Главная › Режим › Симметрия в орнаменте на одежде людей. Проектная деятельность

Симметрия в орнаменте на одежде людей. Проектная деятельность

Проект освоения темы «Этот удивительный мир симметрии»

1. Основная идея.

Явление симметрии находит многоплановое и многоуровневое выражение в разных науках и видах искусств. Традиционно философское осмысление понятия симметрии происходит на материале естественных наук и математики. Помимо конкретно-научного содержания (математического, физического и т. д.) оно имеет всеобщее онтологическое значение, а также статус категориального определения и используется при описании математических понятий, физических явлений и процессов, различных объектов живой и неживой природы, предметов искусства. У учащихся тема «Симметрия» вызвала большой интерес и побудила их к более глубокому изучению данного материала с разных точек зрения (исторической, математической, физической, биологической и других).

2. Цели.

1. Научить различать многообразные проявления симметрии в окружающем мире.

2. Показать важную, исключительную роль принципа симметрии в научном познании мира и в человеческом творчестве.

3. Развивать творческую активность учащихся, умение делать обобщения на основе полученных данных в результате исследований.

4. Развивать познавательную деятельность учащихся, способствующую развитию разносторонней личности.

5. Воспитывать у учащихся стремление к самосовершенствованию, удовлетворению познавательных потребностей.

3. Рабочие группы и вопросы для исследования.

Группа «Математики»

Зеркальное отражение. Опыты с зеркалами.

Симметрия.

Бордюры.

Вывод.

Группа «Историки»

Симметрия древнерусского орнамента.

Сделать вывод о присутствии симметрии в орнаментах древнерусских мотивов.

Группа «Биологи»

Симметрия в биологии.

Сформулировать вывод о многообразии структур, существующих в природе.

Группа «Физики»

Симметрия в физике.

Вывод.

Группа «Исследователи существования симметрии в музыке и литературе»

Симметрия в музыке и литературе.

Вывод.

Группа «Эксперты»

Во время отчетов рабочих групп следить за их выводами, заносить оценки (в баллах) в индивидуальную карту проектанта и в конце урока дать оценку работе каждой группы.

4. Отчетные материалы.

Подготовка сообщений.

Создание презентаций в PowerPoint .

Тип урока: усвоение новых знаний.

Методы и приемы работы: реализация проектно-исследовательской технологии.

Оборудование:

Ножницы, бумага

Презентации.

Ход урока

Вступительное слово учителя:

Уважаемые ребята! Наш урок проходит в рамках проектно-исследовательских технологий и посвящен такой разносторонней теме как «Симметрия».

Трудно найти человека, который не имел бы какого-то представления о симметрии. Люди с давних времен использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта. Вы, наверное, обращали внимание на то, как строго симметричны формы античных зданий, гармоничны древнегреческие вазы, соразмерны их орнаменты. С теми или иными проявлениями симметрии мы встречаемся буквально на каждом шагу. Взгляните на порхающую бабочку, загадочную снежинку, мозаику в храме, морскую звезду, кристалл граната – все это примеры симметрии.

Известный математик прошлого столетия Герман Вейль сказал: «Симметрия… есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство». Эти слова послужат эпиграфом к нашему уроку. И мы постараемся с помощью ваших исследований объяснить и раскрыть порядок, красоту и совершенство. В подготовке к уроку участвовало 5 рабочих групп: математики, историки, биологи, физики, исследователи существования симметрии в музыке и литературе. Они ознакомят нас с материалами своих исследований. Шестая группа – эксперты, будет следить за работой на уроке, и оценивать ваши ответы, по результатам чего будут выставлены оценки каждому ученику.

Итак, мы начинаем. Запишите в тетради число, классная работа, тема урока «Этот удивительный мир симметрии».

Слово предоставляется группе математиков.

Первый ученик. Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит свое отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаем вопросов, не делаем открытий. И только философы и математики не теряют способности удивляться. Вот что написал немецкий философ Иммануил Кант о зеркальном отражении: «Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И все же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место настоящей руки…»

Что же меняется в предмете при его отражении в зеркале? Проведем опыты с зеркалами. Постарайтесь подметить особенности зеркального отражения и сделать из каждого опыта выводы, которые запишем в тетради.

Задания:

Напишите свое имя печатными буквами в столбик и посмотрите на его отражение в зеркале. Поворачивает ли зеркало ваше имя?

Чем отличаются записи МАША и ЮРА (полоски с именами расположите параллельно поверхности зеркала)?

На полоске бумаги горизонтально печатными буквами написаны слова ЧАЙ и КОФЕ. Положите эту полоску перед зеркалом на стол. Почему зеркало не перевернуло слово КОФЕ и до неузнаваемости изменило слово ЧАЙ?

Второй ученик: Опыты с зеркалами позволили нам прикоснуться к удивительному математическому явлению – симметрии. В древности слово «симметрия» употреблялось как «гармония», «красота». Действительно, по-гречески слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

Давайте проведем линию вдоль написания слова КОФЕ. Если теперь поставить зеркальце вдоль прочерченной прямой, то отраженная в зеркале половинка фигуры дополнит ее до целой. Поэтому такая симметрия называется зеркальной (или осевой, если речь идет о плоскости). Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии. Если симметричную фигуру сложить пополам вдоль оси симметрии, то ее части совпадут.

Посмотрите на рисунок: здесь изображены клякса и ажурная бумажная салфетка. Клякса получилась так: на лист бумаги капнули краску, сложили лист вдвое и затем разогнули. Линия сгиба – ось симметрии кляксы. Аналогичным образом получилась ажурная салфетка, только лист бумаги согнули насколько раз, вырезали из этого «слоеного» листа кусок, а затем разогнули лист. У салфетки несколько линий сгиба, и все они являются осями симметрии. У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии, а может и не быть вовсе.

Задание:

Мысленно перегибая бумагу, определите, сколько осей симметрии имеет каждая из фигур, показанных на рисунке. (Прямоугольник, ромб, квадрат, параллелограмм, правильный шестиугольник, круг, треугольники: произвольный, равнобедренный, правильный).

Какая из фигур «самая симметричная»?

Какая самая «несимметричная»?

Третий ученик: Вы думаете из бумаги можно вырезать только ажурные салфетки? Не только. Из бумаги вырезают и очень красивые симметричные ленты (демонстрация лент).

Как получить такие ленты? Возьмем полоску бумаги шириной 5 см и длиной 20 см. Сложим ее «гармошкой» и нарисуем девушку, с разведенными в сторону руками так, чтобы «руки» касались линии сгиба. Вырежем фигуру, оставляя участки на линиях сгиба неразрезанными; развернем полученную «гармошку». У нас получилось кружево. Если ленту предварительно сложить вдвое вдоль, а затем «гармошкой», то получится лента, симметричная относительно горизонтальной оси (демонстрация).

Орнаменты в виде лент (бордюры) применяют маляры и художники при оформлении комнат, зданий. Для выполнения этих орнаментов изготавливают трафарет. Трафарет представляет рисунок, вырезанный на листе картона или какого-либо другого плотного материала. Маляр передвигает трафарет, переворачивая или не переворачивая его, обводит контур, повторяя рисунок, и получает орнамент.

Задание: Используя готовый трафарет, получите симметричные орнаменты с помощью:

параллельного переноса;

зеркальной симметрии;

поворота на 180 0 вокруг точки О;

симметрии относительно горизонтальной оси плюс параллельного переноса.

Вывод экспертов.

Учитель: Говоря о симметрии, характерной для орнамента, в качестве примера обычно приводят египетский, греческий, арабский орнаменты. А между тем и русский орнамент (наряду с историческим и культурным значением) имеет интересные математические особенности. Давайте предоставим слово нашим историкам.

Первый ученик: Прежде чем обратиться к славянской орнаментике, рассмотрим кратко состояние математического знания на Руси в период IX – X вв.

Практически деятельность людей на Руси, как и в других странах Европы и Азии, делала необходимым развитие арифметических знаний и представлений о свойствах геометрических фигур. Раскопки древних городищ свидетельствуют, что математические познания были широко распространены на Руси уже в IX – X вв. По словам Б. В. Гнеденко, это были скорее навыки, чем знания, которые передавались устным путем и включали представления о натуральных числах и действиях с ними, а также о простейших дробях. Кроме того, в Древней Руси был хорошо известен такой геометрический инструмент, как циркуль. Поэтому широкое распространение имеет орнамент из окружностей на украшениях и предметах обихода.

По мнению академика Б. А. Рыбакова, известного археолога и историка с мировым именем, в основу древнеславянского орнамента легли универсальные представления о мире. Сознание древнего славянина было обусловлено мифологическим восприятием действительности. Миф и обряд сочетали в себе элементы магии и тотемизма (комплекс верований и обрядов родового общества, связанных с представлением о родстве между группами людей), художественного творчества, социальные нормы, регулирующие поведение людей. Все это нашло отражение в мотивах русского орнамента.

Второй ученик: В одежде магическим охранительным узором покрывались ворот, обшлага рубахи, подол, разрезы на рубахе или сарафане. Сама ткань считалась непроницаемой для духов зла, так в ее изготовлении участвовали предметы, изобильно снабженные магическим орнаментом (трепало, прялка, ткацкий стан). Важно было защитить те места, где кончалась заколдованная ткань одежды и начиналось тело человека.

То же самое в народной архитектуре: декоративные элементы располагаются на воротах, вокруг окон; то или иное освященное изображение (конь, оленья голова с рогами, богиня и птицы, солнце) увенчивало наивысшую точку дома – щипец крыши. В качестве оберегов часто выступали фигуры с «хорошей» симметрией, например круг и правильный шестиугольник. Вот что пишет Рыбаков об обереге от грозы: «Повсеместное распространение у всех восточных славян имел один и тот же оберег от грозы – шестигранник или круг, но обязательно с шестью радиусами, что заставляет нас выделить эту фигуру из общей массы знаков, условно называемых солярными, и признать колесо особым «громовым» знаком».

Третий ученик: Древнерусский орнамент обычно сочетал в себе идеограммы воды, дождя, солнца и растительного мира в его надземной и подземной (корневой) части.

Водная стихия представлялась рядами точек и черточек, воспроизводящих дождевые капли, а также зигзагообразными линиями, что служит примером переносной симметрии в простейшем древнерусском орнаменте. Такой мотив типичен для наличников окон.

Земля была представлена в виде прямоугольника, разделенным диагоналями на четыре части с повторяющемся в них рисунком. Для такой конфигурации характерна осевая симметрия в сочетании с центральной. Эти виды симметрии преобладают в изображениях растительного мира.

Встречается несколько типов солнечных знаков, для них характерна поворотная симметрия разного порядка. Наиболее распространен круг, разделенный радиусами на равные секторы, а также круг с крестом внутри.

Таким образом, описание отдельных древнерусских орнаментальных мотивов (например, темы плодородия, дождя, солнца и т.д.) и схемы их расположения на деталях жилища, предметах украшения и быта наглядно демонстрирует присутствие в них центральной, поворотной, переносной, осевой и зеркальной видов симметрии, которые являются причиной эстетической привлекательности орнамента.

Вывод экспертов.

Учитель: Давайте послушаем доклад биолога, который расскажет нам о симметрии в мире растений и в животном мире.

Первый ученик: Характерная для растений симметрия конуса хорошо видна на примере фактически любого дерева. Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, т. е. снизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, т. е. наверху.

Вертикальная ориентация оси корпуса характеризует симметрию дерева. Ярко выраженной симметрией обладают листья, цветы, ветви, плоды. На демонстрирующихся рисунках показаны примеры, в которых наблюдается только зеркальная симметрия. Такая ситуация характерна для листьев и цветов.

Для большинства цветов характерна поворотная симметрия. Так, например, цветок зверобоя имеет поворотную ось и не обладает зеркальной симметрией; веточка акации имеет зеркальную и переносную симметрию; веточка боярышника обладает скользящей осью симметрии.

Второй ученик: Поворотная симметрия встречается и в живом мире. Примером могут служить морская звезда и панцирь морского ежа.

Словосочетание «зеркальная билатеральная» чаще используют в биологии вместо словосочетания «зеркальная симметрия». Эта симметрия хорошо видна у бабочки левого и правого крыльев и проявляется почти с математической строгостью.

Можно сказать, что каждое животное состоит из двух энатиморов – правой и левой половины. Отметим, наконец, билатеральную симметрию человеческого тела (речь идет о внешнем облике и строении скелета). Эта симметрия всегда являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом.

Таким образом, симметрия ограничивает многообразие структур, которые могут существовать в природе.

Вывод экспертов.

Учитель: Дальше поговорим о симметрии в неживой природе. Наверное, не случайно безжизненный замок Снежной королевы из известной сказки Андерсена часто изображают как высшей степени симметричное сооружение. Слово физикам.

Первый ученик: Камни, лежащие у подножия горы весьма беспорядочны; однако каждый камень является огромной колонией кристаллов, которые представляют собой высшей степени симметричные постройки из атомов и молекул. Именно кристаллы вносят в мир неживой природы очарование симметрии. Кто из вас не любовался снежинками? Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией, поворотной симметрией и зеркальной симметрией.

Все твердые тела состоят из кристаллов. Посмотрите на кристаллы топаза, берилла, дымчатого кварца.

Симметрия внешней формы хорошо видна в кристаллах каменной соли, кварца, эбонита. А на следующем слайде вы видите три формы кристаллов алмаза: октаэдр, додекаэдр, гексагональный октаэдр.

Таким образом, симметрия внешней формы кристалла является следствием его внутренней симметрии – упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов (молекул).

Учитель: Иначе говоря, симметрия кристалла связана с существованием пространственной решетки из атомов так называемой кристаллической решетки.

Звучит музыка… А где же симметрия в музыке? Слово предоставляется исследователям существования симметрии в музыке и литературе.

Первый ученик: Душа музыки, ритм, состоит в правильном периодическом повторении частей музыкального произведения. Правильное повторение одинаковых частей в целом и составляет сущность музыки. Мы с большим правом можем приложить к музыкальному произведению понятие симметрии, потому что это произведение записывается при помощи нот. Самое непосредственное отношение имеет к симметрии композиция. Великий немецкий поэт И.В.Гете утверждал, что: «Всякая композиция основана на скрытой симметрии. Владеть законами композиции, – это значит владеть законами симметрии».

Если взять простой пример: “Песенка белочки” из музыкальной сказки “Дважды два-четыре”.

Каждый день без всякой спешки
Я в дупле грызу орешки:
Щелк-щелк-щелк
Щелк-щелк-щелк

Припев:

Я печальной не бываю,
Веселюсь и напеваю:
Ля-ля-ля
Ля-ля-ля

Всем видна моя сноровка,
Я скачу по веткам ловко
Скок-скок-скок
Скок-скок-скок

Припев:

Очень рыжая как осень,
Я мелькаю между сосен:
Прыг-прыг-прыг
Прыг-прыг-прыг.

Припев:

В этой песне чередуется куплет и припев. Симметрию можно увидеть в стихотворениях – это чередование рифм, ударных слогов, т.е. ритмичность.

Например:

А.С. Пушкин.

В этот год осенняя погода
Стояла долго на дворе
Зимы ждала, ждала природа
Снег выпал только в январе.

Чередование рифм и чтение по интонации дает чувствовать прелесть симметрии пушкинского стихотворения.

Вывод экспертной группы.

Учитель: Ребята, я благодарю вас за работу, которую вы проделали, подбирая материал к нашему уроку. Сегодня мы рассмотрели различные проявления симметрии. Мы увидели, что узоры симметрии живут полнокровной жизнью в музыке, в стилях архитектуры, в предметах домашнего обихода, в орнаментах. Модели симметричных форм доставляют нам истинное удовольствие. Ведь они говорят о красоте и гармонии.

Я желаю вам огромных успехов и гармонии в отношениях с родными и близкими. Будьте здоровы и счастливы.

До свидания. Спасибо за урок!

ЛИТЕРАТУРА

1. Первое сентября. Математика № 2 2004г. Е. Нестеров Симметрия вокруг нас 5-6 классы.

2. Подходова Н. С., Оводова Е. Г. Геометрия в пространстве.

3. Вейль Г. Симметрия. М: Наука, 1966

4. Волошилов А.В. Математика и искусство.М: Просвещение 1992г.

5. Гарднер М. Этот правый, левый мир.М.: Мир 1967г.

6. Лошанов М. Элементы симметрии в музыке. Сб Музыкальное искусство» Вып.1.М: Музыка,1970г.

7.Тарасов Л.В. Этот удивительный симметричный мир. М.: Просвещение, 1982

8. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. Л: Недра 1968г.

9. Шубников А.В. Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. М.: Наука, 1972г.

10. И. Ф. Шарыгин, Л. Н. Ерганжиева Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М.; МИРОС, КПЦ «Марта», 1992.

Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: КомКнига, 2005.

11. Рыбаков Б. А. Язычество Древней Руси. – М.: Наука,1988.

Индивидуальная карта проектанта

Класс_____ Руководитель проекта_______________________

Тема проекта_________________________________________

Дата начала работы____________________________________

Дата защиты проекта___________________________________

Этапы проекта

Критерии оценки

Оценка

Максимальная

Фактическая

Погружение в проект

Актуальность выбранной темы

Практическая значимость работы

Аргументированность целей работы

Планирование работы

Умение отбирать информацию

Умение организовать работу в команде

Наличие разделение обязанностей

Информированность группы о результатах работы

Определение вклада каждого члена группы

Поисково-информационная деятельность

Соответствие содержания теме

Логичность и последовательность изложения

Четкость формулировок и выводов

Доступность для понимания

Результаты и выводы

Эстетика оформления результатов

Соответствие оформления стандартным требованиям

Презентация

Качество доклада

Объем и глубина знаний по теме

Культура речи

Чувство времени

Умение удерживать внимание аудитории

Умение вести дискуссию

Оценка процесса и результатов работы

Полученные результаты и их оценка

Уровень самостоятельности при проектировании всех этапов

Критерии выставления оценки

Итого баллов

Баллы

110 - 90

89 - 65

64 и менее

Оценка

отлично

хорошо

удовлетворительно

Итоговая оценка

ГООУ «Бобровская специальная (коррекционная) школа-интернат для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, с ограниченными возможностями здоровья»

ПРОЕКТ ПО МАТЕМАТИКЕ

НА ТЕМУ

«ЭТОТ УДИВИТЕЛЬНЫЙ МИР СИММЕТРИИ»

подготовила учитель математики ВКК

Н. А. Полубавкина

Макарова Т.И. Симметрия в растительном орнаменте Древней Руси / в книге «Древняя Русь и славяне». - М., 1978. - С. 370.

Орнамент в произведениях древнерусского искусства редко являлся предметом специального исследования. Между тем наблюдение за его развитием позволяет установить определенные закономерности, облегчающие его осмысление. Цель настоящей статьи - проследить формальные закономерности построения орнамента в памятниках искусства XI-XIII вв. и определить причины их стилистической общности. Больше всего этот вопрос был разработан па памятниках письменности.

Палеографом В. Щепкиным были выработаны методологические основы изучения древнерусского орнамента. В. Щепкин заложил основы генетического анализа орнамента, выявляя его исходный элемент (мотив) и характер его изменений (удвоением, делением и т.д.). Далее, он сформулировал механизм создания композиций из отдельных элементов: «комбинация мотивов в орнаменте происходит... на основании инстинктов симметрии и ритма». Наконец, он дал характеристику орнамента в целом, определив, что орнаменты различаются между собой
«1) по содержанию своих мотивов,
2) по способу их сочетания,
3) по характеру своей рамы».
Однако в литературе чаще вспоминают другой аспект работы В. Щепкина - ту классификацию русского книжного орнамента с XI в. до нового времени, которая в основных чертах остается в силе и поныне. Нам представляется, что предложенная В. Щепкиным методика изучении книжного орнамента заслуживает внимания для исследования орнамента в разных областях древнерусского искусства. Попытаемся показать это на примере анализа растительного орнамента Древней Руси.

Н. Щепкин, исходя из перечисленных выше принципов, пришел к выводу, что орнаментация древнейших русских рукописных книг представляет собой известное стилистическое единство. Мысль эта была и в его время уже не новой, но именно В. Щепкину принадлежит попытка вскрыть суть этого единства. Оно, по его мнению, обусловлено тем, что в основе растительного орнамента лежит один и тот же мотив ветка. В тексте В. Щепкин ничего не говорит о происхождении этого мотива, однако на таблице графически показывает, что он образован делением трехлепесткового ростка, который правильнее всего назвать крином 4 (рис. 1, 1, 2), Именно этот элемент лежит в основе растительной орнаментации старейших русских книг: Остромирова Евангелия (1056 г.), Изборника Святослава (1073 г.), Мстислава Евангелия (до 1117 г.), Служебника Вярлмама Хутынсного (XII в.), Юрьевского Евангелия (1119-1123 гг.).

Еще в начале нашего века Н.П. Кондаков отмечал сходство орнаментации древнейших русских миниатюр с перегородчатой эмалью. Это же обстоятельство побудило Б.А. Рыбакова назвать рукописи с орнаментом, близким перегородчатым эмалям, финифтяными. Исследование орнаментации изделий с перегородчатыми эмалями показало, что эта близость заключает в себе нечто большее, чем простое подражание. В основе растительного орнамента и в данном случае оказался тот же элемент крин 8 (рис. 1, 15, 6). Иногда он идентичен крину рукописен, иногда не вполне, по общая схема их рисунка одна: в простейшем варианте это трехлепестковый цветок.

В настоящее время ближневосточное происхождение ростка-криля признается всеми исследователями. Возникновение этого символа в искусство древнейшего очага земледелия вполне логично, как логично его возрождение в земледельческих культурах Европы и Византии. Символика самого образа не исключала попыток (может быть, интуитивных) запечатлеть в нем черты окружающей природы. Но содержание его образа, как символа вечно возрождающихся сил природы, оставалось неизменным. Не будем останавливаться на вопросе, когда этот символ и выражаемая им идея впервые проникли в Восточную Европу. Вероятно, исследование этой проблемы увело бы нас во времена индоевропейской общности. Важнее другое - как эта идея в том конкретном воплощении, которое нам дают древнейшие рукописи, участвовала в построения орнаментальных композиций растительного характера. Этим аспектом проблемы мы и займемся, оставив в стороне вопросы семантики орнамента. В орнаменте крин в простейшем варианте встречается не так уж часто. Как правило, мы имеем дело с его многочисленными модификациями. Здесь мы сталкиваемся со вторым, не менее важным фактором сходства растительного орнамента рукописей и эмалей: в изменениях крина при построении из него композиций наблюдается определенное сходство, какая-то единая программа. Попытаемся проанализировать характер изменений крина сначала на примере рукописного орнамента. Для этого, исходя из сформулированных В. Щепкиным принципов, наметим самую общую его типологию.

Все композиция мы разделяем на два больших отдела: розетку и бордюр. В каждом из них разные группы композиций зависят от тех изменений, которые претерпевает основной элемент растительного орнамента рукописей крин или его производное ветка. Законы симметрии покаpывают, что бесконечное разнообразие орнамента явление кажущееся. Оно сводится к трем основным категориям: розетке, бордюру и сетке, а каждая из них может быть сведена к нескольким видам симметрии.

Рассмотрим основные композиции, образованные крином в растительном орнаменте рукописей, и с точки зрения видов симметрии.

В рукописном растительном орнаменте использованы две категории симметрии: розетка и бордюр. Они дадут два самых крупных деления в нашей типологии. Большинство композиций, составляющих основу богатого ковра растительных узоров рукописных заставок, относятся к розеткам с так называемой зеркальной симметрией. Их характеризует строгое равенство правой и левой половин.

Простейший ее пример демонстрирует крин, заключенный в круг или сердцевидную фигуру (рис. 1, 3, 4). Вторым типом композиции оказывается розетка, в которой подобный крин повторяется четырехкратно (рис. 1,5).

Третий тип композиции обусловлен дальнейшим изменением крина за счет бесконечного усложнения самой схемы его рисунка (рис. 1, 6, 7). При этом зеркальная симметрия постоянно сохраняется. Она присутствует и тогда, когда увеличивается количество лепестков, одни отгибаются вниз, другие отрываются от общего стебля и первоначальный крин с трудом угадывается в пышном цветке (рис. 1, 6); она строго соблюдается и тогда, когда крин сохраняет более строгие очертания, превращаясь в древовидную фигуру с выраженным стволом (рис. 1, 7).

Четвертый тип композиции строится из ветви, образованной делением крина пополам (рис. 1, 7, 2; 8, Л). Из ветвей-полукринов возникают пышные древа, в рисунке которых часто присутствует и крин (рис. 1, 11).

Зеркальная симметрия, одинаково характерная для всех описанных нами четырех групп композиций, придает им уравновешенный, статичный характер.

Рассмотрим теперь вторую категорию орнаментальных композиций рукописей- бордюр, т. е. ленту, состоящую из фигур, вытянутых вдоль одной прямой. Вдоль этой прямой основная фигура как бы переносится бесконечно. В бордюрах рукописного орнамента такой основной фигурой оказывается крин в простейшем (рис. 1, 13) или усложненном виде (рис. 1, 14) или ветвь-полукрин (рис 1, 12). В зависимости от этих основных фигур можно разделить бордюры на два тина. Один из них образует бордюры из повторяющихся или чередующихся кринов разных очертаний (рис. 1, 13, 14)

В другой тип бордюров мы выделяем бесконечный побег, образованный ветвями-полукринами (рис. 1, 12). Ветвь по движению бордюра как бы переносится то вниз, то вверх и создает впечатление беспрерывного движения. Для этого излюбленного в средневековом искусстве мотива, часто называемого бегунком или византийской лозой, характерен строго определенный вид симметрии. Теперь сравним композиции растительного орнамента.

Несмотря на то что на изделиях с перегородчатой эмалью крин получает иногда очертания, для кринов рукописей не свойственные (рис. 1, 18, 20), характер его изменений при построении композиций оказывается тем же, что и в растительном орнаменте рукописей. Здесь мы находим розетки с четырехкратными повторениями крина (рис. 1, 19, 20), усложненные крины древа разных очертаний (рис. 1, 23, 27).

Исключением оказывается розетка с «ветвями-полукринами», не встречающаяся в рукописном орнаменте (рис. 1, 28, 29). С точки зрения теории симметрии они представляют новый ее вид - центральную симметрию, существенно отличную от зеркальной симметрии рассмотренных выше розеток. Для нас интересно отметить, что основным элементом, многократно повторенным в этой розетке, оказывается не симметричный крин, а его половина ветвь, сама по себе асимметричная. Полученная фигура создает влечатление вращения, чем отличается от статичных розеток с кринами (рис. 1, 5; 19, 20).

Бордюры в эмалях дают нам сходные по смыслу и механизму построения композиции. На миниатюрных золотых изделиях нет места бордюру, поэтому с вариантом ленты из розеток с кринами мы встречаемся только дважды (рис. 1). Как мы видим, в растительном орнаменте рукописей и эмалей, помимо сходства основного мотива крина, одинаково сходным оказался и механизм построения композиций. Его обусловливают общие виды симметрии. Исследователь орнамента Узбекистана Л.И. Ремпель пришел к выводу, что наиболее стабильными в орнаменте оказываются не излюбленные мотивы, а «система простейших типических ритмов», образующих как бы его «каркас» 16.

Именно характерные виды симметрии и составили тот «каркас», который оказался одинаковым и в рукописях, и в эмальерном деле. Поэтому можно говорить в данном случае о единой системе орнаментации, поскольку порядок, обусловленный правильным расположением элементов в определенной связи, и означает систему.

Возникает вопрос, в каком отношении находилась рассмотренная система растительной орнаментации в рукописях и эмалях с другими видами искусства Древней Руси? Обратимся для ответа к растительному орнаменту в монументальном искусстве. Это будет логичным потому, что живопись и скульптура представляют вершину в развитии древнерусского орнамента в целом. Немалое значение имеет также и то, что она издана, изучена и поэтому обозрима. Кроме того, те памятники, которые мы возьмем для сравнения: мозаики и фрески Софии Киевской и настенную скульптуру трех соборов Владимиро-Суздальской Руси - Дмитриевского, Рождественского и Георгиевского дают нам возможность проследить эволюцию растительного орнамента на Руси от XI до XIII в. Выбор этот обусловлен и рамками статьи, так как орнамент в узловых памятниках монументального искусства неминуемо должен отразить общие закономерности развития орнамента на Руси.

Итак, обратимся к растительному орнаменту, который выполнен в технике мозаики и фрески в интерьере Софии Киевской, и разберем его структуру, следуя методу, каким пользовались выше.

Простейшим элементом и здесь оказывается крин, по несколько иных очертаний (рис. 1, 32, 33). Он образует розетку, подобную по композиции розеткам в рукописях и эмалях (рис. 1, 34, 35, 46). То же композиционное сходство мы наблюдаем и часто своеобразных по рисунку пышных кринах (рис. 1, 36, 37, 47, 48), всегда остающихся фигурами в зеркальной симметрии. По тому же принципу образованы древа из ветвей (рис. 1, 55, 59, 49, 50).

Наконец, на фресках встречается и центральная симметрия полукринов, создающая впечатление стремительного вращения (рис. 1, 51).
Знакомые композиционные решения дают и бордюры в мозаиках и фресках Софии. В усложненном рисунке лозы легко угадывается более ясный бегунок рукописей (рис. 1, 40, 52). Помимо уже знакомых композиций из чередующихся в горизонтальной ленте кринов (рис. 1, 41, 42), встречается здесь и вертикальная лента кринов (рис. 1, 55). Это единственно новая с точки зрения симметрии композиция, которая не встречалась ни в рукописях, ни в эмалях. Ее композиционная близость с горизонтальными лентами несомненна. Возникновение такого решения бордюра легко объяснимо: его вертикальная лента должна была украшать громадные плоскости интерьера храма, в мелких вещах и небольшом рисунке для нее нет места.

Итак, не во всех вариантах крин мозаик и фресок Софии совершенно идентичен кринам рукописей и эмалей. Иногда он напоминает листья аканта, иногда крылатые пальметты, но при этом остается неизменным характер их вариантов, тот каркас, который так четко наметился в финифтяном орнаменте. Это и позволяет утверждать, что система ранней орнаментации рукописей, эмалей и интерьера Софии Киевской едина.

Если сопоставить эту систему орнаментации с растительным орнаментом, покрывающим стены храмов Владимиро-Суздальской Руси, то простейшим его элементом и здесь оказывается крин. В отдельных случаях он повторяет знакомые трехлепестковые фигуры (рис. 1, 71), чаще же принимает очертания лиственного дерева лесной полосы (рис. 1, 54, 62, 70). Наличие своеобразных вариантов (рис. 1, 64, 73) все же не нарушает типологической близости его с кринами, украшавшими заставку рукописи, золотой колт с эмалью или роспись Софии. Однако розетка с четырехкратно повторенным крипом излюбленная в этих многоцветных узорах к белокаменной пластике не встречается. Очевидно, в трудоемкой резьбе по камню мастера просто избегали мелких форм. Может быть, поэтому эволюция крина здесь пошла как будто по другому пути. Росток превращается в пышный крин (рис. 1, 65, 67) или древо, в рисунке которого многократно повторяется крин (рис. 1, 56, 66). Но самой излюбленной композицией стало разросшееся многоярусное древо, симметрично раскинутые ветви которого заканчиваются то кринами, то полукринами (рис. 1, 78). Упрощенные его варианты (рис. 1, 57, 76, 77) часто повторяют уже встречавшиеся нам древа (рис. 1, 11,26, 39). Во всех этих случаях строго соблюдается принцип зеркальной симметрии, и именно этим многометровые древа владимиро-суздальских храмов родственны кринам рукописей и эмалей.

Больше сходства в бордюрах. Вьющийся побег здесь не частый сюжет, но все же встречается и в простом (рис. 1, 58), и в усложненном вариантах (рис. 1, 79). Зато бордюры другой группы, состоящие из чередующихся или буквально повторяющихся кринов, чрезвычайно разнообразны. Одни из них очень близки бордюрам рукописным (рис. 1, 81), другие представляют как бы их вертикальный вариант (рис. 1, 55, 68), а некоторые усложнены дополнительными фигурами и более вычурны по рисунку самого крина (рис. 1, 80). Композиционное их сходство с рассмотренными ранее бордюрами несомненно.

Итак, на протяжении трех столетий, с XI по XIII в., в растительном орнаменте, украшавшем рукописные книги, драгоценные изделия с перегородчатой эмалью, величественный интерьер главного храма Руси Софии Киевской и знаменитые белокаменные церкви Владимиро-Суздальской земли, устойчиво сохраняется тяга к излюбленным композициям. Ее не нарушают вариации в рисунке символа древа жизни крина, продиктованные и особенностями техники, и многочисленными импульсами, которые получало художественное творчество древнерусских мастеров из разных уголков цивилизованного мира. Каркас создаваемых их фантазией композиций оставался в сущности неизменным. Он был обусловлен определенным набором утвердившихся в разных областях искусства Руси видов симметрии.

Исследование орнаментов народов Сибири, проделанное С.В. Ивановым, показало, что такой набор излюбленных видов симметрии оказывается у каждого парода своим, стабильным на протяжении многих столетий.

В растительном орнаменте городского искусства Руси наиболее постоянным оказался тоже обусловленный законами симметрии композиционный каркас и простейший элемент крин, который у разных народов символизировал вечные силы природы.

Б.Л. Рыбаков в своих работах о декоративном искусстве Древней Руси убедительно показал, что оно было «удивительно единым по своему духу и образам». Орнамент, пронизавший все стороны быта и одинаково царивший во всех областях искусства, во многом способствовал этому единству, «определяя их общий стиль и эпоху».

Мы попытались вскрыть основы этого единства, которое стойко сохранялось в растительном орнаменте «женского узорочья, орнаментике книг и декора архитектуры» на протяжении трех ярчайших столетий русской истории.

Cлайд 1

Работа ученика 9"А" класса МОУ "Гимназия №2" Ултургашева Андрея. руководитель: Колычева Ираида Михайловна, учитель математики

Cлайд 2

Cлайд 3

Cлайд 4

Наша страна богата талантами. Многие виды народного искусства широко известны и высоко ценимы не только у нас, но и за рубежом. Это палехская и мстерская миниа- тюра, расписные матрешки Полхова Майдана, богород- ская деревянная игрушка, жостовские подносы и многое, многое другое. В изделиях народных мастеров – в дереве, камне, глине, на ткани – оживают образы, пришедшие из языческих по- верий и легенд, народного эпоса и сказок. Каждый из нас хотя бы раз в жизни видел вышитое полотенце, русскую рубаху, расшитый узорами девичий сарафан…Как нам сохранить и оставить для потомков эту красоту? Для этого надо суметь многое понять в нашем прошлом. Почему старинные русские орнаменты выглядят такими нарядными, что обозначают вышитые непонятные птицы, деревья, диковинные цветы и травы, по каким законам выстроен сам орнамент – на эти и некоторые другие во- просы я попытался ответить в своей работе.

Cлайд 5

Симметрия в геометрии – свойство геометрических фигур. Точки А и А1 называются симметричными относительно Точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе. Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой «а»(ось симметрии), если прямая «а» проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой «а» считается симметричной самой себе. Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости «альфа»(плос-- кость симметрии), если плоскость «альфа» проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. каждая точка плоскости «альфа» считается симмет- ричной самой себе.

Cлайд 6

Точка(прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если Каждая точка фигуры симметрична относи- тельно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр(ось,плоскость) сим- метрии, то говорят, что она обладает цен- тральной (осевой, зеркальной) симметрией. Фигура может иметь один или несколько центров (осей, плоскостей) симметрии. Симметрия – это определенный пространст- венный порядок, математически точная за- кономерность в расположении предметов кли их частей.

Cлайд 7

В искусстве симметрия получила распрстра- нение как один из видов гармоничной компози- ции. Она свойственна произведениям архитек- туры и декоративно-прикладного искусства. Симметрия является своеобразной мерой кра- соты и гармонии окружающего нас мира. Выдающийся математик 20 века Герман Вейль в своей работе «Симметрия» уделил особое вни- мание орнаментальной симметрии. Он показал, что в основе принципов любой орнаментальной композиции лежат общие положения фундамен- тальных математических структур, и связал орнаментальную симметрию с дискретными группами движений на плоскости.

Cлайд 8

Существует несколько видов симмет- рии. Чаще всего мы встречаемся с зеркальной симметрией. Она присуща телу человека и большинства живот- ных, многим предметам, которыми мы пользуемся, широко применяется в искусстве. Если какой-либо предмет или плоскую фигуру можно разделить плоскостью на две половины таким образом, что- бы одна половина, отразившись в этой плоскости, как в зеркале, повторила другую, то они обладают зеркальной симметрией. Зеркальная симметрия бытовых предметов подчеркивается орнаментом, построенным по тому же принципу. Плоскости симметрии предмета и орнамента совпадают.

Cлайд 9

Например, эта декоративная вырезка из бумаги, созданная народным масте- ром. Орнамент вырезан из сложенно- го вдвое листка цветной бумаги – простейший способ добиться зеркаль- ной симметрии.

Cлайд 10

Еще один вид симметрии, посто- янно встречающийся в народном творчестве – перенос или трансляция. Симметричные эле- менты могут быть совмещены друг с другом при перемещении вдоль прямолинейной оси на отрезок определенной длины. Каждый из рисунков этих орна- ментов состоит из ряда одина- ковых изображений. Можно ска- зать, что эти рисунки образова- ны повторением определенного мотива или его переносом на равные отрезки.

Cлайд 11

Орнамент – огромная и очень своеобразная область художест- венной культуры. По определе- нию, это узор, состоящий из повторяющихся ритмически упо- рядоченных элементов. Он пред- назначен для украшения различ- ных предметов (посуды, текст. изделий,оружия и т.д.) архитек- турных сооружений, произведе- ний прикладного искусства. Он связан с поверхностью (плоско- стью), которую украшает и зри- тельно организует, а своей фор- мой и цветом выявляет и подчер- кивает особенности предмета, природную красоту материала.

Cлайд 12

Основной признак орнамента как средства украшения – подчиненность образу, форме и назначению украшаемого предмета. Орнамент не может существовать самостоятельно, вне этого предмета. В построении орнамента обычно используют принцип симметрии, приемы ритмических повторов одного или нескольких элементов (раппорт). Орнамент можно продолжить в обе стороны, даже если его первоначальная композиция ограничена, замкнута. Элементы, образующие орнамент, могут более или менее точно воспроизводить действительность, но чаще всего подвергаются переработке, стилизации, декоративному обобщению.

Cлайд 13

Cлайд 14

Cлайд 15

В народном творчестве, где орнамент нашел наиболь- шее распространение, постепенно складывались устой- чивые формы и принципы построения орнамента, во многом определившие национальные художественные традиции разных народов. Каждая эпоха, каждый стиль в архитектуре, каждая национальная культура вырабо- тали свою систему орнамента (мотивы, формы, распо- ложение на украшаемой поверхности), поэтому часто по орнаменту можно определить, к какому времени и к какой стране относится то или иное произведение искусства. Русский орнамент (наряду с историческим и культурным значением) особенно интересен в этом смысле, так как имеет своеобразные математические, цветовые и символические особенности.

Cлайд 16

Существенным в орнаменте является цвет. Народные мастера хорошо знали о воздействии цвета не только на зрение, но и на психику людей. Они учитывали, что с тем или иным цветом в сознании человека нередко ассоциируются определенные явле- ния, конкретные настроения и переживания. Народные умельцы в цветовом решении орнамента отдают предпочтение красному цвету. Именно с ним связывается представление о радости, ве- селье, торжестве и счастье. Он вызывает в нашем сознании ассо- циации с солнцем, источником всего живого на Земле.

Cлайд 17

Высокого развития достиг орнамент в средневековой Руси. Для русского орнамента характерны как геометрические и растительные формы, так и изображения птиц, зверей и человеческих фигур. Во взаимном расположении повторяю- щихся фигур русского орнамента в основном участвуют всего три вида симметрии: 1 – это последовательное распо- ложение в линию - переносная симмметрия

Cлайд 18

Cлайд 19

И поворот вокруг общего центра – поворотная симметрия. Количество фигур в полном обороте определяет порядок по- воротной симметрии. В орнаменте на плоскости встречает- ся поворотная симметрия 2-го, 3-го и 6-го порядков. В соот- ветствии с порядком поворотной симметрии фигуры орна- мента относительно друг друга повернуты на 180, 120, 90 или 60 градусов.

Cлайд 20

Считается, что орнаменты, сочетающие зеркальную и по- воротную симметрии 4-го порядка, вызывают состояние покоя. Прямые углы по опыту людей отвечают устойчиво- му равновесию: спокойная водная гладь и отраженные в ней вертикальные стволы деревьев, угол между полом и стенами в комнате, прямоугольные формы зданий.

Cлайд 21

Давно замечено, что в вы- шивках нет ничего случай- ного. В основу древнесла- вянского орнамента легли универсальные представ- ления наших далеких пред- ков о мире. Эти представ- ления нашли отражения в мотивах, характерных для русского орнамента и рус- ких узоров. Эти символы с скрывают особый смысл, который мы, к сожалению, уже не всегда можем прочи- тать.. В орнаменте человек выразил свои представления о космосе, жизни, любви к при роде и человеку, о счастье. В народном творчестве мотивы орнамента запечат лели поэтическое отношение к миру.

Cлайд 22

Для русского орнамента характерными являются также мотивы: "обереговых "знаков, которые наносились на одежду, предметы быта и различные детали жилища; мотивы "плетенки", которые трактовались как знаки воды; - мотив древней богини Мокоши (как представление о Великой Праматери); -мотив "древа жизни"; -мотивы "солярных" (солнечных) знаков. Так, например, прямая линия в орнаментах многих наро- дов означает землю, а волнистая – воду. Сочетание этих линий, расположенных горизонтально в русском орнаменте - символ "мать-сыра земля", расположенных вертикально или горизонтально – символ дождя. Ромб – символ поля, точка в нем – зерно, а в целом - символ за- сеянного поля.

Cлайд 23

Cлайд 24

Заклинательным обереговым орна- ментом украшались все проемы, че- рез которые могли проникнуть к че- ловеку злые духи. Важно было защи- тить те места, где кончалась закол- дованная ткань одежды и начиналось тело человека – рукава, плечи и во- рот обычно расшивали красными нитками. Часто украшали и подол. Сама ткань считалась непроницае- мой для духов зла, т.к. в ее изготов- лении участвовали предметы, изо- бильно снабженные магическим ор- наментом (трепало, прялка, ткац- кий станок).

Cлайд 25

Завершает ансамбль русского костю- ма головной убор. У девушек это может быть только перевязка, остав- ляющая верх головы не закрытым, а замужние женщины носили кокош- ники, расшитые золотой нитью и речным жемчугом.

Cлайд 26

В качестве оберегов часто высту- пают фигуры с центральной сим- метрией, например круг и правиль- ный шестиугольник. У древних славян эти фигуры являлись обе- регами от грозы, они называются "солярными " знаками. Движение солнца передают в орнаменте зна- ком, который нам известен как свастика. Для солнечных знаков характерна поворотная симмет- рия разного порядка. Наиболее рас- пространенными являются круг, разделенный радиусами на равные секторы, а также круг с крестом внутри. "Бегущее" солнце изобра- жает круг с расходящимися от центра дугообразными линиями.

Cлайд 27

Земля изображалась прямоугольником, разделенном диагоналями на 4 части, с повторяющимся в них рисунком. Здесь также мы наблюдаем осевую симметрию в сочетании с централь- ной. Эти же виды симметрии преоб- ладают в изображениях растительно- го мира.

Cлайд 28

Водная стихия представ- лена обычно рядами чер- точек и точек, воспроиз- водящими дождевые кап- ли и зигзагообразными линиями (пример перенос- ной симметрии). Такой мотив типичен для налич- ников окон.

Цель: исследовать преобразование симметрии при построении орнаментов

Задачи:

Обучающие : систематизация знаний в преобразовании фигур
Воспитывающие : трудолюбие, терпеливость; содействовать развитию исследовательских умений, навыков построения красивых фигур и художественного творчества при замощении плоскости.
Развивающие : развитие логического мышления развитие внимания, художественного творчества развитие эстетической культуры, кругозора и любознательности учащихся умение выделять, “видеть” в сетках фигуры

Ход урока

1. Актуализация знаний

Рассматриваются различные примеры преобразований фигур.

Рис. 1

Дается название трем видам преобразований, выполненным по определенным правилам. В данном случае каждая точка фигуры F переводится в другую точку фигуры F’.

Учитель знакомит учащихся с примерами центрально – симметричных фигур.

Рис. 2

Вопросы к учащимся:

Покажите центр симметрии фигур.
Назовите фигуры, имеющие не один центр симметрии (Фигура, состоящая из двух параллельных прямых а и в , имеют не один центр симметрии)
Назови другие примеры центрально-симметричных фигур. (параллелограмм )
Назови фигуру, отличную от табличной, которая имеет не один центр симметрии (прямая )
Имеет ли центр симметрии фигура, состоящая из двух пересекающихся прямых?

Рассматривается рисунок 3.

Рис. 3

Сколько осей симметрии имеют данные фигуры?
Назови номера фигур, которые имеют одну, две, три, четыре, бесконечное множество осей симметрии.
Нарисуй фигуру, отличную от тех, что помещены на рисунке, симметричную относительно некоторой оси.

Рассмотрим следующие преобразования симметрии

Переносная симметрия
	Рассмотрим плоскую фигуру.
При переносе (трансляции) вдоль прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой. В этом случае говорят о переносной , или трансляционной , симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, а расстояние а – элементарным переносом или периодом . Строго говоря, симметричная по отношению к переносам фигура должна быть бесконечно длинной в направлении оси переноса.
Рис. 4		Однако понятие переносной симметрии применяют и в случае фигур конечных размеров, имея в виду наблюдаемое при переносе частичное совмещение фигуры. Из рисунка видно, что при переносе конечной фигуры на расстояние а вдоль прямой АВ наблюдается совмещение участка 1 и участка 2.

Поворотная симметрия

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол называется отображение плоскости на себя,

при котором каждая точка М отображается в такую точку М 1 , что ОМ = ОМ 1 и уголМОМ 1 равен . При этом точка О остается на месте, а все остальные тоски поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении – по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Рис. 5

Зеркальная симметрия

Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S (Рисунок 16), если для каждой точки E этой фигуры может быть найдена точка E’ этой же фигуры, так что отрезок EE’ перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам (EA = AE’). Плоскость S называется плоскостью симметрии . Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова (например, левая перчатка не подходит для правой руки и наоборот). Они называются зеркально равными .

Рис. 6

Примеры фигур, обладающие зеркальной симметрией:

Рис. 7

Рассмотрим применение преобразований симметрии в орнаментах.

Что такое орнамент?

Орнамент (от латинского ornamentum-украшение) узор, состоящий из ритмически повторяющихся элементов для украшения каких-либо предметов или архитектурных построек. Орнамент можно встретить практически везде. Орнамент очень часто встречается в вышивке, в резьбе по дереву, в архитектуре, даже в природе можно встретить орнамент. Не возможно представить старинную чувашскую одежду без орнамента. Всегда женщины вышивали на своей одежде всевозможные орнаменты. Всегда когда встречали гостей подносили на украшенном орнаментом полотенце. Орнамент всегда присутствовал в изделиях из ткани.Если бы вы попали в деревне, то вы бы заметили что на всех домах есть очень красивая повторяющаяся резьба. Всегда русский народ украшал свои дома резными охлупнями, карнизами, наличниками. В украшение многих строений используется орнамент. Орнамент делает постройки более красивыми. Красивые колонны с орнаментом сделают любую постройку очень красивой. Орнамент украсит любое изделие, будь-то хоть изделие из ткани, хоть постройка.

Рассмотрим несколько типов орнаментов.

Рис. 8

Какие виды преобразований симметрии здесь приведены

Исходя из преобразований, орнаменты можно выделит на три типа

Линейные
Сетчатые.
Замкнутые.

Линейные орнаменты – орнамент в полосе с линейным вертикальным или горизонтальным чередованием мотива (ленточный).

Сетчатый, или раппорный, орнамент. Мотив в нем повторяются и по вертикали, и по горизонтали, этот орнамент бесконечен во всех направлениях. Раппорт – минимальная площадь, включающая мотив и расстояние до соседнего мотива. Обычно пользуются прямоугольным раппортом.

Замкнутый орнамент. Он компонуется в прямоугольнике, квадрате или круге (розеты). Мотив в нем либо не имеет повтора, либо повторяется с поворотом на плоскости.

На рис. 8 выделите линейные,сетчатые, замкнутые орнаменты. Изучая способы построения сетчатых и замкнутых орнаментов, можно заняться замощением плоскости. Замостить плоскость можно используя сетчатые орнаменты.А как это делается, можно посмотреть презентацию работ моей ученицы Андреевой В, ученицы 7-го класса.

Итак, давайте сделаем выводы.

Мы сегодня повторили преобразование симметрии и применение их в построении орнаментов, рассмотрели способы и построения линейных, сетчатых, замкнутых орнаментов и способы замощения плоскости различными фигурами.

Районная научно-исследовательская конференция «Юниор»

Исследовательская работа

Симметрия в окружающем мире

(секция точных наук)

Выполнила: Меризанова Анна,

Елисеенко Вера,

ученица 8 класса

Руководитель: Колесникова

Людмила Александровна,

учитель математики

Введение. . 2

1.1. ..................................................... . 3

1.2. ................................................................... . 4

1.3. Симметрия сквозь века . 7

Глава 2. Симметрия вокруг нас. 8

.. 8

2.2. .......................................................... . 9

Заключение . 11

Библиографический список . 12

Введение

В этом учебном году рассматривали данную тему на уроках математики. Нас заинтересовала тема «Симметрия». И мы решили создать проект по этой теме, т. к. в учебнике по геометрии мало уделено внимания на изучение темы «Симметрия», при этом ученики часто задают вопрос: зачем она нужна, где она встречается, зачем её вообще изучают.

А ведь симметрия встречается в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии.

Симметрия, свойственна разным явлениям, лежащим в основе всех вещей, она описывает многие явления жизни и многих наук

В результате работы перед собой мы поставили вопросы:

Для чего надо знать симметрию, где в окружающем мире она встречается?

Мы поставили перед собой цель:

сформировать представлений о симметрии, через систематизацию знаний о симметрии, а также через анализ явлений природы, человеческой деятельности.

Для раскрытия темы нашей исследовательской работы были поставлены следующие задачи:

Научиться распознавать симметричные фигуры среди других.

Познакомиться с использованием симметрии в природе, быту, искусстве, технике.

Продемонстрировать разнообразное применение математики в реальной жизни.

Осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы (показать возможности применения полученных знаний в своей будущей профессии художника, архитектора, биолога, инженера-строителя).

Для написание работы мной были использованы различные методы:

2) метод индуктивного обобщения, конкретизации;

3) использование компьютерного инвентаря.

Глава 1. Первые представления о симметрии

В данной главе нами описаны первые представления о симметрии, исторические сведения по данной теме; приведены некоторые примеры симметричных фигур; рассмотрены примеры исследовательского характера по теме:: «Симметрия».

1.1. Историческое развитие и осмысление понятия симметрии

В процессе исторического развития и осмысления симметрии особый этап симметрии как меры красоты и гармонии связани с работой выдающегося математика Германа Вейля «Симметрия» (1952). Г. Вейль под симметрией понимал неизмеримость (инвариантность) какого-либо объекта при преобразованиях: предмет является симметричным в том случае, когда его подвергнуть какой-нибудь операции, после которой он будет выглядеть так же, как и до преобразования.

Греческое слово «симметрия» означает «соразмерность», «пропорциональность», «одинаковость в расположении частей». Однако часто под словом «симметрия» понимают более широкое понятие: регулярность смены каких-либо явлений (времен года, дня и ночи и т. д.), уравновешенность левого и правого, равноправие природных явлений. Фактически мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. В психологии и морали широко использовалось понятие симметрии. Так, великий Аристотель считал, что симметрия имеет смысл некой средней меры, к которой должен стремиться в своих действиях добродетельной человек. Римский врач Гален (2в. н. э.) под симметрией понимал состояние духа, одинаково удаленное от обеих крайностей, например от горя и радости, апатии и возбуждения. Симметрия, понимаемая как покой, уравновешенность, противостоит хаосу и беспорядку. Об этом говорит гравюра Мариуса Эшера «Порядок и Хаос» (рис. 196), где, как писал сам художник, «звездчатый додекаэдр, символ красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей».

1.2. Математическое представление о симметрии

Представления о симметрии, изложенные выше, носят общий характер и для математики не являются точными и строгими.

Определение 1. Симметрия – это соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.

Математическое строгое определение симметрии сформировалось сравнительно недавно – в 19 в., когда были введены понятия зеркальной и поворотной симметрии.

Розетки, снежинки – это симметричные и очень красивые фигуры.

В планиметрии существует осевая (симметрия относительно прямой), центральная симметрии (симметрия относительна точки), а также поворотная, зеркальная, переносная.

Определение 2. Две точки A и A1 называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Каждая точка прямой а

Определение 2 . Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят, фигура обладает осевой симметрией . Фигуры, которые имеют ось симметрии: прямоугольник, ромб, квадрат, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, круг и т. д.

Определение 3. Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О , если О – середина отрезка АА1 . Точка О считается симметричной самой себе.

Определение 4. Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О , называется центром симметрии фигуры . Говорят, фигура обладает центральной симметрией . Примеры фигур, которые обладают центральной симметрией: круг, параллелограмм, треугольник и т. д.

Математика изучает немало фигур, которые обладают и осевой, и центральной симметрией (круг, квадрат и др.), только осевой симметрией (например, равнобедренный треугольник), только центральной симметрией (например, параллелограмм общего вида).

Чтобы разобраться в данной теме мы произвели ряд исследовательских заданий.

Исследовательские задания.

Задание 1. На прямой АВ найдите точку, сумма расстояний от которой до двух данных точек М и N была бы наименьшей.

Обсуждение. 1 случай. Пусть М и N лежат по разные стороны от , кратчайшее расстояние между ними есть , следовательно, искомая точка Х лежит на пересечении и https://pandia.ru/text/79/046/images/image024_13.jpg" align="left hspace=12" width="187" height="132">Всякая другая точка прямой АВ не обладает этим свойством, так как .gif" width="36" height="23"> Строим М1 , симметричную М относительно https://pandia.ru/text/79/046/images/image023_17.gif" width="36 height=27" height="27">.gif" width="36" height="23 src=">, то искомая точка Х есть точка пересечения прямых М N и AB .

Задание 2. Даны прямые АВ и точки М и N . Найдите на https://pandia.ru/text/79/046/images/image028_8.jpg" align="left hspace=12" width="207" height="140">Обсуждение. 1 случай. Точки М и N лежат по одну сторону от прямой АВ (и притом на разных расстояниях от неё. Тогда точка Х прямой АВ, для которой разность расстояний от точек М и N наибольшая, есть точка пересечения прямой АВ с продолжением отрезка MN. Тогда всякая другая точка Х1 прямой АВ не обладает этим свойством, так как (следствие аксиомы треугольника). Если М и N находится на одинаковом расстоянии от https://pandia.ru/text/79/046/images/image031_8.jpg" align="left hspace=12" width="207" height="148">2 случай. Точки М и N лежат по разные стороны от . Тогда искомая точка , где .

Если точки М и N находятся по разные стороны от и на одинаковом от неё расстоянии, то задача не имеет решений.

Задание 3 . Исследовать имеют ли центр симметрии: 1) отрезок; 2) луч; 3) квадрат.

Обсуждение. 1) да; 2)нет; 3 да

Задание 4. Исследовать какие из следующих точек латинского алфавита имеют центр симметрии: А, О, M, Х.

Обсуждение. О и Х

Обсуждение. 1) две; 2) «бесконечное множество»: любая прямая, перпендикулярная к данной, а также сама прямая; 3) одну.

Задание 6. Исследовать какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, г, Е, О в алфавите.

Обсуждение. А, Е, О

Вывод: Данные примеры нам показывают, что даже точки стоящие в алфавите имеют симметричное положение. Ось симметрии имеют различные геометрические фигуры.

1.3. Симметрия древнерусского орнамента

Для русского орнамента характерны как растительные и геометрические формы, так и изображения птиц, зверей и фантастических животных. Особенно ярко русский орнамент выражен в резьбе по дереву и вышивке. Наиболее часто использовались так называемые плетенки – переплетения лент, ремней, стеблей цветов. В 17 в. зодчий Степан Иванов создал свой знаменитый орнамент «Павлинье око».

По мнению академика, известного археолога и историка с мировым именем, в основу древнерусского орнамента вошли универсальные различные представления о мире. Сознание древнего славянина было обусловлено мифологическими восприятиями действительности. Всё это отражалось в мотивах, характерных для русского орнамента.

· Мотив «обереговых» знаков , которые наносились на одежду, предметы быта и различные детали жилища..jpg" width="300" height="239 src=">

· Мотив плетёнки , характерный для русальских браслетов, который трактовали как знак воды и царства подземного владыки Переплута.

· Мотив древней богини Мокоши как специфического воплощения представления о Великой Праматери, общего для всех народов на определённой стадии исторического существования. Мокоша (Макошь) – единственный женский образ в древнерусской мифологии. Её имя наводит на мысль о мокроте, влаге, воде. Мокошь покровительствовала всем женским занятиям, особенно прядению, и почитали её преимущественно женщины.

https://pandia.ru/text/79/046/images/image041_6.jpg" width="324" height="211">

В русском орнаменте с древних времён сложилась особая система расположения символов, представляемых движение Солнца вокруг Земли. Встречается несколько типов солнечных знаков, для них характерна поворотная симметрия. Наиболее распространён круг, разделённый радиусами на разные секторы («Колесо Юпитера»), а также круг с крестом внутри.

Вывод: проанализировав литературу по данному вопросу мы пришли к выводу, что в древнерусском орнаменте часто встречаются симметричные символы. В традиционных национальных украшениях и предметах быта можно встретить все виды симметрии на плоскости: центральную, осевую, поворотную, переносную.

1.4. Симметрия сквозь века

В своих размышлениях над картиной мира человек с давних пор активно использовал идею симметрии. По преданию, термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский, живший в г. Регул. Отклонение от симметрии он определил термином «асимметрия». Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна. Считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, они делали вывод о сферичности Земли и ее движения по сфере вокруг некоего «центрального огня», где двигались также 6 известных тогда планет вместе с луной, Солнцем, звездами.

Представители первой научной школы в истории человечества, последователи Пифагора Самооского, пытались связать симметрию с числом.

Широко используя идею гармонии и симметрии, ученые древности любили обращаться не только к сферическим формам, но и к правильным многогранникам, для построения которых они использовали «золотое отношение». У правильных многогранников грани – правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями равны. Древние греки установили поразительный факт: существует всего пять правильных выпуклых многогранников, названия которых связаны с числом граней, - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.

Глава 2. Симметрия вокруг нас

В данной главе описана теория в которой указывается различные представления симметрии в природе, в этой главе мы доказываем, что строения, созданные человеком также имеют симметричные фигуры.

2.1. Роль симметрии в познании природы

Симметрия кристаллов является следствием их внутреннего строения: их атомы и молекулы имеют упорядоченное взаимное расположение, образуя симметричную решетку из атомов – так называемую кристаллическую решетку.

Недостающие элементы симметрии определил академик Аксель Вильгельмович Гадолин (). Известный профессор минералогии из немецкого города Марбурга Иоганн Гессель в 1830г. Опубликовал свой труд о симметрии кристаллов. Его труд по некоторым причинам остался незамеченным. Но в 1897г. Работу Гесселя переиздали, и с тех пор его имя вошло в историю науки.

Итак, симметрию кристаллов научились изучать и сравнивать. Существуют 9 элементов симметрии и только 32 различных набора элементов симметрии – групп симметрии, которые и определяют внешнюю форму кристаллов. Но коль скоро число элементов симметрии кристаллов, конечно, то конечно число их наборов – комбинации, описывающих симметрию внешней формы. Отсюда следует, что симметрия – строгий и всеобъемлющий закон, управляющий царством кристаллов. Она задаёт форму кристалла, число его граней и ребер, она же диктует и его внутреннее строение.

Симметрию можно обнаружить у обитателей моря, например у морской звезды, морского ежа и некоторых медуз.

Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы и плоды растений. Для некоторых из них характерна только зеркальная симметрия, или только поворотная симметрия, скользящая.

Интересно, что среди растений одного вида существуют такие, у которых встречается как левая структура листьев, так и правая.

Живая природа характеризуется не только известными видами симметрии. Так, изогнутый стебель растения, закрученная форма моллюска не менее симметричны, чем кристалл. Но это другая симметрия – криволинейная, которая была обнаружена в 1926г.

А в 1960г. Академик ввел в рассмотрение симметрию подобия. Подобными фигурами считаются одной и той же формы. Симметрия подобия состоит из переноса (поворота) фигуры с одновременным уменьшением или увеличением ее размеров.

2.2. Симметрия в архитектурных сооружениях

Симметрия господствует не только в природе, но и в творчестве человека. Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Интересны древнерусские постройки, в частности деревянные церкви. Стройные и выразительные, рубленные восьмериком, т. е. с симметричными восьмигранными шатрами, они как нельзя лучше соответствовали понятию красоты в средневековой Руси.

Примером может служить храм Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Храм состоит из десяти различных храмов, каждый из которых строго симметричен, но в целом он не обладает ни зеркальной, ни поворотной симметрией.

Можно привести много примеров использования симметрии и асимметрии в скульптуре. Например, скульптура пелопонесского мастера из школы Пифагора «Дельфийский возничий», которая изображает победителя на состязаниях конных колесниц. Фигура юноши в длинном хитоне в целом симметрична, но легкий поворот торса и головы нарушает зеркальную симметрию, что порождает иллюзию движения, и статуя кажется живой.

Луи Пастер считал, что именно асимметрия отличает живое от неживого, полагая, что симметрия – страж покоя, а асимметрия – двигатель жизни. Пример того, что парадокс симметрии служит не только для передачи движения, но и для усиления впечатления, - это изображение греческой вазы из пещеры Камарес на острове Крит.

Заключение

Симметрия – это нечто общее, свойственное разным явлениям, лежащее в основе всех вещей, а асимметрия выражает некие индивидуальные особенности вещей и явлений. И в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии и асимметрии. Мир существует благодаря единству этих двух противоположностей.

Проанализировав работу, мы пришли к выводу, что симметрия часто встречается в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колёса.

В результате реализации проекта:

u расширили знания о симметрии;

u узнали, какие явления из жизни и

некоторых наук описывает симметрия;

u новые практические приемы : работа с учебной, научно-познавательной литературой;

u обобщили понятия, представления, знания, на получение которых нацелен результат проекта : рассмотрели, где в жизни встречается симметрия.

Библиографический список

1. Афанасьев А. Н, Мифология Древней Руси. – М.: Эксмо, 2006.

2. Вейль Г. Симметрия. – Изд. 2-е, стер. – М.: Единториал УРСС, 2003.

3. Гнеденго по истории математики в России. – 2-е изд., испр. и дополн. – М.: КомКнига, 2005.

4. Изобразительные мотивы в русской народной вышивке. Музей народного искусства. – М.: Советская Россия,1990.

5. Климова орнамент в композиции художественных изделий. – м.: Изобразительное искусство,1993.