Условная вероятность. Теорема Байеса
При оценки вероятности наступления какого-либо случайного события очень важно предварительно хорошо представлять, зависит ли вероятность () наступления интересующего нас события от того, как развиваются остальные события.
В случае классической схемы, когда все исходы равновероятны, мы уже можем оценить значения вероятности интересующего нас отдельного события самостоятельно. Мы можем сделать это даже в том случае, если событие является сложной совокупностью нескольких элементарных исходов. А если несколько случайных событий происходит одновременно или последовательно? Как это влияет на вероятность реализации интересующего нас события?
Если я несколько раз кидаю игральную кость, и хочу, чтобы выпала "шестерка", а мне все время не везет, значит ли это, что надо увеличивать ставку, потому что, согласно теории вероятностей, мне вот-вот должно повезти? Увы, теория вероятности не утверждает ничего подобного. Ни кости, ни карты, ни монетки не умеют запоминать, что они продемонстрировали нам в прошлый раз. Им совершенно не важно, в первый раз или в десятый раз сегодня я испытываю свою судьбу. Каждый раз, когда я повторяю бросок, я знаю только одно: и на этот раз вероятность выпадения "шестерки" снова равна одной шестой. Конечно, это не значит, что нужная мне цифра не выпадет никогда. Это означает лишь то, что мой проигрыш после первого броска и после любого другого броска - независимые события.
События А и В называются независимыми , если реализация одного из них никак не влияет на вероятность другого события. Например, вероятности поражения цели первым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события "первое орудие поразило цель" и "второе орудие поразило цель" независимы.
Если два события А и В независимы, и вероятность каждого из них известна, то вероятность одновременного наступления и события А, и события В (обозначается АВ) можно посчитать, воспользовавшись следующей теоремой.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий
P(AB) = P(A)*P(B) - вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р 1 =0,7; р 2 =0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе обоими орудиями одновременно.
Решение: как мы уже видели события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы, т.е. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=р 1 *р 2 =0,56.
Что произойдет, с нашими оценками, если исходные события не являются
независимыми? Давайте немного изменим предыдущий пример.
Пример. Два стрелка на соревнованиях стреляют по мишеням, причем, если один из них стреляет метко, то соперник начинает нервничать, и его результаты ухудшаются. Как превратить эту житейскую ситуацию в математическую задачу и наметить пути ее решения? Интуитивно понятно, что надо каким-то образом разделить два варианта развития событий, составить по сути дела два сценария, две разные задачи. В первом случае, если соперник промахнулся, сценарий будет благоприятный для нервного спортсмена и его меткость будет выше. Во втором случае, если соперник прилично реализовал свой шанс, вероятность поразить мишень для второго спортсмена снижается.
Для разделения возможных сценариев (их часто называют гипотезами) развития
событий мы будем часто использовать схему "дерева вероятностей".
Эта схема похожа по смыслу на дерево решений, с которым Вам, наверное, уже
приходилось иметь дело. Каждая ветка представляет собой отдельный сценарий
развития событий, только теперь она имеет собственное значение так называемой
условной
вероятности
(q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).
Эта схема очень удобна для анализа последовательных случайных событий.
Остается выяснить еще один немаловажный вопрос: откуда берутся исходные значения вероятностей в реальных ситуациях ? Ведь не с одними же монетами и игральными костями работает теория вероятностей? Обычно эти оценки берутся из статистики, а когда статистические сведения отсутствуют, мы проводим собственное исследование. И начинать его нам часто приходится не со сбора данных, а с вопроса, какие сведения нам вообще нужны.
Пример. Допустим, нам надо оценить в городе с населением в сто тысяч жителей объем рынка для нового товара, который не является предметом первой необходимости, например, для бальзама по уходу за окрашенными волосами. Рассмотрим схему "дерева вероятностей". При этом значение вероятности на каждой "ветке" нам надо приблизительно оценить. Итак, наши оценки емкости рынка:
1) из всех жителей города женщин 50%,
2) из всех женщин только 30% красят волосы часто,
3) из них только 10% пользуются бальзамами для окрашенных волос,
4) из них только 10% могут набраться смелости попробовать новый товар,
5) из них 70% обычно покупает все не у нас, а у наших конкурентов.
Решение:
По закону
перемножения вероятностей, определяем вероятность интересующего нас события А
={житель города покупает у нас этот новый
бальзам}=0,00045.
Умножим это значение вероятности на число жителей города. В результате имеем всего 45 потенциальных покупательниц, а если учесть, что одного пузырька этого средства хватает на несколько месяцев, не слишком оживленная получается торговля.
И все-таки польза от наших оценок есть.
Во-первых, мы можем сравнивать прогнозы разных бизнес-идей, на схемах у них будут разные "развилки", и, конечно, значения вероятности тоже будут разные.
Во-вторых, как мы уже говорили, случайная величина не потому называется случайной, что она совсем ни от чего не зависит. Просто ее точное значение заранее не известно. Мы знаем, что среднее количество покупателей может быть увеличено (например, с помощью рекламы нового товара). Так что имеет смысл сосредоточить усилия на тех "развилках", где распределение вероятностей нас особенно не устраивает, на тех факторах, на которые мы в состоянии повлиять.
Рассмотрим еще один количественный пример исследования покупательского поведения.
Пример. За день продовольственный рынок посещает в среднем 10000 человек. Вероятность того, что посетитель рынка заходит в павильон молочных продуктов, равна 1/2. Известно, что в этом павильоне в среднем продается в день 500 кг различных продуктов.
Можно ли утверждать, что средняя покупка в павильоне весит всего 100 г?
Обсуждение. Конечно, нельзя. Понятно, что не каждый, кто заходил в павильон, в результате что-то там купил.
Как показано на схеме, чтобы ответить на вопрос о среднем весе покупки, мы
должны найти ответ на вопрос, какова вероятность того, что человек, зашедший
в павильон, что-нибудь там купит. Если таких данных в нашем распоряжении не
имеется, а нам они нужны, придется их получить самим, понаблюдав некоторое
время за посетителями павильона. Допустим, наши наблюдения показали, что
только пятая часть посетителей павильона что-то покупает.
Как только эти оценки нами получены, задача становится уже простой. Из 10000 человек, пришедших на рынок, 5000 зайдут в павильон молочных продуктов, покупок будет только 1000. Средний вес покупки равен 500 грамм. Интересно отметить, что для построения полной картины происходящего, логика условных "ветвлений" должна быть определена на каждом этапе нашего рассуждения так же четко, как если бы мы работали с "конкретной" ситуацией, а не с вероятностями.
Задачи для самопроверки
1. Пусть есть электрическая цепь, состоящая из n последовательно соединенных элементов, каждый из которых работает независимо от остальных.
Известна вероятность p невыхода из строя каждого элемента. Определите
вероятность исправной работы всего участка цепи (событие А).
2. Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
3. Производство состоит из четырех последовательных этапов, на каждом из которых работает оборудование, для которого вероятности выхода из строя в течение ближайшего месяца равны соответственно р 1 , р 2 , р 3 и р 4 . Найдите вероятность того, что за месяц не случится ни одной остановки производства из-за неисправности оборудования.
Все на свете происходит детерминировано или случайно…
Аристотель
Вероятность: основные правила
Теория вероятностей вычисляет вероятности различных событий. Основным в теории вероятностей является понятие случайного события.
Например, вы бросаете монету, она случайным образом падает на герб или решку. Заранее вы не знаете, на какую сторону монета упадет. Вы заключаете договор страхования, заранее вы не знаете, будут или нет проводиться выплаты.
В актуарных расчетах нужно уметь оценивать вероятность различных событий, поэтому теория вероятностей играет ключевую роль. Ни одна другая область математики не может оперировать с вероятностями событий.
Рассмотрим более подробно подбрасывание монеты. Имеется 2 взаимно исключающих исхода: выпадение герба или выпадение решки. Исход бросания является случайным, так как наблюдатель не может проанализировать и учесть все факторы, которые влияют на результат. Какова вероятность выпадения герба? Большинство ответит ½, но почему?
Пусть формально А обозначает выпадение герба. Пусть монета бросается n раз. Тогда вероятность события А можно определить как долю тех бросков, в результате которых выпадает герб:
где n общее количество бросков, n(A) число выпадений герба.
Отношение (1) называется частотой события А в длинной серии испытаний.
Оказывается, в различных сериях испытаний соответствующая частота при больших n группируется около некоторой постоянной величины Р(А) . Эта величина называется вероятностью события А и обозначается буквой Р - сокращение от английского слова probability - вероятность .
Формально имеем:
(2)
Этот закон называется законом больших чисел.
Если монета правильная (симметричная), то вероятность выпадения герба равняется вероятности выпадения решки и равняется ½.
Пусть А и В некоторые события, например, произошел или нет страховой случай. Объединением двух событий называется событие, состоящее в выполнении события А , события В , или обоих событий вместе. Пересечением двух событий А и В называется событие, состоящее в осуществлении как события А , так и события В .
Основные правила исчисления вероятностей событий следующие:
1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:
2. Пусть А и В два события, тогда:
Читается так: вероятность объединения двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность пересечения событий. Если события являются несовместными или непересекающимися, то вероятность объединения (суммы) двух событий равна сумме вероятностей. Этот закон называется законом сложения вероятностей .
Мы говорим, что события является достоверным, если его вероятность равна 1. При анализе тех или иных явлений возникает вопрос, как влияет наступление события В на наступление события А . Для этого вводится условная вероятность :
(4)
Читается так:
вероятность наступления А
при условии В
равняется вероятности пересечения А
и В
, деленной на вероятность события В
.
В формуле (4) предполагается, что вероятность события В
больше нуля.
Формулу (4) можно записать также в виде:
(5)
Это формула умножения вероятностей.
Условную вероятность называют также апостериорной вероятностью события А - вероятность наступления А после наступления В .
В этом случае саму вероятность называют априорной вероятностью. Имеется еще несколько важных формул, которые интенсивно используются в актуарных расчетах.
Формула полной вероятности
Допустим, что проводится опыт, об условиях которого можно заранее сделать взаимно исключающие друг друга предположения (гипотезы):
Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза , либо … либо. Вероятности этих гипотез известны и равны:
Тогда имеет место формула полной вероятности :
(6)
Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.
Формула Байеса
Формула Байеса
позволяет пересчитывать вероятность гипотез в свете новой информации, которую дал результат А
.
Формула Байеса в известном смысле является обратной к формуле полной вероятности.
Рассмотрим следующую практическую задачу.
Задача 1
Предположим, произошла авиакатастрофа и эксперты заняты исследованием ее причин. Заранее известны 4 причины, по которым произошла катастрофа: либо причина, либо , либо , либо . По имеющейся статистике эти причины имеют следующие вероятности:
При осмотре места катастрофы найдены следы воспламенения горючего, согласно статистике вероятность этого события при тех или иных причинах такая:
Вопрос: какая причина катастрофы наиболее вероятна?
Вычислим вероятности причин при условия наступления события А .
Отсюда видно, что наиболее вероятной является первая причина, так как ее вероятность максимальна.
Задача 2
Рассмотрим посадку самолета на аэродром.
При посадке погодные условия могут быть такими: низкой облачности нет (), низкая облачность есть (). В первом случае вероятность благополучной посадки равна P1 . Во втором случае - Р2 . Ясно, что P1>P2 .
Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют вероятность безотказной работы Р . Если есть низкая облачность и приборы слепой посадки отказали, вероятность удачного приземления равна Р3 , причем Р3<Р2 . Известно, что для данного аэродрома доля дней в году с низкой облачностью равна .
Найти вероятность благополучной посадки самолета.
Нужно найти вероятность .
Имеются два взаимно исключающих варианта: приборы слепой посадки действуют, приборы слепой посадки отказали, поэтому имеем:
Отсюда по формуле полной вероятности:
Задача 3
Страховая компания занимается страхованием жизни. 10% застрахованных в этой компании являются курильщиками. Если застрахованный не курит, вероятность его смерти на протяжении года равна 0.01 Если же он курильщик, то эта вероятность равна 0.05.
Какова доля курильщиков среди тех застрахованных, которые умерли в течение года?
Варианты ответов: (А) 5%, (Б) 20%, (В) 36 %, (Г) 56%, (Д) 90%.
Решение
Введём события:
Условие задачи означает, что
Кроме того, поскольку события и образуют полную группу попарно несовместимых событий, то .
Интересующая нас вероятность - это .
Используя формулу Байеса, мы имеем:
поэтому верным является вариант (В ).
Задача 4
Страховая компания продаёт договора страхования жизни трёх категорий: стандартные, привилегированные и ультрапривилегированные.
50% всех застрахованных являются стандартными, 40% - привилегированными и 10% - ультрапривилегированными.
Вероятность смерти в течение года для стандартного застрахованного равна 0.010, для привилегированного - 0.005, а для ультра привилегированного - 0.001.
Чему равна вероятность того, что умерший застрахованный является ультрапривилегированным?
Решение
Введем в рассмотрение следующие события:
В терминах этих событий интересующая нас вероятность - это . По условию:
Поскольку события , , образуют полную группу попарно несовместимых событий, используя формулу Байеса мы имеем:
Случайные величины и их характеристики
Пусть некоторая случайная величина, например, ущерб от пожара или величина страховых выплат.
Случайная величина полностью характеризуется своей функцией распределения.
Определение.
Функция 
называется функцией распределения
случайной величины ξ
.
Определение. Если существует такая функция , что для произвольных a выполнено
то говорят, что случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятности f(x) .
Определение.
Пусть . Для непрерывной функции распределения F
теоретической α-квантилью
называется решение уравнения .
Такое решение может быть не единственным.
Квантиль уровня ½ называется теоретической медианой , квантили уровней ¼ и ¾ - нижней и верхней квартилями соответственно.
В актуарных приложениях важную роль играет неравенство Чебышева:
при любом
Символ математического ожидания.
Читается так: вероятность того, что модуль больше меньше или равняется математическому ожиданию величины модуль , деленному на .
Время жизни как случайная величина
Неопределенность момента смерти является основным фактором риска при страховании жизни.
Относительно момента смерти отдельного человека нельзя сказать ничего определенного. Однако если мы имеем дело с большой однородной группой людей и не интересуемся судьбой отдельных людей из этой группы, то мы находимся в рамках теории вероятностей как науки о массовых случайных явлениях, обладающих свойством устойчивости частот.
Соответственно, мы можем говорить о продолжительности жизни как о случайной величине Т.
Функция выживания
В теории вероятностей описывают стохастическую природу любой случайной величины Т функцией распределения F (x), которая определяется как вероятность того, что случайная величина Т меньше, чем число x :
.
В актуарной математике приятно работать не с функцией распределения, а с дополнительной функцией распределения 
.
Применительно к продолжительной жизни - это вероятность того, что человек доживет до возраста x
лет.
называется функцией выживания (survival function ):
Функция выживания обладает следующими свойствами:
В таблицах продолжительности жизни обычно считают, что существует некоторый предельный возраст (limiting age ) (как правило, лет) и соответственно при x >.
При описании смертности аналитическими законами обычно считают, что время жизни неограниченно, однако подбирают вид и параметры законов так, чтобы вероятность жизни свыше некоторого возраста была пренебрежимо мала.
Функция выживания имеет простой статистический смысл.
Допустим, что мы наблюдаем за группой из новорожденных (как правило, ), которых мы наблюдаем и можем фиксировать моменты их смерти.
Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте через . Тогда:
.
Символ E здесь и ниже используется для обозначения математического ожидания.
Итак, функция выживания равна средней доле доживших до возраста из некоторой фиксированной группы новорожденных.
В актуарной математике часто работают не с функцией выживания , а с только что введенной величиной (зафиксировав начальный размер группы ).
Функция выживания может быть восстановлена по плотности:
Характеристики продолжительности жизни
С практической точки зрения важны следующие характеристики:
1 . Среднее время жизни
,
2
. Дисперсия
времени жизни
,
где
,
Вероятностью
события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р - первая буква французского слова probabilite - вероятность). В соответствии с определением
(1.2.1)
где - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.
Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.
Вероятность события имеет следующие свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице. Обозначим достоверное событие буквой . Для достоверного события , поэтому
(1.2.2)
2. Вероятность невозможного события равна нулю. Обозначим невозможное событие буквой . Для невозможного события , поэтому
(1.2.3)
3. Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы. Поскольку для случайного события выполняются неравенства , или , то
(1.2.4)
4. Вероятность любого события удовлетворяет неравенствам
(1.2.5)
Это следует из соотношений (1.2.2) -(1.2.4).
Пример 1. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?
Решение
. Событие "извлеченный шар оказался голубым" обозначим буквой А. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию А. В соответствии с формулой (1.2.1) получаем
Пример 2. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того,что число на взятой карточке окажется кратным 5?
Решение.
Обозначим через А событие "число на взятой карточке кратно 5". В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно, 
Пример 3. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоящего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.
Решение.
В этом испытании всего 6 2 = 36 равновозможных элементарных исходов. Событию В благоприятствуют 4 исхода: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), поэтому
Пример 4 . Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?
Решение.
Обозначим буквой С событие "выбранное число является простым". В данном случае n = 10, m = 4 (простые числа 2, 3, 5, 7). Следовательно, искомая вероятность
Пример 5. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?
Решение.
Обозначим буквой D событие "на верхней стороне каждой монеты оказалась цифра". В этом испытании 4 равновозможных элементарных исходов: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Запись (Г, Ц) означает, что на первой монете герб, на второй - цифра). Событию D благоприятствует один элементарный исход (Ц, Ц). Поскольку m = 1, n = 4 , то
Пример 6. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?
Решение.
Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае m = 9, n = 90, то
,
где А -событие "число с одинаковыми цифрами".
Пример 7. Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной, б) согласной, в) буквой ч ?
Решение
. В слове дuфференцuал 12 букв, из них 5 гласных и 7 согласных. Буквы ч
в этом слове нет. Обозначим события: А - "гласная буква", В - "согласная буква", С - "буква ч
". Число благоприятствующих элементарных исходов: -для события А, - для события В, - для события С. Поскольку n = 12 , то
, и .
Пример 8. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.
Решение.
Обозначим это событие буквой А. Событюо А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Всего равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, в данном случае n=6 2 =36. Значит, искомая вероятность 
Пример 9. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?
Решение.
Из условия задачи следует, что всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, будет n = 300. Из них m = 60 благоприятствуют наступлению указанного события. Действительно, номер, кратный 5, имеет вид 5k, где k -натуральное число, причем , откуда 
. Следовательно,
, где А - событие "страница" имеет порядковый номер, кратный 5".
Пример 10 . Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее -получить в сумме 7 или 8?
Решение
. Обозначим события: А - "выпало 7 очков", В - "выпало 8 очков". Событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 6), (2; 5),(3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а событию В - 5 исходов: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Всех равновозможных элементарных исходов n = 6 2 = 36. Значит, и .
Итак, Р(А)>Р(В), то есть получить в сумме 7 очков - более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков.
Задачи
1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число кратно 3?
2. В урне a
красных и b
голубых шаров, одинаковых по размерам и весу. Чему равна вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется голубым?
3. Наудачу· выбрано число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число является делителем зо?
4. В урне а
голубых и b
красных шаров, одинаковых по размерам и весу. Из этой урны извлекают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался красным. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти вероятность того, что второй шар также красный.
5. Наудачу выбрано наryральное число, не превосходящее 50. Какова вероятность того, что это число является простым?
6. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 9 или 10 очков?
7. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма выпавших очков. Что вероятнее - получить в сумме 11 (событие А) или 12 очков (событие В)?
Ответы
1. 1/3. 2 . b /(a +b ). 3 . 0,2. 4 . (b -1)/(a +b -1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - вероятность получить в сумме 9 очков; p 2 = 27/216 - вероятность получить в сумме 10 очков; p 2 > p 1 7 . Р(А) = 27/216, Р(В) = 25/216, Р(А) > Р(В).
Вопросы
1. Что называют вероятностью события?
2. Чему равна вероятность достоверного события?
3. Чему равна вероятность невозможного события?
4. В каких пределах заключена вероятность случайного события?
5. В каких пределах заключена вероятность любого события?
6. Какое определение вероятности называют классическим?
Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Долгое время теория вероятностей не имела четкого определения. Оно было сформулировано лишь в 1929 году. Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Французские математики XVII века Блез Паскаль и Пьер Ферма, исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.
Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат определенные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.
Теория вероятностей занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о степени вероятности наступления одних событий по сравнению с другими.
Например: определить однозначно результат выпадения «орла» или «решки» в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число «орлов» и «решек», что означает, что вероятность того, что выпадет «орел» или «решка», равна 50%.
Испытанием в этом случае называется реализация определенного комплекса условий, то есть в данном случае подбрасывание монеты. Испытание может воспроизводиться неограниченное количество раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы.
Результатом испытания является событие . Событие бывает:
- Достоверное (всегда происходит в результате испытания).
- Невозможное (никогда не происходит).
- Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).
Например, при подбрасывании монеты невозможное событие - монета станет на ребро, случайное событие - выпадение «орла» или «решки». Конкретный результат испытания называется элементарным событием . В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий .
Основные понятия теории
Вероятность - степень возможности происхождения события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае - маловероятным или невероятным.
Случайная величина - это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Например: число на пожарную станцию за сутки, число попадания при 10 выстрелах и т.д.
Случайные величины можно разделить на две категории.
- Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате испытания может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы). Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.
- Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что количество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Вероятностное пространство - понятие, введенное А.Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплине.
Вероятностное пространство - это тройка (иногда обрамляемая угловыми скобками: , где
Это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
- сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
- вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .
Теорема Муавра-Лапласа - одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Она утверждает, что число успехов при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента с двумя возможными исходами приблизительно имеет нормальное распределение. Она позволяет найти приближенное значение вероятности.
Если при каждом из независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события равна () и - число испытаний, в которых фактически наступает, то вероятность справедливости неравенства близка (при больших ) к значению интеграла Лапласа.
Функция распределения в теории вероятностей - функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х - произвольное действительное число. При соблюдении известных условий полностью определяет случайную величину.
Математическое ожидание - среднее значение случайной величины (это распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей). В англоязычной литературе обозначается через , в русской - . В статистике часто используют обозначение .
Пусть задано вероятностное пространство и определенная на нем случайная величина . То есть, по определению, - измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается .
Дисперсия случайной величины - мера разброса данной случайной величины, т. е. ее отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.
Пусть - случайная величина, определенная на некотором вероятностном пространстве. Тогда
где символ обозначает математическое ожидание.
В теории вероятностей два случайных события называются независимыми , если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют зависимыми , если значение одной из них влияет на вероятность значений другой.
Простейшая форма закона больших чисел – это теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.
Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что среднее арифметическое конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему математическому ожиданию этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти наверняка.
Общий смысл закона больших чисел - совместное действие большого числа одинаковых и независимых случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.
На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.
Центральные предельные теоремы - класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.
Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.
В экономике, так же как и в других областях человеческой деятельности или в природе, постоянно приходится иметь дело с событиями, которые невозможно точно предсказать. Так, объем продаж товара зависит от спроса, который может существенно изменяться, и от ряда других факторов, которые учесть практически нереально. Поэтому при организации производства и осуществлении продаж приходится прогнозировать исход такой деятельности на основе либо собственного предыдущего опыта, либо аналогичного опыта других людей, либо интуиции, которая в значительной степени тоже опирается на опытные данные.
Чтобы каким-то образом оценить рассматриваемое событие, необходимо учитывать или специально организовывать условия, в которых фиксируется это событие.
Осуществление определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта или эксперимента .
Событие называется случайным , если в результате опыта оно может произойти или не произойти.
Событие называется достоверным , если оно обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным , если оно не может появиться в этом опыте.
Например, выпадение снега в Москве 30 ноября является случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием. Выпадение снега на экваторе можно рассматривать как невозможное событие.
Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события.
Алгебра событий
События называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в одном и том же опыте. Так, наличие двух и трех автомашин в одном магазине для продажи в одно и то же время — это два несовместных события.
Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий
В качестве примера суммы событий можно назвать наличие в магазине хотя бы одного из двух товаров.
Произведением событий называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий
Событие, состоящее в появлении одновременно в магазине двух товаров является произведением событий: -появление одного товара, — появление другого товара.
События образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в опыте.
Пример. В порту имеется два причала для приема судов. Можно рассмотреть три события: — отсутствие судов у причалов, — присутствие одного судна у одного из причалов, — присутствие двух судов у двух причалов. Эти три события образуют полную группу событий.
Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.
Если одно из событий, являющихся противоположными, обозначить через , то противоположное событие обычно обозначают через .
Классическое и статистическое определения вероятности события
Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом. Их обычно обозначают буквами . Например, бросается игральная кость. Элементарных исходов всего может быть шесть по числу очков на гранях.
Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Так, событие выпадения четного числа очков определяется тремя исходами: 2, 4, 6.
Количественной мерой возможности появления рассматриваемого события является вероятность.
Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое .
Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода.
Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.
В приведенном примере рассматриваемое событие — четное число очков на выпавшей грани, имеет три благоприятствующих исхода. В данном случае известно и общее
количество возможных исходов. Значит, здесь можно использовать классическое определение вероятности события.
Классическое определение равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов
где — вероятность события , — число благоприятствующих событию исходов, — общее число возможных исходов.
В рассмотренном примере
Статистическое определение вероятности связано с понятием относительной частоты появления события в опытах.
Относительная частота появления события вычисляется по формуле
где - число появления события в серии из опытов (испытаний).
Статистическое определение . Вероятностью события называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов.
В практических задачах за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний.
Из данных определений вероятности события видно, что всегда выполняется неравенство
Для определения вероятности события на основе формулы (1.1) часто используются формулы комбинаторики, по которым находится число благоприятствующих исходов и общее число возможных исходов.
