Понятие вариации в статистике. Показатели вариации
Вариация - это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.
Например, работники фирмы различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д.
Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.
Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение его причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.
Средняя величина дает обобщенную характеристику признака изучаемой совокупности,но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагается около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом - эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом велика, это весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.
Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, - тем меньше они отличаются от средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.
Это можно показать на таком примере. Предположим, что одинаковую работу выполняют две бригады, каждая из трех человек. Пусть количество деталей, шт., изготовленных за смену отдельными рабочими, составляло:
В первой бригаде 95, 100, 105 (???????х1=100 шт.);
Во второй бригаде - 75, 100, 125 (?х2=100 шт.)
Средняя выработка на одного рабочего в обеих бригадах одинакова и составляет 1=2=100 шт., однако колеблемость выработки отдельных рабочих в первой бригаде гораздо меньше, чем во второй.
Поэтому возникает необходимость измерять вариацию признака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей:
- * размах вариации;
- *среднее линейное отклонение;
- * дисперсия;
- * среднее квадратическое отклонение;
- *коэффициент вариации.
Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариацииR, представляющим собой разность максимальным и минимальным значениями признака:
R = хmax- хmin.
В нашем примере размах вариации сменной выработки деталей составляет: в первой бригаде - R1= 10 шт. (т.е.105-95); во второй бригаде - R2=50 шт. (т.е 125-75), что в 5 раз больше.
Это свидетельствует о том, что при численном равенстве средняя выработка первой бригады более «устойчива». Размах вариации может служить базой расчета возможных резервов роста выработки. Таких резервов больше у второй бригады, поскольку в случае достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки деталей, ею может быть изготовлено 375 шт., т.е. (3Ч125), а в первой - только 315 шт., т.е. (3Ч105).
Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением ее размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и дает обобщенную характеристику. Простейший показатель такого типа - среднее линейное отклонение.
>Cреднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: (x -).
Среднее линейное отклонение:
* для несгруппированных данных
где n - число членов ряда;
*для сгруппированных данных
где?f - сумма частот вариационного ряда.
В формулах (2.1) и (2.2) разности в числителе взяты по модулю, (иначе в числителе всегда будет ноль - алгебраическая сумма отклонений вариантов отих средней арифметической). Поэтому среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко (только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл). С его помощью, например, анализируется состав работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.
> Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется поформула простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных):
*простая дисперсия для несгруппированных данных
*взвешенная дисперсия для вариационного ряда
Техника вычисления дисперсии по формулам (2.3) и (2.4) достаточно сложна, а при больших значениях вариантов и частот может быть громоздкой.
Расчет можно упростить, используя свойства дисперсии (доказываемые в математической статистике). Приведем два из них:
- 1) если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;
- 2) если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и тоже число раз (iраз), то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в i2раз.
Дисперсия имеет большое значение в экономическом анализе. В математической статистике важную роль для характеристики качества статистических оценок играет их дисперсия. Ниже, в частности, будет показано разложение дисперсии на соответствующие элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обуславливающих вариацию признака.
- >Среднее квадратическое отклонение у равно корню квадратному из дисперсии:
- *для несгруппированных данных
*для вариационного ряда
Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.
>Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:
Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.
Решение задач
Задача 3.6
Пользуясь формулой Стерджесса, определите интервал группировки сотрудников фирмы по уровню доходов, если общая численность составляет 20 человек, а минимальный и максимальный доход соответственно равен 5000 и 30000 рублей.
Согласно формуле Стерджессаn = 1 + 3,322 - lgN,
где n - число групп;
N - число единиц совокупности, определим число групп в коллективе фирмы.
n = 1 + 3,322 - lg 20 = 1 + 3,322 -1,3?3.
Вариация признака (уровень дохода сотрудников) проявляется в сравнительно узких границах и распределение будет носить равномерный характер. Совокупность сотрудников разделится на 3 группировки с равными интервалами. Величина равного интервала определяется по следующей формуле:
h = R/n = (xmax-xmin)/n,
где xmax и xmin- максимальное и минимальное значение признака в совокупности;
n - число групп.
h = (30000 - 5000)/3 = 8333,33.
Итак, величина интервала определена, теперь можно определить границы групп:
- 5000 - 13333,33 1-я группа
- 13333,33 - 21666,66 2-я группа
- 21666,66 - 30000 3-я группа.
Задача 7.4
По результатам зимней экзаменационной сессии одного курса студентов:
Определите:
- а) средний балл оценки знаний студентов;
- б) модальный балл успеваемости и медианное значение балла;
- в) сделайте выводы о характере данногораспределении.
Средний балл найдем по формуле
ар= (2х6 + 3х75 + 4х120 + 5х99)/300 = 1212/300 = 4,04. Средний балл по итогам сессии достаточно высокий и равен 4.
Мода (Mo) - значение признака наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности, т.е., это один из вариантов признака, который в ряду распределения имеет наибольшую частоту (частость).
В дискретном ряду модальное значение определяется визуальнопо максимальной частоте. Соответственно, Mo= 4,т.к в данной совокупности именно эту оценку получило самое большое число студентов в группе.
Медиана (Ме) - значение признака (варианта), приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.е. это вариант, который делит ряд распределения на две равные по объему части.
Медиана, как и мода, не зависит от крайних значений вариантов, поэтому применяется для характеристики центра в ряду распределения.
Для определения медианы в ранжированном ряду необходимо вначале найти номер медианы по формуле:
N = (300+1)/2 = 150,5
Затем используют кумулятивные частоты Sfили частость Sd.
Зная, чтоN = 150,5, накапливаем частоты до тех пор, пока кумулятивная частотаSfне будет равна этому номеру или превысит его. Следовательно, на 2 балла сдали 6 человек + 75 человек, сдавшие на 3 балла - это 81человек, + 120 человек, сдавшие на 4, равно 201 человек. Таким образом, медиана данного ряда распределения равна 4 баллам, т.е. половина студентов сдали на 2, 3 и 4,а половина на 4 и 5.
Вывод: средний балл,модальное значение и медиана совпадают и равняются 4 баллам. Это говорит о симметричном распределении частот множества.
2. Вариация альтернативного признака
3. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий
4. Правило сложения дисперсий для альтернативного признака
Зарегистрированные в процессе статистического наблюдения различия величины признака уотдельных единиц совокупности называются вариацией признака. По степенивариации признака можно судить о процессах развития изучаемых явлений, о типичности средних величин. Дело в том, что средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывая строения совокупности.
Она не показывает, как относительно нее располагаются варианты осредняемого признака — сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но водном случае все индивидуальные значения могут мало отличаться от нее, а в другом - эти отличия могут быть велики, т. е. в одном случае вариация признака мала, а в другом - велика, что имеет большое значение для характеристики надежности средней величины.
Для определения меры вариации признака в статистике исполь-зуются абсолютные и относительные показатели вариации .
К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадрата чес кое отклонение.
Размах вариации (R) является самым простым из абсолютных показателей вариации и представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:
где X max - максимальное значение признака в совокупности;
X min - минимальное значение признака в совокупности.
Величина размаха вариации зависит только от крайних значений учитывает всех изменений варьирующего признака в пределах изучаемой совокупности. Поэтому при изучении вариации нельзя ограничиваться расчетом только этого показателя. Для анализа вариации необходимы показатели, дающие обобщенную характер всех колебаний варьирующего признака.
Среднее линейное отклонение является простейшим показате-лем такого типа и представляет собой среднюю величину абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от их средней ариф-метической величины.
Среднее линейное отклонение для несгруппированных дан-ных определяется по формуле (5.2):
Среднее линейное отклонение для сгруппированных данных рассчитывается так (5.3):
Следует отметить, что среднее линейное отклонение не всегда улавливает степень вариации значений признака. Поэтому в статисти-ке применяется более чувствительный обобщающий показатель - дисперсия . Дисперсия представляет собой средний квадрат отклоне-ний индивидуальных значений признака от их средней величины. Возведение в квадрат позволяет резко усилить различия в величинах отклонений.
Дисперсия для несгруппированных данных вычисляется по формуле (5.4):
Дисперсия для сгруппированных данных рассчитывается так (5.5):
Для расчета дисперсии применяется также следующая формула (5.6):
Среднее квадратическое отклонение представляет собой ко-рень квадратный из дисперсии (5.7) или (5.8):
Среднее квадратическое отклонение также как и среднее линейное отклонение показывает, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от их среднего значения. Однако величине среднеквадратическое отклонение во всех случаях превыша-ет среднее линейное, так как более чутко реагирует на вариацию. Для симметричных и умеренно асимметричных распределений имеет ме-сто следующее соотношение (5.9):
Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднееквад-ратическое отклонение выражаются в именованных числах, т. е. име-ют единицу измерения (такую же, как и значения признака). Поэтому их нельзя непосредственно использовать для сравнения степени ва-риации по одному и тому же признаку в двух группах с разным уров-нем средних, а также для сравнения вариации двух различных призна-ков в одной группе. В этих случаях применяются следующие относи-тельные показатели вариации.
Коэффициент осцилляции (5.10)
Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации) (5.11):
Коэффициент вариация (5.12):
Коэффициент вариации позволяет не только получить обоб-щающую характеристику вариации признака в совокупности, но и дает возможность сделать выводы об однородности совокупности.Со-вокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.Средние величины, рассчитанные по однородной совокупности, являются ее достаточно надежными характеристиками.
Вариация альтернативного признака
В статистике помимо показателей вариации количественных признаков широко используются показатели вариации качественных признаков (в частности, при проектировании выборочного наблюдения). Вариация альтернативного признака количественно проявляется в значении 0 (нуля) у единиц, которые этим признаком не обладают, или 1 (единицы) у тех, которые данный признак имеют. Пусть р — до-ля единиц в совокупности, обладающих данным признаком, q — доля единиц, не обладающих данным признаком, причем p + q = 1.
Среднее значение альтернативного признака определим по формуле средней арифметической (5.13):
Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле (5.14):
Таким образом, средняя величина альтернативного признака равна его доле в данной совокупности, а дисперсия — произведению доли его наличия и доли его отсутствия. Максимальное значение дис-персии альтернативного признака, означающее максимальную неод-нородность совокупности, равно 0,25 при p = q = 0,5.
Правила построения рядов распределения
Ряды распределения представляют собой простейшую группировку, в которой каждая выделенная группа характеризуется одним показателем.
Статистический ряд распределения - это упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.
В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения.
Атрибутивными называют ряды распределения, построенные по качественным признакам, то есть признакам, не имеющим числового выражения.
Атрибутивные ряды распределения характеризуют состав совокупности по тем или иным существенным признакам. Взятые за несколько периодов, эти данные позволяют исследовать изменение структуры.
Вариационными рядами называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Любой вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот. Вариантами называются отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду, то есть конкретное значение варьирующего признака. Частотами называются численности отдельных вариант или каждой группы вариационного ряда, то есть это числа, которые показывают, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот определяет численность всей совокупности, ее объем. Частностями называются частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу. Соответственно сумма частностей равна 1 или 100%.
Правила построения рядов распределения аналогичны правилам построения группировки.
Группировки, построенные за один и тот же период времени, но для разных объектов или, наоборот, для одного объекта, но за два разных периода времени могут оказаться несопоставимыми из-за различного числа выделенных групп или неодинаковости границ интервалов.
Вторичная группировка, или перегруппировка сгруппированных данных применяется для лучшей характеристики изучаемого явления (в случае, когда первоначальная группировка не позволяет четко выявить характер распределения единиц совокупности), либо для приведения к сопоставимому виду группировок с целью проведения сравнительного анализа.
Термин «вариация» произошел от латинского varito -изменение, колеблемость, различие. Однако не всякое различие называется вариацией. Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.
Исследование вариации в статистике имеет важное значение, т.к. дает возможность оценить степень воздействия на данный признак других варьирующих признаков. Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, построения статистических моделей, разработке материалов экспертных опросов и т.д.
Средняя величина - это обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности. Она не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней. Поэтому для характеристики колеблемости признака используют показатели вариации.
Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака. Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.
Колебания отдельных значений характеризуют показатели вариации.
Термин «вариация» произошел от лат. variatio – «изменение, колеблемость, различие». Под вариацией понимают количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию признака: случайную и систематическую.
Систематическая вариация помогает оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов.
Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей, такие как размах вариации, определяемый как разность между наибольшим (Хмах) и наименьшим(xmjn) значениями вариантов:
Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней без учета знака этих отклонений.
Меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии.
Среднее квадратическое отклонение – это мерило надежности средней.
Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах, которые позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях. Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют отношением абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической и умножают на 100%.
При помощи группировок, подразделив изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку-фактору, можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности: общую дисперсию, межгрупповую дисперсию и среднюю из внутригруп-повых дисперсий.
Общая дисперсия характеризует вариацию признака, зависящую от всех условий в изучаемой статистической совокупности.
Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки, характеризует колеблемость групповых (частных) средних хi и общей средней хо.
Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе, возникает под влиянием факторов кроме положенного в основу группировки.
Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, и доли единиц, не обладающих им.
22. Показатели вариации: абсолютные и относительные
Вариация – различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.
К показателям вариации относятся:
I группа - абсолютные показатели вариации
- размах вариации
- среднее линейное отклонение
- дисперсия
- среднее квадратическое отклонение
II группа - относительные показатели вариации
- коэффициент вариации
- коэффициент осцилляции
- относительное линейное отклонение
· Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов.
· Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации Н как разницы между максимальным (X max) и минимальным (X min) наблюдаемыми значениями признака:
· H=X max - X min .
· Однако размах вариации показывает лишь крайние значения признака. Повторяемость промежуточных значений здесь не учитывается.
· Более строгими характеристиками являются показатели колеблемости относительно среднего уровня признака. Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение Л как среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня:
· 
· При повторяемости отдельных значений Х используют формулу средней арифметической взвешенной:
· (Напомним, что алгебраическая сумма отклонений от среднего уровня равна нулю.)
· Показатель среднего линейного отклонения нашел широкое применение на практике. С его помощью анализируются, например, состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов, разрабатываются системы материального стимулирования. Но, к сожалению, этот показатель усложняет расчеты вероятностного типа, затрудняет применение методов математической статистики. Поэтому в статистических научных исследованиях для измерения вариации чаще всего применяют показатель дисперсии.
· Дисперсия признака (s 2) определяется на основе квадратической степенной средней:
· 
.
· Показатель s, равный , называется средним квадратическим отклонением.
· В общей теории статистики показатель дисперсии является оценкой одноименного показателя теории вероятностей и (как сумма квадратов отклонений) оценкой дисперсии в математической статистике, что позволяет использовать положения этих теоретических дисциплин для анализа социально-экономических процессов.
· Если вариация оценивается по небольшому числу наблюдений, взятых из неограниченной генеральной совокупности, то и среднее значение признака определяется с некоторой погрешностью. Расчетная величина дисперсии оказывается смещенной в сторону уменьшения. Для получения несмещенной оценки выборочную дисперсию, полученную по приведенным ранее формулам, надо умножить на величину n / (n - 1). В итоге при малом числе наблюдений (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле
· Обычно уже при n > (15÷20) расхождение смещенной и несмещенной оценок становится несущественным. По этой же причине обычно не учитывают смещенность и в формуле сложения дисперсий.
· Если из генеральной совокупности сделать несколько выборок и каждый раз при этом определять среднее значение признака, то возникает задача оценки колеблемости средних. Оценить дисперсию среднего значения можно и на основе всего одного выборочного наблюдения по формуле
· 
,
· где n – объем выборки; s 2 – дисперсия признака, рассчитанная по данным выборки.
· Величина 
носит название средней ошибки выборки
и является характеристикой отклонения выборочного среднего значения признака Х от его истинной средней величины. Показатель средней ошибки используется при оценке достоверности результатов выборочного наблюдения.
· Показатели относительного рассеивания. Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.
· 1. Коэффициентом осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней
· 
.
· 2. Относительное линейное отключение характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины
· 
.
· 3. Коэффициент вариации:
· 
· является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.
· В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.
· У такого способа оценки вариации есть и существенный недостаток. Действительно, пусть, например, исходная совокупность рабочих, имеющих средний стаж 15 лет, со средним квадратическим отклонением s = 10 лет, «состарилась» еще на 15 лет. Теперь = 30 лет, а среднеквадратическое отклонение по-прежнему равно 10. Совокупность, ранее бывшая неоднородной (10/15 × 100= 66,7%), со временем оказывается, таким образом, вполне однородной (10/30 × 100 = 33,3 %).
Из всех показателей вариации среднеквадратическое отклонение в наибольшей степени используется для проведения других видов статистического анализа. Однако среднеквадратическое отклонение дает абсолютную оценку меры разбросанности значений и чтобы понять, насколько она велика относительно самих значений, требуется относительный показатель. Такой показатель называется он коэффициент вариации .
Формула коэффициента вариации:
Данный показатель измеряется в процентах (если умножить на 100%).
В статистике принято, что, если коэффициент вариации
меньше 10%, то степень рассеивания данных считается незначительной,
от 10% до 20% - средней,
больше 20% и меньше или равно 33% - значительной,
значение коэффициента вариации не превышает 33%, то совокупность считается однородной,
если больше 33%, то – неоднородной.
Средние, рассчитанные для однородной совокупности – значимы, т.е. действительно характеризуют эту совокупность, для неоднородной совокупности – незначимы, не характеризуют совокупность из-за значительного разброса значений признака в совокупности.
Возьмем пример с расчетом среднего линейного отклонения.
И график для напоминания
По этим данным рассчитаем: среднее значение, размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию и стандартное отклонение.
Среднее значение – это обычная средняя арифметическая.
Размах вариации – разница между максимумом и минимумом:
Среднее линейное отклонение считается по формуле:
Дисперсия считается по формуле:
Среднеквадратическое отклонение – квадратный корень из дисперсии:
Расчет сведем в табличку.
Вариация показателя отражает изменчивость процесса или явления. Ее степень может измеряться с помощью нескольких показателей.
Размах вариации – разница между максимумом и минимумом. Отражает диапазон возможных значений.
Среднее линейное отклонение – отражает среднее из абсолютных (по модулю) отклонений всех значений анализируемой совокупности от их средней величины.
Дисперсия – средний квадрат отклонений.
Среднеквадратическое отклонение – корень из дисперсии (среднего квадрата отклонений).
Коэффициент вариации – наиболее универсальных показатель, отражающий степень разбросанности значений независимо от их масштаба и единиц измерения. Коэффициент вариации измеряется в процентах и может быть использован для сравнения вариации различных процессов и явлений.
Таким образом, в статистическом анализе существует система показателей, отражающих однородность явлений и устойчивость процессов. Часто показатели вариации не имеют самостоятельного смысла и используются для дальнейшего анализа данных. Исключением является коэффициент вариации, который характеризует однородность данных, что является ценной статистической характеристикой.
Вариация определяет различия в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период (момент времени). Причиной вариации бывают разные условия существования разных единиц совокупности. Например, даже близнецы в процессе жизни приобретают различия в росте, весе, а также в таких признаках, как уровень образования, доход, количество детей и т.д.
Вариация возникает в результате того, что сами значения признака складываются под суммарным влиянием разнообразных условий, которые разным образом сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина любого варианта объективна.
Вариация характерна всем без исключения явлениям природы и общества, кроме законодательно закрепленных нормативных значений отдельных социальных признаков. Исследования вариации в статистике имеют огромное значение, помогают познать сущность изучаемого явления. Нахождение вариации, выяснение ее причин, выявление влияния отдельных факторов дают важную информацию для внедрения научно обоснованных управленческих решений.
Средняя величина дает обобщенную характеристику признака совокупности, но она не раскрывает её строения. Среднее значение не показывает, как располагаются вокруг нее варианты осредненного признака, распределены ли они вблизи средней или отклоняются от нее. Средняя в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном варианте все индивидуальные значения отличаются от нее незначительно, а в другом - эти отличия велики, т.е. в первом случае вариация признака мала, а во втором - велика, это имеет очень важное значение для характеристики значимости средней величины.
Для того, чтобы руководитель организации, управляющий, научный работник могли изучать вариацию и управлять ей, статистикой разработаны специальные методы исследования вариации (система показателей). С их помощью вариация находится, характеризуются ее свойства. К показателям вариации относятся : размах вариации, среднее линейное отклонение, коэффициент вариации.
Вариационный ряд и его формы
Вариационный ряд - это упорядоченное распределение единиц совокупности чаще по возрастающим (реже убывающим) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака. Когда численность единиц совокупности большая, ранжированный ряд становится громоздким, его построение занимает длительное время. В такой ситуации вариационный ряд строится с помощью группировки единиц совокупности по значениям изучаемого признака.
Существуют следующие формы вариационного ряда :
- Ранжированный ряд представляет собой, перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания (убывания) изучаемого признака.
- Дискретный вариационный ряд - это таблица, состоящая из двух строк или граф: конкретных значений варьирующего признака х и числа единиц совокупности с данным значение f - признака частот. Он строится тогда, когда признак принимает наибольшее число значений.
- Интервальный ряд .
Размах вариации определяется как абсолютная величина разности между максимальными и минимальными значениями (вариантами) признака:
Размах вариации показывает только крайние отклонения признака и не отражает отдельных отклонений всех вариантов в ряду. Он характеризует пределы изменения варьирующего признака и зависим от колебаний двух крайних вариантов и абсолютно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, что придает этой величине, случайный характер. Для анализа вариации нужен показатель, который отражает все колебания вариационного признака и даёт общую характеристику. Простейший показатель такого вида — среднее линейное отклонение.
