Применение производной к исследованию функций. Применение производной к построению графиков функций
Тип задания: 7
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Показать решениеРешение
Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).
Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.
Ответ
Тип задания: 7
Тема:
Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].
.png)
Решение
Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .
Решение
Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение
Проводим касательные к графику функции в точках с указанными абсциссами. Определяем, под каким углом они наклонены к положительному направлению оси Ox . Как известно, значение тангенса указанного угла это и есть значение производной в указанных точках.
В точках -1 и 4 касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной отрицательно. Учитывая, что в точке x=-6 касательная наклонена под меньшим тупым углом (ближе к вертикальной прямой), значение производной в этой точке наименьшее.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
.png)
Решение
Как известно, функция f(x) возрастает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) больше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-9; -8); (-5; -1); (1; 4).
Длина наибольшего из них (-5; -1), равна 4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-4; 3].
Если на некотором промежутке график функции представляет собой непрерывную линию, иными словами, такую линию, которую можно провести без карандаша от листа бумаги, то такая функция называется непрерывной на этом промежутке. Существуют также функции, которые непрерывными не являются. В качестве примера рассмотрим график функции, которая на промежутках и [с; b] непрерывна, но в точке
х = с разрывна и поэтому на всем отрезке не является непрерывной. Все функции, изучаемые нами в школьном курсе математики, – это функции непрерывные на каждом промежутке, на котором они определены.
Отметим, что если на некотором промежутке функция имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна.
Обратное утверждение является неверным. Функция, которая непрерывна на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка. Например, функция
у = |log 2 x| непрерывна на промежутке х > 0, но в точке х = 1 не имеет производной, в силу того что в этой точке график функции касательной не имеет.
Рассмотрим построение графиков с помощью производной.
Построить график функции f(x) = x 3 – 2x 2 + x.
Решение.
1) Эта функция определена при всех х € R.
2) Найдем промежутки монотонности рассматриваемой функции и ее точки экстремума с помощью производной. Производная равна f "(x) = 3x 2 – 4x + 1. Найдем стационарные точки:
3x 2 – 4x + 1 = 0, откуда х 1 = 1/3, х 2 = 1.
Для определения знака производной разложим квадратные трехчлен 3x 2 – 4x + 1 на множители:
f "(x) = 3(х – 1/3)(х – 1). Следовательно, на промежутках х < 1/3 и х > 1 производная положительна; значит, функция возрастает на этих промежутках.
Производная отрицательна при 1/3 < х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.
Точка х 1 = 1/3 является точкой максимума, так как справа от этой точки функция убывает, а слева – возрастает. В этой точке значение функции равно f (1/3) = (1/3) 3 – 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.
Точкой минимума является точка х 2 = 1, так как слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в этой точке минимума равняется f (1) = 0.
3) При построение графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f(0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f(0) = 0, находим точки пересечения графика с осью абсцисс:
x 3 – 2x 2 + x = 0, х(x 2 – 2х + 1) = 0, х(х – 1) 2 = 0, откуда х = 0, х = 1.
4) Для более точного построение графика найдем значения функции еще в двух точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.
5) Используя результаты исследования (пункты 1 – 4), строим график функции у = x 3 – 2x 2 + x.
Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной по схеме, аналогичной схеме при решении задачи 1.
Таким образом, при исследовании свойств функции необходимо найти:
1) область ее определения;
2) производную;
3) стационарные точки;
4) промежутки возрастания и убывания;
5) точки экстремума и значения функции в этих точках.
Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и – при необходимости – еще несколько точек графика.
Если же мы сталкиваемся с четной или нечетной функцией, то для 
построения ее графика достаточно исследовать свойства и построить ее график при х > 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). Например, анализируя функцию f(x) = х + 4/х, мы приходим к выводу о том, что данная функция нечетная: f(-x) = -х + 4/(-х) = -(х + 4/х) = -f(x). Выполнив все пункты плана, строим график функции при х > 0, а график этой функции при х < 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х > 0 относительно начала координат.
Для краткости решения задач на построение графиков функции большую часть рассуждений проводят устно.
Также отметим, что при решении некоторых задач мы можем столкнуться с необходимостью исследования функции не на всей области определения, а только на некотором промежутке, например, если нужно построить график, скажем, функции f(x) = 1 + 2x 2 – x 4 на отрезке [-1; 2].
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Математический диктант Вариант 1. 1.(Cu)=… 2.…=(uv-vu)/v² 3.(cos x)=… 4.…=1/cos² x 5.(e x)=… Вариант 2. 1.C=… 2.…=(uv+vu) 3.(sin x)=… 4.…=-1/sin² x 5.(x n)=… Вариант 1. 1.(Cu)=Cu 2.(u/v)=(uv-vu)/v² 3.(cos x)=-sin x 4. tg x=1/cos² x 5.(e x)=e x Вариант 2. 1.C=0 2.(uv)=(uv+vu) 3.(sin x)=cos x 4. ctg x=-1/sin² x 5.(x n)=n*x n-1
1. Находим область определения функции f(x). 2. Вычисляем производную f(x) данной функции. 3. Находим точки, в которых f(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x). 4. Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности. 5. Исследуем знак f(x) на каждом интервале. Если f(x)0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f(x)0, то на таком интервале функция f(x) убывает. Правило нахождения интервалов монотонности
1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную: y=6x²-6x Находим критические точки: y=0. x²-x-6=0 Д=1-4*(-6)*1=1+24=25 4. Делим область определения на интервалы: 5. Функция возрастает при xϵ(-;-2]υ. Пример 1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x
1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную: y=3x²-6x. 3. Находим критические точки: y=0. x²-2x=0 x(x-2)=0 x1=0 и x2=2 4. Делим область определения на интервалы: 5. Функция возрастает при xϵ(-;0]υ. Пример 2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²
Точку x=x 0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)f(x 0). Точку x=x 0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)f(x 0).
Если производная f(x) при переходе через точку x 0 меняет знак, то точка x 0 является точкой экстремума функции f(x). Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума Теорема 4.
1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную: y=-6x²-6x Находим критические точки: y=0. -x²-x+2=0 Д=1-4*(-1)*2=1+8=9 x 1 =1; x 2 =-2 4. Делим область определения на интервалы: 5.x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: y max =3. Пример 3. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x
Работа на уроке: Исследовать на экстремум функцию y=x Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 2 +2)=2x. 3. Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =
Исследовать на экстремум функцию y=1/3x 3 -2x 2 +3x+1. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(1/3x 3 -2x 2 +3x+1)=x 2 -4x Приравниваем её к нулю: x 2 -4x+3=0, откуда x 1 =1, x 2 =3 – критические точки. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции y max =7/3. x=3 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =
Исследовать на экстремум функцию y=x 3 +3x 2 +9x-6. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 3 +3x 2 +9x-6)=3x 2 +6x Приравниваем её к нулю: 3x 2 +6x+9=0, откуда D 0:
Исследовать на экстремум функцию y=x 2 -x-6. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 2 -x-6)=2x Приравниваем её к нулю: 2x-1=0, откуда x=1/2 – критическая точка. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =-6, /2
Если на некотором промежутке график функции представляет собой непрерывную линию, иными словами, такую линию, которую можно провести без карандаша от листа бумаги, то такая функция называется непрерывной на этом промежутке. Существуют также функции, которые непрерывными не являются. В качестве примера рассмотрим график функции, которая на промежутках и [с; b] непрерывна, но в точке
х = с разрывна и поэтому на всем отрезке не является непрерывной. Все функции, изучаемые нами в школьном курсе математики, – это функции непрерывные на каждом промежутке, на котором они определены.
Отметим, что если на некотором промежутке функция имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна.
Обратное утверждение является неверным. Функция, которая непрерывна на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка. Например, функция
у = |log 2 x| непрерывна на промежутке х > 0, но в точке х = 1 не имеет производной, в силу того что в этой точке график функции касательной не имеет.
Рассмотрим построение графиков с помощью производной.
Построить график функции f(x) = x 3 – 2x 2 + x.
Решение.
1) Эта функция определена при всех х € R.
2) Найдем промежутки монотонности рассматриваемой функции и ее точки экстремума с помощью производной. Производная равна f "(x) = 3x 2 – 4x + 1. Найдем стационарные точки:
3x 2 – 4x + 1 = 0, откуда х 1 = 1/3, х 2 = 1.
Для определения знака производной разложим квадратные трехчлен 3x 2 – 4x + 1 на множители:
f "(x) = 3(х – 1/3)(х – 1). Следовательно, на промежутках х < 1/3 и х > 1 производная положительна; значит, функция возрастает на этих промежутках.
Производная отрицательна при 1/3 < х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.
Точка х 1 = 1/3 является точкой максимума, так как справа от этой точки функция убывает, а слева – возрастает. В этой точке значение функции равно f (1/3) = (1/3) 3 – 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.
Точкой минимума является точка х 2 = 1, так как слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в этой точке минимума равняется f (1) = 0.
3) При построение графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f(0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f(0) = 0, находим точки пересечения графика с осью абсцисс:
x 3 – 2x 2 + x = 0, х(x 2 – 2х + 1) = 0, х(х – 1) 2 = 0, откуда х = 0, х = 1.
4) Для более точного построение графика найдем значения функции еще в двух точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.
5) Используя результаты исследования (пункты 1 – 4), строим график функции у = x 3 – 2x 2 + x.
Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной по схеме, аналогичной схеме при решении задачи 1.
Таким образом, при исследовании свойств функции необходимо найти:
1) область ее определения;
2) производную;
3) стационарные точки;
4) промежутки возрастания и убывания;
5) точки экстремума и значения функции в этих точках.
Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и – при необходимости – еще несколько точек графика.
Если же мы сталкиваемся с четной или нечетной функцией, то для построения ее графика достаточно исследовать свойства и построить ее график при х > 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). Например, анализируя функцию f(x) = х + 4/х, мы приходим к выводу о том, что данная функция нечетная: f(-x) = -х + 4/(-х) = -(х + 4/х) = -f(x). Выполнив все пункты плана, строим график функции при х > 0, а график этой функции при х < 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х > 0 относительно начала координат.
Для краткости решения задач на построение графиков функции большую часть рассуждений проводят устно.
Также отметим, что при решении некоторых задач мы можем столкнуться с необходимостью исследования функции не на всей области определения, а только на некотором промежутке, например, если нужно построить график, скажем, функции f(x) = 1 + 2x 2 – x 4 на отрезке [-1; 2].
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Переменная
величина
называетсяфункцией
переменной величины
,
если каждому допустимому значению
соответствует единственное значение
.
Переменная величина
при этом называетсянезависимой
переменной
или
аргументом
функции.
Множество всех значений аргумента, при которых функция принимает определенные действительные значения, называется областью определения этой функции. Множество всех значений функции называется областью ее значений .
Область
определения и область значений функции
f
обозначают символами
и
соответственно. Область определения
называетсясимметричным
множеством
,
если вместе с каждым элементом
оно содержит и противоположный элемент
(
).
Исследовать, является ли функция четной или нечетной.
Функция
называетсячетной
при всех
.
Функция
f
называется нечетной
,
если ее область определения
- симметричное множество и выполняется
равенство
при всех
.
График четной функции симметричен относительно оси ординат О Y , а график нечетной функции – относительно начала координат. Поэтому, если исследуемая функция четная или нечетная, то ее достаточно исследовать при положительных значениях аргумента из области ее определения.
Исследовать, является ли функция периодической.
Множество
называетсяпериодическим
с периодом Т
(
),
если для любого
выполняется
и
.
Функция
f
называется периодической
с периодом
Т
, если
- периодическое множество с периодомТ
и для любого
выполняется равенство
.
График периодической с периодом Т функции переходит в себя при сдвиге на Т вдоль оси абсцисс.
Прямая
на плоскости
называетсявертикальной
асимптотой
функции
,
если один из односторонних пределов
или
равен
.
Таким
образом, прямая
является вертикальной асимптотой
функции
,
если точка
- точка разрыва второго рода для функции
.
Исследовать поведение функции на бесконечности и найти ее горизонтальные и наклонные асимптоты.
Прямая
называетсянаклонной
асимптотой
графика функции
при
(
),
если
при
(
).
Теорема
1.
Для
существования наклонной асимптоты
при
функции
необходимо и достаточно, чтобы при
выполнялись условия:
1.
,
,
2.
,
.
Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции.
Функция
называетсявозрастающей
(убывающей
)
на
,
если для любых
из неравенства
следует неравенство
(
).
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными .
Теорема
2
(достаточное
условие монотонности). Пусть функция
определена и непрерывна на
и дифференцируема на
.
Если
(
),
то
возрастает (убывает) на
.
Точка
называетсяточкой
максимума
(точкой
минимума
)
функции
,
если во всех точках
,
достаточно близких к точке
(
).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом ) функции.
Точка
называетсяточкой
строгого максимума
(строгого
минимума
)
функции
,
если во всех точках
,
достаточно близких к точке
и отличных от нее, выполнено неравенство
(
).
Значение
функции в точке
называетсястрогим
максимумом
(строгим
минимумом
)
функции.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в них – экстремумами функции.
Теорема
3
(необходимое
условие экстремума). Если функция
имеет в точке
экстремум, то производная функции в
этой точке равна нулю или не существует.
Точка
называетсястационарной
точкой
функции
,
если
.
Точка
называетсякритической
точкой
функции
,
если
или не существует.
Из теоремы 3 следует, что точками экстремума могут быть только критические точки. Обратное не всегда верно.
Теорема
4
(Достаточное
условие экстремума. Первое правило).
Пусть в точке
производная функции
обращается в нуль и при переходе через
эту точку меняет знак, тогда точка
- точка экстремума функции, причем если:
1)
при
и
при
,
то
- точка строгого максимума;
2)
при
и
при
,
то
- точка строгого минимума.
Теорема
5
(Достаточное
условие экстремума. Второе правило).
Если в точке
первая производная функции
равна нулю, а вторая производная отлична
от нуля, то
- точка экстремума, причем:
1)
- точка максимума, если
;
2)
- точка минимума, если
.
Алгоритм
нахождения точек экстремума для функции,
непрерывной на
:
Найдем
критические точки
функции
на
.
Расположим их в порядке возрастания:.
Они делят
на интервалы
,
,…,
.
В каждом из них
,
она знакопостоянна (положительна, или
отрицательна). Для определения знака
производной в интервале надо определить
ее знак в любой точке интервала. Затем
по изменению знака производной при
переходе от одного интервала к другому
определим точки экстремума по теореме
4.
Определение направлений выпуклости графика функции и точек перегиба.
Пусть
функция
дифференцируема на
.
Тогда существует касательная к графику
функции
в любой точке
,
,
причем эти касательные не параллельны
оси
.
Функция
называетсявыпуклой
вверх
(вниз
)
на
,
если график функции в пределах
лежит не выше (не ниже) любой из своих
касательных.
Теорема
6
(достаточное
условие выпуклости). Пусть функция
дважды дифференцируема на
.
Тогда если
(
)
на
,
то функция выпукла вниз (вверх) на
.
Точка
называется точкой
перегиба
функции
,
если при переходе через эту точку
меняется направление выпуклости функции
.
Теорема
7
(необходимое
условие перегиба). Если в точке перегиба
функции
вторая производная существует и
непрерывна, то она в этой точке равна
нулю.
Теорема
8
(достаточное
условие перегиба). Если
и
1)
меняет знак при переходе через
,
то
- точка перегиба функции
;
2)
не меняет знака при переходе через
,
то
не является точкой перегиба функции
.
Построение графика функции.
Графиком
функции
называется множество точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют данной
функциональной зависимости.
Пример
7.1.
Исследовать
функцию
Решение.
,
так как данная функция – многочлен.
Исследуем функцию на монотонность, найдем точки экстремума.
Найдем вначале критические точки функции.
,
так как производная тоже является
многочленом.
или
,
или
.
Следовательно,
,
,
– критические точки функции.
Н
анесем
критические точки функции на числовую
прямую и определим знакипроизводной
На
промежутках
,
функция убывает, на промежутках
,
функция возрастает.
Точки
и
– точки минимума функции,
.
Точка
– точка максимума функции,
.
Исследуем функцию на направление выпуклости, найдем точки перегиба.
.
Нанесем точки х 1 и х 2 на числовую прямую и определим знаки второй производной в каждом из получившихся промежутков.
Н
а
промежутках
и
функция выпукла вниз, на промежутке
функция выпукла вверх. Точки
и
являются точками перегиба.
Пример
7.2.
Исследовать
функцию
на монотонность и направление выпуклости,
найти экстремумы и точки перегиба.
Решение.
Найдем область определения функции.
:
.
2. Исследуем функцию на монотонность, найдем точки экстремума.
,
.
.
Следовательно,
–
критическая
точка функции.
Нанесем область определения функции и критическую точку на числовую прямую. Определим знаки производной на каждом из получившихся промежутков.
Н
а
промежутках
,
функция убывает, на промежутке
функция возрастает. Точка
– точка максимума,
.
3. Определим направление выпуклости графика функции и найдем точки перегиба.
.
Т
очка
- точка возможного перегиба. Определим
знаки второй производной в промежутках
,
,
.
На
промежутках
,
функция выпукла вверх, на промежутке
функция выпукла вниз. Точка
– точка перегиба.
Пример
7.3.
Провести полное исследование функции
и построить ее график.
Решение.
1.
.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Функция не является периодической.
4.
Найдем точки пересечения графика с
осями координат и промежутки
знакопостоянства. Ось Ох
график не пересекает, так как
для
всех
.
Ось Оу
:
,
.
при
,
при
.
5.
Функция непрерывна на области определения,
так как является элементарной,
– точка разрыва. Исследуем характер
разрыва:
,
.
Следовательно,
– точка разрыва второго рода, прямая
– вертикальная асимптота графика
функции.
6.
Исследуем поведение функции при
и при
:
, 
.
Следовательно, прямая
– горизонтальная асимптота графика
функции при
.
Так
как
,
то других наклонных асимптот при
нет.
Выясним,
есть ли наклонные асимптоты при
:
.
Следовательно, при
наклонных асимптот нет.
7. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.
,
–точка
минимума,
– минимум.
8. Исследуем функцию на направление выпуклости и перегиб.
=
.
на
,
не существует в точке
.Точек
перегиба нет.
9. Построим график функции (рис. 4).
Рисунок 4 – Иллюстрация к примеру 7.3.
Пример
7.4.
Исследовать
функцию
и построить её график.
Решение. Исследуем данную функцию.
,
.
Исследуем поведение функции на бесконечности и найдем горизонтальные и наклонные асимптоты:
Так
как
,
то горизонтальных асимптот нет.
,
Таким
образом, существует единственная
наклонная асимптота
Исследуем функцию на монотонность и найдем экстремумы:
.
Из
следует
,
откуда
,
.
В
интервале
,
следовательно, функция возрастает в
этом интервале; в
,
т. е. функция убывает. Поэтому точка
является точкой максимума:
.
В интервале
,
следовательно, функция убывает на этом
интервале; в
,
т. е. функции возрастает. В точке
имеем
минимум:
.
Исследуем график функции на направление выпуклости и определим точки перегиба. Для этого найдем
Очевидно,
что в интервале
,
следовательно, в этом интервале кривая
выпукла вверх; в интервале
,
т. е. в этом интервале кривая выпукла
вниз. Так как при
функция не определена, то точка перегиба
отсутствует.
График функции изображен на рис. 5.
Рисунок 5 – Иллюстрация к примеру 7.3.
