Лука пачоли друг леонардо да. Содружество великих или божественная пропорция

«Красота есть некое согласие и созвучие частей в том, частями чего они являются»

Леон Баттиста Альберти
(математик, живописец, музыкант, поэт, общественный деятель, великий зодчий эпохи Ренессанса)

1.
Красота и гармония мира.
Человек не только находит их в природе или интуитивно порождает в своем творчестве. Он старается постичь сокровенную их тайну, как основу мироздания, чтобы понимать их тоньше и воссоздавать точней.

Когда интерес к сей тайне объединяет людей великих, притом в славное время в замечательном месте, то творческое содружество их само уже являет собой красоту и гармонию. Плоды же его - изумительны.

Возможно, что в истории то было не раз, но есть и такая.

2.
В эпоху Ренессанса, в богатейшем Миланском герцогстве, произошла встреча двух великих людей – математика Луки Пачоли и творца - изобретателя Леонардо да Винчи.

Луке было глубоко присуще чувство прекрасного. При этом, он был «влюблен в число» и тяготел к ОДНОЙ области - математике, считая ее уникальным ключом к истине и красоте, став в ней светилом. Своей миссией он считал дать практикам в различных областях деятельности, полезные приемы и инструменты математики.

Леонардо обладал мощнейшей творческой интуицией, воображением и изобретательностью, находя применение своих богатых талантов в САМЫХ РАЗЛИЧНЫХ областях практики и искусств. Он светил самим своим творчеством и изобретательностью, стремясь постоянно находить новые, оригинальные, масштабные решения и находки. Леонардо прибегал для этого к разносторонним и тонким наблюдениям жизни и возможностям науки, в том числе - математики.

Содружество Луки и Леонардо продлилось недолго, порядка 4 лет, но оставило у обоих благодарную память на всю жизнь.

3.
То была славная эпоха Ренессанса, эпоха мощнейшего масштабного человеческого творческого взрыва, имевшая две стороны своей медали.

С одной стороны, активно развивались науки и искусства, шел расцвет гуманизма: человек, его возможности и таланты были поставлены во главу угла. Эпоха Ренессанса рождала талантливых, многосторонне эрудированных и специализированных людей, стремившихся жить в богатстве в широком смысле этого слова. В то время происходили крупные географические открытия (Колумб, Магеллан, Веспучи, да Гамма), возрос интерес к красоте человеческого тела, возникло новое понимание космоса (Коперник), мироздания и общества (Макиавелли и др.), осуществлялся переход к мануфактуре и капитализму, возрождались идеалы античности с ее воспеванием гармоничного человека.

С другой стороны, нивелировалась духовная аскетика, та самая, что эпохой раньше создала высочайшие сокровищницы нравственной культуры (Иоанн Лествичник, Ефрем Сирин, Исаак Сирин, Андрей Критский и др). Эпоха Ренессанса не препятствовала иным нравам. Обманы, заговоры на трупах, заклятия, убийства (особенно, отравления), демонология имели распространение в обществе, не придававшей нравственной стороне жизни должного внимания.

Такая ситуация, и не только в ту эпоху, толкала людей разумных находить правильную гармонию в своей жизни. В мощности и красоте ли творчества она? Или в правильном балансе между стремлением человеческого творчества к могуществу, выходам за пределы заданного и малыми, но важными, нравственными ограничениями, выходить за которые не стоит?

На эту сторону героев обратим внимание позже, в рамках повествования.

4.
Миланское герцогство, в котором встретились Лука и Леонардо, на тот период (конца 15 века), было самым экономически сильным в Италии (особенно, после смерти в 1492 году флорентийского герцога Лоренцо Медичи, прозванного «Великолепным»). В то время Италия представляла собой набор отдельных, разрозненных, подчас воюющих друг с другом, государств. Милан, в те годы, был активным центром финансово-экономической жизни Италии, моды, центром оружейников и ремесленников. В отличии от Флоренции, где основной упор уделялся искусствам и текстильному делу, в Миланском герцогстве больше процветали естественные науки, математика и инженерия.

Лодовико Сфорца иль Моро правил этим герцогством фактически с 1480 года, работая сначала регентом у своего безвольного, не заинтересованного в государственных делах, племянника – Джана Галеаццо, родного сына его старшего убитого брата Галеаццо Мария Сфорца.

Лодовико Сфорца был роскошным по размаху, амбициозным правителем, желавшим превратить Милан в лучшее государство Италии.

Он приложил немало усилий, чтобы после смерти брата взять власть в свои руки. Ему удалось отстранить от нее супругу брата - Бону Савойскую, женщину видную, добрую, но не умную, и вместо нее стать регентом у ее несовершеннолетнего сына Джана Галеаццо.

Дядюшка вел хитрую политику. Внешне, и весьма роскошно, все почести оказывались номинальному герцогу Джану, но все решения государственной важности принимал Лодовико. Дядюшка пользовался большим доверием у племянника. Он создавал для молодого герцога увеселительную жизнь, уводил прочь от образования, давал раздолье его порокам, низлагая его нравственно и уводя от дел. Когда же Джан Галлеаццо стал не нужен – то вскоре неожиданно умер в возрасте 25 лет. Ходили слухи, что к этому приложил руки дядюшка, но алиби у него было «железное»: в момент смерти его не было в Милане. Так или иначе, но с 1494 года Лодовико Сфорца иль Моро стал законным седьмым герцогом Милана.

Прозвище иль Моро Лодовико заслужил по двум причинам. Моро обозначало мавр. Так звали его за смуглый цвет кожи лица. Но не это главное значение. Моро также означает тутовое (шелковичное) дерево как признак доблести и благоразумия. Тутовое дерево покрывается листвой последним, а плодоносит первым. Лодовико гордился этим прозвищем. Голова мавра и щелковичное дерево были изображены на его гербе. К тому же он имел слугу – настоящего мавра.

Лодовико происходил из молодого рода Сфорца (Сфорца на итальянском означает «Сильный»). Дед его, основатель династии, с 15 лет наемный воин (кондотьер) Муцио (полное имя Джакомуццо Аттондоле) заслужил этот эпитет за огромную физическую силу: он разгибал руками подковы. Таким же сильным был и отец Лодовико Франческо Сфорца, гнувший железные бруски пальцами. Франческо женился вторым браком на незаконорожденной дочери Филиппо Висконти Марии Бьянке, не имевшего наследников мужского пола. Так угасающий старинный род Висконти передал эстафету молодому роду Сфорца, как властителям Милана. В чем немалая роль доблестного и талантливого Франческо Сфорца.

Франческо, отец Лодовико, был доблестным, сильным воином и достиг в воинской службе генеральского чина. Позже, в период своего государственного правления, он добился значимых политических и экономических успехов посредством баланса (той самой гармонии) силовых и дипломатических методов управления. Он, также, почти заново отстроил монументальное архитектурное строение Кастелло Сфорцеско (Замок Сфорца), ставший резиденцией клана Сфорца. Фрески и росписи внутри замка делал затем Леонардо да Винчи. К слову сказать, итальянские архитекторы, строившие московский Красный Кремль, за основу проекта взяли Кастелло Сфорцеско.

Лодовико, в отличие от своего отца, родился болезненным ребенком (одним из 8 законорожденных детей Франческо, незаконорожденных было еще больше). Дети Франческо от Марии Бьянки пошли не в него доблестью и силой, а были похожи на мать, унаследовав характерные черты Висконти: хитрость, тонкость, изящество и др. Лодовико испытывал достаточно сильные религиозные чувства, а, также, оказывал почтение, уважение, питал добрые чувства к отцу и матери.

Лодовико был хитер, прозорлив, хотя в чем-то и прямолинеен, в государственных делах. Он понимал толк и был неравнодушен к красивым и умным женщинам. Как и у многих других влиятельных людей того времени, он имел фавориток, матерей своих бастардов (незаконнорожденных детей). Лодовико щедро награждал и покровительствовал своим женщинам. Например, после расставания с одной из них - Чечилией Галлерани (ее портрет можно увидеть на полотне Леонардо да Винчи «Дама с горностаем» (1489-1490 гг), - он выдал ее замуж за графа Бергамино и подарил один из замков. Другая фаворитка Лодовико – Лукреция Кривелли (изображена на полотне да Винчи «Прекрасная Ферроньера (1496 г) - почиталась как одна из красивейших, красотой которой искренне восхищался и Леонардо.

Лодовико был женат (с 1490 года) на одной из прекраснейших женщин Ренессанса – веселой, энергичной, умной и образованной Беатриче д’Эсте, дочери правителя Феррары. Кроме прочего, она была устойчивой в нравственном плане и не изменяла супругу.

Сфорца очень любил жену, оказывал ей почтение, дарил нежность, внимание, роскошные подарки. Супруги были близки по мировоззрению. Беатриче была для него ценным и умным соратником, а порой и вразумителем, помогавшим в государственных делах и решениях (ибо придавала внимание значимым мелочам, на которые Лодовико мог не обращать внимание).

Лодовико был старше супруги на 23 года (схожая возрастная пропорция была у его родителей). Она родила ему двух сыновей мальчиков- Массимилиано и Франческо. Ожидала рождения третьего, но в самом начале января 1497 года, родив мертвого младенца, умерла. Ей был всего лишь 21 год.

Горю Лодовико не было предела. Душевную потерю и состояние герцога не описать никакими словами! Черный драп на всех окнах Кастелло, лежащий, в течение двух недель, в своих покоях без сил Сфорца. Каждую ночь он пробуждался, одевал темный плащ и приходил на могилу жены. Пока та была жива и здорова, он молил Господа даровать ему умереть первым, ведь супруга столь молода! После ее смерти, он молил Высшие Силы о том, чтобы иметь возможность пообщаться с ее духом. Историки предполагают, что останься жива Беатриче, Лодовико не ждала бы та участь, которая с ним случилась. Но об этом позже.

5.
Вернемся к Пачоли и да Винчи.

В 1496 году в Милан, на кафедру математики университета Павии, герцогом Миланским Лодовико Сфорца иль Моро, был приглашен Лука Пачоли. Ему шел тогда 51 –й год. В том же городе служил в гильдии инженеров 44х летний Леонардо да Винчи, который прибыл в Милан намного раньше, в 1482 году.

Почему Сфорца пригласил к своему двору математика Луку Пачоли?

В 1494 году Лука Пачоли издал в Венеции, в типографии Паганино Паганини свой самый знаменитый труд, над которым работал долгие годы: Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita «Свод познаний в арифметике, геометрии, пропорциях и пропорциональности” (кратко- «Сумма»).

Это была настоящая полезная энциклопедия прикладных математических знаний по различным темам. Книга была посвящена (как было положено по канонам того времени), влиятельной особе – герцогу умбрийскому Гвидобальдо Монтефельтро, который в свое время учился математике у Пачоли.

«Сумма» была написана не на латыни (как было принято в те годы для научных изданий), а на родном итальянском языке. Это был язык практиков, торговцев, кому и адресовалась книга (Пачоли в юности жил у венецианского купца Ромпиази, обучал троих его детей математике; в начале 70-х годов Лука и сам немного занимался торговлей, но безуспешно). В «Сумме» была часть «Трактат о счетах и записях», посвященная систематизации знаний по бухгалтерскому учету, двойной записи, бухгалтерской отчетности. Этой части книги Лука Пачоли обязан почетному званию «отца основателя современной бухгалтерии», которым нарекли его потомки. А написание ее на итальянском языке увековечило основные термины бухгалтерии на нем: дебет, кредит, сальдо, субконто.

«Сумма» была очень популярна в Италии и за ее пределами, а автора знали еще и как прекрасного преподавателя. Об этом таланте Пачоли чуть позже.

Леонардо да Винчи читал эту книгу до встречи с Пачоли, но с автором знаком не был. Более того, до прочтения «Суммы» у Леонардо, увлекавшегося математикой, была идея написать свой собственный труд по геометрии, но прочитав ее он понял, что лучше написать не сможет, а хуже не стоит.

Знал об этой книге и ее авторе и Лодовико Сфорца. Он захотел пригласить Луку к себе, найдя, как его заинтересовать: дав кафедру математики в престижном университете Павии, возможность заниматься наукой, исследованиями, преподаванием, дав свободное время для написания книг.

Лука благодарно принял предложение герцога.

6.
Лодовико обладал прекрасным умением привлекать талантливых и нужных людей к себе на службу, выбирая лучших, и зная, как заинтересовать. При его дворе служило много знаменитых людей той эпохи (Браманто, Фидельфо, Кастальди, Царото и др). Сфорца умел грамотно управлять творческими людьми. Другой великий человек – Леонардо да Винчи - был совсем не простым для управления: амбициозным, своенравным, свободолюбивым. Однако, Лодовико нашел подход и к нему, давая ему интересные и разнообразные заказы и улаживая возникающие творческие конфликты.

Леонардо проработал у Сфорца почти 17 лет, проработал бы и больше, если б не разгар Итальянских войн.

Амбициозный правитель и амбициозный творец, кажется, нашли друг друга! Гармония?

Первый Миланский период творчества Леонардо да Винчи при дворе герцога Сфорца являлся одним из самых продуктивных и лучших в жизни великого Леонардо и по качеству творений (чего стоят «Мадонна Литта», «Мадонна в скалах», «Мадонна в гроте», «Витрувианский человек», грандиознейшая «Тайная Вечеря», проекты идеального города, летательного аппарата, легкого моста, колоссальный конный памятник Франческо Сфорца и очень многое иное) и по количеству его творческих проявлений (музыкант, поэт, писатель, архитектор и скульптор, инженер - мелиоратор, кулинар, шахматист, организатор придворных балов и торжеств, живописец, изобретатель и рационализатор).

7.
Леонардо стал посещать удивительные лекции по математике Луки Пачоли, восхищался его талантом преподавателя и широтой математической эрудиции. Леонардо не со всяким человеком заводил дружбу, ему нравились неординарные, масштабные и компетентные люди, коим был Пачоли. В записной книжке да Винчи тех лет есть запись: «Научись умножению корней у маэстро Луки». Или в другом: «узнай о мере весов у брата Луки».

Лука показывал высокий класс в преподавании математики. Он глубоко и основательно знал предмет, был экспертом в нем. Пачоли и выглядел подобающе. Вот как его описывал Альбер Дюпон: «Красивый, энергичный молодой мужчина; поднятые и довольно широкие плечи обличают врожденную физическую силу, мощная шея и развитая челюсть, экспрессивное лицо и глаза, излучающие благородство и интеллект, подчеркивают силу характера. Такой учитель мог заставить слушать себя и уважать свой предмет».

Кроме того, Пачоли был вежлив и приятен в общении (качество, помогавшее ему не только в преподавании, но и в общении с влиятельными особами и друзьями, которых у него было немало и у которых он пользовался успехом и покровительством).

Подход Пачоли к обучению строился по дедуктивному принципу - от сложного к простому: сначала он объяснял самый трудный пример, простые решались затем значительно проще. Пачоли так формулировал данный подход (принцип обучения): «Не заслужил сладкого тот, кто не отведал раньше горького».

Лука Пачоли имел сильный характер. В 1477 году, в возрасте 32 лет, он вступил в монашество. Для того времени, когда в ходу были нравы, описанные выше, это было подвигом. Вступая в монашество (теперь уже под именем фра Лука из Борго), Пачоли давал три основных обета: послушания, целомудрия, не стяжания. В 1486 году он стал еще и доктором теологии (богословия). Но Лука вовсе не отказывался от своего призвания – математики, а, напротив, во имя ее, становился странствующим монахом математиком. Монашество позволяло фра Луке заниматься своим любимым делом и через это служить Богу своим дарованием, передавать заинтересованным людям полезные им математические знания. Он делал то, что любит, не заботясь, сколько с этого заработает. В этом проявлялась направленность францисканского ордена миноритов: не бежать от жизни, а жить в ней, проявлять свои таланты в угоду Богу, но и принимать полезные отречения, дабы избежать ненужных соблазнов. Кстати, по этой же причине немало творческих людей приходили в этот орден. Как еще один пример в истории - композитор Ференц Лист.

Луке Пачоли, как математику, неплохо платили за его лекции и постоянно повышали жалование. Он был весьма популярен. Верность обетам позволяла ему не впадать в алчность зарабатывания, а наслаждаться процессом науки и преподавания и развиваться в них. Он старался не «засиживаться» слишком долго в одном месте: один из способов быть в тонусе, избегая привычности, а, также, расширять охват своей аудитории. Так он работал математиком в Перудже, Заре (Хорватия), Риме, Неаполе, Венеции. Не это ли один из образцов по - настоящему гармоничного человека Ренессанса?

В качестве параллели заметим, что Леонардо да Винчи не принимал монашество, и не давал обетов, но соблюдал каноны правильной жизни в высшем светском обществе Милана. В свое время, через Чечилию Галлерани (фаворитку Сфорца, прекрасного по душевным качествам и уму человека, которая была близким другом Леонардо, писала стихи и вела чтения в своем литературном клубе), он познакомился с представителями миланской элиты и усвоил как себя необходимо вести.

Леонардо будучи внешне общительным человеком, прекрасным рассказчиком и баснописцем, умевшим завести и поддержать беседу по любой теме, делая это с легкостью и юмором, в то же время был скрытен, осторожен в общении. Он никогда не писал открыто и не говорил о трех важных вещах: своей личной жизни, истории своих изобретений и о том, чего другим знать не стоит. Он имел на этот счет записную книжку, в которой вел записи в зашифрованном виде, многие из которых до сих пор не расшифровали. Леонардо держал необходимую дистанцию с людьми.

Как штрих, он был вегетарианцем и избегал излишеств в еде (считай, соблюдал неформальные посты).

К доходам Леонардо относился не как Лука, а предпринимательски: он умел предложить, «продать» себя как мастера (что успешно сделал в 1482 году и по отношению к иль Моро, приехав из Флоренции в Милан), работал на тех, кто больше платит, и в той специальности, за которую больше платят. Это было весьма в духе Ренессанса. Люди творчества работали чаще не по бескорыстному вдохновению, а по хорошо оплачиваемым заказам. Но и заказов было вдоволь, разных и интересных! Большим уважением пользовалось и меценатство.

8.
Леонардо да Винчи стал с интересом учиться математике у Пачоли.

К великому достоинству самого Леонардо можно отнести то, что он не стеснялся учиться новому и нужному ни в каком возрасте, и ни в каком статусе, и делал это легко, без ущемления самолюбия.

А учиться нужно было.

Леонардо не имел системного образования (обучавшись в ранней юности у архитектора и живописца Андреа делль Верроккьо во Флоренции, и самообучаясь) и имел немало пробелов в знаниях. Его сильная, превосходящая возможности своей эпохи, интуиция требовала опору на прочные знания, которые таковыми были не всегда.

Для инженерных работ, а, также, для заливки бронзой восковой скульптуры колоссального по размерам конного памятника Франческо Сфорца (высотой около 7 метров) ему требовались знания по математике. Лука Пачоли стал тем человеком, который помогал ему в расчетах материалов для статуи, а также инженерно – проектировочных для создания водоканалов.

А герцог Сфорца был требовательным к людям, работавшим на него. Сделанное ими должно было быть сделано качественно, изящно, роскошно вплоть до мелочей. Лодовико, и, особенно, Беатриче, очень щепетильно относились к качеству труда людей, служивших им.

9.
В те миланские годы Лука Пачоли уже начал писать другой свой монументальный труд под названием «De Divina Proportione» (О Божественной Пропорции). Многие идеи были выношены ранее при написании «Суммы» и частично освещены в ней. Тема Божественной пропорции, как кода красоты и гармонии, еще больше сблизила Луку и Леонардо.

В живописи, которую Леонардо считал высшим и первичным из искусств (ибо она, как никакое иное, позволяет сразу одномоментно высветить всю красоту изображаемого предмета), он увлекался, кроме прочих, двумя основными темами: качеством линий рисунка (техника размытых линий, похожих на то, как их воспринимает человеческий глаз) и отражением перспективы и пропорций. Вторая тема была близка Божественной пропорции.

Лука Пачоли обучался в свое время у таких великих мастеров живописи, как художник, математик и творец идей начертательной геометрии Пьеро делла Франческа (которого Лука восторженно называл «Царем живописи»), математик, живописец, писатель, архитектор, зодчий Леон Баттиста Альберти (который, кроме образования, помог юному Луке в связях со многими влиятельными людьми и покровителями). Пачоли обучался живописи, но художником не стал. Знания по ней помогали ему в более глубоком постижении геометрии и, конечно, красоты и гармонии.

Третьим значимым человеком в этой области стал для Пачоли Леонардо да Винчи. Но то было уже не содружество учителя и ученика, как ранее, а двух творческих друзей, полных идей и замыслов.

В то время как Пачоли проводил лекции по математике в Павии, писал свой труд «О Божественной Пропорции», переводил «Элементы» Евклида, Леонардо рисовал монументальную по красоте и гармонии «Тайную вечерю» в трапезной монастыря Санта Мария делла Грация, писал несколько трактатов параллельно, выполнял инженерные задачи Сфорца и готовил к заливке бронзой колоссальную конную статую Франческо.

Леонардо и Лука вели глубокие и интересные беседы по теме Божественной пропорции, в коих рождались необыкновенной силы и красоты озарения.

Леонардо, по просьбе Пачоли, также, выполнил для трактата 60 цветных рисунков в стереометрии правильных и полуправильных многогранников. Выполнил, как писал об этом в трактате Лука, «своей божественной левой рукой» (да Винчи умел писать и рисовать обеими руками, причем, и слева направо, и обратно, и в тон зеркальному отражению; особо творческие работы он выполнял левой).

Леонардо нарисовал многогранники без расчета и циркулей и при этом красиво, гармонично и точно. Лука потом, до самой смерти, бережно хранил экземпляр рисунков. Пачоли собственноручно изготовил по ним макеты правильных многогранников.

Готовые экземпляры рукописи с рисунками и моделями были преподнесены влиятельным особам Милана (как полагалось по правилам того времени).

Объемный рукописный трактат «De Divina Proportione» в 3 частях (о Божественной пропорции, о правильных многогранниках, об архитектуре), был завершен в декабре 1498 года и посвящен миланскому герцогу Лодовико Сфорца иль Моро. Напечатан в Венеции, в типографии того же Паганино Паганини, он был лишь 11 лет спустя, в 1509 году.

10.
В завершении несколько слов по теме самой Божественной пропорции, ибо со слов о красоте и гармонии мира, как тайны мироздания, был начат этот рассказ.

Божественной пропорцией Лука Пачоли (или фра Лука из Борго) называл то, что в современном мире именуется «золотым сечением». Последнее название было ему дано в 1835 году немецким математиком Мартином Омом, родным братом знаменитого физика Георга Ома. Тема привлекала многих людей в истории, начиная с времен Древнего Вавилона и Египта.

«Золотое сечение» или «Божественная пропорция» понимается как одна из тайн мироздания, некий универсальный и уникальный код красоты и гармонии. Это соединение частей целого, воспринимаемое наилучшим (наиболее красивым) для эстетического восприятия человека; когда меньшая часть так относится к большей, как большая к целому. Ее описывают иррациональным числом Фи (в честь древнегреческого архитектора Фидея) и именуют еще числом Бога: 1,6180….В процентном соотношении, условно, это 62 и 38 процентов.

Пропорция «золотого сечения» (или Божественная пропорция) видится как универсальная, свойственная большинству форм объектов природы (пропорции тела и хвоста ящерицы, человеческого тела (подробней изучали Витрувий, да Винчи, Дюрер, Цейзинг), куриного яйца, спирали улитки и молекулы ДНК, расположения листьев на ветке цикория и др), так и выдающимся достижениям человеческого творчества (в архитектуре и зодчестве, литературе, живописи, музыке, кино, геометрии красивых многогранников и др).

В своем трактате «О Божественной Пропорции» Лука Пачоли утверждал, что это единая и единственная пропорция красоты (как един и единственен Бог) и нет сочетаний, лучше ее. Именно поэтому он говорил о ней как о Божественной.

Лука доказывал следствия теоремы, раскрывая 13 свойств Божественной пропорции (число 13 было выбрано не просто так: 13 человек сидели за столом на Тайной Вечере).

Он обосновывал ее применение в архитектуре и зодчестве, говорил о ней как об основе построения правильных геометрических тел (5 многогранников Платона, характеризующие 5 космических стихий: пирамида (тетраэдр), состоящей из 4 правильных треугольников – стихия огня, куб (гексаэдр), состоящий из 6 квадратов – стихия земли, октаэдр, состоящий из 8 правильных треугольников – стихия воздуха, икосаэдр, состоящий из 20 правильных треугольников – стихия воды, додекаэдр, состоящий из 12 правильных пятиугольников – стихия эфира или Вселенной; и большинство из 13 усечённых многогранников Архимеда).

Пачоли обращался в качестве источников и к геометрии Евклида (книга «Начала»), и к работам Пифагора, и к «Тимею» Платона, и к числам и задачам Фибоначчи, представленной в его книге Абака (счетной доски), и к Витрувию, и к работам Альберти о зодчестве, которые раскрывают смысл и возможности Божественной пропорции.

По существу, работа «De Divina Proportione» явилась восторженным гимном «золотому сечению», написанным в стиле ранней ренессансной математики (несколько усложненном, порой мистическом, нежели логическом). Но это была важная энциклопедия математических знаний по красоте и гармонии. Направление, которую позже назовут «математикой эстетики». Завершил ее Пачоли в трудный исторический период.

Шел разгар Итальянских войн, время смутное, и людям было не до красоты и ее универсальных кодов. Всякая война (в том всегда ее отрицательная роль) подчас снижает мотивы людей до примитивных: выжить бы…

Лишь потомками, многим позже, по достоинству был оценен этот труд фра Луки из Борго.

11.
В 1499 году Милан был захвачен французами. Лодовико не учел превосходства сил французского короля Людовика XII. Сфорца бежал из Милана, собрал армию швейцарских наемников и пытался отвоевать город, но потерпел поражение под Новарой. Швейцарцы, за право своей свободы, передали Лодовико французам. Герцог Сфорца был отправлен в заточение в зловещий замок Лош на юге Франции и провел в нем почти 8 лет. В период поражения Сфорца, Леонардо сделал в своем дневнике запись: «Герцог потерял государство, имущество, свободу, и ни одно из его дел не было им закончено». Незавершенными оказались и многие инициативы самого Леонардо. Великая колоссальная статуя Франческо Сфорца, над которой столь долго работал Леонардо, так и не была отлита в бронзе (ибо та пошла на вооружение), а восковая ее модель была изувечена и уничтожена французскими стрелками.

Сурово и беспощадно обошелся с Лодовико Сфорца французский король Людовик XII, лишив его всего, что тот имел и отправив в заточение. Как свидетельствуют историки, одними из последних слов этого, во многом талантливого, человека, начертанными им на стенах его темной тюремной камеры были «Infelix sum» («я несчастный»; лат).

Сфорца скончался в заключении в возрасте 55 лет. Вероятно, будучи одаренным, прозорливым, подчас, жестким тактиком, он не был столь дальновиден и изящен в стратегии. Будучи инициатором прихода французов в Италию, для объединения с ними против Неаполя и Флоренции, он ими же и был разгромлен. Сильным мира сего такие ошибки, чаще всего, не прощаются.

12.
Лука и Леонардо удачно бежали из Милана в Мантую, под покров маркизы Изабеллы д’ Эсте (в замужестве – Гонзаго), старшей сестры умершей супруги Лодовико Беатриче д’Эсте. Та не обеспечила им свое постоянное покровительство, но предложила небольшое время побыть в Мантуе. В знак благодарности Лука Пачоли, по просьбе маркизы, написал для нее на латыни трактат по шахматам (De Ludo Schacorum или Schifanoia»; Об игре в шахматы или Изгоняющий скуку). Леонардо, также, предложил в нем ряд занимательных задач и выполнил все рисунки.

Изабелле, маркизе Мантуи, любившей играть в шахматы был подарен трактат на 96 листов, со 114 занимательными шахматными задачами, с рисунками Леонардо да Винчи (опять же выполненных его «божественной» левой рукой). Пропорции шахматных фигурок были исполнены Леонардо по правилам «золотого сечения» (Божественной пропорции). Маркиза Гонзаго благодарно оценила подарок.

Лука и Леонардо вскоре иммигрировали в Венецию, а затем - во Флоренцию. Далее пути их разошлись и больше не пересекались, оставив лишь добрые благодарные воспоминания о том Милане, семействе Сфорца, тайне Божественной пропорции, и друг о друге.

*На фото коллаже: на фоне Кастелло Сфорцеско (Замка Сфорца) слева вверху – Лука Пачоли, справа вверху – Леонардо да Винчи, слева внизу – пять правильных многогранников Платона, справа внизу – обложка трактата «De Divina Proportione».

**19 июня 2017 года исполнилось 500 лет со дня смерти Луки Пачоли. Он умер и похоронен, в том же городе, где и родился – итальянском провинциальном Борго Сан-Сеполькро (городе Святого Гроба).

А.П. Стахов

Под знаком «Золотого Сечения»:
Исповедь сына студбатовца.
Глава 4. Золотое сечение в истории культуры.
4.8. «Божественная пропорция» Луки Пачоли

Культура Древней Греции и культура Рима и Византии – вот два мощных потока духовных ценностей, слияние которых дало ростки нового, титанов Ренессанса. Титан – это самое точное слово по отношению к таким людям, как Леонардо да Винчи, Микеланджело, Николай Коперник, Альберт Дюрер, Христофор Колумб, Америго Веспуччи. В эту плеяду по праву входит и математик Лука Пачоли.

Он родился в 1445 г. в провинциальном городке Борго Сан-Сеполькро, что в переводе с итальянского звучит не слишком радостно: «Город Святого Гроба».

Мы не знаем, сколько лет было будущему математику, когда его отдали учиться в мастерскую художника Пьеро делла Франческо, слава которого гремела по всей Италии. Это была первая встреча юного дарования с великим человеком. Пьеро делла Франческо был художником и математиком, но только вторая ипостась учителя нашла отзвук в сердце ученика. Юный Лука, математик от Бога, был влюблен в мир чисел, число представлялось ему некоторым универсальным ключом, одновременно открывающим доступ к истине и красоте.

Второй великий человек, встретившийся на жизненном пути Луки Пачоли, был Леон Баттиста Альберти – архитектор, ученый, писатель, музыкант. Глубоко западут в сознание Л.Пачиоли слова Альберта:

«Красота есть некое согласие и созвучие частей в том, частями чего они являются, — отвечающие строгому числу, ограничению и размещению, которых требует гармония, то есть абсолютное и первичное начало природы».

Влюбленный в мир чисел, Л. Пачоли повторит за Пифагором мысль о том, что число лежит в основе вселенной.

В 1472 г. Лука Пачоли осуществляет пострижение в монахи францисканского ордена, что дает ему возможность заниматься наукой. События показали, что он сделал правильный выбор. В 1477 г. он получает профессорское кресло в университете Перуджи.

Лука Пачиоли

Сохранилось следующее портретное описание Луки Пачоли того времени:

«Красивый, энергичный молодой мужчина: поднятые и довольно широкие плечи обличают врожденную физическую силу, мощная шея и развитая челюсть, экспрессивное лицо и глаза, излучающие благородство и интеллект, подчеркивают силу характера. Такой профессор мог заставить слушать себя и уважать свой предмет».

Педагогический труд Пачоли сочетает с научной работой: он начинает писать энциклопедический труд по математике. В 1494 г. этот труд выходит в свет под названием «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях». Весь материал книги делится на две части, первая часть посвящена арифметике и алгебре, вторая – геометрии. Один из разделов книги посвящен вопросам применения математики в коммерческом деле и в этой части его книга является продолжением знаменитой книги Фибоначчи «Liber abaci» (1202 г.). По существу это математическое сочинение Л. Пачоли, написанное на закате 15-го века, подытоживает математические знания эпохи итальянского Возрождения.

Монументальная печатная работа Л. Пачоли, несомненно, способствовала его славе. Когда в 1496 году в Милане – крупнейшем городе и государстве Италии — в университете открыли кафедру математики, занять ее был приглашен Лука Пачоли.

В это время Милан был центром науки и искусства, в нем жили и творили выдающиеся ученые и художники – и одним из них был Леонардо да Винчи, который стал третьим великим человеком, встретившимся на жизненном пути Луки Пачоли. Под непосредственным влиянием Леонардо да Винчи он начинает писать свою вторую великую книгу «De Divine Proportione» («О божественной пропорции»).

Книга Л. Пачоли, изданная в 1509 г., оказала заметное влияние на современников. Изданный ин-кварто фолиант Пачоли был одним из первых прекрасных образцов книгопечатного искусства Италии. Историческое значение книги состояло в том, что это было первое математическое сочинение, целиком посвященное «золотому сечению». Книга проиллюстрирована 60 (!) великолепными рисунками, выполненными самим Леонардо да Винчи. Книга состоит из трех частей: в первой части излагаются свойства золотого сечения, вторая часть посвящена правильным многогранникам, третья – приложениям золотого сечения в архитектуре.

Л. Пачоли, апеллируя к «Государстиву», «Законам», «Тимею» Платона, последовательно выводит 12 (!) различных свойств золотого сечения. Характеризуя эти свойства, Пачоли пользуется весьма сильными эпитетами: «исключительное», «превосходнейшее», «замечательное», «почти сверхъестественное» и т.п. Раскрывая данную пропорцию в качестве универсального отношения, выражающего и в природе и в искусстве совершенство красоты, он называет ее «божественной» и склонен рассматривать ее как «орудие мышления», «эстетический канон», «как принцип мира и природы».

Титульная страница книги Луки Пачиоли «Божественная пропорция»

Эта книга является одним из первых математических сочинений, в котором христианская доктрина о Боге как творце Вселенной получает научное обоснование. Пачоли называет золотое сечение «божественным» и выделяет ряд свойств золотой пропорции, которые, по его мнению, присущи самому Богу:

«Первое заключается в том, что существует только она одна, и невозможно привести примеры пропорций другого рода или хоть сколько-нибудь отличающихся от нее. Эта единственность, согласно с политическим и философским учениями. Есть высочайшее свойство самого Бога. Второе свойство есть свойство святой триединости, а именно, как в божестве одна и та же сущность заключается в трех лицах – отце, сыне и святом духе, так же и одна и та же пропорция этого рода может иметь место только для трех выражений, а для большего и меньшего выражений не существует. Третье свойство заключается в том, что, подробно тому, как Бог не может быть ни определен, ни словом разъяснен, наша пропорция не может быть выражена ни доступным нам числом, ни какой бы то ни было рациональной величиной и остается скрытой и тайной и поэтому математиками названа иррациональной. Четвертое свойство заключается в том, что, подобно тому, как Бог никогда не изменяется и представляет все во всем и все в каждой своей части, и наша пропорция для всякой непрерывной и определенной величины одна и та же, велики или малы эти части, никаким образом не может быть ни изменена, ни по иному воспринята рассудком. К названным свойствам вполне справедливо можно присоединить пятое свойство, заключающееся в том, что, подобно тому, как Бог вызвал к бытию небесную добродетель, иначе называемую пятой субстанцией, а с ее помощью – четыре других простых тела, именно, четыре элемента – землю, воду, воздух и огонь, а с их помощью вызвал к бытию всякую вещь в природе, так и наша священная пропорция, согласно Платону в его «Тимее», дает формальное бытие самому небу, ибо ему приписывается вид тела, называемый додекаэдром, которое невозможно построить без нашей пропорции».

Додекаэдр, нарисованный Леонардо да Винчи для книги Л. Пачоли«Божественная пропорция»

В 1510 г. Луке Пачоли исполнилось 65 лет. Он устал, постарел. В библиотеке Болонского университета хранится рукопись неизданной работы Л. Пачоли «О силах и количествах». В предисловии мы находим печальную фразу: «приближаются последние дни моей жизни». Он умер в 1515 г. и похоронен на кладбище своего родного города Сан-Сеполькоро.

После смерти труды великого математика оказываются преданными забвению почти на четыре столетия. И когда в конце 19-го века его труды стают всемирно известными, благодарные потомки после 370-летнего забвения на его могиле поставили памятник, на котором написали:.

«Луке Пачиоли, который был другом и советником Леонардо да Винчи и Леона Баттиста Альберти, который первый дал алгебре язык и структуру науки, который применил свое великое открытие к геометрии, изобрел двойную бухгалтерию и дал в математических трудах основы и неизменные нормы для последующих поколений».

А.П. Стахов, Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца. Глава 4. Золотое сечение в истории культуры. 4.8. «Божественная пропорция» Луки Пачоли // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13547, 12.07.2006

Поиски нашего происхождения – вот сок того сладкого плода, который приносит столько удовлетворения разуму философов.

Лука Пачоли (1445–1517)
Лишь немногие великие живописцы в истории человечества были и одаренными математиками. Однако выражение «Человек Возрождения» означает в нашем лексиконе человека, воплощавшего возрожденческий идеал широчайшего кругозора и образованности. Вот и три самых знаменитых художника эпохи Возрождения – итальянцы Пьеро делла Франческа (ок. 1412–1492) и Леонардо да Винчи и немец Альбрехт Дюрер, также сделали весьма значительный вклад в математику. Пожалуй, нет ничего удивительного, что математические изыскания всех троих были связаны с золотым сечением. Самым деятельным математиком из этого блистательного трио виртуозов был Пьеро делла Франческа. Сочинения Антонио Марии Грациани, который приходился родственником правнукам Пьеро и приобрел дом художника, свидетельствуют о том, что Пьеро родился в 1412 году в Борго Сансеполькро в Центральной Италии. Его отец Бенедетто был преуспевающим кожевенником и сапожником. О детстве Пьеро почти ничего больше не известно, однако недавно были обнаружены документы, из которых очевидно, что до 1431 года он провел некоторое время в учениках у художника Антонио Д’Ангиари, работы которого до нас не дошли. К концу 1430 годов Пьеро перебрался во Флоренцию, где начал сотрудничать с художником Доменико Венециано. Во Флоренции молодой художник познакомился с работами художников раннего Возрождения – в том числе фра Анджелико и Мазаччо – и со скульптурами Донателло. Особенно сильное впечатление произвела на него величественная безмятежность работ фра Анджелико на религиозные темы, и его собственный стиль отражает это влияние во всем, что касается светотени и колорита. В последующие годы Пьеро трудился не покладая рук в самых разных городах – в том числе в Римини, Ареццо и Риме. Фигуры кисти Пьеро либо отличались архитектурной строгостью и монументальностью, как в «Бичевании Христа» (сейчас картина хранится в Национальной галерее Марке в Урбино; рис. 45), либо были словно бы естественным продолжением фона, как в «Крещении» (в настоящее время находится в Национальной галерее в Лондоне; рис. 46). Первый историк искусств Джорджо Вазари (1511–1574) в своих «Жизнеописаниях наиболее знаменитых живописцев, ваятелей и зодчих» пишет, что Пьеро с ранней юности выказывал недюжинные математические способности, и приписывает ему написание «многочисленных» математических трактатов. Некоторые из них были созданы в старости, когда художник по немощи уже не мог писать картины. В посвятительном письме герцогу Гвидобальдо Урбинскому Пьеро упоминает одну из своих книг, сочиненную, «дабы разум его не закоснел от неупотребления». До нас дошли три труда Пьеро по математике: «De Prospectiva pingendi » («О перспективе в живописи»), «Libellus de Quinque Corporibus Regularibus » («Книжица о пяти правильных многогранниках») и «Trattato d ’Abaco » («Трактат о счетах»).

Рис. 45

Рис. 46
В трактате «О перспективе» (середина 1470 годов – 1480 годы) содержится много отсылок к «Началам» и «Оптике» Евклида, поскольку Пьеро делла Франческа решил доказать, что техника передачи перспективы в живописи полностью основана на математических и физических свойствах визуальной перспективы. На картинах самого художника перспектива представляет собой просторное вместилище, находящееся в полном соответствии с геометрическими свойствами заключенных в нем фигур. По сути дела, для Пьеро сама живопись в первую очередь сводилась к «показу на плоскости тел уменьшенного или увеличенного размера». Такой подход прекрасно виден на примере «Бичевания» (рис. 45 и 47): это одна из немногих картин эпохи Возрождения, где перспектива выстроена и проработана весьма тщательно. Как пишет современный художник Дэвид Хокни в своей книге «Тайное знание» (David Hockney . Secret Knowledge, 2001), Пьеро пишет фигуры «такими, какими, по его убеждению, они должны быть, а не такими, какими он их видит».

По случаю пятисотой годовщины со дня смерти Пьеро, ученые Лаура Джеатти из Римского университета и Лучано Фортунати из Национального совета по исследованиям в Пизе проделали подробнейший анализ «Бичевания» c помощью компьютера. Они оцифровали всю картину, определили координаты всех точек, перемерили все расстояния и составили полный анализ перспективы на основе алгебраических вычислений. Это позволило им точно определить местоположение «точки схода», где пересекаются все линии, уходящие к горизонту от зрителя (рис. 47), благодаря чему Пьеро и сумел добиться «глубины», которая производит такое сильное впечатление.

Рис. 47
Книга Пьеро о перспективе, отличающаяся ясностью изложения, стала стандартным руководством для художников, пытавшихся рисовать плоские фигуры и геометрические тела, а те ее разделы, которые не перегружены математикой (и более понятны), вошли в большинство последующих работ по перспективе. Вазари утверждает, что Пьеро получил солидное математическое образование и поэтому «лучше любого другого геометра понимал, как лучше всего проводить круги в правильных телах, и именно он пролил свет на эти вопросы» (здесь и далее пер. А. Габричевского и А. Бенедиктова ). Примером того, как тщательно Пьеро разработал метод рисования правильного пятиугольника в перспективе, может служить рис. 48.

И в «Трактате о счетах», и в «Книжице о пяти правильных многогранниках» Пьеро ставит (и решает) множество задач с участием пятиугольника и пяти платоновых тел. Он вычисляет длины сторон и диагоналей, площади и объемы. Многие решения опираются и на золотое сечение, а некоторые приемы Пьеро свидетельствуют о его изобретательности и оригинальности мышления.

Рис. 48
Пьеро, как и его предшественник Фибоначчи, написал «Трактат о счетах» в основном ради того, чтобы снабдить своих современников-дельцов арифметическими «рецептами» и геометрическими правилами. В тогдашнем мире коммерции не было ни унифицированной системы мер и весов, ни даже соглашений о размерах и формах емкостей , так что без умения вычислять объем фигур было никак не обойтись. Однако математическая любознательность выводила Пьеро далеко за рамки тем, сводившихся к повседневным нуждам. Поэтому в его книгах мы находим и «бесполезные» задачи – например, вычисление длины ребра октаэдра, вписанного в куб, или диаметра пяти маленьких кругов, вписанных в круг большего диаметра (рис. 49). Для решения последней задачи используется правильный пятиугольник, а следовательно, и золотое сечение.

Рис. 49
Алгебраические изыскания Пьеро в основном вошли в книгу, которую выпустил в свет Лука Пачоли (1445–1517) под названием «Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita » («Свод познаний в арифметике, геометрии , пропорциях и пропорциональности»). Труды Пьеро по многогранникам, написанные на латыни, перевел на итальянский тот же Лука Пачоли – и опять же включил (ну, или, выражаясь не столь деликатно, попросту украл) в свою знаменитую книгу о золотом сечении под названием «О божественной пропорции» («Divina Proportione »).

Кто же он был, этот полный противоречий математик Лука Пачоли? Величайший плагиатор в истории математики – или все же великий популяризатор математической науки?

Невоспетый герой Возрождения?

Лука Пачоли родился в 1445 году в том же тосканском городке Борго Сансеполькро, где родился и держал мастерскую Пьеро делла Франческа. Более того, начальное образование Лука получил именно в мастерской Пьеро. Однако, в отличие от других учеников, выказывавшим способности к живописи – некоторым из них, например, Пьетро Перуджино, суждено было стать великими живописцами, – Лука оказался более склонным к математике. Пьеро и Пачоли сохраняли дружеские отношения и в дальнейшем: доказательством тому служит то, что Пьеро изобразил Пачоли в виде Св. Петра Веронского (Петра Мученика) на «Алтаре Монтефельтро». Еще сравнительно молодым человеком Пачоли перебрался в Венецию и стал там наставником трех сыновей состоятельного торговца. В Венеции он продолжил математическое образование под руководством математика Доменико Брагадино и написал первую книгу по арифметике.

В 1470 годах Пачоли изучал теологию и постригся в монахи-францисканцы. С тех пор его стало принято называть фра Лука Пачоли. В последующие годы он много путешествовал, преподавал математику в университетах в Перудже, Задаре, Неаполе и Риме. В то время Пачоли, вероятно, некоторое время учил и Гвидобальдо Монтефельтро, которому в 1482 году предстояло стать герцогом Урбинским. Лучший, пожалуй, портрет математика – это картина кисти Якопо де Барбари (1440–1515), изображающая, как Лука Пачоли дает урок геометрии (рис. 50, картина находится в музее Каподимонте в Неаполе). Справа на книге Пачоли «Summa » покоится одно из платоновых тел – додекаэдр. Сам Пачоли во францисканской рясе (тоже похожий на правильный многогранник, если приглядеться) копирует чертеж из XIII книги «Начал» Евклида. Прозрачный многогранник под названием ромбокубоктаэдр (одно из архимедовых тел, многогранник с 26 гранями, 18 из которых – квадраты, а 8 – равносторонние треугольники), висящий в воздухе и наполовину наполненный водой, символизирует чистоту и вечность математики. Художнику удалось с поразительным искусством передать преломление и отражение света в стеклянном многограннике. Личность ученика Пачоли, изображенного на этой картине, стала предметом споров. В частности, предполагают, что этот юноша – сам герцог Гвидобальдо. Английский математик Ник Маккиннон в 1993 году выдвинул интересную гипотезу. В своей статье «Портрет фра Лука Пачоли», опубликованной в «Mathematical Gazette » и основанной на весьма солидных исследованиях, Маккиннон делает вывод, что это портрет великого немецкого живописца Альбрехта Дюрера, которого очень интересовали и геометрия, и перспектива (а к его отношениям с Пачоли мы еще вернемся чуть ниже). И в самом деле, лицо ученика поразительно похоже на автопортрет Дюрера.

Рис. 50
В 1489 году Пачоли вернулся в Борго Сансеполькро, получив некоторые привилегии от самого Папы, однако местный религиозный истеблишмент встретил его с ревнивой недоброжелательностью. Около двух лет ему даже запрещали преподавать. В 1494 году Пачоли отправился в Венецию печатать свою книгу «Summa », которую посвятил герцогу Гвидобальдо. «Summa » по природе и по размаху (около 600 страниц) – подлинно энциклопедический труд, где Пачоли свел воедино все, что было на то время известно в области арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. В своей книге Пачоли не стесняется заимствовать задачи об икосаэдре и додекаэдре из «Трактата» Пьеро делла Франческа и другие задачи по геометрии, а также по алгебре, из трудов Фибоначчи и других ученых (правда, обычно выражает благодарность автору, как полагается). Пачоли признается, что его главный источник – это Фибоначчи, и говорит, что там, где нет ссылок на кого-то другого, труды принадлежат Леонардо Пизанскому. Интересный раздел «Summa » – бухгалтерская система двойной записи, метод, позволяющий прослеживать, откуда деньги пришли и куда ушли. Эту систему изобрел не сам Пачоли, он лишь свел воедино приемы венецианских купцов эпохи Возрождения, однако считается, что это первая книга по бухгалтерии в истории человечества. Так и получилось, что желание Пачоли «позволить дельцу незамедлительно получать сведения о своих активах и денежных обязательствах» стяжало ему прозвище «Отец бухгалтерии», и в 1994 году бухгалтеры всего мира отмечали пятисотлетие «Summa » в Сансеполькро, как теперь называется этот город.

В 1480 году место герцога Миланского фактически занял Людовико Сфорца. На самом деле он был всего лишь регентом при настоящем герцоге, которому тогда было только семь лет; это событие положило конец периоду политических интриг и убийств. Людовико решил украсить свой двор художниками и учеными и в 1482 году пригласил Леонардо да Винчи в «коллегию герцогских инженеров». Леонардо очень интересовался геометрией, в особенности – ее практическим приложением в механике. По его словам, «Механика – это рай среди математических наук, поскольку именно она порождает плоды математики». А впоследствии, в 1496 году, именно Леонардо, скорее всего, добился, чтобы герцог пригласил ко двору и Пачоли в качестве учителя математики. Леонардо, несомненно, учился геометрии и у Пачоли, а ему привил любовь к живописи.

Во время пребывания в Милане Пачоли завершил работу над трехтомным трактатом «О божественной пропорции», вышедшим в свет в Венеции в 1509 году. Первый том, «Compendio de Divina Proportione » («Компендиум о божественной пропорции»), содержит подробный свод всех качеств золотого сечения (его Пачоли называет «божественной пропорцией) и исследование платоновых тел и других многогранников. На первой странице «О божественной пропорции» Пачоли несколько выспренно заявляет, что это «труд, необходимый всем пытливым, ясным человеческим умам, в котором всякий, кто любит изучать философию, перспективу, живопись, ваяние, зодчество, музыку и иные математические дисциплины, найдет весьма тонкое, изящное и прелестное учение и получит наслаждение от разнообразных вопросов, затрагивающих все тайные науки».

Первый том трактата «О божественной пропорции» Пачоли посвятил Людовико Сфорца, а в пятой главе он перечисляет пять причин, почему, по его мнению, золотое сечение следует именовать не иначе как божественной пропорцией.

1. «Она одна, едина и всеобъемлюща». Пачоли сравнивает уникальность золотого сечения с тем обстоятельством, что «Единый» – «Высочайший эпитет самого Господа».

2. Пачоли видит сходство между тем, что определение золотого сечения включает в себя ровно три длины (АС, СВ и АВ на рис. 24), и существованием Святой Троицы – Отца, Сына и Святого Духа.

3. Для Пачоли непостижимость Бога и то обстоятельство, что золотое сечение – иррациональное число, эквивалентны. Вот как он пишет: «Подобно тому, как Господа нельзя определить должным образом и невозможно постичь его посредством слов, так и наша пропорция не может быть передана постижимыми цифрами и выражена через какое бы то ни было рациональное количество, она навеки останется тайной, сокрытой от всех, и математики именуют ее иррациональной».

4. Пачоли сравнивает вездесущесть и неизменность Бога с самоподобием, которое связывают с золотым сечением: его значение всегда неизменно и не зависит от длины отрезка, который делят в соответствующей пропорции, или с размером правильного пятиугольника, в котором вычисляют соотношения длин.

5. Пятая причина показывает, что Пачоли придерживался даже более платоновских взглядов на бытие, чем сам Платон. Пачоли утверждает, что подобно тому, как Господь дал жизнь мирозданию посредством квинтэссенции, нашедшей отражение в додекаэдре, так и золотое сечение дало жизнь додекаэдру, поскольку невозможно построить додекаэдр без золотого сечения. Пачоли добавляет, что невозможно сравнить остальные платоновы тела (символы воды, земли, огня и воздуха) друг с другом без опоры на золотое сечение.
В самой книге Пачоли постоянно разглагольствует о качествах золотого сечения. Он последовательно анализирует 13 так называемых «эффектов» «божественной пропорции» и каждому из этих «эффектов» приписывает эпитеты вроде «неотъемлемый», «неповторимый», «чудесный», «высочайший» и т. д. Например, тот «эффект», что золотые прямоугольники можно вписать в икосаэдр (рис. 22), он называет «непостижимым». Он останавливается на 13 «эффектах», сделав вывод, что «следует завершить этот перечень ради спасения души», поскольку именно 13 человек сидели за столом во время Тайной Вечери.

Не приходится сомневаться, что Пачоли очень интересовался живописью, и целью создания трактата «О божественной пропорции» отчасти было отточить математическую основу изящных искусств. На первой же странице книги Пачоли выражает желание посредством золотого сечения открыть художникам «тайну» гармонических форм. Чтобы обеспечить привлекательность своего труда, Пачоли заручился услугами лучшего иллюстратора, о каком только мог мечтать любой писатель: сам Леонардо да Винчи снабдил книгу 60 рисунками многогранников как в виде «скелетов» (рис. 51), так и в виде сплошных тел (рис. 52). За благодарностью дело не встало – Пачоли написал о Леонардо и его вкладе в книгу так: «Лучший живописец и мастер перспективы, лучший зодчий, музыкант, человек, наделенный всеми возможными достоинствами – Леонардо да Винчи, который придумал и исполнил цикл схематических изображений правильных геометрических тел». Сам же текст, признаться, не достигает заявленных высоких целей. Хотя начинается книга с сенсационных тирад, далее следует довольно-таки обычный набор математических формул, небрежно разбавленных философскими определениями.

Рис. 51

Рис. 52
Вторая книга трактата «О божественной пропорции» посвящена влиянию золотого сечения на архитектуру и его проявлениям в структуре человеческого организма. В основном трактат Пачоли основан на работе римского архитектора Марка Витрувия Поллиона (ок. 70–25 гг. до н. э.). Витрувий писал:
Центральная точка человеческого тела – это, естественно, пупок. Ведь если человек ляжет ничком на спину и раскинет руки и ноги, а на пупок ему поставить циркуль, то пальцы рук и ног у него коснутся описанной окружности. И подобно тому, как тело человека вписывается в круг, так можно из него получить и квадрат. Ведь если мы измерим расстояние от подошв до макушки, а затем применим эту меру к раскинутым рукам, то окажется, что ширина фигуры в точности равна высоте, как и в случае плоских поверхностей, имеющих форму идеального квадрата.
Ученые Возрождения считали этот отрывок очередным доказательством связи между природной и геометрической основой красоты, и это привело к созданию концепции витрувианского человека, которого так прекрасно изобразил Леонардо (рис. 53, в настоящее время рисунок хранится в Галерее Академии в Венеции). Подобным же образом книга Пачоли начинается с обсуждения пропорций человеческого тела, «поскольку в теле человека можно найти пропорции любых видов, по воле Всевышнего явленные через сокровенные тайны природы».

Рис. 53
В литературе можно часто встретить утверждения, что Пачоли будто бы считал, что золотое сечение определяет пропорции всех произведений искусства, однако на самом деле все совсем не так. Говоря о пропорции и внешнем устройстве, Пачоли в основном ссылается на витрувианскую систему, основанную на простых (рациональных) дробях. Писатель Роджер Герц-Фишлер проследил, откуда взялось распространенное заблуждение, что золотое сечение будто бы служило для Пачоли каноном пропорций: оно восходит к ложному утверждению, сделанному в издании «Истории математики» французских математиков Жана Этьена Монтюкла и Жерома де Лаланда 1799 года (Jean Etienne Montucla, Jérôme de Lalande . Histoire de Mathématiques).

Третий том трактата «О божественной пропорции» (короткая книга в трех частях о пяти правильных геометрических телах), в сущности, представляет собой дословный перевод на итальянский «Пяти правильных многогранников» Пьеро делла Франческа, написанных на латыни. То, что Пачоли ни разу не упоминает, что он всего лишь переводчик книги, вызвало у историка искусств Джорджо Вазари горячее осуждение. Вазари пишет о Пьеро делла Франческа:

Почитаясь редкостным мастером в преодолении трудностей правильных тел, а также арифметики и геометрии, он, пораженный в старости телесной слепотой, а затем и смертью, не успел выпустить в свет доблестные труды свои и многочисленные книги, им написанные, кои и поныне хранятся в Борго, у него на родине. Тот, кто должен был всеми силами стараться приумножить его славу и известность, ибо у него научился всему, что знал, пытался как злодей и нечестивец изничтожить имя Пьеро, своего наставника, и завладеть для себя почестями, которые должны были принадлежать одному Пьеро, выпустив под своим собственным именем, а именно брата Луки из Борго [Пачоли], все труды этого почтенного старца, который помимо вышеназванных наук был превосходным живописцем. (Пер. М. Глобачева )
Так можно ли считать Пачоли плагиатором? Весьма вероятно, хотя в «Summa » он все же воздает Пьеро должное, называя его «монархом в живописи наших времен» и человеком, который «знаком читателю по многочисленным трудам по искусству живописи и силе линии в перспективе».

Р. Эмметт Тейлор (1889–1956) в 1942 году выпустил книгу под названием «Нет царского пути. Лука Пачоли и его время» (R. Emmett Taylor . No Royal Road: Luca Pacioli and His Times). В этой книге Тейлор относится к Пачоли с большой симпатией и отстаивает ту точку зрения, что, если исходить из стиля, Пачоли, вероятно, не имеет никакого отношения к третьему тому трактата «О божественной пропорции», и это сочинение ему лишь приписывают.

Так это или не так, неизвестно, однако несомненно, что если бы не печатные труды Пачоли, идеи и математические конструкции Пьеро, которые не были опубликованы в печатном виде, вероятно, не стяжали бы той известности, которая им в результате досталась. Более того, до времен Пачоли золотое сечение было известно под устрашающими названиями вроде «крайнее и среднее отношение» или «пропорция, имеющая среднее и два экстремума», и само это понятие было известно одним лишь математикам.

Публикация «О божественной пропорции» в 1509 году вызвала новую вспышку интереса к теме золотого сечения. Теперь концепцию рассматривали, что называется, свежим взглядом: раз о ней издали книгу, значит, она достойна уважения. Само название золотого сечения оказалось наделено теолого-философским смыслом (божественная пропорция), а это также делало золотое сечение не просто математическим вопросом, а темой, в которую могли углубиться интеллектуалы самого разного толка, причем это разнообразие со временем лишь ширилось. Наконец, с появлением труда Пачоли золотое сечение стали изучать и художники, поскольку теперь о нем говорилось не только в откровенно математических трактатах – Пачоли рассказал о нем так, что этим понятием можно было пользоваться.

Рисунки Леонардо к трактату «О божественной пропорции», начертанные (по выражению Пачоли) «его неописуемой левой рукой», также оказали определенное воздействие на читательскую аудиторию. Вероятно, это были первые изображения многогранников в схематическом, скелетоподобном виде, что позволяло легко представить их себе со всех сторон. Возможно, Леонардо рисовал многогранники с деревянных моделей, поскольку в документах Совета Флоренции сохранились записи о том, что город приобрел набор деревянных моделей Пачоли, дабы выставить их на всеобщее обозрение. Леонардо рисовал не только схемы для книги Пачоли, наброски всевозможных многогранников мы видим повсюду в его заметках. В одном месте Леонардо дает приблизительный метод построения правильного пятиугольника. Слияние математики с изобразительным искусством достигает пика в «Trattato della pittura » («Трактате о живописи»), который составил Франческо Мельци, унаследовавший рукописи Леонардо, по его записям. Начинается трактат с предупреждения: «Тот, кто не математик, да не прочтет мои труды!» – едва ли такое заявление найдешь в современных учебниках по изобразительному искусству!

Рисунки геометрических тел из трактата «О божественной пропорции» вдохновили и фра Джованни да Верона на создание работ в технике интарсии . Интарсия – это особый вид инкрустации деревом по дереву, создание сложных плоских мозаик. Около 1520 года фра Джованни создал инкрустированные панели с изображением икосаэдра, причем в качестве образца он почти наверняка пользовался схематическими рисунками Леонардо.

Пути Леонардо и Пачоли несколько раз пересекались и после завершения трактата «О божественной пропорции». В октябре 1499 года оба бежали из Милана, когда его захватила французская армия короля Людовика XII. Потом ненадолго останавливались в Мантуе и в Венеции и на некоторое время осели во Флоренции. За тот период, когда они дружили, Пачоли создал еще два труда по математике, прославивших его имя – перевод на латынь «Начал» Евклида и книгу о математических развлечениях, оставшуюся неопубликованной. Перевод «Начал», который выполнил Пачоли, был аннотированной версией, основанной на более раннем переводе Джованни Кампано (1220–1296), который был напечатан в Венеции в 1482 году (это было первое печатное издание). Добиться публикации сборника занимательных задач по математике и поговорок «De Viribus Quantitatis » («О способностях чисел») Пачоли при жизни так и не смог – он скончался в 1517 году. Эта работа была плодом сотрудничества между Пачоли и Леонардо, и в заметках самого Леонардо содержится довольно много задач из трактата «De Viribus Quantitatis ».

Конечно, прославила фра Луку Пачоли отнюдь не оригинальность научной мысли, а его влияние на развитие математики в целом и на историю золотого сечения в частности, и этих его заслуг отрицать никак нельзя.

Меланхолия

Интересное сочетание художественных и математических интересов было свойственно и другому великому мыслителю эпохи Возрождения – знаменитому немецкому живописцу Альбрехту Дюреру.

Дюрера часто считают величайшим немецким художником эпохи Возрождения. Родился он 21 мая 1471 года в имперском городе Нюрнберге в семье ювелира, трудившегося не покладая рук. Уже в 19 лет Альбрехт проявлял недюжинный талант живописца и резчика по дереву и заметно превзошел своего учителя, лучшего нюрнбергского живописца и книжного иллюстратора Михаэля Вольгемута. Поэтому Дюрер на четыре года отправился путешествовать и за это время пришел к убеждению, что математика – «самая точная, логичная и графически выверенная из всех наук» – должна быть важной составной частью изобразительного искусства.

Вернувшись, он пробыл в Нюрнберге совсем недолго, но за это время успел жениться на Агнесе Фрей, дочери преуспевающего ремесленника, а затем снова отправился в путешествие – в Италию – с целью расширить свой кругозор и в математике, и в изобразительном искусстве . Видимо, этой цели он вполне достиг во время визита в Венецию в 1494–1495 году. Встреча с основателем венецианской школы живописи Джованни Беллини (ок. 1426–1516) произвела на молодого художника неизгладимое впечатление, он восхищался Беллини до конца своих дней. В это же время Дюрер познакомился и с Якопо де Барбари, тем самым, который написал портрет Луки Пачоли (рис. 50), а в результате изучил и труды Пачоли о математике и ее значении в изобразительном искусстве. В частности, де Барбари показал Дюреру, как строить мужскую и женскую фигуры при помощи геометрических методов, и это подтолкнуло Дюрера к изучению пропорций и движения человеческого тела.

Возможно, Дюрер встречался с Пачоли и лично – это было в Болонье во время его второго визита в Италию (1501–1507). В письме того времени он упоминает, что поездка в Болонью предпринималась «ради искусства, поскольку там есть человек, который научит меня тайному искусству перспективы». Загадочный «человек из Болоньи», по мнению многих толкователей, – именно Пачоли, хотя предлагаются и другие имена, например, выдающийся зодчий Донато ди Анджело Браманте (1444–1514) и теоретик архитектуры Себастьяно Серлио (1475–1554). Во время того же путешествия в Италию Дюрер снова встретился с Якопо ди Барбари. Однако второй визит для Дюрера был омрачен параноидальными подозрениями: он боялся, как бы другие художники, позавидовав его славе, не навредили ему. В частности, он отказывался от приглашений на обеды из опасения, что кто-нибудь попытается его отравить.

С 1495 года Дюрер демонстрирует серьезный интерес к математике. Он долго изучал «Начала» (приобрел в Венеции латинский перевод, хотя латынь знал не очень хорошо), сочинения Пачоли по математике и изобразительному искусству и авторитетные труды по архитектуре, пропорциям и перспективе римского зодчего Витрувия и итальянского зодчего и теоретика Леона Баптисты Альберти (1404–1472).

Вклад Дюрера в историю золотого сечения состоит и в письменных трудах, и в произведениях изобразительного искусства. В 1525 году вышел в свет его главный трактат «Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit » («Трактат об измерениях при помощи циркуля и линейки»), одна из первых книг по математике, опубликованных в Германии. В этом сочинении Дюрер жалуется, что очень многие художники невежественны в геометрии, «без которой никто не может ни быть, ни стать совершенным художником». В первой из четырех книг, составляющих «Трактат», даны подробные рекомендации, как строить различные кривые, в том числе и логарифмическую (равноугольную) спираль, которая, как мы уже видели, тесно связана с золотым сечением. Вторая книга содержит точные и приблизительные способы построения различных многоугольников, в том числе и два способа построения правильного пятиугольника (один точный, другой приблизительный). В четвертой книге обсуждаются платоновы тела, а также и другие многогранники – некоторые из них Дюрер изобрел сам – и теория перспективы и светотени. Книга Дюрера задумана не как учебник по геометрии, в частности, он дает лишь один пример доказательства. Напротив, Дюрер всегда начинает с практического применения, а затем перечисляет самые основные теоретические сведения. Книга содержит и первые примеры разверток многогранников. Развертка – это рисунок на плоскости, где изображена поверхность многогранника в таком виде, что ее можно вырезать и сложить из получившейся фигуры трехмерный многогранник. Чертеж развертки додекаэдра (связанного, как мы знаем, с золотым сечением), выполненный Дюрером, мы видим на рис. 54.

Рис. 54
Интерес к гравюре и резьбе по дереву в сочетании с интересом к математике отражен в загадочной аллегорической работе Дюрера «Меланхолия I» (рис. 55). Это одна из трех изысканных гравюр (две другие называются «Рыцарь, Смерть и Дьявол» и «Св. Иероним в своей келье»). Предполагается, что эту гравюру Дюрер создал во время приступа меланхолии после смерти матери. Центральная фигура «Меланхолии» – крылатая женщина, в полном отчаянии и апатии сидящая на каменном парапете. В правой руке у нее циркуль, ножки которого растворены, словно для измерений. Почти все, что изображено на этой гравюре, наделено сложным символическим значением, и его толкованию посвящены целые статьи. Например, полагают, что горшок на очаге слева посередине и весы наверху – символы алхимии. «Магический квадрат» справа вверху (то есть квадрат, в котором суммы чисел в каждом ряду, колонке, по диагонали и сумма чисел в четырех углах и сумма четырех центральных чисел равны 34 – кстати, это число Фибоначчи), видимо, символизирует математику (рис. 56). Два средних числа в нижнем ряду составляют 1514 – дату создания гравюры. Вероятно, магический квадрат – следствие влияния Пачоли, поскольку в трактате Пачоли «De Viribus » приводится целый ряд магических квадратов. Видимо, основное значение гравюры со всеми ее геометрическими фигурами, ключами, летучей мышью, морским пейзажем и прочим – это меланхолия, охватившая художника или мыслителя, погрязшего в сомнениях и размышлениях о том , чем он занимается, а между тем время – песочные часы наверху – не стоит на месте.

Рис. 55

Рис. 56
Странный многогранник слева посередине стал предметом серьезного обсуждения и различных попыток реконструкции. На первый взгляд это куб, у которого срезаны два противолежащих угла (что спровоцировало кое-какие фрейдистские интерпретации), но на самом деле это не так. Большинство исследователей сходятся на том, что это так называемый ромбоэдр (геометрическое тело с шестью гранями, каждая из которых – ромб, см. рис. 57), обрезанный так, чтобы его можно было вписать в сферу. Он покоится на одной из треугольных граней, и его передняя часть направлена прямо на волшебный квадрат. Углы грани многогранника также были предметом споров. Многие ученые предполагают, что они составляли 72 градуса, что связало бы фигуру с золотым сечением (см. рис. 25), однако голландский специалист по кристаллографии К. Г. Макгиллаври заключил на основе анализа перспективы, что углы составляют 80 градусов. Загадочные свойства этого геометрического тела прекрасно описаны в статье Т. Линча, опубликованной в 1982 году в «Journal of the Warburg and Courtauld Institutes ». Вот к какому выводу приходит автор: «Поскольку изображение многогранников считалось одной из главных задач геометрии перспективы, Дюрер, желая доказать свою осведомленность в этой области, едва ли мог найти для этого способ лучше, чем поместить на свою гравюру геометрическое тело, столь новое и, возможно, даже уникальное, и предоставить другим геометрам решать, что это и откуда оно взялось».

Рис. 57
За исключением авторитетного труда Пачоли и изысканий художников Леонардо и Дюрера на стыке математики и изобразительного искусства, ничего особенно нового в истории золотого сечения в XVI веке не произошло. Хотя многие математики, в том числе Рафаэль Бомбелли (1526–1572) и Франсуа Фуа (Флуссатес) (1502–1594), опирались на золотое сечение при решении самых разнообразных задач, в том числе связанных с правильным пятиугольником и платоновыми телами, более интересные применения нашего соотношения появились лишь в самом конце этого столетия. Однако труды Пачоли, Дюрера и других ученых оживили интерес к учениям Платона и Пифагора. Мыслители эпохи Возрождения внезапно увидели реальную возможность связать математику и рациональную логику с устройством Вселенной – в духе платоновского мировоззрения. Концепции вроде «божественной пропорции», с одной стороны, выстраивали мосты между математикой и устройством мироздания, а с другой – обеспечивали связь между физикой, теологией и метафизикой. И особенно ярко воплотил эту чарующую смесь математики и мистики в своих идеях и трудах не кто иной, как Иоганн Кеплер.

Mysterium Cosmographicum

Иоганна Кеплера помнят в основном как выдающегося астронома, оставившего нам, помимо всего прочего, три закона движения планет, носящие его имя. Однако Кеплер был также и талантливым математиком, тонким метафизиком и плодовитым писателем. Родился он во времена больших политических потрясений и религиозных войн, которые коренным образом повлияли и на его образование, и на жизнь, и на мышление. Кеплер родился 27 декабря 1571 года в Германии, в имперском городе Вайль-дер-Штадт, в доме своего деда Зебальда . Отец Иоганна Генрих, наемный солдат, почти все детские годы сына провел в походах, а во время кратких побывок, по словам Кеплера, вел себя «оскорбительно, резко и задиристо». Когда Кеплеру было около шестнадцати, отец ушел из дома, и больше его не видели. Видимо, он участвовал в каком-то морском походе в составе флота Неаполитанского королевства и умер по дороге домой. Следовательно, воспитывала Кеплера в основном его мать Катарина, работавшая в гостинице, которую держал ее отец. Сама Катарина была женщина со странностями, довольно-таки неприятная, собирала травы и была убеждена в их волшебных целительных свойствах. Стечение обстоятельств – личные обиды, неудачные сплетни и алчность – в конечном счете привело к тому, что Катарина уже в старости, в 1620 году, была арестована по обвинению в ведовстве. В то время подобные обвинения были нередки, в период с 1615 по 1629 год в Вайль-дер-Штадте казнили за колдовство как минимум 38 женщин. Кеплер на момент ареста матери был уже известным человеком, и весть о суде над матерью вызвала у него «несказанное огорчение». В сущности, он взял на себя ее защиту в суде и заручился помощью юридического факультета Тюбингенского университета. Процесс был долгим, но в конце концов обвинение с Катарины Кеплер было снято, в основном благодаря ее собственным показаниям, данным под угрозой страшных пыток: Катарина упорно отрицала свою вину. Эта история передает атмосферу, в которой проходила научная работа Кеплера, и доминирующие в то время умонастроения. Кеплер родился в обществе, всего за полвека до этого пережившем отход Мартина Лютера от католической церкви и его заявление, что единственное, что нужно Господу от человека – это вера. Этому обществу еще предстояло погрузиться в кровавое безумие Тридцатилетней войны. Можно лишь изумляться, как Кеплер, человек из подобной среды, на долю которого выпали такие взлеты и падения, столь бурная жизнь, сумел сделать открытие, которое многие считают подлинным рождением современной науки.

Научные изыскания Кеплер начал еще в школе при монастыре Маульбронн, а затем, в 1589 году, выиграл стипендию герцога Вюртембергского и получил возможность посещать лютеранскую семинарию при Тюбингенском университете. Больше всего его интересовали две темы, теология и математика; в его представлении они были теснейшим образом связаны. Астрономию в то время считали частью математики , и наставником Кеплера в астрономии был выдающийся ученый Михаэль Местлин (1550–1631); связь с ним Кеплер поддерживал и после отъезда из Тюбингена. Во время официальных занятий Местлин, конечно, учил лишь традиционной птолемеевой, геоцентрической системе, согласно которой Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер и Сатурн вращаются вокруг стационарной Земли. Однако Местлин был прекрасно осведомлен о гелиоцентрической системе Николая Коперника, сведения о которой были опубликованы в 1543 году, и в частных беседах обсуждал со своим любимым учеником Кеплером достоинства этой системы. По системе Коперника шесть планет (включая Землю, однако исключая Луну, которая считалась уже не планетой, а «спутником») вращаются вокруг Солнца. Примерно так же, как из движущегося автомобиля можно наблюдать лишь относительное движение других машин, в системе Коперника движение планет во многом попросту отражает движение самой Земли.

Похоже, система Коперника Кеплеру сразу понравилась. Фундаментальная идея этой космологии, согласно которой центральное Солнце окружено сферой неподвижных звезд, причем между Солнцем и сферой остается некоторое пространство, в точности соответствовала представлению Кеплера о мироздании. Кеплер был человек глубоко религиозный и верил, что Вселенная – отражение Творца. Единство Солнца, звезд и пространства между ними были для него символическим подобием Святой Троицы – Отца, Сына и Святого Духа.

Когда Кеплер с отличием закончил факультет изящных искусств и был уже готов завершить теологическое образование, произошло событие, изменившее его выбор профессии: он стал не пастором, а учителем математики. Протестантская семинария австрийского города Грац попросила Тюбингенский университет порекомендовать заместителя для одного из своих преподавателей математики, который скоропостижно скончался, и университет выбрал Кеплера. В марте 1594 года Кеплер не по своей воле отправился в путешествие в Грац в австрийской провинции Стирия; на дорогу ушел целый месяц.

Поняв, что судьба навязала ему карьеру математика, Кеплер преисполнился решимости исполнить свой христианский долг так, как он его себе представлял: постигнуть творение Господне, устройство Вселенной. Поэтому он проштудировал переводы «Начал» и труды александрийских геометров Аполлония и Паппа. Опираясь на основной принцип коперниковой гелиоцентрической системы, Кеплер решил найти ответы на два главных вопроса: почему планет именно шесть и что определяет именно такие расстояния между планетарными орбитами. Вопросы «почему» и «что» в астрономии были в новинку. В отличие от своих предшественников, которым было довольно всего-навсего отмечать наблюдаемые положения планет, Кеплер стремился вывести теорию, которая бы все объясняла. Свой новый подход, выход на новый уровень любознательности Кеплер объяснял очень красиво:

При любых умственных изысканиях бывает так, что начинаем мы с того, что поражает чувства, а затем благодаря своему устройству разум возносится к вышнему, к тому, чего не постигнуть, сколь бы остры ни были наши чувства. То же самое бывает и в астрономических занятиях, когда мы прежде всего воспринимаем глазами различные положения планет в разное время, а затем в дело вступает логика и на основании этих наблюдений ведет разум к постижению устройства Вселенной.
Однако Кеплер задавался еще одним вопросом: при помощи какого орудия Господь проектировал Свою Вселенную? Первые мысли, которые впоследствии сложились в совершенно фантастические ответы на космические вопросы, посетили Кеплера 19 июля 1595 года, когда он пытался объяснить конъюнкцию внешних планет – Юпитера и Сатурна (положение, при котором у двух небесных тел одни и те же небесные координаты). В общих чертах Кеплер понял вот что: если вписать равносторонний треугольник в окружность (так, чтобы его вершины лежали на окружности), а потом вписать другую окружность в этот треугольник (так, чтобы она касалась середин сторон, см. рис. 58), соотношение радиуса большей окружности к радиусу меньшей будет примерно таким же, как соотношение размеров орбиты Сатурна к размерам орбиты Юпитера. Продолжая рассуждать в том же духе, Кеплер решил, что, дабы получить орбиту Марса (следующей планеты, ближе к Солнцу), нужно вписать в маленький круг следующую геометрическую фигуру, то есть квадрат. Однако при этом нужного размера не получилось. Кеплер не сдался, а поскольку он уже ступил на путь платоновского образа мысли – был убежден, что «Господь геометризирует», – то, естественно, сделал следующий геометрический шаг и обратился к трехмерным телам. В результате этого умственного упражнения Кеплер впервые прибегнул к геометрическим телам, связанным с золотым сечением.

Рис. 58
Ответ на первые два вопроса, которые занимали Кеплера, дан в первом его трактате под названием «Mysterium Cosmographicum » («Космографическая загадка»), который вышел в свет в 1597 году. Полное название, приведенное на титульном листе книги (рис. 59; хотя там стоит дата публикации 1596, вышла книга только в следующем году) гласит: «Предварительное введение в космографические рассуждения, содержащее вселенскую загадку восхитительных пропорций Небесных Сфер, а также Истинные и Подлинные Причины их Размеров, Количества и Периодического Движения Небес, доказанные при помощи Пяти Правильных Геометрических Тел».

Рис. 59
Ответ на вопрос, почему планет именно шесть, дался Кеплеру очень просто: потому что правильных платоновых тел ровно пять. Если считать, что они задают промежутки между планетами, получается шесть промежутков, считая внешнюю сферическую границу – небеса с фиксированными звездами. Более того, модель Кеплера призвана дать ответ и на вопрос о размерах орбит. Вот как пишет сам ученый:
Земная сфера есть мера всех остальных орбит. Опиши вокруг нее додекаэдр. Сфера, его окружающая, будет сферой Марса. Опиши вокруг Марса тетраэдр. Сфера, окружающая его, будет сферой Юпитера. Опиши куб вокруг Юпитера. Окружающая его сфера будет сферой Сатурна. Теперь впиши икосаэдр в орбиту Земли. Вписанная в него сфера будет сферой Венеры. Впиши октаэдр в орбиту Венеры. Сфера, вписанная в него, будет сферой Меркурия. Вот тебе и обоснование количества планет.
На рис. 60 показана схема из «Mysterium Cosmographicum », иллюстрирующая космологическую модель Кеплера. Кеплер довольно пространно объясняет, почему он проводит конкретные параллели между платоновыми телами и планетами на основании их геометрических, астрологических и метафизических свойств. Он расположил геометрические тела на основании их отношения к сфере, предположив, что разница меду сферой и остальными геометрическими телами отражает разницу между творцом и творением. Подобным же образом куб характеризуется одним-единственным углом – прямым. Для Кеплера это символизировало одиночество, которое ассоциируется с Сатурном, и т. д. Вообще говоря, астрология была для Кеплера так важна, поскольку «Человек есть венец Вселенной и всего творения», и метафизический подход обосновывался тем обстоятельством, что «математические свойства – причины физических, поскольку Бог с самого начала времен заключал в себе математические объекты как простые божественные абстракции, служившие прототипами для различных количеств на материальном уровне». Положение Земли было выбрано так, чтобы разделять тела, которые можно поставить стоймя (куб, тетраэдр и додекаэдр), от тел, которые «парят» (октаэдра и икосаэдра).

Рис. 60
Расстояния между планетами, полученные из этой модели, в одних случаях вполне совпадали с действительностью, а в других заметно отличались, правда, различие составляло не более 10 %. Кеплер был непоколебимо убежден в правильности своей модели и несоответствия списывал на погрешности измерения орбит. Он разослал экземпляры своей книги различным астрономам, чтобы они высказали свои замечания и предложения; в их числе был и один из самых выдающихся ученых того времени датчанин Тихо Браге (1546–1601). Один экземпляр попал даже в руки великому Галилео Галилею (1564–1642), который сообщил Кеплеру, что тоже уверен в правильности модели Коперника, однако с огорчением признал, что «огромному множеству людей, ибо таково количество дураков», Коперник «представляется достойным предметом для осмеяния и освистывания».

Нет нужды говорить, что космологическая модель Кеплера, основанная на платоновых телах, была не просто совершенно неверной, но и безумной даже по меркам современников ученого. Открытие Урана (следующей планеты после Сатурна, если считать от Солнца) в 1781 году и Нептуна (следующей после Урана) в 1846 году забили последний гвоздь в крышку гроба этой мертворожденной идеи. Тем не менее, нельзя недооценивать значение модели Кеплера в истории науки. Как отметил астроном Оуэн Джинджерич в статье, посвященной биографии Кеплера: «В истории редко случалось, чтобы столь ошибочная книга направила дальнейшее течение науки в столь верное русло». Кеплер опирался на пифагорейскую идею мироздания, и математики назвали бы это большим шагом вперед. Он разработал математическую модель Вселенной, которая, с одной стороны, была основана на имевшихся на тот момент данных наблюдений, а с другой – могла быть опровергнута последующими наблюдениями. Именно это и есть необходимые составные части «научного метода» – организованного подхода к объяснению наблюдаемых фактов на основании модели природы. Идеальный научный метод начинается со сбора фактов, затем предлагается модель, а потом то, что она предсказывает, проверяется в ходе либо искусственных экспериментов, либо дальнейших наблюдений. Иногда этот процесс описывают тремя словами: индукция, дедукция, проверка. В 1610 году Галилей при помощи своего телескопа открыл еще четыре небесных тела в Солнечной системе. Если бы было доказано, что это планеты, теории Кеплера был бы нанесен смертельный удар еще при жизни ученого. Однако, к вящей радости Кеплера, новые тела оказались спутниками Юпитера, подобными нашей Луне, а не новыми планетами, обращающимися вокруг Солнца.

Современные физические теории, нацеленные на объяснение существования всех элементарных (субатомных) частиц и основных взаимодействий между ними, также основаны на математической симметрии и в этом смысле очень похожи на теорию Кеплера, который опирался на симметричные качества платоновых тел, дабы объяснить количество и свойства планет. У модели Кеплера была еще одна общая черта с современной фундаментальной теорией Вселенной: обе теории по своей природе редукционистские , то есть они стремятся объяснить много явлений малым количеством физических законов. Например, модель Кеплера выводит и количество планет, и свойства их орбит из платоновых тел. Подобным же образом современные теории – например, теория струн – опирается на основополагающие сущности (струны), очень маленькие (более чем в миллиард миллиардов раз меньше атомного ядра), из которых выводятся все свойства элементарных частиц. Струны – подобно скрипичной струне – вибрируют и порождают разнообразные «тоны», и все известные элементарные частицы всего-навсего воплощают эти тоны.

Во время пребывания в Граце Кеплер интересовался золотым сечением, что привело к другому интересному результату. В октябре 1597 года ученый написал своему бывшему учителю Местлину о следующей теореме: «Если на отрезке, разделенном в крайнем и среднем отношении, построить прямоугольный треугольник так, чтобы прямой угол лежал на перпендикуляре, проведенном в точке разделения, то меньший катет будет равняться большему сегменту разделенного отрезка». Чертеж к этой теореме представлен на рис. 61. Отрезок АВ разделен точкой С в золотом сечении . Кеплер строит прямоугольный треугольник ADB с гипотенузой АВ так, что прямой угол D лежит на перпендикуляре, проведенном из точки золотого сечения С. Затем он доказывает, что BD (короткий катет прямоугольного треугольника) равен АС (более длинному сегменту отрезка, разделенного в золотом сечении). Кроме применения золотого сечения, такой треугольник примечателен еще и тем, что исследователь пирамид Фридрих Ребер в 1855 году приводит его при доказательстве одной из ложных теорий, предполагавших применение золотого сечения при строительстве пирамид. О трудах Кеплера Ребер не знал, однако применил похожее построение, чтобы подтвердить свое мнение о важнейшей роли «божественной пропорции» в архитектуре.

Публикация «Mysterium Cosmographicum » стала поводом для знакомства Кеплера с Тихо Браге; местом встречи, состоявшейся 4 февраля 1600 года, стала Прага, в то время – резиденция императора Священной Римской Империи. В итоге этой встречи в октябре того же 1600 года Кеплер перебрался в Прагу и стал помощником Тихо Браге (из-за своей лютеранской веры он был вынужден покинуть католический Грац). После смерти Браге 24 октября 1601 года Кеплер стал придворным математиком.

Тихо оставил массу наблюдений, в особенности связанных с орбитой планеты Марс, и Кеплер, опираясь на эти данные, открыл первые два закона движения планет, названные его именем. Первый закон Кеплера гласит, что орбиты известных планет вокруг Солнца – не окружности, а эллипсы с Солнцем в одном из фокусов (рис. 62; для наглядности эллипс вытянут гораздо сильнее, чем на самом деле). У эллипса есть две точки, так называемые фокусы, такие, что сумма расстояний любой точки эллипса до обоих фокусов всегда постоянна. Второй закон Кеплера утверждает, что планета движется быстрее всего, когда она ближе всего к Солнцу (эта точка называется перигелий), а медленнее всего – в самой дальней точке (афелии), так что линия, соединяющая планету с Солнцем, описывает (заметает) равные площади за равные промежутки времени (рис. 62). Вопрос о том, благодаря чему законы Кеплера справедливы, был главной нерешенной загадкой науки почти семьдесят лет после того, как Кеплер опубликовал свои законы. Понадобился гений Исаака Ньютона (1642–1727), чтобы сделать вывод, что планеты держатся на орбитах благодаря силе тяготения. Ньютон объяснил законы Кеплера при помощи уравнений, где законы, описывающие движение тел, сочетались с законом всемирного тяготения. Он показал, что эллиптические орбиты с переменной скоростью (согласно законам Кеплера) и предоставляют собой единственное возможное решение этих уравнений.

Рис. 61

Рис. 62
Героические усилия Кеплера по расчету орбиты Марса (много сотен листов арифметических выкладок и их толкований, которые сам он называл «моей военной кампанией против Марса»), по мнению многих исследователей, знаменуют рождение современной науки. В частности, в какой-то момент Кеплер обнаружил круговую орбиту, которая соответствовала почти всем наблюдениям Тихо Браге. Однако в двух случаях эта орбита предсказывала позиции, отличавшиеся от наблюдений примерно на четверть углового диаметра полной луны. Об этом Кеплер писал так: «Стоило мне предположить, что мы можем пренебречь этими восемью минутами [дуги], и я вписал бы мою гипотезу в соответствующую 16 главу. Но поскольку пренебрегать ими непозволительно, выходит, что эти восемь минут указали путь к полнейшей реформе астрономии».

Годы, проведенные Кеплером в Праге, принесли обильные плоды и в астрономии, и в математике. В 1604 году он обнаружил «новую» звезду, известную теперь как Сверхновая Кеплера. Сверхновая – это мощный взрыв, при котором звезда, конец которой близок, сбрасывает свои внешние оболочки, которые при этом движутся со скоростью в десятки тысяч километров в секунду. В нашей родной галактике Млечный Путь подобная вспышка, по расчетам ученых, должна происходить в среднем раз в сто лет. И в самом деле, Тихо Браге открыл сверхновую в 1572 году (Сверхновая Тихо Браге), а Кеплер открыл свою в 1604 году. Однако с тех пор, по неясным причинам, других сверхновых в Млечном пути не было (кроме еще одной, которая, судя по всему, вспыхнула в 1660 годах, но осталась незамеченной). Астрономы шутят, что подобное отсутствие сверхновых, скорее всего, связано с тем, что после Тихо Браге и Кеплера не было великих астрономов.

В июне 2001 года я побывал в Праге, в доме, где жил Кеплер, по адресу Карлова улица, 4. Сейчас это оживленная торговая улица, и ржавую мемориальную дощечку над номером 4, где значится, что здесь с 1605 по 1612 год жил Кеплер, легко не заметить. Владелец магазинчика, расположенного прямо под квартирой Кеплера, даже не знал, что здесь жил один из величайших астрономов в истории. Правда, в унылом внутреннем дворике стоит маленькая армиллярная сфера с вырезанным на ней именем Кеплера, а возле почтовых ящиков висит еще одна мемориальная дощечка. Однако квартира Кеплера вообще никак не отмечена и не открыта для публики – сейчас это просто жилая квартира, каких много на верхних этажах над магазинами, и ее занимает обычное семейство.

Математические труды Кеплера внесли несколько ярких штрихов в историю золотого сечения. В тексте письма, которое Кеплер написал в 1608 году одному лейпцигскому преподавателю, мы обнаруживаем, что он открыл соотношение между числами Фибоначчи и золотым сечением. Об этом открытии он сообщает также в эссе, где изучает, почему снежинки имеют шестиконечную форму. Кеплер пишет:

Из двух правильных геометрических тел – додекаэдра и икосаэдра… эти два правильных многогранника и, по сути дела, структуру самого правильного пятиугольника невозможно выстроить без божественной пропорции, как называют ее нынешние геометры. Она устроена так, что два меньших члена прогрессии вместе составляют третий, а два последних, если их сложить, составляют непосредственно следующий за ними, и так далее до бесконечности, если не нарушать и продолжать эту пропорцию… Чем дальше мы отходим от номера первого, тем совершеннее становится пример. Пусть самыми маленькими числами будут 1 и 1… сложи их, и сумма будет 2, прибавь это число к последнему из 1, получишь 3, прибавь к нему 2 и получишь 5, прибавь три – получишь 8; 5 к 8–13; 8 к 13–21. Как 5 к 8, так и 8 к 13 – приблизительно, – и как 8 к 13, так и 13 к 21 – приблизительно.
Иначе говоря, Кеплер обнаружил, что отношение последовательных чисел Фибоначчи сходится к золотому сечению. По сути дела, он открыл и еще одно интересное свойство чисел Фибоначчи – что квадрат любого члена последовательности отличается не более чем на 1 от произведения двух соседних членов последовательности. Например, поскольку последовательность Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …, то если мы рассмотрим 32 = 9, то 9 лишь на 1 отличается от произведений двух членов последовательности, соседних с 3: 2 × 5 = 10. Подобным же образом 132 = 169 отличается на 1 от 8 × 21 = 168 и т. д. Это качество чисел Фибоначчи подводит нас к удивительному парадоксу, который первым обнаружил великий изобретатель математических головоломок Сэм Лойд (1841–1911).

Рассмотрим квадрат со стороной 8 (с площадью 82 = 64) на рис. 63. Теперь разрежем его на четыре части по намеченным линиям. Из этих четырех кусочков можно составить прямоугольник (рис. 64) со сторонами 13 и 5 – то есть с площадью 65! Откуда взялся дополнительный квадратик?! Ответ на этот парадокс состоит в том, что на самом деле детали головоломки не сходятся идеально вдоль длинной диагонали прямоугольника, получается длинный узкий параллелограмм, которого не видно из-за жирной линии, обозначающей длинную диагональ на рис. 64, и его площади как раз хватает на площадь одного квадратика-единицы. Само собой, 8 – число Фибоначчи, и его квадрат 82 = 64 отличается на 1 от произведения двух соседних чисел Фибоначчи (3 × 5 = 65): свойство, которое открыл Кеплер.

Рис. 63

Рис. 64
Наверное, вы уже заметили, что Кеплер именует золотое сечение «божественной пропорцией, как называют ее нынешние геометры». Все научные изыскания Кеплера окрашены сочетанием рациональных рассуждений с христианскими убеждениями. Кеплер был естествоиспытателем-христианином и считал своим долгом понять не только устройство Вселенной, но и намерения ее Творца. Свою гипотезу о Солнечной системе он строил под влиянием сильной тяги к числу 5, перенятой у пифагорейцев, и о золотом сечении писал следующим образом:
Особенность этого соотношения заключается в том, что похожую пропорцию можно построить из целого и большей части, и то, что раньше было большей частью, теперь становится меньшей, а то, что раньше было целым, теперь становится большей частью, а сумма их обладает соотношением целого. Так происходит до бесконечности, а божественная пропорция всегда сохраняется. Я полагаю, что эта геометрическая пропорция и послужила идеей Творцу, когда Он творил подобное из подобного по образу и подобию Своему – и это тоже происходит до бесконечности. Число пять я вижу почти во всех цветках, которые прокладывают путь плодам, то есть творению, и которые существуют не ради себя самих, а ради того, чтобы за ними последовали плоды. Сюда можно включить почти все цветы плодовых деревьев; следует, вероятно, исключить лимоны и апельсины, хотя я не видел их цветов и сужу лишь по плодам или ягодам, которые поделены не на пять, а на семь, одиннадцать или девять долек. Однако воплощение числа пять в геометрии, то есть правильный пятиугольник, строится посредством божественной пропорции, которую мне бы хотелось [предположительно считать] прототипом Творения. Более того, [она] наблюдается и между движением Солнца (или, как я полагаю, Земли) и Венеры, которая стоит на вершине порождающей способности соотношения 8 и 13, которое, как мы еще услышим, подходит очень близко к божественной пропорции. Наконец, согласно Копернику, сфера Земли расположена посередине между сферами Марса и Венеры. Пропорцию между ними можно получить из додекаэдра и икосаэдра, оба из которых в геометрии производятся из божественной пропорции – однако акт творения происходит именно на нашей Земле.

Теперь рассмотрим, как из божественной пропорции проистекают изображения мужчины и женщины. На мой взгляд, размножение растений и продолжение рода у животных состоят в том же соотношении, что и геометрическая пропорция, пропорция, выраженная частями отрезка, или арифметическая или численно выраженная пропорция.

Проще говоря, Кеплер искренне верил, что золотое сечение послужило для Бога фундаментальным инструментом сотворения Вселенной. Из этого отрывка следует также, что Кеплер знал о проявлениях золотого сечения и чисел Фибоначчи в расположении лепестков растений.

Относительно спокойный и плодотворный с профессиональной точки зрения период жизни в Праге кончился для Кеплера в 1611 году, когда его постигла череда несчастий. Сначала умер от оспы его сын Фридрих, затем от заразной лихорадки, которую принесли австрийские оккупанты, скончалась его жена Барбара. В конце концов, император Рудольф отрекся от престола в пользу своего брата Матиаса, известного нетерпимым отношением к протестантам. Поэтому Кеплер был вынужден перебраться в Линц, на территорию современной Австрии.

Венцом трудов Кеплера, созданных в Линце, стала публикация в 1619 году его второй главной работы по космологии – «Harmonice Mundi » («Гармония мира»).

Вспомним, что для Пифагора и пифагорейцев музыка и гармония была первым доводом в пользу того, что космические явления можно описать математически. Созвучные тоны порождали лишь те струны, длины которых соответствовали простым дробям. Соотношение 2:3 звучало как квинта, 3:4 как кварта и т. д. Считалось, что похожее гармоническое расположение планет также порождает «музыку сфер». Кеплер был хорошо знаком с этой концепцией , поскольку прочитал почти всю книгу отца Галилео Галилея Винченцо «Диалоги о древней и современной музыке», хотя и не был согласен с некоторыми идеями Винченцо. Поскольку он был также убежден, что создал исчерпывающую модель Солнечной системы, то смог даже рассчитать небольшие «мотивы» для разных планет (рис. 65).

Рис. 65
Поскольку Кеплер был уверен, что «еще до начала вещей геометрия была столь же вечной, сколь и Божественный Разум», «Гармония мира» была по большей части посвящена геометрии. Один аспект этого труда был особенно важен для истории золотого сечения – я имею в виду изыскания Кеплера в области геометрического паркета.

Паркетом в геометрии называют узор или структуру, состоящую из «плиток» одной или нескольких форм, которые полностью покрывают плоскость, не оставляя промежутков – подобно мозаике из плиток на полу. В главе 8 мы увидим, что некоторые математические концепции, наблюдаемые в таких «паркетах», теснейшим образом связаны с золотым сечением. Хотя Кеплер не знал обо всех математических тонкостях паркетов, интерес к отношениям между разными геометрическими фигурами и почитание правильного пятиугольника, который воплощает божественную пропорцию нагляднее всего, позволил ему создать интересную работу о паркете. Особенно Кеплера занимала конгруэнтность («подогнанность» друг к другу) геометрических фигур и тел вроде многогранников и многоугольников. На рис. 66 показан пример из «Гармонии мира». Этот узор паркета составлен из четырех фигур – и все они связаны с золотым сечением: это правильные пятиугольники, пентаграммы, десятиугольники и сдвоенные десятиугольники. Для Кеплера это воплощение «гармонии», поскольку по-гречески это слово означает «соответствие друг другу».

Рис. 66
Интересно, что интерес к паркетам проявляли до Кеплера еще два человека, также сыгравшие важную роль в истории золотого сечения (и уже упоминавшиеся на страницах нашей книги): это Абу-л-Вафа и художник Альбрехт Дюрер. Оба они рассматривали узоры из фигур с пятилучевой симметрией (пример из набросков Дюрера приведен на рис. 67).

Рис. 67
В пятой книге «Гармонии мира» содержится самый значительный результат астрономических исследований Кеплера – Третий закон движения планет. Здесь сполна выразились все его мучительные раздумья по поводу размеров орбит разных планет и периодов их обращения вокруг Солнца. Двадцать пять лет работы сконцентрировались в поразительно простом законе: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет, и это отношение одинаково для всех планет (большая полуось – это половина длинной оси эллипса, см. рис. 62). Кеплер открыл этот основополагающий закон, послуживший Ньютону отправной точкой для формулировки закона всемирного тяготения, когда «Гармония мира» была уже в печати. Не в силах сдержать ликования, ученый объявил: «Я похитил золотые сосуды египтян, чтобы вдали от Египта выстроить жертвенник Господу моему». Суть закона естественно следует из закона всемирного тяготения: сила тяготения тем больше, чем ближе планета к Солнцу, вот почему планеты, которые ближе к нему, вынуждены вращаться быстрее, иначе они упадут на Солнце.

Рис. 68
В 1626 году Кеплер переехал в Ульм и завершил там работу над «Рудольфовыми таблицами» – на тот момент это были самые подробные и точные астрономические таблицы в истории. Когда я в июне 2001 года был в Венском университете, мне показали первое издание таблиц, хранящееся в библиотеке обсерватории (до наших дней дошло 147 экземпляров). На фронтисписе книги (рис. 68) символически изображена история астрономии, а в левом нижнем углу, возможно, находится единственный автопортрет Кеплера (рис. 69). На нем Кеплер трудится при свете свечи под виньеткой, где перечислены главные его публикации.

Рис. 69
Умер Кеплер в полдень 15 ноября 1630 года и похоронен в Регенсбурге. Судьба и после смерти не оставила его в покое, будто бы мало было бурной жизни: войны стерли с лица земли его могилу. К счастью, сохранился набросок надгробия, который выполнил друг Кеплера, и на нем есть и эпитафия ученому:
Я небеса измерял, ныне тени Земли измеряю.

Дух мой на небе жил, здесь же тень тела лежит.
В наши дни, пожалуй, невозможно представить себе ученого, столь оригинального и плодовитого, как Кеплер. Надо понимать, что на долю этого человека выпали невообразимые страдания: в частности, в 1617–1618 году он меньше чем за полгода потерял троих детей. Наверное, лучше всего о нем сказал английский поэт Джон Донн (1572–1631) в памфлете «Игнатий и его конклав»: Кеплер «вменил себе в обязанность следить, чтобы в небесах без его ведома ничего нового не происходило».

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники.
Леонардо да Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ""О божественной пропорции.""
Пачоли был одним из крупнейших европейских алгебраистов XV века и, что не менее важно, изобрел принцип так называемой двойной записи, который и в настоящее время применяется во всех без исключения системах бухгалтерского учета. Так что его смело можно называть «отцом современной бухгалтерии». Однако довольно загадочная и противоречивая личность Пачоли до наших дней вызывает ожесточенные споры историков науки.
В 1472 г. Пачоли под именем Фра Лука ди Борго-Сан-Сеполькро.В 1496 г. его приглашают с лекциями в Милан, где он знакомится с Леонардо да Винчи. Леонардо, прочитав «Сумму», забросил работу над собственной книгой по геометрии и начал готовить иллюстрации к новому труду Пачоли «Божественная пропорция».
Леонардо да Винчи предложил оригинальный способ пространственного изображения усеченного икосаэдра.
Репродукция этого прекрасного изображения из иллюстрированной Леонардо книги его современника, францисканского монаха и математика Луки Пачоли (1445-1514) «Божественная пропорция» («De Devina Proportione»), изданной в 1509 г. приведена на рис.1

Книга Пачоли, для которой Леонардо выполнил 59 иллюстраций различных многогранников, оказала большое влияние на развитие геометрии того времени, в частности, стереометрии многогранников.

Не случайна причастность Леонардо к изучению усеченного икосаэдра. Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519) - символ неразрывности искусства и науки, а следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, как выпуклые многогранники вообще и усеченный икосаэдр в частности. Рис 2.

Гравюру с изображением усеченного икосаэдра (рис. 17) Леонардо предваряет надписью по латыни Ycocedron Abscisus (усеченный икосаэдр) Vacuus. Термин Vacuus обозначает тот факт, что грани многогранника изображены «пустыми» - не сплошными. Строго говоря, грани не изображаются вовсе, они существуют только в нашем воображении. Зато ребра многогранника изображены не геометрическими линиями (которые, как известно, не имеют ни ширины, ни толщины), а жесткими трехмерными сегментами. Обе эти особенности данной гравюры и составляют основу способа пространственного изображения многогранников, изобретенного Леонардо для иллюстрации книги Луки Пачоли и называемого сегодня методом жестких (или сплошных) ребер. Такая техника позволяет зрителю, во-первых, безошибочно определить, какие из ребер принадлежат передним, а какие - задним граням многогранника (что практически невозможно при изображении ребер геометрическими линиями), и, во-вторых, взглянуть как бысквозь геометрическое тело, ощутить его в перспективе, глубине, которые теряются при использовании техники сплошных граней. Техника, разработанная Леонардо, являет собой блестящий пример геометрической иллюстрации, нового способа графического изображения научной информации. Эта техника впоследствии многократно использовалась художниками, скульпторами и учеными.

Одно из основных правил состоятельных людей - вести учет своих доходов и расходов. Без бухгалтерии не обходится ни одна компания, ни одно предприятие, никакая торговля. Современная бухгалтерия основана на двойной записи - способе ведения счетов, при котором любое движение средств фиксируется дважды: в левой и правой части счета. И мало кто знает, что автор этой системы - монах нищенствующего ордена, флорентиец Лука Пачоли.

Великолепный век

Эпоха Возрождения ассоциируется у нас с Данте, Боккаччо, Микеланджело, Леонардо… Но расцвет искусств и наук в государствах Апеннинского полуострова XIV-XVI веков - Флоренции, Генуе, Венеции, Неаполе - был бы невозможен без расцвета экономики и торговли. Великие художники, архитекторы, ученые, поэты творили не сами по себе, а по заказу своих спонсоров - герцогов, гонфалоньеров и просто состоятельных граждан. Деятели культуры, особо обласканные сильными мира сего, сами покровительствовали тому, в ком видели талант.

Одним из известных меценатов был правитель государства Урбино герцог Федерико де Монтефельтро. В XV веке он держал богатый двор, покровительствовал наукам и искусству. Среди талантов, которыми герцог любил себя окружать, выделялся Леон Баттиста Альберти - ученый, писатель, музыкант и выдающийся зодчий. Он порвал с канонами средневековой готической архитектуры и обратился к наследию Древнего Рима.

Он-то и заметил в 1464 году 19-летнего Луку Пачоли, который в то время служил подмастерьем у знаменитого художника Пьеро делла Франческа. Родом молодой человек был из небольшого городка Борго Сан-Сеполькро, расположенного на берегу Тибра и принадлежавшего тогда Флорентийской республике.

Альберти рекомендовал юношу богатому венецианскому купцу Антонио де Ромпианзи в качестве учителя математики для его детей. Лука переезжает в Венецию. Купеческим отпрыскам математика требовалась для дела - чтобы грамотно и успешно торговать. Поэтому Пачоли в 1470 году издал учебное пособие по коммерческой арифметике.

В том же году молодой ученый покидает Венецию и перебирается в Рим, к своему покровителю - архитектору Альберти. В Вечном городе взгляду Луки предстают многочисленные руины столицы древней империи, огромное число ветхих разрушающихся средневековых зданий и немногочисленные постройки новых великих зодчих. Пачоли имел возможность наглядно убедиться в том, что хорошо строит только тот, кто предварительно провел верные вычисления.

В то время это было не так уж очевидно: при закладке зданий тогда нередко приносили «строительные жертвы», заживо замуровывая в основание дома младенцев или женщин. И находили этому изуверскому обычаю объяснения в христианской теологии: «Предвечный отец положил своего собственного сына краеугольным камнем всего создания, чтобы спасти мир от истления и через смерть невинного остановить яростный натиск адских сил».

Эпохе Возрождения, помимо расцвета экономики, наук и искусства, присущи еще и самые дикие суеверия, и особая жестокость. Историк и философ Алексей Лосев писал: «В эпоху Ренессанса гадали на трупах, заклинали публичных женщин, составляли любовные напитки, вызывали демонов, совершали магические операции при закладке зданий, занимались физиогномикой и хиромантией». «Охота на ведьм» была вовсе не в Средневековье, как принято думать, а именно в Ренессанс.

Фото: Mary Evans Picture Library / Global Look

В мире, окружавшем Пачоли, помимо жестокости, разврата и суеверий, царила также алчность. В отличие от пропитанного христианской аскетической идеологией Средневековья, в эпоху Ренессанса люди стремились жить хорошо. Сам великий Леонардо признавался: «Я служу тому, кто больше платит», «Мне почти все равно, чем заниматься и за что получать деньги». Возможно, стремление отстраниться от всего этого и не отвлекаться от интересовавших его изысканий, подвигло Пачоли к принятию аскезы.

В 1472 году он покинул Рим и присоединился к монахам-францисканцам. Обулся в сандалии на босу ногу, натянул коричневую рясу из грубой шерсти и перепоясался белой веревкой с тремя узлами, в знак трех обетов: послушания, целомудрия и бедности. Именно в качестве монаха ордена «босоногих», как тогда называли францисканцев, «брат Лука» и написал свои книги с советами богатым о том, как управлять деньгами и сделать жизнь красивой и гармоничной. Насколько ученому мешает богатство, можно спорить, но в наше время математик Григорий Перельман тоже отказался от заслуженного миллиона долларов за доказательство гипотезы Пуанкаре.

Пачоли посвятил жизнь науке, а не собственному обогащению. Управление деньгами представляло для него чисто научный интерес. Уже будучи монахом, с 1477 по 1480 год он преподавал математику в университете Перуджи. Восемь лет провел в Заре (теперь это Задар в Хорватии), а потом не раз менял место жительства. И писал главный труд своей жизни - энциклопедическую «Сумму арифметики, геометрии, отношений и пропорций». В 1493 году работа над книгой была завершена.

Царица наук

Свой труд монах посвятил Гвидо Убальдо де Монтефельтро - сыну прежнего герцога Урбинского. Высокий покровитель помог издать книгу в Венеции в 1494 году. Это обширный энциклопедический том на 300 листах. 224 листа посвящены арифметике и алгебре, 76 листов - геометрии.

Книга написана не на латыни, которую тогда использовали ученые мужи всего мира, а на итальянском языке того времени. В посвящении автор поясняет: «Правильное понимание трудных терминов среди латинистов прекратилось ввиду того, что хорошие учителя стали редки. И хотя для Вашего Герцогского Высочества лучше подошел бы стиль Цицерона или еще более высокий, однако я полагаю, что этим источником красноречия не всякий сумеет воспользоваться. Так что, принимая во внимание интересы общей пользы ваших почтительных подданных, я решил написать свое сочинение на родном местном языке, чтобы и образованные, и необразованные в равной мере могли получить удовольствие от этих занятий».

В предисловии Пачоли говорит о своей убежденности в том, что математика рассматривает «всеобщую закономерность, применимую ко всем вещам». Он приводит примеры из астрономии, архитектуры, рассказывает о многочисленных живописцах, развивавших искусство перспективы, «которая, если разобраться тщательно, была бы пустым местом без применения математических вычислений». Мастера искусств, которых он ценит, «пользуясь вычислениями в своих работах с помощью нивелира и циркуля, довели их до необычайного совершенства». Пачоли упоминает и о значении математики для музыки, космографии, механических искусств, военного дела и, разумеется, торговли.

В другом своем труде - «О божественной пропорции», посвященном миланскому герцогу Лодовико Сфорца, брат Лука написал: «Благоразумным известна пословица: Aurum probatur igni et ingenium mathematicis. То есть золото проверяется огнем, и проницательность разума - математическими дисциплинами. Это высказывание говорит вам, что добрый разум математиков наиболее открыт каждой науке, ведь они привычны к величайшей абстракции и тонкости, поскольку всегда рассматривали то, что находится вне чувственной материи».

В Миланском университете, куда Пачоли пригласили возглавить только что созданную кафедру математики, он познакомился, а затем и подружился с Леонардо да Винчи. Великий мастер проиллюстрировал произведения брата Луки. Расстались они в 1499 году, когда Милан оккупировали французы.

В 1509 году в Венеции Пачоли издает еще более обширный труд. Примечательно само его название: «Божественная пропорция. Сочинение, весьма полезное всякому проницательному и любознательному уму, из коего каждый изучающий философию, перспективу, живопись, скульптуру, архитектуру, музыку или другие математические предметы извлечет приятнейшее, остроумное и удивительное учение и развлечет себя различными вопросами сокровеннейшей науки». Как видим, Пачоли считал математику основой практически всех дисциплин. Фактически он повторил идею Пифагора о том, что в основе вселенной лежит число.

Дебет и кредит

В своем «Трактате о счетах и записях» Пачоли описал три условия, «необходимые всякому, кто желает в исправности вести торговлю». Первое и самое главное - наличные деньги и ценности. Второе - умение правильно вести книги и быстро считать. Третье - ведение своих дел в должном порядке и как следует, «чтобы можно было без задержки получить всякие сведения как относительно долгов, так и требований, ибо торговля не распространяется ни на что другое».

Именно тут Пачоли и создал свое ноу-хау, послужившее основой современной бухгалтерии и применяемое по сей день. Принцип двойственности или двойной записи формулируется в трактате так: «В Журнале встречаются два выражения: одно - Per (на), другое A - (от), и каждое из них имеет свое особое значение: "на" обозначает всегда должника (дебитора) - одного или многих, "от" - всегда верителя (кредитора) - одного или многих. Нельзя внести в Журнал ни одной обыкновенной статьи…, не снабдив ее предварительно обоими названными терминами. В начале всякой статьи ставится "на" потому, что прежде следует определить должника, а потом уже, непосредственно за ним, его верителя, то есть "от". Один отделяется от другого двумя небольшими вертикальными линиями».

Таким образом, при уменьшении активов (когда вносится запись по кредиту), уменьшаются и пассивы (обязательно вносится запись по дебету) на одну и ту же сумму. Казалось бы - чисто техническая деталь, не влияющая на суть процесса. Но на самом деле, это дает огромное преимущество: купец мог сразу видеть как свои требования, так и долги. «Может быть, красота бухгалтерии это и есть "согласие и созвучие" счетов, составляющих баланс, частями которого они являются», - считал Пачоли.

«После того как ты все статьи записал в Журнал, следует тебе сделать из него же выборку и перенести в третью книгу - большую, или Главную, которую обыкновенно заводят с двойным против Журнала числом листов. В нее принято включать алфавитный указатель - реперториум, иначе называемый реестр, или индекс. Флорентийцы называют его экстракт. В реестр ты занесешь всех должников и верителей по алфавиту с указанием номеров страниц, где они фигурируют. Главная книга должна быть мечена тем же самым знаком, каким мечены Мемориал и Журнал».

Справедливости ради следует сказать, что Пачоли не первым изобрел принцип двойной записи: такой способ ведения счетов был уже у инков империи Тауантинсуйу. Однако нынешняя система бухгалтерского учета основана на принципах, изложенных именно нищенствующим братом Лукой.

В наше время люди стремятся к специализации, ясно осознавая, что невозможно «объять необъятное». Лучше быть специалистом в какой-то одной области и достичь в ней совершенства. Не так было в эпоху Возрождения. Тогда на мир смотрели как на единое целое, пытаясь найти в нем гармонию и ключ к пониманию всего универсума. С точки зрения Луки Пачоли, таким ключом была математика. Причем находя ей вполне утилитарное применение, ученый не искал выгоды для себя. Он хотел хоть немного улучшить мир. И ему это удалось.