Калькулятор по теории вероятности. Преобразование коэффициентов у вероятности и наоборот

Краткая теория

Линейное программирование - раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений. Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений.

Графический метод решения задач линейного программирования дает возможность наглядно представить их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. Задачу линейного программирования с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых больше трех, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства ограничений ЗЛП, приводит к идее ее решения, делает геометрически наглядными способы решения и пути их практической реализации.

Если ограничения и целевая функция содержит более двух переменных, тогда необходимо (или методом последовательного улучшения решения) - он универсален и им можно решить любую ЗЛП. Для некоторых прикладных задач линейного программирования, таких как , разработаны специальные методы решения.

Пример решения задачи

Условие задачи

Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие 1 и Изделие 2. На изготовление единицы Изделия 1 требуется затратить кг сырья первого типа, кг сырья второго типа, кг сырья третьего типа. На изготовление единицы Изделия 2 требуется затратить кг первого типа, сырья второго типа, сырья третьего типа. Производство обеспечено сырьем каждого типа в количестве кг, кг, кг соответственно. Рыночная цена единицы Изделия 1 составляет тыс руб., а единицы Изделия 2 - тыс. руб.

Требуется:

• Построить математическую модель задачи.
• Составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации при помощи графического метода решения задачи линейного программирования.

Чтобы решение задачи по линейному программированию было максимально точным и верным, многие недорого заказывают контрольную работу на этом сайте. Подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Купить контрольную работу по линейному программированию...

Решение задачи

Построение модели

Через и обозначим количество выпускаемых изделий 1-го и 2-го типа.

Тогда ограничения на ресурсы:

Кроме того, по смыслу задачи

Целевая функция экономико-математической модели, выражающая получаемую от реализации выручку:

Получаем следующую экономико-математическую модель:

Построение области допустимых решений

Решим полученную задачу линейного программирования графическим способом:

Для построения области допустимых решений строим в системе координат соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничные прямые:

Найдем точки, через которые проходят прямые:

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

Для определения полуплоскости возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (1), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Области решений соответствующего 1-го неравенства соответствует левая полуплоскость

Возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (2), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (3), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Области решений соответствующего 2-го неравенства соответствует левая полуплоскость

Областью допустимых решений является фигура .

Нахождение решения задачи ЛП

Строим вектор , координаты которого пропорциональны коэффициентам целевой функции. Здесь - коэффициент пропорциональности.

Перпендикулярно к построенному вектору проводим линию уровня .

Перемещаем линию уровня в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в крайней точке. Решением на максимум является точка , координаты которой находим как точку пересечения прямых (2) и (1).

Ответ

Таким образом необходимо выпускать 56 изделий 1-го вида и 64 изделия 2-го вида. При этом выручка от реализации изделий будет максимальна и составит 5104 ден.ед.

Метод графического решения, если задача с двумя переменными имеет линейные ограничения, а целевая функция - квадратичная, подробно рассмотрен здесь
На странице подробно разобрано решение задачи линейного программирования симплексным методом, кроме того, показано построение двойственной задачи линейного программирования и нахождение ее решения по решению прямой задачи.

Транспортная задача и метод потенциалов
Подробно рассмотрена транспортная задача, ее математическая модель и методы решения - нахождение опорного плана методом минимального элемента и поиск оптимального решения методом потенциалов.

Выпуклое программирование - графический метод
Приведен образец решения задачи квадратичного выпуклого программирования графическим методом.

Наиболее простым и наглядным методом линейного программирования (ЛП) является графический метод. Он применяется для решения задач ЛП с двумя переменными. Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме:

max f(x 1 , x 2 , ..., x n) = ,

, i = 1, 2, …, m,

x j 0, j = 1, 2, …, n.

Положим n=2 и будем рассматривать задачу на плоскости. Пусть система неравенств совместна (имеет хотя бы одно решение).

Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой а i 1 х 1 + а i 2 х 2 = b i , i = 1, 2,…, m. Условия неотрицательности определяют полуплоскости с гра­ничными прямыми х 1 = 0, х 2 = 0 соответственно. Система со­вместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, где ко­ординаты каждой точки являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, ограниченным и неограни­ченным многоугольником.

Таким образом, геометрически ЗЛП представляет собой отыс­кание такой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют линейной функции цели максимальное (минимальное) значение, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.

Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую об­ласть на плоскости. Определим, какую часть плоскости описыва­ет неравенство 2х 1 + Зх 2 12.

Во-первых, построим прямую 2х 1 + Зх 2 = 12. Она проходит через точки (6; 0) и (0; 4). Для того чтобы определить, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству, необходимо выбрать любую точку на графике, не принадлежащую прямой, и подставить ее координаты в неравенство. Если неравенство будет вы­полняться, то данная точка является допустимым решением, и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет неравенству. Для подстановки в неравенство удобно использовать точку начала координат. Подставим х 1 = х 2 = 0 в неравенство 2х 1 + Зх 2 12. Получим 2х0 + 3х0 12. Данное утверждение является верным, следовательно, неравенству 2х 1 + Зх 2 12 соответствует нижняя полуплоскость, содержащая точку (0; 0). Это отражено на графике, изображенном на рис. 1.1.

Аналогично графически можно изобразить все ограничения задачи ЛП.

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений, или областью определения. Необходимо помнить, что область допустимых решений удовлетворяет условиям неотрицательности (х j 0, j = 1, 2, …, n). Координаты любой точки, принадлежащей области определения, являются допустимым решением задачи.

Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении задач ЛП используют вектор-гради­ент, координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е.

Этот вектор показывает направление наискорейшего измене­ния целевой функции. Прямая с 1 х 1 + с 2 х 2 = f(х 0) , перпендикуляр­ная вектору-градиенту, является линией уровня целевой функции. В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение. Приравняем целевую функцию постоянной величине «а» . Меняя значение «а», получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уро­вень только возрастает, а при смещении в другую сторону - только убывает.

С геометрической точки зрения в задаче линейного программи­рования ищется такая угловая точка или набор точек из допусти­мого множества решений, на котором достигается самая верхняя (нижняя) линия уровня, расположенная дальше (ближе) осталь­ных в направлении наискорейшего роста.

Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.

1. Строится многоугольная область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.

2. Строится вектор-градиент целевой функции (ЦФ) в какой-нибудь точке х 0 , принадлежащей ОДР:

3. Линия уровня с 1 х 1 + с 2 х 2 = а (а - постоянная величина) - прямая, перпендикулярная вектору-градиенту , - передви­гается в направлении этого вектора в случае максимизации f(x 1 , х 2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. Предельная точка (или точки) области при этом движении и является точ­кой максимума f(x 1 , х 2).

4. Для нахождения координат точки максимума достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствую­щих ограничений и дающих в пересечении точку максимума. Значение f(x 1 , х 2), найденное в получаемой точке, является мак­симальным.

При минимизации (максимизации) функции f(x 1 , х 2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Если прямая, соответствующая линии уровня, при своем движении не покидает ОДР, то минимум (максимум) функ­ции f(x 1 , х 2) не существует.

Если линия уровня параллельна какому-либо функциональ­ному ограничению задачи, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП. Возможные ситуации графического решения задач ЛП представлены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

№	Вид ОДР	Вид оптимального решения	Примечания
	Многоугольная замкнутая	Единственное решение
	Единственное решение
	Многоугольная	ЦФ не ограничена снизу
	ЦФ не ограничена сверху
	Многоугольная незамкнутая	Единственное решение
	Бесконечное множество решений
	Отрезок	Единственное решение

Рассмотрим графическое решение задач линейного программирования на следующем примере.

Пример 1.1. Планирование выпуска продукции пошивочного предприятия (задача о костюмах).

Намечается выпуск двух видов костюмов – мужских и женских. На женский костюм требуется 1м шерсти, 2м лавсана и 1 чел./день трудозатрат. На мужской костюм – 3,5м шерсти, 0,5м лавсана и 1 чел./день трудозатрат. Всего имеется 350м шерсти, 240м лавсана и 150 чел./дней трудозатрат. Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а от мужского – 20 денежных единиц. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.

Введем следующие обозначения: х 1 - число женских костюмов; х 2 – число мужских костюмов. Прибыль от реализации женских костюмов составляет 10х 1 , а от реализации мужских - 20х 2 , т.е. необходимо максимизировать целевую функцию:

10х 1 + 20х 2

Ограничения задачи имеют вид:

х 1 + х 2 150,

2 х 1 + 0,5х 2 240,

х 1 + 3,5х 2 350,

х 2 60,

х 1 0.

Первое ограничение по труду х 1 + х 2 150. Прямая х 1 + х 2 = 150 проходит через точки (150; 0) и (0; 150) (рис. 1.2).

Второе ограничение по лавсану 2 х 1 + 0,5х 2 240. Прямая 2 х 1 + 0,5х 2 = 240 проходит через точки (120; 0) и (0; 480). Третье ограничение по шерсти х 1 + 3,5х 2 350. Добавим четвертое ограничение по количеству мужских костюмов х 2 60. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой х 2 = 60. На рис. 1.3 заштрихована область допустимых решений. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент , координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е.

Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (10;20) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при минимизации – в противоположном направлении. Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору . Так, на рис. 1.4 изображен вектор-градиент (30;60).

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент , координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е.

В нашем случае движение линии уровня будем осуществлять до ее выхода из области допустимых решений. В крайней, угловой, точке достигается максимум целевой функции. Для нахождения координат этой точки достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пере­сечении точку максимума:

х 1 + 3,5х 2 = 350,

х 1 + х 2 = 150.

Отсюда легко записать решение исходной ЗЛП: max f(x) = 2300 и достигается при х 1 = 70 и х 2 = 80 (см. рис. 1.4).

1.3.ТЕХНОЛОГИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ НАДСТРОЙКИ ПОИСК РЕШЕНИЯ В СРЕДЕ EXCEL

1.3.1. Общие сведения о работе с табличным процессором Excel

Рассмотрим некоторые аспекты работы с табличным процессором Excel, которые позволят упростить расчеты, необ­ходимые для решения оптимизационных задач. Табличный процессор - это программный продукт, предназначенный для ав­томатизации обработки данных табличной формы.

Элементы экрана Excel. После запуска Excel на экране появля­ется таблица, вид которой показан на рис 1.5.

Это изображение называют рабочим листом. Оно представляет собой сетку строк и столбцов, пересечения которых образуют пря­моугольники, называемые ячейками. Рабочие листы предназначены для ввода данных, выполнения расчетов, организации информа­ционной базы и т.п. Окно Excel отображает основные программные элементы: строку заголовка, строку меню, строку состояния, кноп­ки управления окнами.

Работа с формулами. В программах электронных таблиц формулы служат для выполнения множества разнообразных расчетов. С помощью Excel можно быстро создать формулу. Формула состоит из трех основных частей:

1) знака равенства;

2) совокупности значений или ссылок на ячейках, с которыми выполняются расчеты;

3) операторов.

4) Если знак равенства отсутствует, то Excel интерпретирует данные не как формулу, а как ввод данных в ячейку. Формулы можно вводить непосредственно в ячейку или в строку формул – как текст, так и число. При этом нужно выполнить следующие действия:

· выделить ячейку, которая должна содержать формулу и ввести знак (=);

· ввести оператор или знак действия;

· выделить другую ячейку, включаемую в формулу;

· нажать на клавишу Enter.

В строке формул появится введенная формула, в ячейке – результат расчета.

Использование в формулах функций. Чтобы облегчить ввод формул, можно воспользоваться функциями Excel. Функции - это встроенные в Excel формулы. Excel содержит множество формул. Они сгруппированы по различным типам: логические, математи­ческие, инженерные, статистические и др.

Для активизации той или иной формулы следует нажать кноп­ки Вставка, Функции. В появившемся окне Мастер функций слева содержится перечень типов функций. После выбора типа справа будет помещен список самих функций. Выбор функции осуществ­ляется щелчком клавиши мыши на соответствующем названии.

Различные функции выполняют разные типы вычислений по определенным правилам. Когда функция является единичным объектом в ячейке рабочего листа, она начинается со знака (=), далее следует название функции, а затем - аргументы функции, заключенные в скобки.

Поиск решения - это надстройка Excel, которая позволяет решать оптимизационные задачи. Если в меню Сервис отсутствует коман­да Поиск решения, значит, необходимо загрузить эту надстройку. Выберите команду Сервис => Надстройки и активизируйте над­стройку Поиск решения. Если же этой надстройки нет в диалоговом окне Надстройки, то вам необходимо обратиться к панели управления Windows, щелкнуть на пиктограмме Установка и уда­ление программ и с помощью программы установки Excel (или Office) установить надстройку Поиск решения.

После выбора команд Сервис => Поиск решения появится диало­говое окно Поиск решения.

В диалоговом окне Поиск решения есть три основных пара­метра;

Установить целевую ячейку.

Изменяя ячейки.

Ограничения.

Сначала нужно заполнить поле Установить целевую ячейку. Во всех задачах для средства Поиск решения оптимизируется результат в одной из ячеек рабочего листа. Целевая ячейка связана с другими ячейками этого рабочего листа с помощью формул. Средство Поиск решения использует формулы, которые дают результат в целевой ячейке, для проверки возможных решений. Можно выбрать по­иск наименьшего или наибольшего значения для целевой ячейки или установить конкретное значение.

Второй важный параметр средства Поиск решения - это пара­метр Изменяя ячейки. Здесь указываются ячейки, значения в которых будут изменяться для того, чтобы оптимизировать ре­зультат в целевой ячейке. Для поиска решения можно указать до 200 изменяемых ячеек. К этим ячейкам предъявляется два основ­ных требования: они не должны содержать формул и изменение их значений должно отражаться на изменении результата в целе­вой ячейке. Другими словами, целевая ячейка зависит от изменя­емых ячеек.

Третий параметр, который нужно вводить на вкладке Поиск решения, - это ограничения.

Для решения задачи необходимо:

1) указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат реше­ния (изменяемые ячейки);

2) ввести исходные данные;

3) ввести зависимость для целевой функции;

4) ввести зависимости для ограничении,

5) запустить команду Поиск решений;

6) назначить ячейку для целевой функции (установить целевую ячейку);

7) ввести ограничения;

8) ввести параметры для решения ЗЛП.

Рассмотрим технологию решения, используя условия примера 1.1 (задача о костюмах).

Экономико-математическая модель задачи

Пусть х 1 - число женских костюмов; х 2 - число мужских костюмов,

10 х х 1 + 20 х х 2 max

Ограничения задачи имеют вид:

х 1 + х 2 150 - ограничение по труду;

2 x х 1 + 0,5 х х 2 240 - ограничение по лавсану;

х 1 + 3,5 х х 2 350 - ограничение по шерсти;

х 2 60 - ограничение по мужским костюмам;

х 1 0 - ограничение по женским костюмам.

1. Указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).

Обозначьте через x 1 , х 2 количество костюмов каждого типа. В нашей задаче оптимальные значения вектора = (х 1 , х 2) будут помещены в ячейках А2:В2, оптимальное значение целевой функ­ции - в ячейке СЗ.

2. Ввести исходные данные.

Введите исходные данные задачи, как показано на рис. 1.6.

3. Ввести зависимость для целевой функции.

· Поместить курсор в ячейку «СЗ», произойдет выделение ячейки.

· Поместить курсор на кнопку Мастер функций, расположенную на панели инструментов.

· Ввести Enter. На экране появляется диалоговое окно Мастер функ­ций шаг 1 из 2.

· В окне Функции выбрать строку СУММПРОИЗВ (рис. 1.7). На экране

· появляется диалоговое окно СУММПРОИЗВ (рис. 1.8).

· В строку Массив 1 ввести А2:В2 .

· В строку Массив 2 ввести АЗ:ВЗ.

Массив 1 будет использоваться при вводе зависимостей для ограничений, поэтому на этот массив надо сделать абсолютную ссылку. На рис. 1.9 показано, что в ячейку СЗ введена функция.

5. Ввести зависимости для ограничений (рис 1.10).

· Поместить курсор в ячейку СЗ.

· На панели инструментов кнопка Копировать в буфер.

· Поместить курсор в ячейку С4.

· Поместить курсор в ячейку С5.

· На панели инструментов кнопка Вставить из буфера.

· Поместить курсор в ячейку Сб.

· На панели инструментов кнопка Вставить из буфера.

· Поместить курсор в ячейку С7.

· На панели инструментов нажать кнопку Вставить из буфера. (Содержимое ячеек С4-С7 необходимо проверить. Они обяза­тельно должны содержать информацию, как это показано для примера на рис. 1.11; в качестве примера представлено содер­жимое ячейки С5.)

· В строке Меню указатель мышки поместить на Сервис. В развер­нутом меню выбрать команду Поиск решения. Появляется диа­логовое окно Поиск решения (рис. 1.12).

5. Запустить команду Поиск решения.

6. Назначить ячейку для целевой функции (установить целевую ячейку), указать адреса изменяемых ячеек.

· Поместить курсор в строку Установить целевую ячейку.

· Ввести адрес ячейки $С$3.

· Ввести тип целевой функции в зависимости от условия вашей задачи. Для этого отметьте, чему равна целевая функция - Максимальному значению или Минимальному значению.

· Поместить курсор в строку Изменяя ячейки.

· Ввести адреса искомых переменных А$2:В$2 (рис. 1.13).

7. Ввести ограничения.

· Поместить указатель мыши на кнопку Добавить. Появляется диалоговое окно Добавление ограничения.

· Ввести знак ограничения.

· В строке Ограничение ввести адрес $D$4 (рис. 1.14).

· Поместить указатель мыши на кнопку Добавить. На экране вновь появится диалоговое окно Добавление ограничения.

· Ввести остальные ограничения задачи по вышеописанному алгоритму.

· После введения последнего ограничения нажать на кнопку ОК. На экране появится диалоговое окно Поиск решения с введенны­ми условиями (рис. 1.15).

8. Ввести параметры для решения задачи линейного программирования.

· В диалоговом окне поместить указатель мышки на кнопку Пара­метры. На экране появится диалоговое окно Параметры поиска решения (рис. 1.16).

· Установить флажки в окнах Линейная модель (это обеспечит применение симплекс-метода) и Неотрицательные значения.

· Поместить указатель мыши на кнопку ОК. На экране появится диалоговое окно Поиск решения.

· Поместить указатель Мыши на кнопку Выполнить.

Через непродолжительное время появятся диалоговое окно Результаты поиска решения и исходная таблица с заполненными ячейками АЗ:ВЗ для значений х i и ячейка СЗ с максимальным значением целевой функции (рис. 1.17).

Если указать тип отчета Устойчивость, то можно получить до­полнительную информацию об оптимальном решении (рис. 1.18).

В результате решения задачи был получен ответ: необходимо сшить 70 шт. женских костюмов и 80 шт. мужских костюмов, чтобы получить максимальную прибыль 2300 у.е.

1.4. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

В 1975 г. наш соотечественник Л.В. Канторович был удостоен Нобелевской премии по экономике (совместно с американским экономистом Т. Купмансом) за разработку теории оптимального использования ресурсов (см. Приложение 1).

С каждой задачей линейного программирования тесно связа­на другая линейная задача, называемая двойственной; первона­чальная задача называется исходной, или прямой. Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.

Переменные двойственной задачи y i называются объективно обусловленными оценками, или двойственными оценками, или «ценами» ресурсов, или теневыми ценами.

Каждая из задач двойственной пары фактически является са­мостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой.

Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам:

1) целевая функция исходной задачи формулируется на макси­мум, а целевая функция двойственной задачи - на минимум, при этом в задаче на максимум все неравенства в функцио­нальных ограничениях имеют вид (), в задаче на минимум - вид ( );

2) матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная мат­рица А Т в двойственной задаче получаются друг из друга транс­понированием;

3) число переменных в двойственной задаче равно числу функци­ональных ограничений исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи - числу переменных в исходной;

4) коэффициентами при неизвестных в целевой функции двой­ственной задачи являются свободные члены в системе ограни­чений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях двойственной задачи - коэффициенты при неизвестных в це­левой функции исходной; j 0.

Две приведенные задачи образуют пару симметричных двой­ственных задач. Основные утверждения о взаимно двойственных задачах содержатся в двух следующих теоремах.

Первая теорема двойственности. Для взаимно двойственных за­дач имеет место один из взаимоисключающих случаев.

1. В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения,
при этом значения целевых функций на оптимальных решениях
совпадают

2. В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество.

3. В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целе­вая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым.

4. Обе из рассматриваемых задач имеют пустые допустимые мно­жества.

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей неже­сткости). Пусть = (x 1 ,х 2 ,..., х п) - допустимое решение прямой задачи, a = (у 1 ,у 2 ,…,у т) - допустимое решение двойственной задачи. Для того чтобы они были оптимальными решениями соот­ветственно прямой и двойственной задач, необходимо и достаточ­но, чтобы выполнялись следующие соотношения:

(1.4)

(1.5)

Условия (1.4) и (1.5) позволяют, зная оптимальное решение одной из взаимно двойственных задач, найти оптимальное реше­ние другой задачи.

Рассмотрим еще одну теорему, выводы которой будут исполь­зованы в дальнейшем.

Теорема об оценках. Значения переменных y i в оптимальном реше­нии двойственной задачи представляют собой оценки влияния сво­бодных членов b i системы ограничений (неравенств) прямой задачи на величину

Решая ЗЛП симплекс-методом, мы одновременно решаем двой­ственную ЗЛП. Переменные двойственной задачи y i называют объективно обусловленными оценками.

Рассмотрим экономическую интерпретацию двойственной за­дачи на примере задачи о коврах.

Пример 1.2. Используя постановку задачи о коврах, выполнить следующие задания.

1. Сформулировать экономико-математическую модель задачи о коврах на максимум общей стоимости продукции, используя данные табл. 1.1.

2. Используя Поиск решения, найти такой план выпуска продук­ции, при котором общая стоимость продукции будет макси­мальной.

3. Сформулировать экономико-математическую модель двой­ственной задачи к задаче о коврах.

4. Найти оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности, пояснить равенство нулю Х 1 и Х 4 .

5. Используя протоколы Поиска решения, выполнить анализ по­лученного оптимального решения исходной задачи.

6. Определить, как изменится общая стоимость и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса труб на 12 ед.

1. Сформулируем экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через Х 1 , Х 2 , Х 3 , Х 4 число ковров каждого типа. Целевая функция имеет вид

F(X) = ЗХ 1 + 4Х 2 + ЗХ 3 + Х 4 max,

а ограничения по ресурсам

7Х 1 + 2Х 2 + 2Х 3 + 6Х 4 80,

5Х 1 + 8Х 2 + 4 Х 3 + ЗХ 4 480,

2Х 1 + 4 Х 2 + Х 3 + 8X 4 130,

Х 1 , X 2 , X 3 , Х 4 0.

2. Поиск оптимального плана выпуска.

Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск решения. Технология решения задачи была подробно рассмотрена в задаче о костюмах. В нашей задаче оптимальные значения вектора Х=(Х 1 , X 2 , X 3 , Х 4) будут помещены в ячейках ВЗ:ЕЗ, оптимальное значение целевой функции - в ячейке F4 .

Введем исходные данные. Сначала опишем целевую функцию с помощью функции - СУММПРОИЗВ (рис. 1.19). А потом введем данные для левых частей ограничений. В Поиске решения введем направление целевой функции, адреса искомых переменных, до­бавим ограничения. На экране появится диалоговое окно Поиск решения с введенными условиями (рис. 1.20).

После ввода параметров для решения ЗЛП следует нажать кнопку Выполнить. На экране появится сообщение, что решение найдено (рис. 1.21).

Полученное решение означает, что максимальный доход 150 тыс. руб. фабрика может получить при выпуске 30 ковров второго вида и 10 ковров третьего вида. При этом ресурсы «труд» и «оборудование» будут использованы полностью, а из 480 кг пряжи (ресурс «сырье») будет использовано 280 кг.

Создание отчета по результатам поиска решения. Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета (табл. 1.4). Существует три типа таких отчетов:

· Результаты (Answer). В отчет включаются исходные и конечные значения целевой и изменяемых ячеек, дополнительные све­дения об ограничениях.

· Устойчивость (Sensitivity). Отчет, содержащий сведения о чувстви­тельности решения к малым изменениям в изменяемых ячей­ках или в формулах ограничений.

· Пределы (Limits). Помимо исходных и конечных значений из­меняемых и целевой ячеек, в отчет включаются верхние и ниж­ние границы значений, которые могут принимать влияющие ячейки при соблюдении ограничений.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для решения задач линейного программирования симплексным методом путем перехода к КЗЛП и СЗЛП . При этом задача на минимум целевой функции сводятся к задаче на поиск максимума через преобразование целевой функции F*(X) = -F(X) . Также имеется возможность составить двойственную задачу .

Решение происходит в три этапа:

1. Переход к КЗЛП. Любая ЗЛП вида ax ≤ b , ax ≥ b , ax = b (F(X) → extr) сводится к виду ax = b , F(X) → max ;
2. Переход к СЗЛП. КЗЛП вида ax = b сводится к виду ax ≤ b , F(X) → max ;
3. Решение симплексным методом;

Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений). Полученное решение сохраняется в файле Word .

Количество переменных 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Количество строк (количество ограничений) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Переход от задачи минимизации целевой функции к задаче максимизации

Задача минимизации целевой функции F(X) легко может быть сведена к задаче максимизации функции F*(X) при тех же ограничениях путем введения функции: F*(X) = -F(X) . Обе задачи имеют одно и то же решение X*, и при этом min(F(X)) = -max(F*(X)) .
Проиллюстрируем этот факт графически:

F(x) → min

F(x) → max

Для оптимизации функции цели используем следующие понятия и методы.
Опорный план – план с определёнными через свободные базисными переменными.
Базисный план – опорный план с нулевыми базисными переменными.
Оптимальный план – базисный план, удовлетворяющий оптимальной функции цели (ФЦ).

Ведущий (разрешающий) элемент – коэффициент свободной неизвестной, которая становится базисной, а сам коэффициент преобразуется в единицу.
Направляющая строка – строка ведущего элемента, в которой расположена с единичным коэффициентом базисная неизвестная, исключаемая при преобразовании (строка с минимальным предельным коэффициентом, см. далее).
Направляющий столбец – столбец ведущего элемента, свободная неизвестная которого переводится в базисную (столбец с максимальной выгодой, см. далее).

Переменные x 1 , …, x m , входящие с единичными коэффициентами только в одно уравнение системы, с нулевыми - в остальные, называются базисными или зависимыми . В канонической системе каждому уравнению соответствует ровно одна базисная переменная. Переход осуществляется с помощью метода Гаусса-Жордана . Основная идея этого метода состоит в сведении системы m уравнений с n неизвестными к каноническому виду при помощи элементарных операций над строками.
Остальные n-m переменных (x m +1 ,…, x n) называются небазисными или независимыми переменными .

Базисное решение называется допустимым базисным решением , если значения входящих в него базисных переменных x j ≥0, что эквивалентно условию неотрицательности b j ≥0.
Допустимое базисное решение является угловой точкой допустимого множества S задачи линейного программирования и называется иногда опорным планом .
Если среди неотрицательных чисел b j есть равные нулю, то допустимое базисное решение называется вырожденным (вырожденной угловой точкой) и соответствующая задача линейного программирования называется вырожденной .

Пример №1 . Свести задачу линейного программирования к стандартной ЗЛП.
F(X) = x 1 + 2x 2 - 2x 3 → min при ограничениях:
4x 1 + 3x 2 - x 3 ≤10
- 2x 2 + 5x 3 ≥3
x 1 + 2x 3 =9
Для приведения ЗЛП к канонической форме необходимо:
1. Поменять знак у целевой функции. Сведем задачу F(X) → min к задаче F(X) → max. Для этого умножаем F(X) на (-1). В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 4 ; во втором неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x 5 со знаком минус.
4x 1 + 3x 2 -1x 3 + 1x 4 + 0x 5 = 10
0x 1 -2x 2 + 5x 3 + 0x 4 -1x 5 = 3
1x 1 + 0x 2 + 2x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 9
F(X) = - x 1 - 2x 2 + 2x 3
Переход к СЗЛП .
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

4	3	-1	1	0	10
0	-2	5	0	-1	3
1	0	2	0	0	9

Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной можно выбрать x 4 .
2. В качестве базовой переменной выбираем x 2 .
Разрешающий элемент РЭ=-2. Строка, соответствующая переменной x 2 , получена в результате деления всех элементов строки x 2 на разрешающий элемент РЭ=-2. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x 2 записываем нули. Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

4-(0 3):-2	3-(-2 3):-2	-1-(5 3):-2	1-(0 3):-2	0-(-1 3):-2	10-(3 3):-2
0: -2	-2: -2	5: -2	0: -2	-1: -2	3: -2
1-(0 0):-2	0-(-2 0):-2	2-(5 0):-2	0-(0 0):-2	0-(-1 0):-2	9-(3 0):-2

Получаем новую матрицу:

4	0	6 1 / 2	1	-1 1 / 2	14 1 / 2
0	1	-2 1 / 2	0	1 / 2	-1 1 / 2
1	0	2	0	0	9

3. В качестве базовой переменной выбираем x 3 .
Разрешающий элемент РЭ=2. Строка, соответствующая переменной x 3 , получена в результате деления всех элементов строки x 3 на разрешающий элемент РЭ=2. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x 3 записываем нули. Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

4-(1 6 1 / 2):2	0-(0 6 1 / 2):2	6 1 / 2 -(2 6 1 / 2):2	1-(0 6 1 / 2):2	-1 1 / 2 -(0 6 1 / 2):2	14 1 / 2 -(9 6 1 / 2):2
0-(1 -2 1 / 2):2	1-(0 -2 1 / 2):2	-2 1 / 2 -(2 -2 1 / 2):2	0-(0 -2 1 / 2):2	1 / 2 -(0 -2 1 / 2):2	-1 1 / 2 -(9 -2 1 / 2):2
1: 2	0: 2	2: 2	0: 2	0: 2	9: 2

Получаем новую матрицу:

3 / 4	0	0	1	-1 1 / 2	-14 3 / 4
1 1 / 4	1	0	0	1 / 2	9 3 / 4
1 / 2	0	1	0	0	4 1 / 2

Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (4,2,3).
Соответствующие уравнения имеют вид:
3 / 4 x 1 + x 4 - 1 1 / 2 x 5 = -14 3 / 4
1 1 / 4 x 1 + x 2 + 1 / 2 x 5 = 9 3 / 4
1 / 2 x 1 + x 3 = 4 1 / 2
Выразим базисные переменные через остальные:
x 4 = - 3 / 4 x 1 + 1 1 / 2 x 5 -14 3 / 4
x 2 = - 1 1 / 4 x 1 - 1 / 2 x 5 +9 3 / 4
x 3 = - 1 / 2 x 1 +4 1 / 2
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = - x 1 - 2(- 1 1 / 4 x 1 - 1 / 2 x 5 +9 3 / 4) + 2(- 1 / 2 x 1 +4 1 / 2)
или

Система неравенств:
- 3 / 4 x 1 + 1 1 / 2 x 5 -14 3 / 4 ≥ 0
- 1 1 / 4 x 1 - 1 / 2 x 5 +9 3 / 4 ≥ 0
- 1 / 2 x 1 +4 1 / 2 ≥ 0
Приводим систему неравенств к следующему виду:
3 / 4 x 1 - 1 1 / 2 x 5 ≤ -14 3 / 4
1 1 / 4 x 1 + 1 / 2 x 5 ≤ 9 3 / 4
1 / 2 x 1 ≤ 4 1 / 2
F(X) = 1 / 2 x 1 + x 5 -10 1 / 2 → max
Упростим систему.
3 / 4 x 1 - 1 1 / 2 x 2 ≤ -14 3 / 4
1 1 / 4 x 1 + 1 / 2 x 2 ≤ 9 3 / 4
1 / 2 x 1 ≤ 4 1 / 2
F(X) = 1 / 2 x 1 + x 2 -10 1 / 2 → max

Пример №2 . Найдите сначала графическим методом, а затем симплекс-методом решение задачи
F(X) = x 1 + x 2 - x 3 + x 5 +15 → max (min) при ограничениях:
-3x 1 + x 2 + x 3 =3
4x 1 + 2x 2 - x 4 =12
2x 1 - x 2 + x 5 =2
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0

Графический метод решения ЗЛП основан на утверждениях, приведенных в пункте 2.1. Согласно теореме 2, оптимальное решение находится в вершине области допустимых решений и поэтому решить ЗЛП – найти вершину области допустимых решений, координаты которой дают оптимальное значение целевой функции.

Графический метод используют для решения ограниченного класса задач с двумя переменными, иногда с тремя переменными. Надо заметить, что для трех переменных эта область является недостаточно наглядной.

Алгоритм графического метода решения злп

Реализацию графического метода решения ЗЛП рассмотрим на примерах.

Пример 2.2.1. Решить ЗЛП графическим методом:

(2.2.1)

max z =x 1 + 4x 2 (2.2.2)

Решение. Для построения области допустимых решений, которая состоит из пересечения полуплоскостей, соответствующих каждому неравенству системы ограничений (2.2.1), запишем уравнения граничных прямых:

l 1: x 1 + 5x 2 = 5; l 2: x 1 + x 2 = 6; l 3: 7x 1 + x 2 = 7.

l 1 к виду (2.2.3.) разделим обе его части на 5:
. Таким образом, прямаяl 1 отсекает на оси Ох 1 5 единиц, на оси Ох 2 1 единицу. Аналогично имеем для l 2:
иl 3:
.

Для определения полуплоскостей, которые отвечают ограничениям системы (2.2.1), в ограничения нужно подставить координаты какой-либо точки, не лежащей на граничной прямой. Если получим верное неравенство, то все точки из этой полуплоскости являются решениями данного неравенства. В противном случае выбирают другую полуплоскость.

Таким образом, первая и вторая искомые полуплоскости расположены в противоположную сторону от начала координат (0 – 5·0– 5; 7·0 + 07), а вторая – в сторону начала координат (0 + 06). Область допустимых решений на рисунке 2.2.1 заштрихована.

Рисунок 2.2.1 – Область допустимых решений

Для нахождения оптимального плана, который будет находиться в вершине многоугольника решений, нужно построить вектор направлений
=(с 1 ,с 2), который указывает направление наибольшего возрастания целевой функцииz =с 1 х 1 +с 2 х 2 .

В данной задаче вектор направлений
= (1, 4): он начинается в точкеО (0,0) и заканчивается в точкеN (1, 4).

Далее строим прямую, которая проходит через область допустимых решений, перпендикулярно к вектору , и называетсялинией уровня целевой функции. Передвигаем линию уровня в направлении векторав случае максимизации целевой функцииz и в направлении противоположном, в случае минимизацииz , до последнего пересечения с областью допустимых решений. В результате определяется точка или точки, где целевая функция достигает экстремального значения, или устанавливается неограниченность целевой функцииz на множестве решений задачи.

Таким образом, точкой максимума целевой функции z является точкаА пересечения прямыхl 2 иl 3 .

Для вычисления оптимального значения целевой функции z найдем координаты точки А. Поскольку точка А – это точка пересечения прямых l 2 и l 3 , то ее координаты удовлетворяют системе уравнений, составленной из уравнений соответствующих граничных прямых:

Таким образом, точка А имеет координаты x 1 =1/6, x 2 = 35/6.

Для вычисления оптимального значения целевой функции нужно подставить в нее координаты точки А.

Подставив координаты точки А в целевую функцию (2.4), получим

max z = 1/6 + 4·(35/6) = 47/2.

Пример 2.2.2. Построить на плоскости область допустимых решений системы линейных неравенств (2.2.4) и найти наибольшее и наименьшее значения целевой функции (2.2.5):

(2.2.4)

z = –2x 1 –x 2 (2.2.5)

Решение. Для построения области допустимых решений, которая состоит из пересечения полуплоскостей, соответствующих каждому неравенству системы ограничений (2.2.4), запишем уравнения граничных прямых:

l 1: 4x 1 – x 2 = 0; l 2: x 1 + 3x 2 = 6; l 3: x 1 – 3x 2 = 6; l 4: x 2 = 1.

Прямая l 1 проходит через точку с координатами (0;0). Для ее построения выразим x 2 через x 1: x 2 = 4x 1 . Найдем еще одну точку, через которую проходит прямая l 1 , например (1;4). Через точку с координатами (0;0) и точку с координатами (1;4) проведем прямую l 1 .

Для приведения уравнения прямой l 2 к виду в отрезках на осях (2.2.3) разделим обе его части на 6:
. Таким образом, прямаяl 2 отсекает на оси Ох 1 6 единиц, на оси Ох 2 - 2 единицы. Аналогично имеем для l 3:
и Прямаяl 4 параллельна оси Ох 1 и проходит через точку с координатами (0;1) .

Для определения полуплоскостей, которые отвечают ограничениям системы (2.2.4) в ограничения нужно подставить координаты какой-либо точки, не лежащей на граничной прямой. В силу ограничений х 1 0, х 2 0, область допустимых решений ЗЛП лежит в первой четверти координатной плоскости.

О
бласть допустимых решений на рисунке 2.2.2 заштрихована.

Рисунок 2.2.2 – Область допустимых решений

Построим вектор направлений
= (–2,–1). Далее строим линию уровня, перпендикулярно к вектору.

Для нахождения наибольшего значения целевой функции передвигаем линию уровня в направлении вектора до последнего пересечения с областью допустимых решений. Таким образом, точкой максимума целевой функцииz является точкаА (пересечение прямыхl 1 иl 2).

Для вычисления оптимального значения целевой функции z найдем координаты точкиА . Поскольку точкаА – это точка пересечения прямыхl 1 иl 2 , то ее координаты удовлетворяют системе уравнений, составленной из уравнений соответствующих граничных прямых:

Таким образом, точка А имеет координаты x 1 =6/13, x 2 = 24/13.

Подставив координаты точки А в целевую функцию (2.2.5), получим оптимальное значение целевой функции

max z = – 2·(6/13) – (24/13) = – 36/13.

Для нахождения наименьшего значения целевой функции передвигаем линию уровня в направлении, противоположном вектору до последнего пересечения с областью допустимых решений. В этом случае целевая функция неограниченна в области допустимых решений, т.е. ЗЛП минимума не имеет.

В результате решения ЗЛП возможны следующие случаи:

Целевая функция достигает оптимального значения в единственной вершине многоугольника решений;

Целевая функция достигает оптимальное значение в любой точке ребра многоугольника решений (ЗЛП имеет альтернативные опорные планы с одинаковыми значениями z);

ЗЛП не имеет оптимальных планов;

ЗЛП имеет оптимальный план в случае неограниченной области допустимых решений.

Решение задачи линейного программирования (ЗЛП) графическим методом

Общая постановка злп

Найти значения n переменных x 1 , x 2 , …,x n , доставляющих экстремум (минимум или максимум) линейной функции Z=C 1 x 1 ,+ C 2 x 2+…+ C n x n

и одновременно удовлетворяющих m ограничениям вида

a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 +…+a 1,n x n £ =≥b 1 ,

a 2,1 x 1 +a 2,2 x 2 +…+a 2,n x n £ = ≥b 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,

a m,1 x 1 +a m,2 x 2 +…+a m,n x n £ = ≥b m ,

при заданных a i,j , b i, C j (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n). Знак отношения может принимать любое из трех приведенных значений.

Пример задачи линейного программирования

Рассмотрим следующую задачу. Менеджер предприятия, изготавливающего два вида красок, описал исследователю операций ситуацию, сложившуюся на производстве и рынке сбыта красок. Оказалось, что фабрика изготавливает два вида красок: для внутренних и внешних работ. Обе краски поступают в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта – А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов 6 и 8 тонн соответственно. Опыт показал, что суточный спрос на внешнюю краску никогда не превышает спрос на внутреннюю более чем на 1 тонну. Кроме того, установлено, что спрос на внешнюю краску никогда не превышает 2 тонны в сутки. Оптовые цены одной тонны красок сложились следующим образом: 3 тысячи рублей на внешнюю краску и 2 тысячи рублей – на внутреннюю. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации был максимальным?

Чтобы решить поставленную перед исследователем задачу, сначала необходимо разработать математическую модель описанной ситуации.

При построении математической модели специалист по исследованию операций ставит перед собой три вопроса.

• Для каких величин должна быть построена модель? Иначе говоря, нужно идентифицировать переменные задачи.
• Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?
• В чем состоит цель, для достижения которой из всех возможных (допустимых) значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

Введем переменные:

x 1 – суточный объем производства внешней краски (в тоннах),

x 2 – суточный объем производства внутренней краски (в тоннах).

Учитывая оптовые цены на тонну каждого вида краски, суточный доход от продажи произведенной продукции задается линейной целевой функцией Z = 3x 1 + 2x 2 .

Целью производства является получение максимальной прибыли, значит, необходимо найти значения x 1 и x 2 , которые максимизируют целевую функцию Z.

Поскольку производитель красок не может распорядиться значениями переменных произвольным образом, постольку необходимо выделить множество возможных значений этих переменных, которое определяется конкретными условиями производства и сбыта. Это множество называется областью допустимых значений.

Первый тип ограничений определяется запасами продуктов А и В, из которых производятся краски. Из технологии производства известно, что на производство тонны внешней краски идут две части продукта А, а на тонну внутренней – одна часть. Для продукта В соотношение обратное. Эти технологические условия описываются неравенствами

2x 1 + x 2 £ 6 (на складе 6 тонн продукта А),

x 1 + 2x 2 £ 8 (на складе 8 тонн продукта В).

Последние два ограничения означают очевидное обстоятельство: нельзя использовать для производства красок больше продуктов А и В, чем их имеется фактически на складе.

Ситуация с реализацией красок на рынке приводит к следующим ограничениям: x 1 – x 2 £ 1 (внешней краски реализуется не более, чем на одну тонну больше внутренней), x 1 £ 2 (внешней краски продается не более двух тонн в день).

Суммируя все сказанное, можно математическую модель, описывающую сложившуюся производственную ситуацию, задать в следующей форме:

найти ® max{ Z=2× x 1 + 3× x 2 } при следующих ограничениях на значения переменных x 1 и x 2

2 × x 1 + x 2 £ 6 ограничение (1),

X 1 + 2 × x 2 £ 8 ограничение (2),

X 1 - x 2 £ 1 ограничение (3),

X 1 £ 2 ограничение (4)

и требование неотрицательности переменных x 1 ³ 0 (5), x 2 ³ 0 (6).

Полученная математическая модель представляет собой задачу линейного программирования.

Графический метод решения злп

Графический метод решения злп может быть реализован только в двумерном случае.

Математическая модель, полученная для сформулированной типовой задачи, требует исследования, так как заранее не известно, имеет ли она (как математическая задача) решение. Исследование проведем с использованием графических построений. Одновременно с таким исследованием найдем (если оно есть) и решение.

1 этап. Построение области допустимых решений

Цель – построить область, каждая точка которой удовлетворяет всем ограничениям.

Каждое из шести ограничений геометрически задает полуплоскость. Для того, чтобы ее построить, нужно:

• · заменить в ограничении знак неравенства на равенство (получим уравнение прямой);

• · построить прямую по двум точкам;

• · определить, какую полуплоскость задает знак неравенства. Для этого подставить в неравенство какую-нибудь точку (например, начало координат). Если она удовлетворяет неравенству – закрашиваем полуплоскость, ее содержащую.

Такие действия выполняем для всех ограничений. Каждую из прямых обозначим номерами, принятыми при нумерации ограничений (см. рис).

Областью допустимых решений (удовлетворяющей всем ограничениям) является множество точек первого квадранта координатной плоскости (x 1 , x 2), представляющее собой пересечение всех полуплоскостей, определяемых неравенствами ограничений.

Множество точек, удовлетворяющих всем шести ограничениям задачи – многоугольник AFEDCB.

2 этап Построение линий уровня целевой функции и определение точки максимума

Цель - найти в построенном многоугольнике A FEDCB точку, в которой функция цели Z=2x 1 + 3x 2 принимает максимальное значение.

Проведем прямую 2x 1 + 3x 2 = Сonst (линию уровня) так, чтобы она пересекала многоугольник AFEDCB (например, Const=10). Эта линия уровня на рисунке изображена пунктирной линией.

Если рассматривать значения линейной целевой функции Z на множестве точек (x 1 ,x 2), принадлежащих отрезку пунктирной прямой, расположенному внутри шестиугольника, то все они равны одному и тому же значению (Const=10).

Определим направление возрастания функции. Для этого построим линию уровня с бОльшим значением. Это будет прямая, параллельная с построенной, но расположенная правее. Значит, в заданном направлении значение целевой функции возрастает, и в наших интересах сдвинуть ее как можно дальше в этом направлении.

Сдвиг можно продолжать до тех пор, пока перемещаемая прямая пересекает многоугольник допустимых решений. Последнее положение прямой, когда она имеет одну общую точку с многоугольником AFEDCB (точка С), соответствует максимальному значению целевой функции Z и достигается в точке С с координатами x 1 = 4/3 (» 1.333), x 2 =10/3 (» 3.333). При этом Z = 38/3 (» 12.667).

Поставленная задача полностью решена. Из проведенных геометрических рассуждений видно, что решение единственное. Сделаем некоторые обобщения, вытекающие из геометрической интерпретации задачи.

Первое . Область допустимых решений – выпуклый многоугольник (Почему выпуклый? Может ли область допустимых решений представлять собой пустое множество? Точку? Отрезок? Луч? Прямую? Если да, приведите пример системы ограничений ).

Второе . Максимум целевой функции достигается в вершине многоугольника допустимых решений (а может ли быть не единственное решение? Может ли решения не быть? )

Задание 1 (выполнить на занятии, показать преподавателю)

Решить графическим методом

А) F =2 x 1 +3 x 2 è max При ограничениях x 1 +3 x 2 ≤ 18 2 x 1 + x 2 ≤ 16 x 2 ≤ 5 3 x 1 ≤ 21 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0	B ) F =4 x 1 +6 x 2 è min При ограничениях 3 x 1 + x 2 ≥ 9 x 1 +2 x 2 ≥ 8 x 1 +6x 2 ≥ 12 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0
C ) F =3 x 1 +3 x 2 è max При ограничениях x 1 +x 2 ≤ 8 2x 1 -x 2 ≥ 1 x 1 -2x 2 ≤ 2 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0	D ) F =2 x 1 -3 x 2 è min При ограничениях x 1 +x 2 ≥ 4 2x 1 -x 2 ≥ 1 x 1 -2x 2 ≤ 1 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0

A) x1=6 x2=4 F=24

B) x1=2 x2=3 F=26

C) x1Î x2=8-x1 F=24

Задание 2 (выполнить на занятии, показать преподавателю)

Ответить на вопросы, выделенные курсивом.

Задание 3 (домашнее)

Написать программу.

Дан текстовый файл вида

2 3 (коэффициенты целевой функции)

4 (количество ограничений)

2 2 12 (ограничения)

1 2 8

4 0 16

0 4 12

Построить прямые так, чтобы многоугольник допустимых решений был целиком на экране (определение масштаба см. в кн. Онегова). Прямые могут быть параллельны осям!

Построить несколько линий уровня целевой функции (нажимаем клавишу – прямая перемещается, отображается значение целевой функции). Отобразить масштаб.