Определение направления момента силы. Статика

Момент силы относительно оси или просто момент силы называется проекция силы на прямую, которая перпендикулярна радиусу и проведена в точке приложения силы умноженная на расстояние от этой точки до оси. Либо произведение силы на плечо ее приложения. Плечо в данном случае это расстояние от оси до точки приложения силы. Момент силы характеризует вращательное действие силы на тело. Ось в данном случае это место крепления тела, относительно которого оно может совершать вращение. Если тело не закреплено, то осью вращения можно считать центр масс.

Формула 1 - Момент силы.

F - Сила действующая на тело.

r - Плечо силы.

Рисунок 1 - Момент силы.

Как видно из рисунка, плечо силы это расстояние от оси до точки приложения силы. Но это в случае если угол между ними равен 90 градусов. Если это не так, то необходимо вдоль действия силы провести линию и из оси опустить на нее перпендикуляр. Длинна этого перпендикуляра и будет равна плечу силы. А перемещение точки приложения силы вдоль направления силы не меняет ее момента.

Принято считать положительным такой момент силы, который вызывает поворот тела по часовой стрелки относительно точки наблюдения. А отрицательным соответственно вызывающий вращение против нее. Измеряется момент силы в Ньютонах на метр. Один Ньютонометр это сила в 1 Ньютон действующая на плечо в 1 метр.

Если сила, действующая на тело, проходит вдоль лини идущей через ось вращения тела, или центр масс, если тело не имеет оси вращения. То момент силы в этом случае будет равен нулю. Так как эта сила не будет вызывать вращения тела, а попросту будет перемещать его поступательно вдоль лини приложения.

Рисунок 2 - Момент силы равен нулю.

В случае если на тело действует несколько сил, то момент силы будет определять их равнодействующая. К примеру, на тело могут действовать две силы равные по модулю и направленные противоположно. При этом суммарный момент силы будет равен нулю. Так как эти силы будут компенсировать друг друга. Если по простому, то представьте себе детскую карусель. Если один мальчик ее толкает по часовой стрелке, а другой с той же силой против, то карусель останется неподвижной.

Моментом силы относительно произвольного центра в плоскости действия силы, называется произведение модуля силы на плечо.

Плечо - кратчайшее расстояние от центра О до линии действия силы, но не до точки приложения силы, т.к. сила-скользящий вектор.

Знак момента:

По часовой-минус, против часовой-плюс;

Момент силы можно выразить как вектор. Это перпендикуляр к плоскости по правилу Буравчика.

Если в плоскости расположены несколько сил или система сил, то алгебраическая сумма их моментов даст нам главный момент системы сил.

Рассмотрим момент силы относительно оси, вычислим момент силы относительно оси Z;

Спроецируем F на XY;

F xy =Fcosα = ab

m 0 (F xy)=m z (F), то есть m z =F xy * h = Fcosα * h

Момент силы относительно оси равен моменту ее проекции на плоскость перпендикулярную оси, взятому на пересечении осей и плоскости

Если сила параллельна оси или пересекает ее, то m z (F)=0

Выражение момента силы в виде векторного выражения

Проведем r а в точку A. Рассмотрим OA x F.

Это третий вектор m o , перпендикулярный плоскости. Модуль векторного произведения можно вычислить с помощью удвоенной площади заштрихованного треугольника.

Аналитическое выражение силы относительно координатных осей.

Предположим, что с точкой О связаны оси Y и Z, X с единичными векторами i, j, k Учитывая, что:

r x =X * Fx ; r y =Y * F y ; r z =Z * F y получим: m o (F)=x =

Раскроем определитель и получим:

m x =YF z - ZF y

m y =ZF x - XF z

m z =XF y - YF x

Эти формулы дают возможность вычислить проекцию вектор-момента на оси, а потом и сам вектор-момент.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Если система сил имеет равнодействующую, то её момент относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно этой точки

Если приложить Q= -R , то система (Q,F 1 … F n) будет равен уравновешиваться.

Сумма моментов относительно любого центра будет равен нулю.

Аналитическое условие равновесия плоской системы сил

Это плоская система сил, линии действия которых расположены в одной плоскости

Цель расчета задач данного типа - определение реакций внешних связей. Для этого используются основные уравнения в плоской системе сил.

Могут использоваться 2 или 3 уравнения моментов.

Пример

Составим уравнение суммы всех сил на ось X и Y.

Самое лучшее определение вращательного момента – это тенденция силы вращать предмет вокруг оси, точки опоры или точки вращения. Вращательный момент можно рассчитать с помощью силы и плеча момента (перпендикулярное расстояние от оси до линии действия силы), или используя момент инерции и угловое ускорение.

Шаги

Использование силы и плеча момента

1. Определите силы, действующие на тело и соответствующие им моменты. Если сила не перпендикулярна рассматриваемому плечу момента (т.е. она действует под углом), то вам может понадобиться найти ее составляющие с использованием тригонометрических функций, таких как синус или косинус.

   • Рассматриваемая составляющая силы будет зависеть от эквивалента перпендикулярной силы.
   • Представьте себе горизонтальный стержень, к которому нужно приложить силу 10 Н под углом 30° над горизонтальной плоскостью, чтобы вращать его вокруг центра.
   • Поскольку вам нужно использовать силу, не перпендикулярную плечу момента, то для вращения стержня вам необходима вертикальная составляющая силы.
   • Следовательно, нужно рассматривать y-составляющую, или использовать F = 10sin30° Н.

2. Воспользуйтесь уравнением момента, τ = Fr, и просто замените переменные заданными или полученными данными.

   • Простой пример: Представьте себе ребенка массой 30 кг, сидящего на одном конце качели-доски. Длина одной стороны качели составляет 1,5 м.
   • Поскольку ось вращения качели находится в центре, вам не нужно умножать длину.
   • Вам необходимо определить силу, прилагаемую ребенком, с помощью массы и ускорения.
   • Поскольку дана масса, вам нужно умножить ее на ускорение свободного падения, g, равное 9,81 м/с 2 . Следовательно:
   • Теперь у вас есть все необходимые данные для использования уравнения момента:

3. Воспользуйтесь знаками (плюс или минус), чтобы показать направление момента. Если сила вращает тело по часовой стрелке, то момент отрицательный. Если же сила вращает тело против часовой стрелки, то момент положительный.

   • В случае нескольких приложенных сил, просто сложите все моменты в теле.
   • Поскольку каждая сила стремится вызвать различные направления вращения, важно использовать знак поворота для того, чтобы следить за направлением действия каждой силы.
   • Например, к ободу колеса, имеющего диаметр 0,050 м, были приложены две силы, F 1 = 10,0 Н, направленная по часовой стрелке, и F 2 = 9,0 Н, направленная против часовой стрелки.
   • Поскольку данное тело – круг, фиксированная ось является его центром. Вам нужно разделить диаметр и получить радиус. Размер радиуса будет служить плечом момента. Следовательно, радиус равен 0,025 м.
   • Для ясности мы можем решить отдельные уравнения для каждого из моментов, возникающих от соответствующей силы.
   • Для силы 1 действие направлено по часовой стрелке, следовательно, создаваемый ею момент отрицательный:
   • Для силы 2 действие направлено против часовой стрелки, следовательно, создаваемый ею момент положительный:
   • Теперь мы можем сложить все моменты, чтобы получить результирующий вращательный момент:

   Использование момента инерции и углового ускорения

   1. Чтобы начать решать задачу, разберитесь в том, как действует момент инерции тела. Момент инерции тела – это сопротивление тела вращательному движению. Момент инерции зависит как от массы, так и от характера ее распределения.

      • Чтобы четко понимать это, представьте себе два цилиндра одинакового диаметра, но разной массы.
      • Представьте себе, что вам нужно повернуть оба цилиндра вокруг их центральной оси.
      • Очевидно, что цилиндр с большей массой будет сложнее повернуть, чем другой цилиндр, поскольку он “тяжелее”.
      • А теперь представьте себе два цилиндра различных диаметров, но одинаковой массы. Чтобы выглядеть цилиндрическими и иметь разную массу, но в то же время иметь разные диаметры, форма, или распределение массы обоих цилиндров должна отличаться.
      • Цилиндр с большим диаметром будет выглядеть как плоская закругленная пластина, тогда как меньший цилиндр будет выглядеть как цельная трубка из ткани.
      • Цилиндр с большим диаметром будет сложнее вращать, поскольку вам нужно приложить большую силу, чтобы преодолеть более длинное плечо момента.

   2. Выберите уравнение, которое вы будете использовать для расчета момента инерции. Есть несколько уравнений, которые можно использовать для этого.

      • Первое уравнение – самое простое: суммирование масс и плечей моментов всех частиц.
      • Это уравнение используется для материальных точек, или частиц. Идеальная частица – это тело, имеющее массу, но не занимающее пространства.
      • Другими словами, единственной значимой характеристикой этого тела является масса; вам не нужно знать его размер, форму или строение.
      • Идея материальной частицы широко используется в физике с целью упрощения расчетов и использования идеальных и теоретических схем.
      • Теперь представьте себе объект вроде полого цилиндра или сплошной равномерной сферы. Эти предметы имеют четкую и определенную форму, размер и строение.
      • Следовательно, вы не можете рассматривать их как материальную точку.
      • К счастью, можно использовать формулы, применимые к некоторым распространенным объектам:

   3. Найдите момент инерции. Чтобы начать рассчитывать вращательный момент, нужно найти момент инерции. Воспользуйтесь следующим примером как руководством:

      • Два небольших “груза” массой 5,0 кг и 7,0 кг установлены на расстоянии 4,0 м друг от друга на легком стержне (массой которого можно пренебречь). Ось вращения находится в середине стержня. Стержень раскручивается из состояния покоя до угловой скорости 30,0 рад/с за 3,00 с. Рассчитайте производимый вращательный момент.
      • Поскольку ось вращения находится в середине стержня, то плечо момента обоих грузов равно половине его длины, т.е. 2,0 м.
      • Поскольку форма, размер и строение “грузов” не оговаривается, мы можем предположить, что грузы являются материальными частицами.
      • Момент инерции можно вычислить следующим образом:

   4. Найдите угловое ускорение, α. Для расчета углового ускорения можно воспользоваться формулой α= at/r.

      • Первая формула, α= at/r, может использоваться в том случае, если дано тангенциальное ускорение и радиус.
      • Тангенциальное ускорение – это ускорение, направленное по касательной к направлению движения.
      • Представьте себе объект, двигающийся по криволинейному пути. Тангенциальное ускорение – это попросту его линейное ускорение на любой из точек всего пути.
      • В случае второй формулы, легче всего проиллюстрировать ее, связав с понятиями из кинематики: смещением, линейной скоростью и линейным ускорением.
      • Смещение – это расстояние, пройденное объектом (единица СИ – метры, м); линейная скорость – это показатель изменения смещения за единицу времени (единица СИ – м/с); линейное ускорение – это показатель изменения линейной скорости за единицу времени (единица СИ – м/с 2).
      • Теперь давайте рассмотрим аналоги этих величин при вращательном движении: угловое смещение, θ – угол поворота определенной точки или отрезка (единица СИ – рад); угловая скорость, ω – изменение углового смещения за единицу времени (единица СИ – рад/с); и угловое ускорение, α – изменение угловой скорости за единицу времени (единица СИ – рад/с 2).
      • Возвращаясь к нашему примеру – нам были даны данные для углового момента и время. Поскольку вращение начиналось из состояния покоя, то начальная угловая скорость равна 0. Мы можем воспользоваться уравнением, чтобы найти:
   5. Если вам сложно представить, как происходит вращение, то возьмите ручку и попробуйте воссоздать задачу. Для более точного воспроизведения не забудьте скопировать положение оси вращения и направление приложенной силы.

В физике рассмотрение задач с вращающимися телами или системами, которые находятся в равновесии, осуществляется с использованием концепции "момент силы". В этой статье будет рассмотрена формула момента силы, а также ее использование для решения указанного типа задач.

в физике

Как было отмечено во введении, в данной статье пойдет речь о системах, которые могут вращаться либо вокруг оси, либо вокруг точки. Рассмотрим пример такой модели, изображенной на рисунке ниже.

Мы видим, что рычаг серого цвета закреплен на оси вращения. На конце рычага имеется черный кубик некоторой массы, на который действует сила (красная стрелка). Интуитивно понятно, что результатом воздействия этой силы будет вращение рычага вокруг оси против часовой стрелки.

Моментом силы называется величина в физике, которая равна векторному произведению радиуса, соединяющего ось вращения и точку приложения силы (зеленый вектор на рисунке), и самой внешней силе. То есть силы относительно оси записывается следующим образом:

Результатом этого произведения будет вектор M¯. Направление его определяют, исходя из знания векторов-множителей, то есть r¯ и F¯. Согласно определению векторного произведения, M¯ должен быть перпендикулярен плоскости, образованной векторами r¯ и F¯, и направлен в соответствии с правилом правой руки (если четыре пальца правой руки расположить вдоль первого умножаемого вектора в направлении к концу второго, то отставленный вверх большой палец укажет, куда направлен искомый вектор). На рисунке можно видеть, куда направлен вектор M¯ (синяя стрелка).

Скалярная форма записи M¯

На рисунке в предыдущем пункте сила (красная стрелка) действует на рычаг под углом 90 o . В общем же случае она может быть приложена под совершенно любым углом. Рассмотрим изображение ниже.

Здесь мы видим, что на рычаг L сила F уже действует под некоторым углом Φ. Для этой системы формула момента силы относительно точки (показана стрелкой) в скалярном виде примет форму:

M = L * F * sin(Φ)

Из выражения следует, что момент силы M будет тем больше, чем ближе направление действия силы F к углу 90 o по отношению к L. Наоборот, если F действует вдоль L, то sin(0) = 0, и сила не создает никакого момента (M = 0).

При рассмотрении момента силы в скалярной форме часто пользуются понятием "рычага силы". Эта величина представляет собой расстояние между осью (точкой вращения) и вектором F. Применяя это определение к рисунку выше, можно сказать, что d = L * sin(Φ) - это рычаг силы (равенство следует из определения тригонометрической функции "синус"). Через рычаг силы формулу для момента M можно переписать так:

Физический смысл величины M

Рассматриваемая физическая величина определяет способность внешней силы F оказывать вращательное воздействие на систему. Чтобы привести тело во вращательное движение, ему необходимо сообщить некоторый момент M.

Ярким примером этого процесса является открывание или закрывание двери в комнату. Взявшись за ручку, человек прикладывает усилие и поворачивает дверь на петлях. Каждый сможет это сделать. Если же попытаться открыть дверь, воздействуя на нее вблизи петель, то потребуется приложить большие усилия, чтобы сдвинуть ее с места.

Другим примером является откручивание гайки ключом. Чем короче будет этот ключ, тем труднее выполнить поставленную задачу.

Указанные особенности демонстрирует силы через плечо, которая была приведена в предыдущем пункте. Если M считать постоянной величиной, то чем меньше d, тем большую F следует приложить для создания заданного момента силы.

Несколько действующих сил в системе

Выше были рассмотрены случаи, когда на систему, способную к вращению, действует всего одна сила F, но как быть, когда таких сил несколько? Действительно, эта ситуация является более частой, поскольку на систему могут действовать силы различной природы (гравитационная, электрическая, трение, механическая и другие). Во всех этих случаях результирующий момент силы M¯ может быть получен с помощью векторной суммы всех моментов M i ¯, то есть:

M¯ = ∑ i (M i ¯), где i - номер силы F i

Из свойства аддитивности моментов следует важный вывод, который получил название теоремы Вариньона, названной так по фамилии математика конца XVII - начала XVIII века - француза Пьера Вариньона. Она гласит: "Сумма моментов всех сил, оказывающих воздействие на рассматриваемую систему, может быть представлена в виде момента одной силы, которая равна сумме всех остальных и приложена к некоторой точке". Математически теорему можно записать так:

∑ i (M i ¯) = M¯ = d * ∑ i (F i ¯)

Эта важная теорема часто используется на практике для решения задач на вращение и равновесие тел.

Совершает ли работу момент силы?

Анализируя приведенные формулы в скалярном или векторном виде, можно прийти к выводу, что величина M - это некоторая работа. Действительно, ее размерность равна Н*м, что в СИ соответствует джоулю (Дж). На самом деле момент силы - это не работа, а лишь величина, которая способна ее совершить. Чтобы это произошло, необходимо наличие кругового движения в системе и продолжительного во времени действия M. Поэтому формула работы момента силы записывается в следующем виде:

В этом выражении θ - это угол, на который было произведено вращение моментом силы M. В итоге единицу работы можно записать как Н*м*рад или же Дж*рад. Например, значение 60 Дж*рад говорит о том, что при повороте на 1 радиан (приблизительно 1/3 окружности) создающая момент M сила F совершила работу в 60 джоулей. Эту формулу часто используют при решении задач в системах, где действуют силы трения, что будет показано ниже.

Момент силы и момент импульса

Как было показано, воздействие на систему момента M приводит к появлению в ней вращательного движения. Последнее характеризуется величиной, которая получила название "момент импульса". Его можно вычислить, применяя формулу:

Здесь I - это момент инерции (величина, которая играет такую же роль при вращении, что и масса при линейном движении тела), ω - угловая скорость, она связана с линейной скоростью формулой ω = v/r.

Оба момента (импульса и силы) связаны друг с другом следующим выражением:

M = I * α, где α = dω / dt - угловое ускорение.

Приведем еще одну формулу, которая важна для решения задач на работу моментов сил. С помощью этой формулы можно вычислить кинетическую энергию вращающегося тела. Она выглядит так:

Равновесие нескольких тел

Первая задача связана с равновесием системы, в которой действуют несколько сил. На рисунке ниже приведена система, на которую действуют три силы. Необходимо рассчитать, какой массы предмет необходимо подвесить к этому рычагу и в какой точке это следует сделать, чтобы данная система находилась в равновесии.

Из условия задачи можно понять, что для ее решения следует воспользоваться теоремой Вариньона. На первую часть задачи можно ответить сразу, поскольку вес предмета, которые следует подвесить к рычагу, будет равен:

P = F 1 - F 2 + F 3 = 20 - 10 + 25 = 35 Н

Знаки здесь выбраны с учетом того, что сила, вращающая рычаг против часовой стрелки, создает отрицательный момент.

Положение точки d, куда следует подвесить этот вес, вычисляется по формуле:

M 1 - M 2 + M 3 = d * P = 7 * 20 - 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4,714 м

Отметим, что с помощью формулы момента силы тяжести мы вычислили эквивалентную величину M той, которую создают три силы. Чтобы система находилась в равновесии, необходимо подвесить тело весом 35 Н в точке 4,714 м от оси с другой стороны рычага.

Задача с движущимся диском

Решение следующей задачи основано на использовании формулы момента силы трения и кинетической энергии тела вращения. Задача: дан диск радиуса r = 0,3 метра, который вращается со скоростью ω = 1 рад/с. Необходимо рассчитать, какое расстояние способен он пройти по поверхности, если коэффициент трения качения равен μ = 0,001.

Эту задачу легче всего решить, если воспользоваться законом сохранения энергии. Мы располагаем начальной кинетической энергией диска. Когда он начнет катиться, то вся эта энергия расходуется на нагрев поверхности за счет действия силы трения. Приравнивая обе величины, получим выражение:

I * ω 2 /2 = μ * N/r * r * θ

Первая часть формулы - это кинетическая энергия диска. Вторая часть - это работа момента силы трения F = μ * N/r, приложенной к краю диска (M=F * r).

Учитывая, что N = m * g и I = 1/2m * r 2 , вычисляем θ:

θ = m * r 2 * ω 2 /(4 * μ * m * g) = r 2 * ω 2 /(4 * μ *g) = 0,3 2 * 1 2 /(4 * 0,001 * 9,81) = 2,29358 рад

Поскольку 2pi радиан соответствуют длине 2pi * r, тогда получаем, что искомое расстояние, которое пройдет диск, равно:

s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 м или около 69 см

Отметим, что на данный результат масса диска никак не влияет.

Которая равна произведению силы на ее плечо.

Момент силы вычисляют при помощи формулы:

где F - сила, l — плечо силы.

Плечо силы - это самое короткое расстояние от линии действия силы до оси вращения тела. На рисунке ниже изображено твердое тело, которое может вращаться вокруг оси. Ось вращения этого тела является перпендикулярной к плоскости рисунка и проходит через точку, которая обозначена как буква О. Пле-чом силы F t здесь оказывается расстояние l , от оси вращения до линии действия силы. Определяют его таким образом. Первым шагом проводят линию действия силы, далее из т. О, через которую проходит ось вращения тела, опускают на линию действия силы перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра оказывается плечом данной силы.

Момент силы характеризует вращающее действие силы . Это действие зависит как от силы, так и от плеча. Чем больше плечо, тем меньшую силу необходимо приложить, чтобы получить желаемый результат, то есть один и тот же момент силы (см. рис. выше). Именно поэтому открыть дверь, толкая ее возле петель, намного сложнее, чем берясь за ручку, а гайку отвернуть намного легче длинным, чем коротким гаечным ключом.

За единицу момента силы в СИ принимается момент силы в 1 Н , плечо которой равно 1м — ньютон-метр (Н · м).

Правило моментов.

Твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если момент силы М 1 вращающей его по часовой стрелке, равняется моменту силы М 2 , которая вращает его против часовой стрелки:

Правило моментов есть следствие одной из теорем механики , которая была сформулирована французским ученым П. Вариньоном в 1687 г.

Пара сил.

Если на тело действуют 2 равные и противоположно направленные силы, которые не лежат на одной прямой, то такое тело не находится в равновесии, так как результирующий момент этих сил относительно любой оси не равняется нулю, так как обе силы имеют моменты, направленные в одну сторону. Две такие силы, одновременно действующие на тело, называют парой сил . Если тело закреплено на оси, то под действием пары сил оно будет вращаться. Если пара сил приложена «свободному телу, то оно будет вращаться вокруг оси. проходящей через центр тяжести тела, рисунке б .

Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости пары. Суммарный момент М пары всегда равен произведению одной из сил F на расстояние l между силами, которое называется плечом пары , независимо от того, на какие отрезки l , и разделяет положение оси плечо пары:

Момент нескольких сил, равнодействующая которых равна нулю, будет одинаковым относи-тельно всех осей, параллельных друг другу, поэтому действие всех этих сил на тело можно заме нить действием одной пары сил с тем же моментом.