Главная › Воспитание › Симметрия в орнаментах узорах в народных костюмах. Орнаментальная симметрия

Симметрия в орнаментах узорах в народных костюмах. Орнаментальная симметрия

В основе построения орнамента, составленного из абстрактных или изобразительных мотивов, лежит многократное повторение этих мотивов по законам симметрии.

Симметрия -- это определенный порядок в построении какой-либо пространственной формы, позволяющий этой форме совмещаться с самой собой при определенных поворотах, сдвигах или отражениях. Различные виды симметрии изучаются специальными разделами математики

В науке о симметрии различают два типа симметрии: конечные (например, розетки) и бесконечные, чья структура может быть продолжена в одном (волнистая линия, меандр и т. п.), в двух или трех направлениях. В орнаменте используются оба эти типа симметричных структур.

Среди наиболее распространенных видов симметрии, используемых при создании орнаментальных композиций, находится зеркальная симметрия. Это когда предмет или фигура делятся плоскостью на две половины так, чтобы одна половина, отразившись в этой плоскости как в зеркале, совпала с другой. Зеркальная симметрия присуща телу человека, телам многих животных. Она способствует впечатлению уравновешенности и покоя. В орнаменте сохраняется то же ощущение.

Другой вид симметрии -- осевая симметрия, при которой фигуры совмещаются посредством поворота вокруг оси, перпендикулярной к плоскости изображения. Количество таких совмещений на протяжении полного кругового оборота фигуры называется порядком оси. Осевая симметрия может иметь любой выраженный целым числом порядок -- от второго до бесконечности.

Фигур с осевой симметрией может быть бесконечное множество. Для них характерна четкая организация, когда равные друг другу части распределены вокруг единого центра (точка, через которую проходит ось симметрии) равномерно и в одинаковом к нему отношении. При этом все углы поворотов совпадения фигуры с самой собой должны быть равны, иначе полного совпадения не произойдет. Расстояние от одноха-рактерных точек фигуры до центра также должно быть одинаково.

Осевая симметрия часто встречается в природе, широко применяется в орнаментах: симметрия цветка и орнаментального аналога -- розетки.

Когда фигура имеет узор, построенный на основе только осевой симметрии, то этот орнамент производит впечатление бесконечной подвижности и выражает вращательное движение в определенном направлении.

орнамент стиль морфологический художественный

Изразцовый фриз. Россия. Вторая половина XVIIв.

Чаще встречаются розетки, совмещающие в себе осевую и зеркальную симметрии (в этом случае имеются не только оси, но и плоскости зеркальной симметрии). Тогда плоскости обязательно проходят через ось, пересекаются в ней, и их число соответствует порядку осевой симметрии фигуры. Такого рода формы гораздо уравновешеннее, спокойнее. Зеркальное отражение такой фигуры не отличается от нее самой, и может быть с ней совмещено не только зеркальным способом. Такая форма представляется глазу наиболее завершенной и ясной: по всем направлениям от ее центра отходят одинаковые, взаимно уравновешивающие друг друга элементы. Уравновешена и потому статична такая розетка и внутри себя, поскольку в ней отсутствует асимметрия не только в целом, но и в каждом отдельно взятом элементе ее структуры (в розетке без плоскостей симметрии такие элементы были сами по себе асимметричны и вызывали ощущение вращения).

Поэтому мотивы, обладающие симметрией такого рода, получили в орнаментальном искусстве особенное распространение и значение. Завершенность их формы создает образ гармоничного покоя. Цельность и замкнутость формы позволяет организовать любую поверхность, отметив ее центр, противопоставленный периферии.

Все рассматриваемые выше симметрии относятся к ограниченным симметричным структурам конечных фигур орнамента. Знакомство с новым видом симметрии -- параллельным переносом поможет понять, как устроены потенциально бесконечные узоры.

Если вдоль оси равномерно расположить декоративные одинаковые мотивы, то таким образом образуется ленточный орнамент, бордюр, который может быть бесконечно продолжен в обе стороны. Такому орнаменту присуща особая симметрия: если его сдвинуть вдоль оси на одно звено, то каждая из фигур узора наложится на среднюю фигуру, совместится с ней.

Ленточный (линейный) бордюр -- один из наиболее распространенных и важных видов орнамента. Он постоянно используется для ограничения какой-либо поверхности, отличающейся разнообразными художественными качествами. На практике линейный орнамент может строиться не только вдоль прямой оси, но и по ломаной или различным образом изогнутой линии. В любом случае эта линия остается для орнамента осью, т. е. перенос мыслится совершаемым вдоль нее, вслед за любыми ее изгибами и переломами.

Бордюр кроме симметрии переноса может также обладать и другими элементами симметрии. Они возникают тогда, когда тот или иной вид симметрии присущ каждому отдельно взятому элементарному мотиву орнамента. Всего разных видов симметрии бордюров насчитывается семь, и впечатление от них, художественные возможности каждого примененного в орнаменте вида оказываются различными.

Ритмичное движение бордюра с асимметричным исходным мотивом, не создающим дополнительных симметрии, односторонне. Если перевернуть такой узор зеркально, то он «потянет» в обратную сторону. Кроме того, подобный орнамент по-разному обращен к тем частям, которые он разделяет. Тем самым он характеризует эти поверхности не одинаково и может создать ощущение их различной плотности и глубины.

Орнаментальный мотив, обладающий зеркальной симметрией, сообщит такую симметрию и бордюру, если только плоскости отражения будут расположены перпендикулярно или параллельно его оси.

Случается, что в подобном орнаменте взаимно отражающие друг друга мотивы сдвинуты вдоль оси переносов. Чтобы восстановить зеркальную симметрию, нужно несколько сместить по оси одну из половинок бордюра. Этот вид симметрии называется «скользящим отражением». Обычно в таком бордюре используется парный мотив, например, отражение листа, а лист занимает место отраженного цветка. Ритм орнамента оказывается, при всей его четкости, богаче и сложнее, чем в узорах без скользящего отражения.

Бордюрам также может быть свойственна и осевая симметрия, наряду с плоскостями отражения или без них. Это значит, что весь бордюр может совпадать с самим собой при повороте на 180° вокруг любой из бесконечного множества осей, расположенных на равных расстояниях между собой и проходящих через продольную осевую линию узора. Можно выделить три вида таких орнаментов: бордюр без зеркальных плоскостей, тогда оба края одинаковы по характеру рисунка, их ритм ведет глаз в противоположные стороны. Такой орнамент выглядит беспокойным и напряженным (например, классический меандр).

Если же к поворотным осям добавляются также и плоскости отражения, ритмическое напряжение узора ослабевает, он выглядит более спокойным. Вместе с поперечными плоскостями такой узор обогащается и скользящим отражением.

Другой вид бордюра сочетает в себе поперечные плоскости отражения с продольной и обладает, наряду с зеркальной, также осевой симметрией. Он строго статичен, на все стороны уравновешен. В нем имеют одинаковый характер и оба края, и оба направления оси переносов.

Основой сетчатых орнаментов (раппортов) является простая сетка. Ячейки такой сетки могут быть квадратами, ромбами, прямоугольниками, параллелограммами или равносторонними треугольниками. В зависимости от этого меняется характер симметрии самой сетки, а значит, и построенного на ней орнамента. Кроме того, на симметрию узора влияют, как и в бордюрах, элементы симметрии самого повторяемого мотива.

Всего математики насчитывают 17 видов симметрии сетчатых орнаментов. Здесь могут осуществляться в разных сочетаниях уже известные нам виды симметрии: поворотная -- второго, третьего, четвертого и шестого порядка, зеркальная, скользящее отражение. И в каждом случае определенный набор возможных отражений и поворотов влияет на ритмику узора, создает свою меру уравновешенности и подвижности, свои направления.

Если плоскости отражения, придающие обычному узору равновесие и устойчивость, повернуть вкось, весь орнамент станет казаться далеко не таким спокойным и конструктивным.

В искусстве орнамента нередко используется заполнение плоскости прямолинейными одинаковыми фигурами. Такой рисунок придает поверхности четкую ритмическую организацию. Только два рода фигур -- различные параллелограммы (включая прямоугольники, квадраты, ромбы) и шестиугольники с попарно параллельными сторонами -- заполняют плоскость сплошь, без припусков и наложений, с помощью одних только переносов сохраняя ту же самую ориентацию.

Симметрия подобия встречается в орнаменте достаточно часто. В этом случае одинаковые или сходные по форме элементы узора не равны по размеру. Они могут образовывать нарастающие или убывающие ряды или заполнять поверхность расходящимися из одной точки и увеличивающимися по мере удаления от нее подобными фигурами.

Орнаменты, построенные на принципе подобия, всегда чрезвычайно динамичны, активно овладевают поверхностью и создают ощущение движения.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение 3

Глава 2. Правила построения орнаментальной композиции. Орнамент и законы симметрии 7

Глава 3. Результаты исследования 10

Заключение 14

Список использованной литературы 15

Приложение 1 16

Приложение 2 19

Приложение 3 20

Введение

В этом учебном году мы рассматривали тему «Симметрия» на уроках математики. Меня очень заинтересовала данная тема. Симметрия встречается в природе, в науке и в искусстве - во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии. Симметрия, свойственна разным явлениям, лежащим в основе всех вещей, она описывает многие явления жизни и многих наук.

Рассмотрев свои работы, сделанные в художественной школе, я обнаружила, что большинство из них подчинены законам симметрии. Так же в художественной школе я узнала, что такое орнамент и решила провести исследование как можно рассматривать орнаментальный мотив композиции в узорах с точки зрения математики.

Гипотеза: возможно симметрия основное преобразование фигур для создания орнаментальных мотивов.

Объект исследования: орнамент

Предмет исследования: симметрия узоров

Цель работы - доказать, что симметрия и орнамент - это единое целое.

1. Изучить содержание и форму орнаментов и орнаментальных мотивов.

2. Охарактеризовать правила построения орнаментальной композиции.

3. Исследовать, как проявляется симметрия в орнаментах на примере своих работ, работ своих товарищей по художественной школе и предметов экспозиции Рославльского историко-художественного музея.

Методы: изучение, сравнение, описание, работа с информационными источниками.

Глава I. Содержание и форма орнаментов и орнаментальных мотивов

Все орнаментальные рисунки по их изобразительным возможностям подразделяются на три вида:

орнамент изобразительный, включающий в себя конкретный рисунок человека, животных, растений, пейзажные или архитектурные мотивы, рисунок предметов неживой природы или сложную эмблему;

орнамент неизобразительный, образованный из геометрических элементов, абстрактных форм, лишенных конкретного предметного содержания;

орнамент комбинированный, представляющий собой сочетание изобразительных мотивов или отдельных элементов, с одной стороны, и абстрактных форм с другой.

Самый сложный неизобразительный орнаментальный узор, или мотив, по существу состоит из простейших геометрических элементов правильной или неправильной формы.

Начнем с точки, которая мало что значит сама по себе, но при ее умелом ритмическом повторении можно добиться интересного декоративного эффекта.

Наиболее точно передает характер очертаний любой формы линия. Она является основным формообразующим элементом. И если число абстрактных неизобразительных форм весьма велико, то линий, которые резко отличаются одна от другой, только три:

прямые — вертикальные, горизонтальные, наклонные;

кривые — с постоянным радиусом кривизны — окружности и их дуги;

кривые — с переменным радиусом кривизны — параболы, гиперболы и их отрезки.

Эти линии являются первичными элементами для всех орнаментальных образований. Все три вида линий обладают определенной зрительной выразительностью и не похожи одна на другую.

Сами по себе прямые и кривые линии не являются носителями художественной выразительности. Но при определенных условиях они могут «обнаружить» скрытый в них эмоциональный заряд.

Так, прямые и кривые с постоянным радиусом кривизны способны выразить плавное, спокойное движение. В природе этих линий лежат постоянство, статика, уравновешенность; при этом считается, что горизонтальные линии в орнаменте символизируют стройность, строгость, определенную стабильность, наклонные же прямые линии создают впечатление постоянного движения.

Линия, или лента, широко использовалась в орнаменте, чтобы разграничить отдельные мотивы.

Зигзаг, или ломаная линия, в Древнем Египте служила знаком воды. Она находила применение в орнаментах многих народов в самые разные времена.

Квадрат и прямоугольник являются основной формой в орнаменте. Они, прежде всего, служат для ограничения поверхности, заполненной орнаментальными мотивами. так же для ограничения декорируемой поверхности служат ромб, шестиугольник и восьмиугольник.

Окружность считается одной из самых совершенных и законченных форм. Она используется и как собственно орнаментальный элемент, и для ограничения поверхности, включающей в себя другие мотивы.

Мотив спирали стал излюбленным мотивом в древнем искусстве Египта, Ассирии, Греции. Он является символическим изображением истории развития мира.

Линии с переменным радиусом кривизны несут в себе динамичность, напряженность, неравномерность и активное движение (нарастающее и убывающее). Особенно остро способны выразить динамичность ломаные линии с острыми углами — так называемые молниеобразные.

Любой неизобразительный орнаментальный мотив состоит из комбинации тех или иных линий или замкнутых фигур. В одних случаях это только прямые или кривые линии, в других сочетание различных линий или фигурных элементов в одном мотиве. Ритмическая организация элементов в мотиве создает условия, стимулирующие проявление цветопластических свойств этих элементов.

В числе орнаментов изобразительной группы самым распространенным является растительный орнамент. При создании такого рода узора все народы вдохновлялись местной флорой, заимствуя из нее относительно немногочисленные мотивы.

Вот наиболее распространенные из них с древнейших времен.

Лотос на Древнем Востоке имел культовое значение. Лотос был посвящен богу Осирису и богине Исиде и служил символом плодородия.

Пальмы со своими веерообразными и перистыми листьями служили у древних евреев и египтян символом мира и победы. Орнаментальная форма растения получила наименование пальметты.

Лист и завиток аканта, вслед за пальметтой и лотосом, пользовались особой популярностью у художников, которых привлекала красота зубчатых листьев этого дикорастущего растения юга Европы.

Хмель — культурное растение, живописный вид которого способствовал широкому применению форм растения в орнаментике.

Виноградная лоза — гроздья и ветви пользовались особым почитанием в античности и в средние века.

Плющ — вечнозеленый вьющийся кустарник, иногда дерево; подобно виноградной лозе был посвящен Вакху.

Дуб — царь лесов, символ силы и могущества. В настоящее время изображение листьев дуба вместе с лавром можно встретить на медалях и монетах.

Цветы широко используются в орнаментальных мотивах всех времен и стилей. Они служат украшением тканей, обоев, посуды и других видов декоративного искусства.

Розетка — в собственном смысле этого слова это стилизованная роза. В орнаментике же розеткой называют орнаментальный мотив в виде распустившегося цветка, преимущественно круглой формы.

Животный орнамент — наиболее распространенный орнамент среди изобразительной группы, вслед за растительным. Но фауна используется в орнаментальном творчестве значительно меньше, чем флора. Это объясняется как свойствами самого материала, труднее подвергающегося художественной переработке, так и запретами части религий на фигурные изображения.

Чаще других встречались изображения льва, тигра, быка, слона, лошади, грифа, орла, дельфина и др., которые в большинстве своем имели символическое значение.

Глава 2. Правила построения орнаментальной композиции. Орнамент и законы симметрии

Симметрия — это определенный порядок в построении какой-либо пространственной формы, позволяющий этой форме совмещаться с самой собой при определенных поворотах, сдвигах или отражениях. Различные виды симметрии изучаются специальными разделами математики.

В науке о симметрии различают два типа симметрии: конечные и бесконечные, чья структура может быть продолжена в одном, в двух или трех направлениях. В орнаменте используются оба эти типа симметричных структур.

Среди наиболее распространенных видов симметрии, используемых при создании орнаментальных композиций, находится симметрия относительно прямой. Это когда предмет или фигура делятся прямой на две половины так, чтобы одна половина, при перегибе совпала с другой. Симметрия относительно прямой присуща телу человека, телам многих животных. Она способствует впечатлению уравновешенности и покоя. В орнаменте сохраняется то же ощущение.

Другой вид симметрии осевая симметрия, при которой фигуры совмещаются посредством поворота вокруг оси, перпендикулярной к плоскости изображения. Количество таких совмещений на протяжении полного кругового оборота фигуры называется порядком оси. Осевая симметрия может иметь любой выраженный целым числом порядок — от второго до бесконечности.

Фигур с осевой симметрией может быть бесконечное множество. Для них характерна четкая организация, когда равные друг другу части распределены вокруг единого центра (точка, через которую проходит ось симметрии) равномерно и в одинаковом к нему отношении. При этом все углы поворотов совпадения фигуры с самой собой должны быть равны, иначе полного совпадения не произойдет. Расстояние от однохарактерных точек фигуры до центра также должно быть одинаково.

Осевая симметрия часто встречается в природе, широко применяется в орнаментах: симметрия цветка и орнаментального аналога — розетки.

Мотивы, обладающие симметрией такого рода, получили в орнаментальном искусстве особенное распространение и значение. Завершенность их формы создает образ гармоничного покоя. Цельность и замкнутость формы позволяет организовать любую поверхность, отметив ее центр, противопоставленный периферии.

Все рассматриваемые выше симметрии относятся к ограниченным симметричным структурам конечных фигур орнамента. Знакомство с новым видом симметрии — параллельным переносом поможет понять, как устроены потенциально бесконечные узоры.

Ленточный (линейный) бордюр — один из наиболее распространенных и важных видов орнамента. Он постоянно используется для ограничения какой-либо поверхности, отличающейся разнообразными художественными качествами. На практике линейный орнамент может строиться не только вдоль прямой оси, но и по ломаной или различным образом изогнутой линии. В любом случае эта линия остается для орнамента осью, т. е. перенос мыслится совершаемым вдоль нее, вслед за любыми ее изгибами и переломами.

Всего математики насчитывают 17 видов симметрии сетчатых орнаментов. Здесь могут осуществляться в разных сочетаниях уже известные нам виды симметрии: относительно точки, относительно прямой, параллельный перенос. И в каждом случае определенный набор возможных отражений и поворотов влияет на ритмику узора, создает свою меру уравновешенности и подвижности, свои направления.

Глава 3. Результаты исследования

Изучив литературу в краеведческом отделе Рославльской Центральной библиотеки им. Н.И. Рыленкова по теме работы, я решила исследовать, какие виды орнамента используются чаще и как проявляется симметрия в узорах орнаментов на примере своих работ, работ своих товарищей по художественной школе и предметов экспозиции Рославльского историко-художественного музея.

Виды орнамента

Элементы орнамента присутствуют в 10 рисунках, растительный орнамент - 2, животный орнамент - 2, сетчатый орнамент - 2, графический орнамент - 8

Орнамент народного костюма

Элементы орнамента присутствуют в 4 предметах, растительный орнамент - 1, животный орнамент - 0, сетчатый орнамент - 3, графический орнамент - 3

Орнамент предметов быта

Элементы орнамента присутствуют в 4 предметах, растительный орнамент - 2, животный орнамент - 0, сетчатый орнамент - 2, графический орнамент - 2

Рис.1 Сравнительная диаграмма объектов исследования по видам орнамента (данные в %)

Вывод: чаще всего в рисунках, народных костюмах и предметах быта используется графический орнамент, так же пользуется популярностью сетчатый орнамент - это обусловлено тем, что данные виды орнамента легче изображать, чем животный и растительный.

Симметрия узора орнамента

1. Рисунки

В качестве объектов исследования были взяты 10 рисунков (Приложение 1).

Элементы орнамента присутствуют в 10 рисунках, симметрия рисунка - 6, симметрия относительно точки - 3, симметрия относительно прямой - 5, симметрия переноса - 4.

2. Орнамент народного костюма

В качестве объектов исследования были взяты 4 предмета: поделка - кукла в народном костюме, костюм женщины, мужская рубаха и кушак из экспозиции Рославльского историко-художественного музея (Приложение 2).

3. Орнамент предметов быта

В качестве объектов исследования были взяты 4 предметы: поделка - полотенце, рисунок которого выполнен техникой «батик», шторы на окнах, божник (иконник) и рушник из экспозиции Рославльского историко-художественного музея (Приложение 3)

Элементы орнамента присутствуют в 4 предметах, симметрия рисунка - 4, симметрия относительно точки - 2, симметрия относительно прямой - 4, симметрия переноса - 4.

Рис.2 Сравнительная диаграмма объектов исследования по симметрии узора орнамента (данные в %)

Вывод: во всех деталях узоров народных костюмов и предметов быта, а так же в большинстве рисунков используются различные виды симметрии, симметрия относительно прямой и симметрия параллельного переноса встречаются чаще, чем симметрия относительно точки.

Заключение

В данной работе я рассмотрела симметрию в орнаментах на примерах своих работ, работ своих товарищей по художественной школе и предметов экспозиции Рославльского историко-художественного музея. В результате проведенного исследования я увидела, что:

Сложность орнаментальных форм подчинена законам симметрии.

Преобладающими орнаментальными мотивами являются графические и сетчатые орнаменты.

Для большинства орнаментов характерны такие виды симметрии, как симметрия относительно прямой и симметрия переноса.

Задачи, поставленные в данной работе, являются полностью решенными. Я научилась работать с информационными источниками, использовать такие методы исследования, как изучение, сравнение и описание.

Данное исследование помогло мне более внимательно и аккуратно изображать орнаменты и рисунки, в которых используется симметрия, так как я детально разобралась в приемах отображения деталей орнамента симметрично относительно точки, прямой и с помощью параллельного переноса.

Я доказала, что симметрия и орнамент - это единое целое и буду продолжать исследовательскую работу по изучению других, более сложных видов симметрии, используемых при построении орнаментальных мотивов.

Список использованной литературы

Бесчастнов Н.П. Художественный язык орнамента. М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2010. - 335 с.

Буткевич Л.М. История орнамента. - М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2010. - 267 с.

Фокина Л.В. Орнамент: учебное пособие. - Ростов н/Д: Феникс, 2007. - 172 с.

http://yandex.ru

http://900igr.net/kartinki/geometrija/Ornament/054-Povorot.html

http://sphinks-t.ru/page-foto-russkie-uzori

http://podelki.mybabbie.ru/vyazanie/vyazanie-geometricheskie-ornamenty

http://vector-images.com/clipart/clp740303

Приложение 1 Приложение 2 Приложение 3

Симметрия, воспринимаемая как проявление порядка, обладает эстетической ценностью, то есть воспринимается как нечто красивое.

Простой пример убеждает нас в этом. Чернильная клякса сама по себе не красива, но стоит перегнуть лист бумаги с невысохшей кляксой пополам, и мы получим кляксу, которая уже производит другое впечатление. Зеркальная симметрия новой кляксы и определит ее красоту.

Узор на рисунке получен с помощью зеркальной симметрии (рис. 28). Однако закон его построения слишком прост и очевиден, поэтому и эстетическая ценность такого узора невелика.

Рис. 28. Узор, полученный с помощью зеркальной симметрии

Переносная симметрия (копирование фигуры и ее сдвиг по горизонтали) представляет собой простейший прием создания орнаментального ряда - бордюр (рис. 29).

Создавая различные промежутки между копиями, можно добиваться различного ритма в пределах ряда - например, сдвигать фигуры парами (рис. 30).

Можно чередовать пары с одиночным изображением (рис. 31).

Следующий бордюр имеет более сложный закон построения. Такой прием нередко используется при создании многорядных орнаментов. Сдвинув вертикально вверх или вниз весь ряд, получим два абсолютно одинаковых ряда (рис. 32).

Рис. 30. Примеры переносной симметрии с добавлением ритма в пределах ряда

Рис. 31. Примеры чередования пары с одиночным изображением

Рис. 32. Примеры сдвига ряда

Рис. 33. Примеры симметрии с интервалами между изображениями

Рис. 34. Примеры комбинирования

Он может быть сплошным или с определенными интервалами между изображениями (рис. 33).

Комбинированным. Вертикальный и горизонтальный сдвиг с зеркальной симметрией (рис. 34).

Возникающие пустоты можно заполнить другими элементами (риc. 35).

Рис. 35. Пример заполнения пустот

Чередование горизонтальных и вертикальных сдвигов, выполненных в определенном ритме, создает основу для извилистой линии, объединяющей элементы орнамента. Возникающие промежутки также могут быть заполнены иным орнаментом (рис. 36).

Многократный сдвиг горизонтальных рядов по вертикали (или вертикальных по горизонтали) позволяет заполнить изображениями всю декорируемую плоскость (рис. 37).

Рис. 36. Пример заполнения пустот

Рис. 37. Примеры многократного сдвига горизонтальных рядов по вертикали

Иная картина получается при использовании другого приема пространственного переноса - вращения, мы получаем фигуру, обладающую радиальной симметрией, так называемую «розетку». Розетки получаются поворотом фигуры вокруг вертикальной оси на угол 360 градусов / n (n = 2, 3, 4......), то есть обладают поворотной симметрией n- ого порядка (рис. 38).

Рис. 38. Примеры радиальной симметрии полученной путем вращения

Возможны несколько вариантов построения розетки. Например, центр вращения может находиться на одном из краев фигуры (рис. 39).

Центр вращения находится в пределах элемента (рис. 40).

Центр вращения находится за пределами элемента (рис. 41).

В центре получившейся розетки оказывается свободное пространство, которое можно заполнить иным изображением, или вписать туда другую розетку (рис. 42).

Рис. 39. Пример радиальной симметрии с центром вращения на краю фигуры

Рис. 40. Пример радиальной симметрии с центром вращения в пределах элемента

Рис. 41. Пример радиальной симметрии с центром вращения за пределом фигуры

Рис. 42. Пример радиальной симметрии с заполненным свободным пространством

Предполагается, что при создании розеток мы поворачиваем элемент изображения так, чтобы все углы были равны, и при делении 360 градусов (развернутый угол) на угол поворота получалось целое натуральное число - 3, 5, 8, 12 и т.д. Другими словами, круг при этом делится на определенное число секторов, в каждом из которых находится элемент розетки.

Вернемся к другому приему, рассмотренному выше, - зеркальному отражению. Нетрудно проверить, что ни вращением, ни боковым переносом образовавшуюся копию не получить. Она зеркально симметрична относительно исходной.

Положение плоскости, в которой отражается элемент орнамента, может быть произвольным. Необходимо получить одну - единственную зеркальную копию элемента (рис. 43). Все иные отражения, произведенные с помощью иначе расположенных плоскостей, можно получить путем вращения первой зеркальной копии относительно некоторого центра.

Рис. 43. Примеры зеркального отражения

Зеркально можно отразить целый ряд (рис. 44).

Рис. 44. Примеры зеркального отражения ряда

Получив одну «зеркальную» пару, можно получить ее зеркальное отражение (рис. 45).

Рис. 45. Примеры зеркального отражения «зеркальной» пары

Комбинируя сдвиг и зеркальное отражение, удается получить интересное решение линейного орнамента (рис. 46).

Рис. 46. Примеры комбинации сдвига и зеркального отражения

Прием зеркального отражения можно применять при создании розеток. В этом случае необходимо получить пару зеркально отображенных секторов, а затем вращать их вокруг центра (в этом случае количество секторов, на которые разбит круг розетки, обязательно должно быть четным) (рис. 47).

Рис. 47. Примеры розеток, полученных приемом зеркального отражения

Наконец, орнаментальная симметрия строится на одной из пяти возможных плоских решеток. Предварительное вычерчивание решеток является полезным вспомогательным приемом при построении орнамента.

Простейшая решетка создается за счет вертикального и горизонтального сдвигов квадрата. При этом элементы орнамента могут располагаться в разных квадратиках решетки, что значительно облегчает рисование (рис. 48).

Орнамент, построенный с помощью квадратной решетки (рис. 49).

Рис. 48. Пример орнаментальной симметрии, построенной на основе плоской решетки

Рис. 49. Пример орнаментальной симметрии, построенной на основе квадратной решетки

Также орнамент строится с помощью треугольной и ромбической решетки (рис. 50).

Шесть равносторонних, смежных треугольников образуют гексагональную (шестиугольную) решетку.

Рис. 50. Примеры орнамента, построенного на основе треугольной и ромбической решеток

(На основе правильных шестиугольников часто строятся орнаменты в некоторых исламских странах).

Орнаментальная симметрия является основным принципом построения любого орнамента.

Содержание публикуемого материала полностью основано на тщательном научном анализе множества примеров орнаментального искусства палеолита и неолита. Данные, полученные после изучения их симметричных и антисимметричных элементов, убедительно доказывают, что в орнаментах разных народов мира практически нет различий, а элементарные составляющие узоров сохраняются на протяжении всей истории декоративного искусства и представляют собой декоративные архетипы.

В связи с большим количеством информации материал разделен на взаимосвязанные главы. Первая глава - введение, которое вы сейчас читаете. Остальные три главы посвящены соответственно симметрии розеток, одномерным моделям бордюров и двумерным орнаментальным структурам. Данная статья и последующие главы рассказывают о некоторых результаты симметрийного анализа образцов декоративного искусства палеолита и неолита. Они посвящены поиску "декоративных архетипов" - универсального основания всего декоративного искусства. Ведь развитие орнамента всегда шло рядом с развитием человечества и отражает стремление человека к пониманию и выражению закономерностей - факторов, лежащих в основе любого научного знания.

Окончательный вывод, который удалось получить: большинство орнаментальных мотивов, исследованных с точки зрения теории симметрии, являются гораздо более древними, чем мы могли ожидать. Этот факт отодвигает дату появления декоративного искусства на несколько тысяч лет до возникновения самых древних цивилизаций.

Связь визуального искусства с геометрией существовала всегда. Эта связь становится особенно очевидной, когда к изучению декоративно-прикладного искусства мы применяем теорию симметрии. Поэтому, орнаментальное искусство называется у H. Вейля "старейшим аспектом высшей математики, заданной в неявном виде", и у А. Спейсера "предысторией теории групп".

Идея исследования орнаментов разных культур по аналогии с симметрией кристаллов на плоскости (теория Г. Поля ) и применяя теорию групп конечного порядка А. Спейсера , была поддержана интенсивным развитием теории симметрии в 20-м веке. Появился целый ряд работ, посвященных в основном декоративному искусству древних цивилизаций, внесших наибольший вклад в развитие декоративно-прикладного искусства (египетские, арабские, мавританские и др.) , и этническому орнаментальному искусству . Однако только в некоторых из последних работ, исследователи обращаются к самым корням, к истокам декоративно-прикладного искусства, к эпохе палеолита и неолита . Антисимметрия - расширение классической теории симметрии - и наука о цветовой симметрии, позволили провести более глубокий анализ монохроматических и полихроматических орнаментальных мотивов эпохи неолита и древних цивилизаций.

На чем основывался анализ? В первую очередь на том, что орнаментация обычно ограничивается двумерной плоскостью. В данном ключе рассматривались симметричные плоскостные группы: розетки, бордюры и т.д. Дискретная симметрия розеток составила две исследуемые группы: циклическую и диэдральную. Циклическая группа, выражаемая простейшей формулой Dn, создается двумя отражениями на линии пересечения инвариантной точки - центр смещения n-порядка. Узоры циклической группы составляются путем трансляции элементарных компонентов по кругу путем поворота вокруг неподвижной точки, кратной 360 градусам, поделенным на n-порядок. Диедральную группу орнаментов составляют узоры, вписанные в правильные многогранники и правильные многогранники образующие.

Обе группы симметрии - циклическую и диэдральную - легко обнаружить в природных формах.

Рис. 1. Циклическая симметрия в орнаменте и природе

Рис. 2. Диэдральная симметрия в орнаменте и природе

Всего выявлено семь дискретных групп, которые могут быть выражены такой последовательностью: 11, 1g, 12, m1, 1m, mg и mm, где g - обозначает скользящее отражение (от англ. glide), m - обычное отражение. Переменной n мы выражаем вращение n-порядка. Полученная последовательность интерпретируется относительно координатной плоскости, где учитываются элементы, располагающиеся перпендикулярно и параллельно оси смещения.

Рис. 3. Антисимметрия

Когда в последующих главах мы будем упоминать о непрерывных группах симметрии, наличие непрерывного смещения будем обозначать индексом 0, а в антисимметричных группах "антисмещение" будем обозначать символом одинарной кавычки -".

Под термином "преднаучный период" мы понимаем период с 25000-10000 до н.э.

В отсутствие письменных источников, изучение геометрии доисторического периода может вестись только на основе анализа артефактов, где геометрические знания преподносятся в явной форме. Старейшие из артефактов эпох палеолита и неолита - кости, рисунки на камне. Более поздние - роспись керамики, гравировка, прессование, а также архитектурные объекты и сооружения, так называемые мегалитические памятники.

Следующая глава полностью посвящена симметрии розеток .

Список всех четырех глав:

Источники

1. Weyl H., Symmetry, Princeton University Press, Princeton, 1952.
2. Polya G., Uber die Analogie der Kristall symmetrie in der Ebene, Z. Kristall. 60 (1924), 278-282.
3. Speiser A., Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 2nd ed., Berlin, 1927.
4. Белов Н.В., Средневековый мавританский орнамент и группы симметрии, Советские физики - Кристаллография 1 (1956), 482-483.
5. Garido J., Les groupes de symetrie des ornaments employes par les anciennes civilisations du Mexique, C.R. Acad. Sci. Paris 235 (1952),1184-1186.
6. Grunbaum B., The Emperor"s New Clothes: Full Regalia, G string, or Nothing, Math. Inteligencer 6, 4 (1984), 47-53.
7. Grunbaum B., Grunbaum Z., Shephard G.C., Symmetry in Moorish and Other Ornaments, Comput. Math. Appl. 12B, 3/4 (1986), 641-653.
8. Muller E., Gruppentheoretische und Strukturanalytische Untersuchungen der Maurischen Ornamente aus der Alhambra in Granada, Ph.D. Thesis, Univ. ZUrich, Ruschlikon, 1944.
9. Crowe D.W., The Geometry of African Art I. Bakuba Art, J. Geometry 1 (1971), 169-182.
10. Crowe D.W., The Geometry of African Art, II. A Catalog of Benin Patterns, Historia Math. 2 (1975), 57-71.
11. Crowe D.W., The Geometry of African Art m. The Smoking Pipes of Begho, In The Geometric Vein, ed. C.Davis, B. Grunbaum and F.A. Sherk, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1981.
12. Washburn D.K., Symmetry Analysis of Ceramic Design: Two Tests of the Method on Neolithic Material from Greece and the Aegean, In Structure and Cognition in Art, Cambridge University Press, London, 1983.
13. Jablan S.V., Theory of Symmetry and Ornament, Mathematical Institute, Beograd, 1995.
14. Jablan S.V., Antisimetrijska ornamentika I, Dijalektika 1-4 (1985), 107-148.
15. Jablan S.V., Antisimetrijska ornamentika II, Dijalektika 3-4 (1986), 13-56.

Районная научно-исследовательская конференция «Юниор»

Исследовательская работа

Симметрия в окружающем мире

(секция точных наук)

Выполнила: Меризанова Анна,

Елисеенко Вера,

ученица 8 класса

Руководитель: Колесникова

Людмила Александровна,

учитель математики

Введение. . 2

1.1. ..................................................... . 3

1.2. ................................................................... . 4

1.3. Симметрия сквозь века . 7

Глава 2. Симметрия вокруг нас. 8

.. 8

2.2. .......................................................... . 9

Заключение . 11

Библиографический список . 12

Введение

В этом учебном году рассматривали данную тему на уроках математики. Нас заинтересовала тема «Симметрия». И мы решили создать проект по этой теме, т. к. в учебнике по геометрии мало уделено внимания на изучение темы «Симметрия», при этом ученики часто задают вопрос: зачем она нужна, где она встречается, зачем её вообще изучают.

А ведь симметрия встречается в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии.

Симметрия, свойственна разным явлениям, лежащим в основе всех вещей, она описывает многие явления жизни и многих наук

В результате работы перед собой мы поставили вопросы:

Для чего надо знать симметрию, где в окружающем мире она встречается?

Мы поставили перед собой цель:

сформировать представлений о симметрии, через систематизацию знаний о симметрии, а также через анализ явлений природы, человеческой деятельности.

Для раскрытия темы нашей исследовательской работы были поставлены следующие задачи:

Научиться распознавать симметричные фигуры среди других.

Познакомиться с использованием симметрии в природе, быту, искусстве, технике.

Продемонстрировать разнообразное применение математики в реальной жизни.

Осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы (показать возможности применения полученных знаний в своей будущей профессии художника, архитектора, биолога, инженера-строителя).

Для написание работы мной были использованы различные методы:

2) метод индуктивного обобщения, конкретизации;

3) использование компьютерного инвентаря.

Глава 1. Первые представления о симметрии

В данной главе нами описаны первые представления о симметрии, исторические сведения по данной теме; приведены некоторые примеры симметричных фигур; рассмотрены примеры исследовательского характера по теме:: «Симметрия».

1.1. Историческое развитие и осмысление понятия симметрии

В процессе исторического развития и осмысления симметрии особый этап симметрии как меры красоты и гармонии связани с работой выдающегося математика Германа Вейля «Симметрия» (1952). Г. Вейль под симметрией понимал неизмеримость (инвариантность) какого-либо объекта при преобразованиях: предмет является симметричным в том случае, когда его подвергнуть какой-нибудь операции, после которой он будет выглядеть так же, как и до преобразования.

Греческое слово «симметрия» означает «соразмерность», «пропорциональность», «одинаковость в расположении частей». Однако часто под словом «симметрия» понимают более широкое понятие: регулярность смены каких-либо явлений (времен года, дня и ночи и т. д.), уравновешенность левого и правого, равноправие природных явлений. Фактически мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. В психологии и морали широко использовалось понятие симметрии. Так, великий Аристотель считал, что симметрия имеет смысл некой средней меры, к которой должен стремиться в своих действиях добродетельной человек. Римский врач Гален (2в. н. э.) под симметрией понимал состояние духа, одинаково удаленное от обеих крайностей, например от горя и радости, апатии и возбуждения. Симметрия, понимаемая как покой, уравновешенность, противостоит хаосу и беспорядку. Об этом говорит гравюра Мариуса Эшера «Порядок и Хаос» (рис. 196), где, как писал сам художник, «звездчатый додекаэдр, символ красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей».

1.2. Математическое представление о симметрии

Представления о симметрии, изложенные выше, носят общий характер и для математики не являются точными и строгими.

Определение 1. Симметрия – это соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.

Математическое строгое определение симметрии сформировалось сравнительно недавно – в 19 в., когда были введены понятия зеркальной и поворотной симметрии.

Розетки, снежинки – это симметричные и очень красивые фигуры.

В планиметрии существует осевая (симметрия относительно прямой), центральная симметрии (симметрия относительна точки), а также поворотная, зеркальная, переносная.

Определение 2. Две точки A и A1 называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Каждая точка прямой а

Определение 2 . Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят, фигура обладает осевой симметрией . Фигуры, которые имеют ось симметрии: прямоугольник, ромб, квадрат, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, круг и т. д.

Определение 3. Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О , если О – середина отрезка АА1 . Точка О считается симметричной самой себе.

Определение 4. Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О , называется центром симметрии фигуры . Говорят, фигура обладает центральной симметрией . Примеры фигур, которые обладают центральной симметрией: круг, параллелограмм, треугольник и т. д.

Математика изучает немало фигур, которые обладают и осевой, и центральной симметрией (круг, квадрат и др.), только осевой симметрией (например, равнобедренный треугольник), только центральной симметрией (например, параллелограмм общего вида).

Чтобы разобраться в данной теме мы произвели ряд исследовательских заданий.

Исследовательские задания.

Задание 1. На прямой АВ найдите точку, сумма расстояний от которой до двух данных точек М и N была бы наименьшей.

Обсуждение. 1 случай. Пусть М и N лежат по разные стороны от , кратчайшее расстояние между ними есть , следовательно, искомая точка Х лежит на пересечении и https://pandia.ru/text/79/046/images/image024_13.jpg" align="left hspace=12" width="187" height="132">Всякая другая точка прямой АВ не обладает этим свойством, так как .gif" width="36" height="23"> Строим М1 , симметричную М относительно https://pandia.ru/text/79/046/images/image023_17.gif" width="36 height=27" height="27">.gif" width="36" height="23 src=">, то искомая точка Х есть точка пересечения прямых М N и AB .

Задание 2. Даны прямые АВ и точки М и N . Найдите на https://pandia.ru/text/79/046/images/image028_8.jpg" align="left hspace=12" width="207" height="140">Обсуждение. 1 случай. Точки М и N лежат по одну сторону от прямой АВ (и притом на разных расстояниях от неё. Тогда точка Х прямой АВ, для которой разность расстояний от точек М и N наибольшая, есть точка пересечения прямой АВ с продолжением отрезка MN. Тогда всякая другая точка Х1 прямой АВ не обладает этим свойством, так как (следствие аксиомы треугольника). Если М и N находится на одинаковом расстоянии от https://pandia.ru/text/79/046/images/image031_8.jpg" align="left hspace=12" width="207" height="148">2 случай. Точки М и N лежат по разные стороны от . Тогда искомая точка , где .

Если точки М и N находятся по разные стороны от и на одинаковом от неё расстоянии, то задача не имеет решений.

Задание 3 . Исследовать имеют ли центр симметрии: 1) отрезок; 2) луч; 3) квадрат.

Обсуждение. 1) да; 2)нет; 3 да

Задание 4. Исследовать какие из следующих точек латинского алфавита имеют центр симметрии: А, О, M, Х.

Обсуждение. О и Х

Обсуждение. 1) две; 2) «бесконечное множество»: любая прямая, перпендикулярная к данной, а также сама прямая; 3) одну.

Задание 6. Исследовать какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, г, Е, О в алфавите.

Обсуждение. А, Е, О

Вывод: Данные примеры нам показывают, что даже точки стоящие в алфавите имеют симметричное положение. Ось симметрии имеют различные геометрические фигуры.

1.3. Симметрия древнерусского орнамента

Для русского орнамента характерны как растительные и геометрические формы, так и изображения птиц, зверей и фантастических животных. Особенно ярко русский орнамент выражен в резьбе по дереву и вышивке. Наиболее часто использовались так называемые плетенки – переплетения лент, ремней, стеблей цветов. В 17 в. зодчий Степан Иванов создал свой знаменитый орнамент «Павлинье око».

По мнению академика, известного археолога и историка с мировым именем, в основу древнерусского орнамента вошли универсальные различные представления о мире. Сознание древнего славянина было обусловлено мифологическими восприятиями действительности. Всё это отражалось в мотивах, характерных для русского орнамента.

· Мотив «обереговых» знаков , которые наносились на одежду, предметы быта и различные детали жилища..jpg" width="300" height="239 src=">

· Мотив плетёнки , характерный для русальских браслетов, который трактовали как знак воды и царства подземного владыки Переплута.

· Мотив древней богини Мокоши как специфического воплощения представления о Великой Праматери, общего для всех народов на определённой стадии исторического существования. Мокоша (Макошь) – единственный женский образ в древнерусской мифологии. Её имя наводит на мысль о мокроте, влаге, воде. Мокошь покровительствовала всем женским занятиям, особенно прядению, и почитали её преимущественно женщины.

https://pandia.ru/text/79/046/images/image041_6.jpg" width="324" height="211">

В русском орнаменте с древних времён сложилась особая система расположения символов, представляемых движение Солнца вокруг Земли. Встречается несколько типов солнечных знаков, для них характерна поворотная симметрия. Наиболее распространён круг, разделённый радиусами на разные секторы («Колесо Юпитера»), а также круг с крестом внутри.

Вывод: проанализировав литературу по данному вопросу мы пришли к выводу, что в древнерусском орнаменте часто встречаются симметричные символы. В традиционных национальных украшениях и предметах быта можно встретить все виды симметрии на плоскости: центральную, осевую, поворотную, переносную.

1.4. Симметрия сквозь века

В своих размышлениях над картиной мира человек с давних пор активно использовал идею симметрии. По преданию, термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский, живший в г. Регул. Отклонение от симметрии он определил термином «асимметрия». Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна. Считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, они делали вывод о сферичности Земли и ее движения по сфере вокруг некоего «центрального огня», где двигались также 6 известных тогда планет вместе с луной, Солнцем, звездами.

Представители первой научной школы в истории человечества, последователи Пифагора Самооского, пытались связать симметрию с числом.

Широко используя идею гармонии и симметрии, ученые древности любили обращаться не только к сферическим формам, но и к правильным многогранникам, для построения которых они использовали «золотое отношение». У правильных многогранников грани – правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями равны. Древние греки установили поразительный факт: существует всего пять правильных выпуклых многогранников, названия которых связаны с числом граней, - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.

Глава 2. Симметрия вокруг нас

В данной главе описана теория в которой указывается различные представления симметрии в природе, в этой главе мы доказываем, что строения, созданные человеком также имеют симметричные фигуры.

2.1. Роль симметрии в познании природы

Симметрия кристаллов является следствием их внутреннего строения: их атомы и молекулы имеют упорядоченное взаимное расположение, образуя симметричную решетку из атомов – так называемую кристаллическую решетку.

Недостающие элементы симметрии определил академик Аксель Вильгельмович Гадолин (). Известный профессор минералогии из немецкого города Марбурга Иоганн Гессель в 1830г. Опубликовал свой труд о симметрии кристаллов. Его труд по некоторым причинам остался незамеченным. Но в 1897г. Работу Гесселя переиздали, и с тех пор его имя вошло в историю науки.

Итак, симметрию кристаллов научились изучать и сравнивать. Существуют 9 элементов симметрии и только 32 различных набора элементов симметрии – групп симметрии, которые и определяют внешнюю форму кристаллов. Но коль скоро число элементов симметрии кристаллов, конечно, то конечно число их наборов – комбинации, описывающих симметрию внешней формы. Отсюда следует, что симметрия – строгий и всеобъемлющий закон, управляющий царством кристаллов. Она задаёт форму кристалла, число его граней и ребер, она же диктует и его внутреннее строение.

Симметрию можно обнаружить у обитателей моря, например у морской звезды, морского ежа и некоторых медуз.

Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы и плоды растений. Для некоторых из них характерна только зеркальная симметрия, или только поворотная симметрия, скользящая.

Интересно, что среди растений одного вида существуют такие, у которых встречается как левая структура листьев, так и правая.

Живая природа характеризуется не только известными видами симметрии. Так, изогнутый стебель растения, закрученная форма моллюска не менее симметричны, чем кристалл. Но это другая симметрия – криволинейная, которая была обнаружена в 1926г.

А в 1960г. Академик ввел в рассмотрение симметрию подобия. Подобными фигурами считаются одной и той же формы. Симметрия подобия состоит из переноса (поворота) фигуры с одновременным уменьшением или увеличением ее размеров.

2.2. Симметрия в архитектурных сооружениях

Симметрия господствует не только в природе, но и в творчестве человека. Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Интересны древнерусские постройки, в частности деревянные церкви. Стройные и выразительные, рубленные восьмериком, т. е. с симметричными восьмигранными шатрами, они как нельзя лучше соответствовали понятию красоты в средневековой Руси.

Примером может служить храм Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Храм состоит из десяти различных храмов, каждый из которых строго симметричен, но в целом он не обладает ни зеркальной, ни поворотной симметрией.

Можно привести много примеров использования симметрии и асимметрии в скульптуре. Например, скульптура пелопонесского мастера из школы Пифагора «Дельфийский возничий», которая изображает победителя на состязаниях конных колесниц. Фигура юноши в длинном хитоне в целом симметрична, но легкий поворот торса и головы нарушает зеркальную симметрию, что порождает иллюзию движения, и статуя кажется живой.

Луи Пастер считал, что именно асимметрия отличает живое от неживого, полагая, что симметрия – страж покоя, а асимметрия – двигатель жизни. Пример того, что парадокс симметрии служит не только для передачи движения, но и для усиления впечатления, - это изображение греческой вазы из пещеры Камарес на острове Крит.

Заключение

Симметрия – это нечто общее, свойственное разным явлениям, лежащее в основе всех вещей, а асимметрия выражает некие индивидуальные особенности вещей и явлений. И в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии и асимметрии. Мир существует благодаря единству этих двух противоположностей.

Проанализировав работу, мы пришли к выводу, что симметрия часто встречается в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колёса.

В результате реализации проекта:

u расширили знания о симметрии;

u узнали, какие явления из жизни и

некоторых наук описывает симметрия;

u новые практические приемы : работа с учебной, научно-познавательной литературой;

u обобщили понятия, представления, знания, на получение которых нацелен результат проекта : рассмотрели, где в жизни встречается симметрия.

Библиографический список

1. Афанасьев А. Н, Мифология Древней Руси. – М.: Эксмо, 2006.

2. Вейль Г. Симметрия. – Изд. 2-е, стер. – М.: Единториал УРСС, 2003.

3. Гнеденго по истории математики в России. – 2-е изд., испр. и дополн. – М.: КомКнига, 2005.

4. Изобразительные мотивы в русской народной вышивке. Музей народного искусства. – М.: Советская Россия,1990.

5. Климова орнамент в композиции художественных изделий. – м.: Изобразительное искусство,1993.