.

Обобщенный метод наименьших квадратов используется для корректировки …

Параметров нелинейного уравнения регрессии;

Точности определения коэффициента множественной корреляции;

Автокорреляции между независимыми переменными;

Гетероскедастичности остатков в уравнении регрессии.

После применения обобщенного метода наименьших квадратов удается избежать_________ остатков

Гетероскедастичности;

Нормального распределения;

Равенства нулю суммы;

Случайного характера.

Фиктивные переменные включаются в уравнения ____________регрессии

Случайной;

Парной;

Косвенной;

Множественной.

Взаимодействие факторов эконометрической модели означает, что …

Влияние факторов на результирующий признак зависит от значений другого неколлинеарного им фактора;

Влияние факторов на результирующий признак усиливается, начиная с определенного уровня значений факторов;

Факторы дублируют влияние друг друга на результат;

Влияние одного из факторов на результирующий признак не зависит от значений другого фактора.

Тема Множественная регрессия (Задачи)

Уравнение регрессии, построенное по 15 наблюдениям, имеет вид:

Пропущенные значения, а также доверительный интервал для

с вероятностью 0,99 равны:

Уравнение регрессии, построенное по 20 наблюдениям, имеет вид:

с вероятностью 0,9 равны:

Уравнение регрессии, построенное по 16 наблюдениям, имеет вид:

Пропущенные значения, а также доверительный интервал для с вероятностью 0,99 равны:

Уравнение регрессии в стандартизированном виде имеет вид:

Частные коэффициенты эластичности равны:

Стандартизованное уравнение регрессии имеет вид:

Частные коэффициенты эластичности равны:

Стандартизованное уравнение регрессии имеет вид:

Частные коэффициенты эластичности равны:

Стандартизованное уравнение регрессии имеет вид:

Частные коэффициенты эластичности равны:

Стандартизованное уравнение регрессии имеет вид:

Частные коэффициенты эластичности равны:

По 18 наблюдениям получены следующие данные:

;
;
;
;

равны:

По 17 наблюдениям получены следующие данные:

;
;
;
;

Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:

По 22 наблюдениям получены следующие данные:

;
;
;
;

Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:

По 25 наблюдениям получены следующие данные:

;
;
;
;

Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:

По 24 наблюдениям получены следующие данные:

;
;
;
;

Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:

По 28 наблюдениям получены следующие данные:

;
;
;
;

Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:

По 26 наблюдениям получены следующие данные:

;
;
;
;

Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:

В уравнении регрессии:

Восстановить пропущенные характеристики; построить доверительный интервал для с вероятностью 0,95, еслиn=12

1. ПОСТРОИМ МАТРИЦУ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ.

Для этого рассчитаем коэффициенты парной корреляции по формуле:

Необходимые расчеты представлены в таблице 9.

-

связь между выручкой предприятия Y и объемом капиталовложений Х 1 слабая и прямая;

-

связи между выручкой предприятия Y и основными производственными фондами Х 2 практически нет;

-

связь между объемом капиталовложений Х 1 и основными производственными фондами Х 2 тесная и прямая;

Таблица 9

Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов парных корреляций

t	Y	X1	X2				(y-yср)* (x1-x1ср)	(y-yср)* (x2-x2ср)	(х1-х1ср)* (x2-x2ср)
1998	3,0	1,1	0,4	0,0196	0,0484	0,0841	0,0308	0,0406	0,0638
1999	2,9	1,1	0,4	0,0576	0,0484	0,0841	0,0528	0,0696	0,0638
2000	3,0	1,2	0,7	0,0196	0,0144	1E-04	0,0168	-0,0014	-0,0012
2001	3,1	1,4	0,9	0,0016	0,0064	0,0441	-0,0032	-0,0084	0,0168
2002	3,2	1,4	0,9	0,0036	0,0064	0,0441	0,0048	0,0126	0,0168
2003	2,8	1,4	0,8	0,1156	0,0064	0,0121	-0,0272	-0,0374	0,0088
2004	2,9	1,3	0,8	0,0576	0,0004	0,0121	0,0048	-0,0264	-0,0022
2005	3,4	1,6	1,1	0,0676	0,0784	0,1681	0,0728	0,1066	0,1148
2006	3,5	1,3	0,4	0,1296	0,0004	0,0841	-0,0072	-0,1044	0,0058
2007	3,6	1,4	0,5	0,2116	0,0064	0,0361	0,0368	-0,0874	-0,0152
Σ	31,4	13,2	6,9	0,684	0,216	0,569	0,182	-0,036	0,272
Средн.	3,14	1,32	0,69

Также матрицу коэффициентов парных корреляций можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗ ДАННЫХ, инструмента КОРРЕЛЯЦИЯ.

Матрица коэффициентов парной корреляции имеет вид:

	Y	X1	X2
Y	1
X1	0,4735	1
X2	-0,0577	0,7759	1

Матрица парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный признак у (выручка) имеет слабую связь с объемом капиталовложений х 1 , а с Размером ОПФ связи практически нет. Связь между факторами в модели оценивается как тесная, что говорит о их линейной зависимости, мультиколлинеарности.

2. ПОСТРОИТЬ ЛИНЕЙНУЮ МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ

Параметры модели найдем с помощью МНК. Для этого составим систему нормальных уравнений.

Расчеты представлены в таблице 10.

Решим систему уравнений, используя метод Крамера:

Таблица 10

Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели множественной регрессии

y
3,0	1,1	0,4	1,21	0,44	0,16	3,3	1,2
2,9	1,1	0,4	1,21	0,44	0,16	3,19	1,16
3,0	1,2	0,7	1,44	0,84	0,49	3,6	2,1
3,1	1,4	0,9	1,96	1,26	0,81	4,34	2,79
3,2	1,4	0,9	1,96	1,26	0,81	4,48	2,88
2,8	1,4	0,8	1,96	1,12	0,64	3,92	2,24
2,9	1,3	0,8	1,69	1,04	0,64	3,77	2,32
3,4	1,6	1,1	2,56	1,76	1,21	5,44	3,74
3,5	1,3	0,4	1,69	0,52	0,16	4,55	1,4
3,6	1,4	0,5	1,96	0,7	0,25	5,04	1,8
31,4	13,2	6,9	17,64	9,38	5,33	41,63	21,63

Линейная модель множественной регрессии имеет вид:

Если объем капиталовложений увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия увеличиться в среднем на 2,317 млн. руб. при неизменных размерах основных производственных фондов.

Если основные производственные фонды увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия уменьшиться в среднем на 1,171 млн. руб. при неизменном объеме капиталовложений.

3. РАССЧИТАЕМ:

коэффициент детерминации:

67,82% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 32,18% - влиянием факторов, не включенных в модель.

F – критерий Фишера

Проверим значимость уравнения

Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f. 1 = k = 2 (количество факторов), числе степеней свободы d.f. 2 = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.

Так как F расч. = 7,375 > F табл. = 4.74, то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.

Рассчитанные показатели можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗА ДАННЫХ, инструмента РЕГРЕССИЯ.

Таблица 11

Вспомогательные вычисления для нахождения средней относительной ошибки аппроксимации

y					А
3,0	1,1	0,4	2,97	0,03	0,010
2,9	1,1	0,4	2,97	-0,07	0,024
3,0	1,2	0,7	2,85	0,15	0,050
3,1	1,4	0,9	3,08	0,02	0,007
3,2	1,4	0,9	3,08	0,12	0,038
2,8	1,4	0,8	3,20	-0,40	0,142
2,9	1,3	0,8	2,96	-0,06	0,022
3,4	1,6	1,1	3,31	0,09	0,027
3,5	1,3	0,4	3,43	0,07	0,019
3,6	1,4	0,5	3,55	0,05	0,014
					0,353

среднюю относительную ошибку аппроксимации

В среднем расчетные значения отличаются от фактических на 3,53 %. Ошибка небольшая, модель можно считать точной.

4. Построить степенную модель множественной регрессии

Для построения данной модели прологарифмируем обе части равенства

lg y = lg a + β 1 ∙ lg x 1 + β 2 ∙ lg x 2 .

Сделаем замену Y = lg y, A = lg a, X 1 = lg x 1 , X 2 = lg x 2 .

Тогда Y = A + β 1 ∙ X 1 + β 2 ∙ X 2 – линейная двухфакторная модель регрессии. Можно применить МНК.

Расчеты представлены в таблице 12.

Таблица 12

Вспомогательные вычисления для нахождения параметров степенной модели множественной регрессии

y					lg y
3,0	1,1	0,4	0,041	-0,398	0,477	0,002	-0,016	0,020	0,158	-0,190
2,9	1,1	0,4	0,041	-0,398	0,462	0,002	-0,016	0,019	0,158	-0,184
3,0	1,2	0,7	0,079	-0,155	0,477	0,006	-0,012	0,038	0,024	-0,074
3,1	1,4	0,9	0,146	-0,046	0,491	0,021	-0,007	0,072	0,002	-0,022
3,2	1,4	0,9	0,146	-0,046	0,505	0,021	-0,007	0,074	0,002	-0,023
2,8	1,4	0,8	0,146	-0,097	0,447	0,021	-0,014	0,065	0,009	-0,043
2,9	1,3	0,8	0,114	-0,097	0,462	0,013	-0,011	0,053	0,009	-0,045
3,4	1,6	1,1	0,204	0,041	0,531	0,042	0,008	0,108	0,002	0,022
3,5	1,3	0,4	0,114	-0,398	0,544	0,013	-0,045	0,062	0,158	-0,217
3,6	1,4	0,5	0,146	-0,301	0,556	0,021	-0,044	0,081	0,091	-0,167
31,4	13,2	6,9	1,178	-1,894	4,955	0,163	-0,165	0,592	0,614	-0,943

Решаем систему уравнений применяя метод Крамера.

Степенная модель множественной регрессии имеет вид:

В степенной функции коэффициенты при факторах являются коэффициентами эластичности. Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов измениться в среднем значение результативного признака у, если один из факторов увеличить на 1 % при неизменном значении других факторов.

Если объем капиталовложений увеличить на 1%, то выручка предприятия увеличиться в среднем на 0,897% при неизменных размерах основных производственных фондов.

Если основные производственные фонды увеличить на 1%, то выручка предприятия уменьшиться на 0,226% при неизменных капиталовложениях.

5. РАССЧИТАЕМ:

коэффициент множественной корреляции:

Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная.

Таблица 13

Вспомогательные вычисления для нахождения коэффициента множественной корреляции, коэффициента детерминации, ср.относ.ошибки аппроксимации степенной модели множественной регрессии

Y				(Y-Y расч.) 2		A
3,0	1,1	0,4	2,978	0,000	0,020	0,007
2,9	1,1	0,4	2,978	0,006	0,058	0,027
3,0	1,2	0,7	2,838	0,026	0,020	0,054
3,1	1,4	0,9	3,079	0,000	0,002	0,007
3,2	1,4	0,9	3,079	0,015	0,004	0,038
2,8	1,4	0,8	3,162	0,131	0,116	0,129
2,9	1,3	0,8	2,959	0,003	0,058	0,020
3,4	1,6	1,1	3,317	0,007	0,068	0,024
3,5	1,3	0,4	3,460	0,002	0,130	0,012
3,6	1,4	0,5	3,516	0,007	0,212	0,023
31,4	13,2	6,9		0,198	0,684	0,342

коэффициент детерминации:

71,06% изменения выручки предприятия в степенной модели обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 28,94 % - влиянием факторов, не включенных в модель.

F – критерий Фишера

Проверим значимость уравнения

Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f. 1 = k = 2, числе степеней свободы d.f. 2 = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.

Так как F расч. = 8,592 > F табл. = 4.74, то уравнение степенной регрессии в целом можно считать статистически значимым.

Посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше. Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t1 управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t1, управление равно своему максимальному значению u*=umax, что соответствует минимальному расходу топлива. 6.) Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда и управление...

К составлению математических моделей. Если математическая модель - это диагноз заболевания, то алгоритм - это метод лечения. Можно выделить следующие основные этапы операционного исследования: наблюдение явления и сбор исходных данных; постановка задачи; построение математической модели; расчет модели; тестирование модели и анализ выходных данных. Если полученные результаты не удовлетворяют...

Математических построений по аналогии с выявляет в плоском приближении продольно-скалярную электромагнитную волну с электрической - (28) и магнитной (29) синфазными составляющими. Математическая модель безвихревой электродинамики характеризуется скалярно-векторной структурой своих уравнений. Основополагающие уравнения безвихревой электродинамики сведены в таблице 1. Таблица 1 , ...

Матрица парных коэффициентов корреляции представляет собой матрицу, элементами которой являются парные коэффициенты корреляции. Например, для трех переменных эта матрица имеет вид:

-	y	x 1	x 2	x 3
y	1	r yx1	r yx2	r yx3
x 1	r x1y	1	r x1x2	r x1x3
x 2	r x2y	r x2x1	1	r x2x3
x 3	r x3y	r x3x1	r x3x2	1

Вставьте в поле матрицу парных коэффициентов.

Пример . По данным 154 сельскохозяйственных предприятий Кемеровской области 2003 г. изучить эффективность производства зерновых (табл. 13).

1. Определите факторы, формирующие рентабельность зерновых в сельскохозяйственных предприятий в 2003 г.
2. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Установите, какие факторы мультиколлинеарны.
3. Постройте уравнение регрессии, характеризующее зависимость рентабельности зерновых от всех факторов.
4. Оцените значимость полученного уравнения регрессии. Какие факторы значимо воздействуют на формирование рентабельности зерновых в этой модели?
5. Оцените значение рентабельности производства зерновых в сельскохозяйственном предприятии № 3.

Решение получаем с помощью калькулятора Уравнение множественной регрессии :

1. Оценка уравнения регрессии.
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор получается из выражения:
s = (X T X) -1 X T Y
Матрица X

1	0.43	2.02	0.29
1	0.87	1.29	0.55
1	1.01	1.09	0.7
1	0.63	1.68	0.41
1	0.52	0.3	0.37
1	0.44	1.98	0.3
1	1.52	0.87	1.03
1	2.19	0.8	1.3
1	1.8	0.81	1.17
1	1.57	0.84	1.06
1	0.94	1.16	0.64
1	0.72	1.52	0.44
1	0.73	1.47	0.46
1	0.77	1.41	0.49
1	1.21	0.97	0.88
1	1.25	0.93	0.91
1	1.31	0.91	0.94
1	0.38	2.08	0.27
1	0.41	2.05	0.28
1	0.48	1.9	0.32
1	0.58	1.73	0.38
1	0	0	0

Матрица Y

0.22
0.67
0.79
0.42
0.32
0.24
0.95
1.05
0.99
0.96
0.73
0.52
2.1
0.58
0.87
0.89
0.91
0.14
0.18
0.27
0.37
0

Матрица X T

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0.43	0.87	1.01	0.63	0.52	0.44	1.52	2.19	1.8	1.57	0.94	0.72	0.73	0.77	1.21	1.25	1.31	0.38	0.41	0.48	0.58	0
2.02	1.29	1.09	1.68	0.3	1.98	0.87	0.8	0.81	0.84	1.16	1.52	1.47	1.41	0.97	0.93	0.91	2.08	2.05	1.9	1.73	0
0.29	0.55	0.7	0.41	0.37	0.3	1.03	1.3	1.17	1.06	0.64	0.44	0.46	0.49	0.88	0.91	0.94	0.27	0.28	0.32	0.38	0

Умножаем матрицы, (X T X)
Находим определитель det(X T X) T = 34.35
Находим обратную матрицу (X T X) -1

0.6821	0.3795	-0.2934	-1.0118
0.3795	9.4402	-0.133	-14.4949
-0.2934	-0.133	0.1746	0.3204
-1.0118	-14.4949	0.3204	22.7272

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен
s = (X T X) -1 X T Y =

0.1565

0.3375

0.0043

0.2986

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)
Y = 0.1565 + 0.3375X 1 + 0.0043X 2 + 0.2986X 3

Матрица парных коэффициентов корреляции

Число наблюдений n = 22. Число независимых переменных в модели ровно 3, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 5. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (22 х 5). Матрица Х T Х определяется непосредственным умножением или по следующим предварительно вычисленным суммам.
Матрица составленная из Y и X

1	0.22	0.43	2.02	0.29
1	0.67	0.87	1.29	0.55
1	0.79	1.01	1.09	0.7
1	0.42	0.63	1.68	0.41
1	0.32	0.52	0.3	0.37
1	0.24	0.44	1.98	0.3
1	0.95	1.52	0.87	1.03
1	1.05	2.19	0.8	1.3
1	0.99	1.8	0.81	1.17
1	0.96	1.57	0.84	1.06
1	0.73	0.94	1.16	0.64
1	0.52	0.72	1.52	0.44
1	2.1	0.73	1.47	0.46
1	0.58	0.77	1.41	0.49
1	0.87	1.21	0.97	0.88
1	0.89	1.25	0.93	0.91
1	0.91	1.31	0.91	0.94
1	0.14	0.38	2.08	0.27
1	0.18	0.41	2.05	0.28
1	0.27	0.48	1.9	0.32
1	0.37	0.58	1.73	0.38
1	0	0	0	0

Транспонированная матрица.

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0.22	0.67	0.79	0.42	0.32	0.24	0.95	1.05	0.99	0.96	0.73	0.52	2.1	0.58	0.87	0.89	0.91	0.14	0.18	0.27	0.37	0
0.43	0.87	1.01	0.63	0.52	0.44	1.52	2.19	1.8	1.57	0.94	0.72	0.73	0.77	1.21	1.25	1.31	0.38	0.41	0.48	0.58	0
2.02	1.29	1.09	1.68	0.3	1.98	0.87	0.8	0.81	0.84	1.16	1.52	1.47	1.41	0.97	0.93	0.91	2.08	2.05	1.9	1.73	0
0.29	0.55	0.7	0.41	0.37	0.3	1.03	1.3	1.17	1.06	0.64	0.44	0.46	0.49	0.88	0.91	0.94	0.27	0.28	0.32	0.38	0

Матрица A T A.

22	14.17	19.76	27.81	13.19
14.17	13.55	15.91	16.58	10.56
19.76	15.91	23.78	22.45	15.73
27.81	16.58	22.45	42.09	14.96
13.19	10.56	15.73	14.96	10.45

Полученная матрица имеет следующее соответствие:
Найдем парные коэффициенты корреляции.
Для y и x 1

Средние значения



Дисперсия





Коэффициент корреляции

Для y и x 2
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции

Для y и x 3
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции

Для x 1 и x 2
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции

Для x 1 и x 3
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции

Для x 2 и x 3
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции

Матрица парных коэффициентов корреляции.

-	y	x 1	x 2	x 3
y	1	0.62	-0.24	0.61
x 1	0.62	1	-0.39	0.99
x 2	-0.24	-0.39	1	-0.41
x 3	0.61	0.99	-0.41	1

Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых r yxi < 0.5 исключают из модели.
Коллинеарность – зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:
r(x j y) > r(x k x j) ; r(x k y) > r(x k x j).
Если одно из неравенств не соблюдается, то исключается тот параметр x k или x j , связь которого с результативным показателем Y оказывается наименее тесной.
3. Анализ параметров уравнения регрессии.
Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка e = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

-0.18
0.05
0.08
-0.08
-0.12
-0.16
-0.03
-0.24
-0.13
-0.05
0.06
-0.02
1.55
0.01
0.04
0.04
0.03
-0.23
-0.21
-0.15
-0.1
-0.16

s e 2 = (Y - X*s) T (Y - X*s)
Несмещенная оценка дисперсии равна

Оценка среднеквадратичного отклонения равна

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = a*(X T X) -1

0.26	0.15	-0.11	-0.39
0.15	3.66	-0.05	-5.61
-0.11	-0.05	0.07	0.12
-0.39	-5.61	0.12	8.8

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S 2 i = K ii , т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности , которые определяются по формуле:


Частные коэффициент эластичности E 1 < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Частные коэффициент эластичности E 2 < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Частные коэффициент эластичности E 3 < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции (от 0 до 1)

Связь между признаком Y факторами X умеренная
Коэффициент детерминации
R 2 = 0.62 2 = 0.38
т.е. в 38.0855 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя
Значимость коэффициента корреляции

По таблице Стьюдента находим Tтабл
T табл (n-m-1;a) = (18;0.05) = 1.734
Поскольку Tнабл > Tтабл, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим
Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал)

Доверительный интервал для коэффициента корреляции
r(0.3882;0.846)
5. Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии).
1) t-статистика


Статистическая значимость коэффициента регрессии b 0 не подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b 1 не подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b 2 не подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b 3 не подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b i - t i S i ; b i + t i S i)
b 0: (-0.7348;1.0478)
b 1: (-2.9781;3.6531)
b 2: (-0.4466;0.4553)
b 3: (-4.8459;5.4431)

2) F-статистика. Критерий Фишера


Fkp = 2.93
Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим и уравнение регрессии статистически ненадежно.
6. Проверка на наличие гетероскедастичности методом графического анализа остатков.
В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X i , а по оси ординат квадраты отклонения e i 2 .

y	y(x)	e=y-y(x)	e 2
0.22	0.4	-0.18	0.03
0.67	0.62	0.05	0
0.79	0.71	0.08	0.01
0.42	0.5	-0.08	0.01
0.32	0.44	-0.12	0.02
0.24	0.4	-0.16	0.03
0.95	0.98	-0.03	0
1.05	1.29	-0.24	0.06
0.99	1.12	-0.13	0.02
0.96	1.01	-0.05	0
0.73	0.67	0.06	0
0.52	0.54	-0.02	0
2.1	0.55	1.55	2.41
0.58	0.57	0.01	0
0.87	0.83	0.04	0
0.89	0.85	0.04	0
0.91	0.88	0.03	0
0.14	0.37	-0.23	0.05
0.18	0.39	-0.21	0.04
0.27	0.42	-0.15	0.02
0.37	0.47	-0.1	0.01
	0.16	-0.16	0.02