Главная › Детские рецепты › Орфинский в п беречь не мундир. Вячеслав Орфинский: «Это варварский удар по нашей культуре

Орфинский в п беречь не мундир. Вячеслав Орфинский: «Это варварский удар по нашей культуре

Глава 7

Анализ нелинейных систем

СУ состоит из отдельных функциональных элементов, для математического описания которых используются типовые элементарные звенья (см. разд. 1.4). Среди типовых элементарных звеньев имеется одно безынерционное (усилительное) звено. Статическая характеристика такого звена, связывающая входную x и выходную y величины, линейна: y =Kx . Реальные функциональные элементы СУ имеют нелинейную статическую характеристику y =f (x ). Вид нелинейной зависимости f (∙) может быть разнообразным:

Функции с переменной крутизной (функции с эффектом «насыщения», тригонометрические функции и др.);

Кусочно-линейные функции;

Релейные функции.

Чаще всего приходиться учитывать нелинейность статической характеристики чувствительного элемента СУ, т.е. нелинейность дискриминационной характеристики. Обычно стремятся обеспечить работу СУ на линейном участке дискриминационной характеристики (если это позволяет вид функции f (∙)) и используют линейную модель y =Kx . Иногда это не удается обеспечить из-за больших значений динамической и флюктуационной составляющих ошибки СУ, либо из-за, так называемой, существенной нелинейности функции f (∙), присущей, например, релейным функциям. Тогда приходится выполнять анализ СУ с учетом звеньев, имеющих нелинейную статическую характеристику, т.е. проводить анализ нелинейной системы.

7.1. Особенности нелинейных систем

Процессы в нелинейных системах значительно разнообразнее процессов в линейных системах. Отметим некоторые особенности нелинейных систем и процессов в них.

1. Не выполняется принцип суперпозиции: реакция нелинейной системы не равна сумме реакций на отдельные воздействия. Например, независимый расчет динамической и флюктуационной составляющих ошибки слежения, выполненный для линейных систем (см. разд. 3), для нелинейных систем невозможен.

2. К структурной схеме нелинейной системы неприменимо свойство коммутативности (нельзя переставлять местами линейные и нелинейные звенья).

3. В нелинейных системах изменяются условия устойчивости и само понятие устойчивости. Поведение нелинейных систем, с точки зрения их устойчивости, зависит от воздействия и начальных условий. Кроме того, в нелинейной системе возможен новый вид установившегося процесса – автоколебания с постоянными амплитудой и частотой. Такие автоколебания, в зависимости от их амплитуды и частоты, могут и не нарушать работоспособность нелинейной СУ. Поэтому нелинейные системы уже не делятся на два класса (устойчивые и неустойчивые), как линейные системы, а разбиваются на большее количество классов.

Для нелинейных систем русский математик А.М. Ляпунов в 1892 г. ввел понятия устойчивости «в малом» и «в большом»: система устойчива «в малом», если при некотором (достаточно малом) отклонении от точки устойчивого равновесия она остается в заданной (ограниченной) области ε, и система устойчива «в большом», если она остается в области ε при любом отклонении от точки устойчивого равновесия. Заметим, что область ε можно задать сколь угодно малой вблизи точки устойчивого равновесия, поэтому данное в разд. 2 определение устойчивости линейных систем остается в силе и равноценно определению асимптотической устойчивости по Ляпунову. При этом рассмотренные ранее критерии устойчивости линейных систем для реальных нелинейных систем следует воспринимать как критерии устойчивости «в малом».

4. В нелинейных системах качественно меняются переходные процессы. Например, в случае функции f (∙) с переменной крутизной в нелинейной системе 1-го порядка переходный процесс описывается экспонентой с изменяющимся параметром T .

5. Ограниченная апертура дискриминационной характеристики нелинейной системы является причиной возникновения срыва слежения (система устойчива «в малом»). При этом необходим поиск сигнала и ввод системы в режим слежения (понятие поисково-следящего измерителя дано в разд. 1.1). В системах синхронизации с периодической дискриминационной характеристикой возможны скачки выходной величины.

Наличие рассмотренных особенностей нелинейных систем приводит к необходимости использования специальных методов для анализа таких систем. Далее рассматриваются:

Метод, основанный на решении нелинейного дифференциального уравнения и позволяющий, в частности, определить ошибку в установившемся режиме, а также полосы захвата и удержания нелинейной системы ФАПЧ;

Методы гармонической и статистической линеаризации, удобные при анализе систем с существенно нелинейным элементом;

Методы анализа и оптимизации нелинейных систем, основанные на результатах теории марковских процессов.

7.2. Анализ регулярных процессов в нелинейной системе ФАПЧ

Строго говоря линейных систем в природе не существует, все реальные системы нелинейны. Нелинейностью характеристик обладают различные датчики, детекторы, дискриминаторы, усилители, аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи, устройства управления и исполнительные устройства.

Общей теории анализа нелинейных систем нет. Учеными разработаны различные методы анализа нелинейных систем, которые позволяют решать задачи анализа при определенных условиях и ограничениях.

Дадим характеристику наиболее распространенным методам анализа нелинейных систем.

Метод фазовой плоскости. Этот метод называют также методом фазовых портретов или фазовых пространств. Этот метод позволяет наглядно с помощью графических построений проанализировать поведение нелинейных систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями не выше второго (третьего) порядка.

Метод кусочно-линейной аппроксимации. В этом методе используется кусочно-линейная аппроксимация характеристики нелинейного элемента, система анализируется как линейная при различных значениях сигналов, а затем результаты анализа «сшиваются». Метод отличается высокой трудоемкостью анализа и невысокой точностью результатов, особенно в точках «сшивания».

Метод гармонической линеаризации. Этот метод применяется в тех случаях, когда после нелинейного элемента включен линейный фильтр нижних частот, а входное воздействие гармоническое.

Метод статистической линеаризации. Этот метод применяется в тех случаях, когда в качестве входного сигнала действует стационарный случайный процесс. В этом методе реальный нелинейный элемент заменяется на такой линейный элемент, на выходе которого математическое ожидание и дисперсия процесса такие же, как и на выходе реального нелинейного элемента. Способы определения параметров эквивалентного линейного элемента могут быть различными.

Метод марковских процессов. Этот метод используется при нестационарных случайных входных сигналах, но аналитическое решение удается найти только для систем не выше второго порядка.

Метод моделирования на ЭВМ. Этот метод претендует на универсальность, он не имеет принципиальных ограничений на характер нелинейности и порядок системы. В настоящее время это наиболее распространенный метод анализа нелинейных систем, единственным недостатком метода является отсутствие каких-либо аналитических результатов анализа (в виде формул).

Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления. [Djv-10.7M ] Под редакцией Ю.И. Топчеева. Коллектив авторов.
(Москва: Издательство «Машиностроение», 1970. - Серия «Нелинейные системы автоматического управления»)
Скан: AAW, обработка, формат Djv: Ilya Sytnikov, 2014

КРАТКОЕ ОГЛАВЛЕНИЕ:
Предисловие (5).
Глава I. Теоретические основы метода гармонической линеаризации (Е.П. Попов) (13).
Глава II. Новая форма гармонической линеаризации для систем управления с нелинейными гистерезисными характеристиками (Е.И. Хлыпало) (58).
Глава III. Метод гармонической линеаризации, базирующийся на оценке чувствительности периодического решения к высшим гармоникам и малым параметрам (А.А. Вавилов) (88).
Глава IV. Определение амплитудных и фазовых частотных характеристик нелинейных систем (Ю.И. Топчеев) (117).
Глава V. Приближенные частотные методы анализа качества нелинейных систем управления (Ю.И. Топчеев) (171).
Глава VI. Повышение точности метода гармонической линеаризации (В.В. Павлов) (186).
Глава VII. Применение метода гармонической линеаризации к дискретным нелинейным системам управления (С.М. Федоров) (219).
Глава VIII. Применение асимптотического метода Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова при анализе нелинейных систем управления (А.Д. Максимов) (236).
Глава IX. Применение гармонической линеаризации к нелинейным самонастраивающимся системам управления (Ю.М. Козлов, С.И. Марков) (276).
Глава X. Применение метода гармонической линеаризации к нелинейным автоматическим системам с конечными автоматами (М.В. Старикова) (306).
Глава XI. Приближенный метод исследования колебательных процессов и скользящих режимов в автоматических системах с переменной структурой (М.В. Старикова) (390).
Глава XII. Приближенное исследование импульсно-релейной системы управления (М.В. Старикова) (419).
Глава XIII. Определение колебательных процессов в сложных нелинейных системах при различных начальных отклонениях (М.В. Старикова) (419).
Глава XIV. Применение метода гармонической линеаризации к системам с периодическими нелинейностями (Л.И. Семенко) (444).
Глава XV. Применение метода гармонической линеаризации к системам с двумя нелинейностями (В.М. Хлямов) (467).
Глава XVI. Амплитудно-фазовые характеристики релейных механизмов с двигателями постоянного и переменного тока, полученные по методу гармонической линеаризации (В.В. Цветков) (485).
Приложения (518).
Литература (550).
Алфавитный указатель (565).

Аннотация издательства: Данная книга входит в состав серии монографий, посвященных нелинейным системам автоматического управления.
В ней систематически, в достаточно полном объеме, изложена теория нелинейных систем автоматического управления, базирующаяся на методе гармонической линеаризации. Главное внимание уделено теоретическим основам метода гармонической линеаризации и его практическим применениям к непрерывным, дискретным, самонастраивающимся системам, а также системам с конечными автоматами и перестраиваемой структурой. Рассмотрены способы повышения точности метода гармонической линеаризации путем учета влияния высших гармоник. Предлагаемые способы иллюстрируются многочисленными примерами.
Книга предназначена для научных работников, инженеров, преподавателей и аспирантов высших учебных заведений, занимающихся вопросами автоматического управления.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра электропривода и автоматизации промышленных установок

КУРСОВАЯРАБОТА

по дисциплине «Теория автоматического управления»

Анализ нелинейных систем автоматического управления

Студент: Тишининов Ю.С.

Группа Эма-71

Руководитель курсовой работы

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ:

1. Исследовать САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом фазовой плоскости.

1.1 Проверить результаты расчетов по пункту 1 с помощью структурного моделирования.

1.2 Исследовать влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы.

2. Исследовать САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом гармонической линеаризации.

2.1 Проверить результаты расчетов по пункту 2 с помощью структурного моделирования.

2.2 Исследовать влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы

1. Исследуем САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом фазовой плоскости.

Вариант №4-1-а

Исходные данные.

1) Структурная схема нелинейной САУ:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Система, в которой рабочие операции и операции управления выполняют технические устройства, называется системой автоматического управления (САУ) .

Структурной схемой называется графическое изображение математического описания системы.

Звено на структурной схеме изображается в виде прямоугольника с указанием внешних воздействий и внутри него записывается передаточная функция.

Совокупность звеньев совместно с линиями связи, характеризующими их взаимодействие, образует структурную схему.

2) Параметры структурной схемы:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод фазовой плоскости

Поведение нелинейной системы в любой момент времени определяется управляемой переменной и ее (n?1) производной, если эти величины отложить по осям координат, то полученное n?мерное пространство будет называться фазовым пространством. Состояние системы в каждый момент времени будет определяться в фазовом пространстве изображающей точкой. Во время переходного процесса изображающая точка перемещается в фазовом пространстве. Траектория ее движения называется фазовой траекторией. В установившемся режиме изображающая точка находится в состоянии покоя и называется особой точкой. Совокупность фазовых траекторий для различных начальных условий, совместно с особыми точками и траекториями называется фазовым портретом системы.

При исследовании нелинейной системы данным методом необходимо структурную схему (рис. 1.1) преобразовать к виду:

Знак минус говорит о том, что обратная связь отрицательная.

где X 1 и X 2 - выходная и входная величины линейной части системы соответственно.

Найдем дифференциальное уравнение системы:

Произведем замену, тогда

Решим это уравнение относительно старшей производной:

Положим, что:

Разделим уравнение (1.2) на уравнение (1.1) и получим нелинейное дифференциальное уравнение фазовой траектории:

где x 2 = f(x 1).

Если решать это ДУ методом изоклин, то можно построить фазовый портрет системы для различных начальных условий.

Изоклиной называется геометрическое место точек фазовой плоскости, которые фазовая траектория пересекает под одним и тем же углом.

В данном методе нелинейная характеристика делится на линейные участки и для каждого из них записывается линейное ДУ.

Для получения уравнения изоклины правая часть уравнения (1.3) приравнивается к постоянной величине N и решается относительно.

Учитывая нелинейность, получаем:

Задаваясь значениями N в диапазоне от до, строится семейство изоклин. На каждой изоклине проводится вспомогательная прямая под углом к оси абсцисс

где m X - масштабный коэффициент по оси х;

m Y - масштабный коэффициент по оси у.

Выбираем m X = 0,2 ед/см, m Y = 40 ед/см;

Конечная формула для угла:

Рассчитаем семейство изоклин и угол для участка, расчет сведем в таблицу 1:

Таблица 1

Рассчитаем семейство изоклин и угол для участка, расчет сведем в таблицу 2:

Таблица 2

Рассчитаем семейство изоклин и угол для участка, расчет сведем в таблицу 3:

Таблица 3

Построим фазовую траекторию

Для этого выбираются начальные условия на одной из изоклин (точка А), из точки А проводятся две прямые линии до пересечения со следующей изоклиной под углами б 1 , б 2 , где б 1 , б 2 ? соответственно углы первой и второй изоклины. Отрезок, отсекаемый этими линиями, делится пополам. Из полученной точки, середины отрезка, вновь проводятся две линии под углами б 2 , б 3 , и вновь отрезок делится пополам и т.д. Полученные точки соединяются плавной кривой.

Семейства изоклин строятся для каждого линейного участка нелинейной характеристики и разделяются между собой линиями переключения.

По фазовой траектории видно, что получена особая точка типа устойчивый фокус. Можно сделать вывод, что автоколебаний в системе нет, а переходный процесс устойчивый.

1.1 Проверим результаты расчетов с помощью структурного моделирования в программе MathLab

Структурная схема:

Фазовый портрет:

Переходный процесс при входном воздействии равном 2:

Xвых.max = 1.6

1.2 Исследуем влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы

Увеличим входной сигнал до 10:

Xвых.max = 14,3

Трег = 0,055

X вых. max = 103

Т рег = 0,18

Увеличим зону чувствительности до 15:

Xвых.max = 0,81

Уменьшим зону чувствительности до 1:

Xвых.max = 3.2

Результатами моделирования были подтверждены результаты расчетов: из рисунка 1.7 видно, что процесс сходящийся, автоколебаний в системе нет. Фазовый портрет смоделированной системы схож с построенным расчетным путем.

Исследовав влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы, можно сделать выводы:

1) при увеличении входного воздействия увеличивается уровень установившегося режима, количество колебаний не меняется, время регулирования увеличивается.

2) при увеличении мертвой зоны уровень установившегося режима увеличивается, количество колебаний также остается неизменным, время регулирования увеличивается.

2. Исследуем САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом гармонической линеаризации.

Вариант №5-20-c

Исходные данные.

1) Структурная схема:

Размещено на http://www.allbest.ru/

2) Значения параметров:

3) Вид и параметры нелинейности:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Наиболее широкое распространение для исследования нелинейных САУ высокого порядка (n > 2) получил приближенный метод гармонической линеаризации с применением частотных представлений, развитых в теории линейных систем.

Основная идея метода сводится к следующему. Пусть замкнутая автономная (без внешних воздействий) нелинейная система состоит из последовательно включённых нелинейного безынерционного НЗ и устойчивой или нейтральной линейной части ЛЧ (рис 2.3, а)

u=0 x z Х=Х m sinwt z y

Размещено на http://www.allbest.ru/

y = Y m 1 sin (wt +)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для суждения о возможности существования моногармонических незатухающих колебаний в этой системе предполагается, что на входе нелинейного звена действует гармонический синусоидальный сигнал x(t) = X m sinwt (Рис. 2.3,б). При этом сигнал на выходе нелинейного звена z(t) = z содержит спектр гармонических составляющих с амплитудами Z m 1 , Z m 2 , Z m 3 , и т.д. и частотами w, 2w, 3w и т.д. Предполагается, что этот сигнал z(t), проходя через линейную часть W л (jw), фильтруется ею в такой степени, что в сигнале на выходе линейной части y(t) можно пренебречь всеми высшими гармониками Y m 2 , Y m 3 и т.д. и считать, что

y(t)Y m 1 sin(wt +)

Последнее предположение носит название гипотезы фильтра и выполнение этой гипотезы является необходимым условием гармонической линеаризации.

Условие эквивалентности схем, изображенных на рис. 2.3, а и б, можно сформулировать в виде равенства

x(t) + y(t) = 0(1)

При выполнении гипотезы фильтра y(t) = Y m 1 sin(wt +) уравнение (1) распадается на два

Уравнение (2) и (3) носят название уравнений гармонического баланса; первое из них выражает баланс амплитуд, а второе - баланс фаз гармонических колебаний.

Таким образом, для того, чтобы в рассматриваемой системе существовали незатухающие гармонические колебания, при соблюдении гипотезы фильтра должны выполняться условия (2) и (3)

Воспользуемся методом Гольдфарба для графоаналитического решения характеристического уравнения вида

W ЛЧ (p) W НЭ (A) +1 = 0

W ЛЧ (jw) W НЭ (A) = -1

Для приближенного определения автоколебаний строятся АФЧХ линейной части системы и обратная отрицательная характеристика нелинейного элемента.

Для построения АФЧХ линейной части преобразуем структурную схему к виду рис 2.4:

В результате преобразования получаем схему рис 2.5:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Найдем передаточную функцию линейной части системы:

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, получим:

Разобьем получившееся на мнимую и действительную части:

Для построения обратной отрицательной характеристики нелинейного элемента воспользуемся формулой:

Параметры нелинейности:

А - амплитуда, при условии что.

АФЧХ линейной части системы и обратная отрицательная характеристика нелинейного элемента, представлена на рис. 2.6:

Для определения устойчивости автоколебаний воспользуемся следующей формулировкой: если точка соответствующая увеличенной амплитуде по сравнению с точкой пересечения не охватывается частотной характеристикой линейной части системы, то автоколебания устойчивые. Как видно из рисунка 2.6 решение устойчиво, следовательно, в системе устанавливаются автоколебания.

2.1 Проверим результаты расчетов с помощью структурного моделирования в программе MathLab.

Рис 2.7: Структурная схема

Переходный процесс при входном воздействии равном 1 (рис 2.8):

автоматический управление нелинейный гармонический

Как видно из графика устанавливаются автоколебания. Проверим влияние нелинейности на устойчивость системы.

2.2 Исследуем влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы.

Увеличим входной сигнал до 100:

Увеличим входной сигнал до 270

Уменьшим входной сигнал до 50:

Увеличим насыщение до 200:

Уменьшим насыщение до 25:

Уменьшим насыщение до 10:

Результатами моделирования не однозначно подтвердили результаты расчетов:

1) Автоколебания возникают в системе, а изменение насыщения влияет на амплитуду колебаний.

2) При увеличении входного воздействия изменяется величина выходного сигнала и система стремиться к устойчивому состоянию.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ:

1. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. Под ред. В.А. Бесекерского, издание пятое, переработанное. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

2. Теория автоматического управления. Ч. II. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления. Под ред. А.А.Воронова. Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. школа, 1977. - 288 с.

3. Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования: учеб. пособие. ? М.: Машиностроение, 1989. ? 752 с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Нелинейные системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями. Методы анализа нелинейных систем: кусочно-линейной аппроксимации, гармонической линеаризации, фазовой плоскости, статистической линеаризации. Использование комбинации методов.

реферат , добавлен 21.01.2009

Анализ устойчивости системы автоматического управления (САУ) по критерию Найквиста. Исследование устойчивости САУ по амплитудно-фазочастотной характеристике АФЧХ и по логарифмическим характеристикам. Инструменты управления приборной следящей системы.

курсовая работа , добавлен 11.11.2009

Анализ структурной схемы заданной системы автоматического управления. Основные условия устойчивости критерия Гурвица и Найквиста. Синтез как выбор структуры и параметров системы для удовлетворения заранее поставленных требований. Понятие устойчивости.

курсовая работа , добавлен 10.01.2013

Исследование режимов системы автоматического управления. Определение передаточной функции замкнутой системы. Построение логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик. Синтез системы "объект-регулятор", расчет оптимальных параметров.

курсовая работа , добавлен 17.06.2011

Проектирование замкнутой, одномерой, стационарной, следящей системы автоматического управления с определением параметров корректирующего устройства, обеспечивающего заданные требования к качеству регулирования. Анализ системы с учетом нелинейности УМ.

курсовая работа , добавлен 18.01.2011

Структура замкнутой линейной непрерывной системы автоматического управления. Анализ передаточной функции системы с обратной связью. Исследование линейной импульсной, линейной непрерывной и нелинейной непрерывной систем автоматического управления.

контрольная работа , добавлен 16.01.2011

Уравнения связей структурной схемы САУ. Анализ линейной непрерывной системы автоматического управления. Критерии устойчивости. Показатели качества переходных процессов при моделировании на ЭВМ. Синтез последовательного корректирующего устройства.

контрольная работа , добавлен 19.01.2016

Проектирование структурной схемы электромеханического релейного следящего привода. Составление дифференциальных уравнений замкнутой нелинейной системы автоматического управления, построение ее фазового портрета. Гармоническая линеаризация нелинейности.

курсовая работа , добавлен 26.02.2014

Дискретные системы автоматического управления как системы, содержащие элементы, которые преобразуют непрерывный сигнал в дискретный. Импульсный элемент (ИЭ), его математическое описание. Цифровая система автоматического управления, методы ее расчета.

реферат , добавлен 18.08.2009

Выполнение синтеза и анализа следящей системы автоматического управления с помощью ЛАЧХ и ЛФЧХ. Определение типов звеньев передаточных функций системы и устойчивости граничных параметров. Расчет статистических и логарифмических характеристик системы.