Вячеслав Орфинский: «Это варварский удар по нашей культуре. Вячеслав Орфинский: «Это варварский удар по нашей культуре Орфинский в п беречь не мундир

2.7.3.1. Точные методы исследования нелинейных систем

1. Прямой метод Ляпунова. В его основе лежит теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем. В качестве аппарата исследования используется функция Ляпунова, представляющая собой знакоопределённую функцию координат системы, имеющую также знакоопределённую производную во времени. Применение метода ограничивается его сложностью.

2. Метод Попова (румынский учёный) более прост, но пригоден только для некоторых частных случаев.

3. Метод, основанный на кусочно-линейной аппроксимации. Характеристики отдельных нелинейных звеньев разбивают на ряд линейных участков, в пределах которых задача оказывается линейной и может быть решена достаточно просто.

Метод может применяться, если число участков, на которые разбивается нелинейная характеристика, невелико (релейные характеристики). При большом количестве участков – сложно. Решение возможно только с помощью ЭВМ.

4. Метод фазового пространства. Позволяет исследовать системы с нелинейностями произвольного вида, а также с несколькими нелинейностями. При этом в фазовом пространстве строят так называемый фазовый портрет процессов, протекающих в нелинейной системе. По виду фазового портрета можно судить об устойчивости, возможности возникновения автоколебаний, точности в установившемся режиме. Однако размерность фазового пространства равна порядку дифференциального уравнения нелинейной системы. Применение для систем выше второго порядка практически невозможно.

5. Для анализа случайных процессов можно применять математический аппарат теории Марковских случайных процессов. Однако сложность метода и возможность решения уравнения Фоккера-Планка, которое требуется при анализе только для уравнений первого и в некоторых случаях второго порядка, ограничивает его использование.

Таким образом, точные методы анализа нелинейных систем хотя и позволяют получить точные, корректные результаты, однако очень сложны, что ограничивает их практическое применение. Эти методы важны с чисто научной, познавательной, исследовательской точки зрения, а поэтому их можно отнести к чисто академическим методам, практическое применение которых к реальным сложным системам не имеет смысла.

2.7.3.2. Приближённые методы исследования нелинейных систем

Сложность и ограниченность практического применения точных методов анализа нелинейных систем привели к необходимости разработки приближенных более простых методов исследования этих систем. Приближенные методы позволяют во многих практических случаях достаточно просто получить прозрачные и легко обозримые результаты анализа нелинейных систем. К приближенным методам относятся:

1. Метод гармонической линеаризации, основанный на замене нелинейного элемента его линейным эквивалентом, причём эквивалентность достигается для некоторого движения системы, близкого к гармоническому. Это позволяет достаточно просто исследовать возможность возникновения в системе управления автоколебаний. Однако метод может быть применён и для исследования переходных процессов нелинейных систем.

2. Метод статистической линеаризации также основан на замене нелинейного элемента его линейным эквивалентом, но при движении системы под воздействием случайных возмущений. Метод позволяет сравнительно просто исследовать поведение нелинейной системы при случайных воздействиях и найти её некоторые статистические характеристики.

Метод гармонической линеаризации

Применим к нелинейным системам, описываемым дифференциальным уравнением любого порядка. Рассмотрим его только применительно к расчёту автоколебаний в системе автоматического управления. Разобьем замкнутую систему управления на линейную и нелинейную части (рис. 7.2) с передаточными функциями и соответственно.

Для линейного звена:

Нелинейное звено может иметь нелинейные зависимости вида:

и др. Ограничимся зависимостью вида:

Рис. 7.2. К методу гармонической линеаризации

Поставим задачу исследования автоколебаний в данной нелинейной системе. Строго говоря, автоколебания будут несинусоидальными, однако будем считать, что для переменной x они близки к гармонической функции. Это оправдывается тем, что линейная часть (7.1), как правило, представляет собой фильтр нижних частот (ФНЧ). Поэтому линейная часть будет задерживать высшие гармоники, содержащиеся в переменной y . Данное предположение носит название гипотезы фильтра. В противном случае, если линейная часть представляет собой фильтр высоких частот (ФВЧ), то метод гармонической линеаризации может дать ошибочные результаты.

Пусть Подставляя в (7.2), разложим (7.2) в ряд Фурье:

Положим, что в искомых колебаниях отсутствует постоянная составляющая, т.е.

Это условие соблюдается всегда, когда нелинейная характеристика симметрична относительно начала координат и отсутствует приложенное к нелинейному звену внешнее воздействие.

Мы приняли, что , тогда .

В записанном разложении произведём замену и отбросим все высшие гармоники ряда, считая, что они отфильтровываются . Тогда для нелинейного звена получим приближённую формулу

где и - коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые формулами разложения в ряд Фурье:

Таким образом, нелинейное уравнение (7.2) заменяется приближённым уравнением для первой гармоники (7.3), похожим на линейное уравнение. Особенностью его является то, что коэффициенты уравнения зависят от искомой амплитуды автоколебаний. В общем случае при более сложной зависимости (7.2) эти коэффициенты будут зависеть и от амплитуды, и от частоты.

Проделанная операция замены нелинейного уравнения приближённым линейным носит название гармонической линеаризации, а коэффициенты (7.4), (7.5) называют гармоническими коэффициентами передачи нелинейного звена.

Из (7.3) следует, что для рассматриваемой системы передаточная функция нелинейного звена:

Учитывая (7.1) и (7.3), получаем передаточную функцию разомкнутой системы:

и характеристическое уравнение замкнутой системы:

Подставляя в (7.6), находим частотную передаточную функцию разомкнутой системы:

Не зависит от [см. (7.8)].

Модуль эквивалентной передаточной функции нелинейного звена определяется формулой:

и равен отношению амплитуды первой гармоники на его выходе к амплитуде входной величены. Аргумент частотной передаточной функции нелинейного звена равен:

Можно показать, что для нелинейных звеньев с однозначными и симметричными относительно начала координат характеристиками, не имеющими гистерезистых петель, поэтому - чисто вещественная, а

Часто используется величина, обратная эквивалентной передаточной функции нелинейного звена:

называемая эквивалентным импедансом нелинейного звена. Использование её удобно при расчёте автоколебаний по критерию Найквиста. В качестве примера использования метода гармонической линеаризации рассмотрим релейную характеристику трехпозиционного реле без петли гистерезиса (рис. 7.3). Как видно из рис. 7.3, статическая характеристика симметрична относительно начала координат, следовательно, . Поэтому необходимо найти только коэффициент по формуле (7.4). Для этого подадим на вход звена синусоидальную функцию и построим y(t) (рис. 7.4).

Рис. 7.3. Статическая характеристика трехпозиционного

реле без петли гистерезиса

Как видно из рис. 7.4, при при

Фазовый угол , соответствующий x 1 = b, равен arcsin (b/a) (рис. 7.4).

Учитывая симметрию подынтегральной функции и в соответствии с (7.4), имеем:

Т.к. , то окончательно имеем:

Аналогичным образом можно произвести гармоническую линеаризацию других нелинейных звеньев. Результаты линеаризации приведены в , .

Как отмечалось выше, метод гармонической линеаризации удобен для анализа возможности появления в нелинейной системе режима автоколебаний и определения его параметров. Для расчёта автоколебаний используют различные критерии устойчивости. Наиболее просто и наглядно использование критерия Найквиста. Особенно удобно использование критерия Найквиста в случае, когда имеется нелинейная зависимость вида и эквивалентная передаточная функция нелинейного звена зависит только от амплитуды входного сигнала .

Рис. 7.4. Пример линеаризации релейной характеристики

Условия возникновения автоколебаний: появление в решении (7.7) пары чисто мнимых корней, а все остальные корни лежат в левой полуплоскости (связь с точкой –1,j0).

Приравняем (7.7) к минус единице:

Для решения (7.12) задаёмся различными значениями , строим АФХ. При некотором а = А АФХ пройдёт через точку (-1,j0), что соответствует отсутствию запасов устойчивости.

Частота и соответствуют частоте и амплитуде искомого гармонического колебания: (рис. 7.5).

Подобным образом можно отыскать периодическое решение для нелинейных зависимостей любого вида, приводящих, в частности, к тому, что эквивалентная передаточная функция нелинейного элемента зависит не только от амплитуды, но и от частоты. Если же ограничиться рассмотрением нелинейной зависимости вида , то процесс нахождения периодического режима можно упростить.

Рис. 7.5. Условие возникновения автоколебаний

Запишем уравнение (7.12) в виде:

См. (7.11). (7.13)

Уравнение (7.13) просто решается графически. Для этой цели необходимо отдельно построить АФХ и обратную АФХ взятую с обратным знаком. Точка пересечения двух АФХ определяет решение (7.13). Частоту периодического режима находим по отметкам частоты на графике , а амплитуду - по отметкам амплитуды на графике (рис. 7.6).

Однако найденный периодический режим соответствует автоколебаниям только тогда, когда он будет устойчив в том смысле, что этот режим может существовать в системе неограниченно длительное время. Устойчивость периодического режима можно определить следующим образом.

Предположим, что линейная часть системы в разомкнутом состоянии устойчива или нейтральна. Дадим амплитуде А некоторое положительное приращение А. Тогда возрастёт, следовательно, уменьшится. В результате уменьшается, следовательно, ещё больше удаляется от точки (-1,j0). А уменьшается и будет стремиться к 0. Аналогично, если А получило отрицательное приращение - А. Тогда уменьшится, следовательно, возрастёт, возрастёт, а, следовательно, амплитуда увеличится, т.к. АФХ приблизится к точке (-1,j0) (уменьшение запасов устойчивости).

Рис. 7.6. Условие возникновения автоколебаний при нелинейной

зависимости вида

Следовательно, всякое случайное отклонение А так изменяет систему, что амплитуда восстанавливает своё значение. Это соответствует устойчивости периодического режима, который соответствует автоколебаниям.

Критерий устойчивости периодического режима здесь сводится к тому, чтобы часть кривой , соответствующая меньшим амплитудам, охватывалась АФХ линейной части системы, что соответствует наличию одной точки пересечения характеристики с отрицательной частью оси вещественных значений (см. рис. 7.6).

При пересечении АФХ разомкнутой системы отрицательной части оси вещественных значений два раза возможно прохождение АФХ через точку (-1,j0) при двух значениях и (рис. 7.7).

Две точки пересечения соответствуют двум возможным периодическим решениям с параметрами и . Аналогично тому, как делалось выше, можно убедиться, что первая точка соответствует неустойчивому режиму периодических колебаний, а вторая – устойчивому, т.е. автоколебаниям (рис. 7.8).

В более сложных случаях, когда, допустим, неустойчива, можно определить устойчивость получаемого периодического режима, рассматривая расположение АФХ разомкнутой системы. Общим здесь остаётся то положение, что для получения устойчивости периодического режима необходимо, чтобы положительное приращение амплитуды приводило к сходящимся процессам в системе, а отрицательное – к расходящимся.

При отсутствии в системе возможных периодических режимов, близких к гармоническим, что обнаруживается изложенным расчётом, существует много различных вариантов поведения системы. Однако в системах, линейная часть которых обладает свойством подавления высших гармоник, особенно в таких системах, где при одних параметрах имеется периодическое решение , а при других нет, есть основание полагать, что при отсутствии периодического решения система будет устойчива относительно равновесного состояния. В этом случае устойчивость равновесного состояния можно оценить требованием, чтобы при устойчивой или нейтральной в разомкнутом состоянии линейной части её АФХ не охватывала годографа

Метод статистической линеаризации нелинейных характеристик

Для оценки статистических характеристик нелинейных систем можно использовать метод статистической линеаризации, основанный на замене нелинейной характеристики линейной, которая в известном смысле статистики равноценна исходной нелинейной характеристике.

Замена нелинейного преобразования линейным является приближённой и может быть справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому понятие статистической эквивалентности, на основе которого производится такая замена, не является однозначным, и можно сформулировать различные критерии статистической эквивалентности нелинейного и заменяющего его линейного преобразований.

В случае когда линеаризации подвергается нелинейная безынерционная зависимость вида (7.2) , обычно применяются следующие критерии статистической эквивалентности :

Первый требует равенства математических ожиданий и дисперсий процессов и , где - выходная величина эквивалентного линеаризованного звена, а - выходная величина нелинейного звена;

Второй требует минимизации среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного и линеаризованного элементов.

Рассмотрим линеаризацию для случая применения первого критерия. Заменим нелинейную зависимость (7.2) линейной характеристикой (7.14), которая имеет такие же математические ожидания и дисперсию, какие имеются на выходе нелинейного звена с характеристикой (7.2). С этой целью представим (7.14) в виде: , где - центрированная случайная функция.

По выбранному критерию коэффициенты и должны удовлетворять следующим соотношениям:

Из (7.15) следует, что статистическая равноценность имеет место, если

причём знак должен совпадать со знаком производной нелинейной характеристики F(x ).

Величины и называют коэффициентами статистической линеаризации. Для их вычисления нужно знать и сигнала на выходе нелинейного звена:

где - плотность вероятности распределения случайного сигнала на входе нелинейного звена.

Для второго критерия коэффициенты статистической линеаризации выбираются таким образом, чтобы обеспечить минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного и линеаризованного звена, т.е. обеспечить выполнение равенства

Коэффициенты статистической линеаризации, как следует из (7.16), (7.17) и (7.18), зависят не только от характеристик нелинейного звена, но и от закона распределения сигнала на его входе. Во многих практических случаях закон распределения этой случайной величины может быть принят гауссовским (нормальным), описываемым выражением

Это объясняется тем, что нелинейные звенья в системах управления соединяются последовательно с линейными инерционными элементами, законы распределения выходных сигналов которых близки к гауссовским при любых законах распределения их входных сигналов. Чем более инерционна система, тем ближе закон распределения сигнала на выходе к гауссовскому, т.е. инерционные устройства системы приводят к восстановлению гауссовского распределения, нарушаемого нелинейными звеньями. Кроме этого, изменение закона распределения в широких пределах малого влияет на коэффициенты статистической линеаризации. Поэтому полагают, что сигналы на входе нелинейных элементов распределены по гауссовскому закону.

При этом коэффициенты и зависят только от и сигнала на входе нелинейного звена, поэтому для типовых нелинейных характеристик коэффициенты и могут быть заранее вычислены, что существенно упрощает расчёты систем методом статистической линеаризации. Для нормального закона распределения и типовых нелинейных звеньев при расчете нелинейных систем можно воспользоваться данными, приведенными в .

Применение метода статистической линеаризации для анализа

стационарных режимов и срыва слежения

Возможность замены характеристик нелинейных звеньев линейными зависимостями позволяет при анализе нелинейных систем использовать методы, разработанные для линейных систем. Применим метод статистической линеаризации для анализа стационарных режимов в системе, изображённой на рис. 7.9,

где F(e) – статическая характеристика нелинейного элемента (дискриминатора);

W(p) – передаточная функция линейной части системы.

Задача анализа заключается в оценке влияния характеристик дискриминатора на точность системы и определении условий, при которых нарушается нормальная работа системы и происходит срыв слежения.

При анализе точности работы относительно неслучайной составляющей сигнала g(t) нелинейный элемент F(e) в соответствии с методом статистической линеаризации заменяется линейным звеном с коэффициентом передачи . Динамическая ошибка, как было показано ранее, находится по формуле: ,

Пример нахождения и , а также определения условия срыва слежения приведён в .

Вопросы для самопроверки

1. Назовите приближенные методы анализа нелинейных систем.

2. В чем заключается сущность метода гармонической линеаризации?

3. В чем заключается сущность метода статистической линеаризации?

4. Для каких нелинейных звеньев q¢ (a) = 0?

5. Какие критерии статистической эквивалентности вы знаете?

Все инженерные методы исследования нелинейных систем разделяются на две основные группы: точные и приближенные. К точным методам относится метод А.М.Ляпунова, метод фазовой плоскости, метод точечных преобразований, частотный метод В.М.Попова. Приближенные методы основаны на линеаризации нелинейных уравнений системы с применением гармонической или статистической линеаризации. На практике используют комбинацию различных методов. Следует заметить, что в обозримом будущем имеется необходимость дальнейшего развития теории и практики нелинейных систем.

Рассмотрим следующие методы анализа нелинейных систем:

1) Метод фазовой плоскости. Применяется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядков. Состоит в построении и исследовании фазового портрета системы в координатах исследуемой величины и ее производной.

Рассмотрим случай, когда внешнее воздействие равно нулю (U = 0). Движение системы определяется изменением ее координат - X i в функции времени. Значения X i в любой момент времени характеризует состояние (фазу) системы и определяет координаты системы имеющей n – осей и могут быть представлены как координаты некоторой (изображающей) точки М (рис. 10).

Рисунок 10

Фазовым пространством называется пространство координат системы.

С изменением времени t точка М движется по траектории, называемой фазовой траекторией. Если менять начальные условия получим семейство фазовых траекторий, называемых фазовым портретом. Фазовый портрет определяет характер переходного процесса в нелинейной системе. Фазовый портрет имеет особые точки, к которым стремятся или от которых уходят фазовые траектории системы (их может быть несколько).

Фазовый портрет может содержать замкнутые фазовые траектории, которые называются предельными циклами. Предельные циклы характеризуют автоколебания в системе. Фазовые траектории нигде не пересекаются, кроме особых точек, характеризующих равновесные состояния системы. Предельные циклы и состояния равновесия могут быть устойчивыми или не устойчивыми.

Фазовый портрет полностью характеризует нелинейную систему. Характерной особенностью нелинейных систем является наличие различных типов движений, нескольких состояний равновесия, наличие предельных циклов.

Пример

Изобразить фазовые траектории для нелинейной системы с тремя различными нелинейностями - двухпозиционное реле, трехпозиционное реле с зоной нечувствительности (±0,2) и двухпозиционное реле с гистерезисом (±0,1), если линейная часть имеет передаточную функцию

Решение

В соответствии с заданием модель нелинейной системы можно представить в виде рис.11.

Примем для всех нелинейностей величину сигнала на выходе реле ±2.

Рисунок 11 - Модель нелинейной САУ

Тогда уравнения состояния запишутся в виде

Разделив второе из уравнений на первое, получим уравнение фазовой траектории

В зависимости от того, с какой стороны от линии переключения реле находится изображающая точка, решения дифференциального уравнения будут следующие:

справа от линии переключения при x1 > 0 x 1 = 4 ln |x 2 + 10| - 0,4x 2 + c 1 ;

cлева от линии переключения при x1 < 0 x 1 = 4 ln |x 2 - 10| - 0,4x 2 + c 2 ;

для трехпозиционного реле движение изображающей точки в пределах зоны нечувствительности -0,2

где с 1 , с 2 и с 3 - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

На рис. 9 изображены фазовые траектории нелинейной САУ с различными нелинейными элементами. Припасовывание или сшивание участков фазовых траекторий происходит по линиям переключений.

Рисунок 12 - Фазовые траектории релейных систем

Анализируя фазовые траектории, можно сделать следующие выводы:

1. при взятых начальных условиях все системы устойчивы. Причем системы с двухпозиционными реле устойчивы "в большом";

2. у систем с двухпозиционными реле наблюдаются устойчивые колебания. Абсцисса предельного цикла определяет амплитуду колебаний А о, а частота может быть определена из ординаты предельного цикла А о ω о;

3. система с трехпозиционным реле с зоной нечувствительности имеет "особый отрезок". Система может после прохождения переходного процесса занять любое значение внутри зоны нечувствительности, как показано на рис.9.

Таким образом, метод фазового пространства является фундаментальным методом исследования нелинейных систем. Исследовать нелинейных систем на фазовой плоскости гораздо проще и удобнее, чем с помощью построения графиков переходных процессов во временной области.

Геометрические построения в пространстве менее наглядны, чем построения на плоскости, когда система имеет второй порядок, при этом применяется метод фазовой плоскости.

2) Метод гармонической линеаризации.

Идея метода гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и базируется на замене нелинейного элемента системы линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Метод является приближенным и может быть использован только в случае, когда линейная часть системы является фильтром низких частот, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного элемента гармонические составляющие, кроме первой гармоники. При этом линейная часть может быть описана дифференциальным уравнением любого порядка, а нелинейный элемент может быть как однозначным, так и многозначным. Метод может быть эффективен для расчета параметров собственных колебаний в системе, используется также для анализа точности при гармоническом задающем воздействии.

В основе метода гармонической линеаризации лежит предположение, что на вход нелинейного элемента подается гармоническое воздействие с частотой ω и амплитудой А, т.е. x = А sinωt. В предположении, что линейная часть является фильтром низких частот, спектр выходного сигнала линейной части ограничивается только первой гармоникой, определяемой рядом Фурье (в этом и заключается приближенность метода, т.к. высшие гармоники выбрасываются из рассмотрения). Тогда связь между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим воздействием нелинейного элемента представляется в виде передаточной функции:

Уравнение (1.6) называется уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты q и q" - коэффициентами гармонической линеаризации, зависящие от амплитуды А и частоты ω входного воздействия. Следует заметить. что для статических однозначных коэффициент q"(А)=0. Подвергнув уравнение (1.6) преобразованию по Лапласу при нулевых начальных условиях с последующей заменой оператора p на jω (p = jω), получим эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента

W нэ (jω,A) = q + jq" (1.7)

После того, как проведена гармоническая линеаризация, для анализа и синтеза нелинейных САУ возможно применение всех методов, применяемых для исследования линейных систем, в том числе и использование различных критериев устойчивости. При исследовании нелинейных систем на основе метода гармонической линеаризации в первую очередь решают вопрос о существовании и устойчивости периодических (автоколебательных) режимов. Если периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания с частотой ω 0 и амплитудой А 0 . Рассмотрим нелинейную систему, включающую в себя линейную часть с передаточной функцией

и нелинейный элемент с эквивалентным комплексным коэффициентом передачи (1.7). Расчетная структурная схема нелинейной системы приобретает вид рис.13.

Рисунок 13 - Структурная схема нелинейной САУ

Для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалось при анализе устойчивости линейных систем. Если линейная часть описывается передаточной функцией (1.8), а нелинейный элемент (1.7), то характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь вид:

d(p) + k(p)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = 0 (1.10)

На основании критерия устойчивости Михайлова границей устойчивости будет прохождение годографа Михайлова через начало координат. Из выражений (1.10) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, например, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (1.10) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. это уравнение записать в виде:

d(jω) + K(jω)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = Re(ω 0 ,A 0 ,K) +Jm(ω 0 ,A 0 ,k) = 0 (1.11)

где ω o и A o - возможные частота и амплитуда автоколебаний.

Тогда, приравнивая к нулю действительную и мнимую части уравнения (1.11)

можно построить границу устойчивости (D-разбиение) по интересующему нас параметру k (рис.11).

Рисунок 14 - D-разбиение плоскости параметра К нелинейной САУ

Анализируя рис.14 можно заключить, что в области 1 автоколебания невозможны и критический коэффициент равен к кр, а в области 2 колебания сходятся к величине амплитуды A o и частоты ω o (автоколебательный режим) в зависимости от начальных условий. По графику рис.11 можно выбрать коэффициент передачи k, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеет допустимые значения или вообще отсутствует.

Чаще на практике используется графоаналитический метод определения возможных амплитуд и частот автоколебаний в нелинейных системах. В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами . Данное условие является также условием существования автоколебаний в гармонически линеаризованной нелинейной системе (рис.11), т.е.

1 + W лч (jω)*W нэ (jω,A)=0 (1.13)

или W лч (jω)=-1/W нэ (jω,A). (1.14)

Решение уравнения (1.14) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически, как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы Wлч(jω) и годографа обратной характеристики нелинейной части -1/Wнэ(jω,А) (рис. 15). Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.

Рисунок 15- Годографы линейной и нелинейной частей системы

Для устойчивости автоколебательного режима с частотой ω 0 и амплитудой А 0 требуется, чтобы точка на годографе нелинейной части М, соответствующая увеличенной амплитуде А 0 +ΔА по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывалась годографом частотной характеристики линейной части системы, в противном случае автоколебания неустойчивые. На рис. 15 дан пример расположения годографов для случая, когда в нелинейной системе существуют устойчивые автоколебания. Параметры автоколебаний на входе нелинейного элемента определяются в точке пересечения годографов: частота из W лч (jω), а амплитуда из W нэ -1 (A). Исследование нелинейных систем возможно по логарифмическим частотным характеристикам (метод шаблонов). Метод гармонического баланса позволяет вести синтез нелинейных САУ на обеспечение требуемых показателей качества меняя параметры или линейной части, или нелинейного элемента.

Пример

Определить возможную частоту автоколебаний при введении в САУ, имеющей ЛЧХ вида (рисунок 16), однозначной нелинейности в виде двухпозиционного реле.

Рисунок 16 - ЛЧХ линейной части

Решение Известно, что характеристика - 1/W нэ (jω,А) однозначного нелинейного элемента (двухпозиционного реле) полностью располагается на отрицательной действительной полуоси, поэтому а.ф.х. линейной части W лч (jω) может ее пересечь только при угле -180°. Частота возможных автоколебаний определяется по W лч (jω), а л.ф.х. (рис.7.8) показывает, что фазовый угол сдвига -180° происходит на частоте ω = 300 рад/с. Это и есть возможная частота автоколебаний при введении в САУ однозначной нелинейности.

Метод гармонической линеаризации используется для анализа переходных режимов работы, оценки устойчивости системы, возможности возникновения периодических колебаний.

3) Метод статистической линеаризации .

Метод основан на замене нелинейного преобразования процессов статистически эквивалентными им линейным преобразованиями. Нелинейный элемент заменяется линейным эквивалентом (рисунок 17). В результате замены система линеаризуется, что позволяет использовать методы исследования линейных систем.

Замена нелинейного преобразования линейным является приближенной и справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому не существует однозначной эквивалентности при использовании различных критериев.

В частности, если нелинейность определяется безинерционной зависимостью вида

используется два критерия эквивалентности.

Рисунок 17

Первый критерий предполагает равенство на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента математических ожиданий и дисперсий процессов.

Второй критерий – минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента.

Процесс на входе и выходе нелинейного элемента представим в виде:

где ─ математическое ожидание процесса на выходе НЭ;

─ центрированная случайная составляющая.

Процесс на выходе линейного эквивалента представляется в следующем виде:

где ─ коэффициент передачи линейного эквивалента по математическому ожиданию; ─ коэффициент передачи по центрированной случайной составляющей.

Воспользуемся первым критерием эквивалентности:

Из этих уравнений находим

где ─ плотность вероятности процесса на входе нелинейного элемента.

Коэффициент передачи линейного эквивалента по центрированной случайной составляющей (по первому критерию).

По второму критерию эквивалентности:

Для определения и , при которых выполняется условие эквивалентности, найдем частные производные и приравняем их нулю:

При расчете этих коэффициентов полагают, что распределение на входе нормальное:

Определив величины

для типовых нелинейностей, заменяют последние коэффициентами передачи линейного эквивалента и анализируют систему линейными методами.

Для основных типов нелинейностей и нормальном распределении входного процесса коэффициенты рассчитаны и представлены в виде табличных значений. В частности, для характеристики релейного типа (рис.19)

Рисунок 19 - Характеристика релейного типа:

коэффициенты равны.

Рассмотрим химико-технологический объект, на вход которого поступает случайный сигнал и (/), а на выходе наблюдается случайный процесс у (/). При использовании корреляционных методов для идентификации линейных объектов с постоянными параметрами обычно полагают (или специально так подбирают тестовый сигнал), что случайные функции и (t) и у (t ) являются стационарными и стациопарно связанными в широком смысле, т. е. их математические ожидания постоянны, а авто- и взаимнокорреляционные функции являются функциями не двух, а одного аргумента, равного их разности.

При идентификации нелинейных динамических систем условия нормальности плотностей вероятности функций и (t) и у (t) и их совместной плотности вероятности, как правило, не выполняются, т. е. характеристики объекта определяются в условиях, когда совместные плотности вероятности функций и (t) и у (/) не гауссовы.

Следовательно, условная плотность вероятности функции у (t) относительно и (t) будет также не гауссовой. Регрессия выходной случайной величины относительно входной случайной функции при заданных значениях аргументов в общем случае нелинейна, а корреляция функций и (0 и у (t) гетероскедастична.

Таким образом, для идентификации нелинейных объектов уже недостаточно корреляционных методов, оперирующих математическими ожиданиями и корреляционными функциями случайных процессов. Ошибка в решении задачи идентификации нелинейного объекта корреляционными методами, используемыми для линейных систем, тем больше, чем сильнее регрессия функций у (t) относительно и (t) отличается от линейной и чем больше неравномерность математического ожидания условных дисперсий.

Задача идентификации нелинейных объектов, функционирующих в условиях случайных возмущений, представляет весьма сложную математическую проблему, которая в настоящее время находится в стадии разработки и еще далека до своего завершения. Тем не менее уже сейчас можно назвать ряд методов, которые хотя и нельзя считать исчерпывающими, однако дающие достаточно хорошее приближенное решение задачи идентификации нелинейных объектов статистическими методами. К таким методам можно отнести: 1) методы, основанные на использовании дисперсионной и взаимодисперсионной функций случайных процессов; 2) метод линеаризации нелинейной регрессии на участках гомоскедастич- ности математического ожидания условной дисперсии функции у (t) относительно и (t) 3) винеровский подход к идентификации нелинейных систем; 4) метод идентификации нелинейных систем, основанный на применении аппарата условных марковских процессов.

Кратко рассмотрим каждый из перечисленных методов.

1. Если зависимость между значениями случайных функций и (0 и у (t) нелинейная, то коэффициент корреляции между значениями случайной функции уже не может служить достаточно хорошим критерием для измерения тесноты связи между ними. Поэтому для характеристики связи между и и у используются

дисперсионные отношения , которые определяются через дисперсионные функции (2, 3].

Взаимная дисперсионная функция 0 yU (*, т) для действительных случайных функций у (t) и и (t) и автодисперсионная (дисперсионная) функция G„ K (*, т) для случайного процесса и (т) определяются соотношениями

где M { } - символ математического ожидания; M .

На основе определенных выше величин п уи, т| ук и R можно построить специальный TV-критерий для проверки гипотезы о линейности зависимости между сигналами у и и:

где п - число опытов; к - число интервалов в корреляционной таблице. Проверим с помощью TV-критерия гипотезу о линейности связи между y t и и т для объекта, рассмотренного в §6.4. Функция

N (т), построенная по входной и выходной реализациям системы, изображена на рис. 8.2 . В данном случае задача идентификации сводится к поиску неизвестных параметров объекта, которыми служат коэффициенты оператора в гильбертовом пространстве. Сигнал на входе системы раскладывается в^ряд подфункциям Лагерра:

с коэффициентами

Рис. 8.3.

Рис. 8.4.

Здесь п -я функция Лагерра g n (t) строится в виде произведения полинома Лагерра l n (t) на экспоненту:

Заметим, что изображение по Лапласу полиномов Лагерра па основании (8.19) имеет вид

Отсюда видно, что необходимые коэффициенты Лагерра можно получить, пропуская сигнал и (t) через цепочку линейных динамических звеньев (см. рис. 8.3).

Оператор нелинейной системы представляется в виде разложения по полиномам Эрмнта:

которые ортогональны на действительной оси - оо t . Из полиномов Эрмита строятся функции Эрмита:

с помощью которых оператор перехода от коэффициентов Лагерра входного сигнала к выходному сигналу записывается в виде

Соотношение (8.20) справедливо для любого нелинейного объекта и может быть положено в основу его идентификации. Методика идентификации значительно упрощается, если на вход подавать специальный сигнал в виде гауссового белого шума. В этом случае функции Лагерра представляют собой некоррелированные гауссовы случайные процессы с равными дисперсиями. При этом определение коэффициентов... к сводится к нахождению взаимнокорреляционной функции выхода системы и полиномов Эрмита:

Определение коэффициентов b { j ... к завершает решение задачи идентификации. Общая схема вычислений показана на рис. 8.4.

При решении задач идентификации химико-технологических объектов рассмотренный метод имеет ограниченное применение по ряду причин. К последним можно отнести, например, трудности, возникающие при переходе от коэффициентов b tj к к технологическим параметрам объекта. Метод не пригоден для нестационарных систем. Трудности реализации этой процедуры в режиме нормальной эксплуатации объекта также снижают эффективность метода. Наконец, необходимость усечения всех операций, связанных с предельными переходами, замена рядов конечными суммами являются источниками дополнительных вычислительных погрешностей.

4. Другой возможный подход к построению оптимальных фильтров нелинейных систем основан па использовании аппарата условных марковских процессов. Рассмотрим существо данного подхода на конкретном примере.

П р и м е р . Пусть полезный сигпал представляет собой прямоугольный импульс

момент появления которого t на отрезке 0 х Т требуется определить. Высота импульса А 0 и его длительность ч предполагаются известными. Сигнал, поступающий на объект, и (t)=s (*)+м> (*) есть сумма полезной составляющей s (0 и белого шума w (*), который описывается интегралом вероятности }