Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Урок разноуровневого обобщающего повторения на тему: «Сложение и вычитание рациональных дробей

Тема “Сложение и вычитание рациональных дробей ” – одна из ведущих в учебной программе по алгебре 8 класса. И навык, приобретенный в ходе ее изучения, крайне необходим для учащегося на все последующие годы обучения в школе.

Не секрет, что дети очень слабо овладевают техникой сложения рациональных дробей с разными знаменателями, из-за чего процент успешности в старших классах уменьшается.

В данной статье предлагается математическая сказка 8 класс на тему “Сложение рациональных дробей “, в которой делается акцент на запоминании алгоритма сложения и вычитания рациональных дробей с разными знаменателями.

Этот алгоритм носит название “Правило трех “С” (русский вариант).

“Сложение рациональных дробей”

Федя готовил домашнее задание. Задачу по алгебре стал делать последней.

Открыл раздел «Рациональные дроби» , закрыл глаза и начал думать.

« Опять эти иксы. А наша Анна Романовна ох, как любит их! Вот правил понапридумывали! Сложение, вычитание дробей… с одинаковыми знаменателями и с разными. Попробуй запомни, какой и где знаменатель писать, а какой числитель. А еще откуда-то взялся дополнительный множитель. А пример в книге решен как-то непонятно. Как разобраться с этими иксами? »

Рассуждая об иксах, Федя уснул. И снится ему, что он очень маленький, а над ним стоит огромный иксище и говорит: « За что ты, Федя, меня так не любишь? Я ничего тебе плохого не сделал » .

А Федя во сне: «Против тебя самого я ничего не имею. Но, когда ты в рациональных дробях стоишь, и их надо складывать и вычитать, у меня руки опускаются…».

«Я тебе помогу, – предложил X. – Запомни правило трех « С » , что означает: С низу, С боку и С верху.

Снизу означает, что сначала записывай общий знаменатель, он снизу.

Сбоку – это значит, что потом дополнительный множитель пиши, он сбоку.

Сверху – числитель, так как он сверху дроби.

Как их найти, прочитай внимательно в учебнике».

Проснулся от сна Федя, посмотрел на записанное правило сложения рациональных дробей с разными знаменателями и вдруг все понял.

Математична казка 8 клас “Додавання раціональних дробів”.

Федько готував домашнє завдання. Завдання з алгебри почав робити останнім.

Відкрив розділ «Раціональні дроби», заплющив очі і почав міркувати. «Знову ці ікси. А наша Ганна Романівна ох, як любить їх! От правил понавигадували! Додавання, віднімання дробів, з однаковими знаменниками та з різними. Спробуй запам’ятай, який і де знаменник писати, а який чисельник. А ще звідкись узявся додатковий множник. А приклад у книжці розв’язано якось незрозуміло. Як розібратися з цими іксами?»

Міркуючи про ікси, Федько заснув. І сниться йому, що він дуже маленький, а над ним стоїть велетенський іксище і промовляє: «За що ти, Федю, мене так не любиш? Я ж нічого тобі поганого не зробив».

А Федько уві сні: «Проти тебе самого я нічого не маю. Але, коли ти у раціональних дробах стоїш, і їх треба додавати і віднімати, у мене руки опускаються».

«Я тобі допоможу, - запропонував X. - Запам’ятай правило трьох «З» , що означає: З низу, З боку і З верху.

Знизу означає, що спочатку записуй спільний знаменник, він знизу.

Збоку - це значить, що потім додатковий множник пиши, він збоку.

Зверху - чисельник, тому що він зверху дробу.

Як їх знайти, прочитай уважно у підручнику».

Прокинувся від сну Федько, подивився на записане правило додавання та віднімання дробів з різнимии знаменниками і раптом усе зрозумів.

*************************************************************************************************

Внимание!

Алгоритм сложения и вычитания рациональных дробей с разными знаменателями , а также примеры с подробным разбором решения можно

Уважаемые читатели!

Цель урока:

образовательная - обобщить и систематизировать знания учащихся по темам: «Алгебраическая дробь и ее свойства. Сложение и вычитание алгебраических дробей», закрепить вычислительные навыки;

развивающая – развивать познавательную деятельность учащихся, формировать навыки самостоятельной работы, побуждать любознательность

воспитательная - воспитание внимания, тренировка памяти, развитие сообразительности, находчивости, товарищества

Оборудование: интерактивная доска, компьютер(презентация)

Ход урока:

1. Организационный момент. Тема урока записана на доске.

2. Ребята, сегодня у нас необычный урок. Мы с вами совершим небольшое путешествие в страну РАЦИОНАЛЬНЫХ (АЛГЕБРАИЧЕСКИХ) ДРОБЕЙ. Сегодня на уроке нужно быть очень внимательным и много трудиться. Только тогда удача будет наградой за труд, иначе можно попасть в очень неприятную историю. Впереди вас ждут станции, где вам надо будет показать свои знания, находчивость, смекалку. Маршрут путешествия мы будем выбирать, используя карту (слайд 2). Класс наш поделится на 3 команды (по рядам).Итак, в путь!

1.Поляна «Теоретическая»

Каждой команде предлагается ответить на 2 вопроса

На экране 6 подсолнухов, в каждом содержится вопрос. Команда выбирает вопрос и отвечает, за правильный ответ получают очки.

Сформулируйте основное свойство дробей.

Какая дробь называется алгебраической?

3.Сформулируйте правило изменения знака перед дробью?

4. Когда алгебраическая дробь равна нулю?

5. Когда алгебраическая дробь не имеет смысла?

6. Что называется сокращением дроби?

2.Замок алгоритмов

Сформулируйте алгоритм сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Сформулируйте алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Типы задач

Сумма (разность ) дробей, знаменатели которых одинаковы.

Сумма (разность ) дробей, знаменатели которых одночлены, имеющие общие множители.

Сумма (разность ) дробей, знаменатели которых многочлены.

1) Выписать числители дробей, поставив между ними знак

2) Знаменатель оставить без изменения

3) преобразовать числитель новой дроби (раскрыть скобки, привести подобные, разложить на множители, сократить дробь, если возможно)

1) записать в знаменатель НОК коэффициентов одночленов.

2) выписать переменные, входящие в каждый из одночленов, с наибольшим показателем

3) составить произведение полученных множителей;

4)найти дополнительные множители для этого общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби

5) записать числитель новой дроби, для этого дополнительный множитель каждой дроби умножить на соответствующий числитель, поставив между произведениями знак между дробями

6)

1)разложить на множители знаменатели дробей;

2) Найти НОЗ и записать в знаменатель

3) найти дополнительные множители

4) записать числитель новой дроби, для этого дополнительный множитель каждой дроби умножить на соответствующий числитель, поставить между произведениями знак между дробями

5) преобразовать числитель новой дроби

После повторения правил рассматриваются решения примеров на слайде.

I II III

1) 1)
1)

2)
2)
2)

3)
3)
3)

3.Исторический городок

Выполнив задания, найдите ответы. Каждому ответу соответствует буква,составьте слово, о происхождении которого вы узнаете из следующего слайда.

49+14у+у 2

а 3 – 125

(3с-2) 2

Слово алгебра произошло от слова алджабра , взятого из названия книги узбекского математика, астронома и географа Мухамеда Ал-Хорезми «Краткая книга об исчислениях ал-джабры и ва-л-мукабалы».

4.Загадочный лабиринт

Каждой команде по 4 находки в лабиринте, правильные ответы щелчком мышки попадают на свои места, неправильные покидают поле.

5.Остров ошибок.

6.Сказочный лес

Какой из героев сказок спрятал верный ответ? Определите зто, кликнув по изображению

1) Найдите дробь

2) При каких х выражение не имеет смысла?

АЛГЕБРА
Все уроки для 8 классов

Урок № 7

Тема. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Цель: добиться усвоения учащимися содержания понятия «(наименьший) общий знаменатель» для данных рациональных дробей, содержания алгоритма нахождения наименьшего общего знаменателя для рациональных дробей, а также алгоритма сложения и вычитания рациональных дробей с разными знаменателями; сформировать умение воспроизводить изученные алгоритмы и выполнять действия с этими алгоритмами для записи суммы или разности рациональных дробей с разными знаменателями в виде (несократимый) рационального дроби.

Тип урока: усвоение знаний, умений и навыков.

Наглядность и оборудование: опорный конспект «Сложение и вычитание рациональных дробей».

Ход урока

I. Организационный этан

II . Проверка домашнего задания

В начале урока учитель собирает на проверку тетради с выполненным домашним заданием (чтобы проверить усвоение учащимися знаний и умений по теме «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями» и, при условии успешного выполнения, оценить работу учеников) или, организовав работу учащихся по проверке домашнего задания по образцу и скорректировав возможные ошибки, предлагает учащимся выполнить задания аналогичного содержания (тестовая работа № 3).

Тестовая работа № 3

Вариант 1

1. Чему равна сумма ?

3. Найдите сумму дробей и .

Вариант 2

1. Чему равна сумма дробей ?

2. Найдите разность дробей и .

3. Найдите сумму дробей и .

4. Найдите сумму дробей .

III . Формулировка мсти и задач урока

Сознательному восприятию цели урока может способствовать беседа, в ходе которой ученики будут отвечать на такие вопросы учителя:

1. Как добавить (отнять) обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями?

2. Как выполняется сложение (вычитание) дробей с разными знаменателями?

3. Как добавить (отнять) рациональные дроби с одинаковыми знаменателями? Похоже ли это правило на соответствующее правило для дробей?

4. Можно ли рациональный дробь представить в виде равного ему рационального дроби с другим знаменателем? Как это сделать (как называется такое действие и каков механизм ее выполнения)?

После окончания беседы ученики должны осознать, что важное значение приобретает изучение сложения и вычитания рациональных дробей с разными знаменателями. Изучение вопроса о возможности выполнения и алгоритм сложения (вычитания) рациональных дробей с разными знаменателями с основной дидактической целью урока.

IV . Актуализация опорных знаний и умений

@ Соответствии с обсужденным на предыдущем этапе моментов перед изучением нового материала следует активизировать знания и умения учащихся по выполнению сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, разложение многочленов на множители, возведение рациональной дроби к новому знаменателю, а также преобразования суммы или разности рациональных дробей на рациональный дробь.

Выполнение устных упражнений

1. Сведите дроби: ; ; ; ; к знаменателю 42.

2. Представьте выражения в виде произведения:

а) 10х + 15у; б) а2 - 25; в) 42у2 - 21у; г) 7х2 - 7у2; д) 6m - 2n ; в) 16 x - xy ; ж) а2 - 4а + 4; с) а8 - a 7.

3. Который знаменатель является наименьшим общим знаменателем для дробей: а) и ; б) и ; в) и ?

4. Какое число нужно подставить вместо *, чтобы образовалась тождество: а) ; б) ; в) ; г) ?

V . Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Понятие общего знаменателя для рациональных дробей.

2. Алгоритмы возведения дробей к общему знаменателю.

3.* Общее правило сложения и вычитания рациональных дробей с разными знаменателями.

@ Изучения вопроса о сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями следует начать как раз с формирования представления учащихся о содержании понятия наименьшего общего знаменателя поданных рациональных дробей и способа его нахождения. При этом можно для наглядности использовать знания учащихся по способам нахождения наименьшего общего знаменателя дробей и алгоритма рационального возведения дроби к новому знаменателю (см. выше). Рассмотрев типичные случаи нахождения общего знаменателя для рациональных дробей, можно обобщить наблюдения, составив алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя для предлагаемых рациональных дробей. Составлен алгоритм следует «испытать» на рассмотренных ранее примерах. После изучения вопроса о нахождении общего знаменателя повторяем алгоритм возведение рациональных дробей к новому знаменателю и объединяем их в общий образ действий под названием «возведение рациональных дробей к общему знаменателю».

Рассмотрев вопрос о возведение рациональных дробей к общему знаменателю, переходим к изучению вопроса о применении этих действий во время добавления или вычитания рациональных дробей с разными знаменателями: состоит алгоритм сложения и вычитания рациональных дробей с разными знаменателями. При этом следует сделать акцент на том, что этот алгоритм основывается на известном алгоритме сложения и вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, к которому добавлен алгоритм возведение рациональных дробей к общему знаменателю.

Во время изучения темы могут возникнуть трудности, обусловленные, кроме всего прочего, еще и тем, что сложение и вычитание дробей с разными знаменателями предполагает более длинную последовательность действий, что требует достаточно развитого внимания учащихся и умение переключаться с одного алгоритма на другой. При этом следует заметить, что в некоторых учеников в начале изучения темы возникают трудности именно потому, что названные психологические механизмы еще недостаточно развиты. Поэтому учитель, уже исходя из знания уровня подготовки учащихся, может принять решение о том, следует ли на этом уроке изучать алгоритмы возведение дробей к общему знаменателю и сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, сосредоточиться на этом уроке только на одном алгоритме возведения дробей к новому знаменателю и отработать устойчивые умения его применения, а уже на следующем уроке начать изучение алгоритма сложения и вычитания дробей с разными знаменателями (см. 3) плана).

VI . Усвоение умений

Выполнение устных упражнений

Найдите наименьший общий знаменатель дробей:

а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ; е) и .

Из названных пар дробей выберите те, что имеют общим знаменателем:

а) произведение их знаменателей;

б) один из знаменателей представленных двух дробей;

в) выражение, составленное из всех различных множителей знаменателей данных дробей.

Выполнение письменных упражнений

@ *Для реализации дидактической цели на этом уроке следует решить задачи следующего содержания.

1. Сведение к (наименьшего) общего знаменателя рациональной дроби.

1) Сведите к общему знаменателю дроби:

а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ; е) и ж) и ; с) и .

2) Сведите к общему знаменателю дроби:
а) и ; б) и ; в) и ; г) и .

2. Сведение к (наименьшего) общему знаменателю и добавление или вычитание рациональных дробей с разными знаменателями.

1) Представьте в виде дроби:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

2) Выполните сложение (вычитание) дробей:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

На этом уроке будет представлено много разных примеров, поэтому приготовь бумагу и ручку, чтобы постараться решить их самостоятельно, или хотя бы самостоятельно повторить решение каждого примера.
Мы изучаем дробно-рациональные выражения и особый интерес для нас представляют рациональные дроби, то есть такие дроби, числитель и знаменатель которых – буквенные выражения.
Тема урока –«сумма и разность дробей» и сначала речь пойдет о дробях с одинаковыми знаменателями.

Больше уроков на сайте

Когда дроби имеют одинаковые знаменатели, то при их сложении (вычитании) нужно выполнить указанные действия только с числителями, а знаменатель оставить прежним. Рассмотрим несколько примеров. (2 примера на доске — сразу). Теперь сделай паузу, чтобы остановить урок, и постарайся выполнить эти задания самостоятельно.

Перейдем к действиям с дробями, имеющим разные знаменатели. И, самый простой случай – противоположные знаменатели. Например, — это сумма дробей с противоположными знаменателями и, встречаясь с такими примерами, пользуются правилом:

«знак «минус», стоящий в числителе или знаменателе, можно записать перед дробью; и наоборот: если знак «минус» записан перед дробью, то его можно записать или в числитель, или в знаменатель».

Воспользуемся им: в знаменателе второй дроби вынесем за скобку «минус» теперь этот «минус» можно поставить перед дробью, и знаменатели станут одинаковыми.

Задумайся: что было сделано при решении этого примера: перед выполнением действия рациональные дроби изменили так, что их знаменатели стали одинаковыми. Вспомни: ведь так поступают и с числовыми дробями – их приводят к общему знаменателю, используя для этого основное свойство дроби. Этот же принцип действует при выполнении действий с любыми рациональными дробями.

(Учитель на фоне доски в пол-роста.) И снова рассмотрим несколько примеров на выполнение действий сложения и вычитания с дробями. Сделай паузу и подумай, как справиться с этими примерами самостоятельно, а потом – проверим. (на доске – только условия примеров)

ение урока рассмотрим одно задание с особой формулировкой: «докажите, что тождественно равны между собой выражения». На доске — выражения, равенство которых нужно доказать.

Подведем итог урока:

Тема его: «Сумма и разность дробей». Для нахождения и суммы, и разности, нужно преобразовать дроби так, чтобы они имели одинаковые знаменатели. А после этого нужно выполнить указанные действия только с числителями, а знаменатель оставить прежним. Полученный результат нужно сократить.

При выполнении сложения и вычитания дробей пользуются разложением многочлена на множители. Для чего? 1) Для поиска простейшего общего знаменателя. 2) Для сокращения дробей.

На этом урок окончен, но тебе предстоит выполнить большое количество самостоятельных упражнений для того, чтобы прочно усвоить тему сегодняшнего урока.