Программа построения сечений онлайн. Построения сечений многогранников
Практическое занятие: «Параллелепипед. Построение сечений параллелепипеда ».
1. Цель практической работы : . Закрепить знания теоретического материала о многогранниках, навыки решения задач на построение сечений, умения анализировать чертеж.
2.Дидактическое оснащение практической работы : АРМ, модели и развёртки многогранников, измерительные инструменты, ножницы, клей, плотная бумага.
Время:2 часа
Задания к работе:
Задание 1
Построить сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P, лежащие, на прямых, соответственно, A 1 B 1, А D , DC
Образец и последовательность решения задачи:
1.Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.
2.Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.
3.Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА 1 в некоторой точке Х.
4.Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА 1 D 1 D, соединим их и получим прямую XN.
5.Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A 1 B 1 C 1 D 1 , параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В 1 С 1 в точке Y.
6.Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.
Задание 2
Вариант1. Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, заданной следующими точками M , N и P
1 Уровень: Все три точки лежит на рёбрах, выходящих из вершиныА
2 Уровень. M лежит в грани AA1D1D, N лежит в грани АА1В1В, P лежит в грани СС1D1D.
3 Уровень. M лежит на диагонали B1D, N лежит на диагонали АС1, P лежит на ребре С1D1.
Вариант2. Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, проходящей через прямую DQ, где точка Q лежит на ребре СС1 и точку Р, заданную следующим образом
1 Уровень: Все три точки лежит на рёбрах, выходящих из вершиныС
2 Уровень: М лежит на продолжении ребра А1В1, причем точка А1 находится между точками В1 и Р.
3 Уровень: Р лежит на диагонали В1D
Порядок выполнения работы:
1.Изучите теоретический материал по темам:
Параллелепипед.
Прямой параллелепипед.
Наклонный параллелепипед.
Противолежащие грани параллелепипеда.
Свойства диагоналей параллелепипеда.
П онятие секущей плоскости и правила её построения.
Какие виды многоугольников получаются в сечении куба и параллелепипеда.
2. Постройте параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
3.Разберите решение задачи № 1
4.Последовательно постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R задачи № 1.
5.Постройте ещё три параллелепипеда и выделите на них сечения к задачам 1, 2, и 3 уровней
Критерии оценивания :
Литература: Атанасян Л.С. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 2010г Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. - М.: Просвещение, 2010. В. Н. ЛитвиненкоЗадачи на развитие пространственных представлений. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 2010г
Дидактический материал к заданию практического занятия
К задаче № 1:
Некоторые возможные сечения:
Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через данные точки
А вы знаете, что называется сечением многогранников плоскостью? Если вы пока сомневаетесь в правильности своего ответа на этот вопрос, то можете довольно просто себя проверить. Предлагаем пройти небольшой тест, представленный ниже.
Вопрос. Назовите номер рисунка, на котором изображено сечение параллелепипеда плоскостью?
Итак, правильный ответ – на рисунке 3.
Если вы ответите правильно, это подтверждает то, что вы понимаете, с чем имеете дело. Но, к сожалению, даже правильный ответ на вопрос-тест не гарантирует вам наивысших отметок на уроках по теме «Сечения многогранников». Ведь самым сложным является не распознавание сечений на готовых чертежах, хотя это тоже очень важно, а их построении.
Для начала сформулируем определение сечения многогранника. Итак, сечением многогранника называют многоугольник, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны – на его гранях.
Теперь потренируемся быстро и безошибочно строить точки пересечения 
данной прямой с заданной плоскостью. Для этого решим следующую задачу.
Построить точки пересечения прямой MN с плоскостями нижнего и верхнего оснований треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , при условии, что точка M принадлежит боковому ребру CC 1 , а точка N – ребру BB 1 .
Начнем с того, что продлим на чертеже прямую MN в обе стороны (рис. 1). Затем, чтобы получить необходимые по уловию задачи точки пересечения, продлеваем и прямые, лежащие в верхнем и нижнем основаниях. И вот наступает самый сложный момент в решении задачи: какие именно прямые в обоих основаниях необходимо продлить, так как в каждом из них имеется по три прямые.
Чтобы правильно сделать заключительный шаг построения, необходимо определить, какие из прямых оснований находятся в той же плоскости, что и интересующая нас прямая MN. В нашем случае – это прямая CB в нижнем и C 1 B 1 в верхнем основаниях. И именно их и продлеваем до пересечения с прямой NM (рис. 2).
Полученные точки P и P 1 и есть точки пересечения прямой MN с плоскостями верхнего и нижнего оснований треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 .
После разбора представленной задачи можно перейти непосредственно к построению сечений многогранников. Ключевым моментом здесь будут рассуждения, которые и помогут прийти к нужному результату. В итоге постараемся в итоге составить шаблон, который будет отражать последовательность действий при решении задач данного типа.
Итак, рассмотрим следующую задачу. Построить сечение треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, проходящей через точки X, Y, Z, принадлежащие ребрам AA 1 , AC и BB 1 соответственно.
Решение: Выполним чертеж и определим, какие пары точек лежат в одной плоскости.
Пары точек X и Y, X и Z можно соединить, т.к. они лежат в одной плоскости.
Построим дополнительную точку, которая будет лежать в той же грани, что и точка Z. Для этого продлим прямые XY и СС 1 , т.к. они лежат в плоскости грани AA 1 C 1 C. Назовем полученную точку P.
Точки P и Z лежат в одной плоскости – в плоскости грани CC 1 B 1 B. Поэтому можем их соединить. Прямая PZ пересекает ребро CB в некоторой точке, назовем ее T. Точки Y и T лежат в нижней плоскости призмы, соединяем их. Таким образом, образовался четырехугольник YXZT, а это и есть искомое сечение. 
Подведем итог. Чтобы построить сечение многогранника плоскостью, необходимо:
1) провести прямые через пары точек, лежащих в одной плоскости.
2) найти прямые, по которым пересекаются плоскости сечения и грани многогранника. Для этого нужно найти точки пересечения прямой, принадлежащей плоскости сечения, с прямой, лежащей в одной из граней.
Процесс построения сечений многогранников сложен тем, что в каждом конкретном случае он различен. И никакая теория не описывает его от начала и до конца. На самом деле есть только один верный способ научиться быстро и безошибочно строить сечения любых многогранников – это постоянная практика. Чем больше сечений вы построите, тем легче в дальнейшем вам будет это делать.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Преподаватель математики Щелковского филиала ГБПОУ МО "Красногорский колледж" Артемьев Василий Ильич.
Изучение темы «Решение задач на построение сечений» начинается в 10 классе или на первом курсе учреждений НПО. В случае, если кабинет математики оснащен средствами мультимедиа, то решение проблемы изучения облегчается с помощью различных программ. Одной из таких программ является программное обеспечение динамической математики GeoGebra 4.0.12. Она подходит для изучения и обучения на любом из этапов образования, облегчает создание математических построений и моделей обучающимися, которые позволяют проводить интерактивные исследования при перемещении объектов и изменение параметров.
Рассмотрим применение этого программного продукта на конкретном примере.
Задача. Построить сечение пирамиды плоскостью PQR, если точка P лежит на прямой SA, точка Q лежит на прямой SB, точка R лежит на прямой SC.
Решение. Рассмотрим два случая. Случай 1. Пусть точка P принадлежит ребру SA.
1. Отметим с помощью инструмента «Точка» произвольные точки A, B, C, D. Щелкнем правой клавишей на точку D, выберем «Переименовать». Переименуем D на S и установим положение этой точки, как показано на рисунке 1.
2. С помощью инструмента «Отрезок по двум точкам» построим отрезки SA, SB, SC, AB, AC, BC.
3. Щелкнем правой клавишей мыши по отрезку AB и выбираем «Свойства» - «Стиль». Устанавливаем пунктирную линию.
4. Отметим на отрезках SA, SB, CS точки P, Q, R.
5. Инструментом «Прямая по двум точкам» построим прямую PQ.
6. Рассмотрим прямую PQ и точку R. Вопрос учащимся: Сколько плоскостей проходит через прямую PQ и точку R? Ответ обоснуйте. (Ответ. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна).
7. Строим прямые PR и QR.
8. Выбираем инструмент «Многоугольник» и по очереди щелкнем по точкам PQRP.
9. Инструментом « Перемещать» меняем положение точек и наблюдаем за изменениями сечения.
Рисунок 1.
10. Щелкнем по многоугольнику правой клавишей и выбираем «Свойства» - «Цвет». Заливаем многоугольник каким-нибудь нежным цветом.
11. На панели объектов щелкнем по маркерам и скроем прямые.
12. В качестве дополнительного задания можно измерить площадь сечения.
Для этого выберем инструмент «Площадь» и щелкнем левой клавишей мыши по многоугольнику.
Случай 2. Точка P лежит на прямой SA. Для рассмотрения решения задачи для этого случая можно пользоваться чертежом прежней задачи. Скроем лишь многоугольник и точку Р.
1. Инструментом «Прямая по двум точкам» построим прямую SA.
2. Отметим на прямой SA точку P1, как показано на рисунке 2.
3. Проведем прямую P1Q.
4. Выбираем инструмент «Пересечение двух объектов» , и щелкнем левой клавишей мыши по прямым АВ и P1Q. Найдем точку их пересечения К.
5. Проведем прямую P1R. Найдем точку пересечения М этой прямой с прямой АС.
Вопрос учащимся: сколько плоскостей можно провести через прямые P1Q и P1R? Ответ обоснуйте. (Ответ. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна).
6. Проведем прямые КМ и QR. Вопрос учащимся. Каким плоскостям одновременно принадлежат точки К, М? Пересечением каких плоскостей является прямая КМ?
7. Построим многоугольник QRKMQ. Зальем нежным цветом и скроем вспомогательные прямые.
Рисунок 2.
С помощью инструмента «Перемещение» двигаем точку вдоль прямой AS.Рассматриваем различные положения плоскости сечения.
Задания для построения сечений:
1. Построить сечение, определяемое параллельными прямыми АА1 и СС1. Сколько плоскостей проходит через параллельные прямые?
2. Построить сечение проходящее через пересекающиеся прямые. Сколько плоскостей проходит через пересекающиеся прямые?
3. Построение сечений с использованием свойств параллельных плоскостей:
а) Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и прямую АС.
б) Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1.
в) Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельно плоскости основаниям пирамиды.
4. Построение сечений методом следов:
а) Дана пирамида SABCD. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.
5) Проведем прямую QF и найдем точку Н пересечения с ребром SB.
6) Проведем прямые HR и PG.
7) Выделим инструментом «Многоугольник» полученное сечение и изменим цвет заливки.
б) Самостоятельно постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, K и M. Список источников.
1. Электронный ресурс http://www.geogebra.com/indexcf.php
2. Электронный ресурс http://geogebra.ru/www/index.php (Сайт Сибирского института GeoGebra)
3. Электронный ресурс http://cdn.scipeople.com/materials/16093/projective_geometry_geogebra.PDF
4. Электронный ресурс. http://nesmel.jimdo.com/geogebra-rus/
5. Электронный ресурс http://forum.sosna24k.ru/viewforum.php?f=35&sid=(Форум GeoGebra для учителей и школьников).
6. Электронный ресурс www.geogebratube.org (Интерактивные материалы по работе с программой)
Как известно, любой экзамен по математике содержит в качестве основной части решение задач. Умение решать задачи – основной показатель уровня математического развития.
Достаточно часто на школьных экзаменах, а так же на экзаменах, проводимых в ВУЗах и техникумах, встречаются случаи, когда ученики, показывающие хорошие результаты в области теории, знающие все необходимые определения и теоремы, запутываются при решении весьма простых задач.
За годы обучения в школе каждый ученик решает большое число задач, но при этом для всех учеников задачи предлагаются одни и те же. И если некоторые ученики усваивают общие правила и методы решения задач, то другие, встретившись с задачей незнакомого вида, даже не знают, как к ней подступиться.
Одной из причин такого положения является то, что если одни ученики вникают в ход решения задачи и стараются осознать и понять общие приёмы и методы их решения, то другие не задумываются над этим, стараются как можно быстрее решить предложенные задачи.
Многие учащиеся не анализируют решаемые задачи, не выделяют для себя общие приёмы и способы решения. В таких случаях задачи решаются только ради получения нужного ответа.
Так, например, многие учащиеся даже не знают, в чём суть решения задач на построение. А ведь задачи на построение являются обязательными задачами в курсе стереометрии. Эти задачи не только красивы и оригинальны в методах своего решения, но и имеют большую практическую ценность.
Благодаря задачам на построение развивается способность мысленно представлять себе ту или иную геометрическую фигуру, развивается пространственное мышление, логическое мышление, а так же геометрическая интуиция. Задачи на построение развивают навыки решения проблем практического характера.
Задачи на построения не являются простыми, так как единого правила или алгоритма для их решения не существует. Каждая новая задача уникальна и требует индивидуального подхода к решению.
Процесс решения любой задачи на построение – это последовательность некоторых промежуточных построений, приводящих к цели.
Построение сечений многогранников базируется на следующих аксиомах:
1) Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в данной плоскости;
2) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Теорема: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то прямые пересечения параллельны.
Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С. Рассмотрим следующие примеры.
Метод следов
I. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости одного из оснований призмы и точку А.
Случай 1.
Точка А принадлежит другому основанию призмы (или грани, параллельной прямой g) – секущая плоскость пересекает это основание (грань) по отрезку ВС, параллельному следу g.
Случай 2.
Точка А принадлежит боковой грани призмы:
Отрезок ВС прямой AD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.
Случай 3.
Построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую g в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер.
II. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости основания пирамиды и точку А.
Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.
Случай 1.
Если точка А принадлежит грани, параллельной прямой g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, параллельному следу g.
Случай 2.
Если точка А, принадлежащая сечению, расположена на грани, не параллельной грани следу g, то:
1) строится точка D, в которой плоскость грани пересекает данный след g;
2) проводится прямая через точки А и D.
Отрезок ВС прямой АD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.
Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с секущей плоскостью. И т. д.
Случай 3.
Построение сечения четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из боковых ребер.
Задачи на построение сечений через точку на грани
1. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью, проходящей через вершину С и точки М и N на гранях АСD и АВС соответственно.
Точки С и М лежат на грани АСD, значит, и прямая СМ лежит в плоскости этой грани (рис. 1).
Пусть Р – точка пересечения прямых СМ и АD. Аналогично, точки С и N лежат в грани АСВ, значит прямая СN лежит в плоскости этой грани. Пусть Q – точка пересечения прямых СN и АВ. Точки Р и Q принадлежат и плоскости сечения, и грани АВD. Поэтому отрезок РQ – сторона сечения. Итак, треугольник СРQ – искомое сечение.
2. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью MPN, где точки M, N, P лежат соответственно на ребре АD, в грани ВСD и в грани АВС, причем MN не параллельно плоскости грани АВС (рис. 2) .
Остались вопросы? Не знаете, как построить сечение многогранника?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Существует 2 основных метода построения сечений многогранников:
Аксиоматический метод построения сечений
1. Метод следов
Пример 1.
На ребрах АА" и В"С" призмы АВСА"В"С" зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в одной из следующих граней:
а) ВССВ"С";
б) А"В"С";
в) АВС
Решение.
а) 1) Так как точки Q и R лежат в плоскости (ВСС"), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскость(ВСС"). (рис.1)
2) Находим точки В"" и С", в которых прямая QR пересекает соответственно прямые ВВ" и СС". Точки В" и С" - это следы плоскости (PQR) соответственно на прямых ВВ" и СС".
3) Так как точки В"" и Р лежат в плоскости (АВВ"), то прямая В""Р лежит в этой плоскости. Проведем ее. Отрезок В**Р - след плоскости (PQR) на грани АВВ"А".
4) Так как точки Р и С лежат в плоскости (АСС"), то прямая РС"" лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС").
5) Находим точку V, в которой прямая РС"" пересекает ребро А"С". Это след плоскости (PQR) на ребре А"С".
6) Тачка как точки Q и V лежат в плоскости (А"В"С"), то прямая QV лежит в этой плоскости. Проведем прямую QV. Отрезок QV - след плоскости (PQR) на грани АВС. Итак, мы получили многоугольник QB""PV - искомое сечение.
б) 1) Так как точки Q и R лежат в плоскости (А"В"С"), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (А"В"С").(рис.2)
2) Находим точки D" и Е", в которых прямая QR пересекает соответственно прямые А"В" и B"С". Так как точка D" лежит на ребре А"В", отрезок QD" - след плоскости (PQR) на грани А"В"С".
3) Так как точки D" и P лежат в плоскости (АВВ"), то прямая D"P лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АВВ"), а отрезок D"P - след плоскости (PQR) на грани АВВ"А".
4) Так как точки Р и Е" лежат в плоскости (АСС"), то в этой плоскости лежит прямая РЕ". Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС").
5) Находим точку С""=PE""CC". Так как точка С"" лежит на ребре СС", то отрезок РС"" - это след плоскости (PQR) на грани АСС"А".
6) Так как точки Q и С"" лежат в плоскости (ВСС"), то прямая QC"" лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (ВСС"), а отрезок QC""- след плоскости (PQR) на грани ВСС"В". Итак, мы получили многоугольник QD"РС"" - это и есть искомое сечение.
в) 1) Из трех заданных точек Р, Q и R никакие две не лежат в какой-нибудь одной из плоскостей граней призмы, поэтому найдем основной след плоскости (PQR) (т. е. линию пересечения плоскости (PQR) с плоскостью (АВС), выбранной в качестве основной). Для этого сначала найдем проекции точек Р, Q и R на плоскость (АВС) в направлении, параллельном боковому ребру призмы. Так как точка Р лежит на ребре АА", то точка Р" совпадает с точкой А. Так как точка Q лежит в плоскости (ВСС"), то в этой плоскости через точку Q проведем прямую, параллельную прямой ВВ", и найдем точку Q", в которой проведенная прямая пересекает прямую ВС. Так как точка R по условию лежит в плоскости, выбранной в качестве основной, то точка R" совпадает с точкой R.(Рис.3)
2) Параллельными прямыми РР" и QQ" определяется плоскость. Проведем в этой плоскости прямые PQ и Р"Q" и найдем точку S=PQ пересекает P"Q". Так как точка S" лежит на прямой PQ, то она лежит в плоскости (PQR), и так как точка S" лежит на прямой Р"Q", то она лежит в плоскости (АВС). Таким образом, точка S" является общей точкой плоскостей (PQR) и (АВС). Это значит, что плоскости (PQR) и (АВС) пересекаются по прямой, проходящей через точку S".
3) Так как точка R совпадает с точкой R", то точка R - это еще одна общая точка плоскостей (PQR) и (АВС). Таким образом, прямая S"R - основной след плоскости (PQR). Проведем эту прямую. Как видим из рисунка, прямая S"R пересекает ребра АВ и ВС основания призмы соответственно в точках S" "и S""".
4) Так как точки S""" и Q лежат в плоскости (ВСС"), то прямая S""" Q лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (ВСС"). А отрезок S""" Q, - след плоскости (PQR) на грани ВСС"В".
5) Аналогично находим отрезок S"" Р - след плоскости (PQR) на грани АВВ"А".
7) Находим точку F=PC"" пересекает A"С" и получаем затем отрезок PF - след плоскости (PQR) на грани АСС"А".
8) Точки Q и F лежат в плоскости А"В"C", поэтому прямая QF лежит в плоскости (А"В"C"). Проведем прямую QF, получим отрезок QF - след плоскости (PQR) на грани А"В"C". Итак, мы получили многоугольник QS"""S""PF - искомое сечение.
3 а м е ч а н и е . Покажем другой путь нахождения точки С"", при котором не находим точку пересечения прямой S""" Q с прямой С"С"". Будем рассуждать следующим образом. Если следом плоскости (PQR) на прямой СС" является некоторая точка V, то ее проекция на плоскость (АВС) совпадает с точкой С. Тогда точка S""""= V"P "пересекает VP лежит на основном следе S"R плоскости (PQR). Строим эту точку S"""" как точку пересечения прямых V"P" (это прямая СА) и S"R. А далее проводим прямую S""""Р. Она пересекает прямую СС" в точке V.
Пример 2.
На ребре МВ пирамиды МАВСD зададим точку Р, на ее грани MCD зададим точку Q. Построим сечение пирамиды плоскостью (PQR), точку R которой зададим:
а) на ребре МС;
б) на грани МАD;
в) в плоскости (МАС), вне пирамиды.
Решение.
a) Следом плоскости (PQR) на грани МВС является отрезок РR, а ее следом на грани MCD является отрезок RD", где точка D" - это точка пересечения прямой RQ с ребром МD. Ясно, что плоскость (PQR) имеет следы на гранях MAD и МАВ (так как с этими гранями плоскость (PQR) имеет общие точки). Найдем след плоскости (PQR) на прямой МА. Сделаем это следующим образом:
1) Построим точки Р", Q" и R" - проекции точек Р, Q и R из центра М на плоскость (АВС), принимаемую, таким образом, за основную плоскость. (Рис. 4)
3) Если плоскость (PQR) пересекает прямую МА в некоторой точке V, то точка V" совпадает с точкой А и точка S"""= VQ пересекает V"Q" лежит на прямой S" S"". Другими словами, в точке S""" пересекаются три прямые: VQ, V"Q"" и S" S"". Две последние прямые из этих трех на чертеже уже есть. Поэтому точку S""" мы построим как точку пересечения прямых V"Q" и SS"".
4) Проведем прямую QS""" (она совпадает с прямой VQ, так как прямая VQ должна проходить через точку S""", т. е. точки V, Q и S""" лежат на одной прямой).
5) Находим точку V, в которой прямая QS"" "пересекает прямую МА, Точка V - это след плоскости (PQR) на ребре МА. Далее ясно, что отрезки PV и VD" - следы плоскости (PQR) соответственно на гранях МАВ и MAD. Таким образом, многоугольник PRD"V - искомое сечение.
б) 1) Принимаем плоскость (АВС) за основную плоскость и строим точки P", Q" и R" - проекции соответственно точек Р, Q и R на плоскость (АВС). Центром этого внутреннего проектирования является точка М.(Рис.5.)
2) Строим прямую S"S"" - основной след плоскости (PQR).
3) Если плоскость (PQR) пересекает прямую МА в точке V, то точка V" - проекция точки V на плоскость (АВС) из центра М- совпадает с точкой А, а прямые S"S"", V"R" и прямая VR, точка V которой пока нами не построена, пересекаются в точке S""". Находим эту точку S"""=V"R" пересекается S"S"" . "", и находим точку V=RS""" пересекается MA. Дальнейшее построение ясно. Искомым сечением является многоугольник PVD"Т.
в)
(Рис.6.) Пусть точка R расположена в плоскости (МАС) так, как это показано на рисунке 6.
1) Принимаем плоскость (АВС) за основную плоскость и строим точки P", Q" и R" - проекции соответственно точек P, Q и R на плоскость (ABC). (центром проектирования является точка М.)
2) Строим прямую S"S"", - основной след плоскости (PQR).
3) Находим точку V - след плоскости (PQR) на прямой МА. Точка V" - проекция точки V на плоскость (АВС) из центра М- совпадает в этом случае с точкой А.
4) Находим точку S"""= P"V" пересекается S"S"", а затем и точку V =PS""" пересекается МА.
5) Получаем след РV плоскости (PQR) на плоскости (МАВ).
6) Находим точку T - след плоскости (PQR) на прямой МО. Ясно, что точка Т" в этом случае совпадает с точкой D. Для построения точки T строим точку S""""=Q"T" пересекается S"S"", а затем точку T = QS""" "пересекается MT".
7) Совокупность следов PV, VT, ТС", и С"P, т. е. многоугольник PVTC" - искомое сечение.
Комбинированный метод построения сечений
Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.
Пример№1.
На ребрах AB и AD пирамиды MABCD зададим соответственно точки P и Q - середины этих ребер, а на ребре MC зададим точку R. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.
Решение
(рисунок 14):
1). Ясно, что основным следом плоскости PQR является прямая PQ.
2). Найдем точку К, в которой плоскость МАС пересекает прямую PQ. Точки К и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости MAC. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей.
3). Найдем точку N=AC BD, проведем прямую MN и найдем точку F=KR MN.
4). Точка F является общей точкой плоскостей PQR и MDB, то есть эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F. Вместе с тем так как PQ - средняя линия треугольника ABD, то PQ параллена BD, то есть прямая PQ параллельна и плоскости MDB. Тогда плоскость PQR, проходящая через прямую PQ, пересекает плоскость MDB по прямой, параллельной прямой PQ, то есть параллельной и прямой BD. Поэтому в плоскости MDB через точку F проведем прямую, параллельную прямой BD.
5). Дальнейшие построения понятны из рисунка. В итоге получаем многоугольник PQD"RB" - искомое сечение.
1. Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельную другой заданной прямой.
Пусть, например, требуется построить сечение многогранника плоскостью @, проходящей через заданную прямую р параллельную второй заданной прямой q. В общем случае решение этой задачи требует некоторых предварительных построений, которые можно выполнять по следующему плану:
1). Через вторую прямую q и какую-нибудь точку W первой прямой p проведем плоскость бетта (рис.
2). В плоскости бетта через точку W проведем прямую q" параллельную q.
3). Пересекающимися прямыми p и q". Определяется плоскость @. На этом предварительные построения заканчиваются и можно переходить к построению непосредственно сечения многогранника плоскостью @. В некоторых случаях особенности конкретной задачи позволяет осуществить и болле короткий план решения. Рассмотрим примеры.
Пример№2.
На ребрах BC и MA пирамиды MABC зададим соответственно точки P и Q. Построим сечение пирамиды плоскостью @, проходящей через прямую PQ параллельно прямой AR, точку R, которую зададим следующим образом: а). На ребре MB; б). Она совпадает с точкой В; в). В грани MAB.
Решение:
а)
.(рисунок Плоскость, проходящая через вторую прямую, то есть прямую AR, и точку Q, взятую на первой прямой, на изображении уже есть. Это плоскость MAB.
2). В плоскости MAB через точку Q проведем прямую QF параллельную AR.
3). Пересекающимися прямыми PQ и QF определяется плоскость @ (эта плоскость PQF) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение методом следов.
4). Точка B совпадает с точкой F" - проекцией точки F на плоскость ABC (из центра М), а точка A совпадает с точкой Q" - проекция точки Q на эту плоскость. Тогда точка S"=FQ F"Q" лежит на основном следе секущей плоскости @. Так как точка P лежит на основном следе секущей плоскости, то прямая S"P - это основной след плоскости @, а отрезок S""P - след плоскости @ на грани ABC. Далее ясно, что точку P следует соединить с точкой F. В итоге получаем четырехугольник PFQS"" - искомое сечение.
б)
(рисунокПлоскость, проходящая через прямую AB и точку Р прямой PQ, на изображении уже построена. Это плоскость АВС. Продолжим построение по вышеизложенному плану.
2). В плоскости АВС через точку P проведем прямую PD, параллельную прямой AB.
3). Пересекающимися прямыми PQ и PD определяется плоскость альфа (это плоскость PQD) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение.
4). Ясно, что следом плоскости альфа на грани МАС является отрезок DQ.
5). Дальнейшие построения выполним, принимая во внимание следующие соображения. Так как прямая PD параллельна прямой AB, то прямая PD параллельна плоскости МАВ. Тогда плоскость альфа, проходящая через прямую PD, пересекает плоскость МАВ по прямой, параллельной прямой PD, то есть и прямой АВ. Итак, в плоскости МАВ через точку Q проведем прямую QE параллельную АВ. Отрезок QE - это след плоскости альфа на грани МАВ.
6). Соединим точку Р с точкой Е. Отрезок РЕ - это след плоскости альфа на грани МВС. Таким образом, четырехугольник PEQD - искомое сечение. совпадает с точкой А, а точка L" совпадает с R"=MR BC. Тогда точка S"=LQ L"Q" лежит на основном следе секущей плоскости альфа. Этим основным следом является прямая S"P, а следом плоскости альфа на грани АВС является отрезок S""P. Далее прямая PL - это след плоскости альфа на плоскости МВС, а отрезок РN - след плоскости альфа на грани МВС. Итак, четырехугольник PS""QN - искомое сечение.
Пример 3.
На диагоналях АС и C"E" оснований призмы ABCDEA"B"C"D"E" зададим соответственно точки P и Q. Построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через прямую PQ параллельно одной из следующих прямых: а). АВ; б). АС"; в). BC" Решение:
а)
(рисунок Плоскость. проходящая через прямую АВ - вторую заданную прямую и точку Р, взятую на первой прямой, уже построена. Это плоскость АВС.
2). В плоскости АВС через точку Р проведем прямую, параллельно прямой АВ, и найдем точки К и L, в которых эта прямая пересекает соответственно прямые ВС и АЕ.
B"C" также параллельны между собой. Принимая во внимание, что KL параллельна AB и A"B" параллельна АВ, проведем в плоскости А"B"C" через точку Q прямую, параллельную прямой A"B", и найдем точки F и Т, в которых эта прямая пересекает соответственно прямые C"D" и A"E". Далее получаем отрезок TL - след плоскости альфа на грани AEE"A", точку S"=KL CD, прямую S"F - след плоскости альфа на плоскости CDD" , отрезок FC"" - след плоскости альфа на грани CDD"C" и, наконец, отрезок C""K - след плоскости альфа на грани BCC"B". В итоге получаем многоугольник KLTFC"" - искомое сечение.
б)
(рисунок Проведем плоскость через прямую AC" - вторую заданную прямую, и точку Р, взятую на первой прямой. Это плоскость ACC".
2). В плоскости ACC" через точку Р проведем прямую, параллельную прямой АС", и найдем точку C"", в которой эта прямая пересекает прямую CC".
3). Пересекающимися прямыми PQ и PC"" определяется плоскость альфа (плоскость C""PQ) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение, например, методом следов. Одна точка, принадлежащая следу плоскости альфа на плоскость ABC, которую мы принимаем за основную, на чертеже уже есть. Это точка Р. Найдем еще одну точку этого следа.
4). Проекция точки C"" на плоскость АВС является точка С, а проекцией точки Q - точка Q" - точка пересечения прямой CE с прямой, проходящей в плоскости CEE" через точку Q параллельно прямой EE". Точка S"=C""Q CQ" - это вторая точка основного следа плоскости альфа. Итак, основным следом плоскости альфа является прямая S"P. Она пересекает стороны ВС и АЕ основания призмы соответственно в точках S"" и S""" . Тогда отрезок S""S""" - след секущей плоскости альфа на грани ABCDE. А отрезок S""C"" - след плоскости альфа на грани BCC"B". Нетрудно увидеть, что прямые C"" Q и EE" лежат в одной плоскости. Найдем точку E"" =С""Q EE". Тогда ясно получение дальнейших следов плоскости альфа: S"""S"", S"""T, TF и FC"". В итоге получаем многоугольник S""S"""TFC"" - искомое сечение.
в)
(рисунокЧерез вторую заданную прямую - прямую BC" - и, например, через точку Р, лежащую на первой заданной прямой, поведем плоскость. Сделаем это методом следов. Легко устанавливается, что основным следом этой плоскости BC"P является прямая ВР. Затем находим точку S"=BP CD и след S"C" плоскости BC"P и плоскости CDD".
2).В плоскости BC"P через точку Р проведем прямую, параллельную прямой BC". Точку пересечения проведенной прямой с прямой S"C" обозначим V.
3). Пересекающимися прямыми PQ и PV определяется плоскость альфа (плоскость PQV) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение.
4). Находим точки Q" и V" - проекции соответственно точек Q и V на плоскость ABC, принимаемую нами за основную плоскость. Затем находим точку S""=QV Q"V". Это одна из точек основного следа плоскости альфа. И еще одна точка этого следа уже есть. Это заданная точка Р. Итак, прямая S""P - основной след плоскости альфа, а полученный при этом отрезок S"""S"""" - след плоскости альфа на грани АВСDE. Дальнейший ход построения ясен: S"""""=S""P CD, S"""""V, точки C""=S"""""V CC" и F=S"""""V C"D", затем FQ и точка T=FQ A"E" и, наконец, TS"""". В итоге получаем многоугольник S"""C""FTS"""" - искомое сечение.
Замечание: Наметим кратко ход решения примера 3,в, при котором на первой заданной прямой была взята точка Q, а не точка P (рисунок 22).
1). Строим плоскость BC"Q (это плоскость BC"E").
2). Плоскость BC"Q пересекает плоскость ABC по прямой BN параллельной C"E"(для построения можно воспользоваться тем, что BN параллельна СЕ).
3). В плоскости BC"Q через точку Q проводим прямую QM параллельную BC" (М=QM BN).
4). Строим сечение призмы плоскостью, определяемой пересекающимися прямыми PQ и QM. Это можно сделать в следующем порядке: MP, S"=MP AE и S""=МР ВС, S""""=MP CE, C""=S""""Q CC", S"""C"", F=S"""C"" C"D", FQ, T=FQ A"E", TS. Многоугольник S""C""FTS"- искомое сечение.
2. Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым.
Пусть требуется построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку К параллельно двум заданным скрещивающимся прямым l и m. При background:#FFCCCC; border:outset #CC33FF 1.5pt">
1.Выберем некоторую точку W. (Эта точка может лежать на одной из заданных скрещивающихся прямых, может совпадать с точкой К.)
2.Через точку W проведем прямые l" и m". (Естественно, если точка W лежит на одной из прямых, например на прямой l, то прямая l" совпадает с прямой l.)
3. Пересекающимися прямыми l" и m" определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения многогранника. Строим сечение многогранника плоскостью бетта.
4. Построим сечения многогранника плоскостью альфа, проходящей через точку K, параллельно плоскости бетта.
Рассмотрим примеры применения изложенного плана.
П р и м е р 4.
На ребрах AD и С"D" призмы ABCDA"В"С"D", зададим соответственно точки P и Q, а на ребре DD" зададим точку К. Построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно прямой PQ и одной из следующих прямых: а) АВ; б) А"В; в) BR, точку R которой зададим на ребре A"D".
Решение. a)
(Рис. 2Пусть точка W совпадает с точкой P.
2) В плоскости АВС через точку P проведем прямую, параллельную прямой АВ. Найдем точку Е, в которой проведенная прямая пересекает прямую ВС.
3) Пересекающимися прямыми PQ и PE определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения. Построим сечение призмы плоскостью бетта. Прямая PE и точки С"" и D"" - следы плоскости бетта соответственно на прямых СС" и DD". Затем строим прямую D""Р и получаем точку F на ребре А"D". Таким образом, сечением призмы плоскостью бетта являет - я многоугольник РЕС""QF.
4) Строим теперь сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно плоскости бетта. В итоге получаем треугольник KLN - искомое сечение.
б)
(Рис. Пусть точка W совпадает с точкой Q. Чтобы через точку Q провести прямую, параллельную прямой А"В, сначала через прямую А"В и точку Q проведем плоскость гамма. Сделаем это так. Найдем точку Q" - проекцию точки Q на плоскость АВС и проведем прямую AQ". Ясно, что AQ" параллельно A"Q. Теперь через точку В в плоскости АВС проведем прямую l" параллельно AQ". Пересекающимися прямыми А"В и l" определяется плоскость гамма. В плоскости гамма через точку Q проведем прямую l"" параллельно A"В.
3) Пересекающимися прямыми PQ и l"", определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения призмы. Построим это сечение. Находим для этого точку S"=l" пересекается l"", а затем прямую PS" - основной след плоскости бетта. Находим далее точку s""=PS" пересекается CD и проводим прямую S""Q - след плоскости бетта на плоскости CDD". Получаем точку D"" - след плоскости бетта на прямой DD". Точка D"" и точка Р лежат в плоскости ADD". Поэтому прямая PD""- след плоскости бетта на плоскости АDD", а отрезок PF - след плоскости бетта на грани ADD"A". Таким образом, сечением призмы плоскостью бетта является четырехугольник РS""QF. (Обратите внимание: QF параллельно PS"". И это, естественно, так. Ведь основания призмы лежат в параллельных плоскостях. Этим обстоятельством можно было воспользоваться при построении сечения призмы плоскостью бетта.)
4) Теперь строим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно плоскости бетта. Это построение выполнить уже несложно. В итоге получаем треугольник KLN - искомое сечение.
в)
(Рис. В качестве точки W выберем точку Q.
2) Через прямую BR и точку Q проведем плоскость гамма. Плоскость гамма пересекает плоскость АВС по прямой l" параллельно QR. Для построения прямой l" строим точки R" и Q" - проекции соответственно точек R и Q на плоскость АВС - и проводим прямую Q"R", а затем в плоскости АВС через точку В проводим прямую l" параллельно Q"R". В плоскости гамма через точку Q проводим прямую l"" параллельно BR. Получим точку S"=l" пересекается l"".
3) Пересекающимися прямыми PQ и l"" определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения призмы. Построим это сечение. Ясно, что прямая PS" является основным следом плоскости бетта. Находим далее точки S""= PS" пересекается CD, S"""= РS" пересекается BC и C"" = QS"" пересекается CC". Получим отрезки РS""", S"""C"" и C""Q- следы плоскости бетта соответственно на гранях ABCD, ВСС"В и CDD"С". Далее либо проведем в плоскости А"В"С" прямую, параллельную следу PS", и получим точку F, либо найдем точку D""=S""Q пересекается DD" и проведем прямую D""Р. Эта прямая пересечет прямую А"D" в точке F. Получаем, таким образом, еще два следа плоскости бетта: QF н FP. Итак, многоугольник PS"""C""QF - сечение призмы плоскостью бетта.
4) Теперь построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно плоскости бетта. В итоге получаем треугольник KLN - искомое сечение.
П р и м е р 5.
На ребрах МВ и МА пирамиды МАВСD зададим соответственно точки Р и К, и на отрезке АС зададим точку Q. Построим сечение пирамиды плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно прямой PQ и одной из следующих прямых: а) CD; б) МС; в) RV, точки R и V которой зададим соответственно на ребрах АВ и МС пирамиды.
Р е ш е н и е.
a)
(Рис. 2В плоскости ABC через точку Q проведем прямую, параллельную прямой CD, и. найдем точки S". S"" и S""", в которых эта прямая пересекает соответственно прямые BC, АD и АВ.
2) Пересекающимися прямыми PQ и S"S"" определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения пирамиды. Построим это сечение. Основным следом плоскости бетта является прямая S"S"". Отрезок PS" - след плоскости бетта на грани МВС, прямая PS""" - ее след на плоскости МАВ, отрезок PA" - на грани МАВ, отрезок А"S""- на грани MAD.
б)
(Рис. 27.) Выполним построение заданного сечения в следующем порядке:
1) В плоскости МАС через
точку Q проведем прямую QA параллельно MC
2) Построим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, которая определяется . С этой целью найдем точку S"=PA" пересекается АВ, проведем прямую S"Q, являющуюся основным следом плоскости PQA", получим точки S""=S"Q пересекается AD и S"""=S"Q пересекается BC и соединим точку А" с точкой S"", а точку P с точкой S""". Четырехугольник PA"S""S""" - это вспомогательное сечение пирамиды. Плоскость этого сечения параллельна прямым PQ и МС, но не проходит через точку К.
3) Теперь построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости PQA". В итоге получаем четырехугольник В"KFE - искомое сечение.
a)
(Рис. 28.) Выполним построение заданного сечения пирамиды, построив сначала вспомогательное сечение ее плоскостью, проходящей через прямую PQ параллельно прямой RV. Сделаем это в следующем порядке:
1) Построим точку S"=PV пересекается BC и проведем прямую S"R.
2) Пересекающимися прямыми S"V и S"R определяется плоскость. В этой плоскости через точку Р проведем прямую PS"" параллельно RV.
3) Пересекающимися прямыми PQ и PS"" определяется плоскость вспомогательного сечения пирамиды. Построим это сечение. Находим последовательно прямую S""Q - основной след плоскости вспомогательного сечения, затем точки Т"=S""Q пересекается ВС, Т""=S""Q пересекается АB и Т"""=S""Q пересекается CD, Проведем далее прямую Т"P и найдем точку Е= Т"P пересекается "MC. Точку P соединим с точкой Т"", а точку Е - с Т""". Четырехугольник PT""Т"""Е - вспомогательное сечение пирамиды. Плоскость этого сечения параллельна прямым PQ и RV, но не проходит через точку К. Теперь построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости вспомогательного сечения. В итоге получаем четырехугольник КВ"С"D" - искомое сечение.
Нахождение площади сечения в многогранниках.
Задача №1.
Задача №2
Задача №3.
Задача №4.
Задача №5.
Задача №6.
Задача №7
Задача №8.
Использование свойств подобных треугольников.
Поэтому далее представлены несколько простейших задач, в которых подобные треугольники играют главную роль, - тем более, что их нужно еще и построить (и увидеть!!!) с помощью стандартного стереометрического приема: одну плоскость пересечь другой плоскостью и построить их линию пересечения по двум общим для плоскостей точкам.
Задача №1.
Задача №2
Задача №3
Задача №4
Задача №5
Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно воспользоваться четырьмя основными способами:
1)Нахождение длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, то есть отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного обеим.
2)Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.
3)Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через заданные скрещивающиеся прямые.
4)Нахождение расстояния от точки, - являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых на перпендикулярную ей плоскость, - до проекции другой прямой на ту же самую плоскость.
Задача №18
Задача №19
Представьте 4 варианта решения данной задачи и выберите самый рациональный из них. Обоснуйте свой выбор.
Задача №20
Задача №21
Задача №22
Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многограннике.
Задача №1.
Задача №2.
Задача №3.
проходящей через боковое ребро и пересекающуюся с ним медиану основания, и плоскостью, проходящей через ту же медиану и середину любого другого бокового ребра.
Сечения.
Задача №1.
Задача №2.
Задача №3.
Два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны, а их длины равны а и b расстояние - между ними равно с. В тетраэдр вписан куб, четыре ребра которого перпендикулярны этим двум ребрам тетраэдра, а на каждой грани тетраэдра лежат ровно две вершины куба. Найдите ребро куба.
Задача №4.
Задача №5.
Задача №6.
Задача №7.
Задача №8.
Задача №9.
Отношение объемов частей многогранника.
Задача №1.
Задача №2.
Задача №3.
Задача №4.
Проекции и сечения правильных многогранников.
Задача №1.
окажите, что проекции додекаэдра и икосаэдра на плоскости, параллельные их граням, являются правильными многоугольниками.
Задача №2.
окажите, что проекция додекаэдра на плоскость, перпендикулярную прямой, проходящей через его центр и середину ребра, является шестиугольником (а не десятиугольником).
Задача №3.
а) окажите, что проекция икосаэдра на плоскость. перпендикулярную прямой, проходящей через его центр и вершину, является правильным 10-угольником. б). Докажите, что проекция додекаэдра на плоскость, перпендикулярную прямой, проходящей через его центр и вершину, является неправильным 12- угольником.
Задача №4.
уществует ли сечение куба, являющееся правильным т шетиугольником?
Задача №5.
уществует ли сечение октаэдра, являющееся правильным шестиугольником?
Задача №6.
уществует ли сечение додекаэдра, являющееся правильным шестиугольником?
Задача №7.
ве грани АВС и АВD икосаэдра имеют общее ребро АВ. Через вершину D проводится плоскость, параллельная плоскости АВС. Верно ли, что сечение икосаэдра этой плоскостью является правильным шестиугольником?
Ответы к задачам по темам:
4. Угол между плоскостями.
5. Сечения
6. Отношение объемов частей многогранника.
7. Проекции и сечения правильных многогранников.
1. Нахождение площади сечения в многогранниках.
Решение задачи
№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8
Задача №1.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image040_59.gif" width="597" height="292 src=">
Задача №2.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image042_56.gif" width="577" height="277 src=">
Задача №3.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image044_53.gif" width="630" height="275 src=">
Задача №4.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image046_49.gif" width="641" height="332 src=">
Задача №5.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image048_46.gif" width="642" height="245 src=">
Задача №6.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image050_46.gif" width="680" height="340 src=">
Задача №7.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image052_47.gif" width="659" height="340 src=">left" style="margin-left: 6.75pt;margin-right:6.75pt">
2. Использование свойств подобных треугольников.
Решение задачи
№1 №2 №3 №4 №5
Задача №1.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">
2-ой случай 
Задача №2.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">
Задача №3.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image061_42.gif" width="536" height="203">
https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">MsoNormalTable">
Точка С принадлежит плоскости CB"A"D (так как CD" перпендикулярна C"D как диагонали квадрата и так как B"C" перпендикулярна плоскости CC"D"D, - из чего следует B"C" перпендикулярна СЕ, - то получаем СЕ перпендикулярна B"C" и СЕ перпендикулярна C"D). Затем проводим EF перпендикулярно B"D и тогда получаем B"D перпендикулярна CF (по теореме о трех перпендикулярах: CF по отношению к плоскости AB"C"D является наклонной, СЕ - перпендикуляром и EF - проекцией наклонной CF; то она перпендикулярна и самой наклонной CF). Так как EF и CF принадлежат соответственно обеим плоскостям, то угол фи (угол CFE) является искомым.
После этого обоснования следует несложная вычислительная часть.
"B"EF и D""C"EF), в результате чего перпендикуляры A""M и D""M, проведенные в обеих фигурах к их линии пересечения, попадут в одну точку М, причем - внутри, а не снаружи призмы, так как углы B"A""D и C"D""A - тупые (B"D и больше BD=AC=A""C"" и C"A больше AC=BD=B""D""). Далее, найдя диагонали и стороны ромбов, можно найти отрезки A""M и D""M с помощью, например, двух формул для площади ромба
Примечание:
Безусловно, в этой и аналогичных задачах никакие размеры многогранника (например, "a") не нужны, поэтому при подборе численных значений параметра "k" для различных вариантов задачи содержание ее условия в соответствующем месте должно формулироваться, например, так: "... в призме, у которой высота во столько-то раз больше стороны основания...", и т. д.
3. Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многограннике.
Решение задачи
№1 №2 №3 №4 №5
Задача №1.
MsoNormalTable">
№1
Решение задачи первым способом
предполагает:
- непростое обоснование того, что искомый перпендикуляр (h скр.) с концами на двух данных скрещивающихся прямых располагается внутри куба (а не вне его);
- ориентировочное определение местоположения этого перпендикуляра;
- догадку о том, что для нахождения длины отрезка h скр. необходимо с помощью теоремы о трех перпендикулярах спроектировать его на смежные грани куба, которым принадлежат скрещивающиеся прямые (диагонали) а уже затем подойти к несложному решению:
| 2.
Решение задачи вторым способом предполагает
следующие действия: |
Построение еще одной секущей плоскости, проходящей через диагональ В"D и пересекающей вторую из скрещивающихся прямых A"C"; этой плоскостью удобно выбрать диагональное сечение BB"D"D этому признаку перпендикулярности двух плоскостей плоскости BB"D"D перпендикулярна плоскости ACD", так как плоскость BB"D"D проходит через прямую (B"D), перпендикулярную другой плоскости (ACD"). Далее строиться линия пересечения обоих плоскостей по 2 их общим точкам (D"O) и фиксируется пересечением этой линии диагональю B"D (точка N);
-и наконец, по теореме о том, что если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой, из точки O" принадлежит A"C" проводим в плоскости сечения BB"D"D до пересечения с D"O отрезок O"M параллелен B"D; при этом будет O"M перпендикулярен плоскости ACD" и потому O"M = h скр.;
- затем в вычислительной части решения, рассмотрев сечение BB"D'D и в нем - прямоугольный треугольник OO'D', находим: Как видим, оба первых способа малопригодны для задач, представляющих хотя бы какую-то сложность
| 3.
Решение задачи третьим способом предполагает
: |
И, наконец, в вычислительной части решения можно воспользоваться приемом из предыдущего способа решения или же прибегнуть к подобию треугольников:
| 4.
Решение задачи четвертым способом предполагает: |
Задача №3.
В данной задаче для выбора способа решения определяющим является перпендикулярность прямой АС диагональной плоскости ВB'D'D (т. к. АС перпендикулярна ВD и АС перпендикулярна BB'), которой принадлежит другая прямая B'F, т. е. секущая плоскость BB'D'D удобна для выбора ее в качестве плоскости проекции. А далее следует несложная вычислительная часть:
1). Иэ подобия треугольника DFT и треугольника D'FB' находим DT = kd;
2). Из подобия треугольника NOT и треугольника BB'T находим ON: 
Задача №4.
Данная задача представлена здесь для демонстрации применения второго способа (построение перпендикуляра от первой прямой к параллельной плоскости, содержащей вторую прямую) к простейшим ситуациям расположения скрещивающихся прямых в таком непростом многограннике, каким является правильная шестиугольная призма.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image077_33.gif" width="186" height="87 src=">
Задача №5.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image079_29.gif" width="347" height="326 src=">
5. Сечения.
Решение задачи
№1 №2 №3 №4 №5 №6
Задача №1.
По всяком случае, точки А, В и С лежат в одной плоскости, и поэтому можно рассмотреть сечение плоскостью, содержащей эти точки. Так как плоскость сечения проходит через точку касания сфер (сферы плоскости), и сечении получаются касающиеся окружности (окружность и прямая). Пусть О' и 0'' - центры первой и второй окружностей. Так как О'А || 0''В и точки O', С и 0'' лежат па одной прямой, угол АО'С = углу ВО''С. Поэтому угол АСО' = углу ВСО'', т. е. точки А, В и С лежат на одной прямой.
Задача №2.
Осевое сечение данного усеченного конуса является описанной трапецией АВСD с основаниями АD = 2R и ВС = = 2r. Пусть Р - точка касания вписанной окружности со стороной АВ, О - центр вписанной окружности. В треугольнике АВО сумма углов при вершинах А и В равна 90°, поэтому он прямоугольный. Следовательно, АР: РО - РО: ВР, т. е. РО'2 = АР*ВР. Ясно также, что АР = R и ВР = r. Поэтому радиус РО вписанной в конус сферы равен квадратному корню из произведения R и r, а значит, S = 4п(R2 + Rr+ r2). Выражая объем данного усеченного конуса по формулам, получаем, что площадь его полной поверхности равна 2п(R2 + Rr+ r2) = S/2 (нужно учесть, что высота усеченного конуса равна удвоенному радиусу сферы, около которой он описан).
Задача №3.
Общий перпендикуляр к данным ребрам делится параллельными им плоскостями граней куба на отрезки длиной у, х и г (х - длина ребра куба; отрезок длиной у прилегает к ребру а). Плоскости граней куба, параллельные данным ребрам, пересекают тетраэдр по двум прямоугольникам. Меньшие стороны этих прямоугольников равны ребру куба х. Так как стороны этих прямоугольников легко вычисляются, получаем х = bу/с и х = az/с. Следовательно, с=х+у+г=х+сх/b + еx/а, т. е. х=аЬс/(аb + bс + сa).
Задача №4.
Каждая сторона полученного многоугольника принадлежит одной из граней куба, поэтому число его сторон не превосходит 6. Кроме того, стороны, принадлежащие противоположным граням куба, параллельны, так как линии пересечения плоскости с двумя параллельными плоскостями параллельны. Следовательно, сечение куба не может быть правильным пятиугольником, так как у того нет параллельных сторон. Легко проверить, что правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник могут быть сечениями куба.
Задача №5.
Рассмотрим некоторый круг, являющийся сечением данного тела, и проведем через его центр прямую l, перпендикулярную его плоскости. Эта прямая пересекает данное тело по некоторому отрезку АВ. Все сечения, проходящие через прямую l являются кругами с диаметром АВ.
Задача №6.
Рассмотрим произвольное сечение, проходящее через вершину А. Это сечение является треугольником АВС, причем его стороны АВ и АС являются образующими конуса, т. с. имеют постоянную длину. Поэтому площадь сечения пропорциональна синусу угла ВАС. Угол ВАС изменяется от 0° до ф,
MsoNormalTable">
Задача №2.
Рассмотрим куб, вершины которого расположены в вершинах додекаэдра. В нашей задаче речь идет о проекции на плоскость, параллельную грани этого куба. Теперь легко убедиться, что проекцией додекаэдра действительно является шестиугольник (рис. 70).
Задача №3.
а) Рассматриваемая проекция икосаэдра переходит в себя при повороте на З6° (при этом проекции верхних граней переходят в проекции нижних граней). Следовательно, она является правильным 10-угольнлком (рис. 71, а).
б) Рассматриваемая проекция додекаэдра является 12-угольником, переходящим в себя при повороте на 60° (рис. 71. б). Половина его сторон является проекциями ребер, параллельных плоскости проекции, а другая половина сторон - проекциями ребер, не параллельных плоскости проекции. Следовательно, этот 12-угольник неправильный.
MsoNormalTable">
Задача №4.
Существует. Середины указанных на рис. 72 ребер куба являются вершинами правильного шестиугольника. Это следует из того, что стороны этого шестиугольника параллельны сторонам правильного треугольника PQR, а их длины вдвое меньше длин сторон этого треугольника.
Задача №6. Существует. Возьмем три пятиугольные грани о общей вершиной А и рассмотрим сечение плоскостью, пересекающей эти грани и параллельной плоскости, в которой лежат три попарно общие вершины рассматриваемых граней (рис. 74). Это сечение является шестиугольником с попарно параллельными противоположными сторонами. При повороте на 120° относительно оси, проходящей через вершину А и перпендикулярной секущей плоскости, додекаэдр и секущая плоскость переходят в себя. Поэтому сечение является выпуклым шестиугольником с углами 120°, длины сторон которого, чередуясь, принимают два значения. Для того чтобы этот шестиугольник был правильный, достаточно, чтобы эти два значения были равны. Когда секущая плоскость движется от одного своего крайнего положения до другого, удаляясь от вершины А, первое из этих значений возрастает от 0 до d, а второе убывает от d до а, где а - длина ребра додекаэдра. (d - длина диагонали грани (d больше а). Поэтому в некоторый момент эти значения равны, т. е. сечение является правильным шестиугольником. |
|
Задача №7.
Нет, не верно. Рассмотрим проекцию икосаэдра на плоскость АВС. Она является правильным шестиугольником (см. рис.69). Поэтому рассматриваемое сечение было бы правильным шестиугольником, лишь если бы все 6 вершин, соединенных ребрами с точками А, В и С (и отличных от А, В и С), лежали в одной плоскости. Но, как легко убедиться, это неверно (иначе получилось бы, что все вершины икосаэдра расположены на трех параллельных плоскостях).
ЗАДАЧИ
|
2. Использование свойств подобных треугольников.
Решение задачи
№1 №2 №3 №4 №5
Задача №1.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">
2-ой случай
Задача №2.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">
Задача №3.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image060_43.gif" width="570" height="264 src=">
Задача №4.
https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">right">
