Ряды распределения и группировки.

Вариационные ряды: определение, виды, основные характеристики. Методика расчета
моды, медианы, средней арифметической в медико-статистических исследованиях
(показать на условном примере).

Вариационный ряд – это ряд числовых значений изучаемого признака, отличающихся друг от друга по своей величине и расположенных в определенной последовательности(в восходящем или убывающем порядке). Каждое числовое значение ряда называют вариантой (V), а числа, показывающие, как часто встречается та или иная варианта в составе данного ряда, называется частотой (р).

Общее число случаев наблюдений, из которых вариационный ряд состоит, обозначают буквой n. Различие в значении изучаемых признаков называется вариацией. В случае если варьирующий признак не имеет количественной меры, вариацию называют качественной, а ряд распределения – атрибутивным (например, распределение по исходу заболевания, по состоянию здоровья и т.д.).

Если варьирующий признак имеет количественное выражение, такую вариацию называют количественной, а ряд распределения – вариационным.

Вариационные ряды делятся на прерывные и непрерывные – по характеру количественного признака, простые и взвешенные – по частоте встречаемости вариант.

В простом вариационном ряду каждая варианта встречается только один раз (р=1), во взвешенном – одна и та же варианта встречается несколько раз (р>1). Примеры таких рядов будут рассмотрены далее по тексту. Если количественный признак носит непрерывный характер, т.е. между целыми величинами имеются промежуточные дробные величины, вариационный ряд называется непрерывным.

Например: 10,0 – 11,9

14,0 – 15,9 и т.д.

Если количественный признак носит прерывный характер, т.е. отдельные его значения (варианты) отличаются друг от друга на целое число и не имеют промежуточных дробных значений, вариационный ряд называют прерывным или дискретным.

Используя данные предыдущего примера о частоте пульса

у 21 студентов, построим вариационный ряд (табл. 1).

Таблица 1

Распределение студентов-медиков по частоте пульса (уд/мин)

Таким образом, построить вариационный ряд – означает имеющиеся числовые значения (варианты) систематизировать, упорядочить, т.е. расположить в определенной последовательности (в восходящем или убывающем порядке) с соответствующими им частотами. В рассматриваемом примере варианты расположены в восходящем порядке и выражены в виде целых прерывных (дискретных) чисел, каждая варианта встречается несколько раз, т.е. мы имеем дело со взвешенным, прерывным или дискретным вариационным рядом.

Как правило, если число наблюдений в изучаемой нами статистической совокупности не превышает 30, то достаточно все значения изучаемого признака расположить в вариационном ряду в нарастающем, как в табл. 1, или убывающем порядке.

При большом количестве наблюдений (n>30) число встречающихся вариант может быть очень большим, в этом случае составляется интервальный или сгруппированный вариационный ряд, в котором для упрощения последующей обработки и выяснения характера распределения варианты объединены в группы.

Обычно число групповых вариант колеблется от 8 до 15.

Их должно быть не меньше 5, т.к. иначе это будет слишком грубое, чрезмерное укрупнение, что искажает общую картину варьирования и сильно сказывается на точности средних величин. При числе групповых вариант более 20-25 увеличивается точность вычисления средних величин, но существенно искажаются особенности варьирования признака и усложняется математическая обработка.

При составлении сгруппированного ряда необходимо учесть,

− группы вариант должны располагаться в определенном порядке (в восходящем или нисходящем);

− интервалы в группах вариант должны быть одинаковыми;

− значения границ интервалов не должны совпадать, т.к. неясно будет, в какие группы относить отдельные варианты;

− необходимо учитывать качественные особенности собираемого материала при установлении пределов интервалов (например, при изучении веса взрослых людей интервал 3-4 кг допустим, а для детей первых месяцев жизни он не должен превышать 100 г.)

Построим сгруппированный (интервальный) ряд, характеризующий данные о частоте пульса (число ударов в минуту) у 55 студентов-медиков перед экзаменом: 64, 66, 60, 62,

64, 68, 70, 66, 70, 68, 62, 68, 70, 72, 60, 70, 74, 62, 70, 72, 72,

64, 70, 72, 76, 76, 68, 70, 58, 76, 74, 76, 76, 82, 76, 72, 76, 74,

79, 78, 74, 78, 74, 78, 74, 74, 78, 76, 78, 76, 80, 80, 80, 78, 78.

Для построения сгруппированного ряда необходимо:

1. Определить величину интервала;

2. Определить середину, начало и конец групп вариант вариационного ряда.

● Величина интервала (i) определяется по числу предполагаемых групп (r), количество которых устанавливается в зависимости от числа наблюдений (n) по специальной таблице

Число групп в зависимости от числа наблюдений:

В нашем случае, для 55 студентов, можно составить от 8 до 10 групп.

Величина интервала (i) определяется по следующей формуле –

i = V max-V min/r

В нашем примере величина интервала равна 82- 58/8= 3.

Если величина интервала представляет собой дробное число, полученный результат следует округлить до целого числа.

Различают несколько видов средних величин:

● средняя арифметическая,

● средняя геометрическая,

● средняя гармоническая,

● средняя квадратическая,

● средняя прогрессивная,

● медиана

В медицинской статистике наиболее часто пользуются средними арифметическими величинами.

Средняя арифметическая величина (М) является обобщающей величиной, которая определяет то типичное, что характерно для всей совокупности. Основными способами расчета М являются: среднеарифметический способ и способ моментов (условных отклонений).

Среднеарифметический способ применяется для вычисления средней арифметической простой и средней арифметической взвешенной. Выбор способа расчета средней арифметической величины зависит от вида вариационного ряда. В случае простого вариационного ряда, в котором каждая варианта встречается только один раз, определяется средняя арифметическая простая по формуле:

где: М – средняя арифметическая величина;

V – значение варьирующего признака (варианты);

Σ – указывает действие – суммирование;

n – общее число наблюдений.

Пример расчета средней арифметической простой. Частота дыхания (число дыхательных движений в минуту) у 9 мужчин в возрасте 35 лет: 20, 22, 19, 15, 16, 21, 17, 23, 18.

Для определения среднего уровня частоты дыхания у мужчин в возрасте 35 лет необходимо:

1. Построить вариационный ряд, расположив все варианты в возрастающем или убывающем порядке Мы получили простой вариационный ряд, т.к. значения вариант встречаются только один раз.

M = ∑V/n = 171/9 = 19 дыхательных движений в минуту

Вывод. Частота дыхания у мужчин в возрасте 35 лет в среднем равна 19 дыхательным движениям в минуту.

Если отдельные значения вариант повторяются, незачем выписывать в линию каждую варианту, достаточно перечислить встречающиеся размеры вариант (V) и рядом указать число их повторений (р). такой вариационный ряд, в котором варианты как бы взвешиваются по числу соответствующих им частот, носит название – взвешенный вариационный ряд, а рассчитываемая средняя величина – средней арифметической взвешенной.

Средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле: M= ∑Vp/n

где n – число наблюдений, равное сумме частот – Σр.

Пример расчета средней арифметической взвешенной.

Длительность нетрудоспособности (в днях) у 35 больных острыми респираторными заболеваниями (ОРЗ), лечившихся у участкового врача на протяжении I-го квартала текущего года составила: 6, 7, 5, 3, 9, 8, 7, 5, 6, 4, 9, 8, 7, 6, 6, 9, 6, 5, 10, 8, 7, 11, 13, 5, 6, 7, 12, 4, 3, 5, 2, 5, 6, 6, 7 дней.

Методика определения средней длительности нетрудоспособности у больных с ОРЗ следующая:

1. Построим взвешенный вариационный ряд, т.к. отдельные значения вариант повторяются несколько раз. Для этого можно расположить все варианты в возрастающем или убывающем порядке с соответствующими им частотами.

В нашем случае варианты расположены в возрастающем порядке

2. Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную по формуле: M = ∑Vp/n = 233/35 = 6,7 дней

Распределение больных с ОРЗ по длительности нетрудоспособности:

Длительность нетрудоспособности (V)	Число больных (p)	Vp
	∑p = n = 35	∑Vp = 233

Вывод. Длительность нетрудоспособности у больных с острыми респираторными заболеваниями составила в среднем 6,7 дней.

Мода (Мо) – наиболее часто встречающаяся варианта в вариационном ряду. Для распределения, представленного в таблице, моде соответствует варианта, равная 10, она встречается чаще других – 6 раз.

Распределение больных по длительности пребывания на больничной койке (в днях)

V

p

Иногда точную величину моды установить трудно, поскольку в изучаемых данных может существовать несколько наблюдений, встречающихся «наиболее часто».

Медиана (Ме) – непараметрический показатель, делящий вариационный ряд на две равные половины: в обе стороны от медианы располагается одинаковое число вариант.

Например, для распределения, указанного в таблице, медиана равна 10, т.к. по обе стороны от этой величины располагается по 14 вариант, т.е. число 10 занимает центральное положение в этом ряду и является его медианой.

Учитывая, что число наблюдений в этом примере четное (n=34), медиану можно определить таким образом:

Me = 2+3+4+5+6+5+4+3+2/2 = 34/2 = 17

Это означает, что середина ряда приходится на семнадцатую по счету варианту, которой соответствует медиана, равная 10. Для распределения, представленного в таблице, средняя арифметическая равна:

M = ∑Vp/n = 334/34 = 10,1

Итак, для 34 наблюдений из табл. 8, мы получили: Мо=10, Ме=10, средняя арифметическая (М) равна 10,1. В нашем примере все три показателя оказались равными или близкими друг к другу, хотя они совершенно различны.

Средняя арифметическая является результативной суммой всех влияний, в формировании ее принимают участие все без исключения варианты, в том числе и крайние, часто нетипичные для данного явления или совокупности.

Мода и медиана, в отличие от средней арифметической, не зависят от величины всех индивидуальных значений варьирующего признака (значений крайних вариант и степени рассеяния ряда). Средняя арифметическая характеризует всю массу наблюдений, мода и медиана – основную массу

Вариация определяет различия в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период (момент времени). Причиной вариации бывают разные условия существования разных единиц совокупности. Например, даже близнецы в процессе жизни приобретают различия в росте, весе, а также в таких признаках, как уровень образования, доход, количество детей и т.д.

Вариация возникает в результате того, что сами значения признака складываются под суммарным влиянием разнообразных условий, которые разным образом сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина любого варианта объективна.

Вариация характерна всем без исключения явлениям природы и общества, кроме законодательно закрепленных нормативных значений отдельных социальных признаков. Исследования вариации в статистике имеют огромное значение, помогают познать сущность изучаемого явления. Нахождение вариации, выяснение ее причин, выявление влияния отдельных факторов дают важную информацию для внедрения научно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщенную характеристику признака совокупности, но она не раскрывает её строения. Среднее значение не показывает, как располагаются вокруг нее варианты осредненного признака, распределены ли они вблизи средней или отклоняются от нее. Средняя в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном варианте все индивидуальные значения отличаются от нее незначительно, а в другом - эти отличия велики, т.е. в первом случае вариация признака мала, а во втором - велика, это имеет очень важное значение для характеристики значимости средней величины.

Для того, чтобы руководитель организации, управляющий, научный работник могли изучать вариацию и управлять ей, статистикой разработаны специальные методы исследования вариации (система показателей). С их помощью вариация находится, характеризуются ее свойства. К показателям вариации относятся : размах вариации, среднее линейное отклонение, коэффициент вариации.

Вариационный ряд и его формы

Вариационный ряд - это упорядоченное распределение единиц совокупности чаще по возрастающим (реже убывающим) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака. Когда численность единиц совокупности большая, ранжированный ряд становится громоздким, его построение занимает длительное время. В такой ситуации вариационный ряд строится с помощью группировки единиц совокупности по значениям изучаемого признака.

Существуют следующие формы вариационного ряда :

1. Ранжированный ряд представляет собой, перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания (убывания) изучаемого признака.
2. Дискретный вариационный ряд - это таблица, состоящая из двух строк или граф: конкретных значений варьирующего признака х и числа единиц совокупности с данным значение f - признака частот. Он строится тогда, когда признак принимает наибольшее число значений.
3. Интервальный ряд .

Размах вариации определяется как абсолютная величина разности между максимальными и минимальными значениями (вариантами) признака:

Размах вариации показывает только крайние отклонения признака и не отражает отдельных отклонений всех вариантов в ряду. Он характеризует пределы изменения варьирующего признака и зависим от колебаний двух крайних вариантов и абсолютно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, что придает этой величине, случайный характер. Для анализа вариации нужен показатель, который отражает все колебания вариационного признака и даёт общую характеристику. Простейший показатель такого вида — среднее линейное отклонение.

Понятие вариационного ряда. Первым шагом систематизации материалов статистического наблюдения является подсчет числа единиц, обладающих тем или иным признаком. Расположив единицы в порядке возрастания или убывания их количественного признака и подсчитав число единиц с конкретным значением признака, получаем вариационный ряд. Вариационный ряд характеризует распределение единиц определенной статистической совокупности по какому–либо количественному признаку.

Вариационный ряд представляет собой две колонки, в левой колонке приводятся значения варьирующего признака, именуемые вариантами и обозначаемые (x), а в правой – абсолютные числа, показывающие, сколько раз встречается каждый вариант. Показатели этой колонки называются частотами и обозначаются (f).

Схематично вариационный ряд можно представить в виде табл.5.1:

Таблица 5.1

Вид вариационного ряда

Варианты (x)	Частоты (f)

В правой колонке могут использоваться и относительные показатели, характеризующие долю частоты отдельных вариантов в общей сумме частот. Эти относительные показатели именуют частостями и условно обозначают через , т.е. . Сумма всех частостей равна единице. Частости могут быть выражены и в процентах, и тогда их сумма будет равна 100%.

Варьирующие признаки могут носить разный характер. Варианты одних признаков выражаются в целых числах, например, число комнат в квартире, число изданных книг и т.д. Эти признаки именуют прерывными, или дискретными. Варианты других признаков могут принимать любые значения в определенных пределах, как, например, выполнение плановых заданий, заработная плата и др. Эти признаки называют непрерывными.

Дискретный вариационный ряд. Если варианты вариационного ряда выражены в виде дискретных величин, то такой вариационный ряд называют дискретным, его внешний вид представлен в табл. 5.2:

Таблица 5.2

Распределение студентов по оценкам, полученным на экзамене

Оценки (х)	Количество студентов (f)	В % к итогу ()

Характер распределения в дискретных рядах изображается графически в виде полигона распределения, рис.5.1.

Рис. 5.1. Распределение студентов по оценкам, полученным на экзамене.

Интервальный вариационный ряд. Для непрерывных признаков вариационные ряды строятся интервальные, т.е. значения признака в них выражаются в виде интервалов «от и до». При этом минимальное значение признака в таком интервале именуют нижней границей интервала, а максимальное – верхней границей интервала.

Интервальные вариационные ряды строят как для прерывных признаков (дискретных), так и для варьирующих в большом диапазоне. Интервальные ряды могут быть с равными и неравными интервалами. В экономической практике в большинстве своем применяются неравные интервалы, прогрессивно возрастающие или убывающие. Такая необходимость возникает особенно в тех случаях, когда колеблемость признака осуществляется неравномерно и в больших пределах.

Рассмотрим вид интервального ряда с равными интервалами, табл. 5.3:

Таблица 5.3

Распределение рабочих по выработке

Выработка, т.р. (х)	Число рабочих (f)	Кумулятивная частота (f´)

Интервальный ряд распределения графически изображается в виде гистограммы, рис.5.2.

Рис.5.2. Распределение рабочих по выработке

Накопленная (кумулятивная) частота. В практике возникает потребность в преобразовании рядов распределения в кумулятивные ряды, строящиеся по накопленным частотам. С их помощью можно определить структурные средние, которые облегчают анализ данных ряда распределения.

Накопленные частоты определяются путем последовательного прибавления к частотам (или частостям) первой группы этих показателей последующих групп ряда распределения. Для иллюстрации рядов распределения используются кумуляты и огивы. Для их построения на оси абсцисс отмечаются значения дискретного признака (или концы интервалов), а на оси ординат – нарастающие итоги частот (кумулята), рис.5.3.

Рис. 5.3. Кумулята распределения рабочих по выработке

Если шкалы частот и вариантов поменять местами, т.е. на оси абсцисс отражать накопленные частоты, а на оси ординат – значения вариантов, то кривая, характеризующая изменение частот от группы к группе, будет носит название огивы распределения, рис.5.4.

Рис. 5.4. Огива распределения рабочих по выработке

Вариационные ряды с равными интервалами обеспечивают одно из важнейших требований, предъявляемых к статистическим рядам распределения, обеспечение сравнимости их во времени и пространстве.

Плотность распределения. Однако частоты отдельных неравных интервалов в названных рядах непосредственно не сопоставимы. В подобных случаях для обеспечения необходимой сравнимости исчисляют плотность распределения, т.е. определяют, сколько единиц в каждой группе приходится на единицу величины интервала.

При построении графика распределения вариационного ряда с неравными интервалами высоту прямоугольников определяют пропорционально не частотам, а показателям плотности распределения значений изучаемого признака в соответствующих интервалах.

Составление вариационного ряда и его графическое изображение является первым шагом обработки исходных данных и первой ступенью анализа изучаемой совокупности. Следующим шагом в анализе вариационных рядов является определение основных обобщающих показателей, именуемых характеристиками ряда. Эти характеристики должны дать представление о среднем значении признака у единиц совокупности.

Средняя величина . Средняя величина представляет собой обобщенную характеристику изучаемого признака в исследуемой совокупности, отражающая ее типический уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина всегда именованная, имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Перед вычислением средних величин необходимо произвести группировку единиц исследуемой совокупности, выделив качественно однородные группы.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом называется общей средней, а для каждой группы – групповыми средними.

Существуют две разновидности средних величин: степенные (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая); структурные (мода, медиана, квартили, децили).

Выбор средней для расчета зависит от цели.

Виды степенных средних и методы их расчета. В практике статистической обработки собранного материала возникают различные задачи, для решения которых требуются различные средние.

Математическая статистика выводит различные средние из формул степенной средней:

где средняя величина; x – отдельные варианты (значения признаков); z – показатель степени (при z = 1 – средняя арифметическая, z = 0 средняя геометрическая, z = - 1 – средняя гармоническая, z = 2 – средняя квадратическая).

Однако вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в каждом отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности.

Наиболее часто встречающимся в статистике видом средних величин является средняя арифметическая . Она исчисляется в тех случаях, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется различными способами:

Если данные несгруппированные, то расчет ведется по формуле простой средней величины

Расчет средней арифметической в дискретном ряду происходит по формуле 3.4.

Расчет средней арифметической в интервальном ряду. В интервальном вариационном ряду, где за величину признака в каждой группе условно принимается середина интервала, средняя арифметическая может отличаться от средней, рассчитанной по несгруппированным данным. Причем, чем больше величина интервала в группах, тем больше возможные отклонения средней, вычисленной по сгруппированным данным, от средней, рассчитанной по несгруппированным данным.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. А затем рассчитывают среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной.

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, которые позволяют упрощать вычисления, рассмотрим их.

1. Средняя арифметическая из постоянных чисел равна этому постоянному числу.

Если х = а. Тогда .

2. Если веса всех вариантов пропорционально изменить, т.е. увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая нового ряда от этого не изменится.

Если все веса f уменьшить в k раз, то .

3. Сумма положительных и отрицательных отклонений отдельных вариантов от средней, умноженных на веса, равна нулю, т.е.

Если , то . Отсюда .

Если все варианты уменьшить или увеличить на какое- либо число, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится на столько же.

Уменьшим все варианты x на a , т.е. x ´ = x – a.

Тогда

Среднюю арифметическую первоначального ряда можно получить, прибавляя к уменьшенной средней ранее вычтенное из вариантов числа a , т.е. .

5. Если все варианты уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится во столько же, т.е. в k раз.

Пусть , тогда .

Отсюда , т.е. для получения средней первоначального ряда среднюю арифметическую нового ряда (с уменьшенными вариантами) надо увеличить в k раз.

Средняя гармоническая. Средняя гармоническая это величина обратная средней арифметической. Ее используют, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение (М= xf). Средняя гармоническая будет рассчитываться по формуле 3.5

Практическое применение средней гармонической – для расчета некоторых индексов, в частности, индекса цен.

Средняя геометрическая. При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака. Например, страховая компания заключает договоры на оказание услуг автострахования. В зависимости конкретного страхового случая страховая выплата может колебаться от 10000 до 100000 долл. в год. Средняя сумма выплат по страховке составит долл.

Средняя геометрическая это величина, используемая как средняя из отношений или в рядах распределения, представленных в виде геометрической прогрессии, когда z = 0. Этой средней удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разностям, а отношениям двух чисел.

Формулы для расчета следующие

где – варианты осредняемого признака; – произведение вариантов; f – частота вариантов.

Средняя геометрическая используется в расчетах среднегодовых темпов роста.

Средняя квадратическая. Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.

Средняя квадратическая величина рассчитывается по формуле

В экономических исследованиях средняя квадратическая в измененном виде широко используется при расчете показателей вариации признака, таких как дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Правило мажорантности. Между степенными средними существует следующая зависимость – чем больше показатель степени, тем больше значение средней, табл.5.4:

Таблица 5.4

Соотношение между средними величинами

Значение z
Соотношение между средними

Это соотношение называется правилом мажорантности.

Структурные средние величины. Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными средними. К таким показателям относятся мода, медиана, квартили и децили.

Мода. Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности. Модой называется то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.

Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса (при определении размеров одежды и обуви, которые пользуются широким спросом), регистрации цен. Мод в совокупности может быть несколько.

Расчет моды в дискретном ряду. В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. Рассмотрим нахождение моды в дискретном ряду.

Расчет моды в интервальном ряду. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант модального интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой. Для интервального ряда мода будет определяться формулой

где – нижняя граница модального интервала; – величина модального интервала; – частота, соответствующая модальному интервалу; – частота, предшествующая модальному интервалу; – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана. Медианой () называется значение признака у средней единицы ранжированного ряда. Ранжированный ряд – это ряд, у которого значения признака записаны в порядке возрастания или убывания. Или медиана это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значение варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Чтобы найти медиану, сначала определяется ее порядковый номер. Для этого при нечетном числе единиц к сумме всех частот прибавляется единица и все делится на два. При четном числе единиц медиана отыскивается как значение признака у единицы, порядковый номер который определяется по общей сумме частот, деленной на два. Зная порядковый номер медианы, легко по накопленным частотам найти ее значение.

Расчет медианы в дискретном ряду. По данным выборочного обследования получены данные о распределении семей по числу детей, табл. 5.5. Для определения медианы сначала определим ее порядковый номер

В этих семьях количество детей равно 2, следовательно, = 2. Таким образом, в 50% семей число детей не превышает 2.

–частота накопленная, предшествующая медианному интервалу;

С одной стороны, это весьма положительное свойство т.к. в этом случае учитывается действие всех причин, воздействующих на все единицы изучаемой совокупности. С другой стороны, даже одно наблюдение, попавшее в исходные данные случайно, может существенным образом исказить представление об уровне развития изучаемого признака в рассматриваемой совокупности (особенно в коротких рядах).

Квартили и децили. По аналогии с нахождением медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Так, в частности, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на 4 равные части, на 10 и т.п.

Квартили. Варианты, которые делят ранжированный ряд на четыре равные части, называют квартилями.

При этом различают: нижний (или первый) квартиль (Q1) – значение признака у единицы ранжированного ряда, делящей совокупность в соотношении ¼ к ¾ и верхний (или третий) квартиль(Q3) – значение признака у единицы ранжированного ряда, делящий совокупность в соотношении ¾ к ¼.

– частоты квартильных интервалов (нижнего и верхнего)

Интервалы, в которых содержатся Q1 и Q3 определяют по накопленным частотам (или частостям).

Децили. Кроме квартилей рассчитывают децили – варианты, делящие ранжированный ряд на 10 равных частей.

Обозначаются они через D, первый дециль D1 делит ряд в соотношении 1/10 и 9/10, второй D2 – 2/10 и 8/10 и т.д. Вычисляются они по той же схеме, что и медиана и квартили.

И медиана, и квартили, и децили принадлежат к так называемым порядковым статистикам, под которым понимают вариант, занимающий определенное порядковое место в ранжированном ряду.

(определение вариационного ряда; составляющие вариационного ряда; три формы вариационного ряда; целесообразность построения интервального ряда; выводы, которые можно сделать по построенному ряду)

Вариационным рядом называется последовательность всех элементов выборки, расположенных в неубывающем порядке. Одинаковые элементы повторяются

Вариационные – это ряды, построенные по количественному признаку.

Вариационные ряды распределения состоят из двух элементов: вариантов и частот:

Варианты – это числовые значения количественного признака в вариационном ряду распределения. Они могут быть положительными и отрицательными, абсолютными и относительными. Так, при группировке предприятий по результатам хозяйственной деятельности варианты положительные – это прибыль, а отрицательные числа – это убыток.

Частоты – это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. это числа, показывающие, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот называется объемом совокупности и определяется числом элементов всей совокупности.

Частости – это частоты, выраженные в виде относительных величин (долях единиц или процентах). Сумма частостей равна единице или 100%. Замена частот частостями позволяет сопоставлять вариационные ряды с разным числом наблюдений.

Выделяют три формы вариационного ряда: ранжированный ряд, дискретный ряд и интервальный ряд.

Ранжированный ряд - это распределение отдельных единиц совокупности в порядке возрастания или убывания исследуемого признака. Ранжирование позволяет легко разделить количественные данные по группам, сразу обнаружить наименьшее и наибольшее значения признака, выделить значения, которые чаще всего повторяются.

Другие формы вариационного ряда - групповые таблицы, составленные по характеру вариации значений изучаемого признака. По характеру вариации различают дискретные (прерывные) и непрерывные признаки.

Дискретный ряд - это такой вариационный ряд, в основу построения которого положены признаки с прерывным изменением (дискретные признаки). К последним можно отнести тарифный разряд, количество детей в семье, число работников на предприятии и т.д. Эти признаки могут принимать только конечное число определенных значений.

Дискретный вариационный ряд представляет таблицу, которая состоит из двух граф. В первой графе указывается конкретное значение признака, а во второй - число единиц совокупности с определенным значением признака.

Если признак имеет непрерывное изменение (размер дохода, стаж работы, стоимость основных фондов предприятия и т.д., которые в определенных границах могут принимать любые значения), то для этого признака нужно строить интервальный вариационный ряд.

Групповая таблица здесь также имеет две графы. В первой указывается значение признака в интервале «от - до» (варианты), во второй - число единиц, входящих в интервал (частота).

Частота (частота повторения) - число повторений отдельного варианта значений признака, обозначается fi , а сумма частот, равная объему исследуемой совокупности, обозначается

Где k - число вариантов значений признака

Очень часто таблица дополняется графой, в которой подсчитываются накопленные частоты S, которые показывают, какое количество единиц совокупности имеет значение признака не большее, чем данное значение.

Дискретный вариационный ряд распределения – это ряд, в котором группы составлены по признаку, изменяющемуся дискретно и принимающему только целые значения.

Интервальный вариационный ряд распределения – это ряд, в котором группировочный признак, составляющий основание группировки, может принимать в определенном интервале любые значения, в том числе и дробные.

Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или частостями попаданий в каждый из них значений величины.

Интервальный ряд распределения целесообразно строить, прежде всего, при непрерывной вариации признака, а также, если дискретная вариация проявляется в широких пределах, т.е. число вариантов дискретного признака достаточно велико.

По этому ряду уже можно сделать несколько выводов. Например, средний элемент вариационного ряда (медиана) может быть оценкой наиболее вероятного результата измерения. Первый и последний элемент вариационного ряда (т.е. минимальный и максимальный элемент выборки) показывают разброс элементов выборки. Иногда если первый или последний элемент сильно отличаются от остальных элементов выборки, то их исключают из результатов измерений, считая, что эти значения получены в результате какого-то грубого сбоя, например, техники.

Ряды, построенные по количественному признаку , называются вариационным .

Ряды распределений состоят из вариантов (значений признака) и частот (численности групп). Частоты, выраженные в виде относительных величин (долей, процентов) называются частостями . Сумма всех частот называется объёмом ряда распределения.

По виду ряды распределения делятся на дискретные (построены по прерывным значениям признака) и интервальные (построены на непрерывных значениях признака).

Вариационный ряд представляет собой две колонки (или строки); в одной из которых приводятся отдельные значения варьирующего признака, именуемые вариантами и обозначаемые Х; а в другой – абсолютные числа, показывающие сколько раз (как часто) встречается каждый вариант. Показатели второй колонки называются частотами и условно обозначают через f. Еще раз заметим, что во второй колонке могут использоваться и относительные показатели, характеризующие долю частоты отдельных вариантов в общей сумме частот. Эти относительные показатели именуются частостями и условно обозначают через ω Сумма всех частостей в этом случае равна единице. Однако частоты можно выражать и в процентах, и тогда сумма всех частостей дает 100%.

Если варианты вариационного ряда выражены в виде дискретных величин, то такой вариационный ряд именуют дискретным.

Для непрерывных признаков вариационные ряды строятся как интервальные , то есть значения признака в них выражаются «от… до …». При этом минимальны значения признака в таком интервале именуют нижней границей интервала, а максимальное – верхней границей.

Интервальные вариационные ряды строят и для дискретных признаков, варьирующих в большом диапазоне. Интервальные ряды могут быть с равными и неравными интервалами.

Рассмотрим как определяется величина равных интервалов. Введем следующие обозначения:

i – величина интервала;

- максимальное значение признака у единиц совокупности;

– минимальное значение признака у единиц совокупности;

n – число выделяемых групп.

, если n известно.

Если число выделяемых групп трудно заранее определить, то для расчета оптимальной величины интервала при достаточном объеме совокупности может быть рекомендована формула, предложенная Стерджессом в 1926 году:

n = 1+ 3.322 lg N, где N – число единиц в совокупности.

Величина неравных интервалов определяется в каждом отдельном случае с учетом особенностей объекта изучения.

Статистическим распределением выборки называют перечень ва­риант и соответствующих им частот (или относительных частот).

Статистическое распределение выборки можно задать в виде таблицы, в первой графе которой располагаются варианты, а во второй - соот­ветствующие этим вариантам частоты ni , или относительные частоты Pi .

Статистическое распределение выборки

Интервальными называются вариационные ряды, в которых значе­ния признаков, положенных в основу их образования, выражены в определенных пределах (интервалах). Частоты в этом случае относятся, не к отдельным значениям признака, а ко всему интервалу.

Интервальные ряды распределения строятся по непрерывным количе­ственным признакам, а также по дискретным признакам, варьирующим в значительных пределах.

Интервальный ряд можно представить статистическим распределени­ем выборки с указанием интервалов и соответствующих им частот. При этом в качестве частоты интервала принимают сумму частот вариант, по­павших в этот интервал.

При группировке по количественным непрерывным признакам важ­ное значение имеет определение размера интервала.

Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда.

Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.