Применение производной к построению графика функции. Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению графиков функций» - презентация
Переменная
величина
называетсяфункцией
переменной величины
,
если каждому допустимому значению
соответствует единственное значение
.
Переменная величина
при этом называетсянезависимой
переменной
или
аргументом
функции.
Множество всех значений аргумента, при которых функция принимает определенные действительные значения, называется областью определения этой функции. Множество всех значений функции называется областью ее значений .
Область
определения и область значений функции
f
обозначают символами
и
соответственно. Область определения
называетсясимметричным
множеством
,
если вместе с каждым элементом
оно содержит и противоположный элемент
(
).
Исследовать, является ли функция четной или нечетной.
Функция
называетсячетной
при всех
.
Функция
f
называется нечетной
,
если ее область определения
- симметричное множество и выполняется
равенство
при всех
.
График четной функции симметричен относительно оси ординат О Y , а график нечетной функции – относительно начала координат. Поэтому, если исследуемая функция четная или нечетная, то ее достаточно исследовать при положительных значениях аргумента из области ее определения.
Исследовать, является ли функция периодической.
Множество
называетсяпериодическим
с периодом Т
(
),
если для любого
выполняется
и
.
Функция
f
называется периодической
с периодом
Т
, если
- периодическое множество с периодомТ
и для любого
выполняется равенство
.
График периодической с периодом Т функции переходит в себя при сдвиге на Т вдоль оси абсцисс.
Прямая
на плоскости
называетсявертикальной
асимптотой
функции
,
если один из односторонних пределов
или
равен
.
Таким
образом, прямая
является вертикальной асимптотой
функции
,
если точка
- точка разрыва второго рода для функции
.
Исследовать поведение функции на бесконечности и найти ее горизонтальные и наклонные асимптоты.
Прямая
называетсянаклонной
асимптотой
графика функции
при
(
),
если
при
(
).
Теорема
1.
Для
существования наклонной асимптоты
при
функции
необходимо и достаточно, чтобы при
выполнялись условия:
1.
,
,
2.
,
.
Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции.
Функция
называетсявозрастающей
(убывающей
)
на
,
если для любых
из неравенства
следует неравенство
(
).
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными .
Теорема
2
(достаточное
условие монотонности). Пусть функция
определена и непрерывна на
и дифференцируема на
.
Если
(
),
то
возрастает (убывает) на
.
Точка
называетсяточкой
максимума
(точкой
минимума
)
функции
,
если во всех точках
,
достаточно близких к точке
(
).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом ) функции.
Точка
называетсяточкой
строгого максимума
(строгого
минимума
)
функции
,
если во всех точках
,
достаточно близких к точке
и отличных от нее, выполнено неравенство
(
).
Значение
функции в точке
называетсястрогим
максимумом
(строгим
минимумом
)
функции.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в них – экстремумами функции.
Теорема
3
(необходимое
условие экстремума). Если функция
имеет в точке
экстремум, то производная функции в
этой точке равна нулю или не существует.
Точка
называетсястационарной
точкой
функции
,
если
.
Точка
называетсякритической
точкой
функции
,
если
или не существует.
Из теоремы 3 следует, что точками экстремума могут быть только критические точки. Обратное не всегда верно.
Теорема
4
(Достаточное
условие экстремума. Первое правило).
Пусть в точке
производная функции
обращается в нуль и при переходе через
эту точку меняет знак, тогда точка
- точка экстремума функции, причем если:
1)
при
и
при
,
то
- точка строгого максимума;
2)
при
и
при
,
то
- точка строгого минимума.
Теорема
5
(Достаточное
условие экстремума. Второе правило).
Если в точке
первая производная функции
равна нулю, а вторая производная отлична
от нуля, то
- точка экстремума, причем:
1)
- точка максимума, если
;
2)
- точка минимума, если
.
Алгоритм
нахождения точек экстремума для функции,
непрерывной на
:
Найдем
критические точки
функции
на
.
Расположим их в порядке возрастания:.
Они делят
на интервалы
,
,…,
.
В каждом из них
,
она знакопостоянна (положительна, или
отрицательна). Для определения знака
производной в интервале надо определить
ее знак в любой точке интервала. Затем
по изменению знака производной при
переходе от одного интервала к другому
определим точки экстремума по теореме
4.
Определение направлений выпуклости графика функции и точек перегиба.
Пусть
функция
дифференцируема на
.
Тогда существует касательная к графику
функции
в любой точке
,
,
причем эти касательные не параллельны
оси
.
Функция
называетсявыпуклой
вверх
(вниз
)
на
,
если график функции в пределах
лежит не выше (не ниже) любой из своих
касательных.
Теорема
6
(достаточное
условие выпуклости). Пусть функция
дважды дифференцируема на
.
Тогда если
(
)
на
,
то функция выпукла вниз (вверх) на
.
Точка
называется точкой
перегиба
функции
,
если при переходе через эту точку
меняется направление выпуклости функции
.
Теорема
7
(необходимое
условие перегиба). Если в точке перегиба
функции
вторая производная существует и
непрерывна, то она в этой точке равна
нулю.
Теорема
8
(достаточное
условие перегиба). Если
и
1)
меняет знак при переходе через
,
то
- точка перегиба функции
;
2)
не меняет знака при переходе через
,
то
не является точкой перегиба функции
.
Построение графика функции.
Графиком
функции
называется множество точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют данной
функциональной зависимости.
Пример
7.1.
Исследовать
функцию
Решение.
,
так как данная функция – многочлен.
Исследуем функцию на монотонность, найдем точки экстремума.
Найдем вначале критические точки функции.
,
так как производная тоже является
многочленом.
или
,
или
.
Следовательно,
,
,
– критические точки функции.
Н
анесем
критические точки функции на числовую
прямую и определим знакипроизводной
На
промежутках
,
функция убывает, на промежутках
,
функция возрастает.
Точки
и
– точки минимума функции,
.
Точка
– точка максимума функции,
.
Исследуем функцию на направление выпуклости, найдем точки перегиба.
.
Нанесем точки х 1 и х 2 на числовую прямую и определим знаки второй производной в каждом из получившихся промежутков.
Н
а
промежутках
и
функция выпукла вниз, на промежутке
функция выпукла вверх. Точки
и
являются точками перегиба.
Пример
7.2.
Исследовать
функцию
на монотонность и направление выпуклости,
найти экстремумы и точки перегиба.
Решение.
Найдем область определения функции.
:
.
2. Исследуем функцию на монотонность, найдем точки экстремума.
,
.
.
Следовательно,
–
критическая
точка функции.
Нанесем область определения функции и критическую точку на числовую прямую. Определим знаки производной на каждом из получившихся промежутков.
Н
а
промежутках
,
функция убывает, на промежутке
функция возрастает. Точка
– точка максимума,
.
3. Определим направление выпуклости графика функции и найдем точки перегиба.
.
Т
очка
- точка возможного перегиба. Определим
знаки второй производной в промежутках
,
,
.
На
промежутках
,
функция выпукла вверх, на промежутке
функция выпукла вниз. Точка
– точка перегиба.
Пример
7.3.
Провести полное исследование функции
и построить ее график.
Решение.
1.
.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Функция не является периодической.
4.
Найдем точки пересечения графика с
осями координат и промежутки
знакопостоянства. Ось Ох
график не пересекает, так как
для
всех
.
Ось Оу
:
,
.
при
,
при
.
5.
Функция непрерывна на области определения,
так как является элементарной,
– точка разрыва. Исследуем характер
разрыва:
,
.
Следовательно,
– точка разрыва второго рода, прямая
– вертикальная асимптота графика
функции.
6.
Исследуем поведение функции при
и при
:
, 
.
Следовательно, прямая
– горизонтальная асимптота графика
функции при
.
Так
как
,
то других наклонных асимптот при
нет.
Выясним,
есть ли наклонные асимптоты при
:
.
Следовательно, при
наклонных асимптот нет.
7. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.
,
–точка
минимума,
– минимум.
8. Исследуем функцию на направление выпуклости и перегиб.
=
.
на
,
не существует в точке
.Точек
перегиба нет.
9. Построим график функции (рис. 4).
Рисунок 4 – Иллюстрация к примеру 7.3.
Пример
7.4.
Исследовать
функцию
и построить её график.
Решение. Исследуем данную функцию.
,
.
Исследуем поведение функции на бесконечности и найдем горизонтальные и наклонные асимптоты:
Так
как
,
то горизонтальных асимптот нет.
,
Таким
образом, существует единственная
наклонная асимптота
Исследуем функцию на монотонность и найдем экстремумы:
.
Из
следует
,
откуда
,
.
В
интервале
,
следовательно, функция возрастает в
этом интервале; в
,
т. е. функция убывает. Поэтому точка
является точкой максимума:
.
В интервале
,
следовательно, функция убывает на этом
интервале; в
,
т. е. функции возрастает. В точке
имеем
минимум:
.
Исследуем график функции на направление выпуклости и определим точки перегиба. Для этого найдем
Очевидно,
что в интервале
,
следовательно, в этом интервале кривая
выпукла вверх; в интервале
,
т. е. в этом интервале кривая выпукла
вниз. Так как при
функция не определена, то точка перегиба
отсутствует.
График функции изображен на рис. 5.
Рисунок 5 – Иллюстрация к примеру 7.3.
государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Тульской области
«Липковский политехнический техникум»
Конспект урока
на тему « Применение производной к построению
Графиков функции»
Рассмотрено Утверждаю:
на заседании ЦК Зам. директора по УР
Председатель_________И.В. Кувшинова _____________В.В. Аржакова
от «___»__________2013г. «___» _______________2013г
Подготовил преподаватель
Аржакова В.В.
«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным» Паскаль
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у студентов интерес к изучаемой дисциплине. Ведь не секрет, что многие обучающиеся пасуют перед трудностями, а иногда и не хотят приложить определённых усилий для приобретения знаний. Студенты, поступающие в техникум, как правило, имеют слабую подготовку и полное отсутствие интереса к предмету. Поэтому добиться прочных знаний по математике крайне проблематично.
Тема урока: Применение производной к построению графиков функций
Цели урока:
1) образовательная : знакомство студентов с общей схемой исследования функции методом построения графика четной и нечетной функции, обучение проведению исследования и построению графика;
2) воспитательная : воспитание требовательного отношения к себе при самостоятельном изучении нового материала;
3) развивающая : развитие наблюдательности, умения рассуждать и аргументировать свои действия.
Оборудование: записи на доске, карточки, сигнальные карточки (зеленая-красная), компьютер, мультимедиапроектор.
Тип урока: урок - теоретическое и практическое исследование.
Ход урока
I. Организационный момент Сообщение темы и целей урока . Озвучивая тему урока преподаватель отмечает, что необходимо использовать знания, полученные ранее: таблицу производных, правила дифференцирования, а также темы «Возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции», для того, чтобы показать связь изучаемой темы с другими темами программы, различными сферами практической деятельности.
П. Проверка домашнего задания
(Выполняется устно.)
Назовите промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции.
При оценивании ответов обучающихся учитываются их индивидуальные особенности и потенциал каждого обучающегося. Задания дифференцированы, для того чтобы обучающиеся почувствовали свой успех.
III. Актуализация опорных знаний
На начальном этапе создаются условия для дальнейшей эффективной работы на уроке: организация рабочего пространства, привлечение внимания обучающихся к предстоящей учебной деятельности, учебному предмету.
Цели и задачи опроса носят обучающий характер, они соответствуют предметному материалу, излагаемому преподавателем.
Задание 1.
Тест.
(Задания выполняются по вариантам с последующей взаимопроверкой на компьютере.)
По изображенному графику установите соответствие между каждым интервалом (А-Е) и характером поведения функции на этом интервале.
Вариант I
Интервалы: А = (-3;0); В = (-2;0); С = (-2;2); D = (0;3); Е = (1;3).
Поведение: 1) убывает; 2)возрастает 3) имеет минимум; 4) имеет максимум.
Ответы : А2, В2, С4, D1, Е1.
Вариант II
Интервалы: А = (-3;-1); B=(l; 3); C=(-l; l); Д=(0;2); Е = (-2;0).
Поведение: 1) убывает; 2) возрастает; 3) имеет минимум; 4) имеет максимум.
Ответы: А2, В3, С4, D1, Е2.
Обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа по компьютеру. Поднимите зеленую карточку, у кого нет ошибок. Поднимите красную карточку, у кого ошибка.
IV. Работа с учебником
Самостоятельное изучение нового материала по плану, записанному на доске.
План:
- Прочитать текст параграфа «Применение производной к построению графиков функций». Дать возможность обучающимся самостоятельно ставить и решать задачи в рамках изучаемой темы.
- Записать в тетрадь схему исследования функции.
- Записать с преподавателем образец решения заданий 2 и 3. Преподаватель строит работу таким образом, чтобы получить информацию об уровне усвоения учебного материала различными обучающимися.
- Рассмотреть метод построения графика четной (нечетной)
функции на примере одной из задач учебника.
Образцы решений.
Задание 2. Постройте график функции у= (х) = х 3 - 2х 2 + х.
Решение.
1. Область определения D(f) = R.
(Зх-1) (х-1) = 0
Х 1 = 1, X 2 = 1/3
4. Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков.
Функция возрастает на промежутках: (-∞, 1/3) и (1,+ ∞), так как f"(x )
Так как f"(x )
5. При переходе через точку х = - знак производной меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума. При переходе через точку х = 1 знак производной меняется с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значения в экстремумах равны:
f (1/3)= (1/3) 3 -2 (1/3) 2 + 1/3= 4/27;
f (1)= 1-2 +1=0
Составим таблицу по результатам исследования
(-∞, 1/3) | (1/3, 1), | (1,+ ∞), |
|||
f"(x) | |||||
f(х) | 4/27 | ↓ |
7. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью
Ох:
х
3
-2х
2
+ х = 0,
Х (х 2 -2х + 1) =0,
Х (х -1) 2 =0,
х = 0 или х = 1.
8. Построим график функции.
Задание 3 . Постройте график функции f(х) = 1- 5/2 х 2 -х 5 .
Решение.
- Область определения D(f) =R.
- Найдем производную f"(x = -5х - 5х 4 = -5 х (1 +х 3 ).
- Найдем критические точки, решив уравнение f"(x) = 0. -5х(1 + х 3 ) = 0, следовательно,
Х 1 =0, х 2 = -1.
4.Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков:
Для производной
f"(x
=-5х (1+х
3
) имеем 3 интервала знак постоянства:
(- ∞ ;-1); (-1;0); (0;+ ∞ ).
f"(x)>0 на промежутке (-1; 0), значит, функция возрастает на этом промежутке.
Аналогично f"(x) 0 на промежутках (- ∞ ;-1) и (0; + ∞ ), значит, функция на них убывает.
5. При переходе через точку х = -1 производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. Значения в экстремумах равны:
f(-1)=-0,5 f(0)=1
5.Творческое задание
Задачи, выделенные преподавателем, конкретизируют цель, представляя собой промежуточный результат, способствующий достижению основной цели урока.
Материал представлен в доступной обучающимся форме в соответствии с дидактическими принципами.
Задание 4.
Завершите эскиз графика функции, зная, что у = f(x) - четная функция,
Ответ:
Ответ:
Задание 6.
Закончите фразу.
1) График четной функции симметричен относительно... (оси Оу).
2) График нечетной функции симметричен относительно...
(нача-
ла координат
(0; 0)).
VI. Закрепление изученного материала
Задачи способствуют развитию познавательных способностей обучающихся.
Задание 7. Постройте график функции.
(Работа над заданиям под пунктами а) и б) ведется на доске по очереди;
В) - самостоятельно с самопроверкой по компьютеру (См. Приложение.)
а) у = 6х 4 -4х 6 ;
б) у= 1/10х 5 -5/6х 3 + 2х
в) у = -х 3 + 4х 2 - 4х;
Задание 8. Постройте график функции.
Работа в группах по 4 человека. Один из учащихся каждой группы решает на обратной стороне доски. Группы решают примеры по очереди, консультируясь друг с другом в группе.(См. приложение.)
а) у = 2 + 5х 3 -Зх 5 ;
б) у = 4х 5 -5х 4 ;
в) у = Зх 5 -5х 3 .
VII. Подведение итогов урока
По какой схеме проводится исследование свойств функции?
Ответ:
Надо найти:
- Область определения функции (D(f) = R a ).
- Производную (f"(x)).
- Стационарные точки (f"(x = 0)
- Промежутки возрастания и убывания (методом интервалов).
- Точки экстремума и значение функции в этих точках.
- а) Точки пересечения с осью Ох (если возможно);
Б) несколько дополнительных точек графика (для более точного построения).
А сейчас проведем аукцион понимания графиков.
Задание 9. Назовите как можно больше свойств функции, график которой изображен.
(На экран по очереди проецируются графики функций на компьютере. Студенты дают ответы. Каждый правильный ответ оценивается 1 баллом, а самый последний - 3 баллами. Студенты, набравшие наибольшее количество баллов, получают оценку «5».)
Свойства:
- убывает;
- возрастает;
- точки минимума;
- точки максимума;
- точки перегиба;
- четность (нечетность);
- область определения;
- область значений;
- точки пересечения с Ох;
- точки пересечения с Оу;
- симметричность графика функции;
- функция принимает положительные значения;
- функция принимает отрицательные значения;
- наибольшее значение функции;
- наименьшее значение функции.
Домашнее задание
Задание 10.
Построить график функции:
A)у= = 3х +1/3х
б) у = хе х ;
в) у = 2 + Зх - х 3 .
Приложение
Решения Задание 7.
а) Решение.
1. D(f) = R.
2.
Функция
у(-х) =
6(-х)
4
-4(-х)
6
=
6х
4
-4х
6
= у(х)
четная, гра-
фик симметричен относительно
Оу.
Исследуем на (0; +∞),
3. Находим производную у" =24х 3 -24х 5 .
4.Находим критические точки:
у"
= 0, 24х
3
(1
–х
2
) =
0, х
1
= 0,
х
2,3
=±1.
5. Промежутки возрастания и убывания.
(0; 1) | (l;+ ∞ ) |
|||
f"(x | ||||
f(x) | ||||
Экстремум |
График
б) Решение.
- D(ƒ)= R.
- Функция у(-х) = 1/10(-х) 5 – 5/6(-х") + 2(-х) = -1/10х 5 + 5/6х 3 -
2х = -у(х) нечетная, график симметричен относительно начала координат. Исследуем на (0; + ∞ ).
- Находим производную f"(x) = ½ х 4 -5/2х 2 +2.
- Находим критические точки: f"(x = 0, х 4 -5х 2 + 4 = = (х 2 - 4)(х 2 - I) = (х - 2)(х + 2)(х - 1)(х +1) = 0,
Х 1= +2, х 2=-2, х 3 =+1, х 4 =-1
(0; 1) | (1;2) | (2; ∞ +) |
||||
f"(x) | ||||||
f(x) | 19/ 15 | |||||
Экстремум |
График
В)Решение
- Находим производную у" = -Зх 2 +8х-4.
- Находим критические точки: у" = 0, -Зх 2 + 8х - 4 =
= -(Зх-2)(х-2) = 0, х 1 =2, х 2 =2/3.
5. Знаки производной.
6. Промежутки возрастания и убывания .
(- ∞,2/3) | 2/ 3 | (2/3, 2) | (2; + ∞ ) |
||
f"(x) | |||||
f(x) | 32 27 | ||||
Экстремум |
Задание 8.
а) Решение.
5.Промежутки возрастания и убывания.
(- ∞ -1) | (1;0) | (0;1) | (1; + ∞ ) |
||||
Математический диктант Вариант 1. 1.(Cu)=… 2.…=(uv-vu)/v² 3.(cos x)=… 4.…=1/cos² x 5.(e x)=… Вариант 2. 1.C=… 2.…=(uv+vu) 3.(sin x)=… 4.…=-1/sin² x 5.(x n)=… Вариант 1. 1.(Cu)=Cu 2.(u/v)=(uv-vu)/v² 3.(cos x)=-sin x 4. tg x=1/cos² x 5.(e x)=e x Вариант 2. 1.C=0 2.(uv)=(uv+vu) 3.(sin x)=cos x 4. ctg x=-1/sin² x 5.(x n)=n*x n-1
1. Находим область определения функции f(x). 2. Вычисляем производную f(x) данной функции. 3. Находим точки, в которых f(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x). 4. Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности. 5. Исследуем знак f(x) на каждом интервале. Если f(x)0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f(x)0, то на таком интервале функция f(x) убывает. Правило нахождения интервалов монотонности
1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную: y=6x²-6x Находим критические точки: y=0. x²-x-6=0 Д=1-4*(-6)*1=1+24=25 4. Делим область определения на интервалы: 5. Функция возрастает при xϵ(-;-2]υ. Пример 1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x
1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную: y=3x²-6x. 3. Находим критические точки: y=0. x²-2x=0 x(x-2)=0 x1=0 и x2=2 4. Делим область определения на интервалы: 5. Функция возрастает при xϵ(-;0]υ. Пример 2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²
Точку x=x 0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)f(x 0). Точку x=x 0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)f(x 0).
Если производная f(x) при переходе через точку x 0 меняет знак, то точка x 0 является точкой экстремума функции f(x). Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума Теорема 4.
1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную: y=-6x²-6x Находим критические точки: y=0. -x²-x+2=0 Д=1-4*(-1)*2=1+8=9 x 1 =1; x 2 =-2 4. Делим область определения на интервалы: 5.x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: y max =3. Пример 3. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x
Работа на уроке: Исследовать на экстремум функцию y=x Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 2 +2)=2x. 3. Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =
Исследовать на экстремум функцию y=1/3x 3 -2x 2 +3x+1. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(1/3x 3 -2x 2 +3x+1)=x 2 -4x Приравниваем её к нулю: x 2 -4x+3=0, откуда x 1 =1, x 2 =3 – критические точки. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции y max =7/3. x=3 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =
Исследовать на экстремум функцию y=x 3 +3x 2 +9x-6. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 3 +3x 2 +9x-6)=3x 2 +6x Приравниваем её к нулю: 3x 2 +6x+9=0, откуда D 0:
Исследовать на экстремум функцию y=x 2 -x-6. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 2 -x-6)=2x Приравниваем её к нулю: 2x-1=0, откуда x=1/2 – критическая точка. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =-6, /2
Тема: «Применение производной к построению графиков функции»
Цели урока:
1) образовательная : знакомство студентов с общей схемой исследования функции методом построения графика четной и нечетной функции, обучение проведению исследования и построению графика;
2) воспитательная : воспитание требовательного отношения к себе при самостоятельном изучении нового материала;
3) развивающая : развитие наблюдательности, умения рассуждать и аргументировать свои действия.
Оборудование: записи на доске, карточки, сигнальные карточки (зеленая-красная), компьютер, мультимедиапроектор, таблица производных, правила дифференцирования.
Тип урока: урок - теоретическое и практическое исследование.
Ход урока
I. Организационный момент
Настрой к уроку. Музыка – «Зимнее утро», приветствие гостей (слайд 2-4) .
Сообщение темы и целей урока (слайд 5) .
Разбор значения слов Анатоль Франс: «Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». (слайд 6)
Новая тема (слайд 7)
Зарядка для памяти (слайд 8,9,10)
П. Проверка домашнего задания
При изучении нового материала необходимы знания, полученные ранее: «Возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции», «Формулы производных». (Выполняется устно.)
Назовите промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции. (Слайд 11,12)
Работа по графикам (слайд 13-14)
(Задания выполняются по вариантам с последующей взаимопроверкой на компьютере.)
По изображенному графику установите соответствие между каждым интервалом (А-Е) и характером поведения функции на этом интервале.
Обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа по компьютеру. Поднимите руки, те у кого нет ошибок. Поднимите теперь те у кого ошибки.
III. Актуализация опорных знаний
На начальном этапе создаются условия для дальнейшей эффективной работы на уроке: организация рабочего пространства, привлечение внимания обучающихся к предстоящей учебной деятельности, учебному предмету.
Игра «Карусель» (для проверки темы «Производные»).
IV. Работа с учебником (стр 145 - 154 - высветить на экран)
Самостоятельное изучение нового материала по плану, записанному на доске.
Записать в тетрадь схему исследования функции.
Записать с преподавателем образец решения заданий 2 и 3. Преподаватель строит работу таким образом, чтобы получить информацию об уровне усвоения учебного материала различными обучающимися.
Рассмотреть метод построения графика четной (нечетной)
функции на примере одной из задач учебника.
Образцы решений.
Задание 2. Постройте график функции у= (х) = х 3 - 2х 2 + х.
1. Область определения D (f ) = R .
Найдем производную f
"(x
) =
(х 3 - 2х
2
+
х)"
=
3х
2
-
4х
+1.
f "(x ) = 0. 3х 2 - 4х + 1 = 0,
(3х-1) (х-1) = 0
х 1 =1, х 2 = 1/3
4. Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков.
Функция возрастает на промежутках: (-∞, 1/3) и (1,+ ∞), так как f
"(x
)
Так как f "(x ) на промежутке (1/3, 1), значит, функция убывает на этом промежутке.
5. При переходе через точку х = - знак производной меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума. При переходе через точку х = 1 знак производной меняется с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значения в экстремумах равны:
f (1/3)= (1/3) 3 -2 (1/3) 2 + 1/3= 4/27;
Составим таблицу по результатам исследования
| f "(x ) | |||||
| f (х) |
7. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью Ох:
х 3 -2х 2 + х = 0, х (х 2 -2х + 1) =0,
х (х -1) 2 =0, х = 0 или х = 1.
8. Построим график функции.
Физминутка
Работа по учебнику
Задание 3. Постройте график функции f (х) = 1- 5/2 х 2 -х 5 .
Решение.
Область определения D (f ) = R .
Найдем производную f "(x = -5х - 5х 4 = -5 х (1 +х 3).
Найдем критические точки, решив уравнение f "(x ) = 0. -5х(1 + х 3) = 0, следовательно,
Х 1 =0, х 2 = -1.
4.Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков:
для производной
f
"(x
=-5х (1+х 3) имеем 3 интервала знак постоянства:
(-∞;-1); (-1;0); (0;+ ∞).
f "( x )0 на промежутке (-1; 0), значит, функция возрастает на этом промежутке.
Аналогично f "( x ) 0 на промежутках (-∞;-1) и (0; +∞), значит, функция на них убывает.
5. При переходе через точку х = -1 производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. Значения в экстремумах равны:
f
(-1)=-0,5
f
(0)=1
5.Творческое задание
Задачи, выделенные преподавателем, конкретизируют цель, представляя собой промежуточный результат, способствующий достижению основной цели урока.
Материал представлен в доступной обучающимся форме в соответствии с дидактическими принципами.
Задание 4.
Завершите эскиз графика функции, зная, что у = f (x ) - четная функция,
Ответ:
Ответ:
VI. Закрепление изученного материала
Задачи способствуют развитию познавательных способностей обучающихся.
Задание 8. Постройте график функции.
Работа в группах по 4 человека. Один из учащихся каждой группы решает на обратной стороне доски. Группы решают примеры по очереди, консультируясь друг с другом в группе.(См. приложение.)
а) у = 2 + 5х 3 -Зх 5 ;
б) у = 4х 5 -5х 4 ;
в) у = Зх 5 -5х 3 .
VII. Подведение итогов урока
По какой схеме проводится исследование свойств функции?
Ответ:
Надо найти:
Область определения функции ( D ( f ) = R a ).
Производную (f"(x)).
Стационарные точки (f"(x = 0)
Промежутки возрастания и убывания (методом интервалов).
Точки экстремума и значение функции в этих точках.
а) Точки пересечения с осью Ох (если возможно);
б) несколько дополнительных точек графика (для более точного построения).
А сейчас проведем аукцион понимания графиков.
Дома. Закончить задания
Построить график функции:
a)у= 3х +1/3х б) у = 2 + 3 х - х 3 .
Задание 9. Назовите как можно больше свойств функции, график которой изображен.
(На экран по очереди проецируются графики функций на компьютере. Студенты дают ответы. Каждый правильный ответ оценивается 1 баллом, а самый последний - 3 баллами. Студенты, набравшие наибольшее количество баллов, получают оценку «5».)
Свойства:
возрастает;
точки минимума;
точки максимума;
точки перегиба;
четность (нечетность);
область определения;
область значений;
точки пересечения с Ох;
точки пересечения с Оу;
симметричность графика функции;
функция принимает положительные значения;
функция принимает отрицательные значения;
наибольшее значение функции;
наименьшее значение функции.
Домашнее задание
Задание 10.
Построить график функции:
a)у= = 3х +1/3х
б) у = хе х ;
в) у = 2 + Зх - х 3 .
Приложение
Решения Задание 7.
а) Решение.
1.D ( f ) = R .
2.
Функция у(-х)
=
6(-х) 4 -4(-х) 6 = 6х
4
-4х
6
=
у(х)
четная, гра-
фик симметричен относительно Оу.
Исследуем на (0; +∞),
3. Находим производную у" =24х 3 -24х 5 .
4.Находим критические точки: у"
= 0, 24х 3 (1 –х
2
)
=
0, х 1 = 0,
х 2,3 =±1.
| f"(x | ||||
| f (x ) | ||||
| Экстремум |
График
б) Решение.
Функция у(-х) = 1/10(-х) 5 – 5/6(-х") + 2(-х) = -1/10х 5 + 5/6х 3 -
2х = -у(х) нечетная, график симметричен относительно начала координат. Исследуем на (0; + ∞).
Находим производную f "( x ) = ½ х 4 -5/2х 2 +2.
Находим критические точки: f "( x = 0, х 4 -5х 2 + 4 = = (х 2 - 4)(х 2 - I) = (х - 2)(х + 2)(х - 1)(х +1) = 0,
Х 1= +2, х 2=-2, х 3 =+1, х 4 =-1
| (2; ∞+) |
||||||
| f "( x ) | ||||||
| f (x ) | ||||||
| Экстремум |
График
В)Решение
Находим производную у" = -Зх 2 +8х-4.
Находим критические точки: у" = 0, -Зх 2 + 8х - 4 =
= -(Зх-2)(х-2) = 0, х 1 =2, х 2 =2/3.
5. Знаки производной.
6. Промежутки возрастания и убывания.
| (2; + ∞) |
|||||
| f "( x ) | |||||
| f (x ) | |||||
| Экстремум |
.
Задание 8.
а) Решение.
5.Промежутки возрастания и убывания.
| (-∞-1) | (1 ;0) | (1; + ∞) |
|||||
| У" | |||||||
| У | |||||||
| Точка перегиба | |||||||
б) Решение.
D (y) = R.
Находим производную у" = 20х 4 -20х 3 .
Находим критические точки: у" = 0, 20х 3 (х-1) = 0,
4. Знаки производной.
5. Промежутки возрастания и убывания.
в) Решение.
D (y) = R.
2. Функция у(-х) = 3(-х) 5 -5(-х) 3 = -Зх 5 +5х 3 = -(Зх 5 -5х 3) не-
четная, график функции симметричен относительно начала коор-
динат. Исследуем функцию на (0; +оо).
3. Находим производную у" = 15х 4 - 15х 2 = 15х 2 (х 2 -1).
Находим критические точки: у" = 0, 15х 2 (х 2 -1) = 0, х, =0, х 2,3 =±1.
Знаки производной.
______________________________________________
6. Промежутки возрастания и убывания.
| у" | ||||
| У | ||||
| Точка перегиба |
Достаточное условие возрастания функции
Если в каждой точке интервала (a, b) f"(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале.
Достаточное условие убывания функции.
Если в каждой точке интервала (a, b) f"(x)
Определение:
x 0 называется критической точкой функции f(x), если
1) x 0 – внутренняя точка области определения f(x) ;
2) f"(x 0)=0 или f"(x 0) не существует.
Необходимое условие экстремума:
Если x 0 – точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.
Достаточное условие экстремума:
Если при переходе через точку x 0 производная функции меняет знак, то x 0 – точка экстремума функции f(x).
Примеры экстремумов:
Схема исследования функции.
- Найти область определения функции.
- Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.
- Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.
- Найти производную функции и ее критические точки.
- Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
- Построить график функции, используя полученные результаты исследования.
Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке .
- Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b) ;
- Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b) ;
- Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Задачи и тесты по теме "Применение производной к исследованию функций"
- Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы - Производная 10 класс
Уроков: 3 Заданий: 10 Тестов: 1
- Производная и первообразная
Заданий: 3
- Определение производной - Производная 10 класс
Уроков: 4 Заданий: 9 Тестов: 1
- Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин - Производная 10 класс
Уроков: 2 Заданий: 9 Тестов: 1
- Наибольшее и наименьшее значение функций - Подготовка к ЕГЭ по математике ЕГЭ по математике
Заданий: 5
Проработав данную тему, Вы должны научиться применять производную для исследования функций на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах. Обратите внимание, что решение всегда начинается с нахождения области определения исследуемой функции.
Примеры.
1. Найти промежутки убывания и возрастания функции
Решение:
4)
(для определения знаков производной использовали метод интервалов)
Ответ: при функция убывает, при функция возрастает.
2. Исследовать функцию f(x)=x 3 -3x 2 +4 с помощью производной и построить ее график.
Решение:
4)
x=0 – точка максимума, x=2 – точка минимума.
5) f(0)=4; f(2)=0
Используя результаты исследования, строим график функции: f(x)=x 3 -3x 2 +4
