Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения

Деление отрезка в заданном соотношении.

Рассмотрим в пространстве две различные точки M 1 и M 2 и прямую, определяемую этими точками. Выберем на этой прямой некоторое направление. На полученной оси точки M 1 и M 2 определяют направленный отрезок M 1 M 2 . Пусть M – любая, отличная от M 2 точка указанной оси. Число

l=M 1 M/MM 2 (*)

называется отношением, в котором точка M делит направленный отрезок M 1 M 2 . Таким образом, любая, отличная от M 2 точка M делит отрезок M 1 M 2 в некотором отношении l, где l определяется равенством (*).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть заданы две прямые и , (). Тогда, если , то угол между этими прямыми можно найти из формулы

Если , то прямые перпендикулярны.

Доказательство . Как известно из школьного курса математики, угловой коэффициент в уравнении прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси . Из рис. 11.10 видно, что .

Так как , , то при выполняется равенство

что дает формулу

Если же , то , откуда

Следовательно, и .

Общее уравнение прямой.

Докажем сначала, что если на плоскости П задана произвольная прямая линия L и фиксированная произвольная декартова прямоугольная систему Оху, то прямая L определяется в этой системе уравнением первой степени.

Достаточно доказать, что прямая L определяется уравнением первой степени при каком-то одном специальном выборе декартовой прямоугольной системы на плоскости П, ибо тогда она будет определяться уравнением первой степени и при любом выборе декартовой прямоугольной системы на плоскости П. Направим ось Ох вдоль прямой L, а ось Оу перпендикулярно к ней. Тогда уравнением прямой будет уравнение первой степени у=0. в самом деле, этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точки, лежащей на прямой L, и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей на прямой L.

Докажем теперь, что если на плоскости П фиксирована произвольная декартова система Оху, то всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет относительно этой системы прямую линию.

В самом деле пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная системы Оху и задано уравнение первой степени Ах+Ву+с=0, в котором А В С- какие угодно постоянные, причем из постоянных А и В хотя бы одна отлична от 0. уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение х0 и у0, т.е. существует хотя бы одна точка М(х 0, у 0) координаты которой удовлетворяют уравнению Ах 0 +Ву 0 +С=0 . вычитая из уравнения первой степени уравнение где подставлена точка М(х 0, у 0), мы получим уравнение: А(х- х 0)+В(у- у 0)=0 (1) , эквивалентное уравнении первой степени. Достаточно доказать, что уравнение определяет относительно системы некоторую прямую. Мы докажем, что уравнение (1) определяет прямую L, проходящую через точку М(х 0, у 0) и перпендикулярную вектору n={A,B}. В самом деле, если точка М(х,у) лежит на указанной прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1), ибо в этом случае векторы n={A,B} и М 0 М={x-x 0, у-у 0 } ортогональныи их скалярное произведение А(х- х 0)+В(у- у 0) равно нулю. Если же точка М(х,у) не лежит на указанной прямой, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (1), ибо в этом случае векторы n={A,B} и М 0 М={x-x 0, у-у 0 } не ортогональны и поэтому их скалярное произведение не равно нулю. Утверждение доказано

Уравнение Ах+Ву+С=0 с произвольными коэффициентами А В иС такими, что А и В не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой. Мы доказали, что прямая определяемая общим уравнением Ах+Ву+С=0 ортогональна к вектору n={A,B}. Этот последний вектор мы будем называть нормальным вектором прямой.

Каноническое уравнение прямой. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть направляющим вектором этой прямой. Поставим перед собой задачу: найти уравнение прямой, проходящей через данную точку М 1 (х 1 ,у 1) и имеющей заданный направляющий вектор q={l,m}. Очевидно точка М(х,у) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы М 1 М={x-x 1, y-y 1 } и q={m,l} коллинеарны, тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны, т.е.

Рассмотрим теперь полное уравнение плоскости и покажем, что оно может быть приведено к следующему виду. , называемому уравнением плоскости «в отрезках». Так как коэффициенты А В С отличны от нуля то мы можем переписать уравнение в виду и затем положить А=-С/А b=-C/B. В уравнении плоскости в отрезках числа a, b имеют простой геометрический смысл: они равны величинам отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ох, Оу соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Чтобы убедиться в этом, достаточно найти точки пересечения прямой, определяемой уравнением прямой в отрезках с осями координат. Например точка пересечения с осью Ох определяется из совместного рассмотрения уравнения прямой в отрезках с уравнением у=0 оси Ох. Мы получим координаты точки пересечения х=а у=0. Аналогично устанавливается, что координаты точки пересечения прямой с осью Оу имеют вид х=0 и у=b.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

M 1 (х 1, у 1) и М 2 (x 2, y 2)

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой.Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a , проходящей через две несовпадающие точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) , находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x - x 1 a x = y - y 1 a y , задается прямоугольная система координат О х у с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M 1 (x 1 , y 1) с направляющим вектором a → = (a x , a y) .

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a , которая пройдет через две точки с координатами M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) .

Прямая а имеет направляющий вектор M 1 M 2 → с координатами (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) , так как пересекает точки М 1 и М 2 . Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение с координатами направляющего вектора M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) и координатами лежащих на них точках M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) . Получим уравнение вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) . Получим уравнение вида x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

Пример 1

Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Решение

Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 принимает вид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . По условию задачи имеем, что x 1 = - 5 , y 1 = 2 3 , x 2 = 1 , y 2 = - 1 6 . Необходимо подставить числовые значения в уравнение x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Ответ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Пример 2

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M 1 (1 , 1) и M 2 (4 , 2) в системе координат О х у.

Решение

Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 · x - 1 = 3 · y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Ответ: x - 3 y + 2 = 0 .

Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k x + b . Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b , при которых уравнение y = k x + b определяет линию в системе О х у, которая проходит через точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) , где x 1 ≠ x 2 . Когда x 1 = x 2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М 1 М 2 определена общим неполным уравнением вида x - x 1 = 0 .

Потому как точки М 1 и М 2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b . Следует решить систему уравнений y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b относительно k и b .

Для этого найдем k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 или k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 или y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

Пример 3

Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M 2 (2 , 1) и y = k x + b .

Решение

Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y = k x + b . Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M 1 (- 7 , - 5) и M 2 (2 , 1) .

Точки М 1 и М 2 располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y = k x + b верное равенство. Отсюда получаем, что - 5 = k · (- 7) + b и 1 = k · 2 + b . Объединим уравнение в систему - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b и решим.

При подстановке получаем, что

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Теперь значения k = 2 3 и b = - 1 3 подвергаются подстановке в уравнение y = k x + b . Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y = 2 3 x - 1 3 .

Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.

Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M 2 (2 , 1) и M 1 (- 7 , - 5) , имеющее вид x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Ответ: y = 2 3 x - 1 3 .

Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат О х у z с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , проходящая через них прямая M 1 M 2 , необходимо получить уравнение этой прямой.

Имеем, что канонические уравнения вида x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z и параметрические вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ способны задать линию в системе координат О х у z , проходящую через точки, имеющие координаты (x 1 , y 1 , z 1) с направляющим вектором a → = (a x , a y , a z) .

Прямая M 1 M 2 имеет направляющий вектор вида M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , где прямая проходит через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , отсюда каноническое уравнение может быть вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 , в свою очередь параметрические x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ z = z 1 + (z 2 - z 1) · λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.

Пример 4

Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M 1 (2 , - 3 , 0) и M 2 (1 , - 3 , - 5) .

Решение

Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

По условию имеем, что x 1 = 2 , y 1 = - 3 , z 1 = 0 , x 2 = 1 , y 2 = - 3 , z 2 = - 5 . Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Ответ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки и

или в общем виде

68. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой

Две прямые, заданные уравнениями

Эти прямые параллельны, если A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 или k 1 = k 2 , и

перпендикулярны, если A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 или

Расстояние точки A (x 1 , y 1) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

69. Декартова система координат. Способы задания поверхностей. Общее уравнение поверхности в пространстве.

ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям). Названа по имени Р. Декарта (см. ДЕКАРТ Рене).
Декарт впервые ввел координатную систему, которая существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Для задания декартовой прямоугольной системы координат выбирают взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями. Точка пересечения осей O называется началом координат. На каждой оси задается положительное направление и выбирается единица масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P .

Метод задания поверхности каркасом линии называется каркасным.

Аналитический способ задания поверхности находит широкое применение в практике, особенно если требуется исследовать внутренние свойства поверхности. При проектировании поверхностей технических форм и их воспроизведении на станках с программным управлением используются совместно графические и аналитические способы задания поверхностей.

Поверхности рассматривают как множество точек и линий. Координаты точек этого множества удовлетворяют некоторому заданному уравнению вида F(x, y, z) = 0.

Алгебраической поверхностью n-го порядка называется поверхность, уравнение которой – алгебраическое уравнение степени n.

Графический способ задания поверхностей.

Способы аналитического задания

1. - векторно-параметрическое уравнение.

2. - параметрические уравнения.

3. - явное уравнение.

4. - неявное уравнение.

Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности. Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

Рассмотрим точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в общей декартовой системе координат. Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М 1 , М 2 , М 3 необходимо, чтобы векторы были компланарны. () = 0 Таким образом, Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

70. Общее уравнение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках

Плоскостью называется поверхность, вес точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0,

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

Пусть прямая проходит через точки М 1 (х 1 ; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2). Уравнение прямой, проходящей через точку М 1 , имеет вид у- у 1 = k (х - х 1), (10.6)

где k - пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку М 2 (х 2 у 2), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): у 2 -у 1 = k (х 2 -х 1).

Отсюда находим Подставляя найденное значениеk в уравнение (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки М 1 и М 2:

Предполагается, что в этом уравнении х 1 ≠ х 2 , у 1 ≠ у 2

Если х 1 = х 2 , то прямая, проходящая через точки М 1 (х 1 ,у I) и М 2 (х 2 ,у 2) параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х 1 .

Если у 2 = у I , то уравнение прямой может быть записано в виде у = у 1 , прямая М 1 М 2 параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М 1 (а;0), а ось Оу – в точке М 2 (0;b). Уравнение примет вид:
т.е.
. Это уравнение называетсяуравнением прямой в отрезках, т.к. числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку Мо (х О; у о) перпендикулярно данному ненулевому вектор n = (А; В).

Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) и рассмотрим вектор М 0 М (х - х 0 ; у - у о) (см. рис.1). Поскольку векторы n и М о М перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: то есть

А(х - хо) + В(у - уо) = 0. (10.8)

Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору .

Вектор n= (А; В), перпендикулярный прямой, называется нормальным нормальным вектором этой прямой .

Уравнение (10.8) можно переписать в виде Ах + Ву + С =0 , (10.9)

где А и В координаты нормального вектора, С = -Ах о - Ву о - свободный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. рис.2).

Рис.1 Рис.2

Канонические уравнения прямой

,

Где
- координаты точки, через которую проходит прямая, а
- направляющий вектор.

Кривые второго порядка Окружность

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки, которая называется центром.

Каноническое уравнение круга радиуса R с центром в точке
:

В частности, если центр кола совпадает с началом координат, то уравнение будет иметь вид:

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и, которые называются фокусами, есть величина постоянная
, большая чем расстояние между фокусами
.

Каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ох, а начало координат посредине между фокусами имеет вид
где a длина большой полуоси; b– длина малой полуоси (рис. 2).