Главная › Интеллектуальное › Божественная гармония: что такое золотое сечение простыми словами. Тайны мироздания в числах

Божественная гармония: что такое золотое сечение простыми словами. Тайны мироздания в числах

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония каким-либо математическим расчётам. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного — золотое сечение. Наша задача — узнать что же такое золотое сечение и установить — где человечество нашло применение золотого сечения.

Вы, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Без порядочность, без форменность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония, воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.

Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами, имеющими в своей основе золотое сечение. Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете? Посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой относительно вашего тела будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы воспроизвели «золотое сечение».

О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом учёные — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения. Без конечный ряд после запятой — 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь — эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Всё живое и всё красивое — всё подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»? Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть это закон красоты? Или всё-таки он — мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен. «Золотое сечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Наверное, трудно найти надёжную меру для объективной оценки самой красоты, и одной логикой тут не обойдешься. Однако здесь поможет опыт тех, для кого поиск красоты был самим смыслом жизни, кто сделал это своей профессией. Это, прежде всего, люди искусства, как мы их называем: художники, архитекторы, скульпторы, музыканты, писатели. Но это и люди точных наук, прежде всего, — математики.

Доверяя глазу больше, чем другим органам чувств, Человек в первую очередь учился различать окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определённом отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения — высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ — ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ

В математике пропорцией называют равенство двух отношений:

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

на две равные части — АВ:АС=АВ:ВС;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
таким образом, когда АВ:АС=АС:ВС.

Последнее и есть золотое деление (сечение).

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a:b=b:c или с:b=b:а.

Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC=1/2AB; CD=BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются без конечной дробью AE=0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ=0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поколения. К примеру, в правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в пропорции золотого сечения (т.е. отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618).

ВТОРОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Такая пропорция обнаружена в архитектуре.

Построение второго золотого сечения

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56:44.

Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

ЗОЛОТОЙ ТРЕУГОЛЬНИК (пентаграмма)

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер. Пусть O — центр окружности, A — точка на окружности и Е — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE=ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36 0 при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит её в пропорции золотого сечения.

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d 1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd 1 откладываем на линию Ad 1 , получая точку С. Она разделила линию Ad 1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad 1 и dd 1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Построение золотого треугольника

ИСТОРИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашёл, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Динамические прямоугольники

Платон также знал о золотом делении. Пифагореец Тимей в одноимённом диалоге Платона говорит: «Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей, так как между ними должна появиться вещь, которая скрепляла бы их. Это наилучшим образом может выполнить пропорция, ибо если три числа обладают тем свойством, что среднее так относится к меньшему, как большее к среднему, и, наоборот, меньшее так относится к среднему, как среднее к большему, то последнее и первое будет средним, а среднее — первым и последним. Таким образом, всё необходимое будет тем же самым, а так как оно будет тем же самым, то оно составит целое». Земной мир Платон строит, используя треугольники двух сортов: равнобедренные и неравнобедренные. Прекраснейшим прямоугольным треугольником он считает такой, в котором гипотенуза вдвое больше меньшего из катетов (такой прямоугольник является половиной равностороннего, основной фигуры вавилонян, в нём выступает отношение 1:3 1/2 , отличающееся от золотого сечения примерно на 1/25, и называемое Тимердингом «соперником золотого сечения»). С помощью треугольников Платон строит четыре правильных многогранника, ассоциируя их с четырьмя земными элементами (землей, водой, воздухом и огнем). И лишь последний из пяти существующих правильных многогранников — додекаэдр, всеми двенадцатью гранями которого служат правильные пятиугольники, претендует на символическое изображение небесного мира.

ИКОСАЭДР И ДОДЕКАЭДР

Честь открытия додекаэдра (или, как полагалось, самой Вселенной, этой квинтэссенции четырёх стихий, символизируемых, соответственно, тетраэдром, октаэдром, икосаэдром и кубом) принадлежит Гиппасу, впоследствии погибшему при кораблекрушении. В этой фигуре действительно запечатлено множество отношений золотого сечения, поэтому последнему отводилась главная роль в небесном мире, на чём впоследствии и настаивал брат минорит Лука Пачоли.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» даётся геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвящённым.

В средние века пентаграмма подверглась демонизации (как, впрочем, и многое, что почиталось божественным в античном язычестве) и нашла приют в оккультных науках. Однако Возрождение вновь выносит на свет и пентаграмму, и золотое сечение. Так, широкое хождение в тот период утверждения гуманизма обрела схема, описывающая строение человеческого тела.

К такой картинке, по сути, воспроизводящей пентаграмму, неоднократно прибегал и Леонардо да Винчи. Её интерпретация: тело человека обладает божественным совершенством, ибо заложенные в нём пропорции такие же, как в главной небесной фигуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства.

В 1496 г. по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «О божественной пропорции» (De divina proportione, 1497, изд. в Венеции в 1509 г.) с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Такая пропорция лишь одна, а единственность — высочайшее свойство Бога. В ней воплощено святое триединство. Эта пропорция не может быть выражена доступным числом, остаётся скрытой и тайной и самими математиками называется иррациональной (так и Бог не может быть ни определен, ни разъяснён словами). Бог никогда не изменяется и представляет всё во всем и всё в каждой своей части, так и золотое сечение для всякой непрерывной и определённой величины (независимо от того, большая она или малая) одно и то же, не может быть ни изменено, ни по-иному воспринято рассудком. Бог вызвал к бытию небесную добродетель, иначе называемую пятой субстанцией, с её помощью и четыре других простых тела (четыре стихии — землю, воду, воздух, огонь), а на их основе вызвал к бытию всякую другую вещь в природе; так и наша священная пропорция, согласно Платону в «Тимее», даёт формальное бытие самому небу, ибо ему приписывается вид тела, называемого додекаэдром, который невозможно построить без золотого сечения. Таковы аргументы Пачоли.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотого сечения. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведённой через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, — писал он, — что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m , рядом откладываем отрезок M . На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов.

Построение шкалы отрезков золотой пропорции

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребёнка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в.

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив её универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа — важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13:8=1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8:5=1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1:1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела — длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX — начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И СИММЕТРИЯ

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863-1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.

Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление — это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая — движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она — свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

РЯД ФИБОНАЧЧИ

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с арабскими цифрами. В 1202 г. вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счётной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21:34=0,617, а 34:55=0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение — 0,618:0,382 — даёт непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Как показано на нижнем рисунке, длина каждого сустава пальца соотносится с длиной следующего сустава по пропорции Ф. Такое же соотношение проявляется во всех пальцах рук и ног. Эта связь как-то необычна, потому что один палец длиннее другого без всякой видимой закономерности, но это всё не случайно, как не случайно всё в теле человека. Расстояния на пальцах, отмеченные от А до В до С до D до Е, все соотносятся друг с другом по пропорции Ф, равно как и фаланги пальцев от F до G до H.

Взгляните на этот скелет лягушки и посмотрите, как каждая косточка соответствует модели пропорции Ф точно так, как и в теле человека.

ОБОБЩЁННОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Учёные продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создаётся даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и, открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2=1+1; 4=2+2..., во втором — это сумма двух предыдущих чисел 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?

Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S+1, первых членов которого — единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через? S (n), то получим общую формулу? S (n)=? S (n-1)+? S (n-S-1).

Очевидно, что при S=0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S=1 — ряд Фибоначчи, при S=2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения x S+1 -x S -1=0.

Нетрудно показать, что при S=0 получается деление отрезка пополам, а при S=1 — знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т.п.) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезу о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтверждённой, экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики — новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.

С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.

Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S>0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения — числа рациональные. И лишь позже, после открытия пифагорейцами несоизмеримых отрезков, на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа: 10, 5, 2, из которых уже по определённым правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.

Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная, система, в качестве первоосновы начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.

В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной — а не бесконечной, как думали ранее! — суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.

ПРИНЦИПЫ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ В ПРИРОДЕ

Всё, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах: рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если её развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал её и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение её шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гёте подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно.

Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетёт паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гёте называл спираль «кривой жизни».

Ряд Мандельброта

Золотая спираль тесно связана с циклами. Современная наука о хаосе изучает простые циклические операции с обратной связью и порождённые ими фрактальные формы, неизвестные ранее. Рисунок показывает известный ряд Мандельброта — страницу из словаря без конечности индивидуальных паттернов, называемых юлианскими рядами. Некоторые учёные связывают ряд Мандельброта с генетическим кодом клеточных ядер. Последовательное увеличение сечений раскрывает изумительные по своей художественной сложности фракталы. И тут тоже присутствуют логарифмические спирали! Это тем более важно, что и ряд Мандельброта, и юлианские ряды не являются изобретением человеческого разума. Они возникают из области первообразов Платона. Как сказал врач Р. Пенроуз, «они подобны горе Эверест»

Среди придорожных трав растёт ничем не примечательное растение — цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий — 38, четвертый — 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определённые пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Цикорий

У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной частей тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2, 3, 5, 8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции — длина её хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

Ящерица живородящая

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы — симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Большой интерес представляет исследование форм птичьих яиц. Их всевозможные формы колеблются между двумя крайними типами: один из них может быть вписан в прямоугольник золотого сечения, другой в прямоугольник с модулем 1,272 (корень золотой пропорции)

Такие формы птичьих яиц не являются случайными, поскольку в настоящее время установлено, что форме яиц, описываемых отношением золотого сечения, отвечают более высокие прочностные характеристики оболочки яйца.

Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов, и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.

В живой природе широко распространены формы, основанные на «пентагональной» симметрии (морские звезды, морские ежи, цветы).

Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом. Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору. Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда, без исключений, построены по совершенной чёткой формуле золотого сечения.

В микромире трёхмерные логарифмические формы, построенные по золотым пропорциям, распространены повсеместно. К примеру, многие вирусы имеют трёхмерную геометрическую форму икосаэдра. Пожалуй, самый известный из таких вирусов — вирус Адено. Белковая оболочка вируса Адено формируется из 252 единиц белковых клеток, расположенных в определенной последовательности. В каждом углу икосаэдра расположены по 12 единиц белковых клеток в форме пятиугольной призмы, и из этих углов простираются шипообразные структуры.

Вирус Адено

Впервые золотое сечение в строении вирусов обнаружили в 1950-хх гг. ученые из Лондонского Биркбекского Колледжа А. Клуг и Д. Каспар. Первым логарифмическую форму явил в себе вирус Polyo. Форма этого вируса оказалась аналогичной с формой вируса Rhino.

Возникает вопрос: каким образом вирусы образуют столь сложные трёхмерные формы, устройство которых содержит в себе золотое сечение, которые даже нашим человеческим умом сконструировать довольно сложно? Первооткрыватель этих форм вирусов, вирусолог А. Клю г даёт такой комментарий: «Доктор Каспар и я показали, что для сферической оболочки вируса самой оптимальной формой является симметрия типа формы икосаэдра. Такой порядок сводит к минимуму число связующих элементов... Большая часть геодезических полусферических кубов Букминстера Фуллера построены по аналогичному геометрическому принципу. Монтаж таких кубов требует чрезвычайно точной и подробной схемы-разъяснения, тогда как бессознательные вирусы сами сооружают себе столь сложную оболочку из эластичных, гибких белковых клеточных единиц».

Комментарий Клюга ещё раз напоминает о предельно очевидной истине: в строении даже микроскопического организма, который учёные классифицируют как «самую примитивную форму жизни», в данном случае в вирусе, присутствует чёткий замысел и осуществлён разумный проект. Этот проект несопоставим по своему совершенству и точности исполнения с самыми передовыми архитектурными проектами, созданными людьми. К примеру, проектами, созданными гениальным архитектором Букминстером Фуллером.

Трёхмерные модели додекаэдра и икосаэдра присутствуют также и в строении скелетов одноклеточных морских микроорганизмов радиолярий (лучевиков), скелет которых создан из кремнезёма.

Радиолярии формируют своё тело весьма изысканной, необычной красоты. Форма их составляет правильный додекаэдр, причём из каждого его угла прорастает псевдоудлиннение-конечность и иные необычные формы-наросты.

Великий Гёте, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввёл в научный обиход термин морфология.

Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

ТЕЛО ЧЕЛОВЕКА И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Все кости человека выдержаны в пропорции золотого сечения. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными.

Золотые пропорции в частях тела человека

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступнёй человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618;
расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618;
расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618;
расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618;
собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора;
расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618;
высота лица/ширина лица;
центральная точка соединения губ до основания носа/длина носа;
высота лица/расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ;
ширина рта/ширина носа;
ширина носа/расстояние между ноздрями;
расстояние между зрачками/расстояние между бровями.

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдёте в нём формулу золотого сечения.

Каждый палец нашей руки состоит из трёх фаланг. Сумма длинн двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и даёт число золотого сечения (за исключением большого пальца).

Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.

У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 — есть числа последовательности Фибоначчи.

Также следует отметить тот факт, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту.

Истины золотого сечения внутри нас и в нашем пространстве. Особенность бронхов, составляющих лёгкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче. Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea («Улитка»), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали =73 0 43".

Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке сердца в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм ртутного столбца у молодого, здорового человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастола) давление уменьшается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции.

Если взять за единицу среднее давление крови в аорте, то систолическое давление крови в аорте составляет 0,382, а диастолическое 0,618, то есть их отношение соответствует золотой пропорции. Это означает, что работа сердца в отношении временных циклов и изменения давления крови оптимизированы по одному и тому же принципу закону золотой пропорции.

Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетённых между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем — одна стомиллионная доля сантиметра).

Строение участка спирали молекулы ДНК

Так вот 21 и 34 — это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины, и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В СКУЛЬПТУРЕ

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии, красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения». Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенон.

Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В АРХИТЕКТУРЕ

В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, всё зависит от положения наблюдателя, и если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» даёт наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618...

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.

На плане пола Парфенона также можно заметить «золотые прямоугольники».

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари), и в пирамиде Хеопса.

Не только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения; то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид.

Долгое время считали, что зодчие Древней Руси строили всё «на глазок», без особых математических расчетов. Однако новейшие исследования показали, что русские архитекторы хорошо знали математические пропорции, о чём свидетельствует анализ геометрии древних храмов.

Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал «золотое сечение». Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществлённых проектах жилых домов и усадеб. Например, «золотое сечение» можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова.

Петровский дворец в Москве. Построен по проекту М.Ф. Казакова

Еще один архитектурный шедевр Москвы — дом Пашкова — является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

Дом Пашкова

Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г. При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертёж нижнего этажа.

Многие высказывания зодчего заслуживают внимания и в наши дни. О своём любимом искусстве В. Баженов говорил: «Архитектура главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания... К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождём является рассудок».

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В МУЗЫКЕ

Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми «эстетическими вехами» на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие в целом. Этими вехами могут быть динамические и интонационные кульминационные пункты музыкального произведения. Отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые «кульминационным событием», как правило, находятся в соотношении Золотого сечения.

Ещё в 1925 году искусствовед Л.Л. Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. Причём, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат Сабанеев проверил на всех 27 этюдах Шопена. Он обнаружил в них 178 золотых сечений. При этом оказалось, что не только большие части этюдов делятся по длительности в отношении золотого сечения, но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком же отношении.

Композитор и ученый М.А. Марутаев подсчитал количество тактов в знаменитой сонате «Аппассионата» и нашёл ряд интересных числовых соотношений. В частности, в разработке — центральной структурной единице сонаты, где интенсивно развиваются темы и сменяют друг друга тональности, — два основных раздела. В первом — 43,25 такта, во втором — 26,75. Отношение 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 даёт золотое сечение.

Наибольшее количество произведений, в которых имеется Золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

Если музыка — гармоническое упорядочение звуков, то поэзия — гармоническое упорядочение речи. Чёткий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Золотое сечение в поэзии в первую очередь проявляется как наличие определённого момента стихотворения (кульминации, смыслового перелома, главной мысли произведения) в строке, приходящейся на точку деления общего числа строк стихотворения в золотой пропорции. Так, если стихотворение содержит 100 строк, то первая точка Золотого сечения приходится на 62-ю строку (62%), вторая — на 38-ю (38%) и т.д. Произведения Александра Сергеевича Пушкина, и в том числе «Евгений Онегин», — тончайшее соответствие золотой пропорции! Произведения Шота Руставели и М.Ю. Лермонтова также построены по принципу Золотого сечения.

Страдивари писал, что с помощью золотого сечения он определял места для f-образных вырезов на корпусах своих знаменитых скрипок.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ПОЭЗИИ

Исследования поэтических произведений с этих позиций только начинаются. И начинать нужно с поэзии А.С. Пушкина. Ведь его произведения — образец наиболее выдающихся творений русской культуры, образец высочайшего уровня гармонии. С поэзии А.С. Пушкина мы и начнем поиски золотой пропорции — мерила гармонии и красоты.

Многое в структуре поэтических произведений роднит этот вид искусства с музыкой. Чёткий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой, своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных произведений, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция.

Начнём с величины стихотворения, то есть количества строк в нём. Казалось бы, этот параметр стихотворения может изменяться произвольно. Однако оказалось, что это не так. Например, проведенный Н. Васютинским анализ стихотворений А.С. Пушкина показал, что размеры стихов распределены весьма неравномерно; оказалось, что Пушкин явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).

Многими исследователями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них также существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения. Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина «Сапожник»:

Проведём анализ этой притчи. Стихотворение состоит из 13 строк. В нём выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк (13, 8, 5 — числа Фибоначчи).

Одно из последних стихотворений Пушкина «Не дорого ценю я громкие права...» состоит из 21 строки и в нём выделяется две смысловые части: в 13 и 8 строк:

Не дорого ценю я громкие права,

От коих не одна кружится голова.

Я не ропщу о том, что отказали боги

Мне в сладкой участи оспаривать налоги

Или мешать царям друг с другом воевать;

И мало горя мне, свободно ли печать

Морочит олухов, иль чуткая цензура

В журнальных замыслах стесняет балагура.

Все это, видите ль, слова, слова, слова.

Иные, лучшие, мне дороги права:

Иная, лучшая, потребна мне свобода:

Зависеть от царя, зависеть от народа -

Не все ли нам равно? Бог с ними.

Отчета не давать, себе лишь самому

Служить и угождать; для власти, для ливреи

Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи;

По прихоти своей скитаться здесь и там,

Дивясь божественным природы красотам,

И пред созданьями искусств и вдохновенья

Трепеща радостно в восторгах умиленья,

Вот счастье! Вот права...

Характерно, что и первая часть этого стиха (13 строк) по смысловому содержанию делится на 8 и 5 строк, то есть всё стихотворение построено по законам золотой пропорции.

Представляет несомненный интерес анализ романа «Евгений Онегин», сделанный Н. Васютинским. Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55!

Н. Васютинский констатирует: «Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне — строка «Бледнеть и гаснуть... вот блаженство!» Эта строка делит всю восьмую главу на две части: в первой 477 строк, а во второй — 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершённое гением Пушкина!».

Э. Розенов провел анализ многих поэтических произведений М.Ю. Лермонтова, Шиллера, А.К. Толстого и также обнаружил в них «золотое сечение».

Знаменитое стихотворение Лермонтова «Бородино» делится на две части: вступление, обращенное к рассказчику, занимающее лишь одну строфу («Скажите, дядя, ведь недаром...»), и главную часть, представляющее самостоятельное целое, которое распадается на две равносильные части. В первой из них описывается, с нарастающим напряжением, ожидание боя, во второй — сам бой с постепенным снижением напряжения к концу стихотворения. Граница между этими частями является кульминационной точкой произведения и приходится как раз на точку деления его золотым сечением.

Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив её золотым сечением (91:1,618=56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: «Ну, ж был денек!» Именно эта фраза представляет собой «кульминационный пункт возбужденного ожидания», завершающей первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя).

Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения.

Многие исследователи поэмы Шота Руставели «Витязь в тигровой шкуре» отмечают исключительную гармоничность и мелодичность его стиха. Эти свойства поэмы грузинский учёный, академик Г.В. Церетели относит за счёт сознательного использования поэтом золотого сечения как в формировании формы поэмы, так и в построении ее стихов.

Поэма Руставели состоит из 1587 строф, каждая их которых состоит из четырех строк. Каждая строка состоит из 16 слогов и делится на две равные части по 8 слогов в каждом полустишии. Все полустишия делятся на два сегмента двух видов: А — полустишие с равными сегментами и чётным количеством слогов (4+4); В — полустишие с несимметричным делением на две неравные части (5+3 или 3+5). Таким образом, в полустишии В получаются соотношения 3:5:8, что является приближением к золотой пропорции.

Установлено, что в поэме Руставели из 1587 строф больше половины (863) построены по принципу золотого сечения.

В наше время родился новый вид искусства — кино, вобравший в себя драматургию действия, живопись, музыку. В выдающихся произведениях киноискусства правомерно искать проявления золотого сечения. Первым это сделал создатель шедевра мирового кино «Броненосец Потёмкин» кинорежиссер Сергей Эйзенштейн. В построении этой картины он сумел воплотить основной принцип гармонии — золотое сечение. Как отмечает сам Эйзенштейн, красный флаг на мачте восставшего броненосца (точка апогея фильма) взвивается в точке золотой пропорции, отсчитываемой от конца фильма.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ШРИФТАХ И БЫТОВЫХ ПРЕДМЕТАХ

Особый вид изобразительного искусства Древней Греции следует выделить изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме легко угадываются пропорции золотого сечения.

В живописи и скульптуре храмов, на предметах домашнего обихода древние египтяне чаще всего изображали богов и фараонов. Были установлены каноны изображения стоящего человека, идущего, сидящего и т.д. Художники обязаны были заучивать отдельные формы и схемы изображения по таблицам и образцам. Художники Древней Греции совершали специальные путешествия в Египет, чтобы поучиться умению пользоваться каноном.

ОПТИМАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ

Известно, что максимальная громкость звука , которая вызывает болевые ощущения, равна 130 децибеллам. Если разделить этот интервал золотой пропорцией 1,618, то получим 80 децибелл, которые характерны для громкости человеческого крика. Если теперь 80 децибелл разделить золотой пропорцией, то получим 50 децибелл, что соответствует громкости человеческой речи. Наконец, если разделить 50 децибелл квадратом золотой пропорции 2,618, то получим 20 децибелл, что соответствует шёпоту человека. Таким образом, все характерные параметры громкости звука взаимосвязаны через золотую пропорцию.

При температуре 18-20 0 C интервал влажности 40-60% считается оптимальным. Границы оптимального диапазона влажности могут быть получены, если абсолютную влажность 100% дважды разделить золотым сечением:100/2,618 = 38,2% (нижняя граница); 100/1,618=61,8% (верхняя граница).

При давлении воздуха 0,5 МПа у человека возникают неприятные ощущения, ухудшается его физическая и психологическая деятельность. При давлении 0,3-0,35 МПа разрешается только кратковременная работа, а при давлении 0,2 МПа разрешается работать не более 8 мин. Все эти характерные параметры связаны между собой золотой пропорцией:0,5/1,618=0,31 МПа; 0,5/2,618=0,19 МПа.

Граничными параметрами температуры наружного воздуха , в пределах которых возможно нормальное существование (а, главное, стало возможным происхождение) человека является диапазон температур от 0 до +(57-58) 0 С. Очевидно, по первой границе пояснений можно не приводить.

Разделим указанный диапазон положительных температур золотым сечением. При этом получим две границы (о бе границы являются характерными для организма человека температурами): первая соответствует температуре, вторая граница соответствует максимально возможной температуре наружного воздуха для организма человека.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ЖИВОПИСИ

Ещё в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определённые точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Данное открытие у художников того времени получило название «золотое сечение» картины.

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнёт читать мои труды».

Он снискал славу непревзойденного художника, великого учёного, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всём на свете».

Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный, из существующих, образец зеркального письма.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо деле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

СКАЗКА . Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: «Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя». Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи. Пришёл первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел её: как искусный мастер он сшил для неё красивую шёлковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями — ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и ещё умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула. Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: «Ты должна быть моей женой». Но женщина ответила: «Ты меня создал — будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил — будьте мне братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь».

Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, её лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано — художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с её лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно её храня, не может сдержать торжество. Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель...

Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал ещё небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой. Несмотря на успех, Леонардо был мрачен, положение во Флоренции показалось художнику тягостным, он собрался в дорогу. Не помогли ему напоминания о нахлынувших заказах.

Золотое сечение в картине И.И. Шишкина «Сосновая роща». На этой знаменитой картине И.И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны — освещённый солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен — при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

Сосновая роща

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих её в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

В.И. Суриков. «Боярыня Морозова»

Роли её отведена средняя часть картины. Она окована точкой высшего взлёта и точкой низшего спадания сюжета картины: взлёт руки Морозовой с двуперстным крестным знамением, как высшая точка; беспомощно протянутая к той же боярыне рука, но на этот раз рука старухи — нищей странницы, рука, из-под которой вместе с последней надеждой на спасение выскальзывает конец розвальней.

А как обстоит дело с «высшей точкой»? На первый взгляд имеем кажущееся противоречие: ведь сечение А 1 В 1 , отстоящее на 0,618... от правого края картины, проходит не через руку, не даже через голову или глаз боярыни, а оказывается где-то перед ртом боярыни.

Золотое сечение режет здесь действительно по самому главному. В нём, и именно в нём — величайшая сила Морозовой.

Нет живописи более поэтичной, чем живопись Боттичелли Сандро, и нет у великого Сандро картины более знаменитой, чем его «Венера». Для Боттичелли его Венера — воплощение идеи универсальной гармонии «золотого сечения», господствующего в природе. Пропорциональный анализ Венеры убеждает нас в этом.

Венера

Рафаэль «Афинская школа». Рафаэль не был учёным-математиком, но, подобно многим художникам той эпохи, обладал немалыми познаниями в геометрии. В знаменитой фреске «Афинская школа», где в храме науки предстоит общество великих философов древности, наше внимание привлекает группа Эвклида — крупнейшего древнегреческого математика, разбирающего сложный чертеж.

Хитроумная комбинация двух треугольников также построена в соответствии с пропорцией золотого сечения: она может быть вписана в прямоугольник с соотношением сторон 5/8. Этот чертеж удивительно легко вставляется в верхний участок архитектуры. Верхний угол треугольника упирается в замковый камень арки на ближнем к зрителю участке, нижний — в точку схода перспектив, а боковой участок обозначает пропорции пространственного разрыва между двумя частями арок.

Золотая спираль в картине Рафаэля «Избиение младенцев». В отличие от золотого сечения, ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре — спирали. Многофигурная композиция, выполненная в 1509 — 1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довёл свой замысел до завершения, однако его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру «Избиение младенцев».

Избиение младенцев

Если на подготовительном эскизе Рафаэля мысленно провести линии, идущие от смыслового центра композиции — точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесённым мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза (на рисунке эти линии проведены красным цветом), а после этого соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается золотая спираль. Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ВОСПРИЯТИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ

О способности зрительного анализатора человека выделять объекты, построенные по алгоритму золотого сечения, как красивые, привлекательные и гармоничные, известно давно. Золотое сечение даёт ощущение наиболее совершенного единого целого. Формат многих книг соответствует золотому сечению. Оно выбирается для окон, живописных полотен и конвертов, марок, визиток. Человек может ничего не знать о числе Ф, но в строении предметов, а также в последовательности событий он подсознательно находит элементы золотой пропорции.

Проводились исследования, в которых испытуемым предлагалось выбирать и копировать прямоугольники различных пропорций. На выбор предлагалось три прямоугольника: квадрат (40:40 мм), прямоугольник «золотого сечения» с отношением сторон 1:1,62 (31:50 мм) и прямоугольник с удлиненными пропорциями 1:2,31 (26:60 мм).

При выборе прямоугольников в обычном состоянии в 1/2 случаев предпочтение отдается квадрату. Правое полушарие предпочитает золотое сечение и отвергает вытянутый прямоугольник. Наоборот, левое полушарие тяготеет к удлиненным пропорциям и отвергает золотое сечение.

При копировании этих прямоугольников наблюдалось следующее: когда активно правое полушарие — пропорции в копиях выдерживались наиболее точно; при активности левого полушария — пропорции всех прямоугольников искажались, прямоугольники вытягивались (квадрат срисовывался как прямоугольник с отношением сторон 1:1,2; пропорции вытянутого прямоугольника резко увеличивались и достигали 1:2,8). Наиболее сильно искажались пропорции «золотого» прямоугольника; его пропорции в копиях становились пропорциями прямоугольника 1:2,08.

При рисовании собственных рисунков преобладают пропорции, близкие к золотому сечению, и вытянутые. В среднем пропорции составляют 1:2, при этом правое полушарие отдает предпочтение пропорциям золотого сечения, левое полушарие отходит от пропорций золотого сечения и вытягивает рисунок.

А теперь нарисуйте несколько прямоугольников, измерьте их стороны и найдите соотношение сторон. Какое полушарие у Вас преобладает?

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ФОТОГРАФИИ

Примером использования золотого сечения в фотографии является расположение ключевых компонентов кадра в точках, которые расположены в 3/8 и 5/8 от краёв кадра. Можно это проиллюстрировать следующим примером: фотография кота, который расположен в произвольном месте кадра.

Теперь условно поделим кадр на отрезки, в пропорции по 1.62 общей длины от каждой стороны кадра. В местах пересечения отрезков и будут основные «зрительные центры», в которых стоит разместить необходимые ключевые элементы изображения. Перенесём нашего кота в точки «зрительных центров».

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И КОСМОС

Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.

Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Cосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в. Pяд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты — свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Две Золотых Спирали галактики совместимы со Звездой Давида.

Обратите внимание на звёзды, выходящие из галактики по белой спирали. Точно на 180 0 от одной из спиралей выходит другая развёртывающаяся спираль... Долгое время астрономы просто считали, что всё, что там есть — это то, что мы видим; если что-то видимо, то оно существует. Они либо совершенно не замечали невидимой части Реальности, либо они не считали её важной. Но невидимая сторона нашей Реальности в действительности значительно больше видимой стороны и, вероятно, важнее... Иными словами, видимая часть Реальности значительно меньше, нежели один процент от целого — почти ничто. На самом деле, наш настоящий дом — невидимая вселенная...

Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения. В спирали нашей галактики лежит коэффициент золотого сечения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Природа, понимаемая как весь мир в многообразии его форм, состоит, как бы, из двух частей: живой и неживой природы. Для творений неживой природы характерна высокая устойчивость, слабая изменчивость, если судить в масштабах человеческой жизни. Человек рождается, живёт, стареет, умирает, а гранитные горы остаются такими же и планеты вращаются вокруг Солнца также, как и во времена Пифагора.

Мир живой природы предстает перед нами совсем иным — подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным. Жизнь демонстрирует нам фантастический карнавал разнообразия и неповторимости творческих комбинаций! Мир неживой природы — это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир природы — это прежде всего мир гармонии, в которой действует «закон золотого сечения».

В современном мире наука приобретает особое значение, в связи с усилением воздействия человека на природу. Важными задачами на современном этапе являются поиск новых путей сосуществования человека и природы, изучение философских, социальных, экономических, образовательных и других проблем, стоящих перед обществом.

В данной работе было рассмотрено влияние свойств «золотого сечения» на живую и не живую природу, на исторический ход развития истории человечества и планеты в целом. Анализируя всё вышеизложенное можно ещё раз подивиться грандиозности процесса познания мира, открытием всё новых его закономерностей и сделать вывод: принцип золотого сечения — высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Можно ожидать, что законы развития различных систем природы, законы роста не очень разнообразны и прослеживаются в самых различных образованьях. В этом и проявляется единство природы. Идея такого единства, основанная на проявлении одних и тех же закономерностей в разнородных явлениях природы, сохранила свою актуальность от Пифагора до наших дней.

Гармония пропорций притягивает взгляд и является одним из главных компонентов красоты. Причем это касается любого объекта, будь то здание, изображение, человек или что-либо еще. Поэтому пропорция, в которой записан секретный код гармонии, используется человечеством давно и повсеместно. Но все же в искусстве золотое сечение всегда было и остается на особом счету.

Что такое золотое сечение в искусстве?

Золотое сечение представляет собой деление отрезка на две неравные части. Оно производится таким образом, что меньшая из этих частей относится к большей так же, как большая к длине всего отрезка. Для рисунка 1 пропорция может быть записана следующей формулой: a:b=b:c.

Рисунок 1. Золотое сечение на примере отрезка.

Само понятие определяется при помощи терминов математики, однако на протяжении истории человечества это соотношение использовалось в науке и архитектуре. А золотое сечение в искусстве служит в работах величайших мастеров прошлого. И сейчас оно остается одним из приемов, широко применяемых художниками, дизайнерами, фотографами и другими профессионалами творческой среды.

Простейшие пропорции в искусстве - примерное деление пространства на 3 части по вертикали и горизонтали, как показано на рисунке 2 . В случае с картинами или фотографиями на линиях и особенно в точках их пересечений располагаются композиционно значимые элементы.

Рисунок 2. Золотое сечение и гармония в искусстве.

Использование золотой пропорции как одного из ключевых средств композиции этим не ограничивается. Для создания гармоничных произведений представители творческих профессий применяют также геометрические фигуры, построенные на основе этого принципа. Это треугольники, прямоугольники, звезды, спирали и т.д.

Рисунок 3. Золотое сечение в спирали Архимеда и в последовательно вписанных пятиугольниках.

Но почему же именно такое соотношение выглядит лучше всего? Объект, в основе пропорций которого лежит принцип золотого сечения, визуально воспринимается как совершенный. Соотношение было подсмотрено у самой природы: оно присутствует в формах растений, животных и даже человеческого тела. Именно поэтому существует еще одно более поэтичное название «Божественная пропорция» . Но давайте посмотрим на конкретных примерах, как она вдохновляет художников на создание произведений искусства.

Как используется золотое сечение в живописи мастеров прошлого?

Великий Леонардо да Винчи является едва ли не самым известным поклонником «золотого принципа» в . Композиция многих его картин построена именно на основе «Божественной пропорции». Посмотрите сами!

Божественная пропорция на картинах Леонардо да Винчи.

Возможно, вы уже знаете, что именно Леонардо да Винчи наглядно продемонстрировал связь золотого сечения и пропорций тела. Сделал он это в своем чернильном рисунке , где была отражена гармония и соразмерность частей тела относительно друг друга.

Золотое сечение на примерах «Витрувианского человека» и «Тайной вечери» Леонардо да Винчи.

Современник да Винчи и один из известнейших мастеров изобразительного жанра Боттичелли тоже использовал принцип пропорции при написании своих шедевров. Как думаете, была бы его Венера так совершенна, если бы не «Божественная пропорция»?

Правило золотого сечения в картине «Рождение Венеры» Сандро Боттичелли.

Известные картины на религиозную тематику во многом обязаны золотой пропорции величественным и умиротворяющим впечатлением, которое производят. В качестве примеров хотелось бы вспомнить «Сикстинскую Мадонну» Рафаэля и «Святое семейство» Микеланджело .

Микеланджело «Святое семейство», Рафаэль Санти «Сикстинская мадонна».

Золотое сечение в живописи характерно и для знаменитых работ русских художников . Его можно увидеть в произведениях самых разных жанров, от портретов до пейзажей. Посмотрите на иллюстрации ниже!

Золотое сечение в картинах Андрея Рублева «Троица» и Александра Иванова «Явление Христа народу».

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.

Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.

Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: “Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя”. Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи. Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер он сшил для нее красивую шелковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями – ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула. Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: “Ты должна быть моей женой”. Но женщина ответила: “Ты меня создал – будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил – будьте мне братьями.

А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь”.

Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано – художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество. Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель...

Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой. Несмотря на успех, Леонардо был мрачен, положение во Флоренции показалось художнику тягостным, он собрался в дорогу. Не помогли ему напоминания о нахлынувших заказах.

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина"Сосновая роща"

На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи "Джоконда"

Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на"золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

Золотая спираль в картине Рафаэля"Избиение младенцев"

В отличии от золотого сечения ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре - спирали. Многофигурная композиция, выполненная в 1509 - 1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру"Избиение младенцев".

На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается...золотая спираль! Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.

Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции"Избиение младенцев" или только"чувствовал" ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонди: арка моста, идущая от головы женщины, - в левой части композиции и лежащее тело ребенка - в ее центре. Первоначальную композицию Рафаэль выполнил в рассвете своих творческих сил, когда он создавал свои наиболее совершенные творения. Глава школы романтизма французский художник Эжен Делакруа (1798 - 1863) писал о нем:"В сочетании всех чудес грации и простоты, познаний и инстинкта в композиции Рафаэль достиг такого совершенства, в котором с ним еще никто не сравнился. В самых простых, как и в самых величественных, композициях повсюду его ум вносит вместе с жизнью и движением совершенных порядок в чарующую гармонию". В композиции"Избиение младенцев" очень ярко проявляются эти черты великого мастера. В ней прекрасно сочетаются динамизм и гармония. Этому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка Рафаэля: динамизм ему придает вихревой характер спирали, а гармоничность - выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали.

"Необходимо прекрасному зданию быть построенным подобно хорошо сложенному человеку" (Павел Флоренский)

Можно ли “поверить алгеброй гармонию”? “Да”, – считал Леонардо и указал, как это сделать. “Золотое сечение” – не середина, а пропорция – несложное математическое соотношение, содержащее в себе “закон звезды и формулу цветка”, рисунок на хитиновом покрове животных, длину ветвей дерева, пропорции человеческого тела. Видишь гармоничную композицию, пропорциональное телосложение или здание, радующее глаз, – измерь и придешь к одной и той же формуле. Во времена Возрождения для проверки “закона гармонии” измеряли античные статуи, полтора века назад пропорции “золотого сечения” проверяли, соотнося длину ноги и туловища гвардейских солдат, – все совершенно точно.

Художник Александр Панкин исследует законы красоты… на знаменитых квадратах Казимира Малевича.

– В начале 80-х на лекции о Малевиче просят показать слайд “Черного квадрата”. После того как изображение появляется на экране, лектор строго произносит: “Переверните, пожалуйста”. Мы смеялись: трудно понять простому человеку, зачем такое рисовать. Это красиво?

– Исследуя картины Малевича с циркулем и с линейкой, я пришел к выводу, что они удивительно гармоничны. Здесь нет ни одного случайного элемента. Взяв единственный отрезок, – скажем, размер холста или сторону квадрата, – можно по одной формуле выстроить всю картину. Есть квадраты, все элементы которых соотносятся в пропорции “золотого сечения”, а знаменитый “Черный квадрат” нарисован в пропорции квадратного корня из двух.

– А вы рисуете эти пропорции на полях для полного сходства со школьной задачей по геометрии?

– То, чем я занимаюсь, можно назвать “объективным искусством”. На первый взгляд какое же это творчество, если не ставится задача выразить свою индивидуальность? Существует даже такое выражение – “художник узнаваем”. Но я обнаружил удивительную закономерность: чем меньше стремления самовыразиться, тем больше творчества. Там, где рамки слишком широки, где все можно, мы постепенно приходим к тому, что люди начинают портить полотна (скажем, Бренер подошел к картине Малевича с баллончиком краски), некоторые иконы режут и говорят: “А я так вижу”. Важен канон. Не случайно в иконописи он так строго соблюдается. Для творчества лучше не настежь открытые двери, а чтобы надо было пролезать в щель. Меня интересует форма, как она образуется и развивается сама по себе.

– Это же компьютерный алгоритм, при чем тут живопись?

– В 1918 году Малевич сказал, что живопись кончилась, – осталась только геометрия. В том году он нарисовал белый квадрат на белом фоне. Но потом случилось “возвращение Малевича на Землю”, его живопись опредметилась. Наука не поглотила искусство, но в те исторические периоды, когда геометрия и искусство сближались, это давало импульс к развитию того и другого. Так было во времена Возрождения, когда Леонардо исследовал пропорции “золотого сечения”, и в начале ХХ века, когда Поль Сезанн сказал: “Трактуйте природу посредством цилиндра, шара, конуса”. Если импрессионисты рисовали нечто личное, изменчивое, то кубистов, наоборот, интересовал формообразующий элемент – каркас. Сейчас проходят конференции “Математика и искусство” и семинары, где встречаются ученые и художники, случаются настоящие открытия. Со времен Леонардо известен так называемый числовой ряд Фибоначчи: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34... Это “золотая” последовательность чисел, по этому закону располагаются листья цветка и семечки в подсолнухе. Я изобразил этот ряд на плоскости в виде треугольников. Получилась удивительная вещь. Члены ряда Фибоначчи очень быстро растут: треугольник превращался в стрелу, две стороны уходят в бесконечность, а один из катетов все время остается равным пяти! До этого я не понимал, что такое “конечная бесконечность”! Посмотрев на эту картину, профессор Александр Зенкин математически доказал: такая система треугольников – это ядро ряда Фибоначчи. Обнаружился новый математический объект!

– Треугольники Панкина?

– На одном семинаре были предложения так их и назвать, потому что эту математическую закономерность почему-то раньше никто не замечал.

– Может быть, вы исследуете гармонию Малевича не потому, что видите в его творчестве особый смысл, а потому, что другие картины сложнее под формулу подогнать?

– Почему же! Последнее время мне хочется так же исследовать “Незнакомку” Крамского. Я посмотрел: там тоже в основе лежит “золотое сечение”. Те же правила и закономерности, которые я нащупал в картинах Малевича, можно приложить и к другим картинам, очень интересные вещи получатся. Картины Малевича – это краеугольный камень формообразования, мимо него нельзя пройти. “Черный квадрат” – точка отсчета, космическая воронка, куда искусство попадает и выходит измененным. Появляются новые пространства. У передвижников или у натуралистов типа Шилова картина – это окно, за которым в обычной прямой перспективе располагаются трехмерные объекты. У Сезанна пространства лежат на холсте. В иконах одновременно присутствуют две точки зрения: смотришь со своего места и одновременно будто находишься внутри происходящего. Пространство опредмечивается, не зря иконам не нужны рамки. Мне кажется, в будущем пространство картины будет лежать не за холстом, а перед ним…

– Недавно в магазине я увидела плакат с “Черным квадратом”. Обрадовалась и купила, хотела повесить дома, а потом передумала. Неуютно спать, когда над кроватью “Черный квадрат” висит. А вы хотели бы у себя над кроватью повесить квадрат Малевича?

– Честно говоря, у меня над кроватью мои картины висят, они у меня всюду висят. А хотел бы… наверное, Иванова – “Явление Христа народу”. Удивительная композиция – фигура Христа в центре и от нее будто лучи расходятся. Раньше я почему-то этого не замечал…

Допущено Министерством культуры УССР

в качестве учебного пособия для художественных институтов

и училищ

ГОЛОВНОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

ИЗДАТЕЛЬСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ

«ВЫЩА ШКОЛА»

Глава первая

Золотое сечение и вопросы теории композиции

О золотом сечении

Золотое сечение - гармоническая пропорция

Спор о том, должна или не должна наука вторгаться в заповедные области искусства, идет давно. И спор этот носит явно схоластический характер. Во все эпохи процветания искусство вступало в союз с наукой. Художники-мыслители, теоретики и педагоги, размышлявшие над пробле- мами обучения молодых, всегда приходили к вы- воду, что без науки искусство развиваться и про- цветать не может. Художник и педагог Н. П. Кры- мов писал: «Говорят: искусство не наука, не математика, что это творчество, настроение и что в искусстве ничего нельзя объяснить - глядите и любуйтесь. По-моему, это не так. Искусство объяс- нимо и очень логично, о нем нужно и можно знать, оно математично... Можно точно доказать, почему картина хороша и почему плоха» 1 В. И. Суриков утверждал, что в композиции есть какой-то непре- ложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поста- вить нельзя, это настоящая математика.

Известный французский архитектор и теоретик архитектуры XIX в. Виолле-ле-Дюк считал, что форма, которую невозможно объяснить, никогда не будет красивой. На дверях Сикионской школы рисунка в Древней Греции было написано: «Сюда не допускаются люди, не знающие геометрии». Не следует художникам бояться математики, она вовне и внутри нас. За кажущейся простотой и случайностью живого восприятия окружающей дей- ствительности скрывается математика. Когда мы слушаем музыку, наш мозг занимается алгеброй. Когда мы смотрим на что-либо, наш мозг занима- ется геометрией. У человека не может возникнуть отношение к предмету, чувство, эмоция, пока мозг

1 Крымов Н. П.-художник и педагог.-М., I960.-С. 32.

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении.

И. Кеплер (1571-1630)

не произвел «измерение», сравнение этого предмета с уже имеющимся в памяти чем-то подобным. Впереди идет математика, а только потом возни- кает чувство. Эту работу мозг производит мгновен- но, потому мы ее не замечаем и не осознаем и нам кажется, что чувство возникает сразу.

Прежде чем определить золотое сечение, необ- ходимо ознакомиться с понятием пропорции. В математике пропорция (лат. proportio) -это равенство между двумя отношениями четырех ве- личин: а: Ь = с: d . Далее, для примера обратимся к отрезку прямой (рис. 1). Отрезок АВ можно разделить на две равные части (/). Это будет соотношение равных величин - АВ: АС = АВ : ВС. Эту же прямую (2, 3) можно разделить на две неравные части в любом отношении. Эти части пропорции не образуют. Отношение малого отрезка к большому или меньшего к большему есть, а со- отношения (пропорции) нет. И, наконец, прямую АВ(4) можно разделить по золотому сечению, когда АВ: АС, как АС: ВС. Это и есть золотое деление или деление в крайнем и среднем отно- шении.

Из вышеизложенного следует вывод, что золо- тое сечение - это такое пропорциональное гармо- ническое деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к мень- шей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему, т. е. a : b = b : с или с \Ь = Ь : а (рис. 2). Определе- ние- деление в крайнем и среднем отношении - становится более понятным, если мы выразим его геометрически (рис. 3), а именно а: Ь как Ь: с.

Из рис. 3 понятно, почему астроном Иоганн Кеплер называл золотую пропорцию продолжаю- щей саму себя. «Устроена она так,- писал И. Кеп- лер,- что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают сле-

РИС. I .

Деление отрезка прямой на равные части и по золотому се- чению:

Геометрическое и алгебраическое выражение золотой пропор- ции: а :в =в:с или с: в =в: а

дующий член, причем та же пропорция сохраняет- ся до бесконечности» 1 .

Как видим, построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону уве- личения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). В последнем слу- чае необходимо от большего отрезка вычесть мень- ший- получим еще меньший: b - a = d , и т. д.

Практическое знакомство с золотым сечением обычно начинают с деления отрезка прямой в зо- лотой пропорции геометрическим способом (рис.4).

I -АВ; АС=АВ: ВС (образуется пропорция); 2, 3 - пропорция не об- разуется; 4-АВ:АС=АС:ВС или ВС: АС=АС: АВ (золотая пропор- ция)

1 Кеплер И. О шестиугольных снежинках.-М., 1982.- С. 17.

Среднее пропорциональное или деление отрезка в крайнем и среднем отношении:

й - Ь - а; с=а+Ь

Рис. 4. Рис. 5.

Геометрическое деление отрезка прямой по золотому сечению Определение линии золотого сечения на картине геометриче- (разработано А. Дюрером): ским способом:

ВС =0,5 АВ; CD =ВС ВС =0,5 АВ

Рис. 6.

Применение золотого сечения в построении картины И. Е. Репина «А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года»

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии отклады- вается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D . Отрезок AD переносится на прямую АВ. Получен- ная при этом точка £ делит отрезок АВ в соот- ношении золотой пропорции. Арифметически отрез-

ки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью. АЕ = 0,618..., если АВ принять за единицу, ££ = 0,382.... В практике при- меняется округление: 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая - 38 частям.

При переносе геометрического способа деления

Рис. 7. Линии золотого сечения и диагонали на картине

на картину или эскиз поступают так: половину длины картины или эскиза откладывают на высоту или продолжение высоты, если эскиз узкого фор- мата. Полученную точку С соединяют с левым нижним углом картины и т. д. (рис. 5). Линия золотого сечения в левой части картины будет находиться на таком же расстоянии от левого края, как и в правой от правого (показано пунктиром). Указанные выше две пропорции золотого деле- ния - равные величины и неравные, при этом про- порциональные, широко используются в искусстве.

Фигура А. С. Пушкина в картине И. Е. Репина «А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 г.» помещена художником на линии золотого сечения в правой части картины (рис. 6). Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в про- порции золотого сечения: от головы А. С. Пушкина до головы Г. Р. Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения. В нижней части картины глаз улавливает деление на три равные части. Их образуют стол в левой части картины, нога Пушкина правее линии золотого сечения и правый край картины.

Если необходимо найти линию золотого сече- ния на картине или эскизе по горизонтали, то новое деление геометрическим способом высоты картины производить нет необходимости. Доста- точно провести диагонали картины. Их пересече-

ния с линиями золотого сечения по вертикали укажут точки, через которые следует провести горизонтальные линии золотого сечения (рис. 7). Эти линии могут понадобиться при построении пей- зажа. Художники-пейзажисты из опыта знают, что нельзя отводить половину плоскости холста под небо или под землю и воду. Лучше брать или больше неба, или больше земли, тогда пейзаж «лучше смотрится».

Из пропорции золотого сечения вытекает, что если высоту или ширину картины разделить на 100 частей, то больший отрезок золотой пропорции равен 62, а меньший - 38 частям. Эти три вели- чины позволяют нам построить нисходящий ряд отрезков золотой пропорции: 100 - 62 = 38; 62 - - 38 = 24; 38 - 24=14; 24- 14=10.

100, 62, 38, 24, 14, 10 - это ряд величин золотой пропорции, выраженных арифметически. Так же находят отрезки золотой пропорции и на картине, если линия золотого сечения по вертикали уже проведена (рис. 7). Переносим линию золотого сечения в левый край картины. Расстояние между линиями золотого сечения в середине картины рав- но 24 частям. Отрезок, равный 24 частям, отклады- ваем на отрезок, равный 38 частям, и получаем остаток, равный 14 частям. Последний отрезок накладываем на отрезок, равный 24 частям, и по- лучаем отрезок, равный 10 частям. Все отрезки нисходящего ряда золотой пропорции для данной картины мы получили. Ту же операцию проводим и с высотой картины. Полученные отрезки пере- носим на полоску плотной бумаги или картона - для ширины с лицевой стороны и для высоты с оборотной. Этот простейший инструмент назовем пропорциональной линейкой. Такая пропорцио- нальная линейка пригодна только для данного эскиза или эскиза такого же размера. Изготовле- ние ее занимает несколько минут, но в дальнейшем облегчит работу над эскизом в поисках интервалов между фигурами или группами фигур, между предметами, поможет найти их размеры и, в ко- нечном итоге, гармонизовать линейное построение картины.

Фигура А. С. Пушкина в картине Н. Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайлов- ском» поставлена художником на линии золотого сечения в левой части полотна (рис. 8). Ыо и все остальные величины по ширине вовсе не случайны: ширина печи равна 24 частям от ширины картины, этажерки- 14 частям, расстояние от этажерки до

Пропорции золотого деления в линейном построении картины Н. Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском

печи также равно 14 частям и т. д. Такие же величины есть и в картине И. Е. Репина (см. рис. 6): от левого края картины до головы Державина - 24 части; от стола до носка сапога правой ноги Пушкина - 24 части. Такое же расстояние от го- ловы Пушкина до головы военного, с восторгом слушающего чтение поэта (его голова находится на второй линии золотого сечения в таком же

повороте, как и голова Пушкина). От голов Пушкина до головы молодой женщины в право части картины, с умилением слушающей деклама- цию, тоже - 24 части, а от ее головы до npaвого края картины - 10 частей и т. д.

Повторение равных величин, чередование pa в- них и неравных величин в пропорциях золотое сечения создает в картине определенный ритмиче-

Ряд отрезков золотой пропорции

скии строй, вызывающий у зрителя то или иное настроение и втягивающий его в рассматривание изображения. Порядок и последовательность этого рассматривания предопределены художником.

Достоинство пропорции золотого сечения за- ключено в том, что, раз поделив отрезок прямой или сторону картины геометрическим способом, получают отрезки любого уменьшения. В практи- ческой же работе художника достаточно величин, соответствующих числовым значениям 62, 38, 24, 14 и 10 (рис. 9).

Отрезки золотой пропорции нисходящего ряда при известной величине отрезка АВ или ширине эскиза, картины, репродукции - если мы желаем их проанализировать, получают путем вычисления. Например, ширина эскиза равна 14 см. Одна сотая часть от 14 составит 0,14 см. 0,14 умножаем на 62 и получаем больший отрезок золотой пропорции, равный 8,68 см. Следовательно, 100 частей = 14,00; 62 части = 8,68; 38 частей = 5,32; 24 части = 3,36; 14 частей = 1,96; 10 частей = 1,4 см.

Откладываем эти значения на пропорциональ- ной линейке, как показано на рис. 7, и дальнейшую работу над эскизом проводим с помощью этой линейки. Интуитивное сочетается с математикой и расчетом.

Случается так, что размер эскиза равен 10 см (100 мм) по ширине и высоте (квадрат). Тогда золотая пропорция на эскизе или пропорциональ- ной линейке откладывается по линейке: 62, 38 и 24 мм. При размере картины 100x100 см посту- пают аналогичным образом. Если же одна из сто- рон картины равна 100 см, то, отложив на ней с помощью линейки отрезки золотой пропорции, проводим линии золотого сечения. Пересекаем их

диагоналями и получаем данные для нахождения отрезков золотого сечения для другой стороны картины, не равной 100 см, как показано на рис. 7. Когда эскиз не очень большой, применяют ме- тод нахождения золотых пропорций на одной из его сторон при помощи проведения вспомогатель- ной линии размером в 10 см (100 мм) под произ- вольным углом к разделяемой линии (рис. 10). На вспомогательной линии, которую проводят в плоскости эскиза или за его пределами, отклады-

Вспомогательная линия длиной в 100 мм (10 см) для нахожде- ния отрезков золотой пропорции на эскизе малого размера

Способы нахождения отрезков золотой пропорции по методу «от квадрата»: а -квадрат; б - прямоугольник золотого сечения; в - получение точек для проведения линий золотого сечения по горизонтали; г - построение

эскиза любого формата

вают значения в миллиметрах - 62, 38, 24, 14 и 10. Крайняя точка вспомогательной линии соединяется с краем эскиза. Остальные линии проводятся па- раллельно первой. Все остальное построение про- водится, как показано на рис. 7. Этот метод пред- ложен художником В. Скубаком. Этот же метод применяют и на небольшой картине, когда вспо- могательная линия в 100 см располагается на ее поверхности.

Если размер эскиза не задан, его построение начинают с квадрата (рис. 11, а). Разделив ниж- нюю сторону квадрата на две равные части и про- ведя линию от полученной точки в правый верхний угол квадрата, принимаем эту линию за радиус и описываем дугу до пересечения с продолжением нижней стороны квадрата. Из полученной точки восставляем перпендикуляр до пересечения его с продолжением верхней стороны квадрата. В ре- зультате такого построения получаем прямоуголь-

ник золотого сечения, или золотой прямоугольник

(рис. 11, б). Если ширину такого прямоугольника принять за 100 частей, то его высота равна 62 ча- стям. Линия золотого сечения по вертикали опре- делится сама собой. Далее проводим диагонали, получаем точки для проведения линий золотого сечения по горизонталям (рис. 11, в). На основа- нии золотого прямоугольника производят построе- ние эскиза любого формата, вытянутого по гори- зонтали или вертикали (рис. 11, г).

В русской Академии художеств знали о законе золотого сечения. Этому есть письменные свиде- тельства. В книге «Далекое - близкое» И. Е. Ре- пин описывает встречу знаменитого критика В. В. Стасова с учениками Академии художеств. На встрече присутствовали, кроме Репина и Ста- сова, М. М. Антокольский, Г. И. Семирадский, К. А. Савицкий и др. Разговор шел о новом реали- стическом искусстве и устаревшем академизме.

Илья Ефимович отмечает, что Семирадский ще- голял перед Стасовым знанием греческого искус- ства, эстетических трактатов и золотого сечения, и замечает, что все это прекрасно знал и В. В. Ста- сов.

Золотое сечение применялось художниками при композиционном построении картин. Был разрабо- тан упрощенный метод, когда плоскость картины делилась на 10 частей по вертикали и горизонта- ли. Линия золотого сечения намечалась в отноше- нии 6 и 4 частей (рис. 12, а). Это не давало отношения 62:38, но давало близкое к нему 60:40. Практически этого было достаточно, чтобы ориентироваться и расположить главную фигуру или группу фигур в наиболее выгодном для этого месте картины.

Академик А. Н. Лаптев в статье «Некоторые вопросы композиции» так пишет о золотом сече- нии: «...Хочу упомянуть о давно известном, особен- но в классическом искусстве, законе пропорций золотого сечения. В силу некоторого свойства нашего зрительного восприятия, эти пропорции (примерно 6 и 4) являются наиболее гармониче- скими и наиболее отвечающими общему понятию красоты, а потому и наиболее часто употребляе- мыми» 1 .

Тот же результат получали и художники Мюн- хенской академии делением картины на 5 частей. Золотая пропорция бралась в отношении 3: 2, что одно и то же, так как сокращение 10; 6 и 4 в два раза дает 5; 3 и 2. Главная фигура картины или группа помещались на линии золотого сечения (рис. 12,б).

В картине Джованни Тьеполо «Пир Клеопат- ры» голова Клеопатры помещена художником в правой верхней точке на пересечении линий золо- того деления по вертикали и горизонтали. Этим обеспечивается легчайшее восприятие глазом всей картины и ее зрительно-смыслового центра - центра внимания. Центр внимания может быть в правой части картины или в левой, в нижней или верхней. Эти четыре точки - наилучшие места для расположения главного предмета картины. Это связано "с устройством глаза, работой мозга и закономерностями зрительного восприятия, о чем будет сказано ниже.

На одном из эскизов В. И. Сурикова к картине

Рис. 12.

Деление картины:

а - на 10 частей в Русской Академии художеств: б - на пять частей в Мюнхенской академии художеств

«Боярыня Морозова» хорошо видны деления пра- вого вертикального края эскиза на 10 частей. Затем отсчитаны 6 делений снизу или 4 сверху и проведена линия золотого сечения, являющаяся предполагаемым горизонтом. Репродукция этого эскиза опубликована в книге С. Каплановой «От замысла и натуры к законченному произведению» 2 . В ранней картине В. И. Сурикова «Милосерд- ный самарянин» (1874) голова раненого помещена художником в правой нижней точке картины, ладонь правой руки самарянина - в левой верх- ней, где слуга льет в нее воду из кувшина. Обе эти точки находятся на диагонали. Устойчивость

1 Лаптев А. М. Некоторые вопросы композиции//Вопросы 2 Капланова С. От замысла и натуры к законченному

изобразительного искусства.- М, 1954.-С. 66-67. произведению.-М., 1981.-С. 17.

Диагонали, линии золотого сечения и смысловой центр картины В. И. Сурикова «Милосердный самарянин»

композиции придает и то, что голова самарянина находится на средней линии картины по вертикали (рис. 13).

Недостаток деления картины на 10 или 5 ча- стей заключен в том, что оно дает довольно при- близительные отрезки золотого сечения - 60, 40, 20 (табл. 1, ряд 1). Более точные значения про- порциональных величин золотого сечения (62 и 38) дают возможность образовать 5 величин золо- того ряда (табл. 1, ряд 2), еще более точные исходные величины -61,8; 38,2 или 61,803 и 38,196 дают возможность продолжить нахождение вели-

чин нисходящего ряда золотой пропорции до 9 зна- чений или даже до бесконечности (табл. 1, ряды 3 и 4). В практической работе художника над эскизом или картиной достаточно величин 2-го и 3-го рядов.

Формат картины или монументальной росписи иногда задают. Но чаще всего художник сам определяет формат в соответствии со своим замыс- лом. Например, художник начинает разрабатывать эскиз пейзажа форматом 8x12 см. Эскиз имеет формат 8X12 см. Для нахождения линии золотого сечения по вертикали и отрезков золотого сечения

Рис. 14.

Построение пейзажа по золотому сечению и нахождение от- резков золотой пропорции при помощи вспомогательной линии

по нисходящему ряду можно воспользоваться про- ведением вспомогательной линии длиной 10 см за пределами поля эскиза (рис. 14). На основании наблюдений, зарисовок, этюдов у автора возник замысел: показать на картине опушку леса. Вни- мание зрителя в первую очередь привлекает ель. Все остальные деревья дополняют пейзаж и обра- зуют стройное гармоническое целое, легко воспри- нимаемое глазом. Такое гармоническое целое создается благодаря расположению ели на линии золотого сечения, а остальных деревьев или групп деревьев - в должном порядке. Подсказывают этот порядок (ритм) отрезки нисходящего ряда золо- того сечения для данной картины, найденные при помощи вспомогательной линии и отложенные на пропорциональной линейке (для ширины и высо- ты). Дальнейшая работа над пейзажем пойдет «на глаз», по чувству. Пусть художественный вкус автора, опыт и талант поведут его к успешному завершению картины, к наилучшему выражению замысла. Как в архитектуре, так и в живописи геометрию привлекают для нужд пропорциониро- вания, для создания предварительной схемы, ком- позиционного каркаса, но не более.

Таблица 1. величины нисходящего ряда золотой пропорции











			1,315 0,813 0,502 0,311 и т. д .

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользо- ваться пентаграммой (рис. 15). Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471 - 1528) (рис. 15, а). Пусть О - центр окруж- ности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, вос- ставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D . Пользуясь циркулем, отложим на диа- метре отрезок CE = ED . Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника рав- на DC . Откладываем на окружности отрезки DC и получаем пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму (рис. 15, б). Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. Проводим прямую произволь- ной длины, откладываем на ней отрезок m, ниже откладываем отрезок М. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов (рис. 15, в ).

Если размер эскиза не задан, берут любые два значения шкалы как ширину или высоту эскиза и находят все остальные величины, как было пока- зано ранее.

Из всего сказанного вытекает, что художник, желающий осуществить гармонический пропорцио-

Построение: а -золотого треугольника: а:в =Ф, в= dd 1 ; б - золотого прямоугольника: а: в = Ф

Рис. 15.

Построение правильного пятиугольника (а), пентаграммы (б) и шкалы отрезков (в) золотой пропорции

нальный строй своей картины на основании золо- того сечения, обязательно находит первые два отрезка золотой пропорции. Решению этой задачи способствует и золотой треугольник. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой

треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сто- рону, делит ее в пропорции золотого сечения. Для построения золотого треугольника" не требуется даже транспортир (рис. 16, а). Проводим пря- мую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через получен- ную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ,

на перпендикуляре вправо И влево От точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d \ соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd \ откла- дываем на линию Ad \, получая точку С. Она раз- делила линию Ad 1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad \ и dd \ пользуются для построения золо- того прямоугольника (рис. 16, б).

Золотое сечение и симметрия

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г. В. Вульф (1863-1925) считал золотое сечение одним из проявлений сим- метрии.

Золотое деление не есть проявление асиммет- рии, чего-то противоположного симметрии. Соглас- но современным представлениям золотое деле- ние- это асимметричная симметрия. Сейчас в науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статиче- ская симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая - движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и даже застылость. Динамическая сим- метрия выражает активность, характеризует дви- жение, развитие, ритм, она - свидетельство жизни. Симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков (или их уменьшение), и оно выражается в величинах золотого сечения возра- стающего или убывающего ряда.

Художественная форма, в основе построения которой лежат пропорции золотого сечения, и осо- бенно сочетание симметрии и золотого сечения, является высокоорганизованной формой, способ- ствующей наиболее ясному выражению содержа- ния, наилегчайшему зрительному восприятию и появлению у зрителя ощущения красоты.

Очень часто в одном и том же произведении живописи встречается сочетание симметричного деления на равные части по вертикали и деление на неравные части по золотому сечению по гори- зонталям.

Картина Леонардо да Винчи «Мадонна в гроте» не строго симметрична, но в основе ее построе- ния- симметрия (рис. 17, а). Все содержание картины выражается в фигурах, которые размести- лись в нижней ее части. Они вписываются в квад-

рат. Но художник не довольствовался таким фор- матом. Он достраивает над квадратом прямоуголь- ник золотого сечения (рис. 17, б). В результате такого построения вся картина получила формат золотого прямоугольника, поставленного верти- кально. Радиусом, равным половине стороны квад- рата, он описал окружность и получил полукружие верхней части картины. Внизу дуга пересекла ось симметрии иуказала размер еще одного прямо- угольника золотого сечения в нижней части карти- ны (рис. 17, в). Затем радиусом, равным стороне квадрата, описывается новая дуга, которая дала точки на вертикальных сторонах картины. Эти точки помогли построить равносторонний треуголь- ник, который и явился каркасом для построения всей группы фигур. Все пропорции в картине яви- лись производными от высоты картины. Они обра- зуют ряд отношений золотого сечения и служат основой гармонии форм и ритма, несущих в себе скрытый заряд эмоционального воздействия. Ана- логичным образом построена картина Рафаэля «Обручение Марии» (рис. 18).

Если мы обратимся к древнерусской живописи, иконам XV-XVI вв., то увидим такие же приемы построения изображения. Иконы вертикального формата симметричны по вертикали, а членения по горизонталям осуществлены по золотому сечению. Икона «Сошествие во ад» Дионисия и мастерской (рис. 19) с математической точностью рассчитана в пропорциях золотого сечения.

В иконе конца XV в. «Чудо о Флоре и Лавре» осуществлено тройное отношение золотого сечения. Сначала мастер разделил высоту иконы на две равные части. Верхнюю отвел под изображение ангела и святых. Нижнюю часть он разделил на два неравных отрезка в отношении 3: 2. В итоге получилось соотношение трех величин золотого се- чения: а: Ь, как b : с. В числах это будет выглядеть так: 100, 62, 38, а уменьшенные вдвое - 50, 31, 19.

О симметричности «Троицы» Андрея Рублева написано много. Но никто не обратил внимания на то, что по горизонталям и здесь осуществлен принцип золотых пропорций (рис. 20). Высота среднего ангела относится к высоте боковых анге- лов, как их высота относится к высоте всей иконы. Линия золотого сечения пересекает ось симметрии по середине стола и чаши с жертвенным тельцем. Это - композиционный замок иконы. На рисунке показаны и более мелкие величины ряда золотого сечения. Наряду с плавностью линий, колоритом

Использование симметрии и золотого сечения в картине Леонардо да Винчи «Мадон- на в гроте»: а - пропорции золотого сечения: б - размещение персонажей

картины в квадрате; в - схема линейного построения картины

Рис. 18.

Использование симме- трии и золотого сече- ния в картине Рафа- эля «Обручение Ма- рии

Золотые пропорции в линейном построении изображения на иконе «Сошествие в ад» Дионисия и мастерской (XVI в.)

Симметрия и золотые пропорции в линейном построении «Троицы» Андрея Рублева

Золотое сечение

Симметрия и золотые

пропорции в линейном

изображении «Успения»

Феофана Грека

Золотые пропорции в линейном построении изображения на плите фараона Нармера (3-е тыс. до н. э.)

пропорции иконы играют значительную роль в создании того общего впечатления, которое испы- тывает зритель при ее рассматривании.

Могучим хоралом представляется нашему взору икона Феофана Грека «Успение» (рис. 21). Сим- метрия и золотое сечение в построении придают этой иконе такую мощь и стройность, какую мы видим и ощущаем при виде греческих храмов и слушании фуг Баха. Легко заметить, что компози- ция «Успения» Феофана Грека и «Троицы» Андрея Рублева одна и та же. Исследователи творчества древнерусских художников отмечают, что заслуга Феофана Грека состоит не столько в том, что он писал фрески и иконы для русских соборов и церк- вей, сколько в том, что он научил античной муд- рости Андрея Рублева.

Завершим хвалу содружеству симметрии и

золотого сечения рассмотрением пропорций побед- ной плиты египетского фараона Нармера (3-е тыс. до н. э.). Прямоугольник золотого сечения - исход- ная форма плиты Нармера (рис. 22). Плита разбита на пояски, высота которых выдержана в пропорциях золотого сечения. Высота фигуры фа- раона- от верхнего пояска до нижнего - равна 62 частям высоты. Нижняя часть плиты от пояска до края равна 24 частям, а верхняя, от верхнего пояска до верхнего края,- 14 частям. Ритмический строй оборотной стороны плиты несколько иной, потому что содержание изображения потребовало иного сопоставления пропорциональных величин. Пропорции золотого сечения и симметрия дают бесконечное разнообразие композиционных по- строений как в самой природе, так и в произведе- ниях искусства всех родов и видов.

История зототого сечения

История золотого сечения интересна и увлека- тельна. Она еще раз подтверждает, что тайны природы скрыты и ревниво ею охраняются. Тайна золотого сечения - не исключение.

В 1911 г. французский художник Анри Матисс (1869-1954) посетил Россию. В Москве он увидел старинные русские иконы. «Русские и не подозре- вают, какими художественными богатствами они владеют... Ваша учащаяся молодежь имеет здесь, у себя дома, несравненно лучшие образцы искус- ства..., чем за границей. Французские художники должны ездить учиться в Россию: Италия в этой области дает меньше»,- писал художник позже 1 .

Много лет спустя Матисс вспоминал, как «тро- нуло» его древнерусское искусство и какое воздей- ствие оказало на его творчество: «Ему предаешься тем сильнее, чем яснее видишь, что его достижения подкреплены традицией - традицией древней» 2 . Матисс, несомненно, имел в виду традиции искус- ства Греции классической поры. Он увидел, что Русь через Византию унаследовала живую тра- дицию античного искусства и в своих исторических и национальных условиях продолжала ее. Пока Италия возрождала античность, пытаясь из облом- ков и развалин составить цельное представление о древности, искусство живописи и архитектуры на Руси достигло больших высот.

Приехав в Советский Союз, американский ху- дожник Антон Рефрежье восторженно восприни- мает сохранившиеся росписи, выполненные древне- русскими художниками. «Я смотрю на величест- венные росписи древнерусских храмов, и меня снова и снова потрясает глубина гуманизма искус- ства, которое поднялось над церковной догмой до уровня выражения эмоционального духа народа. И я с изумлением смотрю на построение компози- ции, на пропорции фризов на стенах. Здесь также мы можем учиться знанию закона динамической симметрии, абсолютной вере художников в эти законы, раскрытые древними греками и подтвер- жденные во все великие периоды архитектуры и живописи»,- писал он в статье «На языке, понят- ном массам», опубликованной в газете «Советская культура» 21 мая 1974 г. В той же статье Антон

1 Матисс А. Сборник статей о творчестве.- М, 1958.- С. 99.

2 Там же.-С. 104.

Рефрежье отмечает достоинства творений худож- ников эпохи Возрождения: «Я бы назвал два таких качества - глубокий гуманизм (это содержание) и ответственное, уважительное отношение к специфи- ке настенной живописи, знание геометрии, динами- ческой симметрии, правил «золотой середины» (это форма) ... Художник, не будучи осведомленным в геометрии, в законе динамической симметрии, самое большее, что может сделать, это располо- жить все в определенном порядке, иначе - создать коллаж». Такая высокая оценка золотого сечения и его проявления в русском искусстве, безусловно, побуждает нас к изучению этого феномена.

Принято считать, что понятие о золотом деле- нии ввел в научный обиход Пифагор, древнегрече- ский философ и математик (VI в. до н. э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамоиа свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной дос- ки из гробницы его имени, держит в руках измери- тельные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления. Ранее уже упомина- лась плита фараона Нармера (рис. 22), построен- ная в пропорциях золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже ариф- метике обучали своих детей при помощи геомет- рических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников (рис. 23, а).

Платон (427-347 гг. до н. э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого де- ления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскоп- ках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Пом- пейском циркуле (музей в Неаполе) также зало- жены пропорции золотого деления (рис. 23, б).

В дошедшей до нас античной литературе золо-

Динамические прямоугольники (а) и античный циркуль золо- того сечения (б)

тое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометри- ческое построение золотого деления. После Евкли- да исследованием золотого деления занимались Гипсикл (IIв. до н. э.), Папп (III в. н. э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением по- знакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (IIIв.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Онибыли известны только по- священным.

В историю золотого сечения косвенным образом вплетено имяитальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г. вышел в свет егоматематический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные нато время задачи. Одна из задач гласила: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится?» Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Ряд цифр 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. д. стал известен в наука как ряд Фибоначчи. Его особенность состоит в том, что каждый его член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: 2 + 3=5; 3+5 = 8; 5 + 8=13; 8+13 = 21; 13+21 = 34 и т. д., а отношение чисел ряда все больше и больше приближается к отношению золотого деле- ния. Так, 21: 34 = 0,617, а 34:55 = 0,618. Это отно- шение обозначается символом Ф. Только это отно- шение- 0,618:0,382 - дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом (случаем), если бы не то обстоятельство, что все исследователи золо- того деления в растительном мире, а также и в животном, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому вы- ражению закона золотого деления.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальян- ских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, ве- личайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учени- ком художника Пьеро делла Франчески, написав- шего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его называют твор- цом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение на- уки для искусства. В 1496 г. по приглашению гер- цога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. Они

стали друзьями. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой про- порции. Среди многих достоинств золотой пропор- ции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божествен- ного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого). На зо- лотую пропорцию был наброшен мистический по- кров.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз по- лучал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится в науке до сих пор как самое популярное.

Характерно, что в то же время на севере Евро- пы, в Германии, над теми же проблемами трудил- ся Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «...Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать» ".

Дюрер сетует, что секреты древних утеряны, что отцы церкви не должны так яростно уничто- жать все, что осталось от древних. Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций чело- веческого тела. Важное место в своей системе со- отношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т. д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

1 Дюрер А. Дневники, письма, трактаты.- Л.; М., 1957.- Т. 2.- С. 37,

В последующие века правило золотой пропор- ции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с акаде- мической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследова- ния». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследовате- лем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизиро- вал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искус- ства. У Цейзинга были многочисленные последова- тели, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точ- кой пупа - важнейший показатель золотого сече- ния. Пропорции мужского тела колеблются в пре- делах среднего отношения 13: 8=1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропор- ции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8:5=1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1:1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золо- того сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т. д.

Верность своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разра- ботал пропорции Аполлона Бельведерского. Под- верглись исследованию греческие вазы, архитектур- ные сооружения различных эпох, растения, живот- ные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сече- нию, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрыл-

ся под инициалами Ю. Ф. В. Характерно, что в этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX - начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теорий о применении зо- лотого сечения в произведениях искусства и архи- тектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распро- странилось на конструирование машин, мебели и т. д.

Анархия капиталистического производства при- вела в XX в. к тому, что продукция, изготовленная одним предприятием, сильно отличалась от анало- гичной продукции других предприятий. При пере- возке такой продукции нередко оказывалось, что она не соответствует размерам транспортных средств. Такое же положение наблюдалось и в строительном деле.

Французский архитектор Ле Корбюзье (1887- 1965) разрабатывает единую систему величин. За основу был взят средний рост человека, равный 175 см. Была построена шкала золотого сечения, которая и дала необходимые размеры. Эту шкалу Ле Корбюзье назвал модулором. Пользуясь своим «модулором», Ле Корбюзье строил отдельные зда- ния и целые комплексы сооружений.

На девятой выставке «Триеннале» в Милане в 1951 г. три дня были посвящены золотому сече- нию. В эти дни было проведено первое междуна- родное совещание на тему пропорций в искусстве, а выставка «Триеннале» 1954 г. была полностью посвящена «божественной пропорции» и явилась восхвалением золотого сечения - «древнейшей тропы человечества, указанной Пифагором» (Ле Корбюзье). К сожалению, речь там шла в основ- ном об архитектуре.

Следует упомянуть заслуги Г. Б. Борисовского. В книге «Наука. Техника. Искусство» (М., 1969) автор отдает должное золотому сечению, но ука- зывает на его слабую сторону: золотое сечение характеризует только количественные отношения. Он приводит слова Жолтовского о колбасе (ска- занные в шутку), что если разрезать тухлую кол- басу в золотом сечении, то она не станет вкуснее. Отношения, свойственные золотой пропорции, вы- раженные арифметически или геометрически, дей- ствительно определяют только количественные отношения. Но эти же отношения, воплотившиеся в живых формах листьев, цветов, животных, до- ставляют нам эстетическое удовлетворение, ра-

дость, мы наслаждаемся красотой формы. Тем более они приятны нам в произведениях рук чело- веческих: зданиях, статуях, картинах, коврах, вазах и т. д., которые мы пробуем не на вкус, а смотрим на них глазами.

В нашей стране в довоенные годы были изданы книги о золотом сечении в архитектуре: Н. Вру- нов. Пропорции античной и средневековой архитек- туры.- М., 1935; Г. Д. Гримм. Пропорциональность в архитектуре.- Л.; М., 1935. Осуществлялись переводные издания: Г. Е. Тимердинг. Золотое сечение.- М., 1924; М. Гика. Эстетика пропорций в природе и искусстве.- М., 1936; Д. Хэмбидж. Динамическая симметрия в архитектуре.- М., 1936. И в этих книгах проявление закона золотого сечения в живописи не затрагивалось.

В редакционном примечании к книге М. Гика «Эстетика пропорций в природе и искусстве» ука- зывается, что многие ученые, занимавшиеся золо- тым сечением, не идут дальше простой констата- ции факта: «Между тем, задача заключается в том, чтобы объяснить его причины. Такую попытку делает советский исследователь Ф. И. Зубарев, работы которого о золотом сечении подготовляются сейчас к печати» ". Неизвестно, были опубликованы работы Ф. Зубарева или нет.

В послевоенные годы заметно расширение и углубление внимания ученых различных специаль- ностей к проблеме золотого сечения. В 1974 г. И. И. Шафрановский публикует работу «Динами- ческая симметрия в кристаллографии, минералогии, петрографии и органическом мире» (Записки Ле- нингр. горн, ин-та им. Г. В. Плеханова.- Т. XII, вып. 2). В 1977 г. напечатана книга А. П. Стахова «Введение в алгоритмическую теорию измерения», а в 1979 г.- его же «Алгоритмическая теория изме- рения» (М., Знание), в которых изложено приме- нение чисел ряда Фибоначчи и золотой пропорции для улучшения работы аналого-цифровых преобра- зователей. В 1979 г. И. Шмелев в журнале «Архи- тектура СССР» публикует статью «Канон. Ритм, пропорция, гармония» (№ 2), в которой излагает дальнейшее развитие идеи «модулора» Ле Кор- бюзье, что позволило ему раскрыть механизм гар- монии ритмических взаимосвязей в пропорциях мужского и женского тела, их динамическую до- полнительность по отношению друг к другу, что снимает недоверие к золотому сечению на том

1 Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве.- М., 1936.-С. 301.

Второе золотое сечение:

а - геометрическое построение; 6 -линия второго золотого сечения на

основании, что пропорции тела женщины не соот- ветствуют золотым.

Особый интерес представляет статья М. А. Ма- рутаева «О гармонии как закономерности» в сбор- нике «Принцип симметрии» (М., 1978). Он отме- чает, что в современной науке существуют три проблемы: 1) природа золотого сечения, 2) загадка числа 137 и 3) природа приблизительной симмет- рии, которая относится к живой природе, искусству, а в последнее время и к физике. Далее он пока- зывает, что все три проблемы представляют собой одну проблему: нарушенная симметрия (приблизи- тельная симметрия), число 137 и золотая пропор- ция взаимосвязаны. Это подтверждает, по мнению автора, фундаментальность принципа золотого се- чения и позволяет объяснить многие факты, кото- рые раньше рассматривались как противоречащие принципу золотого сечения.

Болгарский журнал «Отечество» (1983.-№ 10) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша о «втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает новое отношение 44: 56.

Эта пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций картин удлиненного горизонтального формата.

Отрезок АВ делится в пропорции золотого сече- ния (рис. 24, а). Из точки С восставляется перпен- дикуляр СД. Радиусом АВ находится точка D , которая соединяется линией с точкой А. Прямой < АСД делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD . Точка Е делит отрезок AD в отношении 56: 44.

На рис. 24, б показано нахождение линии вто- рого золотого сечения на картине. Она находится посередине между линией золотого сечения и сред- ней линией картины.

Естественнонаучные основы теории композиции

Принципы формообразования в природе

Когда-то не было деревьев, рек, полей, гор. Земля представляла из себя огнедышащий шар, где все кипело, бурлило, постепенно охлаждалось, чтр-то с чем-то соединялось, распадалось, синтези- ровалось в новом виде. И так миллионы проб и ошибок. Остыла Земля, образовалась твердая ко- ра. Природа «скомпоновала» воздух, камни, воду, глину, растения, насекомых, рыб, животных. Выс- шим проявлением сил творящей материи явился человек. Природа осуществила здесь сочетание симметрии по вертикали и золотого сечения по го- ризонталям. Природа творила, строго соблюдая свои собственные законы: развитие (эволюция) и сохранение материи. Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стрем- ление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по по- верхности земли и закручивание по спирали.

Живой организм, вытянутый в длину, таит для его владельца много опасностей. Змея погибает чаще всего из-за своего длинного тела. Ящерица отбрасывает свой хвост, если ее схватил ястреб. Раковина закручена по спирали. Если ее развер- нуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая рако- вина имеет спираль длиной 35 см.

Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание еще древнегреческого ученого Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется спи- ралью Архимеда. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. Она сыграла опре- деленную роль и в развитии телевидения.

Еще Гёте подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное рас- положение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, какту- сах и т. д. Однако только совместная работа бота- ников и математиков пролила свет на эти удиви- тельные явления природы. Выяснилось, что в рас- положении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Исследователь золотого сечения в растительном мире Ю. Урманцев в своей статье «Золотое сечение» пришел к такому выводу: «...золотое сечение царит в некоторых процессах, протекающих в живой природе» ".

Обстоятельно изучал золотое сечение С. М. Эй- зенштейн (1898-1948). Он пришел к выводу, что если идет речь об органичности, то там есть в про- порциях золотое сечение. Именно С. М. Эйзенштейн указывает на роль золотого сечения в живописи, приводит примеры проявления золотой пропорции в поэзии, подробно излагает строение по золотому сечению своего фильма «Броненосец Потемкин». Останавливается он и на строении спирали золо- того сечения, так называемой логарифмической спирали (рис. 25). Суть строения этой спирали состоит в том, что, начинаясь с точки О, ее шаги каждый раз увеличиваются в пропорциях золотого сечения (возрастающий ряд): ОА = 10, 0Б=14 ОВ = 24, ОГ = 38, ОД = 62 и т. д.

Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. План города Ауро- вилля (Индия)-свидетельство спиралевидной застройки. Молекула ДНК закручена двойной спи- ралью. Гёте называл спираль «кривой жизни».

Среди придорожных трав растет ничем не при- мечательное растение -цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовал- ся отросто к. Тут же расположился первый листок.

1 Природа- 1968.-№ 6.-С. 38.

Построение логарифмической (золотой) спирали:

а - по отрезкам восходящего ряда величин золотой пропорции; б -в золотом прямоугольнике

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньше- го размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 едини- цам, третий - 38, четвертый - 24 и т. д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохра- няло определенные пропорции. Импульсы его рос- та постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения* (рис. 26). В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза про- порции: длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настой- чиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение в про- порциях частей перпендикулярно к направлению роста. Сон и бодрствование человека в пределах суток, удары сердца и его отдых, кровяное дав- ление в норме - все имеет тенденцию проявляться в золотой пропорции.

На рис. 27 показаны золотые пропорции чело- века во всей фигуре и частях тела. В голове при-

Золотое сечение в природе

Золотые пропорции человека:

а - в фигуре; б - в голове; в - в кисти руки

рода осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повто- рение строения целого.

Великий Гёте, поэт, естествоиспытатель и ху- дожник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология (учение о форме).

Великий французский ученый Пьер Кюри (1859-1906) в начале нашего столетия сформули- ровал ряд глубоких идей симметрии. Он утвер- ждал, что нельзя рассматривать симметрию како- го-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Советский ученый И. И. Шифрановский, изла- гая идеи учения о симметрии, объясняет, что симметрия проявляется во всем, что окружает нас.

Она пронизывает Землю и Вселенную, создавая удивительную гармонию материального мира.

Закономерности «золотой» симметрии проявля- ются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соедине- ний, в планетарных и космических системах, в ген- ных структурах живых организмов. Эти закономер- ности, как указано выше, есть в строении отдель- ных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Художника более всего интересуют внешние формы природных тел, видимые глазом и оцени- ваемые без геометрического измерения. Его с малых лет в школе, художественном училище и институте учат на глаз определять пропорции человека, человека и здания, здания и дерева и т. д. Он должен уметь изобразить все это на плоскости,

чтобы на глаз определить отношения светлого и темного, желтого и синего. Это, безусловно, нужно. Но очень плохо, когда художник на этом и закан- чивается. Великие художники прошлого были ве- ликими еще и потому, что они были и учеными, и мыслителями, и поэтами. Они видели в вещах значительно больше, чем только пропорции и отно- шения светлого и темного.

Суммируя известные данные о формообразова- нии в природе, можно сделать такие выводы:

«золотое число» 1,618 передает математичес- ки своеобразную ритмичность функциональных структур;

филотаксис (листорасположение) демонстри- рует оригинальные формы симметрии;

числа Фибоначчи математически выражают собой определенные принципы природного разви- тия, связанные с общим законом сохранения; эти принципы имеют место как на организменном, так и на молекулярном уровне развития живых систем;

принцип «золотой симметрии» действует и на уровне неживой природы как определенный инструмент ее упорядочения и прогрессивной эво- люции;

в то время, когда ряды Фибоначчи матема- тически характеризуют прогрессивную тенденцию природного отбора, т. е. «стремления» природы к оптимальному функционированию ее систем, прин- цип «золотого сечения» - экстремальное (высшее) проявление структурного и функционального совер- шенства этих систем;

«золотая» спираль с модулем Ф является математическим смыслом тайны жизни, которая оптимально выявляет себя и в растительном, и в животном мире, потому что она - проявление закона гармонического возрастания пульсаций.

Итак, мы делаем вывод, что среди бесчислен- ного разнообразия форм в природе, с которыми встречается художник, царит закономерность и системность, связующей нитью которых является пропорция золотого сечения.

Все существующее в природе и воспринимаемое глазом человека имеет величину и форму. Всякий природный объект является чем-то единым, цело- стным. Нетрудно заметить, что природа всегда создает что-то целое: человека, дерево, рыбу, ло- шадь, собаку и т. д. От этого целого нельзя ничего отнять, убавить, не нарушив целостность. Нельзя ничего и прибавить. Оно будет лишним и тоже

нарушит целостность и гармонию. Например, шесть пальцев на руке человека, три рога у быка.

Целое всегда состоит из частей. Части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Это и есть пропорции. С математической точки зрения мы отмечаем пов- торение измеримых равных величин и неравных, соотносящихся друг с другом как величины золотой пропорции. Это - два вида пропорциональных отношений. Все другие величины, если они возник- ли в результате нарушения формообразования по каким-либо причинам, пропорции не составляют. Пропорциональные отношения ведут к симметрии, ритму, к гармонии и красоте. Непропорциональные отношения ведут к нарушению порядка, нарушению симметрии и ритма, что воспринимается человеком как некрасивое и даже уродливое.

Таким образом, определяются пять принципов формообразования в природе: 1) целостность, 2) пропорции, 3) симметрия, 4) ритм и 5) главное в целом. Эти пять принципов выступают в виде законов формообразования. К чему бы мы ни обратились в природе, везде обнаруживаются эти пять принципов формообразования.

Закономерности зрительного восприятия

Природа создала человека. Она же создала удивительный его орган - глаз, который передает человеческому мозгу около 90 % всей информации о внешнем мире. Естественно возникает вопрос: закономерность пропорционирования человеческого тела по принципам симметрии и золотого сечения в видимых его частях продолжает ли сохраняться и в невидимых, например, в строении глаза, органа столь важного для художника?

Еще Леонардо да Винчи отмечал, что глаз человека объемлет красоту всего мира, что он направляет и исправляет все искусства человече- ские, он начало математики, он породил архитек- туру, перспективу и живопись.

Обширнейшей областью проявления симметрии и золотого сечения, идущих рука об руку, является архитектура. В строениях античности, готики, ре- нессанса и более позднего времени мы постоянно видим симметрию по вертикали и членения в отно- шениях золотого сечения по горизонталям. И как ни точна архитектура в пропорциях, как ни гео- метричны ее формы, всегда считалось, что окон- чательным судьей цельности, гармоничности и кра-

соты сооружения является глаз человека. Уже мастера древности знали, что в строгий геометри- ческий чертеж, геометрическую точность пропор- ций необходимо внести еле заметные коррективы, требуемые глазом. Эти коррективы наблюдаются в архитектонике колонн, антаблементов, карнизов, ступеней. В эпоху Возрождения также учитыва- лось, с какой точки зрения будет рассматриваться здание или скульптура. Итальянский живописец, архитектор и историк искусства Джорджо Вазари (1511 -1574) во введении к «Жизнеописаниям» говорит, что не следует пользоваться другим луч- шим мерилом, как суждением глаза, ибо если какая-либо вещь будет хорошо размерена, но гла- зу она покажется ошибочной, то не останется ничего, как хулить ее. Глаз должен посредством своего суждения снять или прибавить столько, чтобы придать произведению пропорциональность, изящество и совершенство. Художники Возрожде- ния хорошо понимали, что «...живопись как род изобразительного искусства покоится на законах зрительного восприятия (курсив наш.- Е. К.). Этим объясняется тот совершенно исключительный интерес к глазу, который был так характерен для эпохи Возрождения» 1 .

И в последующие столетия высказывалось мно- го догадок о глазе как единственном непогрешимом судье пропорциональности и красоты. Г. Гримм пишет, что Виолле-ле-Дюк категорически отрицал укоренившееся в его время мнение, что пропорции в архитектуре являются исключительно результа- том чутья, интуиции. Он считал, что пропорции в архитектуре основаны на законах и геометриче- ских принципах, согласованных с глазом. Ле Кор- бюзье, разработавший «модулор» и осуществивший при его помощи множество прекрасных построек, не считал его универсальным и непогрешимым средством определения пропорций: иногда ему по- казывали неудачно, плохо скомпонованные проек- ты, оправдываясь тем, что «это сделано с помощью «модулора». «Если «модулор»,- отвечал он,- при- водит вас к этому безобразию, выкиньте его. Вашим единственным судьей должны быть ваши глаза. Оценивайте все собственными глазами» 2 .

Глаз человека не только приемник световых излучений. Глаз подготавливает информацию моз- гу, упорядочивает ее. Поэтому К. Маркс и назвал

1 Котова Е. Глаз и законы красоты//Искусство.-1966.- № 12.-С. 8.

2 Л е Корбюзье. Модулор.-М., 1976.- С. 85.

его производительным органом: «Наказание, кото- рому Родольф подверг Мастака,- то же, которому подверг сам себя Ориген. Родольф оскопляет Мастака, лишает его одного производительного органа - глаза. Глаз - это светоч тела» 3 .

К. Маркс отмечал, что человеческий глаз стал глазом, чувствующим красоту формы. Какой фор- мы-природной, созданной природой, или формы, созданной руками человека? Очевидно, что в пер- вую очередь должна идти речь о природных фор- мах, которые радовали глаз человека, а затем и формах предметов, созданных самим человеком. Природа, как мы уже видели, творит формы не случайно, а закономерно. В формах природы про- является симметрия, пропорциональность частей и, как высшее проявление организованности роста,- золотое сечение.

Надо полагать, что глаз человека построен природой также не случайно, а в том же порядке, который свойствен всей творящей материи. И при- способлен он к восприятию того вокруг себя, что создано той же природой и по тем же законам.

Глаз устроен так, что человек может сосредо- точить внимание на чем-то, что особенно заинтере- совало его в этот момент. Интерес может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван и красотой формы.

В центре глазного дна есть небольшое углуб- ление-центральная ямка. Это место наилучшего видения. Главный луч зрения всегда направлен по оси: центральная ямка - центр хрусталика - рас- сматриваемый предмет. Вокруг центральной ямки расположилось желтое пятно. Это место дневного зрения и наилучшего цветового восприятия. Чем дальше от желтого пятна, тем меньше колбочек содержит сетчатка и все больше палочек. Палочки приспособлены для сумеречного зрения и для во- сприятия формы. На некотором расстоянии от желтого пятна находится так называемое слепое пятно. Здесь нет ни колбочек, ни палочек, этим местом глаз не видит. Это сосок зрительного нерва.

Зачем слепое пятно? Разве нельзя было все волокна зрительного нерва, идущие к колбочкам и палочкам, собрать где-то в глубине глаза, а не на поверхности сетчатки? И почему слепое пятно природа разместила именно здесь, а не где-нибудь дальше, ведь места в глазном яблоке еще много?!

3 Маркс К., Энгельс Ф. Святое семейство // Маркс К., Энгельс Ф.- Соч.- 2-е изд.-Т. 2--С. 196,

Геометрическая схема глазного дна (а) в рисунок Мариотта для нахождения слепого пятна глаза (б)

Но, как известно, природа ничего не делает без необходимости.

В соответствии со своим строением глаз не просто передает в мозг световые сигналы, посту- пившие в него извне, не зеркально отражает все то, что находится перед ним, а готовит информа- цию для мозга в определенном порядке и соподчи- ненности. Центральная ямка и желтое пятно дают самое четкое изображение и наилучшее цветовос- приятие. Периферическая часть поля ясного зре- ния дает менее четкое восприятие и тем самым обеспечивает главенствующую роль центра. Слепое пятно не участвует в зрительном восприятии сов- сем. За слепым пятном идет еще более дальняя периферия, которая обеспечивает только общее восприятие, являясь как бы фоном для поля ясного зрения, но она очень чувствительна к световым сигналам от движущихся предметов, что биологи- чески имеет смысл и очень важно в борьбе за существование (сохранение жизни индивида).

А что же делает самая дальняя периферия глазного яблока, куда не попадают световые лучи?

Там создается ноль-цвет и служит он базой для сравнения всех цветовых ощущений, которые дает сетчатка.

Как видим, глаз устроен разумно. Но самое интересное и удивительное начнется тогда, когда мы нарисуем геометрическую схему глазного дна (рнс. 28, а). Желтое пятно имеет слегка вытянутую форму по горизонтали и соответствует углам 6° и 8°. На расстоянии 12° от центральной ямки начи- нается слепое пятно, которое соответствует углу 6°. До наружного края слепого пятна от середины центральной ямки 18°. Если таким радиусом опи- сать круг, получим основание зрительного конуса, соответствующее 36°. Это поле ясного зрения.

Безусловно, глазное дно не расчерчено цирку- лем. Это живая ткань и границы названных эле- ментов глазного дна размыты, нечетки, но они есть. Таким образом, можно заключить, что на- ружная граница слепого пятна является границей поля ясного зрения. Слепое пятно является как бы сигналом: здесь вижу плохо, переведи взгляд, хочу рассмотреть. Слепое пятно глаза открыто фран- цузским физиком Эдмом Мариоттом в 1668 г. Он использовал свое открытие для оригинальной за- бавы придворных короля Людовика XIV. Мариотт помещал двух зрителей на расстоянии двух метров друг напротив друга и просил их рассматривать одним глазом некоторую точку сбоку, тогда каж- дому казалось, что у его визави нет головы. Голова попадала в сектор слепого пятна смотрящего глаза. Известен рисунок Мариотта для нахождения сле- пого пятна (рис. 28, б). Если смотреть на крестик правым глазом (левый должен быть закрыт), при- ближая или отдаляя рисунок от глаза, наступает момент, когда черный кружок не виден.

Пропорциональные величины в пределах поля ясного зрения между элементами глазного дна со- ставляют величины золотого сечения (рис. 29, а). Но и поле ясного зрения в общем поле зрения ABCD занимает не случайное положение. Рис. 29, б показывает, что и тут все величины соотносятся как величины золотого сечения. Кроме того, в ве- личинах и расположении элементов глазного дна в пределах поля ясного зрения и в пределах обще- го поля зрения сохраняется содружество симмет- рии и золотого сечения. Слепое пятно правого гла- за зеркально отражается в слепом пятне левого глаза. Природа и здесь осталась верна себе. Отсюда следует вывод, что глаз готовит мозгу информацию не только в определенной соподчинен-

Золотые пропорции общего поля зрения (а) и поля ясного

зрения (б):

А BCD - поле зрения; ab с d - поле ясного зрения

ности по четкости и ясности восприятия, но и в пропорциях и ритмах золотого сечения. Именно такие пропорции и ритмы и нужны мозгу, так как сам он активно работает именно в ритмах золотого сечения. Об этом свидетельствуют исследования, проведенные в лаборатории бионики МЭИ.

Научный руководитель лаборатории проф. Со- колов А. пишет: «Человек поднялся над животным миром благодаря осмысленному труду, умственной работе. При этом состоянии мозга доминирует бета-волна, которую поэтому нужно считать глав-

ной составной частью единой системы всех элект рических волн мозга. Средняя геометрическая час тота для нее составляет 22,13 Гц, а две полось равны 8,13 Гц и 12,87 Гц. Общий же диапазон то есть разность крайних частот, составляет 21 Гц

И отношения этих величин друг к другу при водят нас к удивительному результату - золотом) сечению...» 1 . 8, 13, 21-знакомые нам числа ряда Фибоначчи! И далее: «...Волна бета занимает осо- бое место в системе волн мозга. Ей соответствует наиболее «краткий» алгоритм активности. И по- этому она чаще всего связана с успешной деятель- ностью, с приятным чувством, даже с радостью И в этом секрет золотого сечения» 2 .

Если мозг в состоянии активности работает на бета-волне, т. е. в ритме золотого сечения, а глаз есть часть мозга, вынесенная на периферию, тс нет ничего удивительного в том, что сетчатка глаза (глазное дно, его элементы) пронизана пропорция- ми золотого сечения. Информация о внешнем мире, идущая в мозг через глаз, как нельзя лучше подготовлена для него.

Итак, глаз человека - это совершеннейшее творение природы по принципу золотой пропорции. В нем записана гармония всего мира. Глаз - мол- чаливый посредник между материей творящей в материей мыслящей. Мозг, глаз и сердце объеди- нены одной общей системной закономерностью - пропорцией золотого сечения. Синхронная их рабо- та при восприятии и переживании прекрасного и дает человеку ощущение гармонии, эстетического переживания.

Объективирование световых впечатлений

Искусствоведение и художественная педагогика делают большую ошибку, недооценивая роль есте- ственнонаучных знаний. Сложилось убеждение, что в учении о работе глаза, зрительном восприя- тии все хорошо известно, поэтому ни искусствове- ду, ни художнику-педагогу, здесь делать нечего. Неудивительно поэтому, что вне поля зрения художников и искусствоведов осталось разъяснение И. М. Сеченова об объективировании световых впечатлений. В «Физиологических очерках» он пи- сал: «В чувстве боли, голода, жажды, усталости,

1 Соколов А. Тайны золотого сечения//Техника - моло- дежи- 1978.-№ 5.- С. 41-42.

2 Там же. - С. 42.

Объективирование световых впечатлении:

а - рассматривание предмета через лупу; б - совпадение внешнего предмета и вынесенного образа

в ощущении вкуса, запаха и слуха мы не чувствуем внешней причины вызвавшей ощущение,- оно чувствуется нами исключительно, как перемена в состоянии нашего тела. В осязательных же и зри- тельных впечатлениях от внешних предметов мы, наоборот, чувствуем не себя, не перемену в состоя- I нии нашего тела, а предмет, вызвавший впечатле- ние. То, что я вижу, стоит вне меня и называется внешним предметом. А между тем легко убедиться, что я вижу собственно не внешний предмет, а вы- несенный наружу образ его, нарисовавшийся на сетчатке. ...В случаях ясного видения предметов мы видим собственно образ их на сетчатке и выно- сим их наружу в то самое место, где лежит внеш-

ний предмет. Это и называется объективированием световых впечатлений» ".

Мы выносим наружу образ предмета, нарисо- ванного светом на сетчатке. В этом легко убедить- ся, посмотрев на какой-либо предмет в лупу (рис. 30, а). Предмет остается на месте. Лупа же увеличивает угол поступления лучей в глаз, и об- раз на сетчатке рисуется большим. Затем этот образ выносится наружу, и мы видим предмет большим, чем он есть. Если посмотреть в театраль- ный бинокль, будет то же самое. Если поставить бинокль перед глазами наоборот, предмет будет виден меньшим и далеко. Этим приемом пользу- ются некоторые художники, чтобы смотреть на картину, если в мастерской нет условий для отхода на нужное расстояние.

Далее И. М. Сеченов объясняет, что вынесение наружу образа, нарисовавшегося на сетчатке, про- исходит по тем самым линиям, по которым строит- ся изображение предмета в глазу. Вследствие этого вынесенный образ всегда совпадает с внешним предметом, так как глаз к нему приспособлен, на него направлены оси зрения обоих глаз (рис. 30, б). Все другие предметы, лежащие дальше или ближе рассматриваемого, правее или левее, ви- дятся менее четко, потому что их изображения на сетчатке выносятся каждым глазом в иное место. И. М. Сеченов приводит для примера рисунок, ко- торый иллюстрирует это положение. Рассматривая картинки в стереоскопе, мы не видим сами картин- ки, а видим их образы, нарисовавшиеся па сетчат- ках и вынесенные наружу. Мы видим предмет, изображенный на картинках, впереди себя, перед стереоскопом. На рис. 31 показано, почему мы ви- дим ухо нечетко, когда смотрим на нос.

Большинство картин выдающихся художников построены так, что главный предмет (объект) сдви- нут с середины холста вправо или влево и нахо- дится на линии золотого сечения прямоугольника картины. Такой сдвиг зрительного (смыслового) центра с геометрической середины холста обуслов- лен особенностями зрительного восприятия. Эта особенность, в свою очередь, связана со зритель- ными путями мозга (рис. 32). Образ предмета, на который направлен взор в данный момент, рисует- ся светом на желтом пятне (если предмет неболь-

1 Сеченов И. М. Физиологические очерки.- М.; Петроград, 1923.-Ч. 2.-С. 242-243.

Четкое и нечеткое видении предметов

шой). Информация о полученном раздражении передается по зрительным нервам в зрительный центр мозга и в правое, и в левое полушарие. Информация с внутренней части сетчатки пра- вого глаза поступает только в левое полушарие, а из наружной части сетчатки - только в правое. Таким же образом идут зрительные пути от левого глаза. В итоге поле желтого пятна представлено и в правом, и в левом полушарии. Правая часть поля зрения представлена только в левом полушарии, а левая - только в правом. На схеме видно, что участок слепого пятна, который ие видит правый глаз, видит левый периферией своего поля ясного зрения, а участок слепого пятна, который не видит левый глаз, видит правый периферией своего поля ясного зрения. В результате этого в повседневной жизни при смотрении двумя глазами мы не заме- чаем пустот в поле зрения.

Так как поле слепого пятна представлено толь- ко в одном полушарии и довольно нечетко - па периферии поля ясного зрения - оно и является сигналом для мозга о нечеткости восприятия и о необходимости перевода взгляда в этот сектор для получения более полной зрительной информации. С перемещением главного луча зрения, естествен- но, переместилась и воображаемая картинная плос- кость.

Когда мы рассматриваем что-то в натуре, глаз, фиксируя главное, всегда отдает предпочтение пра- вой или левой части поля ясного зрения в зависи- мости от значимости видимого. Если значение ви- димого в обеих половинах поля ясного зрения оди- наково, итог выбора зависит от ведущего глаза. Но когда художник организует изображение на плоскости холста, ему самому необходимо решить: какой части поля ясного зрения отдать предпочте- ние- правой или левой. Чтобы это предпочтение получилось верным, некоторую часть поля ясного зрения справа или слева необходимо отсечь. Этой частью поля является участок слепого пятна, так как он плохо видим. Достаточно отсечь этот уча- сток на величину слепого пятна, т. е. на 6°, или, что то же самое, на 1/6 часть поля ясного зрения, и тогда глаз легко воспринимает центр и осталь- ное поле (рис. 33, б). В рисунке «Ваза: два про- филя» (рис. 33, в) мозг человека выдвигает две гипотезы: мы видим то вазу, то два профиля. В рисунке «Корыто» (рис. 33, г) мы видим корыто то дном вверх, то дном вниз. В рисунке «Елка» (рис. 33, а) мозг не может решить, какой части

Зрительные пути мозга

Геометрический центр картины и линия золотого сечения:

а-главный предмет в геометрическом центре картины; б - главный

предмет на лннии золотого сечения; в - рисунок «Ваза: два профиля»;

г - рисунок «Корыто»

поля, левой или правой, отдать предпочтение. От- сечением поля на 1/6 часть мы помогаем мозгу ре- шить эту задачу и выводим главный предмет на линию золотого сечения (рис. 33, б). В результате такой операции центр поля ясного зрения, где всегда находится рассматриваемый предмет, ушел из геометрического центра холста и вышел на зо- лотое сечение. Поэтому правильнее говорить не о смещении центра внимания с геометрического цен- тра картины, а об отсечении 1/6 части воображае- мой картины.

Далее речь пойдет не об общетеоретических во- просах сочинения картины, а о том, как художнику распорядиться поверхностью холста, как организо- вать изображение для наилучшего восприятия зри- телем, чтобы картина легко читалась. Другими словами назовем это практической композицией. Мы имеем в виду то, о чем говорил еще Гёте, что необходимо изучить законы, по которым мы видим, научиться превращать предмет в картину, т. е. пре- творять видимое в заполнение плоскости в картине.

Выше уже говорилось о том, что художники-мыс- лители догадывались о существовании законов композиции, непосредственно вытекающих из зако- нов зрения.

Научная теория композиции

Великие мастера живописи владели секретами композиционного и живописного мастерства. Об этом говорят их произведения. Народный худож- ник СССР Б. В. Иогансон советовал молодым художникам копировать произведения великих ма- стеров и не огорчаться, если вначале будут ошиб- ки, неудачи: «...обязательно будут ошибки. Эти ошибки наведут на размышления, на догадки и, наконец, натолкнут на тайные законы построения (курсив автора - Ф. К.) живописного произведе- ния, подобные логике архитектурных форм» ".

Среди некоторой части современных художни- ков бытует мнение, что законов композиции нет, учить тут нечему и незачем. Но почти каждый ху- дожник втайне знает, что законы композиции все же есть. Каждый знает, что вопросам такого рода, по образному выражению А. Герцена, «нельзя навязать каменьев на шею». Об этой не- побежденности предмета очень часто напоминает художнику его собственная практика. Начав пи- сать картину на холсте, он видит, что что-то не так, изображение плохо смотрится, картина не вхо- дит в глаз, разваливается. И начинаются мучи- тельные переделки, переписывания, подчас изнури- тельные и тягостные. Вместо того, чтобы успешно закончить картину, художник изматывает себя со- мнениями, силы уходят па то, что должно было быть решенным в самом начале. Известно, что Рубенс делал эскиз и за неделю заканчивал кар- тину.

Определение композиции

Считается, что первым употребил слово «ком- позиция» по отношению к произведению искусства итальянский ученый, теоретик искусства эпохи Ран- него Возрождения, живописец и архитектор Леон Баггиста Альберти (1404-1472), считавший, что композиция - это такое разумное основание живо- писания, благодаря которому части видимых вещей

1 См.: Школа изобразительного искусства: Вып. 1.-М., I960.- С. 5.

складываются в картину. В последующие столетия, и вплоть до наших дней, попытки дать исчерпыва- ющее определение композиции не прекращаются. Приводим некоторые из них.

Композиция есть такое сопоставление отдельных форм, при котором они связываются в новое целое высшего порядка.

Ф. Шмит

Композиция... в литературе и изобразительных искусст- вах- построение произведения, соотношение отдельных частей (компонентов) произведения, образующих единое целое.

Словарь иностранных слов

Все виды искусства... характеризуются наличием такой важнейшей стороны художественной формы, как композиция.

В. Ванслов

Композиция - главная форма произведения искусства.

Н. Волков

Народный художник СССР Е. А. Кибрик в 1961 г. сетовал, что, когда в Академии художеств разрабатывались программы по композиции, не удалось найти приемлемой для всех формулиров- ки, что есть композиция.

Выработке научного определения термина «композиция» в значительной мере мешает утвер- дившееся в практике художников различное упо- требление этого слова. Композицией называется учебный предмет в художественном институте или училище. Композицией называют тематическую картину, в отличие от портрета, пейзажа и натюр- морта. Еще больше усложнило определение компо- зиции стремление объединить в одном слове поня- тия единства содержания и формы художественно- го произведения. В программе по композиции для художественно-графических факультетов педагоги- ческих институтов можно прочитать, что в настоя- щее время понятие «композиция» рассматривается как явление диалектическое в своей сущности, так как оно впитало в себя и структурную организа- цию художественного образа, и систему идейно- тематических и формально-пластических связей и зависимостей, и важнейшие закономерности по- строения художественного произведения, процесса его создания и восприятия. Эти основные уровни понятия «композиция» являются и основными на- правлениями формирования навыков композицион- ной деятельности.

О трудностях нахождения окончательного опре- деления термина «композиция» свидетельствуют и попытки Е. В. Шорохова дать это определение в учебнике «Композиция», предназначенном для сту- дентов художественно-графических факультетов

педагогических институтов. Он пишет: «...Более полное определение понятия «композиция» будет звучать так: «Композиция произведения изобрази- тельного искусства есть главная художественная форма произведения изобразительного искусства, объединяющая все остальные формы, характери- зующаяся как целое с фиксированными, законо- мерно связанными между собой и с целыми частя- ми (элементами), в котором ничего нельзя пере- местить или изменить, от которого ничего нельзя отнять и к которому ничего нельзя добавить без ущерба художественному образу, это целое, нахо- дящееся в неразрывном единстве со смыслом (иде- ей, содержанием) произведения» ".

К множеству определений какого-то понятия приходят всякий раз не только в изобразительном искусстве, но и в других областях культуры, когда нет четкого понимания содержания понятия. Чтобы не заблудиться в дебрях словотворчества, остано- вимся на академическом определении понятия «композиция».

Композиция - это строение формы произведе- ния искусства, направленное на раскрытие замыс- ла автора. Композиция (от лат. compositio - со- ставление, связывание)-это построение произве- дения искусства, обусловленное его содержанием, характером и назначением и во многом определяю- щее его восприятие.

В высшей степени целесообразным является ознакомление с высказываниями о композиции из- вестных советских художников и теоретиков искус- ства, в которых чувствуется биение пульса време- ни, прозрение и стремление к истине. К. Ф. Юон отмечает, что продуманную и завершенную ком- позицию рассматривают как образную формулу, в которой приведены к смысловому и формально- му единству все части картины. В. Ванслов гово- рит, что закономерности композиции существенно различаются в архитектуре и живописи, музыке и поэзии. Но композиция как план и схема построе- ния произведения, как соотношение и организация его разделов, частей, персонажей и так далее, как соподчииенность целого и его элементов присуща художественной форме произведения любого вида искусства. Композиция есть завершенная целост- ность, определенная смыслом произведения, утвер- ждает Н. Волков.

1 Шорохов Е. В. Композиция.-М., 1986.-С. 10-11.

Приводим ряд примеров по определению поня- тия композиция, высказанных художниками и тео- ретиками искусства.

Художники прекрасно знают..., что, пока не нашлась ком- позиция... бесполезно писать лица. Как бы сильно они ни были написаны, они таинственным образом теряют силу, пока не найдут свое место в картинном пространстве, в композицион- ном ряду.

В. Леняшин

Мне запомнилось, как он (Б. Н. Зуев) меня учил, что в композиции обязательно должно быть нечетное число фигур. Я это запомнил - что-то в этом правиле есть, хотя бы то, что «неделимую» композицию естественнее сложить из нечетного числа фигур, так как четное число легче распадается на рав- ные части.

Е. Кибрик

Композиция есть творческая организация картины. Ни в коем случае нельзя смешивать ее с размещением предметов на холсте. На первый взгляд может показаться, что пейзаж, изображающий внизу пустое море, а наверху безоблачное небо, является картиной, не имеющей композиции... На самом деле, отношение по размеру неба в длину и ширину к морю уже есть композиция. Тон неба и моря, размер всей картины - все это элементы композиции.

Н. Крымов

Композиция - это всегда построение (цветовое, линейное и т. п.), выявляющее смысловые связи. Композиция - это всег- да толкование сюжета.

Н. Волков

Со временем убеждаешься, что в основе всякого творче- ства лежит композиция, что все начинается и кончается ею, что в ней как бы сфокусированы все слагаемые ремесла. Она может быть элементарной, а может быть выверена математи- ческой логикой, подчинена интуиции художника. ...Композиция удовлетворяет меня тогда, когда и образно-смысловой строй, и декоративно-пластические задачи находятся в органическом взаимодействии.

В. Сидоров

Наше время - век композиции. Если раньше она по су- ществу означала эскизирование, то есть работу над сюжетом картины (предусматривала размещение фигур и интерьера в формате картины), то теперь значение и понимание композиции изменилось. Она может быть в натюрморте и рисунке, в на- броске. Это не только соотношение линий, силуэтов, цветов - это и взаимовлияния, и внутренние связи элементов, персона- х<ей, линий, форм на основе стилевого единства, чувства цело- стности.

С. Григорьев

Мне важно, когда я начинаю новый холст, прежде всего ночувствовать весь ход дальнейшей работы. В этом процессе создания вещи я главной для себя считаю композицию. Без нее картина не может существовать, даже когда верно найдены цветовые отношения и выражено состояние. Искать компози- цию-для меня это значит прежде всего внутренне органи- зовать холст, определить его структурный костяк, его основу.

Э. Браговский

Вопрос о композиции является труднейшим, узловым во- просом.

Б. Иогансон

...«Вопросы композиции» по-прежнему остаются лишь «во- просами». ...Уже намечен верный путь к теоретическому раз- решению этого сложного вопроса; но единого взгляда на ком- позицию все еще нет, нет и установившейся методики обуче- ния композиции.

М. Эткинд

Отнюдь не способствует расцвету тематической картины и медленно совершенствующееся преподавание композиции, осо- бенно многофигурной, в наших вузах.

Е. Калинин

Число примеров определений композиции, дан- ных художниками и теоретиками искусства, можно легко продолжить. Из них все же следует, что композиция - это строение, взаимосвязь частей, обеспечивающая целостность изображения, направ- ленная на раскрытие содержания, идеи произве- дения.

Содержание художественного произведения возникает в голове художника как замысел; иногда оно диктуется заказчиком, конкурсной программой и так далее, а композиция создается художником, строится форма. Когда возникает единство содер- жания и формы, тогда возникает завершенная це- лостность - картина, скульптура, офорт. Содержа- ние картины сочиняется, композиция строится. В итоге - это единое целое. Работать над фор- мой- значит работать над содержанием, и наобо- рот. Логика художника - это сочинение; интуи- ция его - это геометрия холста, ритмы, пропорции, отношения, потому что глаз и мозг его - неосоз- нанная геометрия, измерение. Всякое познание есть чувственное измерение.

Поиски законов композиции

Работа над эскизом картины - это всегда «езда в незнаемое». Она почти всегда приводит худож- ника к мысли о том, существуют ли какие-то все- общие закономерности композиционного построе- ния и если существуют, то чем они обусловлены. Почему в одном случае картина получилась, а в другом не получилась.

И. Е. Репин, будучи уже знаменитым художни- ком, вспоминал, что в молодости законы компози- ции не давали ему покоя. В Академии художеств учили сочинять барельефы, расставлять фигуры по планам и прочее. И только на Волге, в кустарни- ках на Лысой горе, он впервые уразумел законы композиции: рельеф и перспективу, пространство

первого плана и фон. Натура учила композиции.

И. Н. Крамской знал, что они, «эти проклятые законы», существуют помимо личного вкуса и тем- перамента художника. Нужно их понять и им под- чиняться. Известно его письмо к художнику Ф. А. Васильеву, в котором он указывает на необ- ходимость построения картины в соответствии с законами зрения, потому что нельзя при взгляде вдаль видеть землю под ногами, а при взгляде вниз - небо над головой.

Народный художник СССР Б. В. Иогансон был убежден, что законы композиции имеются, но вскрыть их, найти общие правила чрезвычайно трудно. В 1950 г. в статье «К вопросу о компози- ции» он писал: «Вопрос о композиции является труднейшим, узловым вопросом изобразительного искусства... Можно ли учить композиции, сущест- вуют ли для композиции законы такие же, как и для рисунка? ... Я думаю, учить можно. Обязатель- но должны существовать и существуют закономер- ности в композиции. ...Вопрос о композиции дол- жен быть хорошо теоретически обоснован. Поэто- му, мое мнение,- кафедру композиции в художест- венных институтах организовывать рано... Сейчас пока нужно учить студента композиции на разборе шедевров русского и мирового искусства. Другого выхода, по-моему, нет» ".

В 1980 г. вышла книга Н. Ростовцева «Методи- ка преподавания изобразительного искусства в школе», в которой автор отмечает, что старая Ака- демия художеств «обучала своих воспитанников правилам и законам композиции и сегодня худож- ники-педагоги, уважающие традиции реалистиче- ского искусства, стараются их восстановить» 2 . Далее Н. Ростовцев приводит интересные данные, которые красноречиво говорят о теоретической пу- танице в вопросах композиции: академик М. Ма- низер указывает десять правил композиции,

A. Лаптев - пять правил, А. Дейнека - девять (седьмое правило - золотое сечение), академик

B. Н. Яковлев - двенадцать общих законов компо- зиции и сорок (!) частных правил композиционно- го решения тематической картины. Сам Н Ростов- цев рассматривает восемь законов, в число которых попадают асимметрия, равновесие, статика, дина- мика и др.

1 Иогансон Б. В. За мастерство в живописи.- М., 1952.-

2 Ростовцев Н. Н. Методика преподавания изобразитель- ного искусства в школе.-М., 1980.-С. 172.

Н. Ростовцев не говорит о том, что «старая академия» четко разграничивала понятия сочине- ния картины и ее композицию. Смысловая сторона картины сочинялась и излагалась в программном задании, бралась из мифа или библии, из оте- чественной истории, подсказывалась действитель- ной жизнью, а композиция строилась. Законы по- строения формы картины для данного содержания, легко и свободно воспринимаемой глазом, явля- ются законами композиции.

Издательство «Просвещение» в 1986 г. выпусти- ло очень нужный учебник «Композиция» автора Е. В. Шорохова для студентов художественно-гра- фических факультетов педагогических институтов.

Е. В. Шорохов делит законы композиции на основные (общие, объективные) и частные. К основным отнесены законы: целостности, кон- трастов, новизны, и подчиненности всех средств композиции идейному замыслу. К частным зако- нам отнесены законы жизненности и воздействия «рамы» на композицию изображения на плоскости. Заметим, что в первом издании учебного пособия Е. В. Шорохова «Основы композиции» (М., 1979) в основных законах фигурировал закон типизации (жизненности), но отсутствовал закон новизны. Закон целостности назывался законом цельности, что не одно и то же. Такие законы формообразо- вания, как симметрия и ритм, в первом и втором изданиях отнесены к правилам композиции. Такое перетасовывание законов композиции, как карт в колоде, стало возможным потому, что допускалось смешение понятий «законы искусства», «законы картины» и «законы формы (композиции)». Одно подменялось другим. Свободно толкуется понятие закона и правила.

Найти законы композиции и построить научную теорию можно только тогда, когда законы компо- зиции мы не будем конструировать на основе умозаключений, а будем исходить из реально суще- ствующих объективных законов формообразования в природе и искусстве.

Что такое научная теория композиции

Научная теория композиции, как и всякая иная теория, опирается на научные знания. Еще Лео- нардо да Винчи отмечал, что только то знание истинно, которое проверено математикой; нет ни- какой достоверности в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук.

Хорошо известны слова К. Маркса о том, что наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой. Наука о композиции не является исключением. Теория композиции станет истинно научной и законы ком- позиции будут неопровержимо убедительны только тогда, когда мы найдем возможность применить к ним хотя бы одну из математических наук, на- пример, геометрию или арифметику, или ту и дру- гую вместе.

Научный подход к тайнам искусства был зало- жен еще в Древней Греции. Греческие художни- ки-педагоги призывали своих учеников овладевать искусством с помощью науки.

Чувственно воспринимая, человек измеряет. Но чувства могут приводить к ошибкам (зрительные иллюзии). Ум человека не только обогащает чув- ства, но может и проверить их истинность путем измерения. Число вносит порядок в мир. Итальян- ский ученый, теоретик искусства эпохи Возрожде- ния, живописец, архитектор, поэт и музыкант Л. Альберти высказывал желание, чтобы живопи- сец был как можно больше сведущ во всех свобод- ных искусствах, но прежде всего, чтобы он узнал геометрию. Математика есть такая наука, которая восполняет несовершенство наших чувств. Разум- ное сочетание чувственного, интуитивного с раци- ональным, научным в творчестве художника долж- но стать основанием для дальнейшего совершенст- вования искусства живописи.

В середине XIX в. в России возникло, а затем и оформилось направление эстетической мысли, которое в основу подхода к явлениям искусства положило критерий научности, стали широко при- влекаться данные естественных наук. Особенно возрос интерес к золотому сечению. По отношению к архитектуре оно истолковывалось так: 1) золотое сечение господствует в архитектуре; 2) золотое се- чение господствует в природе; 3) золотое сечение господствует в архитектуре потому, что оно господ- ствует в природе, а творчество архитектора явля- ется продолжением творчества природы: «Идущее вразрез с творчеством природы не может быть прекрасным. И наоборот. Законы органической природы являются также законами архитектурных сооружений, служат основанием красоты зодче- ства» ".

1 Кириченко Е. И. Архитектурные теории XIX века в Рос- сии.-М., 1986 -С. 204.

Известен глубокий интерес П. П. Чистякова и других русских художников к научным данным своего времени. В то же время они на первое место ставили мысль, идею. П. П. Чистяков говорил, что он все подчиняет идее. Сюжету соответствует при- ем, идея подчиняет себе технику. Как в жизни, так и в искусстве, идея определяет все. Идея слу- жения народу вдохновляла художников-передвиж- ников на создание значительных произведений, близких и понятных народу, выражающих его со- кровенные чувства и чаяния. Глубокая идейность - неотъемлемое качество лучших произведений со- ветского изобразительного искусства.

«Золотое сечение» уже давно стало синонимом слова «гармония». Словосочетание «золотое сечение» обладает просто магическим действием. Если вы выполняете какой-то художественный заказ (неважно, картина это, скульптура или дизайн), фраза «работа сделана в полном соответствии с правилами золотого сечения » может стать прекрасным аргументом в вашу пользу – проверить заказчик скорее всего не сможет, а звучит это солидно и убедительно. При этом немногие понимают, что же скрывается под этими словами. Между тем, разобраться, в том, что такое золотое сечение и как оно работает, достаточно просто.

Золотое сечение – это такое деление отрезка на 2 пропорциональные части, при котором целое так относится к большей части, как большая к меньшей . Математически эта формула выглядит так: с : b = b : а или a : b = b : c .

Итогом алгебраического решения данной пропорции будет иррациональное число Ф (Ф в честь древнегреческого скульптора Фидия).

Я не буду приводить само уравнение, чтобы не загружать текст. При желании, его можно легко найти в сети. Скажу только, что Ф будет приблизительно равным 1,618. Запомните эту цифру, это числовое выражение золотого сечения .

Итак, золотое сечение – это правило пропорции, оно показывает соотношение частей и целого.

На любом отрезке можно найти «золотую точку» — точку, которая делит этот отрезок на части, воспринимаемые как гармоничные. Соответственно, так же можно разделить любой объект. Для примера построим прямоугольник, поделенный в соответствии с «золотой» пропорцией:

Отношение большей стороны получившегося прямоугольника к меньшей будет приблизительно равно 1,6 (заметьте, меньший прямоугольник, получившийся в результате построений, также будет золотым).

Вообще, в статьях, объясняющих принцип золотого сечения , встречается множество подобных рисунков. Объясняется это просто: дело в том, что найти «золотую точку» путем обычного измерения проблематично, поскольку число Ф, как мы помним, иррациональное. Зато, такие задачи легко решаются геометрическими методами, с помощью циркуля и линейки.

Однако, наличие циркуля для применения закона на практике совсем не обязательно. Есть ряд чисел, которые принято считать арифметическим выражением золотого сечения. Это ряд Фибоначчи . Вот этот ряд:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 и т.д.

Запоминать эту последовательность не обязательно, ее можно легко вычислить: каждое число в ряду Фибоначчи равно сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618.

Один из самых древних (и не потерявших свою привлекательность до сих пор) символов, пентаграмма – прекрасная иллюстрация принципа золотого сечения .

В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении (на приведённом рисунке отношение красного отрезка к зелёному, так же как зелёного к синему, так же как синего к фиолетовому, равны). (цитата из Википедии).

Почему же «золотая пропорция» представляется такой гармоничной?

У теории золотого сечения есть масса как сторонников, так и противников. Вообще, идея о том, что красоту можно измерить и просчитать с помощью математической формулы, симпатична далеко не всем. И, возможно, эта концепция действительно казалась бы надуманной математической эстетикой, если бы не многочисленные примеры природного формообразования, соответствующие золотому сечению .

Сам термин «золотое сечение » ввел Леонардо да Винчи. Будучи математиком, да Винчи также искал гармоничное соотношение для пропорций человеческого тела.

“Если мы человеческую фигуру – самое совершенное творение Вселенной – перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека к длине от пояса до ступней”.

Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения . Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Постепенно, золотое сечение превратилось в академический канон, и когда в искусстве назрел бунт против академизма, про золотое сечение на время забыли. Однако, в середине XIX века эта концепция вновь стала популярной благодаря трудам немецкого исследователя Цейзинга. Он проделал множество измерений (около 2000 человек), и сделал вывод, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Помимо людей, Цейзинг исследовал архитектурные сооружения, вазы, растительный и животный мир, стихотворные размеры и музыкальные ритмы. Согласно его теории, золотое сечение является абсолютом, универсальным правилом для любых явлений природы и искусства.

Принцип золотой пропорции применяется в разных сферах, не только в искусстве, но и в науке и в технике. Будучи настолько универсальной, она, конечно, подвергается множеству сомнений. Часто проявления золотого сечения объявляются результатом ошибочных вычислений или простого совпадения, (а то и подтасовки). В любом случае, к любым замечаниям, как сторонников теории, так и противников, стоит относиться критически.

А о том, как этот принцип применять на практике, можно прочитать .