Главная › Развитие › Расчет линейной интерполяции онлайн. Применение интерполяции в Microsoft Excel

Расчет линейной интерполяции онлайн. Применение интерполяции в Microsoft Excel

Бывает ситуация, когда в массиве известных значений нужно найти промежуточные результаты. В математике это называется интерполяцией. В Excel данный метод можно применять как для табличных данных, так и для построения графиков. Разберем каждый из этих способов.

Главное условие, при котором можно применять интерполяцию – это то, что искомое значение должно быть внутри массива данных, а не выходить за его предел. Например, если мы имеем набор аргументов 15, 21 и 29, то при нахождении функции для аргумента 25 мы можем использовать интерполяцию. А для поиска соответствующего значения для аргумента 30 – уже нет. В этом и является главное отличие этой процедуры от экстраполяции.

Способ 1: интерполяция для табличных данных

Прежде всего, рассмотрим применения интерполяции для данных, которые расположены в таблице. Для примера возьмем массив аргументов и соответствующих им значений функции, соотношение которых можно описать линейным уравнением. Эти данные размещены в таблице ниже. Нам нужно найти соответствующую функцию для аргумента 28 . Сделать это проще всего с помощью оператора ПРЕДСКАЗ .

Способ 2: интерполяция графика с помощью его настроек

Процедуру интерполяции можно применять и при построении графиков функции. Актуальна она в том случае, если в таблице, на основе которой построен график, к одному из аргументов не указано соответствующее значение функции, как на изображении ниже.

Как видим, график скорректирован, а разрыв с помощью интерполяции удален.

Способ 3: интерполяция графика с помощью функции

Произвести интерполяцию графика можно также с помощью специальной функции НД. Она возвращает неопределенные значения в указанную ячейку.

Можно сделать даже проще, не запуская Мастер функций , а просто с клавиатуры вбить в пустую ячейку значение «#Н/Д» без кавычек. Но это уже зависит от того, как какому пользователю удобнее.

Как видим, в программе Эксель можно выполнить интерполяцию, как табличных данных, используя функцию ПРЕДСКАЗ , так и графика. В последнем случае это осуществимо с помощью настроек графика или применения функции НД , вызывающей ошибку «#Н/Д» . Выбор того, какой именно метод использовать, зависит от постановки задачи, а также от личных предпочтений пользователя.

Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты , какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.

Определения

Рассмотрим систему несовпадающих точек () из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что

Пример

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений определяет соответствующие значения :


0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Интерполяция помогает нам узнать какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных (например, при x = 2,5).

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

Способы интерполяции

Интерполяция методом ближайшего соседа

Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа .

Интерполяция многочленами

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами . Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).

ИМН-1 и ИМН-2
Многочлен Лагранжа (интерполяционный многочлен)
По схеме Эйткена

Обратное интерполирование (вычисление x при заданном y)

Обратное интерполирование по формуле Ньютона

Интерполяция функции нескольких переменных

Другие способы интерполяции

Тригонометрическая интерполяция

Смежные концепции

Экстраполяция - методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
Аппроксимация - методы построения приближённых кривых

См. также

Сглаживание данных эксперимента

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Интерполяция" в других словарях:

1) способ определять по ряду данных величин какого либо математического выражения промежуточные его величины; так напр., по дальности полета ядра при угле возвышения оси пушечного канала в 1°, 2°, 3°, 4° и т. д. можно определить помощью… … Словарь иностранных слов русского языка

Вставка, интерполирование, включение, отыскание Словарь русских синонимов. интерполяция см. вставка Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова. 2 … Словарь синонимов

интерполяция - Вычисление промежуточных значений между двумя известными точками. Например: linear линейная интерполяция exponential экспоненциальная интерполяция Процесс вывода цветного изображения, когда пикселы, относящиеся к области между двумя цветными… … Справочник технического переводчика

- (interpolation) Оценка значения неизвестной величины, находящейся между двумя точками ряда известных величин. Например, зная показатели населения страны, полученные при проведения переписи населения, проводившейся с интервалом в 10 лет, можно… … Словарь бизнес-терминов

С латинского собственно «подделка». Так называются ошибочные поправки или позднейшие вставки в рукописях, сделанные переписчиками или читателями. Особенно часто этот термин употребляется в критике рукописей античных писателей. В этих рукописях… … Литературная энциклопедия

Нахождение промежуточных значений некоторой закономерности (функции) по ряду известных ее значений. По английски: Interpolation См. также: Преобразования данных Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

интерполяция - и, ж. interpolation f. < лат. interpolatio изменение; переделка, искажение. 1. Вставка позднейшего происхождения в каком л. тексте, не принадлежащая оригиналу. БАС 1. В древних рукописях много интерполяций, внесенных переписчиками. Уш. 1934. 2 … Исторический словарь галлицизмов русского языка

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ - (interpolatio), пополнение эмпйрич. ряда значений какой либо величины недостающими промежуточными значениями ее. Интерполирование может быть произведено тремя способами: математич., графич. и логическим. В основе их лежит общая им гипотеза о том … Большая медицинская энциклопедия

- (от латинского interpolatio изменение, переделка), отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений функции y = f(x) в точках x, лежащих между точками x0 и xn, x0 … Современная энциклопедия

- (от лат. interpolatio изменение переделка), в математике и статистике отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Напр., отыскание значений функции f(x) в точках x, лежащих между точками xo x1 ... xn, по… … Большой Энциклопедический словарь

У этого термина существуют и другие значения, см. Интерполяция. О функции, см.: Интерполянт.

Интерполя́ция , интерполи́рование (от лат. inter–polis - «разглаженный, подновлённый, обновлённый; преобразованный ») - в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Термин «интерполяция» впервые употребил Джон Валлис в своём трактате «Арифметика бесконечных» (1656).

В функциональном анализе интерполяция линейных операторов представляет собой раздел, рассматривающий банаховы пространства как элементы некоторой категории.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса - Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.

Определения

Рассмотрим систему несовпадающих точек x i {\displaystyle x_{i}} (i ∈ 0 , 1 , … , N {\displaystyle i\in {0,1,\dots ,N}}) из некоторой области D {\displaystyle D} . Пусть значения функции f {\displaystyle f} известны только в этих точках:

Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . {\displaystyle y_{i}=f(x_{i}),\quad i=1,\ldots ,N.}

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции F {\displaystyle F} из заданного класса функций, что

F (x i) = y i , i = 1 , … , N . {\displaystyle F(x_{i})=y_{i},\quad i=1,\ldots ,N.}

Точки x i {\displaystyle x_{i}} называют узлами интерполяции , а их совокупность - интерполяционной сеткой .
Пары (x i , y i) {\displaystyle (x_{i},y_{i})} называют точками данных или базовыми точками .
Разность между «соседними» значениями Δ x i = x i − x i − 1 {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}} - шагом интерполяционной сетки . Он может быть как переменным, так и постоянным.
Функцию F (x) {\displaystyle F(x)} - интерполирующей функцией или интерполянтом .

Пример

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений x {\displaystyle x} определяет соответствующие значения f {\displaystyle f} :

X {\displaystyle x} f (x) {\displaystyle f(x)}


0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Интерполяция помогает нам узнать, какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных точек (например, при x = 2,5).

2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15.5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19.2 − 15.5) 1 = 16.1993 {\displaystyle ?=15.5+{\frac {(6378-6000)}{8000-6000}}*{\frac {(19.2-15.5)}{1}}=16.1993}

В языках программирования

Пример линейной интерполяции для функции y = 3 x + x 2 {\displaystyle y=3x+x^{2}} . Пользователь может ввести число от 1 до 10.

Fortran

program interpol integer i real x, y, xv, yv, yv2 dimension x(10) dimension y(10) call prisv(x, i) call func(x, y, i) write(*,*) "enter number: " read(*,*) xv if ((xv >= 1).and.(xv xv)) then yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end subroutine

C++

int main() { system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Интерполяция X1 - X2 "); system("echo Ввести число: "); cin >> ob; system("echo Например 62, C1 = 60, L1 = 1.31, C2 = 80, L2 = 1.29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko); cout

Способы интерполяции

Интерполяция методом ближайшего соседа

Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа.

Интерполяция многочленами

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).

Линейная интерполяция
Интерполяционная формула Ньютона
Метод конечных разностей
ИМН-1 и ИМН-2
Многочлен Лагранжа (интерполяционный многочлен)
Схема Эйткена
Сплайн-функция
Кубический сплайн

Обратное интерполирование (вычисление x при заданной y)

Полином Лагранжа
Обратное интерполирование по формуле Ньютона
Обратное интерполирование по формуле Гаусса

Интерполяция функции нескольких переменных

Билинейная интерполяция
Бикубическая интерполяция

Другие способы интерполяции

Рациональная интерполяция
Тригонометрическая интерполяция

Смежные концепции

Экстраполяция - методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
Аппроксимация - методы построения приближённых кривых

Обратная интерполяция

на классе функций из пространства C2 , графики которых проходят через точки массива (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Решение. Среди всех функций, которые проходят через опорные точки (xi, f(xi)) и принадлежат упомянутому пространству, именно кубический сплайн S(x), удовлетворяющий краевым условиям S00(a) = S00(b) = 0, предоставляет экстремум (минимум) функционала I(f).

Часто на практике возникает задача о поиске по заданному значению функции значения аргумента. Эта задача решается методами обратной интерполяции. Если заданная функция монотонна, то обратную интерполяцию проще всего осуществить путем замены функции аргументом и наоборот и последующего интерполирования. Если заданная функция не монотонна, то этим приемом воспользоваться нельзя. Тогда, не меняя ролями функцию и аргумент, записываем ту или иную интерполяционную формулу; используя известные значения аргумента и, считая функцию известной, решаем полученное уравнение относительно аргумента.

Оценка остаточного члена при использовании первого приема будет такая же, как и при прямой интерполяции, только производные от прямой функции нужно заменить производными от обратной функции. Оценим ошибку второго метода. Если нам задана функция f(x) и Ln (x) - интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для этой функции по узлам x0, x1, x2, . . . , xn, то

f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x− x0) . . . (x− xn) .

Предположим, что нам надо найти значение x¯, при котором f (¯x) = y¯ (y¯ задано). Будем решать уравнение Ln (x) = y¯ . Получим некоторое значение x¯. Подставляя в предыдущее уравнение, получим:

Mn+1


f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Применяя формулу Лангранжа, получим
(x¯ − x¯) f0 (η) =


где η находится между x¯ и x¯. Если - интервал, который содержит x¯ и x¯ и min

из последнего выражения вытекает:

|x¯ − x¯| 6m1 (n + 1)! |$n (x¯)| .

При этом, конечно, предполагается, что уравнение Ln (x) = y¯ мы решили точно.

Применение интерполяции для составления таблиц

Теория интерполяции имеет применение при составлении таблиц функций. Получив такую задачу, математик должен решить перед началом вычислений ряд вопросов. Должна быть избрана формула, по которой будут проводиться вычисления. Эта формула может изменяться от участка к участку. Обычно формулы для вычисления значений функции бывают громоздкими и потому их используют для получения некоторых опорных значений и потом, путем субтабулирования, сгущают таблицу. Формула, которая дает опорные значения функции, должна обеспечивать нужную точность таблиц с учетом следующего субтабулирования. Если нужно составить таблицы с постоянным шагом, то сначала надо определить ее шаг.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Чаще всего таблицы функций составляются так, чтобы была возможной линейная интерполяция (то есть интерполяция с использованием первых двух членов формулы Тейлора). В этом случае остаточный член будет иметь вид

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Здесь ξ принадлежит интервалу между двумя соседними табличными значениями аргумента, в котором находится x, а t заключен между 0 и 1. Произведение t(t − 1) принимает наибольшее по модулю

значение при t = 12.Это значение равняется14. Итак,

Нужно помнить, что рядом с этой ошибкой - ошибкой метода, при практическом вычислении промежуточных значений будут возникать еще неустранимая погрешность и погрешность округлений. Как мы видели раньше, неустранимая погрешность при линейной интерполяции будет равной погрешности табулированных значений функции. Погрешность округления будет зависеть от вычислительных средств и от программы вычислений.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Предметный указатель

разделенные разности второго порядка, 8 первого порядка,8

сплайн, 15

узлы интерполяции, 4

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Как выполнить интерполяцию

Формула для интерполяции табличных данных

Используется во 2-ом действии, когда количество НХР (Q, т) из условия имеет промежуточное значение между 100 т и 300 т.

(Исключение: если Q по условию равно 100 или 300 – то интерполяция не нужна).

y o - Ваше исходное количество НХР из условия, в тоннах

(соответствует букве Q)

y 1 – меньшее

(из табл.11-16, как правило равно 100 ).

y 2 – большее ближайшее к Вашему значение количества НХР, в тоннах

(из табл.11-16, как правило равно 300 ).

x 1 y 1 (x 1 расположено напротив y 1 ), км.

x 2 – табличное значение глубины распространения облака зараженного воздуха (Г т), соответственно y 2 (x 2 расположено напротив y 2 ), км.

x 0 – искомое значение Г т соответствующее y o (по формуле).

Пример.

НХР – хлор; Q = 120 т;

Вид СВСП (степень вертикальной стойкости воздуха) – инверсия.

Найти Г т - табличное значение глубины распространения облака зараженного воздуха.

Просматриваем таблицы 11-16 и находим данные соответствующие вашему условию (хлор, инверсия).

Подходит таблица 11.

Выбираем значения y 1 , y 2, x 1 , x 2 . Важно – скорость ветра берем 1 м/с., температуру берем – 20 оС.

Подставляем выбранные значения в формулу и находим x 0 .

Важно – расчет правильный, если x 0 будет иметь значение где-то междуx 1 , x 2 .

1.4. Интерполяционная формула Лагранжа

Предложенный Лагранжем алгоритм построения интерполирующих

функций по таблицам (1) предусматривает построение интерполяционного многочлена Ln(x) в виде

Очевидно, что выполнение для (10) условий (11) определяет выполнение условий (2) постановки задачи интерполяции.

Многочлены li(x) записываются следующим образом

Отметим, что ни один множитель в знаменателе формулы (14) не равен нулю. Вычислив значения констант сi, можно использовать их для вычисления значений интерполируемой функции в заданных точках.

Формула интерполяционного многочлена Лагранжа (11) с учётом формул (13) и (14) может быть записана в виде

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Организация ручных вычислений по формуле Лагранжа

Непосредственное применение формулы Лагранжа приводит к большому числу однотипных вычислений. Для таблиц небольшой размерности эти вычисления могут быть выполнены как вручную, так и в среде программ

На первом этапе рассмотрим алгоритм вычислений, выполняемых вручную. В дальнейшем эти же вычисления следует повторить в среде

Microsoft Excel или OpenOffice.org Calc.

На рис. 6 приведён пример исходной таблицы интерполируемой функции, определяемой четырьмя узлами.

Рис.6. Таблица, содержащая исходные данные для четырёх узлов интерполируемой функции

В третий столбец таблицы запишем вычисляемые по формулам (14) значения коэффициентов qi. Ниже приведена запись этих формул для n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/(x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Следующим шагом в реализации ручных вычисления являются вычисления значений li(x) (j=0,1,2,3), выполняемые по формулам (13).

Запишем эти формулы для рассматриваемого нами варианта таблицы с четырьмя узлами:

l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),

l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2).

Вычислим значения многочленов li(xj) (j=0,1,2,3) и запишем их в ячейки таблицы. Значения функцииYрасч(x), согласно формуле (11) будут получены в результате суммирования значенийli(xj) по строкам.

Формат таблицы, включающей столбцы вычисленных значений li(xj) и столбец значенийYрасч(x), показан на рис.8.

Рис. 8. Таблица с результатами ручных вычислений, выполненных по формулам (16), (17) и (11) для всех значений аргумента xi

Выполнив формирование таблицы, приведённой на рис. 8, по формулам (17) и (11) можно вычислить значение интерполируемой функции для любого значения аргумента Х. Например, дляХ=1 вычисляем значенияli(1) (i=0,1,2,3):

l0(1)= 0,7763; l1(1)= 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)= 0,2966.

Суммируя значения li(1) получим значениеYинтерп(1)=3,1463.

1.4.2. Реализация алгоритма интерполяции по формулам Лагранжа в среде программы Microsoft Excel

Реализация алгоритма интерполяции начинается, как и при ручных вычислениях с записи формул для вычисления коэффициентов qi На рис. 9 приведена столбцы таблицы с заданными значениями аргумента, интерполируемой функции и коэффициентовqi. Справа от этой таблицы приведены формулы, записываемые в ячейки столбцаС для вычисления значений коэффициентовqi.

вС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))"Æ q0

вС3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))"Æ q1

вС4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))"Æ q2

вС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))"Æ q3

Рис. 9 Таблица коэффициентов qi и вычислительные формулы

После ввода формулы q0 в ячейку С2 она протягивается по ячейкам от С3 до С5. После чего формулы в этих ячейках корректируются в соответствии с (16) к виду, приведённому на рис. 9.

Yрасч(xi),

Реализуя формулы (17), запишем формулы для вычисления значений li(x) (i=0,1,2,3) в ячейки столбцов D, E, F и G. В ячейкуD2 для вычисления значенияl0(x0) запишем формулу:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

получим значения l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Формат ссылки $A2 позволяет протянуть формулу по столбцамE, F, G для формирования вычислительных формул для вычисленияli(x0) (i=1,2,3). При протягивании формулы по строке индекс столбца аргументах не меняется. Для вычисленияli(x0) (i=1,2,3) после протягивания формулыl0(x0) необходимо выполнить их корректировку по формулам (17).

Встолбце Н поместим формулы Excel для суммированияli(x) по формуле

(11)алгоритма.

На рис. 10 показана таблица, реализованная в среде программы Microsoft Excel. Признаком правильности записанных в ячейки таблицы формул и выполненных вычислительных операций являются полученная диагональная матрица li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2,3),повторяющая результаты, приведённые на рис. 8, и столбец значений совпадающих со значениями интерполируемой функции в узлах исходной таблицы.

Рис. 10. Таблица значений li(xj) (j=0,1,2,3) иYрасч(xj)

Для вычисления значений в некоторых промежуточных точках достаточно

вячейки столбца А, начиная с ячейкиА6, ввести значения аргументаХ, для которых требуется определить значения интерполируемой функции. Выделить

впоследней (5-й)строке таблицы ячейки отl0(xn) доYрасч(xn) и протянуть формулы, записанные в выделенных ячейках до строки, содержащей последнее

заданное значение аргумента х.

На рис. 11 приведена таблица, в которой выполнены вычисления значения функции в трёх точках: х=1, х=2 и х=3. В таблицу введён дополнительный столбец с номерами строк таблицы исходных данных.

Рис. 11. Вычисление значений интерполируемых функции по формулам Лагранжа

Для большей наглядности отображения результатов интерполяции построим таблицу, включающую столбец упорядоченных по возрастанию значений аргумента Х, столбец исходных значений функцииY(X) и столбец

Подскажите как использовать формулу интерполяции и какую в решении задач по термодинамике (теплотехнике)

Иван шестакович

Самое простое, но и часто не достаточно точная интерполяция - это линейная. Когда у тебя есть уже две известные точки (Х1 У1) и (X2 Y2) а надо найти значения У дня некоторого Х который находится между Х1 и Х2. Тогда формула проста.
У=(У2-У1)*(Х-Х1)/(Х2-Х1)+У1
Кстати эта формула работает и при значениях Х вне пределов промежутка Х1..Х2, но это уже называется экстрополяцией и при значительном расстоянии от этого промежутка дает очень большую погрешность.
Есть много других мат. методов интерполяции - советую почитать учебник или порыться и инете.
Не исключен так же метод графической интерполяции - в ручную нариовать график через известные точки и для требуемго Х находить из графика У. ;)

Роман

У тебя есть два значения. И примерно зависимость (линейтная, квадратичная, ..)
График этой функции проходит через твои две точки. Тебе нужно значение где-то между. Ну и выражаешь!
Например. В таблеце при температуре 22 градуса давление насыщеных паров 120000 Па, а при 26 124000 Па. Тогда при температуре 23 градуса 121000 Па.

Интерполяция (координат)

Есть сетка координат на карте (изображении).
На ней есть некоторые известные опорные точки (n>3), имеющие по два значения x,y - координаты в пикселах, и координаты в метрах.
Необходимо найти промежуточные значения координат в метрах, зная координаты в пикселах.
Линейная интерполяция не подходит - слишком большая погрешность за пределами линии.
Вот так: (Xc - коорд. в метрах по ох, Xp - коорд. в пикселах по ох, Xc3 - искомое значение по ох)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Как найти такую же формулу для нахождения Xc и Yc, учитывая не две (как тут), а N известных опорных точек?

Joka fern lowd

Судя по выписанным формулам, оси систем координат в пикселах и в метрах совпадают?
То есть независимо интерполируется Xp -> Xc и независимо Yp -> Yc. Если нет, то надо использовать двумерную интерполяцию Xp,Yp->Xc и Xp,Yp->Yc, что несколько усложняет задачу.
Далее подразумевается, что координаты Xp и Xc связаны некоторой зависимостью.
Если характер зависимости известен (или предполагается, например, предполагаем, что Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), то можно получить параметры этой зависимости (для приведенной зависимости a, b, c) с помощью регрессионного анализа (Метод наименьших квадратов) . В этом методе, если задаться определенной зависимостью Xc(Xp) можно получить формулу для параметров зависимости от опорных данных. Этот метод позволяет, в частности, найти и линейную зависимость, наилучшим образом удовлетворяющую данному набору данных.
Недостаток: В этом методе координаты Xc, полученные по данным опорных точек Xp, могут отличаться от заданных. Как например, аппроксимационная прямая проведенная по экспериментальным точкам, не проходит точно через сами эти точки.
Если же требуется точное соответствие и характер зависимости неизвестен, нужно использовать интерполяционные методы. Простейшим математически является интерполяционный полином Лагранжа, точно проходящий через опорные точки. Однако в силу высокой степени этого полинома при большом числе опорных точек и плохого качества интерполяции, лучше его не использовать. Преимуществом является сравнительно простая формула.
Лучше использовать интерполяцию сплайнами. Суть этого метода в том, что на каждом участке между двумя соседними точками, исследуемая зависимость интерполируется полиномом, а в точках сшивки двух интервалов записываются условия гладкости. Преимуществом этого метода является качество интерполяция. Недостатками -- практически невозможно вывести общую формулу, приходится находить коэффициенты полинома на каждом участке алгоритмически. Другим недостатком является сложность обобщения на двумерную интерполяцию.

Интерполяция. Введение. Общая постановка задачи

При решении различных практических задач результаты исследований оформляются в виде таблиц, отображающих зависимость одной или нескольких измеряемых величин от одного определяющего параметра (аргумента). Такого рода таблицы представлены обычно в виде двух или более строк (столбцов) и используются для формирования математических моделей.

Таблично заданные в математических моделях функции обычно записываются в таблицы вида:


Y1 (X)	Y(Х0 )	Y(Х1 )	Y(Хn )

Ym (X)	Y(Х0 )	Y(Х1 )	Y(Хn )

Ограниченность информации, представленной такими таблицами, в ряде случаев требует получить значения функций Y j (X) (j=1,2,…,m) в точкахХ , не совпадающих с узловыми точками таблицыХ i (i=0,1,2,…,n) . В таких случаях необходимо определить некоторое аналитическое выражениеφ j (Х) для вычисления приближенных значений исследуемой функцииY j (X) в произвольно задаваемых точкахХ . Функцияφ j (Х) используемая для определения приближенных значений функцииY j (X) называется аппроксимирующей функцией (от латинскогоapproximo - приближаюсь). Близость аппроксимирующей функцииφ j (Х) к аппроксимируемой функцииY j (X) обеспечивается выбором соответствующего алгоритма аппроксимации.

Все дальнейшие рассмотрения и выводы мы будем делать для таблиц, содержащих исходные данные одной исследуемой функции (т. е. для таблиц с m=1 ).

1. Методы интерполяции

1.1 Постановка задачи интерполяции

Наиболее часто для определения функции φ(Х) используется постановка, называемая постановкой задачи интерполяции.

В этой классической постановке задачи интерполяции требуется определить приближенную аналитическую функциюφ(Х) , значения которой в узловых точкахХ i совпадают со значениями Y(Х i ) исходной таблицы, т.е. условий

ϕ (X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n )

Построенная таким образом аппроксимирующая функция φ(Х) позволяет получить достаточно близкое приближение к интерполируемой функцииY(X) в пределах интервала значений аргумента [Х 0 ; Х n ], определяемого таблицей. При задании значений аргументаХ ,не принадлежащих этому интервалу, задача интерполяции преобразуется в задачуэкстраполяции . В этих случаях точность

значений, получаемых при вычислении значений функции φ(Х), зависит от расстояния значения аргументаХ отХ 0 , еслиХ <Х 0 , или отХ n , еслиХ >Х n .

При математическом моделировании интерполирующая функция может быть использована для вычисления приближенных значений исследуемой функции в промежуточных точках подынтервалов [Х i ; Х i+1 ]. Такая процедура называетсяуплотнением таблицы .

Алгоритм интерполяции определяется способом вычисления значений функции φ(Х). Наиболее простым и очевидным вариантом реализации интерполирующей функции является замена исследуемой функцииY(Х) на интервале [Х i ; Х i+1 ] отрезком прямой, соединяющим точкиY i , Y i+1 . Этот метод называется методом линейной интерполяции.

1.2 Линейная интерполяция

При линейной интерполяции значение функции в точке Х , находящейся между узламиХ i иХ i+1 , определяется по формуле прямой, соединяющей две соседние точки таблицы

Y(X) = Y(Xi )+	Y(Xi + 1 )− Y(Xi )	(X − Xi ) (i= 0,1,2, ...,n),

	X i+ 1− X i

На рис. 1 приведен пример таблицы, полученной в результате измерений некоторой величины Y(X) . Строки, исходной таблицы выделены заливкой. Справа от таблицы построена точечная диаграмма, соответствующая этой таблице. Уплотнение таблицы выполнено благодаря вычислению по формуле

(3) значений аппроксимируемой функции в точках Х , соответствующих серединам подынтервалов (i=0, 1, 2, … , n ).

Рис.1. Уплотненная таблица функции Y(X) и соответствующая ей диаграмма

При рассмотрении графика на рис. 1 видно, что точки, полученные в результате уплотнения таблицы по методу линейной интерполяции, лежат на отрезках прямых, соединяющих точки исходной таблицы. Точность линейной

интерполяции, существенно зависит от характера интерполируемой функции и от расстояния между узлами таблицы X i, , X i+1 .

Очевидно, что если функция плавная, то, даже при сравнительно большом расстоянии между узлами, график, построенный путем соединения точек отрезками прямых, позволяет достаточно точно оценить характер функции Y(Х). Если же функция изменяется достаточно быстро, а расстояния между узлами большие, то линейная интерполирующая функция не позволяет получить достаточно точное приближение к реальной функции.

Линейная интерполирующая функция может быть использована для общего предварительного анализа и оценки корректности результатов интерполяции, получаемых затем другими более точными методами. Особенно актуальной такая оценка становится в тех случаях, когда вычисления выполняются вручную.

1.3 Интерполяция каноническим полиномом

Метод интерполяции функции каноническим полиномом основывается на построении интерполирующей функции как полинома в виде [ 1 ]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x+ c2 x2 + ... + cn xn

Коэффициенты с i полинома (4) являются свободными параметрами интерполяции, которые определяются из условий Лагранжа:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Используя (4) и (5) запишем систему уравнений

C x+ c x2		C xn = Y

C x+ c x2		C xn


	C x2		C xn = Y

Вектор решения с i (i = 0, 1, 2, …, n ) системы линейных алгебраических уравнений (6) существует и может быть найден, если среди узловх i нет совпадающих. Определитель системы (6) называется определителем Вандермонда1 и имеет аналитическое выражение [ 2 ].

1 Определителем Вандермонданазывается определитель

Он равен нулю тогда и только тогда, когда xi = xj для некоторых. (Материал из Википедии - свободной энциклопедии)

Для определения значений коэффициентов с i (i = 0, 1, 2, … , n)

уравнений (5) можно записать в векторно-матричной форме

A* C= Y,

где А, матрица коэффициентов, определяемых таблицей степеней вектора аргументовX= (x i 0 , x i , x i 2 , … , x i n ) T (i = 0, 1, 2, … , n)

				x0 2		x0 n




				xn 2		xn n

С - вектор-столбец коэффициентовс i (i = 0, 1, 2, … , n), аY - вектор-столбец значенийY i (i = 0, 1, 2, … , n) интерполируемой функции в узлах интерполяции.

Решение этой системы линейных алгебраических уравнений может быть получено одним из методов, описанных в [ 3 ]. Например, по формуле


С = A− 1 Y,

где А -1 - матрица обратная матрицеА . Для получения обратной матрицы А -1 можно воспользоваться функциейМОБР() , входящей в набор стандартных функций программы Microsoft Excel.

После того, как будут определены значения коэффициентов с i , используя функцию (4), могут быть вычислены значения интерполируемой функции для любого значения аргументах .

Запишем матрицу А для таблицы, приведенной на рис.1, без учёта строк уплотняющих таблицу.

Рис.2 Матрица системы уравнений для вычисления коэффициентов канонического полинома

Используя функцию МОБР() , получим матрицу А -1 обратную матрицеА (рис. 3). После чего, по формуле (9) получим вектор коэффициентовС={c 0 , c 1 , c 2 , …, c n } T , приведенный на рис. 4.

Для вычисления значений канонического полинома в ячейку столбца Y канонич , соответствующую значениюх 0 , введем преобразованную к следующему виду формулу, соответствующую нулевой строке системы (6)

=((((c 5	* х 0 +c 4 )х 0 +c 3 )х 0 +c 2 )х 0 +c 1 )х 0 +c 0

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Вместо записи " c i " в формуле, вводимой в ячейку таблицы Excel, должна стоять абсолютная ссылка на соответствующую ячейку, содержащую этот коэффициент (см. рис. 4). Вместо "х 0 " - относительная ссылка на ячейку столбцаХ (см. рис. 5).

Y канонич (0) значения, совпадающего со значением в ячейкеY лин (0) . При протягивании формулы, записанной в ячейкуY канонич (0), должны также совпасть и значенияY канонич (i) , соответствующие узловым точкам исходной

таблицы (см. рис.5).

Рис. 5. Диаграммы, построенные по таблицам линейной и канонической интерполяции

Сравнение графиков функций, построенных по таблицам, вычисленным по формулам линейной и канонической интерполяции, мы видим в ряде промежуточных узлов существенное отклонение значений, полученных по формулам линейной и канонической интерполяции. Более обосновано судить о точности интерполяции можно на основании получения дополнительной информации о характере моделируемого процесса.

Многие из нас сталкивались с непонятными терминами в разных науках. Но находится очень мало людей, которых не пугают непонятные слова, а наоборот, приободряют и заставляют всё больше углубиться в изучаемый предмет. Сегодня речь пойдёт о такой вещи, как интерполяция. Это способ построения графиков по известным точкам, позволяющий с минимальным количеством информации о функции предсказать её поведение на конкретных участках кривой.

Перед тем как перейти к сути самого определения и рассказать о нём подробнее, немного углубимся в историю.

История

Интерполяция была известна ещё с древнейших времён. Однако своим развитием это явление обязано нескольким самым выдающимся математикам прошлого: Ньютону, Лейбницу и Грегори. Именно они развили это понятие с помощью более продвинутых математических способов, доступных в то время. До этого интерполяцию, конечно, применяли и использовали в вычислениях, но делали это совершенно неточными способами, требующими большого количества данных для построения модели, более-менее близкой к реальности.

Сегодня мы можем даже выбирать, какой из способов интерполяции подходит больше. Всё переведено на компьютерный язык, который с огромной точностью может предсказывать поведение функции на определённом участке, ограниченном известными точками.

Интерполяция представляет собой достаточно узкое понятие, поэтому её история не так богата фактами. В следующем разделе разберёмся, что такое интерполяция на самом деле и чем она отличается от своей противоположности - экстраполяции.

Что такое интерполяция?

Как мы уже говорили, это общее название способов, позволяющих построить график по точкам. В школе в основном это делают с помощью составления таблицы, выявления точек на графике и примерного построения линий, их соединяющих. Последнее действие делается исходя из соображений похожести исследуемой функции на другие, вид графиков которых нам известен.

Однако есть другие, более сложные и точные способы выполнить поставленную задачу построения графика по точкам. Итак, интерполяция - это фактически "предсказание" поведения функции на конкретном участке, ограниченном известными точками.

Существует схожее понятие, связанное с этой же областью, - экстраполяция. Она представляет собой также предсказание графика функции, но за пределами известных точек графика. При таком способе предсказание делается на основе поведения функции на известном промежутке, и потом эта функция применяется и для неизвестного промежутка. Такой способ очень удобен для практического применения и активно используется, например, в экономике для прогнозирования взлётов и падения на рынке и для предсказания демографической ситуации в стране.

Но мы отошли от основной темы. В следующем разделе разберёмся, какая бывает интерполяция и с помощью каких формул можно произвести эту операцию.

Виды интерполяции

Самым простым видом является интерполяция методом ближайшего соседа. С помощью этого способа мы получаем очень приблизительный график, состоящий из прямоугольников. Если вы видели хоть раз объяснение геометрического смысла интеграла на графике, то поймёте, о каком графическом виде идёт речь.

Кроме этого, существуют и другие методы интерполяции. Самые известные и популярные связаны с многочленами. Они более точны и позволяют предсказывать поведение функции при достаточно скудном наборе значений. Первым методом интерполяции, который мы рассмотрим, будет линейная интерполяция многочленами. Это самый простой способ из данной категории, и им наверняка каждый из вас пользовался в школе. Суть его заключается в построении прямых между известными точками. Как известно, через две точки плоскости проходит единственная прямая, уравнение которой можно найти исходя из координат данных точек. Построив эти прямые, мы получаем ломаный график, который худо-бедно, но отражает примерные значения функций и в общих чертах совпадает с реальностью. Так и осуществляется линейная интерполяция.

Усложнённые виды интерполяции

Есть более интересный, но при этом более сложный способ интерполяции. Его придумал французский математик Жозеф Луи Лагранж. Именно поэтому расчет интерполяции по этому методу назван его именем: интерполяция по методу Лагранжа. Фокус тут вот в чём: если способ, изложенный в предыдущем абзаце, использует для расчета только линейную функцию, то разложение методом Лагранжа предполагает также использование многочленов более высоких степеней. Но не так просто найти сами формулы интерполяции для разных функций. И чем больше точек известно, тем точнее получается формула интерполяции. Но есть и масса других методов.

Существует и более совершенный и приближенный к реальности метод расчета. Формула интерполяции, используемая в нём, представляет собой совокупность многочленов, применение каждого из которых зависит от участка функции. Такой метод называется сплайн-функцией. Кроме того, есть ещё и способы, позволяющие провести такую вещь, как интерполяция функций двух переменных. Тут всего два метода. Среди них билинейная или двойная интерполяция. Этот способ позволяет без труда построить график по точкам в трёхмерном пространстве. Другие методы затрагивать не будем. Вообще, интерполяция - это универсальное называние для всех этих способов построения графиков, но многообразие способов, которыми можно осуществить это действие, заставляет делить их на группы в зависимости от вида функции, которая подлежит этому действию. То есть интерполяция, пример которой мы рассмотрели выше, относится к прямым способам. Есть также обратная интерполяция, которая отличается тем, что позволяет вычислить не прямую, а обратную функцию (то есть x от y). Рассматривать последние варианты мы не будем, так как это достаточно сложно и требует хорошей математической базы знаний.

Перейдём к, пожалуй, одному из важнейших разделов. Из него мы узнаем, как и где обсуждаемая нами совокупность методов применяется в жизни.

Применение

Математика, как известно, царица наук. Поэтому даже если вы сначала не видите смысла в тех или иных операциях, это не значит, что они бесполезны. Вот, например, кажется, что интерполяция - это бесполезная вещь, с помощью которой только графики строить можно, которые сейчас мало кому нужны. Однако при любых расчётах в технике, физике и многих других науках (например, биологии), крайне важно представлять достаточно полную картину о явлении, имея при этом определённый набор значений. Сами значения, разбросанные по графику, не всегда дают чёткие представления о поведении функции на конкретном участке, значениях её производных и точек пересечения с осями. А это очень важно для многих областей нашей с вами жизни.

А как это пригодится в жизни?

На подобный вопрос бывает очень сложно ответить. Но ответ прост: никак. Именно эти знания вам никак не пригодятся. А вот если вы поймёте этот материал и методы, с помощью которых осуществляются эти действия, вы потренируете свою логику, которая в жизни очень пригодится. Главное - не сами знания, а те навыки, которые человек приобретает в процессе изучения. Ведь недаром существует поговорка: "Век живи - век учись".

Смежные понятия

Вы можете сами понять, насколько важна была (и до сих пор не теряет свою важность) эта область математики, взглянув на многообразие других концепций, связанных с данной. Мы уже говорили об экстраполяции, но есть ещё и аппроксимация. Может быть, вы уже слышали это слово. В любом случае то, что оно обозначает, мы тоже разбирали в этой статье. Аппроксимация, как и интерполяция, - это понятия, связанные с построением графиков функций. Но отличие первой от второй в том, что она представляет собой приблизительное построение графика на основе сходных известных графиков. Эти два понятия очень похожи между собой, и тем интереснее изучать каждое из них.

Заключение

Математика - не такая сложная наука, как кажется на первый взгляд. Она, скорее, интересная. И в этой статье мы попытались вам это доказать. Мы рассмотрели понятия, связанные с построением графиков, узнали, что такое двойная интерполяция, и разобрали на примерах, где она применяется.