Тюркские народы мира. Древние тюркские племена

Понятия энергии Ферми и уровня Ферми были введены ранее для металлов. В полупроводниках функция распределения электронов по состояниям имеет тот же вид, что и в металлах. Энергия Ферми в полупроводниках имеет тот же физический смысл: энергия Ферми - это максимально допустимая энергия, ниже которой при нулевой абсолютной температуре все энергетические уровни заняты [f(E) = 1], а выше которой все уровни пусты [f(E ) = 0]. Для полупроводников, у которых при абсолютном нуле валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости совершенно свободна, функция распределения имеет разрыв. Следовательно, уровень Ферми в полупроводнике должен лежать при абсолютном нуле в запрещенной зоне.

Уровень Ферми в собственном полупроводнике

Для собственного полупроводника концентрации электронов и дырок равны (), т.к. каждый электрон, покинувший валентную зону, создает одну дырку. Приравнивая равенства (17) и (19), получим

Разрешая последнее равенство относительно Е F , получим

Если эффективные массы электронов и дырок равны [ = ,то = 0] и уровень Ферми собственного полупроводника при любой температуре располагается посередине запрещенной зоны.

Температурная зависимость положения уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется третьим слагаемым в уравнении (23). Если эффективная масса дырки в валентной зоне больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, то уровень Ферми смещается с повышением температуры ближе к дну зоны проводимости. В противоположном случае уровень Ферми смещается к потолку валентной зоны. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике с изменением температуры схематически показано на рис. 5.

Для большинства полупроводников эффективная масса дырки не намного превышает эффективную массу электрона и смещение уровня Ферми с изменением температуры незначительно. Однако у антимонида индия (InSb) , а ширина запрещенной зоны невелика (E g = 0,17 эВ), так что при Т > 450K уровень Ферми входит в зону проводимости. При этой температуре полупроводник переходит в вырожденное состояние.

Рис. 5. Зависимость уровня Ферми от температуры в собственном полупроводнике при различных соотношениях эффективных масс электронов и дырок.

1 - ; 2 - ; 3 - .

Уровень Ферми в примесных полупроводниках

Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках может быть найдено из условия электронейтральности кристалла. Для донорного полупроводника это условие записывается в виде

здесь N d - концентрация донорных уровней,n d - концентрация электронов на донорных уровнях. Концентрация электронов в зоне проводимости равна сумме концентраций дырок в валентной зоне и концентрации положительно заряженных ионов доноров (последняя, очевидно, равнаN d -n d ).

Концентрацию электронов на донорных уровнях можно вычислить, умножив концентрацию этих уровней N d на функцию распределения Ферми-Дирака:

При подстановке концентрации электронов на донорных уровнях в уравнение (24) было сделано предположение, что газ электронов примесных атомов невырожденный, что позволило пренебречь единицей в знаменателе формулы (25).

Уравнение (26) ввиду его сложности обычно в общем виде не решают, а ограничиваются рассмотрением частных случаев. Например, при низких температурах, когда электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет переходов с примесных уровней, а концентрация дырок близка к нулю, решение уравнения (26) имеет вид

Рисунок 6 Температурные зависимости положения уровня Ферми в донорном (а) и акцепторном (б) полупроводниках.

Из уравнения (27) следует, что при абсолютном нуле температуры энергия Ферми донорного полупроводника находится строго посередине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. Температурная зависимость положения уровня Ферми определяется третьим членом в уравнении (27), который меняет знак с изменением температуры. Поэтому уровень Ферми с повышением температуры сначала смещается к зоне проводимости, а затем - к валентной зоне (рис. 6а).

Аналогично можно получить выражение для температурной зависимости уровня Ферми в акцепторном полупроводнике. График этой зависимости схематически приведен на рис. 6б.

В качестве первого приближения рассмотрим решение уравнения Шредингера для частиц в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. В этом случае решение у. Ш. удобно искать в виде произведения трех волновых функций:

() = (x)(y)(z)

(6.2)

Решение у. Ш. внутри ямы имеет простой вид:

. (x) = a sin k x x + b cos k x x, (x) = 0 b = 0, (L) = 0 k x L = n x .

(6.3)

Здесь n - целое число. Последние условия являются следствием “сшивания” волновой функции внутри и извне ямы. Полная энергия частицы в яме:

Максимальная энергия частицы в яме называется энергией Ферми (см. рис.6.1) :

Число состояний частицы с энергиями E < E F равно интегралу от (6.6), причем лишь по положительным значениям волновых векторов (рис.6.2). Ограничение положительными значениями импульса уменьшит (6.6) в 8 раз. Чтобы получить число возможных состояний нуклона в потенциальной яме, нужно учесть две возможные проекции спина нуклона на ось и две проекции изоспина (т.е. протоны и нейтроны). Тогда число состояний должно равняться числу нуклонов А :

.

(6.7)

Объем ямы V равен объему ядра: V = (4/3)R 3 = (4/3)r 0 3 A.
Оценим нуклонную плотность ядра . Используя равенство (6.7), одновременно найдем связь импульса Ферми с экспериментально измеряемым параметром r 0:

.	(6.8)
; .	(6.9)

Получаем, что нуклонная плотность ядра (6.8) приблизительно постоянна.
Нуклонная плотность ядер экспериментально определена в опытах по рассеянию электронов промежуточных энергий (Е > 100 МэВ) на ядрах. Дополнили эти эксперименты опыты по рассеянию протонов тех же энергий. Результатом этих опытов было представление о распределении плотности ядерной материи в виде распределения Ферми:

Нуклонная плотность ядер, согласно этим измерениям, близка к константе, для средних и тяжелых ядер почти на зависит от А и приближенно составляет 0 0.17 Фм -3 .
Из (6.9) получим значение импульса Ферми:

K F (1.25 - 1.35) Фм -1 (250 - 270) МэВ/c.

(6.12)

Отсюда значение максимальной кинетической энергии частиц Ферми-газа (энергии Ферми) составляет E F (35 - 38) МэВ. Следует подчеркнуть, что эта величина в ФГМ не зависит от числа нуклонов в ядре. Отсюда можно получить и приближенную величину глубины ядерной потенциальной ямы. Поскольку средняя энергия отделения нуклона от ядра составляет около 8 МэВ, глубина потенциальной ямы V 0 = E F + (42 - 46) МэВ (cм. рис.6.1).
Оценку этой же величины можно получить из других соображений, например из решения задачи о потенциале дейтрона. Таким образом, простая модель Ферми-газа приводит к разумным оценкам глубины потенциальной ядерной ямы.

Тот факт, что нуклоны ядра находятся в движении, особенно наглядным образом проявляется в реакциях квазиупругого рассеяния электронов. Сечение этого процесса представляет собой широкий максимум, расположенный выше по энергии, чем область возбуждения мультипольных гигантских резонансов в ядрах (см. рис.6.3). Если бы рассеяние электрона происходило на неподвижном нуклоне, максимум находился бы при переданной ядру энергии, связанной с переданным ядру импульсом q простым нерелятивистским соотношением = q 2 /M*, где = 1 - 2 - переданный импульс, M* - “эффективная” масса нуклона в ядре. Но вместо узкого пика при этой энергии на кривой сечения наблюдается широкий максимум. Его ширина обусловлена именно фермиевским движением нуклонов ядра. Рассеяние электрона происходит – в предельных случаях – как на нуклоне, движущемся навстречу электрону, так и параллельно импульсу электрона. Поэтому измерение ширин пиков квазиупругого рассеяния является способом независимого определения величины импульса Ферми. В табл.1 для нескольких ядер приведены значения импульсов Ферми, рассчитанные из данных по квазиупругому рассеянию электронов.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Энергия (уровень) Фе́рми () системы невзаимодействующих фермионов - это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в её основном состоянии при абсолютном нуле температур . Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми - одно из центральных понятий физики твёрдого тела.

Физический смысл уровня Ферми: вероятность обнаружения частицы на уровне Ферми составляет 1/2 при любых температурах, кроме T = 0 {\displaystyle T=0} .

Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми .

Фермионы - частицы с полуцелым спином , обычно 1/2, такие как электроны - подчиняются принципу запрета Паули , согласно которому две одинаковые частицы, образуя квантово-механическую систему (например, атом), не могут принимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми - Дирака . Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания их энергии (например, заполнение электронами электронных орбиталей атома). Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния: в случае макроскопической системы различие не важно). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Фе́рми . Частицы с энергией, равной энергии Ферми, двигаются со скоростью, называемой скоростью Фе́рми (только в случае изотропного дисперсионного соотношения в среде).

В свободном электронном газе (квантово-механическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу . Нечто подобное можно сделать для периодических систем типа электронов, движущихся в атомной решётке металла , используя так называемый квазиимпульс (Частица в периодическом потенциале ). В любом случае, состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми . Для свободного электронного газа, поверхность Ферми - поверхность сферы; для периодических систем она вообще имеет искаженную форму. Объём, заключённый под поверхностью Ферми, определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью . Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.

Уровень Ферми при ненулевых температурах

Для важного случая электронов в металле при всех разумных температурах можно считать k T ≪ μ {\displaystyle kT\ll \mu } . Такую ситуацию называют вырожденным ферми-газом. (В другом предельном случае k T ≫ μ {\displaystyle kT\gg \mu } ферми-газ называют невырожденным, числа заполнения невырожденного ферми-газа малы и его можно описывать классической больцмановской статистикой.)

В качестве уровня Ферми можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть вероятность находящегося на искомом уровне состояния быть заполненным частицей должна быть равна 1/2).

Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением

μ = E F [ 1 − π 2 12 (k T E F) 2 + π 4 80 (k T E F) 4 + … ] , {\displaystyle \mu =E_{F}\left,}

где E F {\displaystyle E_{F}} - энергия Ферми, k {\displaystyle k} - постоянная Больцмана , и T {\displaystyle T} - температура . Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной температуры Ферми E F / k {\displaystyle E_{F}/k} . Характерная температура имеет порядок 10 5 для металла, следовательно при комнатной температуре (300 ), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми - Дирака [ ] .

Энергия Ферми, Температура Ферми и Скорость Ферми

Элемент	Энергия Ферми, эВ	Температура Ферми, *10 000 K	Скорость Ферми, *1000 км/с
Li	4.74	5.51	1.29
Na	3.24	3.77	1.07
K	2.12	2.46	0.86
Rb	1.85	2.15	0.81
Cs	1.59	1.84	0.75
Cu	7.00	8.16	1.57
Ag	5.49	6.38	1.39
Au	5.53	6.42	1.40
Be	14.3	16.6	2.25
Mg	7.08	8.23	1.58
Ca	4.69	5.44	1.28
Sr	3.93	4.57	1.18
Ba	3.64	4.23	1.13
Nb	5.32	6.18	1.37
Fe	11.1	13.0	1.98
Mn	10.9	12.7	1.96
Zn	9.47	11.0	1.83
Cd	7.47	8.68	1.62
Hg	7.13	8.29	1.58
Al	11.7	13.6	2.03
Ga	10.4	12.1	1.92
In	8.63	10.0	1.74
Tl	8.15	9.46	1.69
Sn	10.2	11.8	1.90
Pb	9.47	11.0	1.83
Bi	9.90	11.5	1.87
Sb	10.9	12.7	1.96
Ni	11.67		2.04
Cr	6.92		1.56

Связь энергии Ферми и концентрации электронов проводимости

Концентрация электронов проводимости в вырожденных полупроводниках связана с расстоянием от края частично заполненной энергетической зоны до уровня Ферми. Эту положительную величину иногда тоже называют энергией Ферми, по аналогии с энергией Ферми свободного электронного газа, которая, как известно, положительна.

Для определения числа частиц, имеющих энергию в заданном интервале, помимо плотности квантовых состояний N(W) необходимо знать вероятность того, что данное состояние с энергией W занято частицей, т.е. нужно знать функцию распределения f(W ). В условиях теплового равновесия для частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули, справедливо распределение Ферми – Дирака

где k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура; W F – энергия Ферми или электрохимический потенциал, т.е. работа, которую необходимо затратить для изменения числа частиц в системе на единицу при условии постоянства объема и температуры.

Рассмотрим вид функции распределения Ферми – Дирака при различных температурах. Из формулы следует, что в случае Т = 0 в интервале энергии имеем f n = 1 и f n = 0 для . Это означает, что все квантовые состояния с энергией, меньшей энергии Ферми, заняты электронами, а уровни, лежащие выше уровня Ферми, полностью свободны, не заняты электронами. Следовательно, энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля.

Рассмотрим случай, когда Т > 0. Из распределения Ферми – Дирака для значения энергии, равной значению энергии Ферми (W = W F ), имеем f n = 1/2. Таким образом, уровень Ферми есть энергетический уровень, вероятность наполнения которого при температуре, отличной от абсолютного нуля, равна 0,5. При Т > 0 часть электронов в результате теплового движения перейдет в состояния с энергией, большей энергии ферми (W > W F ), и соответственно часть состояний, находящихся ниже уровня Ферми, окажется свободной. В этом случае число частиц, перешедших на более высокие энергетические уровни, будет равно количеству образовавшихся свободных состояний в области W < W F .

Произведем оценку области изменения функции распределения f n (W ) для случая Т > 0. Для этого подсчитаем f n (W ) для разных значений энергии. Для энергий, отличающихся от W F на ± kT , значение на f n (W ) составляет (1+е ) -1 = 0,27 и (1+1/е ) -1 = 0,73. При W - W F = ± 2kT значения f n равны 0,118 и 0,882 , а при W - W F = ± 3kT – 0,047 и 0,953. Из этих данных следует, что вероятность заполнения состояний заметно отличается от единицы или нуля лишь в пределах (23) kT вблизи значения W = W F (рис. 1).

Рис. 1. Вид функции распределения Ферми – Дирака

Функция распределения Ферми – Дирака характеризует вероятность заполнения данного квантового состояния электроном. Вероятность того, что при тепловом равновесии в состоянии с энергией W электрон отсутствует, т.е. оно занято дыркой, будет равна:

Следовательно, функция распределения для дырок аналогична функции распределения для электронов, если отсчитывать энергию дырок от уровня Ферми в противоположную сторону по сравнению с направлением отсчета энергии для электронов.

Для электронов, находящихся в состояниях с энергией W – W F >> kT , выражения для f n и f p имеют вид:

,

т.е. совпадают с функцией распределения Больцмана для частиц, подчиняющихся классической статистике. Если носители заряда подчиняются статистике Больцмана, то электронный газ невырожден и соответственно полупроводник с таким распределением носителей заряда принято называть невырожденным.

Таким образом, для большинства полупроводников (невырожденных)можно пользоваться статистикой Максвелла - Больцмана и только в некоторых случаях для полупроводников (вырожденных)необходимо использовать статистику Ферми - Дирака. Разница в этих двух функциях распределения электронов по энергиям показана на рис. 2.

Положение уровня Ферми в полупроводнике будет определять и дрейфовую и диффузионную составляющие тока.

Одно из фундаментальных положений физики твердого тела – постоянство (одинаковость) уровня Ферми для всех частей равновесной системы твердых тел, какой бы разнородной оно не была. Другими словами, в условиях равновесия, когда направленного движения носителей заряда нет, должно иметь место условие: , т.е. , тогда ток в полупроводнике .

W-W F (эВ)

f n (W)

Рис. 2. Вероятность заполнения электронами энергетических уровней при различных температурах: сплошная – по статистике Ферми-Дирака, пунктир – по статистике Максвелла-Больцмана для электронов в зоне проводимости и в валентной зоне

Для собственного полупроводника уровень Ферми определяется выражением: ,

где – эффективная масса дырок и электронов соответственно.

При температуре абсолютного нуля уровень Ферми для собственного полупроводника лежит в середине запрещенной зоны. У собственного полупроводника скорость изменения уровня Ферми с температурой пропорциональна отношению эффективных масс дырок и электронов. В результате этого с повышением температуры уровень Ферми отдаляется от зоны с тяжелыми носителями заряда, приближаясь к зоне с легкими носителями заряда. Например, при уровень Ферми с повышением температуры линейно смещается к днй зоны проводимости. И если расстояние от уровня Ферми до этой зоны становится соизмеримо с kT , то в ней наступает вырождение и соответствующий интеграл Ферми – Дирака уже не может быть заменен экспонентой. При этом, чем сильнее различаются эффективные массы электронов и дырок, тем раньше наступает вырождение.

В случае положение уровня Ферми не зависит от температуры и определяется серединой запрещенной зоны: .

Более точный анализ показывает, что сама ширина запрещенной зоны изменяется с температурой. Рост амплитуды тепловых колебаний атомов решетки приводит к ее уменьшению. Кроме того, с увеличением температуры изменяются межатомные расстояния, что также оказывает влияние на ширину запрещенной зоны. В результате зависимость ΔW з(Т ) может иметь сложный характер. В качестве примера на рис. 3 показаны изменения ширины запрещенной зоны в зависимости от температуры для германия, кремния и арсенида галлия.

Рис. 3. Зависимость ширины запрещенной зоны германия, кремния и арсенида галлия от температуры

Для этих полупроводников значения ширины запрещенной зоны при 0 К составляют 0,89; 1,16 и 1,52 эВ соответственно. У них, как следует из рис. 3, в диапазоне температур 175 – 350 К ширина запрещенной зоны меняется линейно с температурой. При этом температурный коэффициент изменения ширины запрещенной зоны α = d ΔW з/dT < 0 зависит от материала полупроводника (табл. 1). У PbS α < 0, ширина запрещенной зоны возрастает от 0,34 эВ при 0 К до 0,41 эВ при 300 К.

Таблица 1

Температурный коэффициент изменения ширины запрещенной зоны

В этих случаях зависимость подчиняется линейному закону вида

где ΔW з(0) – экстраполированная ширина запрещенной зоны при 0 К.

Теоретический анализ показывает:

откуда следует, что

Таким образом, если ширина запрещенной зоны полупроводника линейно зависит от температуры, график зависимости ln(n i T -3/2) от 1/Т также представляет собой прямую линию, наклон которой характеризуется значением ΔW з(0), которое является экстраполированной шириной запрещенной зоны при 0 К. Истинное значение ширины запрещенной зоны полупроводника при данной температуре определяется по формуле .

Для примесных полупроводников уровень Ферми можно определить из соотношений (справедливы для Т ≠ 0 К):

,

,

где N C , N V – эффективная плотность разрешенных уровней в зоне проводимости и валентной зоне соответственно, N Д, N А – количество донорных и акцепторных уровней (степень легирования).

При решении задач удобнее использовать следующие соотношения (справедливы для Т ≠ 0 К):

,

.

Таким образом, положение уровня Ферми в примесных полупроводниках зависит от температуры, степени легирования и ширины запрещенной зоны.

Для определения поведения уровня Ферми в области низких температур необходимо уточнить функцию Ферми – Дирака для примесных полупроводников.

Рассмотрим полупроводник, содержащий донорную примесь с концентрацией N Д. Если бы на примесном уровне согласно принципу Паули могли расположиться 2 электрона с антипараллельными спинами, то вероятность его заполнения определялась бы Ферми – Дирака

в которой вместо W следовало бы поставить W Д – энергию электрона на уровне примеси. Но на уровне W Д может быть только один электрон (атом донора может удержать один электрон), следовательно, нейтральное состояние донорной примеси имеет вдвое больший статистический вес по сравнению с ионизированным состоянием. Тогда вероятность нахождения электрона на донорном уровне с энергией W Д будет определяться выражением

Предэкспоненциальный множитель 1/2 в общем случае можно записать через g -1 . Таким образом, для одновалентной донорной примеси (может отдать для участия в проводимости только 1 электрон), примесный уровень двукратно вырожден и фактор (степень) спинового вырождения g = 2.

Аналогично для акцепторного полупроводника, например кремния, легированного бором. Нейтральный атом бора с соседними атомами кремния образует 3 ковалентных связи, четвертая связь одного из четырех соседних атомов кремния остается незавершенной, и она, располагаясь около атома бора, ведет себя как положительная дырка. В эту незавершенную связь может перейти электрон от соседнего атома кремния, и для этого потребуется энергия, равная W А. В результате образуется свободная дырка, а атом бора превращается в отрицательно заряженный ион бора. Таким образом, на энергетическом уровне акцепторной примеси находится 1 электрон с произвольным направлением спина (нейтральное состояние акцепторной примеси) либо имеется 2 электрона с антипараллельными спинами, в случае когда атом акцепторной примеси для укомплектования парной связи захватывает электрон из валентной зоны (ионизированное состояние акцепторной примеси). Следовательно, степень вырождения акцепторного уровня g = 2.

В области низких температур (рис. 4) положение уровня Ферми будет определяться соотношением вида

где – g фактор спинового вырождения,

а энергия активации будет:

т.е. равна половине энергии ионизации донорной примеси. В невырожденном донорном полупроводнике при температуре абсолютного нуля уровень Ферми располагается посередине между дном зоны проводимости и уровнем донорной примеси.

Строгий теоретический анализ показывает, что в области достаточно низких температур (несколько градусов по шкале Кельвина), когда gN c <N Д, уровень Ферми вначале повышается до некоторого максимального значения, а затем начинает снижаться и при gN c =N d снова имеем W F =1/2 (W П + W Д), как и для случая Т=0. Дальнейшее повышение температуры сопровождается ростом N c и в области температуры, когда gN c >N Д, уровень Ферми продолжает снижаться. Такому перемещению уровня Ферми соответствует экспоненциальная температурная зависимость концентрации электронов

Эта область изменения уровня Ферми с температурой, которая описывается предыдущей формулой, является областью слабой ионизации примеси (или областью вымораживания). Она обозначена цифрой 1 на рис. 4, на котором проиллюстрировано изменение уровня Ферми и концентрации электронов в зависимости от температуры для донорного полупроводника.

Рис. 4. Изменение положения уровня Ферми (а ) и концентрации электронов (б ) с температурой для донорного полупроводника

При дальнейшем повышении температуры концентрация электронов в зоне проводимости становится сравнимой с концентрацией примеси и предыдущие выражения для W F и n n в этом случае неприменимы. Однако теперь можно рассматривать другой крайний случай, когда температура достаточно высока и выполняется неравенство

При этом функция Ферми аппроксимируется выражением , которому соответствует:

Это означает, что практически вся донорная примесь ионизирована, и концентрация электронов в зоне проводимости не зависит от температуры. Эта область температур, при которой имеет место полная ионизация примеси, носит название области истощения примеси (или область полной ионизации примеси) и на рис.4 отмечена цифрой 2.

Условие полной ионизации донорной примеси, когда n n = N Д , соответствует положению уровню Ферми на несколько kT ниже уровня примеси W Д. Это значит, что при повышении температуры уровень Ферми, понижаясь, пересекает уровень W Д и уходит вниз. Температура, при которой W F = W Д, носит название температуры истощения T S , ее можно определить из условия

Как следует из выражения, температура истощения тем ниже, чем меньше энергия ионизации (W П – W Д), и концентрация донорной примеси N Д и чем больше эффективная масса электронов, определяющая величину N С . При малых значениях (W П – W Д) истощение примеси наступает при очень низких температурах. Например, в электронном германии, легированном сурьмой в количестве N Д = 10 16 см -3 , для которой энергия ионизации равна 0,0096 эВ, насыщение наступает уже при Т S = 32К.

При дальнейшей повышении температуры увеличение концентрации электронов в зоне проводимости будет осуществляться за счет переходов электронов из валентной зоны. В этом случае положение уровня Ферми и концентрация электронов будут определяться уравнениями для W Fi . и n i . На рис. 4 область 3 соответствует области собственной проводимости. В этом случае W Fi и можно определить

Отсюда получаем

Анализ этого выражения показывает, что температура T i , при которой наступает собственная проводимость у донорного полупроводника, тем ниже, чем меньше ширина запрещенной зоны и концентрация примеси и чем больше значение эффективных масс носителей заряда.

Таким образом, используя описанные приближения, можно проследить изменение концентрации электронов и положения уровня Ферми в запрещенной зоне электронного полупроводника во всей области изменения температуры.

В качестве примера на рис. 5 приведены температурные зависимости уровня Ферми и концентрация равновесных электронов n 0 и дырок р 0 для германия, легированного сурьмой в количестве N Д ≈ 10 16 см -3 . Кроме того, на этих кривых пунктиром показан ход W Fi и n i в собственном германии. При построении графиков учтена зависимость ширины запрещенной зоны германия от температуры.

Рис. 5. Температурная зависимость уровня Ферми (а) и концентрации носителей заряда (б) для германия, легированного сурьмой

Из этого рисунка следует, что при температуре абсолютного нуля уровень Ферми в германии расположен посередине между дном зоны проводимости W П и уровнем донорной примеси W Д. При повышении температуры он опускается и приближается к уровню примеси W Д. При температуре насыщения T S на донорной примеси электроны находятся в количестве, равном:

а в зоне проводимости соответственно 1/3 N Д электронов. С дальнейшим ростом температуры уровень Ферми продолжает опускаться и наступает область истощения; вся примесь ионизирована, и концентрация электронов проводимости остается постоянной и равной n n = N Д. В этой температурной области имеет место уже ионизация атомов основного вещества, и появляются неосновные носители заряда – дырки. Их концентрация резко возрастает с ростом температуры согласно соотношению

Когда уровень Ферми достигает середины запрещенной зоны, то n n = p n = n i и полупроводник от примесного переходит к собственному. При дальнейшем повышении температуры уровень Ферми приближается к той зоне, которая имеет меньшую эффективную плотность состояний.

Уровень Ферми для кремния в зависимости от концентрации примесей и температуры приведен на рис. 6. Здесь же приведена зависимость ширины запрещенной зоны от температуры.

Рис. 6. Зависимость уровня Ферми в кремнии от температуры и концентрации примесей

В акцепторном полупроводнике, как и в случае донорной примеси, при высоких температурах наступает область истощения, характеризующаяся полной ионизацией атомов акцепторной примеси. С дальнейшим ростом температуры уровень Ферми поднимается к середине запрещенной зоны, и полупроводник ведет себя как собственный.

1. При Т = 300ºК уровень Ферми в n-полупроводнике лежит, как правило, ниже уровня донорной примеси W Д, но выше середины запрещенной зоны.
В p-полупроводнике уровень Ферми расположен выше уровня акцепторной примеси W А, но ниже середины запрещенной зоны.

2. Чем сильнее легирован полупроводник n-типа, тем ближе уровень Ферми к дну зоны проводимости, для p-типа: чем больше акцепторной примеси, тем ближе уровень Ферми к валентной зоне. Таким образом, чем сильнее легирован полупроводник, тем ближе уровень Ферми к зоне, отвечающей за тип проводимости (зона основных носителей заряда).

3. С ростом температуры уровень Ферми в n-полупроводнике снижается к середине запрещенной зоны, а в p-полупроводнике повышается к середине запрещенной зоны, т.е. примесный полупроводник ведет себя как собственный.

4. Чем сильнее легирован материал, тем выше максимальная рабочая температура прибора, использующего примесный характер полупроводника.

Вырожденный электронный газ в металле.

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Если μ 0 – химический потенциал электронного газа при T = 0 К, то, среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно

(1)

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов = f (Е ), где f (Е ) – функция распределения электронов по состояниям. Из (1) следует, что при Т = 0 К функция распределений = 1, если E < μ 0 , и =0, если E > μ 0 ,. График этой функции приведен на рис. 15, а. В области энергий от 0 до μ 0 функция равна единице. При E = μ 0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т = 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = μ 0 , заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей μ 0 , свободны. Следовательно, μ 0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми и обозначается Е F . ( Е F = μ 0). Поэтому распределение Ферми - Дирака обычно записывается в виде

(2)

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми Е F: , которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. с. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT << E F . Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура T 0 вырождения находится из условия kT 0 = E F . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле Т 0 ≈ 10 4 К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми-Дирака (2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT ) в окрестности Е F (рис. 15, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при Т = 0 К.) Это объясняется тем, что при T > 0 небольшое число электронов с энергией, близкой к Е F , возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше Е F . Вблизи границы Ферми при Е < Е F заполнение электронами меньше единицы, а при Е >Е F . - больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т ≈ 300 К и температуре вырождения T 0 = 3 10 4 К, - это 10 -5 от общего числа электронов.

Если (Е - Е F ) >> kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми - Дирака переходит в распределение Максвелла - Больцмана.