Условный экстремум. Локальные экстремумы

Определение1 : Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум, если существует такая окрестность точки, для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: . При этом, т. е. приращение функции < 0.

Определение2 : Говорят, что функция имеет в точке локальный минимум, если существует такая окрестность точки, для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: . При этом, т. е. приращение функции > 0.

Определение 3 : Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума .

Условные Экстремумы

При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.

Пусть заданы функция и линия L на плоскости 0xy . Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P(x, y), в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L , находящихся вблизи точки P . Такие точки P называются точками условного экстремума функции на линии L . В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L .

Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума ) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Поясню сказанное обычным примером. Графиком функции является верхняя полусфера (Приложение 3 (Рис 3)).

Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение x+y-1=0 ), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке, лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции на данной линии; ей соответствует точка M 1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.

Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области нам приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.

Приступим теперь к практическому отысканию точек условного экстремума функции Z= f(x, y) при условии, что переменные x и y связаны уравнением (x, y) = 0. Это соотношение будем называть уравнение связи. Если из уравнения связи y можно выразить явно через х: y=(x), мы получим функцию одной переменной Z= f(x, (x)) = Ф(х).

Найдя значение х, при которых эта функция достигает экстремума, и определив затем из уравнения связи соответствующие им значения у, мы и получим искомые точки условного экстремума.

Так, в вышеприведенном примере из уравнения связи x+y-1=0 имеем y=1-х. Отсюда

Легко проверить, что z достигает максимума при х = 0,5; но тогда из уравнения связи y=0,5, и мы получаем как раз точку P, найденную из геометрических соображений.

Очень просто решается задача на условный экстремум и тогда, когда уравнение связи можно представить параметрическими уравнениями х=х(t), y=y(t). Подставляя выражения для х и у в данную функцию, снова приходим к задаче отыскания экстремума функции одной переменной.

Если уравнение связи имеет более сложный вид и нам не удается ни явно выразить одну переменную через другую, ни заменить его параметрическими уравнениями, то задача отыскания условного экстремума становится более трудной. Будем по-прежнему считать, что в выражении функции z= f(x, y) переменная (x, y) = 0. Полная производная от функции z= f(x, y) равна:

Где производная y`, найдена по правилу дифференцирования неявной функции. В точках условного экстремума найденная полная производная должна ровняться нулю; это дает одно уравнение, связывающее х и у. Так как они должны удовлетворять еще и уравнению связи, то мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

Преобразуем эту систему к гораздо более удобной, записав первое уравнение в виде пропорции и введя новую вспомогательную неизвестную:

(знак минус перед поставлен для удобства). От этих равенств легко перейти к следующей системе:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

которая вместе с уравнением связи (x, y) = 0 образует систему трех уравнений с неизвестными х, у и.

Эти уравнения (*) легче всего запомнить при помощи следующего правила: для того, чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции

Z= f(x, y) при уравнении связи (x, y) = 0, нужно образовать вспомогательную функцию

Ф(х,у)=f(x,y)+(x,y)

Где -некоторая постоянная, и составить уравнения для отыскания точек экстремума этой функции.

Указанная система уравнений доставляет, как правило, только необходимые условия, т.е. не всякая пара значений х и у, удовлетворяющая этой системе, обязательно является точкой условного экстремума. Достаточные условия для точек условного экстремума я приводить не стану; очень часто конкретное содержание задачи само подсказывает, чем является найденная точка. Описанный прием решения задач на условный экстремум называется методом множителей Лагранжа.

Необходимое и достаточные условия экстремума функций двух переменных. Точка называется точкой минимума (максимума) функции если в некоторой окрестности точки функция определена и удовлетворяет неравенству (соответственно Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.

Необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума функция имеет первые частные производные, то они обращаются в этой точке в нуль. Отсюда следует, что для отыскания точек экстремума такой функции следует решить систему уравнений Точки, координаты которых удовлетворяют этой системе, называются критическими точками функции. Среди них могут быть точки максимума, точки минимума, а также точки, не являющиеся точками экстремума.

Достаточные условия экстремума используются для выделения точек экстремума из множества критических точек и перечислены ниже.

Пусть функция имеет в критической точке непрерывные вторые частные производные. Если в этой точке выполняется

условие то она является точкой минимума при и точкой максимума при Если в критической точке то она не является точкой экстремума. В случае требуется более тонкое исследование характера критической точки, которая в этом случае может быть точкой экстремума, а может и не быть таковой.

Экстремумы функций трех переменных. В случае функции трех переменных определения точек экстремума дословно повторяют соответствующие определения для функции двух переменных. Ограничимся изложением порядка исследования функции на экстремум. Решая систему уравнений следует найти критические точки функции, а затем в каждой из критических точек вычислить величины

Если все три величины положительны, то рассматриваемая критическая точка является точкой минимума; если то данная критическая точка является точкой максимума.

Условный экстремум функции двух переменных. Точка называется точкой условного минимума (максимума) функции при условии если существует окрестность точки в которой функция определена и в которой (соответственно ) для всех точек координаты которых удовлетворяют уравнению

Для нахождения точек условного экстремума используют функцию Лагранжа

где число называется множителем Лагранжа. Решая систему трех уравнений

находят критические точки функции Лагранжа (а также значение вспомогательного множителя Л). В этих критических точках может быть условный экстремум. Приведенная система дает лишь необходимые условия экстремума, но не достаточные: ей могут удовлетворять координаты точек, не являющихся точками условного экстремума. Однако, исходя из существа задачи, часто удается установить характер критической точки.

Условный экстремум функции многих переменных. Рассмотрим функцию переменных при условии, что связаны уравнениями

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

Минимальное или максимальное значение, достигаемое данной функцией (или функционалом) при условии, что нек-рые другие функции (функционалы) принимают значения из заданного допустимого множества. Если условия, ограничивающие в указанном смысле изменения независимых переменных (функций), отсутствуют, то говорят о безусловном экстремуме.
Классич. задачей на У. э. является задача определения минимума функции многих переменных

При условии, что нек-рые другие функции принимают заданные значения:

В этой задаче G, к-рому должны принадлежать значения вектор-функции g= (g 1 , ...,g m ), входящей в дополнительные условия (2), есть фиксированная точка c= (c 1 , ..., с т )в m-мерном евклидовом пространстве
Если в (2) наряду со знаком равенства допускаются знаки неравенства

То это приводит к задаче нелинейного программирования (1), (3). В задаче (1), (3) множество Gдопустимых значений вектор-функции gпредставляет собой нек-рый криволинейный , принадлежащий (n-m 1)-мерной гиперповерхности, задаваемой т 1 , m 1 условиями типа равенства (3). Границы указанного криволинейного многогранника строятся с учетом п-m 1 неравенств, входящих в (3).
Частным случаем задачи (1), (3) на У. в. является задача линейного программирования, в к-рой все рассматриваемые функции f и g i являются линейными по x l , ... , х п. В задаче линейного программирования множество Gдопустимых значений вектор-функции g, входящей в условия, ограничивающие область изменения переменных x 1 , .....x n , представляет собой , принадлежащий (п-т 1)-мерной гиперплоскости, задаваемой m 1 условиями типа равенства в (3).
Аналогичным образом большинство задач оптимизации функционалов, представляющих нрактич. интерес, сводится к задачам на У. э. (см. Изопериметрическая задача, Кольца задача, Лагранжа задача, Манера задача ). Так же, как и в математич. программировании, основными задачами вариационного исчисления и теории оптимального управления являются задачи на У. э.
При решении задач на У. э., особенно при рассмотрении теоретич. вопросов, связанных с задачами на У. э., весьма полезным оказывается использование неопределенных Лагранжа множителей, позволяющих свести задачу на У. э. к задаче на безусловный и упростить необходимых условий оптимальности. Использование множителей Лагранжа лежит в основе большинства классич. методов решения задач на У. э.

Лит. : Xедли Дж., Нелинейное и , пер. с англ., М., 1967; Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; Понтрягин Л. С. [и др.], Математическая оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969.
И. Б. Вапнярский.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .