В музее 16 залов расположенных как показано. I (школьный) етап Всероссийской математической олимпиады с решениями и критериями

1. Вася может получить число 100, используя десять троек, скобки и знаки арифметических действий:

100 = (33: 3 — 3: 3) · (33: 3 — 3: 3)

Улучшите его результат: используйте меньшее число троек и получите число 100.

(Достаточно привести один пример ).

2. Разрежьте фигуру на 3 равные части.

3. Как отмерить 8 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л?

(8 л воды должно получиться в одном ведре).

4. Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?

(Напишите решение задачи, а не только ответ ).

5. В музее 16 залов, расположенных как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б.

a) Обозначьте крестиками все залы, в которых висят картины.

б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б), но при этом в каждом зале побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите, что большее количество залов он посмотреть не мог.

История русского государства в XIV-XVI веках. Продолжение. В предыдущей части знакомились с .

1.Образование единого Российского государства в XIV-XVI веков
2.Русская культура XIV- начала XVI веков
3.Русский город и деревня XV–XVII веков
4.Ремесло и торговля XVI–XVII веков

История русского государства в XIV-XVI веках. Зал 13
Образование единого Российского государства в XIV-XVI веках

(Борьба Руси с иноземными захватчиками. Объединение русских земель).

Этот зал называется «Московским» – он посвящен возвышению Московского княжества в XIV–XV вв. и образованию единого Российского государства.

В композицию росписи свода включены орнаментальные мотивы со знаменитой шапки Мономаха.




Шапка, впервые упомянутая в духовной грамоте (завещании) Ивана Калиты (1341 г.), была важнейшей регалией русских князей и царей, символом российского самодержавия.
На стенах зала воспроизведены фризы и колонки, украшавшие храмы Московского княжества: Успенского собора Кремля и собора Спаса на Городке в Звенигороде.


Над выходом из зала – картина художников В.Н.Сигорского и Н.П.Смоляка «Московский Кремль в начале XVI века», написанная в 1947 году к 800-летию Москвы. На ней Кремль изображён таким, каким он мог быть в начале XVI века. Картину написали по результатам изучения археологических и письменных источников, относящихся ко времени возвышения Москвы.


Экспозиция зала делится на два больших раздела, расположенных друг напротив друга и тем самым символизирующих историческое противостояние Руси и Золотой Орды, постепенное возвышение и укрепление одной и упадок и распад другой.

Одна из витрин посвящена Куликовской битве. Ключевой экспонат – кольчуга, найденная на Куликовом поле. Весит она 10,3 кг, состоит из 3000 колец.

Найти на поле средневековой битвы какое-либо оружие или амуницию почти невозможно. Металл был дорог, все железные предметы собирали и сразу вывозили, чтобы отремонтировать или перековать “мечи на орала”. Находка этой кольчуги – большая удача археологов.
Куликовская битва стала важнейшим историческим событием не только XIV века, но и всего русского средневековья. До неё русские люди считали татар непобедимыми, а иго – наказанием Божьим за грехи. Куликовская битва не защитила русские княжества от набегов, но способствовала поднятию духа всей Руси: с врагом бороться можно и нужно, его можно одолеть.

На другой стороне центральной витрины показаны остатки дубового Кремля Ивана Калиты. Это фрагменты Восьмигранной башни. Возвышение Москвы начиналось со строительства “града дубова”.

Панно с панорамой Кремля и видом Красной площади пока ещё без выглядит очень эффектно. Примерно так выглядел берег Москва-реки и площадь в первой половине XVI века.

В витринах 1-2 представлен знаменитый Симферопольский клад.

318 предметов из золота, серебра и драгоценных камней общим весом 2584 грамм были обнаружены при земляных работах недалеко от Симферополя в 60-е годы ХХ века. В состав клада входит серебряная пайцза хана Кельдибека (XIV в.)
Пайцза – это особый знак татарского чиновника-баскака, облечённого властью. Хан выдавал пайцзу своим приближённым.
На стене представлена икона митрополита Алексия – выдающегося церковного деятеля XIV века.
Интересен и так называемый “Большой Сион”. Это ковчег, выполненный в форме православного храма в княжение Ивана III. Такой же ковчег есть в .

Зал 14
Русская культура XIV- начала XVI веков. История русского государства в XIV-XVI веках

Основные темы рассказа: культура, Москва – преемница Киева, иконопись.


Ключевой экспонат этого зала – резные деревянные врата из храма, построенного над захоронением героев Куликовской битвы.

ЦАРСКИЕ ВРАТА. Россия XVI век. Дерево, левкас, темпера, резьба, золочение, серебрение. Реконстуркция XIX века. Из церкви Рождества Богородицы с.Монастырщино Тульской области.

Деревянный храм в в XIX веке пришёл в ветхость, его разобрали, возвели новую каменную церковь, а царские врата перенесли в Москву. Врата представляют собой высокохудожественное произведение русских резчиков. Издалека кажется, что они сделаны из металла.
На экспозиции есть древний летописный свод. Это рукописная книга, включившая в себя наиболее известные русские летописи. (Фото добавлю позже).

В центральной витрине находится пелена – прекрасный образец древнерусского лицевого шитья. Древнее шитьё весьма чувствительно к свету, поэтому здесь по очереди выставляют различные пелены из собрания ГИМ. Следует обращать внимание на этикетку.

ЕВХАРИСТИЯ С ЖИТИЯМИ БОГОМАТЕРИ, ИОАКИМА И АННЫ. Пелена запрестольная, “Суздальский воздух”, Москва, 1410-1416гг. Тафта, прядение, серебряные и золотые ните, шитьё “в раскол и прикреп”.

Основная тема рассказа – о технике вышивки – в расщеп (когда игла раскалывала, расщепляла нить предыдущего стежка) и в прикреп – когда стежки золотой или серебряной нити закрепляли шёлковой нитью.
В соседней витрине представлены рукописные книги, посвящённые Куликовской битве – «Задонщина» и «Сказание о Мамаевом побоище».

Белокаменные детали колонн происходят из Кремля, из старого государева дворца, предположительно построенного при Иване III. На общем снимке зала их видно в углах рядом с боковыми окнами.


Несколько резных белокаменных деталей находятся у стены слева и справа от арки, где помещается икона “Ветхозаветная Троица”

Зал 15
Русский город и русская деревня XV–XVII веках. Феодальные отношения в Российском государстве. История русского государства в XIV-XVI веках

При входе в зал в глаза сразу бросается в глаза большая решётка у правой стены. Она происходит из Новодвинской крепости – это пример защитного сооружения. Новодвинскую крепость построили для защиты Архангельска в начале XVIII века по образу “градов” XVII века.


Это последняя в России крепость, возведённая по образу Кремля, окружённая стенами с башнями. Позже так уже не строили, ведь развитие артиллерии сделало крепостные стены совершенно бесполезными.
Колокол у решётки отлит немецкими мастерами, он происходит из .
В этом зале представлены слюдяные окна. Московия была богата слюдой, недаром латинское название слюды звучит как “мусковит”. Однако даже у нас слюда была дорогим материалом. Такие окна могла использовать лишь знать и, может быть, купцы гостиной сотни.

Все дома строго делились на женскую и мужскую половины. В витрине справа от решётки представлены личные вещи рачительного хозяина дома.


В центре витрины – рубаха, которую носил глава семейства. Такую рубаху должна была сшить его жена. Приличная женщина не могла себе позволить, чтобы её муж ходил в рубахе, сшитой другой женщиной.

В этой же витрине есть выносной ковш для угощения гостей.


Здесь же экспонируется экземпляр “Домостроя”. Это книга о том, как следует вести хозяйство в хорошем, добром доме, что нужно делать, чтобы содержать дом, жену, воспитывать детей. Глава семьи сам читал её вслух по вечерам своим домашним.

Слева от решётки находится витрина с женскими вещами.

Самый любопытный предмет – это платье богатой женщины. Его нашли при сносе китайгородской стены. Обнаружили тайник, а в нём было только это платье. Видимо, эту вещь украли и спрятали. Затем с вором что-то могло случиться и он не забрал краденое, поэтому в тайнике оказалось только одно это платье.

Уникальность этого платья в том, что женской одежды допетровского времени почти не сохранилось. В платье сделан разрез для пояса. С одной стороны правила предписывали женщине подпоясываться, носить пояс. С другой – надевать просторную одежду, чтобы не было видно всех изгибов фигуры. Поэтому подпоясывали нижнюю одежду, а верхняя была просторной.

В этой же витрине рядом с платьем (см.верхнее фото) представлен головной убор замужней женщины. Его название никто не знает. Но это не волосник. Волосники представлены в .
Здесь же есть и колыбель, а над колыбелью – рожок. Его использовали чтобы поить грудного ребёнка. Этот рожок украшен, он одновременно служил для кормления и был первой игрушкой младенца.


В другой витрине показана кубышка. Это глиняный сосуд в котором хранили, собирали копейки. На одну копейку можно было купить 10 яиц или пуд огурцов в августе.

Зал 16.
Ремесло и торговля XVI–XVII веков. История русского государства в XIV-XVI веках

В этом зале представлена реконструкция части дома. В XVII веке на Руси появляются европейские обычаи. Поэтому в реконструкции поместили стул, хотя на Руси сидели на лавках. В XVI-XVII веках стул -это всегда “немного трон”. Мебель, на которой может сидеть только один человек, показывала особый статус этого человека. Здесь же находится картина на библейский сюжет – суд царя Соломона. Однако картина в средневековой Руси – вещь из ряда вон выходящая. У нас не было традиции украшать дом картинами. Шкаф сделал русский мастер, он напоминает сундук.

Диковинная посуда – потешные кубки. Такой посудой не пользовались, держали в доме для престижа. Интересен кубок с мельницей наверху. Такой кубок, если в него наливали вино, нельзя было поставить – только выпить. Когда человек выпивал этот кубок его наливали вновь. Очень скоро гость напивался, становился весёлым и мог поиграть в этот же кубок: у него есть носик, в него возможно дули и колесо мельницы вращалось.

Часы на Руси были предметом роскоши. Здесь представлены часы в виде золотой коробочки. Стрелки у них непоодвижны, а циферблат, наоборот, вращается.
Солонка. Соль всегда была предметом роскоши, поэтому для дорогого продукта употребляли дорогую посуду. С пира можно было уйти «не солоно хлебавши». Соль добывали достаточно трудоёмким способом, залежи соли в России открыли довольно поздно.

В этом зале представлена реконструкция солеварни. В старину это было важнейшее предприятие после, пожалуй, литейного пушечного двора.

В отдельных местах солёные воды подходили достаточно близко к поверхности земли. Люди научились добывать соль, роя колодцы и откачивая естественный рассол. Его подавали по деревянным желобам и отстаивали в деревянных же резервуарах-отстойниках. Когда концентрация рассола повышалась, соль выпаривали или, по старорусски “вываривали” на огне. На нижнем фото слева внизу видны выварочные подносы. Отсюда происходят названия мест добычи соли – соляные варницы.


На Руси кушанья никогда не солили целиком. Каждый отдельно подсаливал своё блюдо. Солонки предавали друг другу, с тех времён сохранилась примета, что если рассыпать соль – это к ссоре. Сохранились и пословицы о соли.
В одной из витрин также выставлены пряничные доски разных размеров.
Светильник наверху сделан по образцу храмовых паникадил XVII века.

В остальных витринах выставлены вещи, которые рассказывают о других ремёслах. Ниже представлены работы кузнецов: замки, топоры, сундучки, шорников: седло. В центре витрины представлена драгоценная посуда – стопы, ковши, чарки работы русских златокузнецов.


Среди них – производство тканей,

сапожное дело, производство обуви,


гончарное ремесло и “ценинное”, т.е. изразцовое дело.

«Оценка плюс пример Оценка плюс пример это специальное математическое рассуждение, которое применяется в некоторых задачах на...»

И. В. Яковлев | Материалы по математике | MathUs.ru

Оценка плюс пример

Оценка плюс пример это специальное математическое рассуждение, которое применяется в некоторых задачах на нахождение наибольших или наименьших значений. Суть этого

рассуждения лучше всего уяснить на конкретных примерах.

Задача 1. Какое наибольшее число трёхклеточных уголков можно вырезать из клетчатого

квадрата 8 8?

Решение. В квадрате 64 клетки. Поэтому вырезать 22 и более уголков не получится: ведь тогда суммарное число клеток в них будет не меньше 22 · 3 = 66. Значит, число уголков не больше 21 (оценка).

Вырезать 21 уголок можно пример приведён на рисунке.

Следовательно, наибольшее возможное количество уголков равно 21.

Логика рассуждения ясна: мы показали, что количество уголков не превосходит числа 21 (оценка) и иногда ему равно (пример). Значит, 21 и есть максимум числа уголков.

Задача 2. Каким наименьшим числом монет в 3 и 5 копеек можно набрать сумму 37 копеек?

Решение. Если число монет не превосходит семи, то сумма окажется не более 7·5 = 35 копеек.

Поэтому семи и менее монет нам не хватит.

Предположим, что монет восемь. Все они не могут быть пятикопеечными (8 · 5 = 40). Семь пятикопеечных монет и одна трёхкопеечная дают в сумме 38 копеек. Если же пятикопеечных монет не более шести, то сумма не превосходит 6·5+2·3 = 36 копеек. Значит, восемью монетами набрать 37 копеек также не получается.

Итак, монет должно быть не менее девяти. Приведём пример подходящего набора из девяти монет: пять пятикопеечных и четыре трёхкопеечных (5 · 5 + 4 · 3 = 37).

Следовательно, наименьшее возможное число монет равно девяти.

Обратите внимание: вы никому не обязаны объяснять, как вы додумались до примера! При записи решения пример достаточно просто привести. Описывать, из каких соображений ваш пример построен, не нужно.

1. Какое наибольшее число трёхклеточных уголков можно вырезать из клетчатого прямоугольника 5 7?

2. (Покори Воробьёвы горы!, 2016, 5–6.1) На экскурсию в Санкт-Петербург едут 30 школьников вместе с родителями, часть из которых ведут автомобили. В каждый из автомобилей помещается 5 человек, включая водителя. Какое наименьшее количество родителей необходимо пригласить на экскурсию?

3. (Всеросс., 2014, I этап, 5.4) Белоснежка вошла в комнату, где вокруг круглого стола стояло 30 стульев. На некоторых из стульев сидели гномы. Оказалось, что Белоснежка не может сесть так, чтобы рядом с ней никто не сидел. Какое наименьшее число гномов могло быть за столом? (Объясните, как должны были сидеть гномы и почему, если бы гномов было меньше, Белоснежка нашла бы стул, рядом с которым никто не сидит).

4. (Покори Воробьёвы горы!, 2016, 5–6.5; 7–8.4; 9.2) Найдите наибольшее натуральное число, которое невозможно представить в виде суммы двух составных чисел.

5. (Всеросс., 2014, I этап, 6–7.5) В музее 16 залов, расположенных как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами зал со скульптурами зал с картинами и т. д. Осмотр начинается в зале A, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б.

a) Обозначьте крестиками все залы, в которых висят картины.

б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б), но при этом в каждом зале побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите, что большее количество залов он посмотреть не мог.

6. (Математический праздник, 2008, 6.2) Зайчиха купила для своих семерых зайчат семь барабанов разных размеров и семь пар палочек разной длины. Если зайчонок видит, что у него и барабан больше, и палочки длиннее, чем у кого-то из братьев, он начинает громко барабанить.

Какое наибольшее число зайчат сможет начать барабанить?

7. Какое наименьшее число клеток на доске 8 8 можно закрасить так, чтобы была хотя бы одна закрашенная клетка: а) в любом квадратике 2 2; б) в любом уголке из трёх клеток?

8. На какое наибольшее количество разных (по форме или площади) прямоугольников можно разрезать прямоугольник 5 6 клеток? Резать можно только по линиям сетки.

9. (Математический праздник, 1991, 6.2) Электрик был вызван для ремонта гирлянды из четырёх соединённых последовательно лампочек, одна из которых перегорела. На вывинчивание любой лампочки из гирлянды уходит 10 секунд, на завинчивание 10 секунд. Время, которое тратится на другие действия, мал. За какое наименьшее время электрик заведомо может о найти перегоревшую лампочку, если у него есть одна запасная лампочка?

10. (Математический праздник, 2016, 6.3) Равносторонний треугольник со стороной 8 разделили на равносторонние треугольнички со стороной 1 (см. рисунок). Какое наименьшее количество треугольничков надо закрасить, чтобы все точки пересечения линий (в том числе и те, что по краям) были вершинами хотя бы одного закрашенного треугольничка?

11. (Математический праздник, 1990, 5.3) 48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Какое наименьшее время они затратят на работу, если каждый кузнец тратит на одну подкову пять минут? (Лошадь не может стоять на двух ногах.) 12. (Покори Воробьёвы горы!, 2017, 5–6.4) У Маши есть 2 кг конфет Ласточка, 3 кг конфет Трюфель, 4 кг конфет Птичье молоко и 5 кг конфет Цитрон. Какое наибольшее количество новогодних подарков она может составить, если каждый подарок должен содержать 3 различных типа конфет, по 100 грамм каждого?

13. (Курчатов, 2017, 6.4) Алексей написал на доске несколько последовательных натуральных чисел. Оказалось, что лишь у двух из написанных чисел сумма цифр делится на 8: у наименьшего и у наибольшего. Какое максимальное количество чисел могло быть написано на доске?

14. (Математический праздник, 2015, 6.5) Обезьяна становится счастливой, когда съедает три разных фрукта. Какое наибольшее количество обезьян можно осчастливить, имея 20 груш, 30 бананов, 40 персиков и 50 мандаринов? Обоснуйте свой ответ.

15. (Математический праздник, 2014, 6.5) Мама испекла пирожки три с рисом, три с капустой и один с вишней и выложила их на блюдо по кругу (см. рисунок). Потом поставила блюдо в микроволновку подогреть. На вид все пирожки одинаковые. Маша знает, как они лежали, но не знает, как повернулось блюдо. Она хочет съесть пирожок с вишней, а остальные считает невкусными.

Как Маше наверняка добиться этого, надкусив как можно меньше невкусных пирожков?

16. (Математический праздник, 2006, 6.5) Дед звал внука к себе в деревню: Вот посмотришь, какой я необыкновенный сад посадил! У меня там растёт четыре груши, а ещё есть яблони, причём они посажены так, что на расстоянии 10 метров от каждой яблони растёт ровно две груши. Ну и что тут интересного, ответил внук. У тебя всего две яблони. А вот и не угадал, улыбнулся дед. Яблонь у меня в саду больше, чем груш. Нарисуйте, как могли расти яблони и груши в саду у деда. Постарайтесь разместить на рисунке как можно больше яблонь, не нарушая условий. Если Вы думаете, что разместили максимально возможное число яблонь, попробуйте объяснить, почему это так.

–  –  –

18. (Математический праздник, 2012, 6.5) Замените в равенстве ПИРОГ = КУСОК + КУСОК + КУСОК +... + КУСОК одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные разными так, чтобы равенство было верным, а количество кусков пирога было бы наибольшим из возможных.

19. (Московская устная олимпиада, 2014, 6.5) На клетчатой доске размером 4 4 Петя закрашивает несколько клеток. Вася выиграет, если сможет накрыть все эти клетки не пересекающимися и не вылезающими за границу квадрата уголками из трёх клеток. Какое наименьшее количество клеток должен закрасить Петя, чтобы Вася не выиграл?

20. (Математический праздник, 2013, 6.6) Тридцать три богатыря нанялись охранять Лукоморье за 240 монет. Хитрый дядька Черномор может разделить богатырей на отряды произвольной численности (или записать всех в один отряд), а затем распределить всё жалованье между отрядами. Каждый отряд делит свои монеты поровну, а остаток отдаёт Черномору.

Какое наибольшее количество монет может достаться Черномору, если:

а) жалованье между отрядами Черномор распределяет как ему угодно;

б) жалованье между отрядами Черномор распределяет поровну?

21. (Московская устная олимпиада, 2013, 6.6) Для игры в шляпу Надя хочет разрезать лист бумаги на 48 одинаковых прямоугольников. Какое наименьшее количество разрезов ей придется сделать, если любые куски бумаги можно перекладывать, но нельзя сгибать, а Надя способна резать одновременно сколько угодно слоёв бумаги? (Каждый разрез прямая линия от края до края куска.) 22. (Московская устная олимпиада, 2015, 6.6) Из одинакового количества квадратов со сторонами 1, 2 и 3 составьте квадрат наименьшего возможного размера.

23. (Московская устная олимпиада, 2008, 6.6) Найдите наибольшее число цветов, в которые можно покрасить рёбра куба (каждое ребро одним цветом) так, чтобы для каждой пары цветов нашлись два соседних ребра, покрашенные в эти цвета. Соседними считаются рёбра, имеющие общую вершину.

24. (Московская устная олимпиада, 2006, 6.6) Выступая на арене с 10 львами и 15 тиграми, дрессировщик Паша потерял над ними контроль, и звери начали пожирать друг друга. Лев насытится, если съест трёх тигров, а тигр если съест двух львов. Определите, какое наибольшее количество хищников могло насытится и как это могло произойти.

25. (Московская устная олимпиада, 2013, 6.7) В пять горшочков, стоящих в ряд, Кролик налил три килограмма мёда (не обязательно в каждый и не обязательно поровну). Винни-Пух может взять любые два горшочка, стоящие рядом. Какое наибольшее количество мёда сможет гарантированно съесть Винни-Пух?

26. (Московская устная олимпиада, 2012, 6.7) Пятизначное число называется неразложимым, если оно не раскладывается в произведение двух трёхзначных чисел. Какое наибольшее количество неразложимых пятизначных чисел может идти подряд?

27. (Московская устная олимпиада, 2002, 6.7) Каждое из 50 изделий нужно сначала покрасить, а потом упаковать. Время окраски 10 минут, паковки 20 минут. После окраски деталь должна 5 минут сохнуть. Сколько необходимо нанять маляров и сколько упаковщиков, чтобы выполнить работу в кратчайшее время, если нельзя нанимать более 10 человек?

28. (Московская устная олимпиада, 2017, 6–7.8) В каждой клетке доски размером 5 5 стоит крестик или нолик, причём никакие три крестика не стоят подряд ни по горизонтали, ни по вертикали, ни по диагонали. Какое наибольшее количество крестиков может быть на доске?

29. (Математический праздник, 1993, 6.8) В спортклубе тренируются 100 толстяков весом от 1 до 100 кг. На какое наименьшее число команд их можно разделить так, чтобы ни в одной команде не было двух толстяков, один из которых весит вдвое больше другого?

30. (Московская устная олимпиада, 2016, 6.9) В магазине продают коробки конфет. Среди них есть не менее пяти коробок разной цены (никакие две из них не стоят одинаково). Какие бы две коробки ни купил Вася, Петя всегда сможет также купить две коробки, потратив столько же денег. Какое наименьшее количество коробок конфет должно быть в продаже?

31. (Московская устная олимпиада, 2012, 6.9) План дворца шаха это квадрат размером 66, разбитый на комнаты размером 1 1. В середине каждой стены между комнатами есть дверь.

Шах сказал своему архитектору: Cломай часть стен так, чтобы все комнаты стали размером 2 1, новых дверей не появилось, а путь между любыми двумя комнатами проходил не более, чем через N дверей. Какое наименьшее значение N должен назвать шах, чтобы приказ можно было выполнить?

32. (ММО, 1989, 7) В тёмной комнате на полке в беспорядке лежат 4 пары носков двух разных размеров и двух разных цветов. Какое наименьшее число носков необходимо, не выходя из комнаты, переложить с полки в чемодан, чтобы в нем оказались две пары различного размера и цвета?

33. (Ломоносов, 2012, 7–8.1) Электронные часы показывают время в стандартном формате (например, 20:27). Найдите наибольшее возможное значение произведения цифр на таких часах.

34. (Ломоносов, 2014, 7.2) Найдите наименьшее целое n 3, при котором не существует выпуклого n-угольника, каждый внутренний угол которого составляет чётное число градусов.

35. (Покори Воробьёвы горы!, 2014, 7.2) Найдите наименьшее возможное значение выражения |2015m5 2014n4 | при условии, что m, n натуральные числа.

36. (Математический праздник, 1997, 7.2) В Мексике экологи добились принятия закона, по которому каждый автомобиль хотя бы один день в неделю не должен ездить (владелец сообщает полиции номер автомобиля и выходной день недели этого автомобиля). В некоторой семье все взрослые желают ездить ежедневно (каждый по своим делам!). Сколько автомобилей (как минимум) должно быть в семье, если взрослых в ней а) 5 человек?

б) 8 человек?

37. (ММО, окружной тур, 2008, 7.3) Новогодняя гирлянда, висящая вдоль школьного коридора, состоит из красных и синих лампочек. Рядом с каждой красной лампочкой обязательно есть синяя. Какое наибольшее количество красных лампочек может быть в этой гирлянде, если всего лампочек 50?

38. (Курчатов, 2014, 7.4) Из десяти различных цифр составили два трёхзначных и одно четырёхзначное число. Эти три числа перемножили. На какое наибольшее число нулей может оканчиваться произведение?

39. (Ломоносов, 2013, 7.4) Блоха прыгает по числовой прямой, причём длина каждого прыжка не может быть меньше n. Она начинает своё движение из начала координат и хочет побывать во всех целых точках, принадлежащих отрезку (и только в них!) ровно по одному разу.

При каком наибольшем значении n это у неё получится?

40. (Ломоносов, 2012, 7.4) На выборах в городской совет за 7 партий было отдано 22410 голосов. Одна из партий получила больше голосов, чем каждая из остальных. Какое наименьшее число голосов она могла получить?

41. (Московская устная олимпиада, 2005, 7.4) Каркас куба с рёбрами длины 1 намазан мёдом.

В вершине куба находится жук. Какой минимальный путь он должен проползти, чтобы съесть весь мёд?

42. (Турнир Архимеда, 2012.5) В мешке лежат золотые монеты дублоны, дукаты и пиастры, одинаковые на ощупь. Если из мешка вынуть 10 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дублон; если вынуть 9 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дукат; если же вынуть 8 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один пиастр. Какое наибольшее количество монет могло быть в мешке?

43. (Всеросс., 2014, II этап, 7.5) В сумме +1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 можно вычеркивать любые слагаемые и изменять некоторые знаки перед оставшимися числами с + на. Маша хочет таким способом сначала получить выражение, значение которого равно 1, затем, начав сначала, получить выражение, значение которого равно 2, затем (снова начав сначала) получить 3, и так далее. До какого наибольшего целого числа ей удастся это сделать без пропусков?

44. (Математический праздник, 2003, 7.5) В честь праздника 1% солдат в полку получил новое обмундирование. Солдаты расставлены в виде прямоугольника так, что солдаты в новом обмундировании оказались не менее чем в 30% колонни не менее чем в 40% шеренг. Какое наименьшее число солдат могло быть в полку?

45. (Турнир Архимеда, 2014.6) Незнайка переставил цифры в некотором числе A и получил число B. Затем он вычислил разность A B и получил при этом число, записанное с помощью одних единиц (другие цифры не использовались). Какое наименьшее число могло у него получиться?

46. (Математический праздник, 2005, 7.6) На острове Невезения с населением 96 человек правительство решило провести пять реформ. Каждой реформой недовольна ровно половина всех граждан. Гражданин выходит на митинг, если он недоволен более чем половиной всех реформ.

Какое максимальное число людей правительство может ожидать на митинге? (Приведите пример и докажите, что больше нельзя.) 47. (Математический праздник, 2008, 7.6) Вася постоял некоторое время на остановке. За это время проехал один автобус и два трамвая. Через некоторое время на эту же остановку пришёл Шпион. Пока он там сидел, проехало 10 автобусов. Какое минимальное число трамваев могло проехать за это время? И автобусы, и трамваи ходят с равными интервалами, причём автобусы ходят с интервалом 1 час.

48. (Математический праздник, 2012, 7.6) Победив Кащея, потребовал Иван золота, чтобы выкупить Василису у разбойников. Привел его Кащей в пещеру и сказал:

В сундуке лежат золотые слитки. Но просто так их унести нельзя: они заколдованы. Переложи себе в суму один или несколько. Потом я переложу из сумы в сундук один или несколько, но обязательно другое число. Так мы будем по очереди перекладывать их: ты в суму, я в сундук, каждый раз новое число. Когда новое перекладывание станет невозможным, сможешь унести свою суму со слитками.

Какое наибольшее число слитков может унести Иван, как бы ни действовал Кащей, если в сундуке исходно лежит а) 13; б) 14 золотых слитков? Как ему это сделать?

49. (Математический праздник, 2010, 7.6) Легко разместить комплект кораблей для игры в Морской бой на доске 1010 (см. рисунок). А на какой наименьшей квадратной доске можно разместить этот комплект? (Напомним, что согласно правилам корабли не должны соприкасаться даже углами.) 50. (Математический праздник, 2013, 7.6) Лиса Алиса и кот Базилио вырастили на дереве 20 фальшивых купюр и теперь вписывают в них семизначные номера. На каждой купюре есть 7 пустых клеток для цифр. Базилио называет по одной цифре 1 или 2 (других он не знает), а Алиса вписывает названную цифру в любую свободную клетку любой купюры и показывает результат Базилио.

Когда все клетки заполнены, Базилио берет себе как можно больше купюр с разными номерами (из нескольких с одинаковым номером он берет лишь одну), а остаток забирает Алиса.

Какое наибольшее количество купюр может получить Базилио, как бы ни действовала Алиса?

51. (Ломоносов, 2015, 7.6) Найдите наибольшее возможное значение

–  –  –

если известно, что x и y взаимно простые числа.

52. (Ломоносов, 2012, 7.7) Для какого наименьшего числа n можно отметить на плоскости n точек так, что найдутся три квадрата, все вершины которых отмеченные точки?

53. (Покори Воробьёвы горы!, 2015, 7.7) Числа 1, 2,..., 2016 разбили на пары, при этом оказалось, что произведение чисел в каждой паре не превосходит некоторого натурального N.

При каком наименьшем N это возможно?

54. (Московская устная олимпиада, 2014, 7.9) На окружности отмечены 2014 точек. В одной из них сидит кузнечик, который делает прыжки по часовой стрелке либо на 57 делений, либо на 10. Известно, что он посетил все отмеченные точки, сделав наименьшее количество прыжков длины 10. Какое?

Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике Информацию об этапах Всероссийской олимпиады по математике смотрите на сайте http://vos.olimpiada.ru/ 5 класс 1. Вася может...

Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике Информацию об этапах Всероссийской олимпиады по математике смотрите на сайте http://vos.olimpiada.ru/ 5 класс 1. Вася может получить число 100, используя десять двоек, скобки и знаки арифметических действий:)2:22:22()2:22:22(100  . Улучшите его результат: используйте меньшее число двоек и получите число 100. (Достаточно привести один пример). 2. Разрежьте фигуру на 3 равные части. 3. Как отмерить 8 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (8 л воды должно получиться в одном ведре). 4. Белоснежка вошла в комнату, где вокруг круглого стола стояло 30 стульев. На некоторых из стульев сидели гномы. Оказалось, что Белоснежка не может сесть так, чтобы рядом с ней никто не сидел. Какое наименьшее число гномов могло быть за столом? (Объясните, как должны были сидеть гномы и почему, если бы гномов было меньше, Белоснежка на

Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике Информацию об этапах Всероссийской олимпиады по математике смотрите на сайте http://vos.olimpiada.ru/ 5 класс 1. Вася может получить число 100, используя десять двоек, скобки и знаки арифметических действий:)2:22:22()2:22:22(100  . Улучшите его результат: используйте меньшее число двоек и получите число 100. (Достаточно привести один пример). 2. Разрежьте фигуру на 3 равные части. 3. Как отмерить 8 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (8 л воды должно получиться в одном ведре). 4. Белоснежка вошла в комнату, где вокруг круглого стола стояло 30 стульев. На некоторых из стульев сидели гномы. Оказалось, что Белоснежка не может сесть так, чтобы рядом с ней никто не сидел. Какое наименьшее число гномов могло быть за столом? (Объясните, как должны были сидеть гномы и почему, если бы гномов было меньше, Белоснежка нашла бы стул, рядом с которым никто не сидит). 5. Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа? (Напишите решение задачи, а не только ответ). Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике Информацию об этапах Всероссийской олимпиады по математике смотрите на сайте http://vos.olimpiada.ru/ 5 класс 1. Вася может получить число 100, используя десять двоек, скобки и знаки арифметических действий:)2:22:22()2:22:22(100  . Улучшите его результат: используйте меньшее число двоек и получите число 100. (Достаточно привести один пример). 2. Разрежьте фигуру на 3 равные части. 3. Как отмерить 8 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (8 л воды должно получиться в одном ведре). 4. Белоснежка вошла в комнату, где вокруг круглого стола стояло 30 стульев. На некоторых из стульев сидели гномы. Оказалось, что Белоснежка не может сесть так, чтобы рядом с ней никто не сидел. Какое наименьшее число гномов могло быть за столом? (Объясните, как должны были сидеть гномы и почему, если бы гномов было меньше, Белоснежка нашла бы стул, рядом с которым никто не сидит). 5. Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа? (Напишите решение задачи, а не только ответ).

Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике Информацию об этапах Всероссийской олимпиады по математике смотрите на сайте http://vos.olimpiada.ru/ 6 класс 1. Вася может получить число 100, используя десять троек, скобки и знаки арифметических действий:)3:33:33()3:33:33(100  . Улучшите его результат: используйте меньшее число троек и получите число 100. (Достаточно привести один пример). 2. Разрежьте фигуру на 3 равные части. 3. Как отмерить 2 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (2 л воды должны получиться в одном ведре). 4. Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа? (Напишите решение задачи, а не только ответ). 5. В музее 16 залов, расположенных как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б. a) Обозначьте крестиками все залы, в которых висят картины. б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б), но при этом в каждом зале побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите, что большее количество залов он посмотреть не мог. Б А Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике Информацию об этапах Всероссийской олимпиады по математике смотрите на сайте http://vos.olimpiada.ru/ 6 класс 1. Вася может получить число 100, используя десять троек, скобки и знаки арифметических действий:)3:33:33()3:33:33(100  . Улучшите его результат: используйте меньшее число троек и получите число 100. (Достаточно привести один пример). 2. Разрежьте фигуру на 3 равные части. 3. Как отмерить 2 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (2 л воды должны получиться в одном ведре). 4. Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа? (Напишите решение задачи, а не только ответ). 5. В музее 16 залов, расположенных как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б. a) Обозначьте крестиками все залы, в которых висят картины. б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б), но при этом в каждом зале побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите, что большее количество залов он посмотреть не мог. Б А

Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике Информацию об этапах Всероссийской олимпиады по математике смотрите на сайте http://vos.olimpiada.ru/ 7 класс 1. Вася может получить число 100, используя десять семерок, скобки и знаки арифметических действий:)7:77:77()7:77:77(100  . Улучшите его результат: используйте меньшее число семерок и получите число 100. (Достаточно привести один пример). 2. На часах половина девятого. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками? (Ответ обоснуйте). 3. Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное. а) Напишите какое-нибудь зеркальное пятизначное число, которое делится на 5. б) Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5? 4. Саша, Лёша и Коля одновременно стартовали в забеге на 100 м. Когда Саша финишировал, Лёша находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Лёша - Коля находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Саша и Коля, когда Саша финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.) 5. В музее 16 залов, расположенных как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б. а) Обозначьте крестиками все залы, в которых висят картины. б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б) так, чтобы в каждом зале побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите, что большее количество залов он посмотреть не мог. Б А Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике Информацию об этапах Всероссийской олимпиады по математике смотрите на сайте http://vos.olimpiada.ru/ 7 класс 1. Вася может получить число 100, используя десять семерок, скобки и знаки арифметических действий:)7:77:77()7:77:77(100  . Улучшите его результат: используйте меньшее число семерок и получите число 100. (Достаточно привести один пример). 2. На часах половина девятого. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками? (Ответ обоснуйте). 3. Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное. а) Напишите какое-нибудь зеркальное пятизначное число, которое делится на 5. б) Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5? 4. Саша, Лёша и Коля одновременно стартовали в забеге на 100 м. Когда Саша финишировал, Лёша находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Лёша - Коля находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Саша и Коля, когда Саша финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.) 5. В музее 16 залов, расположенных как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б. а) Обозначьте крестиками все залы, в которых висят картины. б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б) так, чтобы в каждом зале побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите, что большее количество залов он посмотреть не мог. Б А

Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике Информацию об этапах Всероссийской олимпиады по математике смотрите на сайте http://vos.olimpiada.ru/ 8 класс 1. Замените в выражении 2223 *)()2( xx звездочку (*) на одночлен так, чтобы после возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых получилось четыре слагаемых. 2. Каково отношение площади закрашенной части к белой (вершины всех квадратов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон)? 3. Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное. а) Напишите какое-нибудь зеркальное пятизначное число, которое делится на 5. б) Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5? 4. Саша, Лёша и Коля одновременно стартовали в забеге на 100 м. Когда Саша финишировал, Лёша находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Лёша - Коля находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Саша и Коля, когда Саша финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.) 5. Петя разрезал бумажный параллелепипед 2х1 по его ребрам и получил развертку. Потом Дима отрезал один квадратик от этой развертки, и осталось девять квадратиков, как на рисунке. Где мог быть отрезанный квадратик? Нарисуйте полную развертку и отметьте на ней отрезанный квадратик. (Достаточно привести один правильный вариант развертки). 6. Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых? Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике Информацию об этапах Всероссийской олимпиады по математике смотрите на сайте http://vos.olimpiada.ru/ 8 класс 1. Замените в выражении 2223 *)()2( xx звездочку (*) на одночлен так, чтобы после возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых получилось четыре слагаемых. 2. Каково отношение площади закрашенной части к белой (вершины всех квадратов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон)? 3. Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное. а) Напишите какое-нибудь зеркальное пятизначное число, которое делится на 5. б) Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5? 4. Саша, Лёша и Коля одновременно стартовали в забеге на 100 м. Когда Саша финишировал, Лёша находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Лёша - Коля находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Саша и Коля, когда Саша финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.) 5. Петя разрезал бумажный параллелепипед 2х1 по его ребрам и получил развертку. Потом Дима отрезал один квадратик от этой развертки, и осталось девять квадратиков, как на рисунке. Где мог быть отрезанный квадратик? Нарисуйте полную развертку и отметьте на ней отрезанный квадратик. (Достаточно привести один правильный вариант развертки). 6. Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых?

Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике Информацию об этапах Всероссийской олимпиады по математике смотрите на сайте http://vos.olimpiada.ru/ 9 класс 1. Замените в выражении 2324 *)()3( xx звездочку (*) на одночлен так, чтобы после возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых получилось четыре слагаемых. 2. Каково отношение площади закрашенной части к белой (вершины всех квадратов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон)? 3. Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное. Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5? 4. Вася задумал два числа. Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Вася? 5. Петя разрезал бумажный параллелепипед 2х1 по его ребрам и получил развертку. Потом Дима отрезал один квадратик от этой развертки, и осталось девять квадратиков, как на рисунке. Где мог быть отрезанный квадратик? Нарисуйте полную развертку и отметьте на ней отрезанный квадратик. (Достаточно привести один правильный вариант развертки). 6. Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых? Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике Информацию об этапах Всероссийской олимпиады по математике смотрите на сайте http://vos.olimpiada.ru/ 9 класс 1. Замените в выражении 2324 *)()3( xx звездочку (*) на одночлен так, чтобы после возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых получилось четыре слагаемых. 2. Каково отношение площади закрашенной части к белой (вершины всех квадратов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон)? 3. Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное. Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5? 4. Вася задумал два числа. Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Вася? 5. Петя разрезал бумажный параллелепипед 2х1 по его ребрам и получил развертку. Потом Дима отрезал один квадратик от этой развертки, и осталось девять квадратиков, как на рисунке. Где мог быть отрезанный квадратик? Нарисуйте полную развертку и отметьте на ней отрезанный квадратик. (Достаточно привести один правильный вариант развертки). 6. Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых?

Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике Информацию об этапах Всероссийской олимпиады по математике смотрите на сайте http://vos.olimpiada.ru/ 10-11 класс 1. Если число 10 100 записать в виде суммы десяток (10+10+10+…), то сколько получится слагаемых? 2. Каково отношение площади закрашенной части к белой (вершины всех квадратов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон)? 3. Вася задумал два числа. Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Вася? 4. Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых? 5. Постройте график функции 22)1()( ххy . 6. В четырехугольнике диагонали перпендикулярны. В него можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Можно ли утверждать, что это квадрат? Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике Информацию об этапах Всероссийской олимпиады по математике смотрите на сайте http://vos.olimpiada.ru/ 10-11 класс 1. Если число 10 100 записать в виде суммы десяток (10+10+10+…), то сколько получится слагаемых? 2. Каково отношение площади закрашенной части к белой (вершины всех квадратов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон)? 3. Вася задумал два числа. Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Вася? 4. Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых? 5. Постройте график функции 22)1()( ххy . 6. В четырехугольнике диагонали перпендикулярны. В него можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Можно ли утверждать, что это квадрат?

Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике 5 класс. Краткие решения. 1. Вася может получить число 100, используя десять двоек, скобки и знаки арифметических действий:)2:22:22()2:22:22(100  . Улучшите его результат: используйте меньшее число двоек и получите число 100. (Достаточно привести один пример). Решение. Например: 1) 2:222:222100  , 2))2222()2222(100  . Есть и другие решения. 2. Разрежьте фигуру на 3 равные части. Решение. Смотри рисунок. 3. Как отмерить 8 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (8 л воды должно получиться в одном ведре). Решение. Запишем в виде таблицы последовательность наполнения ведер: Ведро вместимостью 10 л Ведро вместимостью 6 л Комментарий Сначала 0 л 0 л 1 шаг 10 л 0 л Первое ведро наполнили из реки 2 шаг 4 л 6 л Перелили из первого ведра во второе до его наполнения 3 шаг 4 л 0 л Вылили из второго в реку 4 шаг 0 л 4 л Перелили из первого ведра во второе 5 шаг 10 л 4 л Первое ведро наполнили из реки 6 шаг 8 л 6 л Перелили из первого ведра во второе до его наполнения

4. Белоснежка вошла в комнату, где вокруг круглого стола стояло 30 стульев. На некоторых из стульев сидели гномы. Оказалось, что Белоснежка не может сесть так, чтобы рядом с ней никто не сидел. Какое наименьшее число гномов могло быть за столом? (Объясните, как должны были сидеть гномы и почему, если бы гномов было меньше, был бы стул, рядом с которым никто не сидит). Ответ. 10. Решение. Если за столом в каком-нибудь месте было бы три свободных стула подряд, то Белоснежка смогла бы сесть так, чтобы рядом с ней никто не сидел. Значит, какие бы три подряд идущих стула мы не взяли, по крайней мере, на одном из них должен сидеть гном. Так как всего стульев 30, то меньше, чем 10 гномов быть не может. Покажем, что рассадить 10 гномов так, чтобы выполнялось условие задачи можно: посадим гномов через два стула: на первый стул, на четвертый стул, на седьмой и т.д. Тогда условие задачи будет выполнено. 5. Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа? Ответ. 90 шагов. Решение. 1 способ. Назовем расстояние, равное 3 шагам Маши и 5 шагам Яши, шагом Великана. Пока Великан делает один шаг, Маша и Яша делают вместе 8 шагов. Так как они сделали вместе 400 шагов, то Великан за это время сделал бы 400:8=50 великанских шагов. Если Великан сделал 50 шагов, то Маша сделала 150 шагов. Посчитаем теперь их «пятерками». 150 - это 30 раз по 5 шагов. Значит, папа сделал 30 раз по 3 шага, то есть 90 шагов. 2 способ. Пока Маша делает 1553  шагов, папа делает 933  шагов, а Яша делает 2555  шагов. Вместе за это время Маша и Яша сделают 15+25=40 шагов. А пока они сделают 400 шагов, папа сделает тоже в 10 раз больше шагов, т.е. 90109  шагов.

5 класс. Рекомендации по проверке. Каждая задача оценивается из 7 баллов. Каждая оценка – целое число от 0 до 7. Ниже приведены некоторые указания к проверке. Естественно, всех случаев составители предвидеть не могут. При оценке решения нужно исходить из того, является ли приведенное решение в целом верным (хотя, может быть, и с недостатками) – тогда решение оценивается не менее чем в 4 балла. Или оно неверное (хотя, может быть, и с существенными продвижениями) – в этом случае оценка должна быть не выше 3 баллов. Задача 1. Любой верный пример – 7 баллов. Два или несколько примеров, среди которых есть верные и неверные – 5 баллов. Задача 2. Верное разрезание – 7 баллов. Обоснования не требуются. Разрезание на неравные фигуры равной площади – 2 балла. Задача 3. Правильный алгоритм – 7 баллов. Разумные продвижения, например, отмерено 4 л – до 3 баллов. Задача 4. Полное решение – 7 баллов. Приведен пример рассадки и есть рассуждения, почему меньше гномов быть не может с некоторыми пробелами – 5-6 баллов. Дан верный пример рассадки, но не объяснено, почему меньше гномов быть не может – 3 балла. Дан ответ, объяснено, почему меньше гномов быть не может. Но как сидят гномы не объяснено – 3 балла. Только ответ – 1 балл. Задача 5. Полное решение – 7 баллов. Решение на рисунке (по клеточкам и т.п.) без достаточных объяснений – 4-5 баллов. Верное решение с арифметической ошибкой – 4 балла. Только ответ – 0 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике 6 класс. Краткие решения. 1. Вася может получить число 100, используя десять троек, скобки и знаки арифметических действий:)3:33:33()3:33:33(100  . Улучшите его результат: используйте меньшее число троек и получите число 100. (Достаточно привести один пример). Решение. Например: 1) 3:333:333100  , 2) 3:3333100  . Есть и другие решения. 2. Разрежьте фигуру на 3 равные части. Решение. Смотри рисунок. 3. Как отмерить 2 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (2 л воды должно получиться в одном ведре). Решение. Запишем в виде таблицы последовательность наполнения ведер: Ведро вместимостью 10 л Ведро вместимостью 6 л Комментарий Сначала 0 л 0 л 1 шаг 10 л 0 л Первое ведро наполнили из реки 2 шаг 4 л 6 л Перелили из первого ведра во второе до его наполнения 3 шаг 4 л 0 л Вылили из второго ведра в реку 4 шаг 0 л 4 л Перелили из первого ведра во второе 5 шаг 10 л 4 л Первое ведро наполнили из реки 6 шаг 8 л 6 л Перелили из первого ведра во второе до его наполнения 7 шаг 8 л 0 л Вылили из второго ведра в реку 8 шаг 2 л 6 л Перелили из первого ведра во второе до его наполнения

4. Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа? Ответ. 90 шагов. Решение. 1 способ. Назовем расстояние, равное 3 шагам Маши и 5 шагам Яши, шагом Великана. Пока Великан делает один шаг, Маша и Яша делают вместе 8 шагов. Так как они сделали вместе 400 шагов, то Великан за это время сделал бы 400:8=50 великанских шагов. Если Великан сделал 50 шагов, то Маша сделала 150 шагов. Посчитаем теперь их «пятерками». 150 - это 30 раз по 5 шагов. Значит, папа сделал 30 раз по 3 шага, то есть 90 шагов. 2 способ. Пока Маша делает 1553  шагов, папа делает 933  шагов, а Яша делает 2555  шагов. Вместе за это время Маша и Яша сделают 15+25=40 шагов. А пока они сделают 400 шагов, папа сделает тоже в 10 раз больше шагов, т.е. 90109  шагов. В музее 16 залов, расположенных, как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине – скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б. a) Обозначьте крестиками все залы, в которых висят картины. Решение. Смотри рисунок. б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б), но при этом в каждом зале побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите, что большее количество залов он посмотреть не мог. Ответ. 15. Решение. Один из возможных маршрутов показан на рисунке. Докажем, что если турист хочет побывать в каждом зале не больше одного раза, он не сможет посмотреть больше, чем 15 залов. Заметим, что маршрут начинается в зале с картинами (А) и заканчивается в зале с картинами (Б). Значит, число залов с картинами, которые прошел турист на один больше числа залов со скульптурами. Так как залов с картинами, которые мог пройти турист не больше 8, то залов со скульптурами – не больше 7. Итак, маршрут не может проходить больше чем через 15 залов. Б А Х Х Х Х Х ХХ Х Б А Б А

6 класс. Рекомендации по проверке. Каждая задача оценивается из 7 баллов. Каждая оценка – целое число от 0 до 7. Ниже приведены некоторые указания к проверке. Естественно, всех случаев составители предвидеть не могут. При оценке решения нужно исходить из того, является ли приведенное решение в целом верным (хотя, может быть, и с недостатками) – тогда решение оценивается не менее чем в 4 балла. Или оно неверное (хотя, может быть, и с существенными продвижениями) – в этом случае оценка должна быть не выше 3 баллов. Задача 1. Любой верный пример – 7 баллов. Два или несколько примеров, среди которых есть верные и неверные – 5 баллов. Задача 2. Верное разрезание – 7 баллов. Обоснования не требуются. Разрезание на неравные фигуры равной площади – 2 балла. Задача 3. Правильный алгоритм – 7 баллов. Разумные продвижения, например, отмерено 8 л – до 3 баллов. Задача 4. Полное решение – 7 баллов. Решение на рисунке (по клеточкам и т.п.) без достаточных объяснений – 4-5 баллов. Верное решение с арифметической ошибкой – 4 балла. Только ответ – 0 баллов. Задача 5. а) Верное решение – 1 балл. б) Приведен пример верного маршрута (конечно, не обязательно такого, как в решении выше) и доказано, что маршрут не может быть длиннее – 6 баллов. Приведен пример верного маршрута, но не доказано, что маршрут не может быть длиннее – 2 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике 7 класс. Краткие решения. 1. Вася может получить число 100, используя десять семерок, скобки и знаки арифметических действий:)7:77:77()7:77:77(100  . Улучшите его результат: используйте меньшее число семерок и получите число 100. (Достаточно привести один пример). Решение. Например: 1) 7:777:777100  , 2) 7:77:77777100  . Есть и другие решения. 2. На часах половина девятого. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками? Ответ. 750 . Решение. В момент, когда часы показывают половину девятого, минутная стрелка указывает на цифру 6, а часовая на середину дуги между цифрами 8 и 9 (см. рисунок). Если из центра часов провести два луча к соседним цифрам циферблата, то между ними будет угол 3600:12=300 . Угол между стрелками часов, когда они показывают половину девятого, в два с половиной раза больше. Следовательно, он равен 750 . 3. Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное. а) Напишите какое-нибудь зеркальное пятизначное число, которое делится на 5. б) Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5? а) Решение. Любое зеркальное число, оканчивающееся на 5. Например, 51715. б) Ответ. 100. Решение. Число, которое делится на 5, должно оканчиваться на 5 или на 0. Зеркальное число оканчиваться на 0 не может, так как тогда оно должно на 0 начинаться. Итак, первая и последняя цифры - это 5. Вторая и третья цифра могут быть любыми – от сочетания 00 до сочетания 99 – всего 100 вариантов. Так как четвертая цифра повторяет вторую, всего различных чисел будет 100. 4. Саша, Лёша и Коля одновременно стартовали в забеге на 100 м. Когда Саша финишировал, Лёша находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Лёша - Коля находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Саша и Коля, когда Саша финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.) Ответ. 19 м. Решение. Скорость Коли составляет 0,9 от скорости Лёши. В момент, когда Саша финишировал, Лёша пробежал 90 м, а Коля 81909,0  м. Следовательно, расстояние между Сашей и Колей было 19 м. 12 9 8 6 О9 8

5. В музее 16 залов, расположенных, как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине – скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б. a) Обозначьте крестиками все залы, в которых висят картины. Решение. Смотри рисунок. б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б), но при этом в каждом зале побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите, что большее количество залов он посмотреть не мог. Ответ. 15. Решение. Один из возможных маршрутов показан на рисунке. Докажем, что если турист хочет побывать в каждом зале не больше одного раза, он не сможет посмотреть больше, чем 15 залов. Заметим, что маршрут начинается в зале с картинами (А) и заканчивается в зале с картинами (Б). Значит, число залов с картинами, которые прошел турист на один больше числа залов со скульптурами. Так как залов с картинами, которые мог пройти турист не больше 8, то залов со скульптурами – не больше 7. Итак, маршрут не может проходить больше чем через 15 залов. Х Х Х Х Х ХХ Х Б А Б А

7 класс. Рекомендации по проверке. Каждая задача оценивается из 7 баллов. Каждая оценка – целое число от 0 до 7. Ниже приведены некоторые указания к проверке. Естественно, всех случаев составители предвидеть не могут. При оценке решения нужно исходить из того, является ли приведенное решение в целом верным (хотя, может быть, и с недостатками) – тогда решение оценивается не менее чем в 4 балла. Или оно неверное (хотя, может быть, и с существенными продвижениями) – в этом случае оценка должна быть не выше 3 баллов. Задача 1. Любой верный пример – 7 баллов. Два или несколько примеров, среди которых есть верные и неверные – 5 баллов. Задача 2. Верное решение – 7 баллов. Верный ответ с недостаточно полными обоснованиями – 5 баллов. Неверный из-за арифметической ошибки ответ, кратный 150 , при верном в целом решении – 3 балла. Только ответ – 1 балл. Задача 3. а) Любой верный пример числа – 2 балла. б) Верное обоснованное решение – 5 баллов. Частично верные рассуждения при неверном ответе – до 1-2 балла. Только верный ответ – 0 баллов. Задача 4. Полное решение – 7 баллов. Найдено сколько пробежал Коля, но не найдено расстояние между Сашей и Колей – 5 баллов. Есть существенное продвижение, например, найдены отношения скоростей бегунов – 2-3 балла. Только ответ – 0 баллов. Задача 5. а) Верное решение – 1 балл. б) Приведен пример верного маршрута (конечно, не обязательно такого, как в решении выше) и доказано, что маршрут не может быть длиннее – 6 баллов. Приведен пример верного маршрута, но не доказано, что маршрут не может быть длиннее – 2 баллов.

Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике 8 класс. Краткие решения. 1. Замените в выражении 2223 *)()2( xx звездочку (*) на одночлен так, чтобы после возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых получилось четыре слагаемых. Решение. Заменим звездочку (*) на 2х:  2223)2()2(xxx  23436 4444 xxxxx 44 246  xxx 2. Каково отношение площади закрашенной части к белой? (Вершины всех квадратов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон). Ответ. 5:3. Решение. Рассмотрим «четвертинку» данного рисунка (на рисунке взята верхняя правая «четвертинка»). Разобьем закрашенную область на равные треугольники как показано на рисунке. Закрашенная область состоит из пяти равных треугольников, а белая область – из трех таких же равных треугольников. Отношение площадей: 5:3. 3. Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное. а) Напишите какое-нибудь зеркальное пятизначное число, которое делится на 5. б) Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5? а) Решение. Любое зеркальное число, оканчивающееся на 5. Например, 51715. б) Ответ. 100. Решение. Число, которое делится на 5, должно оканчиваться на 5 или на 0. Зеркальное число оканчиваться на 0 не может, так как тогда оно должно на 0 начинаться. Итак, первая и последняя цифры - это 5. Вторая и третья цифра могут быть любыми – от сочетания 00 до сочетания 99 – всего 100 вариантов. Так как четвертая цифра повторяет вторую, всего различных чисел будет 100. 4. Саша, Лёша и Коля одновременно стартуют в забеге на 100 м. Когда Саша финишировал, Лёша находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Лёша - Коля находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Саша и Коля, когда Саша финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.) Ответ. 19 м. Решение. Скорость Коли составляет 0,9 от скорости Лёши. В момент, когда Саша финишировал, Лёша пробежал 90 м, а Коля 81909,0  м. Следовательно, расстояние между Сашей и Колей было 19 м.

5. Петя разрезал бумажный параллелепипед 2х1 по его ребрам и получил развертку. Потом Дима отрезал один квадратик от этой развертки, и осталось девять квадратиков, как на рисунке. Где мог быть отрезанный квадратик? Нарисуйте полную развертку и отметьте на ней отрезанный квадратик. (Достаточно привести один правильный вариант развертки). Решение. Есть 5 вариантов места, где мог быть отрезанный квадратик: 6. Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых? Ответ. 4. Решение. Гномы, которые всегда говорят правду, подняли руку один раз, а гномы, которые всегда лгут, – два раза. Всего было поднято 16 рук (10+5+1). Если бы все гномы сказали правду, то было бы поднято 10 рук. Если одного правдивого гнома заменить на одного лгуна, то число поднятых рук увеличится на 1. Так как было поднято 6 «лишних» рук, то 6 гномов солгали, а 4 сказали правду.

8 класс. Рекомендации по проверке. Каждая задача оценивается из 7 баллов. Каждая оценка – целое число от 0 до 7. Ниже приведены некоторые указания к проверке. Естественно, всех случаев составители предвидеть не могут. При оценке решения нужно исходить из того, является ли приведенное решение в целом верным (хотя, может быть, и с недостатками) – тогда решение оценивается не менее чем в 4 балла. Или оно неверное (хотя, может быть, и с существенными продвижениями) – в этом случае оценка должна быть не выше 3 баллов. Задача 1. Верное решение – 7 баллов. Верно найден одночлен, верное решение с одной ошибкой (опиской) при возведении в квадрат – 4 балла. Найден одночлен, но не объяснено, почему он является решением – 2 балла. Задача 2. Верное решение – 7 баллов. Частично найдены площади входящих фигур – 2 балла. Только ответ – 0 баллов. Задача 3. а) Любой верный пример числа – 2 балла. б) Верное обоснованное решение – 5 баллов. Частично верные рассуждения при неверном ответе – до 1-2 балла. Только верный ответ – 0 баллов. Задача 4. Полное решение – 7 баллов. Найдено сколько пробежал Коля, но не найдено расстояние между Сашей и Колей – 5 баллов. Есть существенное продвижение, например, найдены отношения скоростей бегунов – 2-3 балла. Только ответ – 0 баллов. Задача 5. Один верный пример развертки – 7 баллов. Обоснование не требуется. Задача 6. Полное решение – 7 баллов. Верный ответ, полученный на конкретном примере – 2 балла.

Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике 9 класс. Краткие решения. 1. Замените в выражении 2324 *)()3( xx звездочку (*) на одночлен так, чтобы после возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых получилось четыре слагаемых. Решение. Заменим звездочку (*) на 3х:  2324)3()3(xxx  24648 9696 xxxxx 99 268  xxx 2. Каково отношение площади закрашенной части к белой? (Вершины всех квадратов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон). Ответ. 5:3. Решение. Рассмотрим «четвертинку» данного рисунка (на рисунке взята верхняя правая «четвертинка»). Разобьем закрашенную область на равные треугольники как показано на рисунке. Закрашенная область состоит из пяти равных треугольников, а белая область – из трех таких же равных треугольников. Отношение площадей: 5:3. 3. Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное. Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5? Ответ. 100. Решение. Число, которое делится на 5, должно оканчиваться на 5 или на 0. Зеркальное число оканчиваться на 0 не может, так как тогда оно должно на 0 начинаться. Итак, первая и последняя цифры - это 5. Вторая и третья цифра могут быть любыми – от сочетания 00 до сочетания 99 – всего 100 вариантов. Так как четвертая цифра повторяет вторую, всего различных чисел будет 100. 4. Вася задумал два числа. Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Вася? Ответ. 2 1 , 1 . Решение. Обозначим числа x и y. Тогда по условию задачи: y x xyyx  . Из уравнения y x xy  следует, что либо 0x и 0y , либо 12 y , а x – любой. При 0x из уравнения xyyx  следует, что 0y , противоречие. Из уравнения 12 y получаем, что либо 1y , либо 1y . При 1y решений у уравнения xyyx  нет, а при 1y из уравнения xyyx  получаем 2 1 x .

5. Петя разрезал бумажный параллелепипед 2х1 по его ребрам и получил развертку. Потом Дима отрезал один квадратик от этой развертки, и осталось девять квадратиков, как на рисунке. Где мог быть отрезанный квадратик? Нарисуйте полную развертку и отметьте на ней отрезанный квадратик. Достаточно привести один правильный вариант развертки. Решение. Есть 5 вариантов места, где мог быть отрезанный квадратик: 6. Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых? Ответ. 4. Решение. Гномы, которые всегда говорят правду, подняли руку один раз, а гномы, которые всегда лгут, – два раза. Всего было поднято 16 рук (10+5+1). Если бы все гномы сказали правду, то было бы поднято 10 рук. Если одного правдивого гнома заменить на одного лгуна, то число поднятых рук увеличится на 1. Так как было поднято 6 «лишних» рук, то 6 гномов солгали, а 4 сказали правду.

9 класс. Рекомендации по проверке. Каждая задача оценивается из 7 баллов. Каждая оценка – целое число от 0 до 7. Ниже приведены некоторые указания к проверке. Естественно, всех случаев составители предвидеть не могут. При оценке решения нужно исходить из того, является ли приведенное решение в целом верным (хотя, может быть, и с недостатками) – тогда решение оценивается не менее чем в 4 балла. Или оно неверное (хотя, может быть, и с существенными продвижениями) – в этом случае оценка должна быть не выше 3 баллов. Задача 1. Верное решение – 7 баллов. Верно найден одночлен, верное решение с одной ошибкой (опиской) при возведении в квадрат – 4 балла. Найден одночлен, но не объяснено, почему он является решением – 2 балла. Задача 2. Верное решение – 7 баллов. Частично найдены площади входящих фигур – 2 балла. Только ответ – 0 баллов. Задача 3. Верное обоснованное решение – 7 баллов. Частично верные рассуждения при неверном ответе – до 2-3 балла. Только верный ответ – 0 баллов. Задача 4. Полное решение – 7 баллов. Верный ход решения, верно найдено одно из чисел, арифметическая ошибка в последнем действии – 4 балла. Ответ с проверкой условия задачи, но без объяснения, почему пара чисел единственна – 3 балла. Только ответ – 0 баллов. Задача 5. Один верный пример развертки – 7 баллов. Обоснование не требуется. Задача 6. Полное решение – 7 баллов. Верный ответ, полученный на конкретном примере – 2 балла.

Всероссийская олимпиада школьников 2013-2014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике 10-11 класс. Краткие решения. 1. Если число 10 100 записать в виде суммы десяток (10+10+10+…), то сколько получится слагаемых? Ответ. 19 10 . Решение. 10 100 = 20 10 = 19 1010 . Значит, всего будет 19 10 слагаемых. 2. Каково отношение площади закрашенной области к белой? (Вершины всех квадратов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон). Ответ. 5:3. Решение. Рассмотрим «четвертинку» данного рисунка (на рисунке взята верхняя правая «четвертинка»). Разобьем закрашенную область на равные треугольники как показано на рисунке. Закрашенная область состоит из пяти равных треугольников, а белая область – из трех таких же равных треугольников. Отношение площадей: 5:3. 3. Вася задумал два числа. Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Вася? Ответ. 2 1 , 1 . Решение. Обозначим числа x и y. Тогда по условию задачи: y x xyyx  . Из уравнения y x xy  следует, что либо 0x и 0y , либо 12 y , а x – любой. При 0x из уравнения xyyx  следует, что 0y , противоречие. Из уравнения 12 y получаем, что либо 1y , либо 1y . При 1y решений у уравнения xyyx  нет, а при 1y из уравнения xyyx  получаем 2 1 x . 4. Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых? Ответ. 4. Решение. Гномы, которые всегда говорят правду, подняли руку один раз, а гномы, которые всегда лгут, – два раза. Всего было поднято 16 рук (10+5+1). Если бы все гномы сказали правду, то было бы поднято 10 рук. Если одного правдивого гнома заменить на одного лгуна, то число поднятых рук увеличится на 1. Так как было поднято 6 «лишних» рук, то 6 гномов солгали, а 4 сказали правду.

5. Постройте график функции 22)1()( ххy . Решение. Функция 22)1()( ххy определена при 0х. Преобразуем ее к виду 1 xxy . При 1х 12  xy , при 10  х 1y . График показан на рисунке: 6. В четырехугольнике диагонали перпендикулярны. В него можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Можно ли утверждать, что это квадрат? Ответ. Нельзя. Решение. Рассмотрим в окружности диаметр АС и перпендикулярную ему хорду ВD, не проходящую через центр (см. рисунок). Покажем, что четырехугольник АВСD удовлетворяет условию задачи. Для этого достаточно доказать, что в него можно вписать окружность. В окружности диаметр делит перпендикулярную ему хорду пополам, значит, в треугольнике ВАD высота является медианой и этот треугольник является равнобедренным: АВ=АD. Аналогично, СВ=СD. Так как суммы противоположных сторон четырехугольника АВСD равны, в него можно вписать окружность. Y Х 1 1 A C D B

10-11 класс. Рекомендации по проверке. Каждая задача оценивается из 7 баллов. Каждая оценка – целое число от 0 до 7. Ниже приведены некоторые указания к проверке. Естественно, всех случаев составители предвидеть не могут. При оценке решения нужно исходить из того, является ли приведенное решение в целом верным (хотя, может быть, и с недостатками) – тогда решение оценивается не менее чем в 4 балла. Или оно неверное (хотя, может быть, и с существенными продвижениями) – в этом случае оценка должна быть не выше 3 баллов. Задача 1. Верное решение – 7 баллов. Только ответ – 2 балла. Задача 2. Верное решение – 7 баллов. Частично найдены площади входящих фигур – 2 балла. Только ответ – 0 баллов. Задача 3. Полное решение – 7 баллов. Верный ход решения, верно найдено одно из чисел, арифметическая ошибка в последнем действии – 4 балла. Ответ с проверкой условия задачи, но без объяснения, почему пара чисел единственна – 2 балла. Только ответ – 0 баллов. Задача 4. Полное решение – 7 баллов. Верный ответ, полученный на конкретном примере – 2 балла. Задача 5. Верное решение – 7 баллов. Верно «сняты» знаки радикалов, но график частично не верен – 2-3 балла. В целом верный график, полученный «по точкам», без обоснования, почему график состоит из объединения отрезка и луча – 2 балла. Задача 6. Полное решение – 7 баллов. Верный пример фигуры, но не доказано одно из свойств (вписанность, описанность или перпендикулярность диагоналей) – 3 балла. Верная «картинка» – 1 балл.

Задачи (с критериями) к олимпиаде по математике 6 класс

Учитель математики МБОУ СОШ №15 г.Мичуринска

Летуновская Е.Н.

Как отмерить 2 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (2 л воды должны получиться в одном ведре ).

Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа? (Напишите решение задачи, а не только ответ ).

В музее 16 залов, расположенных как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б.

б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б), но при этом в каждом зале побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите

1 . Вася может получить число 100, используя десять троек, скобки и знаки арифметических действий: 100 = (33:3 – 3:3) (33: 3 – 3:3). Улучшите его результат: используйте меньшее число троек и получите число 100. (Достаточно привести один пример ).

Решение. Например: 1) 100 = 333:3 – 33:3 , 2) 100 = 33 3 + 3:3 . Есть и другие решения.

2. Разрежьте фигуру на 3 равные части.

Решение. Смотри рисунок.

3. Как отмерить 2 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (2 л воды должно получиться в одном ведре).

Решение. Запишем в виде таблицы последовательность наполнения ведер:

Ведро вместимостью 10 л

Ведро вместимостью 6 л

Комментарий

Сначала

0 л

0 л

1 шаг

10 л

0 л

2 шаг

4 л

6 л

3 шаг

4 л

0 л

4 шаг

0 л

4 л

Перелили из первого ведра во второе

5 шаг

10 л

4 л

Первое ведро наполнили из реки

6 шаг

8 л

6 л

Перелили из первого ведра во второе до его наполнения

7 шаг

8 л

0 л

Вылили из второго ведра в реку

8 шаг

2 л

6 л

Перелили из первого ведра во второе до его наполнения

4. Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?

Ответ. 90 шагов.

Решение. 1 способ. Назовем расстояние, равное 3 шагам Маши и 5 шагам Яши, шагом Великана. Пока Великан делает один шаг, Маша и Яша делают вместе 8 шагов. Так как они сделали вместе 400 шагов, то Великан за это время сделал бы 400:8=50 великанских шагов. Если Великан сделал 50 шагов, то Маша сделала 150 шагов. Посчитаем теперь их «пятерками». 150 - это 30 раз по 5 шагов. Значит, папа сделал 30 раз по 3 шага, то есть 90 шагов.

2 способ. Пока Маша делает 3 5 =15 шагов, папа делает 3 3 = 9 шагов, а Яша делает 5 5 = 25 шагов. Вместе за это время Маша и Яша сделают 15+25=40 шагов. А пока они сделают 400 шагов, папа сделает тоже в 10 раз больше шагов, т.е. 9 10 = 90 шагов.

5 . В музее 16 залов, расположенных, как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине – скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б.

a) Обозначьте крестиками все залы, в которых висят картины.

Решение. Смотри рисунок.

б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б), но при этом в каждом зал побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите , что большее количество залов он посмотреть не мог.

Ответ. 15.

Решение. Один из возможных маршрутов показан на рисунке.

Докажем, что если турист хочет побывать в каждом зале не больше одного раза, он не сможет посмотреть больше, чем 15 залов. Заметим, что маршрут начинается в зале с картинами (А) и заканчивается в зале с картинами (Б). Значит, число залов с картинами, которые прошел турист на один больше числа залов со скульптурами. Так как залов с картинами, которые мог пройти турист не больше 8, то залов со скульптурами – не больше 7. Итак, маршрут не может проходить больше чем через 15 залов.

Задача 1. Любой верный пример – 7 баллов. Два или несколько примеров, среди которых есть верные и неверные – 5 баллов.

Задача 2. Верное разрезание – 7 баллов. Обоснования не требуются. Разрезание на неравные фигуры равной площади – 2 балла.

Задача 3. Правильный алгоритм – 7 баллов. Разумные продвижения, например, отмерено 8 л – до 3 баллов.

Задача 4. Полное решение – 7 баллов. Решение на рисунке (по клеточкам и т.п.) без достаточных объяснений – 4-5 баллов. Верное решение с арифметической ошибкой – 4 балла. Только ответ – 0 баллов.

Задача 5. а) Верное решение – 1 балл.

б) Приведен пример верного маршрута (конечно, не обязательно такого, как в решении выше) и доказано, что маршрут не может быть длиннее – 6 баллов. Приведен пример верного маршрута, но не доказано, что маршрут не может быть длиннее – 2 баллов.

Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007?
Ответ обоснуйте.

Ответ : будет.

Решение.
Представим данную сумму в виде следующих слагаемых: (1 + 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007.
Так как каждое слагаемое делится на 2007, то и вся сумма будет делиться на 2007.

Критерии оценивания:

0 баллов – ответ неверный;

4 балла - записаны правильные действия, но без пояснения.

Остаток от деления 100 на некоторое число равен 4. При делении 90 на это же число в остатке получается 18. На какое число делили? A - 18; B - 32; C - 24; D - 36; A – 48.

Ответ : С.
Решение.
Из условия следует, что 100-4=96 делится на искомое число.
Также 90-18=72 делится на искомое число.
Их разность также делится на искомое число: 96-72=24.
Следовательно, искомое число - 24, так как на него делится и 96, и 72.

Критерии оценивания:

0 баллов – ответ неверный;

4 балла – записаны правильные действия, но без пояснения.

2 балла – дан верный ответ без обоснования;

7 баллов – дан верный ответ с обоснованием.

Одной черепахе 300 лет, а другой 15 лет. Через сколько лет первая черепаха будет вдвое старше второй?

Ответ. Через 270 лет . Решение. Разница между черепахами всегда 300-15=285 лет. Одна будет вдвое старше другой, когда второй будет столько лет, какова разница, т.е. 285. А 285 лет второй черепахе исполнится через 285-15=270 лет.

Критерии оценивания:

Верное решение - 7 баллов.

Записаны правильные действия, но без пояснения - 4 балла.

Только ответ без всяких пояснений – 2 балла .

Неверное решение – 0 баллов.

9. Сад разбит на квадраты. Садовник начал обход с верхнего правого квадрата, обошел весь сад и вернулся в тот же угловой квадрат. В закрашенных квадратиках он не был (там располагаются пруды). Во всех остальных квадратиках он побывал по одному разу, причем через вершины квадратов он не проходил. Начертите возможный путь садовника.

Критерии оценивания:

Правильный пример – 7 баллов .

Пример незамкнутого пути или пути не по всем клеткам – 0 баллов .

10.Винни-Пуху дали полную тарелку манной каши. Он съел половину и положил в тарелку еще столько же меда. Затем он съел треть содержимого тарелки (каши с медом) и снова доложил мед. Потом съел четверть содержимого и опять доложил медом, после чего с аппетитом все съел. Чего в итоге Винни-Пух съел больше: каши или меда?

Ответ. Меда он съел больше. Решение. Видно, что Пух в итоге съел тарелку каши. Посчитаем, сколько он съел меда: 1/2+1/3+1/4 = 13/12>1.

Критерии оценивания

Верное решение - 7 баллов

Решение верное, но не доведено до конца – 2 балла.

Вычислительная ошибка – минус 1 балл (если вычислительных ошибок несколько, соответственно вычитается больше).

Только один ответ без решения - 1 балл .

Неверное решение – 0 баллов.