Выбор из трех вариантов теория вероятности. Парадокс Монти Холла

Встретил её под названием "Парадокс Монти Холла" , и надо же, решил её иначе, а именно: доказал, что это псевдопарадокс .

Друзья, буду рад выслушать критику моему опровержению данного пародокса (псевдопарадокса, если я прав). И тогда я воочию убежусь, что логика моя хромает, перестану мнить себя мыслителем и задумаюсь о смене вида деятельности на более лирический:о). Итак, вот содержание задачи. Предлагаемое решение и моё опровержение ниже.

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вы находитесь перед тремя дверями. Ведущий, о котором известно, что он честен, поместил за одной из дверей автомобиль, а за двумя другими дверями - по козе. У вас нет никакой информации о том, что за какой дверью находится.

Ведущий говорит вам: «Сначала вы должны выбрать одну из дверей. После этого я открою одну из оставшихся дверей, за которой находится коза. Затем я предложу вам изменить свой первоначальный выбор и выбрать оставшуюся закрытую дверь вместо той, которую вы выбрали вначале. Вы можете последовать моему совету и выбрать другую дверь, либо подтвердить свой первоначальный выбор. После этого я открою дверь, которую вы выбрали, и вы выиграете то, что находится за этой дверью.»

Вы выбираете дверь номер 3. Ведущий открывает дверь номер 1 и показывает, что за ней находится коза. Затем ведущий предлагает вам выбрать дверь номер 2.

Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы последуете его совету?
Парадокс Монти Холла - одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу.
При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: после того, как ведущий открыл дверь, за которой находится коза, автомобиль может быть только за одной из двух оставшихся дверей. Поскольку игрок не может получить никакой дополнительной информации о том, за какой дверью находится автомобиль, то вероятность нахождения автомобиля за каждой из дверей одинакова, и изменение первоначального выбора двери не дает игроку никаких преимуществ. Однако такой ход рассуждений неверен.
Если ведущий всегда знает, за какой дверью что находится, всегда открывает ту из оставшихся дверей, за которой находится коза, и всегда предлагает игроку изменить свой выбор, то вероятность того, что автомобиль находится за выбранной игроком дверью, равна 1/3, и, соответственно, вероятность того, что автомобиль находится за оставшейся дверью, равна 2/3. Таким образом, изменение первоначального выбора увеличивает шансы игрока выиграть автомобиль в 2 раза. Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла.

Мне кажется, что шансы не изменятся, т.е. никакого парадокса нет.

И вот почему: первый и второй выборы дверей - это независимые события. Всё равно что кидать монетку 2 раза: то, что выпадет во 2-й раз, никак не зависит от того, что выпало в 1-й.

Так и здесь: после открытия двери с козой игрок оказывается в новой ситуации , когда у него 2 двери и вероятность выбора машины или козы 1/2.

Ещё раз: после открытия одной двери из трёх вероятность того, что автомобиль находится за оставшейся дверью, не равна 2/3 , т.к. 2/3 -- это вероятность того, что авто находится за какими-либо 2-мя дверьми. Неверно приписывать эту вероятность неоткрытой дверьи и открытой. До открытия дверей был такой расклад вероятностей, но после открытия одной двери, все эти вероятности становятся ничтожными, т.к. ситуация изменилась, а потому нужен новый подсчёт вероятности , который обычные люди правильно проводят, отвечая, что ничего от перемены выбора не изменится.

Добавление: 1) рассуждение, что:

а) вероятность найти машину за выбранной дверью составляет 1/3,

б) вероятность, что машина за двумя другими невыбранными дверьми, 2/3,

в) т.к. ведущий открыл дверь с козой, то вероятность 2/3 целиком переходит на одну невыбранную (и неоткрытую) дверь,

а потому надо менять выбор на другую дверь, чтобы вероятность с 1/3 стала 2/3, не верно, но ложно, а именно: в пункте "в" , ибо изначально вероятность 2/3 касается любых двух дверей, включая 2 оставшиеся не открытыми, а раз одну дверь открыли, то эта вероятность поделится поровну между 2 не открытыми, т.е. вероятность будет равная, а выбор другой двери её не увеличит.

2) условные вероятности рассчитывают, если есть 2 и более случайных событий, и для каждого события отдельно рассчитывают вероятность, а уже затем высчитывают вероятность совместного наступления 2 и более событий. Тут сначала вероятность угадать была 1/3, но чтобы рассчитать вероятность того, что машина не за той дверью, которая была выбрана, но за другой не открытой, не нужно рассчитывают условную вероятность, а нужно вычислить простую вероятность, которая равна 1 из 2, т.е. 1/2.

3) Таким образом, это не парадокс, а заблуждение! (19.11.2009)

Добавление 2 : Вчера додумался до простейшего объяснения, что стратегия перевыбора всё же является более выигрышной (парадокс верен!): при первом выборе попасть в козу в 2 раза более вероятно, чем в авто, ведь коз две, а потому при втором выборе надо менять выбор. Это же так очевидно:о)

Или иначе: надо не метить в авто, но отбраковать коз, и в этом помогает даже ведущий, открывая козу. А в начале игры с вероятность 2 из 3 это получится и у играющего, так что, отбраковав коз, надо менять выбор. И это тоже очень очевидно вдруг стало:о)

Так что всё, что я писал до сих пор, было псевдоопровержением. Что ж, вот ещё одна иллюстрация к тому, что надо быть скромнее, уважать чужую точку зрения и не доверять уверениям своей логики, что её решения кристалльно логичны .

Решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Задача формулируется как описание игры , основанной на американской телеигре «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine , звучит следующим образом:

  Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль , за двумя другими дверями - козы . Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас - не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

  После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу (см. ниже).

  Наиболее популярной является задача с дополнительным условием - участнику игры заранее известны следующие правила:

  • автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
  • ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
  • если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

  В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.

  Разбор

  Для стратегии выигрыша важно следующее: если вы меняете выбор двери после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь. Это произойдёт с вероятностью 2 ⁄ 3 , так как изначально выбрать проигрышную дверь можно 2 способами из 3.

  Но часто при решении этой задачи рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны ½ , вне зависимости от первоначального выбора. Но это неверно: хотя возможностей выбора действительно остаётся две, эти возможности (с учётом предыстории) не являются равновероятными! Это так, поскольку изначально все двери имели равные шансы быть выигрышными, но затем имели разные вероятности быть исключёнными.

  Для большинства людей этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации, и благодаря возникающему несоответствию между логическим выводом и ответом, к которому склоняет интуитивное мнение, задача и называется парадоксом Монти Холла .

  Еще более наглядной ситуация с дверями становится, если представить что дверей не 3 а, скажем 1000, и после выбора игрока ведущий убирает 998 лишних, оставляя 2 двери: ту, которую выбрал игрок и еще одну. Представляется более очевидным, что вероятности нахождения приза за этими дверьми различны, и не равны ½ . Гораздо большая вероятность его нахождения, а именно 0.999, будет иметь место при смене решения и выборе двери отобранной из 999. В случае с 3 дверьми логика сохраняется, но вероятность выигрыша при смене решения ниже, а именно 2 ⁄ 3 .

  Другой способ рассуждения - замена условия эквивалентным. Представим, что вместо осуществления игроком первоначального выбора (пусть это будет всегда дверь № 1) и последующего открытия ведущим двери с козой среди оставшихся (то есть всегда среди № 2 и № 3), представим, что игроку нужно угадать дверь с первой попытки, но ему предварительно сообщается, что за дверью № 1 автомобиль может быть с исходной вероятностью (33 %), а среди оставшихся дверей указывается за какой из дверей автомобиля точно нет (0 %). Соответственно, на последнюю дверь всегда будет приходиться 67 %, и стратегия её выбора предпочтительна.

  Другое поведение ведущего

  Классическая версия парадокса Монти Холла утверждает, что ведущий обязательно предложит игроку сменить дверь, независимо от того, выбрал тот машину или нет. Но возможно и более сложное поведение ведущего. В этой таблице кратко описаны несколько вариантов поведения.

  Возможное поведение ведущего
  Поведение ведущего	Результат
  «Адский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь правильная .	Смена всегда даст козу.
  «Ангельский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь неправильная .	Смена всегда даст автомобиль.
  «Несведущий Монти» или «Монти Бух»: ведущий нечаянно падает, открывается дверь, и оказывается, что за ней не машина. Другими словами, ведущий сам не знает, что за дверями, открывает дверь полностью наугад, и только случайно за ней не оказалось автомобиля .	Смена даёт выигрыш в ½ случаев. Именно так устроено американское шоу «Deal or No Deal» - правда, случайную дверь открывает сам игрок, и если за ней нет автомобиля, ведущий предлагает сменить.
  Ведущий выбирает одну из коз и открывает её, если игрок выбрал другую дверь.	Смена даёт выигрыш в ½ случаев.
  Ведущий всегда открывает козу. Если выбран автомобиль, левая коза открывается с вероятностью p и правая с вероятностью q =1−p .	Если ведущий открыл левую дверь, смена даёт выигрыш с вероятностью 1 1 + p {\displaystyle {\frac {1}{1+p}}} . Если правую - 1 1 + q {\displaystyle {\frac {1}{1+q}}} . Однако испытуемый никак не может повлиять на вероятность того, что будет открыта правая дверь - независимо от его выбора это произойдёт с вероятностью 1 + q 3 {\displaystyle {\frac {1+q}{3}}} .
  То же самое, p =q = ½ (классический случай).	Смена даёт выигрыш с вероятностью 2 ⁄ 3 .
  То же самое, p =1, q =0 («бессильный Монти» - усталый ведущий стоит у левой двери и открывает ту козу, которая ближе).	Если ведущий открыл правую дверь, смена даёт гарантированный выигрыш. Если левую - вероятность ½ .
  Ведущий открывает козу всегда, если выбран автомобиль, и с вероятностью ½ в противном случае.	Смена даёт выигрыш с вероятностью ½ .
  Общий случай: игра повторяется многократно, вероятность спрятать автомобиль за той или иной дверью, а также открыть ту или иную дверь произвольная, однако ведущий знает, где автомобиль, и всегда предлагает смену, открывая одну из коз.	Равновесие Нэша : ведущему выгоднее всего именно парадокс Монти Холла в классическом виде (вероятность выигрыша 2 ⁄ 3 ). Машина прячется за любой из дверей с вероятностью ⅓ ; если есть выбор, открываем любую козу наугад.
  То же самое, но ведущий может не открывать дверь вообще.	Равновесие Нэша : ведущему выгодно не открывать дверь, вероятность выигрыша ⅓ .

  См. также

  Примечания

  1. Tierney, John (July 21, 1991), "Behind Monty Hall"s Doors: Puzzle, Debate and Answer? ", The New York Times , . Проверено 18 января 2008.

  Несчастны те люди, кто не умеет программировать хотя бы на уровне формул Excel! Например, им всегда будет казаться, что парадоксы теории вероятностей – это причуды математиков, неспособных понимать реальную жизнь. Между тем, теория вероятностей как раз-таки моделирует реальные процессы, в то время как человеческая мысль часто не может в полном объеме осознать происходящее.

  Возьмем парадокс Монти Холла, приведу здесь его формулировку из русской Википедии:
  

  Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
  
  (при этом участнику игры заранее известны следующие правила:

  1. автомобиль равновероятно размещён за любой из 3 дверей;
  2. ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
  3. если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью)

  
  На первый взгляд, шансы не должны измениться (простите, для меня это уже давно не парадокс, и я уже не могу придумать неверного объяснения, почему шансы не изменятся, которое на первый взгляд смотрелось бы логичным).

  Обычно рассказчики этого парадокса начинают пускаться в сложные рассуждения или заваливать читателя формулами. Но если вы хоть чуточку умеете программировать, вам это не нужно. Вы можете провести моделирующие эксперименты, и посмотреть, как часто вы выигрываете или проигрываете при той или иной стратегии.

  Действительно, что такое вероятность? Когда говорят «при данной стратегии, вероятность выигрыша 1/3» – это означает, что если вы проведете 1000 экспериментов, то примерно в 333 из них вы выиграете. Т.е., по-другому, шансы «1 из 3» – это в буквальном случае один из трех экспериментов. «Вероятность 2/3» – это точно так же буквально в двух случаях из трех.

  Так вот, проведем эксперимент Монти Холла. Один эксперимент легко укладывается в одну строчку Excel-таблицы: вот она (файл стоит скачать, чтобы видеть формулы), приведу здесь описание по столбцам:

  A. Номер эксперимента (для удобства)

  B. Генерируем целое случайное число от 1 до 3. Это будет дверь, за которой спрятан автомобиль

  C-E. для наглядности я разместил в этих ячейках «коз» и «автомобили»

  F. Теперь мы выбираем случайную дверь (на самом деле можно выбирать все время одну и ту же дверь, т.к. случайности в выборе двери для автомобиля уже достаточно для модели – проверьте!)

  G. Ведущий теперь выбирает дверь из двух оставшихся, чтобы открыть ее вам

  H. И вот тут самое главное: он не открывает дверь, за которой автомобиль, а в случае, если вы изначально показали на дверь с козой, открывает другую единственно возможную дверь с козой! В этом его подсказка для вас.

  I. Ну что ж, теперь посчитаем шансы. Пока не будем менять дверь – т.е. посчитаем случаи, когда столбец B равен столбцу F. Пусть будет “1” – выиграли, и “0” – проиграли. Тогда сумма ячеек (ячейка I1003) – это количество выигрышей. Должно получиться число, близкое к 333 (всего мы делаем 1000 экспериментов). Действительно, нахождение автомобиля за каждой из трех дверей – это равновероятное событие, значит выбирая одну дверь, шанс угадать – один из трех.

  J. Маловато будет! Поменяем наш выбор.

  K. Аналогично: «1» – выигрыш, «0» – проигрыш. И что же в сумме? А в сумме получается число, равное 1000 минус число из ячейки I1003, т.е. близкое к 667. Вас это удивляет? А разве что-то другое могло получиться? Ведь других закрытых дверей больше нет! Если изначально выбранная дверь дает вам выигрыш в 333 случаях из 1000, то другая дверь должна давать выигрыш во всех оставшихся случаях!

  
  Понимаете теперь меня, почему я тут не вижу парадокса? Если есть две и только две взаимоисключающие стратегии, и одна дает выигрыш c вероятностью p, то другая должна давать выигрыш с вероятностью 1-p, какой же это парадокс?

  Если вам понравился этот пост, попробуйте теперь построить аналогичный файл для парадокса мальчиков и девочек в следующей формулировке:
  

  Мистер Смит отец двоих детей. Мы встретили его, прогуливающегося по улице с маленьким мальчиком, которого он с гордостью представил нам, как своего сына. Какова вероятность того, что другой ребёнок мистера Смита тоже мальчик?

  
  С приветом из солнечного Вьетнама! :) Приезжайте к нам работать! :)