Пачоли божественная пропорция. Бухгалтерский учет, божественная пропорция и астрология

«Красота есть некое согласие и созвучие частей в том, частями чего они являются»

Леон Баттиста Альберти
(математик, живописец, музыкант, поэт, общественный деятель, великий зодчий эпохи Ренессанса)

1.
Красота и гармония мира.
Человек не только находит их в природе или интуитивно порождает в своем творчестве. Он старается постичь сокровенную их тайну, как основу мироздания, чтобы понимать их тоньше и воссоздавать точней.

Когда интерес к сей тайне объединяет людей великих, притом в славное время в замечательном месте, то творческое содружество их само уже являет собой красоту и гармонию. Плоды же его - изумительны.

Возможно, что в истории то было не раз, но есть и такая.

2.
В эпоху Ренессанса, в богатейшем Миланском герцогстве, произошла встреча двух великих людей – математика Луки Пачоли и творца - изобретателя Леонардо да Винчи.

Луке было глубоко присуще чувство прекрасного. При этом, он был «влюблен в число» и тяготел к ОДНОЙ области - математике, считая ее уникальным ключом к истине и красоте, став в ней светилом. Своей миссией он считал дать практикам в различных областях деятельности, полезные приемы и инструменты математики.

Леонардо обладал мощнейшей творческой интуицией, воображением и изобретательностью, находя применение своих богатых талантов в САМЫХ РАЗЛИЧНЫХ областях практики и искусств. Он светил самим своим творчеством и изобретательностью, стремясь постоянно находить новые, оригинальные, масштабные решения и находки. Леонардо прибегал для этого к разносторонним и тонким наблюдениям жизни и возможностям науки, в том числе - математики.

Содружество Луки и Леонардо продлилось недолго, порядка 4 лет, но оставило у обоих благодарную память на всю жизнь.

3.
То была славная эпоха Ренессанса, эпоха мощнейшего масштабного человеческого творческого взрыва, имевшая две стороны своей медали.

С одной стороны, активно развивались науки и искусства, шел расцвет гуманизма: человек, его возможности и таланты были поставлены во главу угла. Эпоха Ренессанса рождала талантливых, многосторонне эрудированных и специализированных людей, стремившихся жить в богатстве в широком смысле этого слова. В то время происходили крупные географические открытия (Колумб, Магеллан, Веспучи, да Гамма), возрос интерес к красоте человеческого тела, возникло новое понимание космоса (Коперник), мироздания и общества (Макиавелли и др.), осуществлялся переход к мануфактуре и капитализму, возрождались идеалы античности с ее воспеванием гармоничного человека.

С другой стороны, нивелировалась духовная аскетика, та самая, что эпохой раньше создала высочайшие сокровищницы нравственной культуры (Иоанн Лествичник, Ефрем Сирин, Исаак Сирин, Андрей Критский и др). Эпоха Ренессанса не препятствовала иным нравам. Обманы, заговоры на трупах, заклятия, убийства (особенно, отравления), демонология имели распространение в обществе, не придававшей нравственной стороне жизни должного внимания.

Такая ситуация, и не только в ту эпоху, толкала людей разумных находить правильную гармонию в своей жизни. В мощности и красоте ли творчества она? Или в правильном балансе между стремлением человеческого творчества к могуществу, выходам за пределы заданного и малыми, но важными, нравственными ограничениями, выходить за которые не стоит?

На эту сторону героев обратим внимание позже, в рамках повествования.

4.
Миланское герцогство, в котором встретились Лука и Леонардо, на тот период (конца 15 века), было самым экономически сильным в Италии (особенно, после смерти в 1492 году флорентийского герцога Лоренцо Медичи, прозванного «Великолепным»). В то время Италия представляла собой набор отдельных, разрозненных, подчас воюющих друг с другом, государств. Милан, в те годы, был активным центром финансово-экономической жизни Италии, моды, центром оружейников и ремесленников. В отличии от Флоренции, где основной упор уделялся искусствам и текстильному делу, в Миланском герцогстве больше процветали естественные науки, математика и инженерия.

Лодовико Сфорца иль Моро правил этим герцогством фактически с 1480 года, работая сначала регентом у своего безвольного, не заинтересованного в государственных делах, племянника – Джана Галеаццо, родного сына его старшего убитого брата Галеаццо Мария Сфорца.

Лодовико Сфорца был роскошным по размаху, амбициозным правителем, желавшим превратить Милан в лучшее государство Италии.

Он приложил немало усилий, чтобы после смерти брата взять власть в свои руки. Ему удалось отстранить от нее супругу брата - Бону Савойскую, женщину видную, добрую, но не умную, и вместо нее стать регентом у ее несовершеннолетнего сына Джана Галеаццо.

Дядюшка вел хитрую политику. Внешне, и весьма роскошно, все почести оказывались номинальному герцогу Джану, но все решения государственной важности принимал Лодовико. Дядюшка пользовался большим доверием у племянника. Он создавал для молодого герцога увеселительную жизнь, уводил прочь от образования, давал раздолье его порокам, низлагая его нравственно и уводя от дел. Когда же Джан Галлеаццо стал не нужен – то вскоре неожиданно умер в возрасте 25 лет. Ходили слухи, что к этому приложил руки дядюшка, но алиби у него было «железное»: в момент смерти его не было в Милане. Так или иначе, но с 1494 года Лодовико Сфорца иль Моро стал законным седьмым герцогом Милана.

Прозвище иль Моро Лодовико заслужил по двум причинам. Моро обозначало мавр. Так звали его за смуглый цвет кожи лица. Но не это главное значение. Моро также означает тутовое (шелковичное) дерево как признак доблести и благоразумия. Тутовое дерево покрывается листвой последним, а плодоносит первым. Лодовико гордился этим прозвищем. Голова мавра и щелковичное дерево были изображены на его гербе. К тому же он имел слугу – настоящего мавра.

Лодовико происходил из молодого рода Сфорца (Сфорца на итальянском означает «Сильный»). Дед его, основатель династии, с 15 лет наемный воин (кондотьер) Муцио (полное имя Джакомуццо Аттондоле) заслужил этот эпитет за огромную физическую силу: он разгибал руками подковы. Таким же сильным был и отец Лодовико Франческо Сфорца, гнувший железные бруски пальцами. Франческо женился вторым браком на незаконорожденной дочери Филиппо Висконти Марии Бьянке, не имевшего наследников мужского пола. Так угасающий старинный род Висконти передал эстафету молодому роду Сфорца, как властителям Милана. В чем немалая роль доблестного и талантливого Франческо Сфорца.

Франческо, отец Лодовико, был доблестным, сильным воином и достиг в воинской службе генеральского чина. Позже, в период своего государственного правления, он добился значимых политических и экономических успехов посредством баланса (той самой гармонии) силовых и дипломатических методов управления. Он, также, почти заново отстроил монументальное архитектурное строение Кастелло Сфорцеско (Замок Сфорца), ставший резиденцией клана Сфорца. Фрески и росписи внутри замка делал затем Леонардо да Винчи. К слову сказать, итальянские архитекторы, строившие московский Красный Кремль, за основу проекта взяли Кастелло Сфорцеско.

Лодовико, в отличие от своего отца, родился болезненным ребенком (одним из 8 законорожденных детей Франческо, незаконорожденных было еще больше). Дети Франческо от Марии Бьянки пошли не в него доблестью и силой, а были похожи на мать, унаследовав характерные черты Висконти: хитрость, тонкость, изящество и др. Лодовико испытывал достаточно сильные религиозные чувства, а, также, оказывал почтение, уважение, питал добрые чувства к отцу и матери.

Лодовико был хитер, прозорлив, хотя в чем-то и прямолинеен, в государственных делах. Он понимал толк и был неравнодушен к красивым и умным женщинам. Как и у многих других влиятельных людей того времени, он имел фавориток, матерей своих бастардов (незаконнорожденных детей). Лодовико щедро награждал и покровительствовал своим женщинам. Например, после расставания с одной из них - Чечилией Галлерани (ее портрет можно увидеть на полотне Леонардо да Винчи «Дама с горностаем» (1489-1490 гг), - он выдал ее замуж за графа Бергамино и подарил один из замков. Другая фаворитка Лодовико – Лукреция Кривелли (изображена на полотне да Винчи «Прекрасная Ферроньера (1496 г) - почиталась как одна из красивейших, красотой которой искренне восхищался и Леонардо.

Лодовико был женат (с 1490 года) на одной из прекраснейших женщин Ренессанса – веселой, энергичной, умной и образованной Беатриче д’Эсте, дочери правителя Феррары. Кроме прочего, она была устойчивой в нравственном плане и не изменяла супругу.

Сфорца очень любил жену, оказывал ей почтение, дарил нежность, внимание, роскошные подарки. Супруги были близки по мировоззрению. Беатриче была для него ценным и умным соратником, а порой и вразумителем, помогавшим в государственных делах и решениях (ибо придавала внимание значимым мелочам, на которые Лодовико мог не обращать внимание).

Лодовико был старше супруги на 23 года (схожая возрастная пропорция была у его родителей). Она родила ему двух сыновей мальчиков- Массимилиано и Франческо. Ожидала рождения третьего, но в самом начале января 1497 года, родив мертвого младенца, умерла. Ей был всего лишь 21 год.

Горю Лодовико не было предела. Душевную потерю и состояние герцога не описать никакими словами! Черный драп на всех окнах Кастелло, лежащий, в течение двух недель, в своих покоях без сил Сфорца. Каждую ночь он пробуждался, одевал темный плащ и приходил на могилу жены. Пока та была жива и здорова, он молил Господа даровать ему умереть первым, ведь супруга столь молода! После ее смерти, он молил Высшие Силы о том, чтобы иметь возможность пообщаться с ее духом. Историки предполагают, что останься жива Беатриче, Лодовико не ждала бы та участь, которая с ним случилась. Но об этом позже.

5.
Вернемся к Пачоли и да Винчи.

В 1496 году в Милан, на кафедру математики университета Павии, герцогом Миланским Лодовико Сфорца иль Моро, был приглашен Лука Пачоли. Ему шел тогда 51 –й год. В том же городе служил в гильдии инженеров 44х летний Леонардо да Винчи, который прибыл в Милан намного раньше, в 1482 году.

Почему Сфорца пригласил к своему двору математика Луку Пачоли?

В 1494 году Лука Пачоли издал в Венеции, в типографии Паганино Паганини свой самый знаменитый труд, над которым работал долгие годы: Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita «Свод познаний в арифметике, геометрии, пропорциях и пропорциональности” (кратко- «Сумма»).

Это была настоящая полезная энциклопедия прикладных математических знаний по различным темам. Книга была посвящена (как было положено по канонам того времени), влиятельной особе – герцогу умбрийскому Гвидобальдо Монтефельтро, который в свое время учился математике у Пачоли.

«Сумма» была написана не на латыни (как было принято в те годы для научных изданий), а на родном итальянском языке. Это был язык практиков, торговцев, кому и адресовалась книга (Пачоли в юности жил у венецианского купца Ромпиази, обучал троих его детей математике; в начале 70-х годов Лука и сам немного занимался торговлей, но безуспешно). В «Сумме» была часть «Трактат о счетах и записях», посвященная систематизации знаний по бухгалтерскому учету, двойной записи, бухгалтерской отчетности. Этой части книги Лука Пачоли обязан почетному званию «отца основателя современной бухгалтерии», которым нарекли его потомки. А написание ее на итальянском языке увековечило основные термины бухгалтерии на нем: дебет, кредит, сальдо, субконто.

«Сумма» была очень популярна в Италии и за ее пределами, а автора знали еще и как прекрасного преподавателя. Об этом таланте Пачоли чуть позже.

Леонардо да Винчи читал эту книгу до встречи с Пачоли, но с автором знаком не был. Более того, до прочтения «Суммы» у Леонардо, увлекавшегося математикой, была идея написать свой собственный труд по геометрии, но прочитав ее он понял, что лучше написать не сможет, а хуже не стоит.

Знал об этой книге и ее авторе и Лодовико Сфорца. Он захотел пригласить Луку к себе, найдя, как его заинтересовать: дав кафедру математики в престижном университете Павии, возможность заниматься наукой, исследованиями, преподаванием, дав свободное время для написания книг.

Лука благодарно принял предложение герцога.

6.
Лодовико обладал прекрасным умением привлекать талантливых и нужных людей к себе на службу, выбирая лучших, и зная, как заинтересовать. При его дворе служило много знаменитых людей той эпохи (Браманто, Фидельфо, Кастальди, Царото и др). Сфорца умел грамотно управлять творческими людьми. Другой великий человек – Леонардо да Винчи - был совсем не простым для управления: амбициозным, своенравным, свободолюбивым. Однако, Лодовико нашел подход и к нему, давая ему интересные и разнообразные заказы и улаживая возникающие творческие конфликты.

Леонардо проработал у Сфорца почти 17 лет, проработал бы и больше, если б не разгар Итальянских войн.

Амбициозный правитель и амбициозный творец, кажется, нашли друг друга! Гармония?

Первый Миланский период творчества Леонардо да Винчи при дворе герцога Сфорца являлся одним из самых продуктивных и лучших в жизни великого Леонардо и по качеству творений (чего стоят «Мадонна Литта», «Мадонна в скалах», «Мадонна в гроте», «Витрувианский человек», грандиознейшая «Тайная Вечеря», проекты идеального города, летательного аппарата, легкого моста, колоссальный конный памятник Франческо Сфорца и очень многое иное) и по количеству его творческих проявлений (музыкант, поэт, писатель, архитектор и скульптор, инженер - мелиоратор, кулинар, шахматист, организатор придворных балов и торжеств, живописец, изобретатель и рационализатор).

7.
Леонардо стал посещать удивительные лекции по математике Луки Пачоли, восхищался его талантом преподавателя и широтой математической эрудиции. Леонардо не со всяким человеком заводил дружбу, ему нравились неординарные, масштабные и компетентные люди, коим был Пачоли. В записной книжке да Винчи тех лет есть запись: «Научись умножению корней у маэстро Луки». Или в другом: «узнай о мере весов у брата Луки».

Лука показывал высокий класс в преподавании математики. Он глубоко и основательно знал предмет, был экспертом в нем. Пачоли и выглядел подобающе. Вот как его описывал Альбер Дюпон: «Красивый, энергичный молодой мужчина; поднятые и довольно широкие плечи обличают врожденную физическую силу, мощная шея и развитая челюсть, экспрессивное лицо и глаза, излучающие благородство и интеллект, подчеркивают силу характера. Такой учитель мог заставить слушать себя и уважать свой предмет».

Кроме того, Пачоли был вежлив и приятен в общении (качество, помогавшее ему не только в преподавании, но и в общении с влиятельными особами и друзьями, которых у него было немало и у которых он пользовался успехом и покровительством).

Подход Пачоли к обучению строился по дедуктивному принципу - от сложного к простому: сначала он объяснял самый трудный пример, простые решались затем значительно проще. Пачоли так формулировал данный подход (принцип обучения): «Не заслужил сладкого тот, кто не отведал раньше горького».

Лука Пачоли имел сильный характер. В 1477 году, в возрасте 32 лет, он вступил в монашество. Для того времени, когда в ходу были нравы, описанные выше, это было подвигом. Вступая в монашество (теперь уже под именем фра Лука из Борго), Пачоли давал три основных обета: послушания, целомудрия, не стяжания. В 1486 году он стал еще и доктором теологии (богословия). Но Лука вовсе не отказывался от своего призвания – математики, а, напротив, во имя ее, становился странствующим монахом математиком. Монашество позволяло фра Луке заниматься своим любимым делом и через это служить Богу своим дарованием, передавать заинтересованным людям полезные им математические знания. Он делал то, что любит, не заботясь, сколько с этого заработает. В этом проявлялась направленность францисканского ордена миноритов: не бежать от жизни, а жить в ней, проявлять свои таланты в угоду Богу, но и принимать полезные отречения, дабы избежать ненужных соблазнов. Кстати, по этой же причине немало творческих людей приходили в этот орден. Как еще один пример в истории - композитор Ференц Лист.

Луке Пачоли, как математику, неплохо платили за его лекции и постоянно повышали жалование. Он был весьма популярен. Верность обетам позволяла ему не впадать в алчность зарабатывания, а наслаждаться процессом науки и преподавания и развиваться в них. Он старался не «засиживаться» слишком долго в одном месте: один из способов быть в тонусе, избегая привычности, а, также, расширять охват своей аудитории. Так он работал математиком в Перудже, Заре (Хорватия), Риме, Неаполе, Венеции. Не это ли один из образцов по - настоящему гармоничного человека Ренессанса?

В качестве параллели заметим, что Леонардо да Винчи не принимал монашество, и не давал обетов, но соблюдал каноны правильной жизни в высшем светском обществе Милана. В свое время, через Чечилию Галлерани (фаворитку Сфорца, прекрасного по душевным качествам и уму человека, которая была близким другом Леонардо, писала стихи и вела чтения в своем литературном клубе), он познакомился с представителями миланской элиты и усвоил как себя необходимо вести.

Леонардо будучи внешне общительным человеком, прекрасным рассказчиком и баснописцем, умевшим завести и поддержать беседу по любой теме, делая это с легкостью и юмором, в то же время был скрытен, осторожен в общении. Он никогда не писал открыто и не говорил о трех важных вещах: своей личной жизни, истории своих изобретений и о том, чего другим знать не стоит. Он имел на этот счет записную книжку, в которой вел записи в зашифрованном виде, многие из которых до сих пор не расшифровали. Леонардо держал необходимую дистанцию с людьми.

Как штрих, он был вегетарианцем и избегал излишеств в еде (считай, соблюдал неформальные посты).

К доходам Леонардо относился не как Лука, а предпринимательски: он умел предложить, «продать» себя как мастера (что успешно сделал в 1482 году и по отношению к иль Моро, приехав из Флоренции в Милан), работал на тех, кто больше платит, и в той специальности, за которую больше платят. Это было весьма в духе Ренессанса. Люди творчества работали чаще не по бескорыстному вдохновению, а по хорошо оплачиваемым заказам. Но и заказов было вдоволь, разных и интересных! Большим уважением пользовалось и меценатство.

8.
Леонардо да Винчи стал с интересом учиться математике у Пачоли.

К великому достоинству самого Леонардо можно отнести то, что он не стеснялся учиться новому и нужному ни в каком возрасте, и ни в каком статусе, и делал это легко, без ущемления самолюбия.

А учиться нужно было.

Леонардо не имел системного образования (обучавшись в ранней юности у архитектора и живописца Андреа делль Верроккьо во Флоренции, и самообучаясь) и имел немало пробелов в знаниях. Его сильная, превосходящая возможности своей эпохи, интуиция требовала опору на прочные знания, которые таковыми были не всегда.

Для инженерных работ, а, также, для заливки бронзой восковой скульптуры колоссального по размерам конного памятника Франческо Сфорца (высотой около 7 метров) ему требовались знания по математике. Лука Пачоли стал тем человеком, который помогал ему в расчетах материалов для статуи, а также инженерно – проектировочных для создания водоканалов.

А герцог Сфорца был требовательным к людям, работавшим на него. Сделанное ими должно было быть сделано качественно, изящно, роскошно вплоть до мелочей. Лодовико, и, особенно, Беатриче, очень щепетильно относились к качеству труда людей, служивших им.

9.
В те миланские годы Лука Пачоли уже начал писать другой свой монументальный труд под названием «De Divina Proportione» (О Божественной Пропорции). Многие идеи были выношены ранее при написании «Суммы» и частично освещены в ней. Тема Божественной пропорции, как кода красоты и гармонии, еще больше сблизила Луку и Леонардо.

В живописи, которую Леонардо считал высшим и первичным из искусств (ибо она, как никакое иное, позволяет сразу одномоментно высветить всю красоту изображаемого предмета), он увлекался, кроме прочих, двумя основными темами: качеством линий рисунка (техника размытых линий, похожих на то, как их воспринимает человеческий глаз) и отражением перспективы и пропорций. Вторая тема была близка Божественной пропорции.

Лука Пачоли обучался в свое время у таких великих мастеров живописи, как художник, математик и творец идей начертательной геометрии Пьеро делла Франческа (которого Лука восторженно называл «Царем живописи»), математик, живописец, писатель, архитектор, зодчий Леон Баттиста Альберти (который, кроме образования, помог юному Луке в связях со многими влиятельными людьми и покровителями). Пачоли обучался живописи, но художником не стал. Знания по ней помогали ему в более глубоком постижении геометрии и, конечно, красоты и гармонии.

Третьим значимым человеком в этой области стал для Пачоли Леонардо да Винчи. Но то было уже не содружество учителя и ученика, как ранее, а двух творческих друзей, полных идей и замыслов.

В то время как Пачоли проводил лекции по математике в Павии, писал свой труд «О Божественной Пропорции», переводил «Элементы» Евклида, Леонардо рисовал монументальную по красоте и гармонии «Тайную вечерю» в трапезной монастыря Санта Мария делла Грация, писал несколько трактатов параллельно, выполнял инженерные задачи Сфорца и готовил к заливке бронзой колоссальную конную статую Франческо.

Леонардо и Лука вели глубокие и интересные беседы по теме Божественной пропорции, в коих рождались необыкновенной силы и красоты озарения.

Леонардо, по просьбе Пачоли, также, выполнил для трактата 60 цветных рисунков в стереометрии правильных и полуправильных многогранников. Выполнил, как писал об этом в трактате Лука, «своей божественной левой рукой» (да Винчи умел писать и рисовать обеими руками, причем, и слева направо, и обратно, и в тон зеркальному отражению; особо творческие работы он выполнял левой).

Леонардо нарисовал многогранники без расчета и циркулей и при этом красиво, гармонично и точно. Лука потом, до самой смерти, бережно хранил экземпляр рисунков. Пачоли собственноручно изготовил по ним макеты правильных многогранников.

Готовые экземпляры рукописи с рисунками и моделями были преподнесены влиятельным особам Милана (как полагалось по правилам того времени).

Объемный рукописный трактат «De Divina Proportione» в 3 частях (о Божественной пропорции, о правильных многогранниках, об архитектуре), был завершен в декабре 1498 года и посвящен миланскому герцогу Лодовико Сфорца иль Моро. Напечатан в Венеции, в типографии того же Паганино Паганини, он был лишь 11 лет спустя, в 1509 году.

10.
В завершении несколько слов по теме самой Божественной пропорции, ибо со слов о красоте и гармонии мира, как тайны мироздания, был начат этот рассказ.

Божественной пропорцией Лука Пачоли (или фра Лука из Борго) называл то, что в современном мире именуется «золотым сечением». Последнее название было ему дано в 1835 году немецким математиком Мартином Омом, родным братом знаменитого физика Георга Ома. Тема привлекала многих людей в истории, начиная с времен Древнего Вавилона и Египта.

«Золотое сечение» или «Божественная пропорция» понимается как одна из тайн мироздания, некий универсальный и уникальный код красоты и гармонии. Это соединение частей целого, воспринимаемое наилучшим (наиболее красивым) для эстетического восприятия человека; когда меньшая часть так относится к большей, как большая к целому. Ее описывают иррациональным числом Фи (в честь древнегреческого архитектора Фидея) и именуют еще числом Бога: 1,6180….В процентном соотношении, условно, это 62 и 38 процентов.

Пропорция «золотого сечения» (или Божественная пропорция) видится как универсальная, свойственная большинству форм объектов природы (пропорции тела и хвоста ящерицы, человеческого тела (подробней изучали Витрувий, да Винчи, Дюрер, Цейзинг), куриного яйца, спирали улитки и молекулы ДНК, расположения листьев на ветке цикория и др), так и выдающимся достижениям человеческого творчества (в архитектуре и зодчестве, литературе, живописи, музыке, кино, геометрии красивых многогранников и др).

В своем трактате «О Божественной Пропорции» Лука Пачоли утверждал, что это единая и единственная пропорция красоты (как един и единственен Бог) и нет сочетаний, лучше ее. Именно поэтому он говорил о ней как о Божественной.

Лука доказывал следствия теоремы, раскрывая 13 свойств Божественной пропорции (число 13 было выбрано не просто так: 13 человек сидели за столом на Тайной Вечере).

Он обосновывал ее применение в архитектуре и зодчестве, говорил о ней как об основе построения правильных геометрических тел (5 многогранников Платона, характеризующие 5 космических стихий: пирамида (тетраэдр), состоящей из 4 правильных треугольников – стихия огня, куб (гексаэдр), состоящий из 6 квадратов – стихия земли, октаэдр, состоящий из 8 правильных треугольников – стихия воздуха, икосаэдр, состоящий из 20 правильных треугольников – стихия воды, додекаэдр, состоящий из 12 правильных пятиугольников – стихия эфира или Вселенной; и большинство из 13 усечённых многогранников Архимеда).

Пачоли обращался в качестве источников и к геометрии Евклида (книга «Начала»), и к работам Пифагора, и к «Тимею» Платона, и к числам и задачам Фибоначчи, представленной в его книге Абака (счетной доски), и к Витрувию, и к работам Альберти о зодчестве, которые раскрывают смысл и возможности Божественной пропорции.

По существу, работа «De Divina Proportione» явилась восторженным гимном «золотому сечению», написанным в стиле ранней ренессансной математики (несколько усложненном, порой мистическом, нежели логическом). Но это была важная энциклопедия математических знаний по красоте и гармонии. Направление, которую позже назовут «математикой эстетики». Завершил ее Пачоли в трудный исторический период.

Шел разгар Итальянских войн, время смутное, и людям было не до красоты и ее универсальных кодов. Всякая война (в том всегда ее отрицательная роль) подчас снижает мотивы людей до примитивных: выжить бы…

Лишь потомками, многим позже, по достоинству был оценен этот труд фра Луки из Борго.

11.
В 1499 году Милан был захвачен французами. Лодовико не учел превосходства сил французского короля Людовика XII. Сфорца бежал из Милана, собрал армию швейцарских наемников и пытался отвоевать город, но потерпел поражение под Новарой. Швейцарцы, за право своей свободы, передали Лодовико французам. Герцог Сфорца был отправлен в заточение в зловещий замок Лош на юге Франции и провел в нем почти 8 лет. В период поражения Сфорца, Леонардо сделал в своем дневнике запись: «Герцог потерял государство, имущество, свободу, и ни одно из его дел не было им закончено». Незавершенными оказались и многие инициативы самого Леонардо. Великая колоссальная статуя Франческо Сфорца, над которой столь долго работал Леонардо, так и не была отлита в бронзе (ибо та пошла на вооружение), а восковая ее модель была изувечена и уничтожена французскими стрелками.

Сурово и беспощадно обошелся с Лодовико Сфорца французский король Людовик XII, лишив его всего, что тот имел и отправив в заточение. Как свидетельствуют историки, одними из последних слов этого, во многом талантливого, человека, начертанными им на стенах его темной тюремной камеры были «Infelix sum» («я несчастный»; лат).

Сфорца скончался в заключении в возрасте 55 лет. Вероятно, будучи одаренным, прозорливым, подчас, жестким тактиком, он не был столь дальновиден и изящен в стратегии. Будучи инициатором прихода французов в Италию, для объединения с ними против Неаполя и Флоренции, он ими же и был разгромлен. Сильным мира сего такие ошибки, чаще всего, не прощаются.

12.
Лука и Леонардо удачно бежали из Милана в Мантую, под покров маркизы Изабеллы д’ Эсте (в замужестве – Гонзаго), старшей сестры умершей супруги Лодовико Беатриче д’Эсте. Та не обеспечила им свое постоянное покровительство, но предложила небольшое время побыть в Мантуе. В знак благодарности Лука Пачоли, по просьбе маркизы, написал для нее на латыни трактат по шахматам (De Ludo Schacorum или Schifanoia»; Об игре в шахматы или Изгоняющий скуку). Леонардо, также, предложил в нем ряд занимательных задач и выполнил все рисунки.

Изабелле, маркизе Мантуи, любившей играть в шахматы был подарен трактат на 96 листов, со 114 занимательными шахматными задачами, с рисунками Леонардо да Винчи (опять же выполненных его «божественной» левой рукой). Пропорции шахматных фигурок были исполнены Леонардо по правилам «золотого сечения» (Божественной пропорции). Маркиза Гонзаго благодарно оценила подарок.

Лука и Леонардо вскоре иммигрировали в Венецию, а затем - во Флоренцию. Далее пути их разошлись и больше не пересекались, оставив лишь добрые благодарные воспоминания о том Милане, семействе Сфорца, тайне Божественной пропорции, и друг о друге.

*На фото коллаже: на фоне Кастелло Сфорцеско (Замка Сфорца) слева вверху – Лука Пачоли, справа вверху – Леонардо да Винчи, слева внизу – пять правильных многогранников Платона, справа внизу – обложка трактата «De Divina Proportione».

**19 июня 2017 года исполнилось 500 лет со дня смерти Луки Пачоли. Он умер и похоронен, в том же городе, где и родился – итальянском провинциальном Борго Сан-Сеполькро (городе Святого Гроба).

Г. Я. Мартыненко

Математика Гармонии: Возрождение (XIV –XVI вв. )
(к 500–летию книги Луки Пачоли «О божественной пропорции»)

Божественная пропорция
Профессор Фра Лука Бартоломео де Пачоли
Великий фантазер скитальческого склада,
Постранствовав и натерев мозоли,
Добрался до Флоренции. Навстречу Леонардо

Да Винчи. Боже правый! Вот так встреча.
Друзья, обнявшись, едва не удавили
Друг друга, но не до увечья.
Затем не медля приступили к делу.

За чашею вина, когда слегка остыли,
Пачоли, захмелев, ваятелю поведал,
Что в многомудрии «Начал» Эвклида

Одна пропорция ему придала силы.
Да Винчи просиял улыбкой необычной:
«Взгляни, мой друг, она же гармонична».

Возрождение в истории культуры Европы - это эпоха перехода от Средних веков к
новому времени, эпоха поворота к живой человеческой мысли, подавленной аскетизмом
Средних веков. Этот период характеризуется глубокими и судьбоносными для Европы
процессами: аграрным переворотом и переходом от ремесла к мануфактуре; великими
географическими открытиями и началом мировой торговли. В это время феодальная
раздробленность
уступает
централизованной
власти
и
образуются
современные
национальные государства. Эта эпоха связана с началом книгопечатания, «открытием»
античности, расцветом свободомыслия, возникновением протестантства и утратой церковью
монополии в духовной жизни. В это время первые шаги делает естествознание, расцветают
искусства и литература, стремительно развивается математика.
Наиболее общая отличительная черта Возрождения - утверждение идеала
гармоничности человека и цельности мироздания. Причем в отличие от средневековья, эти
категории пусть не сразу, пусть уклончиво - стали рассматриваться как самодовлеющие
сущности, а не через призму божественного абсолюта. С этим связано присущее культуре
возрождения светский и гуманистический характер и склонность к космологическому и
натурфилософскому видению мира. Важную роль в таком видении мира играла и
математика, освобождавшая науку и искусство от оков средневековой схоластики и сурового
аскетизма.
В отличие от античности, учёные Возрождения не чурались сугубо практических
задач. Чистых математиков-теоретиков фактически не было. Но даже тех, кого можно
считать теоретиками, занимались астрономией, военным делом, анатомией, механикой,
медициной, картографией, оптикой и другими практическими делами.

1. Представления о гармонии в искусстве Возрождения

В эпоху Возрождения резко возрастает общественный авторитет искусства, но это не
вело к его противопоставлению науке и ремеслу, а осознавалась как равноправность
различных форм человеческой деятельности в их единстве. В сравнении со Средневековьем
в искусстве происходит резкое смещение акцентов. Для средневекового человека
окружающий мир - это зеркало, рисунки и статуи в храмах и рукописях - это тоже
зеркала; и даже энциклопедия знаний называлась тогда «Speculum» (зеркало). Так что же
отражалось в этих зеркалах? По средневековым представлениям, в них отражалось
совершенство, некий абсолют, некая беспредельная божественная сущность.

1.1. Искусство как зеркало
В эпоху Возрождения Священное писание уже не рассматривается как сокровищница
божественных тайн, это уже отражение действительной, реальной жизни и бытия природы.
Леонардо да Винчи пишет: «Если ты хочешь видеть, соответствует ли твоя картина в целом
предмету, срисованному с натуры, то возьми зеркало… На его поверхности вещи подобны
картине…» (Леонардо да Винчи, 1935, с. 114–115). Иными словами, живописец должен быть
подобен зеркалу, чтобы отражать окружающий мир, т. е., как говорит Леонардо да Винчи
«ты не можешь быть хорошим живописцем, если ты не являешься универсальным мастером
в подражании своим искусством всем качествам форм, производимых природой» (там же,
с. 88). Подобных взглядов придерживался и Альбрехт Дюрер: «Наше зрение подобно
зеркалу» (Дюрер, 1957, с. 26). Но речь здесь идет о зримых искусствах. Как же быть другим
видам искусства? Что в них есть зеркало. И здесь уже начинаются метафоры. Так, Джорж
Путтенхэм в своей книге «Искусство английской поэзии» (1859) пишет: «Ум, обладающий
воображением, подобен зеркалу» (Гилберт, Кун, с. 182).
Однако мистицизм и непререкаемый авторитет церкви не сразу были вытеснены
природой и разумом. Церковь еще долгое время сохраняла свою власть над духовной
жизнью мыслящих людей. При этом многие «возрожденцы» видели компромисс в том, что
теология это тоже поэзия. Так Петрарка писал своему брату Герардо: «Поэзия отнюдь не
противоречит теологии… Можно с известным правом сказать, что теология та же поэзия, но
относящаяся к богу» (Гилберт, Кун, с. 186). По мнению Альберти и Леонардо да Винчи,
художник должен быть неким подобием священника, ибо благочестие и добродетель
считались тогда неотъемлемыми атрибутами художника. Само искусство считалось
божественным, и роль его заключалась прежде всего в том, чтоб внушать людям любовь и
поклонение богу.

1.2. Перемены в классификации искусств
Но в одной области произошли радикальные перемены. Речь идет о теологии, в
которую стали все больше проникать представления и идеи, характерные для искусства.
Происходила постепенная эрозия теологии на фоне возрастания роли и престижа искусства.
Это нашло отражение в том, что поэзия, скульптура и живопись стали относиться к
категории свободных искусств. Однако светское направление в искусстве пробивало себе
дорогу крайне деликатно, осторожно, без «кавалерийских атак». Оно завоевывало позиции
благодаря постепенному вторжению в сферу религиозного духа интереса к науке и
античному наследию. Поэты и художники понимали, что им надо неустанно доказывать свое
место под солнцем в стане свободных профессий. И делали они это через трудолюбие,
упорство, интеллект и «методическое мастерство», характерное для традиционного
искусства, пришедшего из Средних веков. Чтобы поднять свой авторитет, художники и
поэты неустанно трудились, ибо в сознании человека середины второго тысячелетия прочно
была укоренена убежденность, что чем больше труда вложено в создание произведения, тем
оно совершеннее, тем самобытней и прекрасней. Причем в спорах о том, какое искусство -
живопись или скульптура, живопись или поэзия важнее другого, аргумент в пользу
искусства, требующего большей затраты труда, причем труда зримого, осязаемого, играл
весьма важную роль.

1.3. Роль науки и ремесел

По мере того как возрастало их художественное мастерство, некоторые деятели
искусства Возрождения начали отходить от строгого копирования природы и старались
совместить свой художественный замысел со стремлением к идеальной форме и гармонии
своего произведения. Природа перестала быть просто «натурщицей»,моделью для
копирования, а превратилась в источник скрытой божественной сущности, которую надо
разгадать.
Но некоторые художники и ваятели шли другим путем. Они не только разгадывали,
но и отбирали. Основой красоты становится не столько дар бога, сколько выбор человека,
который выбирает в природе ярчайшие варианты из самых лучших и прекрасных форм.
«Надо брать лучшие черты от многих прекрасных лиц - таков был распространенный
лозунг» эпохи (Гилберт, Кун, с. 205).
Популярен был и другой путь. Основываясь на совокупности специальных знаний в
области перспективы, анатомии, математики, психологии, усиливающих органы чувств,
художники Возрождения создавали вторую «рукотворную» природу, но такую, которая
соответствовала плану божественного творения. При этом решающую роль играла
математика. О ее значении в эпоху Возрождения мы подробнее остановимся ниже.



1.4. Отношение к гармонии
Если для человека Средневековья гармония означала максимальную степень
следования божественному единству, то для человека Возрождения гармония означала
полное соответствие отдельных элементов художественного произведения друг другу и
всему целому. Для того, чтобы выразить смысл этого соответствия, применялись различные
слова и словосочетания: соотношение, координация, пропорциональность, согласие,
сочетание, согласованность, соразмерность, композиция, скомпанованность и др.
Понятие гармонии в конечном итоге для художника эпохи Возрождения находит
воплощение в искусстве проекта . Это искусство основано на изучении множества реальных
предметов с целью создания совершенного образца. Вот как определяет возрожденческий
проект английский искусствовед Дж. Вазари: «Проект - это как бы форма или идея всех
вещей в природе; это самое замечательное по своей широте понятие, ибо не только на телах
людей и животных, но и на растениях, зданиях, скульптуре и живописи проект показывает
отношение целого к отдельным частям и каждой части к другой и к целому… Из этих
отношений возникает определенная концепция и суждение» (Vasari, 1907, с. 205; цит. по:
Гилберт, Кун, с. 207). И только после этого первоначальный набросок или проект
воплощается в художественную реальность.
Идея и практика проектирования восходит к идеям Ветрувия, который в своих
проектах основывался на пропорциях человеческого тела. Возрожденцы смотрят на
проблему шире. Они учитывают не только пропорции человеческого тела, но и любые
пропорции, встречающиеся в природе. Но великая сила искусства часто уводила художников
от гармонических канонов. Об этом пишет, например, американский исследователь Дж.
Саймон, обсуждая творчество Микеланджело, который часто отклонялся в своем творчестве
от пропорций человеческого тела. Так же думает и Дюрер. В третьей из своих «Четырех книг
о пропорциях человеческого тела» он говорит, что художник властен отклоняться от золотой
середины в сторону большого и маленького, толстого и тонкого, молодого и старого,
жирного и худого, красивого и безобразного, твердого и мягкого, но все это должно быть
подчинено сознательно выбранному методу и искусству, которое прочно опирается на
природу и никогда не повторяет себя. Для Дюрера канон, образец, модель, проект - это не
догма, а руководство к действию свободного человека, обладающего «естественной
склонностью» к творчеству.
Итак, в искусстве Возрождения наметилась четкая тенденция к поиску формальных
регуляторов процесса творчества. Критерием истины с одной стороны становится
божественный источник, а с другой, огромную роль начинает играть математика. Причем эта
«комбинация» распространялась не только на искусство, но и на другие области
деятельности, прежде всего на ремесла и торговлю. Так, моряк, владеющий
математическими навыками, получал преимущество перед своими конкурентами благодаря
умению вычислять координаты судна на море, а купец, владеющий техникой бухгалтерского
учета, имел значительно больше шансов на успех в торговле, чем его беспомощные в
математике соперники. При этом традиционные представления утверждали, что вселенная
построена богом по единому плану, в котором математика играла важную роль.
Примечательно также и то, что в эпоху Возрождения гармонические представления
распространяются не только на природу и продукты творческой деятельности, но и на всю
гамму взаимодействий человека и природы и человеческих отношений. Ярким примером
такого расширительного понимания гармонии является творчество Леона Баттиста
Альберти (1404 – 1472) -ученого, гуманиста, писателя, одного из зачинателей новой
европейской архитектуры и ведущего теоретика искусства эпохи Возрождения.
Разносторонне одарённый и образованный, он внёс крупный вклад в теорию
искусства и зодчества, в литературу и архитектуру, увлекался проблемами этики и
педагогики, занимался теорией перспективы, картографией и криптографией.
Гармония по Альберти - важнейшая закономерность природы, основа миропорядка.
Человек, включённый в мировой порядок, оказывается во власти ее законов - гармонии и
совершенства. Гармонию человека и природы определяет его способность к познаванию
мира, к разумному, устремлённому к добру существованию.
Альберти создал оригинальную гуманистическую, восходящую к Платону и
Аристотелю концепцию человека, основанную на идее гармонии. Этика Альберти -
светская по характеру - отличалась вниманием к проблеме земного бытия человека, его
нравственного совершенствования.
Идеальный человек, по Альберти, гармонически сочетает силы разума и воли,
творческую активность и душевный покой. Он мудр, руководствуется в своих действиях
принципами меры, обладает сознанием своего достоинства. Всё это придаёт образу,
созданному Альберти, черты величия.
Ответственность за моральное совершенствование, имеющее как личное, так и
общественное значение, Альберти возлагает на самих людей. Выбор между добром и злом
зависит от свободной воли человека. Основное предназначение личности гуманист видел в
творчестве, которое понимал широко - от труда скромного ремесленника до высот научной
и художественной деятельности.
Общество Альберти мыслит как гармоническое единство всех его слоёв, которому
должна способствовать деятельность правителей. Обдумывая условия достижения
социальной гармонии, Альберти в трактате «О зодчестве» рисует идеальный город,
прекрасный по рациональной планировке и внешнему облику зданий, улиц, площадей. Вся
жизненная среда человека устроена здесь так, чтобы она отвечала потребностям личности,
семьи, общества в целом.
Воплощение представлений об идеальном городе в слове или изображении было
одной из типичных особенностей ренессансной культуры Италии. Проектам таких городов
отдали дань многие яркие личности этой эпохи. Это и архитектор Филарет, учёный и
художник Леонардо да Винчи, авторы социальных утопий XVI в. В последних отразилась
мечта
гуманистов
о
гармонии
человеческого
общества,
о
внешних
условиях,
способствующих его стабильности и счастью каждого человека.

2. Математические штудии
2.1. «Божественная пропорция» Луки Пачоли

В 1509 г., т. е. 500 лет назад, по совету Леонардо да Винчи Лукa Пачоли опубликовал
книгу «О божественной пропорции» («La Divina Proportione») с подзаголовком «Сочинение,
весьма полезное всякому проницательному и любознательному уму, из коего каждый
изучающий философию, перспективу, живопись, скульптуру, архитектуру, музыку или
другие математические предметы, извлечёт приятнейшее, остроумное и удивительное учение
и развлечёт себя различными вопросами сокровеннейшей науки». В книге в явном виде был
сформулирован закон золотого сечения. Книга была изысканно и со знанием дела
иллюстрирована изображениями многогранников, выполненных великим Леонардо. В 2007
году появился русский перевод «Божественной пропорции» (Пачоли, 2007).
Монах-францисканец Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески,
написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Эту книгу
считают предтечей начертательной геометрии. От художника Пачоли получил глубокие
знания в области искусства и математики.
«La Divina Proportione» была восторженным гимном золотой пропорции. Среди
многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее
«божественную суть» как выражение божественного триединства бога сына, бога отца и бога
духа святого. Подразумевалось, что малый отрезок при делении отрезка в крайнем и среднем
отношении есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок -
бога духа святого.
Первая часть «Божественной пропорции» посвящена золотому сечению, вторая -
правильным многогранникам, третья - архитектуре. Золотое сечение и правильные
многогранники Пачоли рассматривает в соответствии с XIV книгой «Начал» Эвклида.
Незадолго до опубликования «Божественной пропорции» Пачоли издал отредактированный
латинский перевод «Начал» со своими многочисленными комментариями.
Изображения многогранников на 59 таблицах сделал для своего друга Леонардо да
Винчи, для которого Пачоли, со своей стороны, подсчитал количество металла,
необходимого для конной статуи (Юшкевич, с. 288–289). В книге присутствуют не только
пять правильных многогранников (в полном соответствии с платоновыми телами), но и
многогранники, получаемые из них путем «отсечения» и «насадки» друг на друга. Что
касается раздела, посвященного зодчеству, то здесь рассматриваются пропорции
человеческого тела на основе целых чисел в полном соответствии с измерениями Ветрувия.
«Божественная пропорция» для математики гармонии имеет основополагающее
значение. Интересно, однако, что Пачоли рассматривает божественную пропорцию» с
космологических позиций в пифагорейско-платоновском духе, не привязывая ее к
архитектуре, живописи или к какому-либо другому искусству. Об этом говорит тот факт, что
Пачоли в «Трактате об архитектуре», образующем последнюю часть книги, о золотой
пропорции не упоминает. Иначе говоря, для Пачоли золотая пропорция - это прежде всего
христианизированный математико-космический феномен.
Пачоли
славен
не
только
математико-гармоническими
изысканиями.
Его
математические достижения в целом также имеют непреходящее значение.
В 1494 г. Пачоли публикует на итальянском языке математический труд под
названием «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности»
(Summa di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalita). В этом сочинении излагаются
правила и приемы арифметических действий над целыми и дробными числами, задачи на
сложные проценты, решение линейных, квадратных и отдельных видов биквадратных
уравнений. Пожалуй, самое существенное нововведение Пачоли состоит в систематическом
использовании синкопированной алгебраической записи - своеобразной предшественницы
последующего символического исчисления. Из задач, привлёкших внимание математиков
последующих поколений, следует отметить задачу о разделе ставки при незавершённой игре.
Эту задачу Лука решил неправильно, но позднее она стала оселком, на котором оттачивалось
математическое искусство. В конечном итоге эта задача способствовала возникновению и
становлению теории вероятностей.

2.2. Теория симметрии и Леонардо да Винчи
Существует тиражируемое мнение, что термин золотая пропорция (aurea sectio )
впервые употребил Леонардо да Винчи. Так ли это на самом деле, нам установить не
удалось. Возможно, Леонардо, исследуя структуру многоугольников и многогранников,
сталкивался с золотой пропорцией, известной ему по книге Пачоли. Но для Леонардо, скорее
всего, золотая пропорция была лишь проявлением одного из видов симметрии. А последней
он уделял очень много внимание, проектируя свои знаменитые ансамбли. Так, Герман Вейль
(Вейль, 2007, с. 91–92, 100–101), отмечает, что простейшими фигурами, обладающими
возможными вариантами поворотной симметрии, являются правильные многоугольники,
которые строятся в двухмерном пространстве. Это хорошо понимал Леонардо да Винчи
(Вейль, 2007, с. 91, 100). Число таких многоугольников определяется числом граней,
стремящегося к бесконечности. При повышении размерности пространство до 3 число
многогранников не бесконечно. Их только пять. Обычно их называют платоновыми телами.
Это правильный тетраэдр, куб, октаэдр, а также додекаэдр, гранями которого являются
двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр, ограниченный двадцатью правильными
треугольниками. Вейль отмечает, что «существование первых трех многогранников является
весьма тривиальным геометрическим фактом. Но открытие факта существования последних
двух, несомненно, было одним из наиболее выдающихся и прекрасных открытий, сделанных
на протяжении всей истории математики» (Вейль, 2007, с. 100). Различие двух групп
многогранников заключается в том, что куб и октаэдр имеют одну и ту же группу
симметрии, потому что, если взять центры граней куба и «натянуть» на них многогранник,
получится октаэдр, и, наоборот, центры граней октаэдра являются вершинами куба. По той
же причине додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковые группы симметрии (Винберг, 2001,
с. 19–20).
Вейль также отмечает, что Леонардо да Винчи всегда волновала проблема выбора
формы центрального здания в архитектурных ансамблях, а также, каким образом нужно
производить пристройку к ним часовен и ниш, не разрушая симметрии ядра ансамбля.

2.3. Решение уравнений четвертой и третьей степеней
Лука Пачоли закончил раздел об алгебраических уравнениях книги «Суммы»
замечанием о том, что для решения кубических уравнений x 3 + b = ax и x 3 + ax = b
искусство алгебры еще не дало способа, как не дан еще способ разрешения квадратуры
круга. Эти слова Пачоли послужили отправным пунктом для итальянских алгебраистов в
решении кубических уравнений. Открытие этого решения было крупным математическим
достижением эпохи Возрождения, сохранившим свое значение до настоящего времени. Если
же говорить о математике гармонии, то решение такого уравнения имеет отношение к
теории уравнений, обобщающих идею золотого сечения. Речь идет прежде всего о
кубических уравнениях Падована-Газале и Алексея Стахова (Газале, 2002, с. 147; Стахов,
2003, с. 10).
Первым удалось решить один из видов кубического уравнения x 3 + ax = b (a,b >0)
профессору Болонского университета Сципионе дель Ферро (1456–1526), а вслед за ним и
независимо от него уроженцем Брешии Никола Тарталье (1500–1557), который решил и
другие виды кубических уравнений. Формулу Тарталья опубликовал Джираломо Кардано
(1501–1576) в своем знаменитом трактате «Великое искусство» (1545 г.). И хотя она
фигурирует в истории математики под именем Кардано, но подлинным автором является
Тарталья. Кстати, с именем Кардано связаны и другие достижения изобретательного ума –
карданный вал и решетка Кардано: может быть, потому, что кто-то изобретал, а он
публиковал?
Любопытно, что формулу Кардано использовал М. Газале (Газале, 2002, с. 158) при
вычислении серебряного сечения, предложенного архитектором Падованом. Для уравнения
x 3 + ax = b формула Кардано имеет вид:
3
2
3
2
 a 
 b 
b
 a 
 b 
b
3
3
x =
  +   +
−
  +   − .
 3 
 2 
2
 3 
 2 
2
Подставив в это выражение a = −1 и b = 1, можно найти решение уравнения
3
p − p −1 = 0:
3
2
3
2
 −1
 1 
1
 −1
 1 
1
3
3
p =

 +   +
−

 +   −
=
 3 
 2 
2
 3 
 2 
2

23
1
23
1

3
3
=
+ −
− ≈
108
2
108
2
3
≈
,
0 461479103 + 5
,
0
3
−
,
0 461479103 − 5
,
0
≈
≈ 9
,
0 86991206 + 3
,
0 377226751 ≈ 3
,
1 24717957,
что с точностью до десяти значащих цифр, совпадает со значениями, вычисленными путем
последовательных итераций выражения
3 1+ 3 1+ 3 1+ 3 1+ ... → p
Как отмечает Карл Б. Байер (Boyer,1989, p. 282), а вслед за ним и Мидхад Газале
(Газале, 2002, с. 160), год опубликования Кардано (1545) способа решения кубического
уравнения ознаменовал начало современной эпохи в математике. От себя добавим, что эта
дата является также предвестником становления теории уравнений высоких порядков,
связанных с золотым сечением и числами Фибоначчи.
Кардано включил в свою книгу ещё одно открытие, сделанное его учеником Лодовико
(Луиджи) Феррари: общее решение уравнения четвёртой степени.
Итальянские математики Дель Ферро, Тарталья и Феррари решили проблему, с
которой несколько веков не могли справиться лучшие математики мира. При этом они
обнаружили, что в решении иногда появлялись «странные» корни из отрицательных чисел.
После анализа ситуации европейские математики назвали эти корни «мнимыми числами» и
выработали правила обращения с ними, приводящие к правильному результату. Так в
математику впервые вошли комплексные числа.
Важнейший шаг к новой математике сделал француз Франсуа Виет (1540–1603). Он
окончательно сформулировал символический метаязык арифметики - буквенную алгебру.
Еще одно великое великое открытие XVI века - изобретение Джоном Непером
логарифмов, которое во много раз упростили сложные расчёты
И наконец, уже в самом конце XVI столетия фламандец Симон Стевин (1548–1620)
издаёт книгу «Десятая» о правилах действий с десятичными дробями, после чего десятичная
система одерживает окончательную победу и в области дробных чисел. Стевин также
провозгласил полное равноправие рациональных и иррациональных чисел, решив тем самым
одну из самых острых проблем, которая в глубокой древности озадачила мудрых греческих
математиков и повернула вектор их исследований в сторону геометрии.

2.4. Теория перспективы
Эвклид в разделе «Оптика» своих «Начал» сформулировал впервые правила
наблюдательной перспективы, а также вывел законы отражения лучей от плоских, вогнутых
и выпуклых зеркал. Учение о перспективе позднее были изложены в трактате «Десять книг
об архитектуре» древнегреческого ученого и архитектора Витрувия, который изложил
правила построения перспективы, а также составления архитектурно-строительных
чертежей, содержащих план и фасад зданий.
В эпоху Возрождения начинается новый этап в развитии теории перспективы. Леон
Баттиста Альберти в трактатах «О живописи» и «О зодчестве» изложил математическую
теорию пропорций, основываясь на пропорциях человеческого тела. В перспективных
построениях Альберти применил метод построения изображения расположенных друг за
другом равных и параллельных отрезков, заключенных между двумя линиями,
пересекающимися на линии горизонта.
Большой вклад в теорию перспективы внес и Леонардо да Винчи. В «Трактате о
живописи» он писал, что перспектива относится к «механическим наукам», которыми не
должен пренебрегать ни один живописец.
Леонардо
да
Винчи
делит
перспективу
на
три
основные
части:
1. Линейную перспективу, которая учитывает закон уменьшения фигур по мере их
удаления от наблюдателя.
2. Воздушную и цветовую перспективу, которая проявляется в цветности предметов,
зависящей от их расстояния до наблюдателя.
3. Перспектива четкости очертания предметов в зависимости от структуры
пространства и степени освещенности его частей.
Первый раздел теории перспективы впоследствии развился в точную науку -
линейную перспективу, которая позднее вошла как составная часть в начертательную
геометрию.
Выдающийся немецкий ученый, математик, гравер и художник Альбрехт Дюрер
(1471–1528) в своем сочинении «Руководство для измерений циркулем и правилом»,
изданном в 1523 г., описал графический способ построения перспективы предметов с
использованием ортогональных проекций, получивший в учебной литературе название
«способ Дюрера». Юшкевич отмечает, что в этом сочинении приводится огромный
статистический материал, содержащий измерения различных частей тела мужчин и женщин
разных комплекций (Юшкевич, 1977, с. 324). Представляется, что эти результаты явились
первым серьезным шагом на пути становления антропометрии и рационалистической
эстетики. Заметим также, что достижения Дюрера в этой области еще ждут достойной
оценки.

3. Значение математико-гармонических изысканий в эпоху Возрождения
В этот период математика впервые вышла за пределы наследства, оставленного
греками и математиками Востока.
1. Мощное развитие получила алгебра и арифметика, вырвавшиеся наконец за
пределы геометрии. Впервые практически сложилось понятие действительного числа. Все
«плохие» числа стали естественными или, как писал Стивен, «нет никаких абсурдных,
иррациональных, неправильных, невыразимых или глухих чисел» (Юшкевич, 1977, с. 325).
2. Существенно расширился круг представлений, связанных с гармонией. Концепция
гармонии приобретала все более светский характер, становилась все более гуманистической,
распространяясь не только на природу, но и на отдельного человека и человеческое
общество в целом.
3. Понятие гармонии для творческого человека эпохи Возрождения находит
воплощение в искусстве проекта, основанном на изучении множества реальных предметов с
целью создания совершенного образца.
3. Впервые со времен Эвклида был возобновлен разговор о золотом сечении,
платоновых телах и правильных многогранниках.
4. В трудах Леонардо да Винчи, по-видимому, впервые ставится вопрос о различных
видах симметрии архитектурных сооружений.
5. Серьезным математическим достижением эпохи было открытие методов решения
уравнений третьей и четвертой степеней. С одной стороны это стало движущей силой для
развития алгебры, а с другой, заложило основы алгебраической теории гармонии, в которой
важное место занимает решения уравнения высоких степеней.

Литература
Вейль Г. Симметрия. Перевод с англ. М.: Издательство ЛКИ., 2007.
Винберг Э. Б. Симметрия многочленов. Серия: Библиотека «Математическое просвещение».
М.: МЦМНО, 2001.
Газале М. Гномон. От фараонов до фракталов. Перевод с англ. Москва-Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2002.
Гилберт К., Кун Г. История эстетики. Перевод с англ. М.: Изд-во иностранной литературы,
1960.
Дюрер А. Дневники, письма, трактаты. Искусство: М.-Л.: 1957, т. 2.
Юшкевич А. П. История математики (под ред. А. П. Юшкевича) в трёх томах. Том 1. С
древнейших времен до начала Нового времени. М., Наука, 1977.
Леонардо да Винчи. Избранные произведения. М.-Л..: Academia. 1935. Т. 2.
Лука Пачоли. О божественной пропорции. Репринт изд. 1508 г. с приложением перевода
А. И. Щетникова. М.: Фонд «Русский авангард», 2007.
Лука Пачоли. Трактат о счетах и записях. М.: Финансы и статистика, 1994.
Соколов Я. Лука Пачоли. Человек и мыслитель. В кн.: Пачоли Лука. Трактат о счетах и
записях. М.: Финансы и статистика, 1994.
Щетников А. И . Лука Пачоли и его трактат «О божественной пропорции». Математическое
образование, №1 (41), 2007, с.33–44.
Boyer C., Merzbach U. A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons, 1989.
Vasari G. On Technique. Ed. G. B. Brown. London, 1907.

Транскрипт

1 Лука Пачоли и его трактат «О божественной пропорции» А. И. ЩЕТНИКОВ Биографический очерк ЛУКА ПАЧОЛИ (LUCA PACIOLI или PACIOLLO) родился в 1445 году в небогатой семье БАР- ТОЛОМЕО ПАЧОЛИ в небольшом городке Борго Сан-Сеполькро, расположенном на берегу Тибра, на границе Тосканы и Умбрии, и принадлежавшем в то время Флорентийской республике. Подростком он был отдан на обучение в мастерскую знаменитого художника ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА (ок), жившего в этом же городке. Обучение в мастерской не сделало его художником, однако выработало отменный вкус, а главное, здесь он впервые приобщился к математике, глубоко интересовавшей его учителя. Вместе со своим учителем ЛУКА часто посещал двор ФЕДЕРИКО ДЕ МОНТЕФЕЛЬТРО, герцога Урбинского. Здесь его заметил великий итальянский зодчий ЛЕОН БАТИСТА АЛЬБЕРТИ (), который в 1464 году рекомендовал молодого человека богатому венецианскому купцу АН- ТОНИО ДЕ РОМПИАНЗИ в качестве домашнего учителя. В Венеции ЛУКА учил сыновей своего патрона и учился сам, посещая лекции знаменитого математика ДОМЕНИКО БРАГАДИНО в школе Риальто. В 1470 году он составил свою первую книгу учебник коммерческой арифметики. В этом же году он оставил Венецию и перебрался в Рим, где был принят АЛЬБЕРТИ и поселился в его доме. Однако через два года ПАЧОЛИ покинул Рим и принял монашеский постриг, став францисканцем. После пострига брат ЛУКА некоторое время живёт на родине в Сан-Сеполькро. С 1477 по 1480 год он преподаёт математику в университете в Перудже. Затем в течении восьми лет он живёт в Заре (ныне Задар в Хорватии), где занимается теологией и математикой, иногда совершая по делам ордена поездки по другим городам Италии. В эти годы ПАЧОЛИ начал писать главный труд своей жизни энциклопедическую Сумму арифметики, геометрии, отношений и пропорций. В 1487 году его вновь приглашают занять кафедру в Перудже. В последующие годы он живёт в Риме, Неаполе, Падуе. 12 октября 1492 года умирает ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА. В следующем году работа ПА- ЧОЛИ над Суммой была, наконец, завершена. С этой рукописью он приезжает в Венецию, где в ноябре 1494 году эта книга, посвящённая юному ГВИДО УБАЛЬДО ДЕ МОНТЕФЕЛЬТРО (), ставшему в 1482 г. после смерти отца герцогом Урбинским, выходит в свет. Примечательно то, что книга написана не на обычной для учёных трудов латыни, а на итальянском языке. У некоторых авторов можно прочитать, что ЛУКА писал свои трактаты на итальянском языке, потому что он не получил соответствующего образования и не владел латинским языком в совершенстве. Однако он был магистром теологии, а латынь была единственным языком теологических трактатов; он преподавал математику в различных университетах, а там все предметы читались на латыни; и он же перевёл всего ЕВКЛИДА с латыни на итальянский (правда, этот перевод так и не был издан). Потому, хотя он и не владел гуманистической латынью, школьная латынь была для него повседневным языком. Стало быть, причина, по которой он предпочёл итальянский язык латыни, состояла в дру-

2 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 2 гом. Вот что говорит об этом сам ЛУКА в посвящении к Сумме (написанном и на итальянском, и на латинском языке): Правильное понимание трудных терминов среди латинистов прекратилось ввиду того, что хорошие учителя стали редки. И хотя для Вашего Герцогского Высочества лучше подошёл бы стиль Цицерона или ещё более высокий, однако я полагаю, что этим источником красноречия не всякий сумеет воспользоваться. Так что, принимая во внимание интересы общей пользы ваших почтительных подданных, я решил написать своё сочинение на родном местном языке, чтобы и образованные, и не образованные в равной мере могли получить удовольствие от этих занятий. В предисловии к Сумме ПАЧОЛИ рассказывает о тех людях, благодаря общению с которыми у него сложилось убеждение в том, что математика рассматривает «всеобщую закономерность, применимую ко всем вещам». Он говорит об астрономии, о научном подходе к архитектуре, воплощённом в трудах ВИТРУВИЯ и АЛЬБЕРТИ, о многочисленных живописцах, развивавших искусство перспективы, «которая, если разобраться тщательно, была бы пустым местом без применения математических вычислений», среди которых выделяется «король нашего времени в живописи» ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА, о замечательных скульпторах. Это те мастера, «которые, пользуясь вычислениями в своих работах с помощью нивелира и циркуля, довели их до необычайного совершенства». ПАЧОЛИ говорит также о значении математики для музыки, для космографии, для торговли, для механических искусств, для военного дела. Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций это обширный энциклопедический труд, напечатанный на 300 листах in folio. Первая часть в 224 листа посвящена арифметике и алгебре, вторая, в 76 листов геометрии. Нумерация листов в обеих частях начинается заново. Каждая часть делится на отделы, отделы на трактаты, трактаты на главы. В арифметической части Суммы излагаются приёмы выполнения арифметических действий; эта часть опирается на многочисленные Книги абака, принадлежавшие разным авторам. Алгебраические задачи, решаемые в Сумме, не выходят за пределы круга задач на линейные и квадратные уравнения, рассматривавшегося в арабских трактатах по «алгебре и альмукабале»; в Европе эти задачи были известны по Книге абака ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКО- ГО (). Из задач, привлёкших внимание математиков последующих поколений, следует отметить задачу о разделе ставки при незавершённой игре, которую сам ЛУКА решил неправильно. Пожалуй, самое существенное нововведение ПАЧОЛИ состоит в систематическом использовании синкопированной алгебраической записи своеобразной предшественницы последующего символического исчисления. Книга содержит таблицу монет, весов и мер, принятых в разных частях Италии, а также руководство по венецианской двойной бухгалтерии. Что касается геометрической части Суммы, она следует за Практической геометрией ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО. В первой половине 90-х годов ПАЧОЛИ живет в Урбино. Именно к этой эпохе относится картина ЯКОПО ДЕ БАРБАРИ, на которой ПАЧОЛИ изображён в сопровождении неизвестного молодого человека. По поводу личности этого молодого человека выдвигались разные гипотезы. Наиболее правдоподобным представляется предположение о том, что это герцог ГВИДО УБАЛЬДО, покровитель ПАЧОЛИ.

3 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 3 Рис. 1. Портрет ЛУКИ ПАЧОЛИ и неизвестного молодого человека. Картина ЯКОПО ДЕ БАРБАРИ (Неаполь, Национальный музей) В 1496 году учреждается кафедра математики в Милане, и ПАЧОЛИ предлагают её занять. Здесь он читает учебные лекции студентам и публичные всем желающим. Здесь же, при дворе герцога ЛОДОВИКО МОРО СФОРЦА () он сближается с ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ. В записных книжках ЛЕОНАРДО сохранились записи: «Научись умножению корней у маэстро ЛУКИ», «попроси брата из Борго показать тебе книгу о весах». ПАЧОЛИ выполнил для ЛЕОНАРДО расчёты веса гигантского конного памятника ФРАНЧЕСКО СФОРЦА. В Милане ПАЧОЛИ написал послание О божественной пропорции, адресованное герцогу ЛО- ДОВИКО СФОРЦА, а ЛЕОНАРДО выполнил к нему иллюстрации. Трактат был завершён 14 декабря 1498 года. К нескольким рукописным экземплярам трактата, вручённым властительным особам, прилагался набор правильных многогранников и других геометрических тел, о которых брат ЛУКА говорит, что изготовил их собственноручно. (О моделях правильных многогранников он писал ещё в Сумме.) Сохранилось две рукописи этого трактата одна в Публичной библиотеке в Женеве, вторая в Амброзианской библиотеке в Милане. В 1499 году французская армия заняла Милан, и герцог СФОРЦА бежал; ЛЕОНАРДО и ЛУКА в скором времени покинули город. В последующие годы ЛУКА ПАЧОЛИ читает лекции в Пизе (1500), Перудже (1500), Болонье () и Флоренции (). Во Флоренции ему покровительствует ПЬЕТРО СОДЕРИНИ, пожизненный гонфалоньер Республики. Однако не все труды ПАЧОЛИ напечатаны, и поэтому он снова едет в Венецию. Здесь в 1508 году он издаёт латинский перевод ЕВКЛИДА, принадлежащий ДЖОВАННИ КАМПАНО из Новары. Этот перевод, сделанный ещё в 1259 году с арабского языка, уже издавался в 1482 году и затем несколько раз переиздавался, но издание изобиловало опечатками и ошибками. ПАЧОЛИ отредактировал перевод; по этой редакции, снабжённой многочисленными комментариями, он и читал свои университетские лекции. Однако издание оказалось невостребованным, поскольку в 1505 году БАРТОЛОМЕО ДЗАМБЕРТИ издал новый перевод Начал, выполненный непосредственно с греческого оригинала. В 1509 году в Венеции была издана ещё одна книга ПАЧОЛИ: Divina proportione. Opera a tutti glingegni perspicaci e curiosi necessaria. Ove ciascun studioso di Philosophia, Prospectiva,

4 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 4 Pictura, Sculptura, Architectura, Musica e altre Mathematice suavissima sottile ed admirabile doctrina consequira e delectarassi con varie questione de secretissima scientia («Божественная пропорция. Сочинение, весьма полезное всякому проницательному и любознательному уму, из коего каждый изучающий философию, перспективу, живопись, скульптуру, архитектуру, музыку или другие математические предметы извлечёт приятнейшее, остроумное и удивительное учение и развлечёт себя различными вопросами сокровеннейшей науки»). Это печатное издание включает в себя ряд текстов. Изданию предпослано обращение к флорентийскому гонфалоньеру ПЬЕТРО СОДЕРИНИ. Первая часть (33 листа) содержит послание О божественной пропорции, а также трактат об архитектуре, о пропорциях человеческого тела и о принципе построения букв латинского алфавита. За ней следует Книжка в трёх отдельных трактатах о правильных телах (27 листов), из коих первый трактат рассматривает плоские фигуры, второй правильные тела, вписанные в сферу, третий правильные тела, вписанные друг в друга. Далее идут графические таблицы, отпечатанные с одной стороны листа: пропорции человеческого лица (1 лист), принцип построения букв латинского алфавита (23 листа), изображения архитектурных элементов (3 листа), выполненные на основе рисунков ЛЕОНАРДО изображения правильных и других тел (58 листов), и, наконец, «дерево пропорций и пропорциональности» рисунок, который ПАЧОЛИ уже приводил в Сумме (1 лист). В послании О божественной пропорции ЛУКА ПАЧОЛИ говорит о том, что ему, как старому человеку, пора на покой, чтобы «в солнечном месте подсчитывать годы». Эта его просьба была услышана, и в 1508 году он становится местоблюстителем монастыря в родном Сан-Сеполькро. Однако в декабре 1509 г. два монаха его монастыря передали генералу ордена письмо, в котором указывали на то, что «маэстро ЛУКА неподходящий человек, чтобы управлять другими», и просили освободить его от административных обязанностей. Но поддержки у начальства они не нашли, и в феврале 1510 года ЛУКА ПАЧОЛИ становится полноправным приором родного монастыря. Впрочем, распри внутри монастыря продолжались и далее. В последние годы своей жизни брат ЛУКА продолжал ещё иногда читать лекции; его приглашали в Перуджу в 1510 году и в Рим в 1514 году, причём последнее приглашение исходило от нового папы ЛЬВА X. Умер ЛУКА ПАЧОЛИ в возрасте 72 лет, 19 июня 1517 года во Флоренции. Обзор послания «О божественной пропорции» В послании ЛУКИ ПАЧОЛИ О божественной пропорции выделяются следующие содержательные части: Введение (гл. 1 4). Божественные качества, определение и математические свойства пропорции, возникающей при делении величины в среднем и крайнем отношении (гл. 5 23). О правильных телах, почему их не может быть больше пяти и как каждое из них вписывается в сферу (гл). О том, как правильные тела вписываются друг в друга (гл). О том, как в каждое из этих тел вписывается сфера (гл. 47). О том, как из правильных тел получаются усечённые и надстроенные (гл). О других телах, вписанных в сферу (гл). Сфера (гл). О колоннах и пирамидах (гл). О материальных формах представленных тел и их перспективных изображениях (гл. 70). Глоссарий (гл. 71).

5 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 5 Под «божественной пропорцией» ПАЧОЛИ понимает непрерывную геометрическую пропорцию трёх величин, которую ЕВКЛИД называет «делением в среднем и крайнем отношении», а в XIX веке её стали называть «золотым сечением». В определении этой пропорции и описании её свойств ПАЧОЛИ следует за ЕВКЛИДОМ. Данная пропорция возникает при делении целого на две части, когда целое так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей. На языке равенства площадей эта же пропорция задаётся так: квадрат на большей части равен прямоугольнику, сторонами которого служат целое и меньшая часть. Особую ценность, выделенность отношения «божественной пропорции» среди прочих отношений брат ЛУКА обосновывает доводами метафизического и теологического характера. Единственность и неизменность данной пропорции сравнивается с единственностью и неизменностью Бога, три её члена с тремя ипостасями Святой Троицы, иррациональность отношения с непостижимостью и невыразимостью Бога. Но помимо этих доводов имеется ещё один: с этой пропорцией связаны процедуры построения правильного плоского пятиугольника, и телесных додекаэдра и икосаэдра. Но ПЛАТОН в Тимее рассматривал пять правильных тел в качестве пяти элементов, из которых состоит Вселенная. Таким образом, в метафизических построениях ПАЧОЛИ соединяются мотивы христианского богословия и платоновской космологии. Далее ЛУКА излагает различные свойства «божественной пропорции», известные по XIII и XIV книге Начал ЕВКЛИДА. Всего он рассматривает тринадцать таких свойств, связывая это число с числом участников тайной вечери. Вот пример одного из этих свойств: «Пусть прямая линия разделена в пропорции, имеющей середину и два края, тогда если к большей части прибавить половину всей пропорционально разделённой линии, то с необходимостью окажется, что квадрат суммы всегда будет пятикратным, то есть в 5 раз большим квадрата указанной половины». Все эти свойства он сопровождает одним и тем же числовым примером, когда длина целого отрезка равна 10, а его части составляют: меньшая, а большая Пример с алгебраическим делением 10 в среднем и крайнем отношении был заимствован ЛУКОЙ ПАЧОЛИ у ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО (), а последним у АБУ КАМИЛА () и АЛ-ХОРЕЗМИ (). Само вычисление корней соответствующего квадратного уравнения в трактате не производится: здесь ЛУКА ссылается на свою же Сумму, где этот результат получен «по правилам алгебры и альмукабалы». И вообще, выбранный им жанр послания предопределяет собой тот факт, что ПАЧОЛИ все результаты приводит без доказательства, хотя эти доказательства ему, вне всякого сомнения, известны. Вслед за этим ПАЧОЛИ рассматривает пять платоновских тел. Сначала он доказывает теорему том, что этих тел ровно пять, и не больше. Затем он приводит построения всех пяти тел, вписанных в данную сферу, в следующем порядке: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Далее рассматривается пропорция между сторонами этих тел, вписанных в одну и ту же сферу, и приводится ряд теорем о соотношениях между их поверхностями. Затем рассматриваются некоторые способы, по которым одно правильное тело может быть вписано в другое. Наконец, обсуждается теорема о том, что в каждое правильное тело тоже может быть вписана сфера. Теперь ПАЧОЛИ на время оставляет ЕВКЛИДА и переходит к новому материалу. А именно, он рассматривает тела, которые могут быть получены из правильных тел путём «усечения» либо «надстройки». Тела, которые получаются из правильных тел усечением это

6 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 6 некоторые из полуправильных тел АРХИМЕДА. Всего имеется тринадцать полуправильных тел, что было доказано АРХИМЕДОМ. Но ПАЧОЛИ с обзором этой работы АРХИМЕДА, имеющимся у ПАППА, не был знаком. Из тринадцати полуправильных тел он рассматривает шесть: усечённый тетраэдр, кубоктаэдр, усечённый октаэдр, усечённый икосаэдр, икосидодекаэдр и усечённый ромбикубоктаэдр. Два тела усечённый куб и усечённый додекаэдр он пропустил по непонятной причине, хотя их построение аналогично построению усечённых тетраэдра, куба и икосаэдра. Что касается усечённого ромбикубоктаэдра («тела с 26 основаниями»), ПАЧОЛИ открыл его, по-видимому, сам, и очень гордился этим открытием: именно это тело, изготовленное из прозрачных стеклянных пластин и наполовину заполненное водой, изображено в левой верхней части картины ЯКОПО ДЕ БАРБАРИ. Надстроенные правильные и надстроенные усечённые тела у ПАЧОЛИ это не то же самое, что исследовавшиеся в последующей математике звёздчатые многогранники КЕП- ЛЕРА. Тела КЕПЛЕРА получаются продлением плоскостей исходных многогранников; тела ПАЧОЛИ построением на каждой грани исходного многогранника пирамиды, боковые стороны которой являются равносторонними треугольниками. ПАЧОЛИ приводит интересную теорему о том, что в надстроенном икосидодекаэдре пять вершин треугольных пирамид и вершина пятиугольной пирамиды лежат в одной плоскости; опущенное доказательство «возводится тончайшей практикой алгебры и альмукабалы до редкой отметки». Далее рассматривается «тело с 72 основаниями», которым ЕВКЛИД пользовался как вспомогательным в последних двух предложениях XII книги Начал; это тело в литературе иногда называют «сферой КАМПАНО» (рис. 2). ПАЧОЛИ утверждает, что форма этого тела послужила геометрической основой для купола Пантеона в Риме и для сводов ряда других построек. Рис. 2. Рис. 3. Один из рисунков Леонардо да Винчи. Гравюра из печатного издания трактата. Вслед за этим ПАЧОЛИ говорит о том, что усечением и надстройкой может быть получено бесчисленное множество многогранных форм, и переходит к рассмотрению сферы, ещё раз касаясь вписания в неё правильных тел.

7 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 7 Последняя часть послания О божественной пропорции вновь возвращает нас к ЕВКЛИ- ДУ. Здесь рассматриваются многогранные призмы и цилиндр, затем многогранные пирамиды и конус, затем усечённые пирамиды. Пачоли приводит правила для вычисления объёмов всех этих тел, всюду указывая на то, какие из этих правил являются приближёнными, а какие точными. Далее ПАЧОЛИ пишет о том, что к рукописным копиям трактата, вручаемым герцогу и его родственникам, прилагаются таблицы с перспективными рисунками, сделанными ЛЕ- ОНАРДО ДА ВИНЧИ, а также «материальные формы» всех упомянутых в нём тел. Рисунки и формы многогранников были изготовлены в двух вариантах сплошные, с цельными плоскими гранями, и полые, с одними только рёбрами. Выполнял ли ЛЕОНАРДО свои рисунки чисто расчётным путём или с натуры, мы не знаем. Часть рисунков выполнена с заметной для глаза погрешностью, однако её можно объяснить как неточностью расчётов, так и переменой точки, с которой рассматривалось изображаемое тело. Послание завершается словариком, в котором ещё раз разъясняются употреблявшиеся в тексте специальные термины. Золотое сечение в «древней» и в «новой» эстетике Многочисленные популярные и специальные книги и статьи, посвящённые проблеме пропорций в искусстве, рассматривают золотое сечение в качестве «самой совершенной» пропорции, причём это совершенство трактуется в этих книгах по преимуществу психологически: прямоугольник с «золотым» отношением сторон считается самым приятным для зрительного восприятия, и т. п. В этих публикациях принято рассматривать разнообразные произведения изобразительного искусства и памятники архитектуры, созданные мастерами античности и Возрождения, в качестве примеров, подтверждающих этот тезис. Надо заметить, что от античности до нас не дошло не одного текста, в котором деление величины в среднем и крайнем отношении обсуждалось бы в качестве формообразующего начала в изобразительном искусстве и архитектуре. Похоже, что таких текстов и вовсе не существовало. Для сравнения можно рассмотреть так называемую музыкальную пропорцию 12: 9 = 8: 6, задающую структуру музыкальной гармонии. Эта пропорция, открытая пифагорейцами, упоминается в десятках античных текстов, посвящённых теории музыки, как специальных, так и общефилософских. Странно было бы, если бы золотое сечение играло аналогичную роль в архитектуре, скульптуре и живописи, а у античных авторов не осталось об этом ни одного свидетельства. Все античные тексты, в которых обсуждается деление величины в среднем и крайнем отношении это сугубо математические трактаты, в которых данное построение рассматривается исключительно в связи с построением правильного пятиугольника, а также двух правильных платоновских тел икосаэдра и додекаэдра (обзор этих текстов см. HERZ-FISHLER 1998). Верно то, что интерес к правильным телам, а тем самым и к золотому сечению, не был сугубо математическим: ведь ПЛАТОН вслед за пифагорейцами стал рассматривать пять правильных тел в качестве элементарных основ мироздания, поставив тетраэдр в соответствие огню, куб земле, октаэдр воздуху, икосаэдр воде, а форму додекаэдра он связал со Вселенной в целом. В этом плане, конечно, можно говорить об эстетической значимости золотого сечения, как это делал в своих сочинениях А. Ф. ЛОСЕВ; но сама эта «эстетика» носит отнюдь не психологический, но космологический характер.

8 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 8 В эпоху Возрождения Возвращение произошло возвращение к космологическим картинам античного платонизма, и трактат ЛУКИ ПАЧОЛИ О божественной пропорции является важнейшим памятником этого математико-спекулятивного направления. ЛУКА воспевает «божественную пропорцию» в начальных главах своего трактата, называя её свойства «не природными, но поистине божественными». Однако его воззрения на значение этой пропорции остаются привязанными к космологии платоновского Тимея, и «величайшая гармония», о которой он говорит это гармония космоса, и никакая другая. И хотя ПАЧОЛИ приложил к посланию О божественной пропорции трактат об архитектуре и о пропорциях человеческого тела, но о золотом сечении в этом трактате он не обмолвился ни единым словом. Стало быть, никакого другого взгляда на золотое сечение, кроме математикокосмологического, у него не было, и мысль о том, что золотое сечение может выступать в качестве базовой пропорции произведений архитектуры и живописи, ему просто не приходила в голову. В точности такие же воззрения характерны для ИОГАННА КЕПЛЕРА и других авторов эпохи Возрождения, интересовавшихся золотым сечением и ролью правильных многогранников в «гармонии мира». Так что искать в их сочинениях некую концепцию золотого сечения, связанную с эстетикой произведений искусства, это совершенно напрасное занятие, поскольку её там попросту не было. Судьба сочинений Пачоли. Вопрос о плагиате После смерти ПАЧОЛИ о его сочинениях помнили не слишком долгое время. Наступала эпоха грандиозных научных свершений, когда в науке стали цениться в первую очередь новые результаты, а книги ПАЧОЛИ представляли собой обзоры того, что было сделано в прежние времена. ДЖИРОЛАМО КАРДАНО () назвал ПАЧОЛИ компилятором, в чём он, со своей точки зрения, был вполне прав. Впрочем, другой выдающийся математик этой эпохи, РАФАЭЛЬ БОМБЕЛЛИ (), сказал, что ПАЧОЛИ был первым после ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО, «кто пролил свет на науку алгебры». Возрождение интереса к личности и сочинениям ПАЧОЛИ датируется 1869 годом, когда Сумма попала в руки к миланскому профессору математики ЛЮЧИНИ, и он обнаружил в ней Трактат о счетах и записях. После этого открытия на ПАЧОЛИ стали смотреть как на родоначальника науки о бухгалтерском учёте, и именно этот трактат оказался самой востребованной частью его наследия, много раз переводившейся на другие языки, в том числе и на русский. Впрочем, уже вскоре после первых публикаций Трактата о счетах и записях среди исследователей разгорелись жаркие споры о том, был ли ЛУКА ПАЧОЛИ его действительным автором. Было высказано сомнение, мог ли человек, далёкий от торговых дел, составить такой трактат. А если не мог, то не следует ли предположить, что здесь совершён плагиат? Думается всё же, что обвинение в плагиате в данном случае неправомочно. ПАЧОЛИ нигде не говорит, что это он изобрёл двойную бухгалтерию; он лишь описывает её нормы «по венецианскому обычаю». Но ведь если мы откроем любое современное руководство по бухгалтерскому учёту, оно будет представлять собой в точности такое же нормативное описание, без ссылок на предшественников. И если ПАЧОЛИ описывает систему бухгалтерского учёта по какой-то прочитанной им рукописи, то ведь он и правила умножения в столбик тоже не сам придумал, однако в данном случае обвинять его в плагиате никому не

9 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 9 приходит в голову. А ознакомиться с системой двойной бухгалтерии на практике он мог в то время, когда состоял домашним учителем в богатом купеческом доме. Другое серьёзное обвинение в плагиате было выдвинуто против ПАЧОЛИ ещё в 1550 году, когда ДЖОРДЖЕ ВАЗАРИ () в своей книге Жизнеописания знаменитых живописцев, ваятелей и зодчих в главе, посвящённой ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА, написал следующее: И хотя тот, кто должен был всеми силами стараться приумножить его славу и известность, ибо у него научился всему, что знал, пытался как злодей и нечестивец изничтожить имя ПЬЕРО, своего наставника, и завладеть для себя почестями, которые должны были принадлежать одному ПЬЕРО, выпустив под своим собственным именем, а именно брата ЛУКИ из Борго, все труды этого почтенного старца. Математические сочинения ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА долгое время считались утерянными. Однако в 1903 году ДЖ. ПИТТАРЕЛЛИ обнаружил в Ватиканской библиотеке рукопись Petri Pictoris Burgensis de quinque corporibus regularibus («ПЕТРА, художника из Борго, о пяти правильных телах»). Несколько позже были обнаружены ещё две рукописи ПЬЕ- РО: Перспектива в живописи (De perspectiva pingendi) и Об абаке (De abaco). Тогда же было установлено, что найденный латинский манускрипт О пяти правильных телах и три итальянских трактата о правильных телах в печатном издании De Divina Proportione представляют собой две близкие версии одного и того же текста. Сохранившаяся рукописная книжка ПЬЕРО О пяти правильных телах посвящена ГВИДО УБАЛЬДО ДЕ МОНТЕФЕЛЬТРО, герцогу Урбинскому. Герцогский титул он получил в 1482 году после смерти отца. ПЬЕРО умер в 1492 году. Стало быть, дошедший до нас экземпляр книжки был переписан набело в промежутке между гг. Однако сама книжка могла быть создана и раньше. ЛУКА ПАЧОЛИ в Сумме (VI, I, II) говорит, что книжку по перспективе ПЬЕРО написал на итальянском, а латинский перевод выполнил его друг МАТ- ТЕО ДАЛЬ БОРГО. Таким же образом мог появиться на свет и латинский текст книжки О пяти правильных телах. Во всяком случае, итальянский текст, опубликованный впоследствии ПАЧОЛИ, естественно рассматривать как исходный. Что касается этой публикации в приложении к изданию Божественной пропорции, её полное заглавие звучит следующим образом: Libellus in tres partialis tractatus divisus quinque corpore regularium e dependentium active per scrutationis. D. Petro Soderino principi perpetuo populi florentinia. M. Luca Paciolo, Burgense Minoritano particulariter dicatus, feliciter incipit («Книжка, разделённая на три отдельных трактата, о пяти правильных и зависимых [от них] телах, последовательно рассмотренных. Г[осподину] ПЕТРУ СОДЕРИНИ, постоянному предводителю флорентийского народа. М[аэстро] ЛУКА ПАЧОЛИ, миноритом из Борго, по частям продиктованная, счастливо начинается»). Об каком-либо отношении ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА к трактату в этом заглавии действительно ничего не говорится. Но и своё собственное «авторство» ПАЧОЛИ обозначает весьма странным образом. А именно, он говорит, что книжка эта им particulariter dicatus, «по частям (или частично?) продиктована», и не более того. Это заставляет задуматься. Ведь ЛУКА ПАЧОЛИ в своих сочинениях вовсе не выглядит человеком, стремившимся беззастенчиво присваивать чужие результаты. Так в I разделе I главы Суммы он пишет:

10 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 10 И поскольку мы будем следовать по большей части Л. ПИЗАНСКОМУ, я намерен заявить, что когда имеется какое-нибудь предложение без автора, оно этого Л. А когда других, кто был авторство приведено. Аналогичное уведомление имеется и в IV главе Божественной пропорции: Первым делом я замечу, что всякий раз, когда я буду писать «первое в первой», «четвёртое во второй», «десятое в пятой», «20 в 6» и так до пятнадцатой, под первой цифрой всегда следует понимать номер предложения, а под второй номер книги нашего философа ЕВКЛИДА, который всеми признаётся за главу данного факультета. Таким образом, говоря о пятом в первой, я говорю о пятом предложении его первой книги, и так же о других отдельных книгах, составляющих цельную книгу об элементах и первоначалах Арифметики и Геометрии. Но когда упоминается другое его сочинение или книга другого автора, это сочинение или этот автор называются по имени. Не следует забывать и о том, что в те периоды, когда ЛУКА жил в своём родном городе, он имел возможность общаться с ПЬЕРО напрямую. Естественно думать, что встречи двух математиков были достаточно частыми, а их общение содержательным. Темы книжки О пяти правильных телах почти наверняка обсуждались в этих беседах, а потому они оба могли в какой-то мере смотреть на неё как на свою, вне зависимости от того, кто придал ей окончательную форму. Мы ничего не знаем и о том, какое влияние на ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА и ЛУКУ ПАЧОЛИ оказали работы немецкого астронома и математика ИОГАННА МЮЛЛЕРА (), более известного под латинским именем РЕГИОМОНТАН. А ведь он много жил в Италии и умер в Риме, так что итальянские математики могли быть знакомы с ним и его рукописями. Среди его сочинений имелся трактат De quinque corporibus aequilateris, quae vulgo regularia nuncupantur, quae videlicet eorum locum impleant naturalem et quae non contra commentatorem Aristotelis Averroem («О пяти равносторонних телах, обычно называемых правильными, а именно, какие из них заполняют естественное место, а какие нет, против АВЕРРОЭСА, комментатора АРИСТОТЕЛЯ»). До наших дней он не дошёл, но РЕГИОМОНТАН даёт его обзор в другой своей работе. В этом трактате рассматривалось построение правильных тел, их преобразования друг в друга, вычислялись их объёмы. Содержалась в нём и встречающаяся у ПАЧОЛИ идея о том, что последовательным изменением правильных тел можно получать безграничное количество полуправильных. Далее, первая печатная книга по математике вышла в 1475 году. ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕ- СКА жил ещё в мире рукописей, а более молодой ЛУКА ПАЧОЛИ зрелые свои годы провёл уже в мире печатных книг. Рукопись могла быть переписана для собственного пользования кем-то ещё, но каждый раз в одном экземпляре. Её переписчик совершает богоугодное дело уже потому, что продлевает жизнь рукописи, не даёт ей погибнуть. То же и в случае, когда сохранившаяся рукопись превращается в печатную книгу. Теперь мы можем вернуться к вопросу о плагиате с оценкой, в большей мере соответствующей системе взглядов того времени. Похоже, что в ту эпоху, когда жили ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА и ЛУКА ПАЧОЛИ, вопрос об авторстве ещё попросту не стоял. (Средневековье, между прочим, вообще не знает авторства: можем ли мы сказать, кто был «автором» прекрасных готических соборов? Сама эта постановка вопроса очевидным образом бессмысленна. Вот и в Началах ЕВКЛИДА большая часть результатов была переписана из других математических книг, но мы этим почему-то не возмущаемся и ЕВКЛИДА в плагиате не обвиняем.) Самому ПЬЕРО была интересна математика, а не слава в грядущих веках. В преди-

11 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 11 словии к своей латинской книжке он пишет, что она будет ему «залогом и памятником», но не у потомков вообще, а у его герцогского Высочества. А что касается авторства как указания на то, кто первый совершил такое-то открытие, то здесь важен момент онтологический. Математик открывает какие-то неизвестные доселе тела, а КОЛУМБ в это же самое время открывает новые страны. Но КОЛУМБ не является «автором» этих стран, и точно так же математик не является «автором» открытых им тел. И ведь когда КОЛУМБ организовывал свою экспедицию, его целью были сами новые страны, а не память потомков о том, что он их открыл. Лука Пачоли и формирование института экспертизы Обращаясь в послании О божественной пропорции к миланскому герцогу ЛОДОВИКО СФОРЦА, ЛУКА ПАЧОЛИ нигде не рекомендует себя так: «Я математик, потому что могу получать новые математические результаты». Нет, он говорит о себе совершенно иначе: «Я математик, потому что я знаю математику и могу ей научить других». Вот и ДАНТЕ в Божественной комедии называл АРИСТОТЕЛЯ «учителем тех, кто знает», и ЛУКА не зря эту цитату приводит. Для уяснения этого довода проведём следующее сравнение. Врач знает медицину и поэтому может лечить. Юрист знает право и поэтому может быть адвокатом. А математик знает математику и что дальше? Он может ей учить? Но ведь и врач, и юрист тоже могут учить своим наукам для чего в университете и существуют медицинский и юридический факультеты. Но кем может быть математик вне сферы обучения? Какое умение выделяет его среди прочих людей и делает кому-то нужным? Астроном умеет вычислять движения небесных светил и составлять гороскопы. Архитектор способен построить прекрасную виллу, военный строитель неприступную крепость. Художники создают прекрасные произведения, услаждающие взор. А математик какой от него может быть прок? Посмотрим, как на этот вопрос отвечает сам ЛУКА. Прежде всего, он настаивает на том, что математика в качестве самой точной науки является основанием и пробирным камнем для всех прочих наук. «В [нашем трактате] мы говорим о высоких и утончённых вещах, которые поистине служат испытанием и пробирным тиглем для всех изысканных наук и дисциплин: ведь из них проистекают все прочие спекулятивные действия, научные, практические и механические; и без предварительного ознакомления с ними человеку невозможно ни познавать, ни действовать, как это будет показано Как подтверждают АРИСТОТЕЛЬ и АВЕРРОЭС, наши математические науки являются самыми истинными и стоят на первом уровне строгости, а за ними идут естественные» (гл. I). От похвалы математике как таковой он переходит к похвалам математикам: «Благоразумным известна пословица: Aurum probatur igni et ingenium mathematicis. То есть золото проверяется огнём, и проницательность разума математическими дисциплинами. Это высказывание говорит вам, что добрый разум математиков наиболее открыт каждой науке, ведь они привычны к величайшей абстракции и тонкости, поскольку всегда рассматривали то, что находится вне чувственной материи. Как говорит тосканская поговорка, это те, кто расщепит волос на лету» (гл. II). Но само по себе «рассмотрение того, что находится вне чувственной материи» вряд ли способно заинтересовать властителей, к которым обращается ЛУКА. Поэтому он переходит от вещей идеальных к вещам реальным, и приводит доводы, согласно которым математика является необходимым основанием военного искусства и архитектуры:

12 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 12 «О Вашем Герцогском Высочестве идёт и иная добрая слава, когда крепнет уверенность близких родственников и благодарных подданных в том, что в её высочайшем Владении они защищены от всех нападений От повседневного опыта Вашего Герцогского Высочества не скрыто, что оборона больших и малых республик, называемая также военным искусством, невозможна без знания Геометрии, Арифметики и Пропорций, каковые превосходно сочетаются с честью и пользой. И ни одно достойное занятие из тех, с которыми имеют дело инженеры и новые механики, так не ведёт к взятию [крепости] или же к долгой обороне, как те, в которых в былые времена упражнялся великий геометр АРХИМЕД из Сиракуз» (гл. II). «Они называют себя архитекторами, но я никогда не видел у них в руках выдающейся книги нашего достойнейшего архитектора и великого математика ВИТРУВИЯ, который составил трактат Об архитектуре с наилучшими описаниями всякого сооружения. И те, кому я дивлюсь, пишут на воде и строят на песке, наскоро растратив своё искусство: ведь они являются архитекторами лишь по имени, ибо не ведают разницы между точкой и линией и не знают различия между углами, без чего невозможно хорошо строить Однако есть и такие, кто восхищается нашими математическими дисциплинами, внедряя истинное руководство всеми постройками в согласии с сочинением вышеупомянутого ВИТРУВИЯ. Отклонение от него заметно, если посмотреть, каковы наши строения, как церковные, так и светские: какое искривлено, а какое перекошено» (гл. XLIV). Говоря нынешним языком, ЛУКА рекомендует себя герцогу в качестве эксперта, причём в вопросах не собственно математических (такой эксперт герцогу нисколько не нужен), но сугубо прикладных, имеющих самое прямое отношение к сохранению власти (военное дело) и процветанию (архитектура). Что же касается умения получать новые математические результаты, оно в эту эпоху ещё не рассматривалось как необходимое отличительное качество математика высокого класса, оставаясь случайным, а не сущностным признаком последнего. Литература ГЛУШКОВА Ф. Р., ГЛУШКОВ С. С. Геометрическая часть «Суммы» Пачоли. История и методология естественных наук, 29, 1982, с КОЛЛИНЗ Р., РЕСТИВО С. Пираты и политики в математике. Отечественные записки, 2001, 7. ОЛЬШКИ Л. История научной литературы на новых языках. В 3 т. М. Л.: ГТТИ, (Репринт: М.: МЦИФИ, 2000.) СОКОЛОВ Я. Лука Пачоли человек и мыслитель. В кн.: ПАЧОЛИ ЛУКА. Трактат о счетах и записях. М.: Статистика, ЮШКЕВИЧ А. П. История математики в средние века. М.: Физматгиз, ARRIGHI G. Piero della Francesca e Luca Pacioli. Rassegna della questione del plagio e nuove valutazioni. Atti della Fondazione Giorgio Ronchi, 23, 1968, p BIAGIOLI M. The social status of Italian mathematicians, History of Science, 27, 1989, p BERTATO F. M. A obra De Divina Proportione (1509) de Frà Luca Pacioli. Anais do V Seminário Nacional de História da Matemática, Rio Claro, BIGGIOGERO G. M. Luca Pacioli e la sua Divina proportione. Rendiconti dell"istituto lombardo di scienze e lettere, 94, 1960, p CASTRUCCI S. Luca Pacioli da l Borgo San Sepolcro. Alpignano: Tallone, DAVIS M. D. Piero della Francesca s mathematical treatises: The «Trattato d abaco» and «Libellus de quinque corporibus regularibus». Ravenna: Longo Editore, FIELD J. V. Rediscovering the Archimedean polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro and Johannes Kepler. Archive for History of Exact Sciences, 50, 1997, p

13 ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 13 HERZ-FISCHLER R. A mathematical history of division in extreme and mean ratio. Waterloo: Wilfrid Laurier Univ. Press, 1987 (2 d ed. NY, Dover, 1998). LUCAS DE BURGO. Summa de Arithmetica, Geometria, Proportione & Proportionalita. Venetia: Paganino de Paganinis, LUCAS DE BURGO. Divina Proportione. Venetia: Paganino de Paganinis, MANCINI G. L opera De corporibus regularibus di Pietro Franceschi detto Della Francesca usurpata da fra Luca Pacioli. Accademia dei Lincei, MORISON S. Fra Luca Pacioli of Borgo San Sepolcro. New York, PICUTTI E. Sui plagi matematici di frate Luca Pacioli. La Scienze, 246, 1989, p PIERO DELLA FRANCESCA. Libellus de quinque corporibus regularibus. Eds. M. D. Emiliani e. a. Florence: Giunti, PITTARELLI G. Luca Pacioli usurpò per se stesso qualche libro di Piero de Franceschi? Atti IV Congresso internazionale dei matematici, Roma, 6 11 aprile 1908, III. Rome, 1909, p PORTOGHESI P. Luca Pacioli e la Divina Proportione. In: Civiltà delle machine, 1957, p REGIOMONTANUS. Commensorator. Ed. Blaschke W., Schoppe G. Wiesbaden: Verlag der Akademie der Wissenschaften und der Literatur in Mainz, RICCI I. D. Luca Pacioli, l uomo e lo scienziato. Sansepolcro, ROSE P. L. The Italian renaissance of mathematics. Geneva: Librairie Droz, SPEZIALI P. Luca Pacioli et son oeuvre. Sciences of the Renaissance, Paris, 1973, p TAYLOR R. E. No royal road: Luca Pacioli and his times. Chapel Hill: Univ. of North Carolina Press, WILLIAMS K. Plagiary in the Renaissance (Luca Pacioli and Piero della Francesca). Mathematical Intelligencer, 24, 2002, p

Золотое сечение в античной математике А. И. ЩЕТНИКОВ 1. Постановка проблемы. Не будет преувеличением сказать, что без обсуждения вопроса о золотом сечении не обходится ни одна публикация, посвящённая взаимоотношениям

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Рабочая программа среднего (полного) общего образования по математике (геометрии) в МБОУ СОШ 30 г. Пензы (10 класс) Пояснительная записка Статус документа Рабочая программа среднего (полного) общего образования

Программа вступительного экзамена по математике Программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ Рациональные числа Ученик научится: В 5-6 КЛАССАХ 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) владеть понятиями,

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Настоящая программа по геометрии для 0 класса составлена на основе Федерального компонента Государственного стандарта среднего общего образования (приказ МОиН РФ от 05.03.2004г. 089),

Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ

Приложение к основной образовательной программе среднего общего образования МБОУ «Сергачская СОШ 1» утвержденной приказом директора 27.08.2015 г. 64-о Рабочая программа учебного предмета «Геометрия» 10-11

Теорема Пифагора Формулировка Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. c 2 = a 2 + b 2 Другими словами, площадь квадрата, построенного

Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания по математике

МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ» (ФГБОУ ВО «НГУЭУ», НГУЭУ)

ЧУ ООШ «Венда» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Геометрия 0 класс - - Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе: Федерального компонента государственного стандарта общего образования, примерной программы

Спецификация к семестровой работе по математике в 10 классе Множества, операции над множествами Числовые множества Функция: Нахождение области определения Нахождение множества значений Исследование на

Программа к вступительному испытанию по общеобразовательному предмету «Математика» при поступлении в Сыктывкарский лесной институт в 2016 году Программа предназначена для подготовки к массовой письменной

Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение г. Бузулука «Средняя общеобразовательная школа 8» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на 206-207 учебный год Класс: 0- Количество

Косинов Н.В. ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ, ЗОЛОТЫЕ КОНСТАНТЫ И ЗОЛОТЫЕ ТЕОРЕМЫ Аннотация Выявлено большое семейство чисел, которые имеют свойства, присущие золотой пропорции (Ф=1,618). Эти числа являются константами

Подготовила: Деменковец Анастасия Ученица 8 класса Б Научный руководитель: Конева Наталья Михайловна Гимназия Лаборатория Салахова Сургут, 2014 Цель: Доказать, что в архитектурных объектах присутствуют

Согласовано зам. директора по УР Г.И. Беликова Утверждаю директор МКОУ «Борятинская СОШ» Е.А.Мартынова 20 г. муниципальное казенное образовательное учреждение «Борятинская средняя общеобразовательная школа»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лицей» УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 10 11 класс уровень среднего общего образования ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа по геометрии ориентирована

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт гражданской защиты Кафедра общеинженерных дисциплин

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 105 имени М.И.Рунт городского округа Самара РАССМОТРЕНО СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ на заседании методического Заместитель

Лекция Почему мы не можем обойтись целыми и рациональными числами? Потому что в самых естественных ситуациях нам встречаются числа, не являющиеся ни целыми, ни рациональными. Рассмотрим единичный квадрат.

МБОУ «Орловская СОШ» Рассмотрено Согласовано Утверждаю на заседании МО учителей Заместитель директора по УВР Директор МБОУ «Орловская СОШ» математики и естественных предметов /Ефанова И.А../ /Ермолова

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Нормативная база преподавания предмета Рабочая программа по геометрии для 7-9 класса составлена на основании следующих нормативноправовых документов: 1. Федерального компонента государственного

Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Арифметика Натуральные числа. Дроби 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) понимать и использовать термины и символы, связанные

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 10-11 КЛАССЫ Составитель: Т.А. Бурмистрова Пояснительная записка Данная рабочая программа составлена на основе Примерной программы среднего (полного) общего образования по

Аннотация к рабочей программе по «Геометрии» 10-11 класс Рабочая программа по математике составлена на основе следующих нормативных документов: 1. Образовательная программа общеобразовательного учреждения

Великий мыслитель Лосев А. Ф. презентация книг русского философа к 120 летию со дня рождения Все представленные на выставке книги находятся в фонде читального зала СЭЛ (ауд. В-303), где можно более подробно

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Пояснительная записка. Рабочая программа по геометрии 11 класса составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования, Программы по геометрии к учебнику для

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНЕЦКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ИНСТИТУТ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ОТДЕЛ МАТЕМАТИКИ О требованиях к

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

И.М. Смирнова, В.А. Смирнов ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ) Вписанные и описанные фигуры в пространстве Москва 008 ВВЕДЕНИЕ Как подготовиться к экзаменам по геометрии и научиться решать стереометрические задачи

1 МАГИЯ ЧИСЕЛ В НАУКЕ И ПРИРОДЕ Лоскович М.В., Натяганов В.Л., Слепова Т.В. Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Биологический, механико-математический факультеты, Россия, 119899,

Пояснительная записка к рабочей программе по геометрии в 0 классе Всего 2 часа в неделю 72 часа в год. Рабочая программа составлена на основе следующих документов: o Федерального компонента государственного

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Костромской государственный университет имени Н. А. Некрасова Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ Практикум Кострома

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 9 Принято Утверждаю решением педагогического совета Директор МБОУ средней от 29 августа 2012 года, общеобразовательной

Учебного предмета класс (параллель) Пояснительная записка к Рабочей программе геометрия (базовый уровень) 10 Б на 2013-2014учебный год Рабочая программа по геометрии для 10 класса составлена на основе

ИВАНОВА ИННА ВАЛЕНТИНОВНА E-mail: [email protected] Skype: inna-iva68 Время для связи: четверг 16.50. 19.00. Геометрия 10 класс Учебник: Геометрия 10-11, авторы Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев

Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе Федерального компонента Государственного образовательного стандарта Среднего (полного) общего образования по математике и Примерной программы

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа 11 Зеленодольского муниципального района Республики Татарстан» Исследовательская работа на тему: Золотое сечение Выполнила: Ахметова А.М. Руководитель:

Приложение 2.5.2. Примерное планирование курса «Алгебра и начала математического анализа» Учебник. 1. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 10 класс

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 3 города Пудожа Рассмотрено на заседании МО математики и информатики Протокол 1 от 29.08.2016 Руководитель МО Купцова

Сергиенко П.Я. НАЧАЛА МАТЕМАТИЗАЦИИ ГАРМОНИИ. ЗАДАЧА (ПРЕДЛОЖЕНИЕ II.11) ЕВКЛИДА И АЛГОРИТМ ЕЕ РЕШЕНИЯ Выставить на обозрение свой алгоритм решения озаглавленной задачи меня позвали публикации: С.А.Ясинского

АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 100 с углубленным изучением отдельных предметов Утверждаю Директор школы 100

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по «Геометрии» составлена в соответствии с Федеральным компонентом государственного образовательного стандарта общего образования (2004 г.). Программа составлена

Рабочая программа к учебнику «Геометрия 10-11», Атанасян Л.С. и др., 10 «А» класс (базовый уровень), 2 часа в неделю ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа составлена на основе федерального компонента

Пояснительная записка. Данная рабочая программа по геометрии для 11 социально-гуманитарного класса составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного образовательного стандарта среднего

Рабочая программа по геометрии 10 класс Пояснительная записка Статус документа Рабочая программа по геометрии 10 класса составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты

ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННОГО АДМИНИСТРИРОВАНИЯ» Утверждаю Ректор ЧУ ВО «ИГА» А.В. Тараканов «12» 11 20_15_г. Программа подготовки к вступительным испытаниям по математике

Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе федерального компонента государственного стандарта общего образования, примерной программы по математике основного общего образования, авторской

ГЕОМЕТРИЯ 11 КЛАСС ЭКСТЕРНАТ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 11 КЛАСС ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа разработана на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного)

1 Аннотация к рабочей программе по предмету «Геометрия» 10-11 Данная рабочая программа по геометрии для 10-11 классов составлена на основе: Федерального компонента Государственного образовательного стандарта

Содержание: 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. 2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ.. 3. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ 4. КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ. 5. ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «СОЧИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» «Университетский экономико-технологический колледж» Математика Программа вступительного испытания

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Усишинская СОШ 2» Календарно-тематическое планирование по предмету геометрия класс Базовый уровень 68 часов. Составитель: учитель математики Гаджиев

Предмет математика модуль «алгебра», 7 класс Учитель Анастасия Васильевна Рыбалкина Что предстоит «узнать» = изучить, освоить на уроках математике модуль «алгебра» в 7 классе. 1) ТЕМЫ (по программе) I.

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение «Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа 2» при ФКУ ИК-4 Тема групповой консультации: «Решение задач по теме «Объемы многогранников» Выполнила

Лука Пачоли и его трактат

«О божественной пропорции»

А. И. ЩЕТНИКОВ

Биографический очерк

ЛУКА ПАЧОЛИ (LUCA PACIOLI или PACIOLLO) родился в 1445 году в небогатой семье БАРТОЛОМЕО ПАЧОЛИ в небольшом городке Борго Сан-Сеполькро, расположенном на берегу

Тибра, на границе Тосканы и Умбрии, и принадлежавшем в то время Флорентийской республике. Подростком он был отдан на обучение в мастерскую знаменитого художника

ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА (ок. 1415–1492), жившего в этом же городке. Обучение в мастерской не сделало его художником, однако выработало отменный вкус, а главное, здесь он впервые приобщился к математике, глубоко интересовавшей его учителя. Вместе со своим учителем ЛУКА часто посещал двор ФЕДЕРИКО ДЕ МОНТЕФЕЛЬТРО, герцога Урбинского.

Здесь его заметил великий итальянский зодчий ЛЕОН БАТИСТА АЛЬБЕРТИ (1404–1472), который в 1464 году рекомендовал молодого человека богатому венецианскому купцу АНТОНИО ДЕ РОМПИАНЗИ в качестве домашнего учителя.

В Венеции ЛУКА учил сыновей своего патрона и учился сам, посещая лекции знаменитого математика ДОМЕНИКО БРАГАДИНО в школе Риальто. В 1470 году он составил свою первую книгу - учебник коммерческой арифметики. В этом же году он оставил Венецию и перебрался в Рим, где был принят АЛЬБЕРТИ и поселился в его доме. Однако через два года ПАЧОЛИ покинул Рим и принял монашеский постриг, став францисканцем.

После пострига брат ЛУКА некоторое время живёт на родине в Сан-Сеполькро. С 1477 по 1480 год он преподаёт математику в университете в Перудже. Затем в течении восьми лет он живёт в Заре (ныне - Задар в Хорватии), где занимается теологией и математикой, иногда совершая по делам ордена поездки по другим городам Италии. В эти годы ПАЧОЛИ начал писать главный труд своей жизни - энциклопедическую Сумму арифметики, геометрии, отношений и пропорций. В 1487 году его вновь приглашают занять кафедру в Перудже. В последующие годы он живёт в Риме, Неаполе, Падуе.

12 октября 1492 года умирает ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА. В следующем году работа ПАЧОЛИ над Суммой была, наконец, завершена. С этой рукописью он приезжает в Венецию, где в ноябре 1494 году эта книга, посвящённая юному ГВИДО УБАЛЬДО ДЕ МОНТЕФЕЛЬТРО (1472–1508), ставшему в 1482 г. после смерти отца герцогом Урбинским, выходит в свет.

Примечательно то, что книга написана не на обычной для учёных трудов латыни, а на итальянском языке. У некоторых авторов можно прочитать, что ЛУКА писал свои трактаты на итальянском языке, потому что он не получил соответствующего образования и не владел латинским языком в совершенстве. Однако он был магистром теологии, а латынь была единственным языком теологических трактатов; он преподавал математику в различных университетах, а там все предметы читались на латыни; и он же перевёл всего ЕВКЛИДА с латыни на итальянский (правда, этот перевод так и не был издан). Потому, хотя он и не владел гуманистической латынью, школьная латынь была для него повседневным языком.

Стало быть, причина, по которой он предпочёл итальянский язык латыни, состояла в друЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 2 гом.

Вот что говорит об этом сам ЛУКА в посвящении к Сумме (написанном и на итальянском, и на латинском языке):

Правильное понимание трудных терминов среди латинистов прекратилось ввиду того, что хорошие учителя стали редки. И хотя для Вашего Герцогского Высочества лучше подошёл бы стиль Цицерона или ещё более высокий, однако я полагаю, что этим источником красноречия не всякий сумеет воспользоваться. Так что, принимая во внимание интересы общей пользы ваших почтительных подданных, я решил написать своё сочинение на родном местном языке, чтобы и образованные, и не образованные в равной мере могли получить удовольствие от этих занятий.

В предисловии к Сумме ПАЧОЛИ рассказывает о тех людях, благодаря общению с которыми у него сложилось убеждение в том, что математика рассматривает «всеобщую закономерность, применимую ко всем вещам». Он говорит об астрономии, о научном подходе к архитектуре, воплощённом в трудах ВИТРУВИЯ и АЛЬБЕРТИ, о многочисленных живописцах, развивавших искусство перспективы, «которая, если разобраться тщательно, была бы пустым местом без применения математических вычислений», среди которых выделяется «король нашего времени в живописи» ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА, о замечательных скульпторах. Это те мастера, «которые, пользуясь вычислениями в своих работах с помощью нивелира и циркуля, довели их до необычайного совершенства». ПАЧОЛИ говорит также о значении математики для музыки, для космографии, для торговли, для механических искусств, для военного дела.

Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций - это обширный энциклопедический труд, напечатанный на 300 листах in folio. Первая часть в 224 листа посвящена арифметике и алгебре, вторая, в 76 листов - геометрии. Нумерация листов в обеих частях начинается заново. Каждая часть делится на отделы, отделы - на трактаты, трактаты - на главы.

В арифметической части Суммы излагаются приёмы выполнения арифметических действий; эта часть опирается на многочисленные Книги абака, принадлежавшие разным авторам. Алгебраические задачи, решаемые в Сумме, не выходят за пределы круга задач на линейные и квадратные уравнения, рассматривавшегося в арабских трактатах по «алгебре и альмукабале»; в Европе эти задачи были известны по Книге абака ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО (1180–1240). Из задач, привлёкших внимание математиков последующих поколений, следует отметить задачу о разделе ставки при незавершённой игре, которую сам ЛУКА решил неправильно. Пожалуй, самое существенное нововведение ПАЧОЛИ состоит в систематическом использовании синкопированной алгебраической записи - своеобразной предшественницы последующего символического исчисления. Книга содержит таблицу монет, весов и мер, принятых в разных частях Италии, а также руководство по венецианской двойной бухгалтерии. Что касается геометрической части Суммы, она следует за Практической геометрией ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО.

В первой половине 90-х годов ПАЧОЛИ живет в Урбино. Именно к этой эпохе относится картина ЯКОПО ДЕ БАРБАРИ, на которой ПАЧОЛИ изображён в сопровождении неизвестного молодого человека. По поводу личности этого молодого человека выдвигались разные гипотезы. Наиболее правдоподобным представляется предположение о том, что это - герцог ГВИДО УБАЛЬДО, покровитель ПАЧОЛИ.

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 3

Рис. 1.

Портрет ЛУКИ ПАЧОЛИ и неизвестного молодого человека.

Картина ЯКОПО ДЕ БАРБАРИ (Неаполь, Национальный музей) В 1496 году учреждается кафедра математики в Милане, и ПАЧОЛИ предлагают её занять. Здесь он читает учебные лекции студентам и публичные - всем желающим. Здесь же, при дворе герцога ЛОДОВИКО МОРО СФОРЦА (1452–1508) он сближается с ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ. В записных книжках ЛЕОНАРДО сохранились записи: «Научись умножению корней у маэстро ЛУКИ», «попроси брата из Борго показать тебе книгу о весах». ПАЧОЛИ выполнил для ЛЕОНАРДО расчёты веса гигантского конного памятника ФРАНЧЕСКО СФОРЦА. В Милане ПАЧОЛИ написал послание О божественной пропорции, адресованное герцогу ЛОДОВИКО СФОРЦА, а ЛЕОНАРДО выполнил к нему иллюстрации. Трактат был завершён 14 декабря 1498 года. К нескольким рукописным экземплярам трактата, вручённым властительным особам, прилагался набор правильных многогранников и других геометрических тел, о которых брат ЛУКА говорит, что изготовил их собственноручно. (О моделях правильных многогранников он писал ещё в Сумме.) Сохранилось две рукописи этого трактата - одна в Публичной библиотеке в Женеве, вторая - в Амброзианской библиотеке в Милане.

В 1499 году французская армия заняла Милан, и герцог СФОРЦА бежал; ЛЕОНАРДО и ЛУКА в скором времени покинули город. В последующие годы ЛУКА ПАЧОЛИ читает лекции в Пизе (1500), Перудже (1500), Болонье (1501–1502) и Флоренции (1502–1505). Во Флоренции ему покровительствует ПЬЕТРО СОДЕРИНИ, пожизненный гонфалоньер Республики.

Однако не все труды ПАЧОЛИ напечатаны, и поэтому он снова едет в Венецию. Здесь в 1508 году он издаёт латинский перевод ЕВКЛИДА, принадлежащий ДЖОВАННИ КАМПАНО из Новары. Этот перевод, сделанный ещё в 1259 году с арабского языка, уже издавался в 1482 году и затем несколько раз переиздавался, но издание изобиловало опечатками и ошибками. ПАЧОЛИ отредактировал перевод; по этой редакции, снабжённой многочисленными комментариями, он и читал свои университетские лекции. Однако издание оказалось невостребованным, поскольку в 1505 году БАРТОЛОМЕО ДЗАМБЕРТИ издал новый перевод Начал, выполненный непосредственно с греческого оригинала.

В 1509 году в Венеции была издана ещё одна книга ПАЧОЛИ: Divina proportione. Opera a tutti glingegni perspicaci e curiosi necessaria. Ove ciascun studioso di Philosophia, Prospectiva,

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 4

Pictura, Sculptura, Architectura, Musica e altre Mathematice suavissima sottile ed admirabile doctrina consequira e delectarassi con varie questione de secretissima scientia («Божественная пропорция. Сочинение, весьма полезное всякому проницательному и любознательному уму, из коего каждый изучающий философию, перспективу, живопись, скульптуру, архитектуру, музыку или другие математические предметы извлечёт приятнейшее, остроумное и удивительное учение и развлечёт себя различными вопросами сокровеннейшей науки»).

Это печатное издание включает в себя ряд текстов. Изданию предпослано обращение к флорентийскому гонфалоньеру ПЬЕТРО СОДЕРИНИ. Первая часть (33 листа) содержит послание О божественной пропорции, а также трактат об архитектуре, о пропорциях человеческого тела и о принципе построения букв латинского алфавита. За ней следует Книжка в трёх отдельных трактатах о правильных телах (27 листов), из коих первый трактат рассматривает плоские фигуры, второй - правильные тела, вписанные в сферу, третий - правильные тела, вписанные друг в друга. Далее идут графические таблицы, отпечатанные с одной стороны листа: пропорции человеческого лица (1 лист), принцип построения букв латинского алфавита (23 листа), изображения архитектурных элементов (3 листа), выполненные на основе рисунков ЛЕОНАРДО изображения правильных и других тел (58 листов), и, наконец, «дерево пропорций и пропорциональности» - рисунок, который ПАЧОЛИ уже приводил в Сумме (1 лист).

В послании О божественной пропорции ЛУКА ПАЧОЛИ говорит о том, что ему, как старому человеку, пора на покой, чтобы «в солнечном месте подсчитывать годы». Эта его просьба была услышана, и в 1508 году он становится местоблюстителем монастыря в родном Сан-Сеполькро. Однако в декабре 1509 г. два монаха его монастыря передали генералу ордена письмо, в котором указывали на то, что «маэстро ЛУКА неподходящий человек, чтобы управлять другими», и просили освободить его от административных обязанностей.

Но поддержки у начальства они не нашли, и в феврале 1510 года ЛУКА ПАЧОЛИ становится полноправным приором родного монастыря. Впрочем, распри внутри монастыря продолжались и далее.

В последние годы своей жизни брат ЛУКА продолжал ещё иногда читать лекции; его приглашали в Перуджу в 1510 году и в Рим в 1514 году, причём последнее приглашение исходило от нового папы ЛЬВА X. Умер ЛУКА ПАЧОЛИ в возрасте 72 лет, 19 июня 1517 года во Флоренции.

Обзор послания «О божественной пропорции»

В послании ЛУКИ ПАЧОЛИ О божественной пропорции выделяются следующие содержательные части:

Введение (гл. 1–4). Божественные качества, определение и математические свойства пропорции, возникающей при делении величины в среднем и крайнем отношении (гл. 5– 23). О правильных телах, почему их не может быть больше пяти и как каждое из них вписывается в сферу (гл. 24–33). О том, как правильные тела вписываются друг в друга (гл.

34–46). О том, как в каждое из этих тел вписывается сфера (гл. 47). О том, как из правильных тел получаются усечённые и надстроенные (гл. 48–52). О других телах, вписанных в сферу (гл. 53–55). Сфера (гл. 56–57). О колоннах и пирамидах (гл. 58–69). О материальных формах представленных тел и их перспективных изображениях (гл. 70). Глоссарий (гл. 71).

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 5

Под «божественной пропорцией» ПАЧОЛИ понимает непрерывную геометрическую пропорцию трёх величин, которую ЕВКЛИД называет «делением в среднем и крайнем отношении», а в XIX веке её стали называть «золотым сечением». В определении этой пропорции и описании её свойств ПАЧОЛИ следует за ЕВКЛИДОМ. Данная пропорция возникает при делении целого на две части, когда целое так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей. На языке равенства площадей эта же пропорция задаётся так:

квадрат на большей части равен прямоугольнику, сторонами которого служат целое и меньшая часть.

Особую ценность, выделенность отношения «божественной пропорции» среди прочих отношений брат ЛУКА обосновывает доводами метафизического и теологического характера. Единственность и неизменность данной пропорции сравнивается с единственностью и неизменностью Бога, три её члена - с тремя ипостасями Святой Троицы, иррациональность отношения - с непостижимостью и невыразимостью Бога. Но помимо этих доводов имеется ещё один: с этой пропорцией связаны процедуры построения правильного плоского пятиугольника, и телесных додекаэдра и икосаэдра. Но ПЛАТОН в Тимее рассматривал пять правильных тел в качестве пяти элементов, из которых состоит Вселенная. Таким образом, в метафизических построениях ПАЧОЛИ соединяются мотивы христианского богословия и платоновской космологии.

XIII и XIV книге Начал ЕВКЛИДА. Всего он рассматривает тринадцать таких свойств, связывая это число с числом участников тайной вечери. Вот пример одного из этих свойств:

«Пусть прямая линия разделена в пропорции, имеющей середину и два края, тогда если к большей части прибавить половину всей пропорционально разделённой линии, то с необходимостью окажется, что квадрат суммы всегда будет пятикратным, то есть в 5 раз большим квадрата указанной половины». Все эти свойства он сопровождает одним и тем же числовым примером, когда длина целого отрезка равна 10, а его части составляют: меньшая 15 – 125, а большая 125 – 5. Пример с алгебраическим делением 10 в среднем и крайнем отношении был заимствован ЛУКОЙ ПАЧОЛИ у ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО (1180– 1240), а последним - у АБУ КАМИЛА (850–930) и АЛ-ХОРЕЗМИ (787–850). Само вычисление корней соответствующего квадратного уравнения в трактате не производится: здесь ЛУКА ссылается на свою же Сумму, где этот результат получен «по правилам алгебры и альмукабалы». И вообще, выбранный им жанр послания предопределяет собой тот факт, что ПАЧОЛИ все результаты приводит без доказательства, хотя эти доказательства ему, вне всякого сомнения, известны.

Вслед за этим ПАЧОЛИ рассматривает пять платоновских тел. Сначала он доказывает теорему том, что этих тел - ровно пять, и не больше. Затем он приводит построения всех пяти тел, вписанных в данную сферу, в следующем порядке: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Далее рассматривается пропорция между сторонами этих тел, вписанных в одну и ту же сферу, и приводится ряд теорем о соотношениях между их поверхностями.

Затем рассматриваются некоторые способы, по которым одно правильное тело может быть вписано в другое. Наконец, обсуждается теорема о том, что в каждое правильное тело тоже может быть вписана сфера.

Теперь ПАЧОЛИ на время оставляет ЕВКЛИДА и переходит к новому материалу. А именно, он рассматривает тела, которые могут быть получены из правильных тел путём «усечения» либо «надстройки». Тела, которые получаются из правильных тел усечением - это

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 6

некоторые из полуправильных тел АРХИМЕДА. Всего имеется тринадцать полуправильных тел, что было доказано АРХИМЕДОМ. Но ПАЧОЛИ с обзором этой работы АРХИМЕДА, имеющимся у ПАППА, не был знаком. Из тринадцати полуправильных тел он рассматривает шесть: усечённый тетраэдр, кубоктаэдр, усечённый октаэдр, усечённый икосаэдр, икосидодекаэдр и усечённый ромбикубоктаэдр. Два тела - усечённый куб и усечённый додекаэдр - он пропустил по непонятной причине, хотя их построение аналогично построению усечённых тетраэдра, куба и икосаэдра. Что касается усечённого ромбикубоктаэдра («тела с 26 основаниями»), ПАЧОЛИ открыл его, по-видимому, сам, и очень гордился этим открытием: именно это тело, изготовленное из прозрачных стеклянных пластин и наполовину заполненное водой, изображено в левой верхней части картины ЯКОПО ДЕ БАРБАРИ.

Надстроенные правильные и надстроенные усечённые тела у ПАЧОЛИ - это не то же самое, что исследовавшиеся в последующей математике звёздчатые многогранники КЕПЛЕРА. Тела КЕПЛЕРА получаются продлением плоскостей исходных многогранников; тела ПАЧОЛИ - построением на каждой грани исходного многогранника пирамиды, боковые стороны которой являются равносторонними треугольниками. ПАЧОЛИ приводит интересную теорему о том, что в надстроенном икосидодекаэдре пять вершин треугольных пирамид и вершина пятиугольной пирамиды лежат в одной плоскости; опущенное доказательство «возводится тончайшей практикой алгебры и альмукабалы до редкой отметки».

Далее рассматривается «тело с 72 основаниями», которым ЕВКЛИД пользовался как вспомогательным в последних двух предложениях XII книги Начал; это тело в литературе иногда называют «сферой КАМПАНО» (рис. 2). ПАЧОЛИ утверждает, что форма этого тела послужила геометрической основой для купола Пантеона в Риме и для сводов ряда других построек.

–  –  –

Вслед за этим ПАЧОЛИ говорит о том, что усечением и надстройкой может быть получено бесчисленное множество многогранных форм, и переходит к рассмотрению сферы, ещё раз касаясь вписания в неё правильных тел.

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 7

Последняя часть послания О божественной пропорции вновь возвращает нас к ЕВКЛИДУ. Здесь рассматриваются многогранные призмы и цилиндр, затем - многогранные пирамиды и конус, затем - усечённые пирамиды. Пачоли приводит правила для вычисления объёмов всех этих тел, всюду указывая на то, какие из этих правил являются приближёнными, а какие - точными.

Далее ПАЧОЛИ пишет о том, что к рукописным копиям трактата, вручаемым герцогу и его родственникам, прилагаются таблицы с перспективными рисунками, сделанными ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ, а также «материальные формы» всех упомянутых в нём тел. Рисунки и формы многогранников были изготовлены в двух вариантах - сплошные, с цельными плоскими гранями, и полые, с одними только рёбрами. Выполнял ли ЛЕОНАРДО свои рисунки чисто расчётным путём или с натуры, мы не знаем. Часть рисунков выполнена с заметной для глаза погрешностью, однако её можно объяснить как неточностью расчётов, так и переменой точки, с которой рассматривалось изображаемое тело. Послание завершается словариком, в котором ещё раз разъясняются употреблявшиеся в тексте специальные термины.

Золотое сечение в «древней» и в «новой» эстетике Многочисленные популярные и специальные книги и статьи, посвящённые проблеме пропорций в искусстве, рассматривают золотое сечение в качестве «самой совершенной»

пропорции, причём это совершенство трактуется в этих книгах по преимуществу психологически: прямоугольник с «золотым» отношением сторон считается самым приятным для зрительного восприятия, и т. п. В этих публикациях принято рассматривать разнообразные произведения изобразительного искусства и памятники архитектуры, созданные мастерами античности и Возрождения, в качестве примеров, подтверждающих этот тезис.

Надо заметить, что от античности до нас не дошло не одного текста, в котором деление величины в среднем и крайнем отношении обсуждалось бы в качестве формообразующего начала в изобразительном искусстве и архитектуре. Похоже, что таких текстов и вовсе не существовало. Для сравнения можно рассмотреть так называемую музыкальную пропорцию 12: 9 = 8: 6, задающую структуру музыкальной гармонии. Эта пропорция, открытая пифагорейцами, упоминается в десятках античных текстов, посвящённых теории музыки, - как специальных, так и общефилософских. Странно было бы, если бы золотое сечение играло аналогичную роль в архитектуре, скульптуре и живописи, а у античных авторов не осталось об этом ни одного свидетельства.

Все античные тексты, в которых обсуждается деление величины в среднем и крайнем отношении - это сугубо математические трактаты, в которых данное построение рассматривается исключительно в связи с построением правильного пятиугольника, а также двух правильных платоновских тел - икосаэдра и додекаэдра (обзор этих текстов см.

HERZ-FISHLER 1998). Верно то, что интерес к правильным телам, а тем самым и к золотому сечению, не был сугубо математическим: ведь ПЛАТОН вслед за пифагорейцами стал рассматривать пять правильных тел в качестве элементарных основ мироздания, поставив тетраэдр в соответствие огню, куб - земле, октаэдр - воздуху, икосаэдр - воде, а форму додекаэдра он связал со Вселенной в целом. В этом плане, конечно, можно говорить об эстетической значимости золотого сечения, как это делал в своих сочинениях А. Ф. ЛОСЕВ;

но сама эта «эстетика» носит отнюдь не психологический, но космологический характер.

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 8

В эпоху Возрождения Возвращение произошло возвращение к космологическим картинам античного платонизма, и трактат ЛУКИ ПАЧОЛИ О божественной пропорции является важнейшим памятником этого математико-спекулятивного направления. ЛУКА воспевает «божественную пропорцию» в начальных главах своего трактата, называя её свойства «не природными, но поистине божественными». Однако его воззрения на значение этой пропорции остаются привязанными к космологии платоновского Тимея, и «величайшая гармония», о которой он говорит - это гармония космоса, и никакая другая. И хотя ПАЧОЛИ приложил к посланию О божественной пропорции трактат об архитектуре и о пропорциях человеческого тела, но о золотом сечении в этом трактате он не обмолвился ни единым словом. Стало быть, никакого другого взгляда на золотое сечение, кроме математикокосмологического, у него не было, и мысль о том, что золотое сечение может выступать в качестве базовой пропорции произведений архитектуры и живописи, ему просто не приходила в голову.

В точности такие же воззрения характерны для ИОГАННА КЕПЛЕРА и других авторов эпохи Возрождения, интересовавшихся золотым сечением и ролью правильных многогранников в «гармонии мира». Так что искать в их сочинениях некую концепцию золотого сечения, связанную с эстетикой произведений искусства, - это совершенно напрасное занятие, поскольку её там попросту не было.

Судьба сочинений Пачоли. Вопрос о плагиате После смерти ПАЧОЛИ о его сочинениях помнили не слишком долгое время. Наступала эпоха грандиозных научных свершений, когда в науке стали цениться в первую очередь новые результаты, а книги ПАЧОЛИ представляли собой обзоры того, что было сделано в прежние времена. ДЖИРОЛАМО КАРДАНО (1501–1576) назвал ПАЧОЛИ компилятором, в чём он, со своей точки зрения, был вполне прав. Впрочем, другой выдающийся математик этой эпохи, РАФАЭЛЬ БОМБЕЛЛИ (1526–1573), сказал, что ПАЧОЛИ был первым после ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО, «кто пролил свет на науку алгебры».

Возрождение интереса к личности и сочинениям ПАЧОЛИ датируется 1869 годом, когда Сумма попала в руки к миланскому профессору математики ЛЮЧИНИ, и он обнаружил в ней Трактат о счетах и записях. После этого открытия на ПАЧОЛИ стали смотреть как на родоначальника науки о бухгалтерском учёте, и именно этот трактат оказался самой востребованной частью его наследия, много раз переводившейся на другие языки, в том числе и на русский.

Впрочем, уже вскоре после первых публикаций Трактата о счетах и записях среди исследователей разгорелись жаркие споры о том, был ли ЛУКА ПАЧОЛИ его действительным автором. Было высказано сомнение, мог ли человек, далёкий от торговых дел, составить такой трактат. А если не мог, то не следует ли предположить, что здесь совершён плагиат?

Думается всё же, что обвинение в плагиате в данном случае неправомочно.

ПАЧОЛИ нигде не говорит, что это он изобрёл двойную бухгалтерию; он лишь описывает её нормы «по венецианскому обычаю». Но ведь если мы откроем любое современное руководство по бухгалтерскому учёту, оно будет представлять собой в точности такое же нормативное описание, без ссылок на предшественников. И если ПАЧОЛИ описывает систему бухгалтерского учёта по какой-то прочитанной им рукописи, то ведь он и правила умножения в столбик тоже не сам придумал, однако в данном случае обвинять его в плагиате никому не

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 9

приходит в голову. А ознакомиться с системой двойной бухгалтерии на практике он мог в то время, когда состоял домашним учителем в богатом купеческом доме.

Другое серьёзное обвинение в плагиате было выдвинуто против ПАЧОЛИ ещё в 1550 году, когда ДЖОРДЖЕ ВАЗАРИ (1511–1572) в своей книге Жизнеописания знаменитых живописцев, ваятелей и зодчих в главе, посвящённой ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА, написал следующее:

И хотя тот, кто должен был всеми силами стараться приумножить его славу и известность, ибо у него научился всему, что знал, пытался как злодей и нечестивец изничтожить имя ПЬЕРО, своего наставника, и завладеть для себя почестями, которые должны были принадлежать одному ПЬЕРО, выпустив под своим собственным именем, а именно брата ЛУКИ из Борго, все труды этого почтенного старца.

Математические сочинения ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА долгое время считались утерянными. Однако в 1903 году ДЖ. ПИТТАРЕЛЛИ обнаружил в Ватиканской библиотеке рукопись Petri Pictoris Burgensis de quinque corporibus regularibus («ПЕТРА, художника из Борго, о пяти правильных телах»). Несколько позже были обнаружены ещё две рукописи ПЬЕРО: Перспектива в живописи (De perspectiva pingendi) и Об абаке (De abaco). Тогда же было установлено, что найденный латинский манускрипт О пяти правильных телах и три итальянских трактата о правильных телах в печатном издании De Divina Proportione представляют собой две близкие версии одного и того же текста.

Сохранившаяся рукописная книжка ПЬЕРО О пяти правильных телах посвящена ГВИДО УБАЛЬДО ДЕ МОНТЕФЕЛЬТРО, герцогу Урбинскому. Герцогский титул он получил в 1482 году после смерти отца. ПЬЕРО умер в 1492 году. Стало быть, дошедший до нас экземпляр книжки был переписан набело в промежутке между 1482–1492 гг. Однако сама книжка могла быть создана и раньше. ЛУКА ПАЧОЛИ в Сумме (VI, I, II) говорит, что книжку по перспективе ПЬЕРО написал на итальянском, а латинский перевод выполнил его друг МАТТЕО ДАЛЬ БОРГО. Таким же образом мог появиться на свет и латинский текст книжки О пяти правильных телах. Во всяком случае, итальянский текст, опубликованный впоследствии ПАЧОЛИ, естественно рассматривать как исходный.

Что касается этой публикации в приложении к изданию Божественной пропорции, её полное заглавие звучит следующим образом: Libellus in tres partialis tractatus divisus quinque corpore regularium e dependentium active per scrutationis. D. Petro Soderino principi perpetuo populi florentinia. M. Luca Paciolo, Burgense Minoritano particulariter dicatus, feliciter incipit («Книжка, разделённая на три отдельных трактата, о пяти правильных и зависимых [от них] телах, последовательно рассмотренных. Г[осподину] ПЕТРУ СОДЕРИНИ, постоянному предводителю флорентийского народа. М[аэстро] ЛУКА ПАЧОЛИ, миноритом из Борго, по частям продиктованная, счастливо начинается»).

Об каком-либо отношении ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА к трактату в этом заглавии действительно ничего не говорится. Но и своё собственное «авторство» ПАЧОЛИ обозначает весьма странным образом. А именно, он говорит, что книжка эта им particulariter dicatus, «по частям (или частично?) продиктована», - и не более того.

Это заставляет задуматься. Ведь ЛУКА ПАЧОЛИ в своих сочинениях вовсе не выглядит человеком, стремившимся беззастенчиво присваивать чужие результаты.

Так в I разделе I главы Суммы он пишет:

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 10

И поскольку мы будем следовать по большей части Л. ПИЗАНСКОМУ, я намерен заявить, что когда имеется какое-нибудь предложение без автора, оно - этого Л. А когда других, кто был - авторство приведено.

Аналогичное уведомление имеется и в IV главе Божественной пропорции:

Первым делом я замечу, что всякий раз, когда я буду писать «первое в первой», «четвёртое во второй», «десятое в пятой», «20 в 6» и так до пятнадцатой, под первой цифрой всегда следует понимать номер предложения, а под второй - номер книги нашего философа ЕВКЛИДА, который всеми признаётся за главу данного факультета. Таким образом, говоря о пятом в первой, я говорю о пятом предложении его первой книги, и так же о других отдельных книгах, составляющих цельную книгу об элементах и первоначалах Арифметики и Геометрии. Но когда упоминается другое его сочинение или книга другого автора, это сочинение или этот автор называются по имени.

Не следует забывать и о том, что в те периоды, когда ЛУКА жил в своём родном городе, он имел возможность общаться с ПЬЕРО напрямую. Естественно думать, что встречи двух математиков были достаточно частыми, а их общение - содержательным. Темы книжки О пяти правильных телах почти наверняка обсуждались в этих беседах, а потому они оба могли в какой-то мере смотреть на неё как на свою, вне зависимости от того, кто придал ей окончательную форму.

Мы ничего не знаем и о том, какое влияние на ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА и ЛУКУ ПАЧОЛИ оказали работы немецкого астронома и математика ИОГАННА МЮЛЛЕРА (1436–1476), более известного под латинским именем РЕГИОМОНТАН. А ведь он много жил в Италии и умер в Риме, так что итальянские математики могли быть знакомы с ним и его рукописями. Среди его сочинений имелся трактат De quinque corporibus aequilateris, quae vulgo regularia nuncupantur, quae videlicet eorum locum impleant naturalem et quae non contra commentatorem Aristotelis Averroem («О пяти равносторонних телах, обычно называемых правильными, а именно, какие из них заполняют естественное место, а какие нет, против АВЕРРОЭСА, комментатора АРИСТОТЕЛЯ»).

До наших дней он не дошёл, но РЕГИОМОНТАН даёт его обзор в другой своей работе. В этом трактате рассматривалось построение правильных тел, их преобразования друг в друга, вычислялись их объёмы. Содержалась в нём и встречающаяся у ПАЧОЛИ идея о том, что последовательным изменением правильных тел можно получать безграничное количество полуправильных.

Далее, первая печатная книга по математике вышла в 1475 году. ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА жил ещё в мире рукописей, а более молодой ЛУКА ПАЧОЛИ зрелые свои годы провёл уже в мире печатных книг. Рукопись могла быть переписана для собственного пользования кем-то ещё, но каждый раз в одном экземпляре. Её переписчик совершает богоугодное дело уже потому, что продлевает жизнь рукописи, не даёт ей погибнуть. То же и в случае, когда сохранившаяся рукопись превращается в печатную книгу.

Теперь мы можем вернуться к вопросу о плагиате с оценкой, в большей мере соответствующей системе взглядов того времени. Похоже, что в ту эпоху, когда жили ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА и ЛУКА ПАЧОЛИ, вопрос об авторстве ещё попросту не стоял. (Средневековье, между прочим, вообще не знает авторства: можем ли мы сказать, кто был «автором» прекрасных готических соборов? Сама эта постановка вопроса очевидным образом бессмысленна. - Вот и в Началах ЕВКЛИДА большая часть результатов была переписана из других математических книг, но мы этим почему-то не возмущаемся и ЕВКЛИДА в плагиате не обвиняем.) Самому ПЬЕРО была интересна математика, а не слава в грядущих веках. В предиЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 11 словии к своей латинской книжке он пишет, что она будет ему «залогом и памятником», но не у потомков вообще, а у его герцогского Высочества.

А что касается авторства как указания на то, кто первый совершил такое-то открытие, то здесь важен момент онтологический. Математик открывает какие-то неизвестные доселе тела, а КОЛУМБ в это же самое время открывает новые страны. Но КОЛУМБ не является «автором» этих стран, и точно так же математик не является «автором» открытых им тел.

И ведь когда КОЛУМБ организовывал свою экспедицию, его целью были сами новые страны, а не память потомков о том, что он их открыл.

Лука Пачоли и формирование института экспертизы Обращаясь в послании О божественной пропорции к миланскому герцогу ЛОДОВИКО СФОРЦА, ЛУКА ПАЧОЛИ нигде не рекомендует себя так: «Я математик, потому что могу получать новые математические результаты». Нет, он говорит о себе совершенно иначе: «Я математик, потому что я знаю математику и могу ей научить других».

Вот и ДАНТЕ в Божественной комедии называл АРИСТОТЕЛЯ «учителем тех, кто знает», и ЛУКА не зря эту цитату приводит. Для уяснения этого довода проведём следующее сравнение. Врач знает медицину и поэтому может лечить. Юрист знает право и поэтому может быть адвокатом. А математик знает математику - и что дальше? Он может ей учить? Но ведь и врач, и юрист тоже могут учить своим наукам - для чего в университете и существуют медицинский и юридический факультеты. Но кем может быть математик вне сферы обучения? Какое умение выделяет его среди прочих людей и делает кому-то нужным? Астроном умеет вычислять движения небесных светил и составлять гороскопы. Архитектор способен построить прекрасную виллу, военный строитель - неприступную крепость.

Художники создают прекрасные произведения, услаждающие взор. А математик - какой от него может быть прок?

Посмотрим, как на этот вопрос отвечает сам ЛУКА. Прежде всего, он настаивает на том, что математика в качестве самой точной науки является основанием и пробирным камнем для всех прочих наук.

«В [нашем трактате] мы говорим о высоких и утончённых вещах, которые поистине служат испытанием и пробирным тиглем для всех изысканных наук и дисциплин: ведь из них проистекают все прочие спекулятивные действия, научные, практические и механические; и без предварительного ознакомления с ними человеку невозможно ни познавать, ни действовать, как это будет показано… Как подтверждают АРИСТОТЕЛЬ и АВЕРРОЭС, наши математические науки являются самыми истинными и стоят на первом уровне строгости, а за ними идут естественные»

От похвалы математике как таковой он переходит к похвалам математикам:

«Благоразумным известна пословица: Aurum probatur igni et ingenium mathematicis. То есть золото проверяется огнём, и проницательность разума - математическими дисциплинами. Это высказывание говорит вам, что добрый разум математиков наиболее открыт каждой науке, ведь они привычны к величайшей абстракции и тонкости, поскольку всегда рассматривали то, что находится вне чувственной материи. Как говорит тосканская поговорка, это те, кто расщепит волос на лету» (гл. II).

Но само по себе «рассмотрение того, что находится вне чувственной материи» вряд ли способно заинтересовать властителей, к которым обращается ЛУКА.

Поэтому он переходит от вещей идеальных к вещам реальным, и приводит доводы, согласно которым математика является необходимым основанием военного искусства и архитектуры:

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 12

«О Вашем Герцогском Высочестве идёт и иная добрая слава, когда крепнет уверенность близких родственников и благодарных подданных в том, что в её высочайшем Владении они защищены от всех нападений… От повседневного опыта Вашего Герцогского Высочества не скрыто, что оборона больших и малых республик, называемая также военным искусством, невозможна без знания Геометрии, Арифметики и Пропорций, каковые превосходно сочетаются с честью и пользой. И ни одно достойное занятие из тех, с которыми имеют дело инженеры и новые механики, так не ведёт к взятию [крепости] или же к долгой обороне, как те, в которых в былые времена упражнялся великий геометр АРХИМЕД из Сиракуз» (гл. II).

«Они называют себя архитекторами, но я никогда не видел у них в руках выдающейся книги нашего достойнейшего архитектора и великого математика ВИТРУВИЯ, который составил трактат Об архитектуре с наилучшими описаниями всякого сооружения. И те, кому я дивлюсь, пишут на воде и строят на песке, наскоро растратив своё искусство: ведь они являются архитекторами лишь по имени, ибо не ведают разницы между точкой и линией и не знают различия между углами, без чего невозможно хорошо строить… Однако есть и такие, кто восхищается нашими математическими дисциплинами, внедряя истинное руководство всеми постройками в согласии с сочинением вышеупомянутого ВИТРУВИЯ. Отклонение от него заметно, если посмотреть, каковы наши строения, как церковные, так и светские: какое искривлено, а какое перекошено» (гл. XLIV).

Говоря нынешним языком, ЛУКА рекомендует себя герцогу в качестве эксперта, причём в вопросах не собственно математических (такой эксперт герцогу нисколько не нужен), но сугубо прикладных, имеющих самое прямое отношение к сохранению власти (военное дело) и процветанию (архитектура). Что же касается умения получать новые математические результаты, оно в эту эпоху ещё не рассматривалось как необходимое отличительное качество математика высокого класса, оставаясь случайным, а не сущностным признаком последнего.

Литература ГЛУШКОВА Ф. Р., ГЛУШКОВ С. С. Геометрическая часть «Суммы» Пачоли. История и методология естественных наук, 29, 1982, с. 57–63.

КОЛЛИНЗ Р., РЕСТИВО С. Пираты и политики в математике. Отечественные записки, 2001, № 7.

ОЛЬШКИ Л. История научной литературы на новых языках. В 3 т. М.–Л.: ГТТИ, 1933–34. (Репринт: М.: МЦИФИ, 2000.) СОКОЛОВ Я. Лука Пачоли - человек и мыслитель. В кн.: ПАЧОЛИ ЛУКА. Трактат о счетах и записях. М.: Статистика, 1974.

ЮШКЕВИЧ А. П. История математики в средние века. М.: Физматгиз, 1961.

ARRIGHI G. Piero della Francesca e Luca Pacioli. Rassegna della questione del plagio e nuove valutazioni. Atti della Fondazione Giorgio Ronchi, 23, 1968, p. 613–625.

BIAGIOLI M. The social status of Italian mathematicians, 1450–1600. History of Science, 27, 1989, p. 41–95.

BERTATO F. M. A obra “De Divina Proportione” (1509) de Fr Luca Pacioli. Anais do V Seminrio Nacional de Histria da Matemtica, Rio Claro, 2003.

BIGGIOGERO G. M. Luca Pacioli e la sua “Divina proportione”. Rendiconti dell"Istituto lombardo di scienze e lettere, 94, 1960, p. 3–30.

CASTRUCCI S. Luca Pacioli da ‘l Borgo San Sepolcro. Alpignano: Tallone, 2003.

DAVIS M. D. Piero della Francesca’s mathematical treatises: The «Trattato d’abaco» and «Libellus de quinque corporibus regularibus». Ravenna: Longo Editore, 1975.

FIELD J. V. Rediscovering the Archimedean polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Drer, Daniele Barbaro and Johannes Kepler. Archive for History of Exact Sciences, 50, 1997, p. 241–289.

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 13

HERZ-FISCHLER R. A mathematical history of division in extreme and mean ratio. Waterloo: Wilfrid Laurier Univ. Press, 1987 (2d ed. NY, Dover, 1998).

LUCAS DE BURGO. Summa de Arithmetica, Geometria, Proportione & Proportionalita. Venetia:

Paganino de Paganinis, 1494.

LUCAS DE BURGO. Divina Proportione. Venetia: Paganino de Paganinis, 1509.

MANCINI G. L’opera “De corporibus regularibus” di Pietro Franceschi detto Della Francesca usurpata da fra Luca Pacioli. Accademia dei Lincei, 1909.

MORISON S. Fra Luca Pacioli of Borgo San Sepolcro. New York, 1933.

PICUTTI E. Sui plagi matematici di frate Luca Pacioli. La Scienze, 246, 1989, p. 72–79.

PIERO DELLA FRANCESCA. Libellus de quinque corporibus regularibus. Eds. M. D. Emiliani e. a.

Florence: Giunti, 1995.

PITTARELLI G. Luca Pacioli usurp per se stesso qualche libro di Piero de’ Franceschi? Atti IV Congresso internazionale dei matematici, Roma, 6–11 aprile 1908, III. Rome, 1909, p. 436–440.

PORTOGHESI P. Luca Pacioli e la “Divina Proportione”. In: Civilt delle machine, 1957, p. 22–28.

REGIOMONTANUS. Commensorator. Ed. Blaschke W., Schoppe G. Wiesbaden: Verlag der Akademie der Wissenschaften und der Literatur in Mainz, 1956.

RICCI I. D. Luca Pacioli, l’uomo e lo scienziato. Sansepolcro, 1940.

ROSE P. L. The Italian renaissance of mathematics. Geneva: Librairie Droz, 1975.

SPEZIALI P. Luca Pacioli et son oeuvre. Sciences of the Renaissance, Paris, 1973, p. 93–106.

TAYLOR R. E. No royal road: Luca Pacioli and his times. Chapel Hill: Univ. of North Carolina Press, 1942.

Фра Лука Бартоломео де Пачоли или Пачоло - итальянский математик, один из основоположников современных принципов бухгалтерии.

Пачоли родился около 1445 в небольшом городке Борго Сан-Сеполькро на границе Тосканы и Умбрии. Подростком он был отдан на обучение в мастерскую знаменитого художника Пьеро делла Франческа. Здесь его заметил великий итальянский зодчий Леон Батиста Альберти. В Венеции Пачоли посещает лекции знаменитого математика Доменико Брагадино в школе Риальто. В 1470 году он закончил свою первую книг у - учебник коммерческой арифметики. В этом же году он оставил Венецию и перебрался в Рим . Однако через два года Пачоли покинул Рим и принял монашеский постриг, став францисканцем.

С 14 октября 1477 года по 11 декабря 1480 года - профессор в Перуджинском университете, где читает лекции по алгебре, геометрии.
В 1494 году Пачоли опубликовал математический труд под названием «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций», посвящённый герцогу Урбинскому Гвидобальдо да Монтефельтро. Пожалуй, самое существенное нововведение Пачоли состоит в систематическом использовании синкопированной алгебраической записи - своеобразной предшественницы последующего символического исчисления. Книга содержит таблицу монет, весов и мер, принятых в разных частях Италии, а также руководство по венецианской двойной бухгалтерии.

В 1496 по приглашению герцога Лодовико Сфорца приезжает в Милан и возглавляет только что созданную при Миланском университете кафедру математики. В Милане знакомится с Леонардо да Винчи, с которым в дальнейшем очень сдружился.

В 1509 году в Венеции была издана ещё одна книга Пачоли: «Божественная пропорция. Сочинение, весьма полезное всякому проницательному и любознательному уму, из коего каждый изучающий философию, перспективу, живопись, скульптуру, архитектуру, музыку или другие математические предметы извлечёт приятнейшее, остроумное и удивительное учение и развлечёт себя различными вопросами сокровеннейшей науки».

Джакопо де Барбари. Портрет Луки Пачоли. 1510

Лука Пачоли (1445-1514) был крупнейщим европейским алгебраистом 15 в. По настоянию Леонардо да Винчи написал книгу "О Божественой пропорции". Сам Леонардо выполнил иллюстрации для этой книги, в том числе 59 изображений многогранников.

Справа предположительно Гвидобальдо да Монтефельтро, будущий герцог Урбинский (возможно автопортет художника). На столе перед Пачоли лежат Начала Евклида. Он читает лекцию по геометрии и, судя по изображению на доске, рассказывает о pons asinorum - «мосте ослов». Так раньше называлась теорема из «Начал», согласно которой углы, противоположные равным сторонам равнобедренного треугольника, равны. В левом верхнем углу ромбокубооктаэдр - одно из тел Архимеда.

Книга справа - "Сумма арифметики". На ней находится додекаэдр, а вверху изображен многогранник со стеклянными гранями, наполовину наполненный водой, подвешенный к потолку на золотой цепочке. В нем отражается окно, сквозь которое слева направо падает луч света. Этот многогранник - ромбокубоктаэдр, Многогранник Пачоли.